2017届重庆市第八中学高三上学期入学考试数学文科卷

重庆八中高2017届高三上入学考试数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．sin(150)-的值为A ．12-B ．12C ．32-D ．322．已知命题:,20x p x R ∀∈>，命题:,sin cos 2q x R x x ∃∈+>，则 A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题3．已知函数221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若[](0)4f f a =，则实数a 等于A ．12B ．45C ．2D ．94．已知1sin cos 2x x -=，则sin 2x = A ．34B ．34-C ．12-D ．125．2()ln f x ax bx x =++在点(1,(1))f 处的切线方程为42y x =-，则b a -= A ．1-B ．0C ．1D ．26．在ABC ∆中，,,a b c 为角,,A B C 的对边，若6A π=，3cos 5B =，8b =，则a = A ．403B ．10C ．203D ．57．已知()sin()(0,0,)f x A x A x R ωϕω=+>>∈，则“()f x 在1x =处取得最大值”是“(1)f x +为偶函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．下图可能是下列哪个函数的图象 A ．1x y x =+ B ．ln x y x=C ．2(2)x y x x e =-D ．22||y x x =-9．将函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=+><的图象向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为sin y x =，则sin()y x ωϕ=+图象上距离y 轴最近的对称轴方程为A ．6x π=-B ．3x π=C ．12x π=-D ．12x π=10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积可以是A ．4483π+B ．482π+C ．8483π+D ．483π+11．在ABC ∆中，60B =，3AC =，则2AB BC +的最大值为 A ．23B ．25C ．26D ．2712．设直线y t =与曲线2(3)y x x =-的三个交点分别为(,)A a t 、(,)B b t 、(,)C c t ，且a b c <<，现给出如下结论：①abc 的取值范围是(0,4)；②222a b c ++为定值；③c a -有最小值无最大值。

理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}|sin ,x R ,|lg A y y x B x y x ==∈==-，则A B = （ ） A ．(]0,1 B ．[)1,0- C ．[]1,0- D ．(],1-∞2.已知向量()()1,,3,2a m b ==- ，且()//a b b +，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．-8D ．8 3.设命题2:,ln p x R x x ∀∈>，则p ⌝为（ ）A ．2000,ln x R x x ∃∈>B ．2,ln x R x x ∀∈≤C ．2000,ln x R x x ∃∈≤ D ．2,ln x R x x ∀∈<4.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且15914,27a a S +=-=-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ） A ．1 B ．6 C ．7 D ．6或75.已知实数()ln ln ln ,ln ,2a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6.若4sin 3cos 0αα-=，则21cos 2sin 2αα+的值为（ ）A ．2516B ．1C ．2548D ．25647. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()22,21sin a b c b C ==-，则C =（ ）A ．34π B ．3π C ．4π D ．6π 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111nn na a a ++=-，若12a =，则{}n a 的前2017项的积为（ ） A ．1 B ．2 C ．-6 D ．-5869.记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-．设函数()[]f x x x =-，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]3,4B ．[)3,4C ．[)2,3D ．(]2,310.如图1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离与O 到M 的距离之和表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 设函数())3ln f x x x =+且)233ln113a a f a ⎛⎫---<- ⎪-⎝⎭，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞ B．)+∞ C．) D．(()3,+∞12.设函数()()x x f x e x ae =-（其中e 为自然对数的底数）恰有两个极值点()1212,x x x x <，则下列说法不正确的是（ ） A ．102a <<B ．110x -<<C ．()1102f x -<< D ．()()120f x f x +> 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知{}n a 为等比数列，且13214,,42a a a -成等比数列，则5735a a a a ++的值为____________． 14.已知,m n为单位向量，其夹角为60°，则2m n -=_________． 15.设点P 为函数()3112f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上任一点，且()f x 在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为____________． 16.已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=___________．三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2322n n nS =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足121n n n n nb a a a a ++=-+ ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：5212n T n <+．18.（本小题满分12分）如图2，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，,//,222,AB AD AB CD CD AB AD PB ⊥===⊥底面ABCD ，E 是PC 上的点．（1）求证：BD ⊥平面PBC ；（2）设1PB >，若E 是PC 的中点，且直线PD 与平面EDB，求二面角P BD E --的余弦值．19.（本小题满分12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图3所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，①求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，n N ∈）的函数解析式；②在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率． （2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决定依据，判断应该制作16个是17个？ 20.（本小题满分12分）设椭圆E 的方程为()22211x y a a+=>，O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于点,,A B M 为线段AB 的中点．（1）若,A B 分别为E 的左顶点和上顶点，且OM 的斜率为12-，求E 的标准方程； （2）若2a =，且1OM =，求AOB ∆面积的最大值． 21.（本小题满分12分）设函数()()()()22ln 1,1x xf x xg x a a R x+=+=∈+ ．（1）若函数()()()h x f x g x =-在定义域内单调递减，求a 的取值范围；（2）设*n N ∈，证明：1422212111n e n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（e 为自然对数的底数）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图4，在ABC ∆中，090ABC ∠=，以AB 为直径的圆交AC 于点E ，过点E 作圆O 的切线交BC 于点F ．（1）求证：2BC EF =；（2）若3CE OA =，求EFB ∠的大小． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线C ． （1）写出曲线C 的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴坐标建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,P Q 分别为曲线C 和直线l 上的一点，求,P Q 的最近距离． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()12f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式()0f x >，在[]2,3x ∈上恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题三、解答题（2）证明：由（1）知()()()111131231213n b n n n n n n ⎛⎫=+-++=+- ⎪++++⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴123111111122243513n n T b b b b n n n ⎛⎫=++++=+-+-++- ⎪++⎝⎭．．．．．．．．．． 10分 111115222232312n n n n ⎛⎫=++--<+ ⎪++⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18.（1）证明：∵PB ⊥平面,BD ABCD ⊂平面ABCD ，∴BD PB ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由题意知1,1,2AB AD CD ===，∴BD BC ==，∴222BD BC DC +=，∴BD BC ⊥，又BC PB B = ，∴BD ⊥平面PBC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）解：以B 为原点，建立空间直角坐标系如图3所示，则()()()0,0,0,1,1,0,1,1,0B D C -，设()()0,0,0P a a >，则()()1111,,,1,1,0,,,,1,1,a 222222a a E BD BE PD ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),,n x y z =为平面EDB 的法向量，则0n BD n BE == ，即0x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取,,2x a y a z ==-=-，则(),,2n a a =-- ．设直线PD 与平面EDB 所成角为θ，依题意，sin cos ,PD n PD n PD nθ==== 则2a =或1a =（舍），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由（1）知,BC BD BC PB ⊥⊥， ∴BC ⊥平面PBD ，∴()1,1,0BC =-为平面PBD 的法向量，当2a =时，()2,2,2,cos ,BC n n BC n BC n=--==， 易得二面角P BD E --．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）①当17n ≥时，()1710050850y =⨯-=； 当16n ≤时，()505017100850y n n n =--=-．得()()()1008501685017n n y n N n -≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ②设当天的利润不低于750元为事件A ，设当天需求量不低于18个为事件B ，由①得“利润不低于750元”等价于“需求量不低于16个”，则()0.7P A =，()()()0.150.130.119|0.735P AB P B A P A ++===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：若蛋糕店一天制作17个，X 表示当天的利润（单位：元），X 的分布列为5500.16500.27500.168500.54764EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 若蛋糕店一天制作16个，Y 表示当天的利润（单位：元），Y 的分布列为6000.17000.28000.7760EY =⨯+⨯+⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分由以上的计算结果可以看出，EX EY >，即一天制作17个的利润大于制作16个的利润， 所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，则221122222211x y ax y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()1212121220x x x x y y y y a -++-+=，．．．．．．．．．．．．．2分 即012212010y y y a x x x -+=- ，又01212011,2y y y x x a x -==--， 代入化简，得2a =，故E 的标准方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设直线()()1122:,,,,y l x my n A x y B x =+，由方程组()22222424044x my nm y mny n x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ ① 2121212222248,,444mn n ny y y y x x m m m -⇒+=-=+=+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 1212224,,2244x x y y nmn M m m ++⎛⎫⎛⎫⇒=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ()22224116m OM n m +=⇒=+②，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设直线l 与x 轴的交点为(),0D n ，则12121122AOB S OD y y n y y ∆=-=-， 令()()()222212224841416m S n y y m +=-=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设()244t m t =+≥，则()()222248448481144241441624m t S t t mt t +==⨯=≤=+++++， 当12t =时，即m n =±=时，AOB ∆的面积取得最大值1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.（1）解：函数()h x 的定义域为()1,-+∞，且()()()()22ln 11x xh x f x g x x a x+=-=+-+ ，则()()()()()()()()222222121221111x x x x x a x x h x a x x x ++-++-++'=-=+++ ， 由于()h x 在()1,-+∞内单调递减，则()0h x '≤对()1,x ∈-+∞恒成立，即()()21220x a x x +-++≤ 对()1,x ∈-+∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分从而2max 122x a x x +⎛⎫≥ ⎪++⎝⎭，则max 111211a x x ⎛⎫⎪≥= ⎪ ⎪+++⎝⎭， 故a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）证明：取12a =，由第（1）问可知()h x 在()0,+∞为单调递减函数， 从而()()00h x h <=；则()212ln 121x xx x++<+ 对()0,x ∈+∞，均成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分令()21,2,,kx k n n == ，有2222222222111ln 122211k k k k k k k n n k n n n k n n n⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+<=+≤+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 从而22212ln 111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2222222221211212ln 1ln 1ln 12111n n n n n n n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++<+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2211133441n n n n n ⎡⎤-+-⎢⎥=-≤+⎢⎥⎣⎦， 故3422212111n e n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.（1）证明：由题意可知，,FB FE 均为圆O 的切线， 所以FB EF =，连接,BE OE ，易知090AEB OEF ∠=∠=， 所以090FEC OEA FEC OAC ∠+∠=∠+∠=， 又090OAC ACB ∠+∠=，所以FEC ACB ∠=∠，所以EF FC =，所以2BC BF FC EF EF EF =+=+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）解：不妨设1OA =，则3,2CE AB ==，在Rt ABC ∆中，由射影定理可知，2AB AE AC = ，()223AE AE =+ ，所以1AE =，∴4AC =，所以1sin 2AB ACB AC ∠==， 所以030ACB ∠=，由（1）可知，030FEC ∠=，∴060EFB ∠=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23.解：（1）设()11,x y 为圆上一点，在已知变换下C 上的点(),x y ，依题意112x x y y =⎧⎨=⎩，由22111x y +=得2212x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2214x y +=， 故C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分11页 （2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程：sin 44y x πρθ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭， 设()2cos ,sin P θθ，设点P 到l 的距离为d ，d ≥=其中sin ϕϕ==2πθϕ+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.解：（1）∵()1,11211a f x x x =>⇔--+>，()()()1111121112111211x x x x x x x x x ⎧⎧≤--<≤>⎧⎪⎪⇔⎨⎨⎨-+++>-+-+>--+>⎪⎩⎪⎩⎩或或 22211233x x x ⇔-<≤--<<-⇔-<<-或， ∴解集为22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()0f x >在[]2,3x ∈上恒成立120x x a ⇔--+>在[]2,3x ∈上恒成立 2211221x a x x x a x ⇔+<-⇔-<+<-1321x a x ⇔-<<--在[]2,3x ∈上恒成立，()()max min1321524522x a x a a ⇔-<<--⇔-<<-⇔-<<- ∴a 的范围为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|430,2,3,4A x x x B =-+≤=，则A B = （ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3 D ．{}2,3,42.设命题000:0,cos sin 1p x x x ∃>+>，则p ⌝为（ ） A ．0,cos sin 1x x x ∀>+> B ．0000,cos sin 1x x x ∃≤+≤ C ．0,cos sin 1x x x ∀>+≤ D ．0000,cos sin 1x x x ∃>+≤3.已知函数()221,0log ,0x x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，若()()03f f a =，则a =（ ）A ．12 B ．12- C ．-1 D ．1 4.若曲线()21ln 2f x ax x x =++在点()()1,1f 处的切线与712y x =-平行，则a =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．25.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，已知2,b c ==，则4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A．2 B1+ C．2- D1- 6.执行如图1所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．1B ．eC ．2016eD ．2017e7.,E F 分别为正方形ABCD 的边AD 和AB 的中点，则EB FD +=（ ）A ．ACB ．12AC C ．BD D ．12BD8.已知定义在R 上的函数()f x 满足：①当0x >时，函数()f x 为增函数，()20f -=；②函数()1f x +的图象关于点()1,0-对称，则不等式()0f x x>的解集为（ ） A ．()(),20,2-∞- B ．()()2,02,-+∞ C ．()2,2- D ．()(),22,-∞-+∞ 9.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为（ ）A ．48π+B ．843π+C ．483π+D ．483π+ 10.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，直线6x π=是它的一条对称轴，且2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是离该轴最近的一个对称中心，则ϕ=（ ） A ．4πB ．3πC ．2πD ．34π 11.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点(),0,F c O 为坐标原点，以F 为圆心，OF 为半径的圆与该双曲线的交点的横坐标为2c，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 1 12.已知函数()()5sin f x x x x R =+∈，且()()22430f x x f y -++≤，则当0y >时，y x x y+的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝B ．⎡⎢⎣C ．⎫+∞⎪⎪⎭D ．[)2,+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设复数z 满足2zi z=-，则z =____________． 14.函数()()sin 20y x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位后与sin 2y x =的图象重合，则ϕ= _________．15.已知非零向量,a b 的夹角为60°，且1,1a a b =-= ，则2a b +=____________． 16.已知函数()sin xf x e x =，若当x θ=时，()f x 取得极小值，则sin θ=___________． 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin sin sin B A C =．（1）若a =，求cos B ；（2）若060B =，且a =ABC ∆的面积．18.（本小题满分12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图3所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．（1）求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，n N ∈）的函数解析式； （2）求当天的利润不低于750元的概率． 19.（本小题满分12分）如图4，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是正方形，正三角形BCE 的边长为2，F DE =为线段CD 上一点，G 为线段BE 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面BCE ； （2）求三棱锥A EFG -的体积． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 与点Q 均在椭圆C 上，且,P Q 关于原点对称，问：椭圆上是否存在点M （点M 在一象限），使得PQM ∆为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 21.（本小题满分12分）已知函数()()()2,xf x eg x x ax a a R ==-+-∈，点,M N 分别在()(),f x g x 的图象上．（1）若函数()f x 在0x =处的切线恰好与()g x 相切，求a 的值；（2）若点,M N 的横坐标均为x ，记()h x OM ON = ，当0x =时，函数()h x 取得极大值，求a 的范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图5，在ABC ∆中，090ABC ∠=，以AB 为直径的圆交AC 于点E ，过点E 作圆O 的切线交BC 于点F ．（1）求证：2BC EF =；（2）若3CE OA =，求EFB ∠的大小． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线C ． （1）写出曲线C 的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴坐标建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，若,P Q 分别为曲线C 和直线l 上的一点，求,P Q 的最近距离． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()12f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式()0f x >，在[]2,3x ∈上恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题 三、解答题17.解：（1）22sin sin sin B A C bac =⇒=①， 又a =②，由①②知c =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 所以22222221232cos 224b b b ac b B ac b +-+-===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）知：2b ac =③，18. 解：（1）当17n ≥时，()1710050850y =⨯-=； 当16n ≤时，()505017100850y n n n =--=-．得()()()1008501685017n n y n N n -≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （2）设当天的利润不低于750元为事件A ，由（2）得“利润不低于750元”等价于“需求量不低于16个”，则()0.7P A =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.（1）证明：由题意2,DC EC ED ===所以222DC EC ED +=，所以DC EC ⊥①， 又因为四边形ABCD 是正方形，所以DC BC ⊥② ， 由①②得DC ⊥平面BCE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又因为DC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面BCE BC =， 所以平面ABCD ⊥平面BCE ． （2）解：过E 作EH BC ⊥于H ，由（1）可知EH ⊥平面ABCD，EH = 由题意122ADF S AB AD ∆== ，所以111223A EFG E AFG E ABF ABF V V V S EH ---===⨯⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）由题意222221314a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b ==， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由题意知直线PQ 经过坐标原点O ，假设存在符合条件的点M ，则直线OM 的斜率存在且大于零，OM ⊥①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设直线OM 的斜率为k ，则直线:OM y kx =，联立方程组2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得M M x y ==所以OM =②，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 同理可得直线PQ的方程为1,y x OP k =-=③．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分将②③代入①式得=，化简得21110k -=，所以k =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以M M x y ==，综上所述，存在符合条件的点M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.（1）解：()xf x e '= ，∴在0x =即切点为()0,1处的切线斜率()01k f '==，即切线为1y x =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴联立21y x y x ax a=+⎧⎨=-+-⎩，得()2110x a x a +-++=， 由相切得()()21410a a ∆=--+=，解得3a =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()()2,,,x M x e N x x ax a -+-， ∴()()22x h x x e x ax a =--+，∴()()()22222x xh x x e x a x x e x a '⎡⎤⎡⎤=-+-=-+--⎣⎦⎣⎦，由()h x 取得极值，则0x =或()220xe x a +--=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴22x a x e =+-，令()22xF x x e =+-，该函数在R 上单调递增， ∴存在唯一的0x R ∈，使得()0F x a =， ①若00x >，则此时0x =时为极小值； ②若00x =，则此时0x =时无极小值； ③若00x <，则此时0x =时为极大值，综上所述必须，()000,x a F x <=，而()F x 在R 上单调递增， 故()()000a F x F =<=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.（1）证明：由题意可知，,FB FE 均为圆O 的切线， 所以FB EF =，连接,BE OE ，易知090AEB OEF ∠=∠=， 所以090FEC OEA FEC OAC ∠+∠=∠+∠=， 又090OAC ACB ∠+∠=，所以FEC ACB ∠=∠，所以EF FC =，所以2BC BF FC EF EF EF =+=+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）解：不妨设1OA =，则3,2CE AB ==，在Rt ABC ∆中，由射影定理可知，2AB AE AC = ，()223AE AE =+ ，所以1AE =，∴4AC =，所以1sin 2AB ACB AC ∠==，所以030ACB ∠=，由（1）可知，030FEC ∠=，∴060EFB ∠=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.解：（1）设()11,x y 为圆上一点，在已知变换下C 上的点(),x y ，依题意112x x y y =⎧⎨=⎩，由22111x y +=得2212x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2214x y +=，故C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程：sin 44y x πρθ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭， 设()2cos ,sin P θθ，设点P 到l 的距离为d ，d ≥=，其中sin ϕϕ==，取等时2πθϕ+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.解：（1）∵()1,11211a f x x x =>⇔--+>，()()()1111121112111211x x x x x x x x x ⎧⎧≤--<≤>⎧⎪⎪⇔⎨⎨⎨-+++>-+-+>--+>⎪⎩⎪⎩⎩或或 22211233x x x ⇔-<≤--<<-⇔-<<-或，∴解集为22,3⎛⎫--⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()0f x >在[]2,3x ∈上恒成立120x x a ⇔--+>在[]2,3x ∈上恒成立2211221x a x x x a x ⇔+<-⇔-<+<-1321x a x ⇔-<<--在[]2,3x ∈上恒成立，()()max min 1321524522x a x a a ⇔-<<--⇔-<<-⇔-<<- ∴a 的范围为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

重庆市第八中学2017届高考适应性月考卷（八）文科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，∴，故选A．2. 若是实数，是虚数单位，且，则（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】∴故选B．3. 已知数列是递增的等比数列，，，则（）A. B. C. 42 D. 84【答案】D【解析】由得（舍去），∴，故选D．4. 若圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于两点，且，则圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设中点为，则∴故选C．5. 田忌与齐五赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将田忌的上中下三个等次马分别记为A，B，C，齐王的上中下三个等次马分别记为a，b，c，从双方各选一匹比赛的所有可能有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9种，齐王马获胜有Aa，Ab，Ac，Bb，Bc，Cc，故齐王马获胜的概率为，故选A．6. 运行如图所示的程序框图，若输出的结果为26，则判断框内的条件可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次进入循环后，判断条件为否，再次进入循环，所以选项B，D错误；第二次，，判断条件为否，继续循环；第三次，，判断条件为否，继续循环；第四次，，判断条件为是，跳出循环，输出，故选C．7. 设是双曲线（）的左焦点，在双曲线的右支上，且的中点恰为该双曲线的虚轴的一个端点，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记该虚轴端点为，右焦点为，由题意可知，所以轴且，又，所以化简得，所以渐近线方程为，故选B．8. 函数（）的图象如图所示，将的图象向右平移个单位得到的图象关于轴对称，则正数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由图可知，，故，由于为五点作图的第二点，则，解得，所以，由，故选C．9. 如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，该几何体的直观图为四棱锥，平面平面，，故选A．点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．10. 如图，一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和（），不考虑树的粗细，现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】可得故选B．11. 已知三棱锥的顶点都在半径为3的球面上，是球心，，则三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当平面AOB时，三棱锥的体积取最大值，此时，故选D．点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.12. 已知函数，，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意存在使得等价于存在使，令，即求在上的值域．，当时，，单调递减，当时，，单调递增．又，，所以在上的值域为，所以实数的取值范围是，故选B．点睛：已知函数有零点求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，则__________．【答案】【解析】由知．14. 已知满足，则的最小值为__________．【答案】2【解析】如图可知，在点A(0，2)处取最小值．点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15. 如图，这是一个正八边形的序列，则第个图形的边数（不包含内部的边）是__________．【答案】【解析】第个图形共有个正八边形，共有8条边，又内部有条边（重合算两条），所以共有条边．16. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是该椭圆上的动点，当的周长最大时，的面积为__________．【答案】【解析】(其中F1为左焦点)，当且仅当，F1，P三点共线时取等号，此时，所以．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知锐角的三个内角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）运用三角形的余弦定理，可得sinC，可得角C；（2）运用正弦定理和两角差的正余弦公式，结合函数的单调性，即可得到所求范围．试题解析：（1）由余弦定理，可得，所以，所以，又，所以．（2）由正弦定理，，所以，因为是锐角三角形，所以得，所以，，即．18. 王府井百货分店今年春节期间，消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）判断变量与之间是正相关还是负相关；（3）若该活动只持续10天，估计共有多少名顾客参加抽奖．参与公式：，，．【答案】（1）；（2）正相关；（3）140人.【解析】试题分析：（1）利用和的公式求解回归方程即可；（2）由散点的趋势可判断正相关；（3）用回归方程估计即可.试题解析：（1）依题意：，，，，则关于的线性回归方程为．（2）正相关．（3）预测时，，时，，时，，此次活动参加抽奖的人数约为人．19. 如图所示，边长为2的正三角形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，为棱的中点．（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积．．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证直线平面，只需证得和即可；（2）由三棱锥的等体积计算.试题解析：（1）证明：如图3，取中点,连接，因为为中点，所以平行且等于,又平行且等于，所以平行且等于,所以四边形为平行四边形，所以；因为为正三角形，点为中点，所以，从而；又平面平面，，平面平面∴平面∴，∴平面．（2）解：20. 已知抛物线（），过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且，（1）求抛物线的方程；（2）已知动点的圆心在抛物线上，且过点，若动圆与轴交于两点，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设直线与抛物线联立方程组，利用韦达定理得到x1+x2=2p，y1+y2=3p，通过|MN|=y1+y2+p=4p=16，求出p，即可求出抛物线C的方程．（2）设动圆圆心，得，求的表达式，推出x0的范围，然后求解的最小值.试题解析：（1）：联立，设，则又因为直线过焦点，则，所以该抛物线的方程为：．（2）设，由于圆过点，则圆P的方程为：，令，则．由对称性，，不妨，则．故由于，故，（时取等）所以的最小值为．21. 已知，．（1）求在点处的切线；（2）讨论的单调性；（3）当，时，求证：．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，求出在处的导数值，即为切线斜率，代入直线方程的点斜式求得切线方程；（2）求出原函数的导函数，可得当时导函数在定义域内大于0恒成立，当a＜0时求出导函数的零点，由零点对函数的定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到函数的单调区间；（3）令，求其导函数，得到，故，从而证得答案．试题解析：（1），故在处的切线为．（2）；①当时，恒成立，则在上单调递增，②当时，在上单调递减，在上单调递增．（3）先证明：时，，令，则时，，单调递减，故，即．故，令则（），而，故在上单调递减，在上单调递增，，由于，故，所以在内恒成立，故在内单调递增，，所以，故问题得证．点睛：导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略利用导数证明不等式：①证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)；②证明f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x).请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标为，且直线（为参数）与曲线交于不同两点．（1）求实数的取值范围；（2）设点，若，求实数的值．【答案】（1）；（2）1.【解析】试题分析：（1）由题意知圆心到直线的距离，求解的范围；（2）根据直线的参数方程的参数的意义可得，即可求解的值.试题解析：（1）直线：，曲线：，圆心．由题意知圆心到直线的距离，解得．（2）联立直线：与圆：，得所以，解得或（舍）或（舍）．综上，实数的值为．23. 选修4-5：不等式选讲设函数的定义域为．（1）求集合；（2）设，证明：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）将不等式平方因式分解即可证得.试题解析：（1）解：，当时，，解得，当时，恒成立，当时，，解得，综上定义域．（2）证明：原不等式．由得，，原不等式得证．点睛：含绝对值不等式的解法由两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向。

重庆市第八中学2017届高三上学期第二次适应性考试文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.命题“若1x y +=，则1xy ≤”的否命题是（ ) A ．若1x y +=，则1xy > B ．若1x y +≠，则1xy ≤ C ．若1x y +≠，则1xy > D ．若1xy >，则1x y +≠【答案】C考点:四种命题及其相互关系。

2。

已知1sin 3α=,则cos 2α=（ ) A ．79 B ．79-C ．73D ．73-【答案】A 【解析】试题分析：227cos 212sin 199αα=-=-=。

考点：同角三角函数关系，二倍角公式.【易错点晴】应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．三角函数式的化简要遵循“三看”原则:(1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3）三看“结构特征",分析结构特征，找到变形的方向．3。

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,36S =，3410a a +=，则7a =( ) A ．12B ．9C ．10D ．11【答案】A 【解析】试题分析：根据基本元的思想，有113362510a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩,71612a a d =+=．考点：等差数列的基本性质.4。

若x ，y 满足约束条件20,40,2,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为（ )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A 【解析】试题分析:画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点()2,2取得最大值为6.考点：线性规划。

重庆市第八中学2017届高考适应性月考卷（七）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，(){1,3}U AB =ð,{2,4}U A B =ð,则集合B =（ ） A ．{2,3} B ．{5,6}C ．{3,5}D ．{4,6} 2.设复数z 满足2(1)(1)z i i i +=+⋅-，则i =（ ）A ．22i -B ．22i +C ．22i -+D ．22i --3.从区间[-4，4]中任取一个数，则该数能使函数2()ln(9)f x x =-有意义的概率为（ ） A ．14 B ． 34C ．18D ．384.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c =，且s i n A C =，则c o s C =（ ）A ．8 B ． 34 C. 8D ．585.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过椭圆2221(04)16x y b b+=<<的一个顶点，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A ．4B ．8 C.16 D ．326.下列函数满足对定义域内的任意x 都有()()0f x f x -+=的是（ ）A ．xy e = B ．21y x =C. 1y x x=+ D ．cos y x = 7.若01,0a b c <<<>，且1c ≠，则（ ） A ．11c c ab --< B ．log log a bc c < C. 22a b a b ⋅<⋅D ．ln ln c a c b ⋅>⋅ 8.函数x xy e=的图象大致为（ ）A ．B ． C.D ．9.如图所示的程序框图的算符源于我国古代的“中国剩余定理”，用()mod N n m ≡表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如：()71mod3≡，执行该程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．19B ．20 C.21 D ．2210.如图，某几何体的三视图中，正视图和左视图均由边长为1的正三角形构成，俯视图由半径为1和12的两个同心圆组成，则该几何体的体积为（ ）A B D ． 11.三棱锥的体积为83，PA ⊥底面ABC ，且ABC ∆的面积为4，三边,,AB BC CA 的乘积为16，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8π C. 16π D ．32π12.设函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x +=-，且当[]0,4x ∈时，()243f x x x =-+，若函数()()g x f x kx =-在[0，8]上有7个零点，则实数k 的值是（ ） A．12-．4-38 D ．34第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量,a b ，若向量2a b -与b 垂直，则向量a 与b 的夹角为 ． 14.已知2sin 33A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．15.设不等式组30,230,1x y x y x +-<⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，表示的平面区域为1Ω，直线()3y k x =-分平面区域1Ω为面积相等的两部分，则k = ．16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，点P 在双曲线C 的左支上，若直线FP 与圆222:39c b E x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点M 且2PM MF =，则双曲线C 的离心率值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在正项等比数列{}n a 中，1241,81a a a ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设lg n n b a =，求数列{}n b 的前10项和.18. 已知三棱锥B ADC -中，,1AB BC AB BC ⊥=，如图.（Ⅰ）请在答题卡第18题图中作平面BOH 交AC 于O 点，交DC 于H 点，并且平面BOH AC ⊥（说明作法及理由）；（Ⅱ）在满足（Ⅰ）的前提下，又有1,602OH BO BOH =∠=︒，求三棱锥B AHC -的体积.19. 某商店会员活动日.（Ⅰ）随机抽取50名会员对商场进行综合评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60）,…,[80,90），[90,100].（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计会员对商场的评分不低于80的概率.（Ⅱ）采取摸球兑奖的方式对会员进行返代金券活动，每位会员从一个装有5个标有面值的球（2个所标的面值为300元，其余3个均为100元）的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该会员所获的代金券金额.求某会员所获得奖励超过400元的概率.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下、上焦点分别为12,F F ，离心率为12，点M 在椭圆C 上，12MF MF ⊥且12MF F ∆的面积为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过2F 且不垂直于坐标轴的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，点D 是线段2OF 上不与坐标原点O 重合的动点，若()0DA DB AB +⋅=，求OD 的取值范围. 21. 已知函数()()()()1ln 1ln 1f x c x x c c =---≠.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设1c >，证明：当()1,x c ∈时，()0f x >.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知圆()()221:228C x y -+-=和直线:0l x y =. （Ⅰ）求1C 的参数方程以及圆1C 上距离直线l 最远的点P 坐标；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，将圆1C 上除点O 以外所有点绕着O 逆时针旋转3π得到曲线2C ，求曲线2C 的极坐标方程. 23.选修4-5：不等式选讲 已知()123f x x x =++-. （Ⅰ）解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()f x m ≤有解，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BBBAB 6-10: CCBDA 11、12：BA二、填空题13. 60︒ 14. 19-15. 14-三、解答题17.解：（Ⅰ）依题意有：224381a a a ==，解得：39a =， 于是：29,3q q ==（舍负），于是：数列{}n a 的通项公式是13n n a -=. （Ⅱ）依题意有：()1lg31lg3n n b n -==-，于是()10lg3012945lg3S =++++=.18.解：（Ⅰ）如图，作BO AC ⊥，垂足为O ，又作OH AC ⊥，垂足为O ，交DC 于点H ，则平面BOH 即为所求.因为,,AC BO AC HO AC BO HO O ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩平面BOH .（Ⅱ）易得BO OH ==，由60BOH ∠=︒，则1sin 602BOH S BO HO ∆=⋅⋅︒=， 又有（Ⅰ）中AC ⊥平面BOH ，所以1316B ADC BOH V S AC -∆=⋅=. 法二：也可由1,602OH BO BOH =∠=︒得到BH OH ⊥，进而BH ⊥平面ADC ，将BH 视作高，AHC ∆视作底求体积.19.解：（Ⅰ）（1）由()0.0040.0180.02220.028101a +++⨯+⨯=得：0.006a =. （2）由所给频率分布直方图知，50名会员评分不低于80的频率为()0.0220.018100.4+⨯=，所以会员对商场评分不低于80的概率为0.4.（Ⅱ）记两个面值为300的球为12,a a ，三和面值为100的球为123,,b b b ，从这5个球中随机抽取2个，所有可能的结果只有10种，分别是{}{}{}{}{}{}121112132122,,,,,,a a a b a b a b a b a b {}{}{}231213,,,a b b b b b {}23,b b ，又因为所抽取的面值超过400的结果只有一种，故所求的概率为110. 20. 解：（Ⅰ）依据题意有()12222122222,2,MF MF a MF MF c a b c ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩2122MF MF b ⇒⋅=，所以1221222213,21,2MF F S MF MF b c e a a b c∆⎧==⋅=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩222=4=31a b c ⎧⎪⇒⇒⎨⎪=⎩，，椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）设()()0,01D m m <≤，令()()()1122:10,,,l y kx k A x y B x y =+≠.联立221,34120y kx y x =+⎧⎨+-=⎩()2234690k x kx ⇒++-=1226,340.k x x k k R ⎧+=-⎪⇒+⎨⎪∆>⇒∈⎩， 则()212122268223434k y y k x x k k +=++=-+=++.()0DA DB AB DA DB +⋅=⇒=.法一：()0AB DA DB ⋅+=⇒()()12121,,20k x x y ym ⋅++-=，即()22681,,203434k k m k k ⎛⎫⋅--= ⎪++⎝⎭()22110344m k k ⇒=<>+， 又01m <≤，可得：104m <<. 法二：22DA DB DA DB =⇒=⇒()()22221122x y m x y m +-=+-()()222221210x x y m y m ⇒=-+---()()()()212121212x x x x y y y y m =-⋅++-⋅+-212121212y y x x k x x y y m -+⇒==-=-+-226348234k k m k -+--+ ()22110344m k k ⇒=<>+.又01m <≤，可得：104m <<.21. （Ⅰ）解：()f x 定义域为()0,,0c +∞>，()()1ln 1ln c x c c f x c x x---'=-=， 由()0f x '=可得1ln c x c-=.①当01c <<时，10,ln 0c c -<<，∴10ln c c->. 由于()10,0ln c x f x c -'<<<，()1,0ln c x f x c-'>>， 所以()f x 在10,ln c c -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；在1,ln c c -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. ②当1c >时，10,ln 0c c ->>，∴10ln c c->. 由于()10,0ln c x f x c -'<<>，()1,0ln c x f x c-'><， 所以()f x 在10,ln c c -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；在1,ln c c -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1c >时，()f x 在10,ln c c -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,ln c c -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，因此需讨论1ln c c-与1，c 的大小关系， 令()()ln 11g x x x x =-+>， 则()1110x g x x x-'=-=<， 所以()g x 在()1,+∞递减，所以()()1101ln x g x g x -<=⇒>，即11ln c c->. 令()ln 1h x x x x =-+，则()1ln 10h x x '=+->，所以()h x 在()1,+∞递增， 所以1ln c c c-<. 故11ln c c c -<<，因此()f x 在11,ln c c -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,ln c c c -⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又()()10f f c ==，所以()0f x >.22.（Ⅰ）1C的参数方程为12,:2,x C y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数，[0,2)απ∈）易得直线l 与圆1C 均过坐标原点，且直线l 的倾斜角为120︒， 所以当30α=︒时，圆1C 上的点距离直线l 最远， 所以点P的坐标为(2P +.（Ⅱ）由1C ()()221:228x y -+-=可得1C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 设1C 上除极点外的某一点1P 的极坐标为()1,P ρθ，旋转后成为()2,P ρθ''， 由==3ρρπθθ'⎧⎪⎨'+⎪⎩，，由相关点法，回代入4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可得2C的极坐标方程为4312πππρθθ⎛⎫⎛⎫'''+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 23.解：（Ⅰ）()32,1,31234,1,2332,,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=++-=-+-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩则()[]40,2f x x ≤⇒∈.（Ⅱ）由()f x m ≤有解，故()min m f x ≥，又()55[,)22f x m ∈+∞⇒≥.。

2017-2018学年 文数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|log 4}A x x =<，集合{|||2}B x x =≤，则A B = （ ） A ．(0,2] B ．[0,2] C ．[2,2]- D ．(2,2)-2.已知复数1z i =-+，则复数32z z ++的模为（ ）A D ．2 3.已知向量a b ，均为非零向量(2)a b a -⊥ ，(2)b a b -⊥，则a b ，的夹角为（ ）A ．6πB ．23π C ．3π D ．56π 4.等差数列{}n a 中，34a =，前11项和11110S =，则9a =（ ） A ．10 B ．12 C. 14 D ．165.圆22420x y x y a ++-+=截直线50x y ++=所得弦的长度为2，则实数a =（ ） A ．-4 B ．-2 C.4 D ．26.某家具厂的原材料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为8y x b =+ ，则b 为（ ）A ．5B ．15 C. 10 D ．207.某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．3024B ． 1007 C. 2015 D ．2016 8.给出下列四个结论：①已知直线1:10l ax y ++=，22:0l x ay a ++=，则12//l l 的充要条件为1a =±；②函数()cos f x x x ωω=+满足()()2f x f x π+=-，则函数()f x 的一个对称中心为(,0)6π；③已知平面α和两条不同的直线,a b ，满足b α⊂，//a b ，则//a α； ④函数1()ln f x x x=+的单调区间为(0,1)(1,)+∞ . 其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3 C. 2 D ．09.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．8++B ．8++C.8+ D．8+10.已知()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数2(2)(2)y f x f x m =++--只有一个零点，则函数4()(1)1g x mx x x =+>-的最小值是（ ） A ．3 B ．-3 C. 5 D ．-511.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，2AB AD CD ===，BD =，BD CD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，则球O 的体积为（ ）A． BD ．2π 12.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B F ，为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]124ππα∈，则该椭圆离心率的最大值为（ ）A ．1 BD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x y ，满足条件3560231500x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为________.14.()f x 是定义在R 上的函数，且满足1(2)()f x f x +=-，当23x ≤≤时，()f x x =，则11()12f -=___________. 15.已知sin α=，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2παβ∈，则sin()αβ-的值等于__________.16.已知曲线221y x b a-=（0a b ≠ 且a b ≠）与直线20x y +-=相交于P Q ，两点，且0OP OQ = ，则（O 为原点），则11b a-的值为_____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）如图3所示，在四边形ABCD 中，1AD =，3CD =，AC =，cos B =（I ）求ACD ∆的面积；（II ）若BC =，求AB 的长． 18. （本小题满分12分）2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元．为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．（I ）先求出x y p q ，，，的值，再将如图4所示的频率分布直方图绘制完整；（II ）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）如图5，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠= ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．（I ）证明：AE ⊥平面PAD ；（II ）取2AB =，在线段PD 上是否存在点H ，使得EH 与平面PAD 所成最大角的正切H 点的位置；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，抛物线2:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为52，C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，直线1l 经过点Q 且垂直于x 轴． （I ）求线段OQ 的长；（II ）设不经过点P 和Q 的动直线2:l x my b =+交C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线PA PE PB ，，的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由．21．（本小题满分12分）已知2()ln f x x ax x =-+，a R ∈．（I ）若0a =，求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）若函数()f x 在1[,1]2上是增函数，求实数a 的取值范围；（III ）令2()()g x x f x =-，(0,]x e ∈（e 是自然对数的底数），求当实数a 等于多少时，可以使函数()g x 取得最小值为3．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图6，O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交O 于点N ，过点N 的切线交CA 的延长线于点P.（I ）求证：2PM PA PC = ；（II ）若O的半径为OA OM =，求MN 的长． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线:2cos C p θ=，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标轴伸长到原来的2倍，得到曲线1C，又已知直线cos ,3:sin 3x t l y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），且直线l 与曲线1C 交于A B ，两点．（I ）求曲线1C 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（II ）设定点P ，求11||||PA PB +． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =+．（I ）求不等式()1(2)f x f x +<的解集M ； （II ）设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--．文科数学参考答案一、选择题1-5:ABCDA 6-10:CADBC 11、12：AB 二、填空题13.92 14.52 16.12三、解答题17．（本小题满分12分）解：（I ）如图2，因为1AD =，3CD =，AC =所以2221cos 23AD CD AC D AD CD +-==--.………………2分因为(0,)D π∈，所以sin D ==………………4分 因为1AD =，3CD =，所以ACD ∆的面积11sin 1322S AD CD D ==⨯⨯ ………………6分（II ）AC =BC =， ∴2ACB B π∠=-. ∵sin sin AC ABB ACB=∠，………………8分所以网购金额在[2500,3000]的频率为0.40.30.1-=， 即0.1q =，且1000.110y =⨯=，从而15x = ，0.15p =，相应的频率分布直方图如图3所示：…………………………………………………………5分 （II ）相应的22⨯列联表为：由公式222()100(3520405) 5.56()()()()40607525n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯， (10)分因为5.56 5.024>，所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关.……………………12分 19．（本小题满分12分）（I ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠= ，可得ABC ∆为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥.………………3分 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以PA AE ⊥.而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，PA AD A = ， 所以AE ⊥平面PAD .………………6分（II ）解：设线段PD 上存在一点H ，连接AH ，EH . 由（I ）知，AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角.………………8分在Rt EAH ∆中，AE =所以当AH 最短时，即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大，此时tan AE EHA AH ∠===AH =………………11分 所以，线段PD 上存在点H ，当DH =时，使得EH 与平面PAD ………………12分20．（本小题满分12分）解：（I ）由抛物线2:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为52， 得5242n +=，2n =， 抛物线C 的方程为22y x =，(2,2)P .………………2分C在第一象限的图象对应的函数解析式为y =，则'y =故C 在点P 处的切线斜率为12，切线的方程为12(2)2y x -=-， 令0y =得2x =-，所以点Q 的坐标为(2,0)-. 故线段OQ 的长为2.………………5分 （II ）2l 恒过定点(2,0)，理由如下：由题意可知1l 的方程为2x =-，因为2l 与1l 相交，故0m ≠. 由2:l x my b =+，令2x =-，得2b y m +=-，故2(2,)b E m+--. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22x my b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得：2220y my b --=， 则122y y m +=，122y y b =-.………………7分 直线PA 的斜率为1121112222222y y y x y --==-+-，同理直线PB 的斜率为222y +， 直线PE 的斜率为224b m ++. 因为直线PA PE PB ，，的斜率依次成等差数列，所以1222222212242b b m y y m++++=⨯=+++. 即1212121212122(4)42112()42()42y y y y b y y y y y y y y m++-+=+=+++++++.………………10分整理得：22222b b m b m++=-+， 因为2l 不经过点Q ，所以2b ≠-，所以222m b m -+=，即2b =.故2l 的方程为2x my =+，即2l 恒过定点(2,0).………………12分21．（本小题满分12分）解：（I ）当0a =时，2()ln f x x x =+，∴1'()2f x x x=+，∴'(1)3f =，(1)1f =， ∴函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为320x y --=.………………3分（II ）函数()f x 在1[,1]2上是增函数， ∴1'()20f x x a x =-+≥在1[,1]2上恒成立， 即12a x x ≤+在1[,1]2上恒成立.令1()2h x x x=+，则()h x ≥=，当且仅当x =时，取“=”号.∴a ≤∴a 的取值范围为(,-∞.………………6分（III ）∵()ln g x ax x =-，∴11'()ax g x a x x-=-=. （1）当0a ≤时，'()0g x <，∴()g x 在(0,]e 上单调递减，min ()()13g x g e ae ==-=，4a e=（舍去）.………………8分 （2）当0a >且1e a ≥时，10a e<≤，'()0g x <在(0,]e 上恒成立， ∴()g x 在(0,]e 上单调递减，∴min ()()13g x g e ae ==-=，，4a e=（舍去）. （3）当0a >且1e a <时，1a e >，令'()0g x <，则10x a <<，令'()0g x >，则1x e a<≤， ∴()g x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,]e a上单调递增， ∴min 1()()1ln 3g x g a a ==+=，∴2a e =满足条件.………………11分 综上所述，当实数2a e =时，使()ln g x ax x =-的最小值为3.………………12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲（I ）证明：连接ON ，∵PN 切O 于N ，∴90ONP ∠= ，∴90ONB BNP ∠+∠= .∵OB ON =，∴OBN ONB ∠=∠.∵OB AC ⊥于O ，∴90OBN BMO ∠+∠= ，故BNP BMO PMN ∠=∠=∠，PM PN =.∴22PM PN PA PC == .（II ）∵2OM =，BO =∴2)8BM MN CM MA ==+-= ，∵4BM =，∴2MN =.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）曲线C 的直角坐标方程为：222x y x +=，即22(1)1x y -+=， ∴曲线1C 的直角坐标方程为2214x y +=， ∴曲线1C表示焦点坐标为(，，长轴长为4的椭圆.………………4分（II）直线12:x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）将直线l 的方程代入曲线1C 的方程2214x y +=中， 得21312804t t ++=.设,A B 对应的参数方程为12,t t ， 则124813t t +=-，123213t t =， 结合t 的几何意义可知，1212121248||||||11||||31332||||||||||||213t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++===== .……………………10分 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（I ）解：()1(2)f x f x +<，即|1|1|21|x x ++<+.当1x ≤-时，原不等式可化为21x x -<--，解得1x <-，此时原不等式的解集为1x <-； 当112x -<<-时，原不等式可化为221x x +<--， 解得1x <-，此时原不等式无解； 当12x >-时，原不等式可化为221x x +<+， 解得1x >，此时原不等式的解集为1x >；综上， {|1M x x =<-或1}x >.………………5分（II ）证明：因为()()|1||1||1(1)|||f a f b a b a b a b --=+--+≤+--+=+， 所以，要证()()()f ab f a f b >--，只需证|1|||ab a b +>+，即证22|1|||ab a b +>+，即证2222212a b ab a ab b ++>++，即证222210a b a b --+>，即证22(1)(1)0a b -->.∵,a b M ∈，∴21a >，21b >，∴22(1)(1)0a b -->成立，所以原不等式成立.………………10分。