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空间角的求法教案一、教学目标1. 让学生掌握空间角的概念，理解空间角的求法。
2. 培养学生运用空间角解决实际问题的能力。
3. 提高学生对空间几何的兴趣和认识。
二、教学内容1. 空间角的概念2. 空间角的求法3. 空间角的运用三、教学重点与难点1. 教学重点：空间角的概念，空间角的求法。
2. 教学难点：空间角的求法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间角的求法。
2. 利用多媒体课件，直观展示空间角的求法过程。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作意识。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生了解空间角的概念。
2. 新课讲解：讲解空间角的定义，演示空间角的求法过程。
3. 案例分析：分析实际问题，运用空间角解决问题。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题心得。
5. 总结与拓展：总结空间角的求法，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
教案内容请根据实际教学情况进行调整和补充。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对空间角概念和求法的掌握情况。
2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生对空间角求法的运用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和解决问题的能力。
七、教学反思1. 教师总结：反思教学过程中的优点和不足，为下一步教学做好准备。
2. 学生反馈：听取学生的意见和建议，改进教学方法。
3. 教学调整：根据教学反思，调整教学计划和内容。
八、课后作业1. 巩固空间角的概念和求法，完成相关练习题。
2. 思考空间角在实际问题中的应用，尝试解决相关问题。
3. 预习下一节课内容，为课堂学习做好准备。
九、拓展与延伸1. 研究空间角的其他求法，如利用向量、坐标等方法。
2. 探索空间角在立体几何中的应用，如对立体图形的分类、性质等方面进行研究。
3. 关注空间角在现实生活中的应用，举例说明空间角在工程、设计等领域的作用。
高二语文教案：空间角的求法教案
【摘要】鉴于大家对十分关注，小编在此为大家搜集整理了此文“高二语文教案：空间角的求法教案”，供大家参考!
本文题目：高二语文教案：空间角的求法教案
一.梳理知识：
空间角的思路：
求空间各种角的大小一般都转化为平面的角来计算，总是先定其位，后算其值。
空间角的计算步骤：一作，二证，三算。
1.两条异面直线所成的角
(1)定义：直线a，b 是异面直线，经过空间一点O 分别引直线a’||a，b’||b，我们把直线a’，b’所成的锐角或直角叫做两条异面直线a，b 所成的角。
(2)范围：0O (3)作法(平移法)：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线。
《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算。
2. 引导学生掌握利用向量法求空间角的方法，培养空间想象能力。
3. 通过对空间角的学习，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的概念及基本运算2. 空间向量夹角的定义及计算方法3. 空间向量垂直的判定与性质4. 利用向量法求空间角的大小5. 应用实例解析三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及基本运算（2）空间向量夹角的计算方法（3）利用向量法求空间角的大小2. 教学难点：（1）空间向量垂直的判定与性质（2）应用实例的解析四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解空间向量及空间角的相关概念、性质和计算方法。
2. 利用多媒体课件，展示空间向量的几何形象，增强学生的空间想象力。
3. 结合具体实例，引导学生运用向量法求解空间角的大小，提高解决实际问题的能力。
4. 组织课堂讨论，鼓励学生提问、发表见解，提高学生的参与意识。
五、教学安排1. 第一课时：介绍空间向量的概念及基本运算2. 第二课时：讲解空间向量夹角的定义及计算方法3. 第三课时：讲解空间向量垂直的判定与性质4. 第四课时：讲解利用向量法求空间角的大小5. 第五课时：应用实例解析，巩固所学知识六、教学过程1. 导入：回顾上一节课的内容，通过提问方式检查学生对空间向量的理解和掌握情况。
2. 新课导入：介绍空间向量夹角的定义，解释其在几何中的意义。
3. 课堂讲解：详细讲解空间向量夹角的计算方法，包括夹角余弦值的求法。
4. 例题讲解：挑选典型例题，演示利用向量法求空间向量夹角的过程。
5. 课堂练习：学生独立完成练习题，巩固向量夹角的知识。
六、教学内容1. 空间向量夹角的定义2. 空间向量夹角的计算方法3. 空间向量夹角的应用实例七、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量夹角的定义及其计算方法（2）利用向量夹角解决实际问题2. 教学难点：（1）空间向量夹角的计算方法（2）空间向量夹角在实际问题中的应用八、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解空间向量夹角的含义和应用。
利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和运算法则。
2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。
3. 提高学生解决空间几何问题的综合素质。
二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。
2. 空间向量的线性运算：加法、减法、数乘、数量积（点积）、叉积。
3. 空间向量的坐标表示与运算。
4. 空间角的概念及求法。
5. 利用向量法求空间角的方法与步骤。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及其表示方法。
（2）空间向量的线性运算及坐标表示。
（3）空间角的概念及求法。
（4）利用向量法求空间角的方法与步骤。
2. 教学难点：（1）空间向量的坐标表示与运算。
（2）利用向量法求空间角的具体步骤。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。
五、教学过程1. 导入新课：介绍空间向量的概念，引导学生回顾初中阶段所学的一维向量和二维向量，引出三维空间向量的概念。
2. 知识讲解：讲解空间向量的表示方法、线性运算（加法、减法、数乘）、数量积（点积）和叉积。
3. 实例演示：利用多媒体课件演示空间向量的坐标表示与运算，让学生直观地感受空间向量的运算过程。
4. 练习巩固：布置一些有关空间向量的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的理解和掌握程度。
5. 讲解空间角的概念及求法：讲解空间角的概念，引导学生理解空间角的大小与两个向量的夹角有关。
6. 方法讲解：讲解利用向量法求空间角的方法与步骤，让学生了解如何运用向量知识求解空间角。
7. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调空间向量运算和空间角求解的方法。
8. 课后作业：布置一些有关利用向量法求空间角的练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学拓展1. 引导学生思考空间向量在实际问题中的应用，例如物理学中的力、速度等问题。
2. 探讨空间向量与其他数学领域的联系，如代数、微积分等。
七、课堂练习1. 布置一些有关空间向量运算和空间角求解的练习题，让学生独立完成。
学习必备欢迎下载空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：0 90（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，AD//BC，ABC 90 ，PA 平面 AC ，且 BC 2 ，PAADAB1 ，求异面直线PC 与 BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点 C 作 CE // BD 交 AD 的延长线于E ，连结 PE ，则 PC 与 BD 所成的角为PCE 或它的补角。
CE BD 2，且PE PA2 AE2 10P由余弦定理得 c o s PCE PC 2 CE 2 PE 2 32PC CE 6A 3PC 与 BD 所成角的余弦值为 DC6 B（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长为8，侧棱长为 6，D为AC中点。
求异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值。
A 1 C1 【答案】125 B 1DCAB二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：90方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例 2】如图，在三棱锥 P ABC 中，APB 90， PAB 60 ，AB BC CA ，点 P 在平面 ABC内的射影 O 在 AB 上，求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小。
P【解】连接 OC ，由已知，OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成角C设 AB 的中点为 D ，连接 PD ,CD 。
AB BC CA ，所以 CDABABAPB 90 , PAB60 ，所以 PAD 为等边三角形。
不妨设 PA2 ，则 OD 1,OP3, AB4CD 2 3, OCOD 2 CD 213 在 RtOCP 中， tan OCP OP 3 39OC1313【变式练习 1】如图，四棱锥S ABCD 中， AB // CD ， BC CD ，侧面 SAB 为等边三角形。
利用向量法求空间角-经典教案教案章节一：向量基础教学目标：1. 理解向量的概念及其表示方法。
2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘。
教学内容：1. 向量的定义及表示方法。
2. 向量的运算规则：a) 向量加法：三角形法则和平行四边形法则。
b) 向量减法：向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。
c) 数乘：一个实数乘以一个向量，得到一个新的向量，其实数乘以原向量的模，新向量的方向与原向量相同。
d) 点乘：两个向量的点乘，得到一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值。
教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解向量的概念和表示方法。
2. 通过例题，让学生掌握向量的运算规则。
教案章节二：空间向量教学目标：1. 理解空间向量的概念及其表示方法。
2. 掌握空间向量的运算规则，包括空间向量的加法、减法、数乘和点乘。
教学内容：1. 空间向量的定义及表示方法。
2. 空间向量的运算规则：a) 空间向量加法：三角形法则和平行四边形法则。
b) 空间向量减法：空间向量减去另一个空间向量等于加上这个空间向量的相反空间向量。
c) 空间向量的数乘：一个实数乘以一个空间向量，得到一个新的空间向量，其实数乘以原空间向量的模，新空间向量的方向与原空间向量相同。
d) 空间向量的点乘：两个空间向量的点乘，得到一个实数，表示两个空间向量的夹角的余弦值。
教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解空间向量的概念和表示方法。
2. 通过例题，让学生掌握空间向量的运算规则。
教案章节三：向量的投影教学目标：1. 理解向量的投影的概念及其计算方法。
2. 掌握向量的正交投影和斜投影的计算方法。
教学内容：1. 向量的投影的定义及计算方法。
2. 向量的正交投影和斜投影的计算方法：a) 向量的正交投影：将向量投影到垂直于某一平面的向量上，得到的投影向量与投影平面垂直。
b) 向量的斜投影：将向量投影到某一平面上，得到的投影向量与投影平面不垂直。
利用向量法求空间角-经典教案第一章：向量法概述1.1 向量的概念向量的定义向量的表示方法向量的几何性质1.2 向量的运算向量的加法向量的减法向量的数乘向量的点积向量的叉积1.3 向量法在空间角求解中的应用向量法求解空间角的基本思路向量法与传统解法的比较第二章：空间向量基本定理2.1 空间向量基本定理的定义空间向量基本定理的表述空间向量基本定理的意义2.2 空间向量基本定理的证明向量加法的平行性质向量数乘的分配性质向量点积的性质2.3 空间向量基本定理的应用利用空间向量基本定理求解空间角空间向量基本定理在其他几何问题中的应用第三章：空间向量的线性运算3.1 空间向量的线性组合线性组合的定义线性组合的运算规则3.2 空间向量空间的线性相关性线性相关的定义线性相关的判定条件3.3 空间向量空间的基底基底的概念基底的选取方法第四章：空间向量的内积与距离4.1 空间向量的内积内积的定义内积的运算规则4.2 空间向量的距离距离的定义距离的运算规则4.3 空间向量的内积与距离的应用利用内积与距离求解空间角内积与距离在其他几何问题中的应用第五章：空间向量的外积与向量积5.1 空间向量的外积外积的定义外积的运算规则5.2 空间向量积向量积的定义向量积的运算规则5.3 空间向量的外积与向量积的应用利用外积与向量积求解空间角外积与向量积在其他几何问题中的应用第六章：空间向量法求解空间角6.1 空间向量的加法与减法空间向量的加法运算空间向量的减法运算运算过程中的注意事项6.2 空间向量的数乘空间向量的数乘定义数乘对向量几何性质的影响6.3 空间向量的点积点积的定义与运算规则点积的性质与应用6.4 空间向量的叉积叉积的定义与运算规则叉积的性质与应用第七章：空间向量法在立体几何中的应用7.1 立体几何中的基本概念点、线、面的关系立体几何中的各类角度定义7.2 利用空间向量法求解立体几何问题求解空间角的步骤与方法向量法在立体几何中的应用案例7.3 空间向量法在立体几何教学中的意义提高学生的空间想象能力培养学生的逻辑思维能力第八章：空间向量法在现实生活中的应用8.1 空间向量在导航与定位中的应用导航与定位的基本原理空间向量在导航与定位中的应用案例8.2 空间向量在运动规划中的应用运动规划的基本概念空间向量在运动规划中的应用案例8.3 空间向量在其他现实生活中的应用建筑设计中的空间向量应用航空航天领域的空间向量应用第九章：空间向量法的拓展与延伸9.1 空间向量与线性代数的关系线性代数基本概念回顾空间向量与线性代数之间的联系9.2 空间向量法在其他学科中的应用物理学中的空间向量应用计算机科学中的空间向量应用9.3 空间向量法的进一步研究空间向量法的优化与发展空间向量法在未来的研究方向第十章：空间向量法教学实践与反思10.1 空间向量法教学设计教学目标与内容的安排教学方法与手段的选择10.2 空间向量法教学效果评估学生学习情况的分析教学方法的调整与改进10.3 空间向量法教学反思教学过程中的优点与不足对未来教学的展望与计划重点和难点解析重点一：向量的概念与表示方法向量是既有大小，又有方向的量，通常用箭头表示。
求空间中的角—教学设计教学目标：1.理解角的概念。
2.掌握角的度量方法。
3.能够根据角的度量分类，并进行角的比较和运算。
教学重点：1.角的概念。
2.角的度量方法。
教学难点：角的度量方法。
教学准备：1.白板、黑板、彩色粉笔。
2.角的示例图片、实物角模型。
教学过程：Step 1：导入新知识（10分钟）1.教师出示一些手表的图片，引导学生观察时针和分针的位置。
2.提问：时针和分针之间形成了什么形状？请用手势表示。
学生回答：角。
3.教师追问：角是什么？能告诉我角的概念吗？Step 2：角的概念（10分钟）1.教师解释角的概念：角是由两条射线共同起源于一个点所夹的部分。
2.图示：教师在黑板上画出一个角，并标注重要的术语。
3.示范：教师用示例图片和实物角模型展示不同种类的角，如锐角、钝角、直角等。
Step 3：角的度量方法（30分钟）1.角度的旋转：教师引导学生思考，时针和分针绕圆心旋转一周后回到原位，这个过程称为一周。
一周有多少度？2.教师介绍度量角的概念和单位：度。
教师解释1周＝360度。
3.教师演示如何用量角器测量角的度数，引导学生跟随操作。
4.学生练习：提供一些角的图片和实物，学生用量角器测量角的度数并记录下来。
Step 4：角的度量分类（20分钟）1.教师给出一些角度度数，让学生判断是锐角、直角还是钝角。
2.学生练习：教师以小组为单位，给每组发放一些角的度数，要求学生根据度数进行分类。
3.请一名学生将小组的分类结果列在黑板上，与其他小组比较。
Step 5：角的比较和运算（20分钟）1.角度的比较：教师出示几个角，让学生根据度数大小判断它们的大小关系。
2.角的运算：教师出示两个角度，引导学生思考如何进行角的加法、减法和乘除运算，引导学生进行小组讨论。
Step 6：总结与拓展（10分钟）1.教师复习角的概念和度量方法。
2.教师总结角的分类和运算方法。
3.提问：角的度量方法适用于什么情况？学生回答：适用于平面角和空间角。
利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和性质。
2. 让学生学会使用向量法求解空间角。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念和性质。
2. 采用演示法，展示向量法求解空间角的步骤。
3. 采用案例教学法，分析实际问题中的应用。
四、教学步骤1. 引入空间向量的概念，讲解其基本性质。
2. 讲解向量法求解空间角的基本步骤。
3. 分析实际问题中的应用案例，引导学生运用向量法解决问题。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 选择一个实际问题，尝试运用向量法解决。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生对空间向量概念和性质的理解程度。
2. 课后作业：检查学生对向量法求解空间角的掌握情况。
3. 实际问题解决：评估学生在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教案、PPT、教材等相关教学资料。
2. 计算机、投影仪等教学设备。
3. 实际问题案例库。
八、教学时间1课时（45分钟）九、教学重点与难点1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
十、教学PPT内容1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
十一、教学案例案例一：求解空间直角坐标系中两向量的夹角。
案例二：求解空间四边形的对角线夹角。
案例三：求解空间旋转体的主轴与旋转轴的夹角。
十二、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对空间向量法的理解和应用能力。
十三、教学拓展1. 研究空间向量在几何中的应用。
2. 探索向量法在物理学、工程学等领域的应用。
十四、教学建议1. 注重学生空间想象能力的培养。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高课堂氛围。
苏教版选修2《空间的角的计算》教案及教学反思一、教案设计本次教学的内容主要针对苏教版选修2中《空间的角的计算》这一章节，以提高学生对角度概念的理解和计算方法掌握为主要目标。
1. 教学目标•理解角度的概念与测量方法；•掌握角度的运算法则；•能够解决相关题目。
2. 教学重难点分析（1）重点•角度的定义；•度、弧度的换算；•角度运算法则；（2）难点：•弧度运算法则；•角度与弧度的关系。
3. 教学方法讲授与实践相结合，采用理论与实例相结合的方法，通过对实例的讲述来说明角的概念和运算方法，并加以实践运用才能更好的理解。
4. 教学内容•角度的定义；•度的定义和度与弧度的换算；•角度运算法则；•弧度运算法则；•角度与弧度的关系。
5. 教学流程教学环节内容时间（分钟）1. 导入新课观看学习视频，介绍本次课堂将要学习的内容和学习的重点52. 角度的定义定义角度概念和角度的度量153. 度的定义与换算解释度的概念和度到弧度的转换方法，并进行例题演练204. 角度运算法则角度的加法、减法、乘法、除法的运算法则，并进行例题演练305. 弧度运算法则弧度的加法、减法、乘法、除法的运算法则，并进行例题演练206. 角度与弧度的关系角度和弧度的关系，角度与弧度单位的换算207. 总结与作业概括本次课程的内容，布置作业106. 教学评价•检测学生对角度概念的掌握情况，完成角度计算的练习题；•观察学生对角度和弧度单位换算知识点是否掌握。
二、教学反思经过本次课程的教学，学生对角度和弧度的概念有了更加深入的理解，并掌握了角度的计算和转换方法。
通过实例掌握相关知识，使学生学得深入易懂。
课堂的互动环节让学生更好地理解本节课的知识点，加强了学生对角度、弧度的计算和理解方法的掌握程度，并在课外继续练习，进一步提升了学生的角度计算能力。
本次课程在教材内容、教学方法、教学事例等方面都有所改进和创新，同时也重视学生的探究和创新精神，让学生在不断的实践探究中更加深入理解里角度和弧度的计算方法。
空间角的求法精品(优秀教案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2PCDBA 空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：090θ<≤oo（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=o，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
2CE BD ==Q ，且2210PE PA AE =+=∴由余弦定理得 2223cos 26PC CE PE PCE PC CE +-∠==-⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。
求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。
【答案】125A 1C 1C BAB 1 DABCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090θ≤≤oo方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=o，60PAB ∠=o，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==Q ，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=o o Q ，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,3,4OD OP AB ===2223,13CD OC OD CD ∴==+=在Rt OCP ∆中，339tan 1313OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
2AB BC ==，1CD SD ==，求AB 与平面SBC 所成的角的大小。
【解】由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE作SF DE ⊥，垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，32SD SE SF DE ⨯== 作FG BC ⊥，垂足为G ，则1FG DC ==连结SG ，则SG BC ⊥，又BC FG ⊥，SG FG G =I故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC217SF FG FH SG ⨯==，即F 到平面SBC 的距离为217由于//ED BC ，所以//ED 平面SBC ，故E 到平面SBC 的距离d 也为217设AB 与平面SBC 所成的角为α，则21sin 7d EB α==，则21arcsin 7α=ABCNMPQMNαβHQPB A【变式练习2】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AD PD ⊥，1BC =，23PC =，2PD CD ==，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。
【解】过点P 作PE CD ⊥于点E ，连接BE,AD PD AD DC ⊥⊥Q ，则平面PDC ⊥平面ABCDPE ∴⊥面ABCD ，则PBE ∠是直线PB 与平面ABCD 所成角2,231203,1CD PD PC PDC PE DE ︒===⇒∠=⇒==在Rt BCE ∆中，22221013BE BC CE PB BE PE =+=⇒=+=在Rt BPE ∆中，39sin 13PE PBE PB ∠==三、二面角的求法二面角的范围：0180θ<≤oo求二面角的大小，关键在于找出或作出二面角的平面角。
从找平面角的角度出发，有以下几种方法： （一）定义法：在棱上选一恰当的“点”（一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等），过这一“点”在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角。
（一般在找出角后，利用三角形求解） 【例3】在三棱锥P ABC -中，60APB BPC APC ∠=∠=∠=o，求二面角A PB C --的余弦值。
【解】在PB 上取1PQ =，作MQ PB ⊥交PA 于M ，作QN PB ⊥交PC 于N1cos 3MQN ∠=【变式练习】如图，点A 在锐二面角MN αβ--的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成角45PAM ∠=o，与面β所成角的大小为30o，求二面角MN αβ--的大小。
【解】在射线AP 上取一点B ，作BH β⊥于点H ，作HQ MN ⊥于Q2sin 2BQH ∠=，则MN αβ--为45oAB CNQABCP（二）利用三垂线三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
从半平面α内的任一点A 出发向另一个半平面β引一条直线AH ，过H 作棱l 的垂线HG ，垂足为G ，连AG ，则由三垂线定理可证l AG ⊥,故AGH ∠就是二面角l αβ--的平面角。
三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。
【例4】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=o，60PAB ∠=o，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求二面角B AP C --的大小。
【解】过AB 中点D 作DE AP ⊥于E ，连接CE ， 由已知可得，CD ⊥平面PAB据三垂线定理可知，CE PA ⊥ 则CED ∠为B AP C --的平面角 易知，若1AB =，则3DE =，23CD =在Rt CDE ∆中，23tan 23CD CED DE ∠===【变式练习】在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=o ，11AB BB ==，直线1B C 与平面ABC 成30o角，求二面角1B B C A --的正弦值。
【解】由直三棱柱性质得平面ABC ⊥平面11BCC B ，过A 作AN ⊥平面11BCC B ，垂足为N ，则AN ⊥平面11BCC B （AN 即为我们要找的垂线）在平面1BCB 内过N 作NQ ⊥棱1B C ，垂足为Q ，连QA 则NQA ∠即为二面角的平面角。
1AB Q 在平面ABC 内的射影为AB ，CA AB ⊥ 1CA B A ∴⊥，又11AB BB ==，得12AB =A 1D 1 B 1C 1 EDBC AQ 直线1B C 与平面ABC 成30o 角130B CB ∴∠=o ，又12B C =，则1Rt B AC ∆中，由勾股定理得2AC =1AQ ∴=，在Rt BAC ∆中，1,2AB AC ==，得63AN =6sin 3AN AQN AQ ∴∠==即二面角1B B C A --的正弦值为36从不直接找出平面角的角度出发，主要有两种方法：面积法（面积射影法），向量法。
（三）面积法（面积射影法）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos S Sθ=射）求出二面角的大小θ。
求证：cos S Sθ=射【例5】 如图，E 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 的中点，求平面1AB E 和底面1111A B C D 所成锐角的余弦值。
【答案】所求二面角的余弦值为32【变式练习】如图，S 是正方形ABCD 所在平面外一点，且SD ⊥面ABCD ，1AB =，3SB =。
求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小。
【答案】45oCβαD AEDCBASABCDOA1B1C1D1四、真题演练1．（山东）已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111C B A 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）.A π125 .B 3π .C 4π .D 6π 2．（大纲）已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）.A 32 .B 33 .C 32 .D 313．（山东）如图所示，在三棱锥ABQ P -中，⊥PB 平面ABQ ，BQ BP BA ==,F E C D ,,,分别是,AQ BQ ，,AP BP 的中点，BD AQ 2=，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。
（1）证明：AB ∥GH ；（2）求二面角E GH D --的余弦值。
4．（陕西）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，⊥O A 1平面ABCD ,21==AA AB 。
（1）证明：⊥C A 1平面D D BB 11；（2）求平面1OCB 与平面D D BB 11的夹角θ的大小。
ABC DSED 1DCBA 1B 1C 1A P5．（湖南理）如图在直棱柱1111D C B A ABCD -中，AD ∥BC ，090=∠BAD ，BD AC ⊥，1=BC ,31==AA AD（1）证明：D B AC 1⊥；（2）求直线11C B 与平面1ACD 所成角的正弦值。
6．（四川理）如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=o ，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的中点．（1）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ； （2）设（1）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．7．如图，在四棱锥S ABCD -中，AD BC P 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，CS DS ⊥，22CS AD ==；E 为BS 的中点，2,3CE AS ==．求：（1）点A 到平面BCS 的距离；（2）二面角E CD A --的大小。
