高考数学理科总复习训练题：——考前回扣6 Word版含答案

普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如果复数21iz =-+，则（ ） A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1 C ．2z =D ．z 的虚部为1-2．已知全集U =R ，集合{}2|60A x x x =--≤，(4)|0(1)x B x x ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭≤，那么集合()U A C B =I （ ）A ．[24)-，B ．(13]-，C ．[21]--，D ．[13]-，3．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1~1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ） A ．16B ．17C ．18D ．194．已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，点(),P x y 在抛物线C 上，且1x =，则PF =（ ） A ．98B ．32C ．178D ．525．函数1sin y x x=-的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．6．若不等式组1,3,220x y x y λ⎧⎪⎨⎪-+-⎩≤≤≥表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞B ．[]1,2C ．[]2,4D ．(2,)+∞7．假设你家订了一份牛奶，送奶人在早上6：30~7：30之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上7：00~8：00之间随机离家上学，则你在离家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81B ．85 C ．21 D ．87 8．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生()01，内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.119B ．3.126C ．3.132D ．3.1519．将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图像．若()()129g x g x =，且[]12,2π,2πx x ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A ．49π12B ．35π6C ．25π6D ．17π410．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．112π3C ．28π3D ．64π311．过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点2F ，若1132k <<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．2(,1)3C ．12(,)23D ．12(0,)(,1)23U12．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ）A ．21 B ．22 C ．223 D ．29 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2023年高考-数学（理科）考试历年常考点试题附带答案第1卷一.全考点押密题库(共35题)1.(单项选择题)(每题5.00 分) 若a为实数，且( 2 + a i ) ( a - 2 i ) = - 4 i ，则a =A. -1B. 0C. 1D. 22.(单项选择题)(每题5.00 分) (5+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为A. -80B. -40C. 40D. 803.(填空题)(每题5.00 分) a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形狀ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是（）.(填写所有正确结论的编号）4.(单项选择题)(每题5.00 分) 已知双曲线C:x2/3-y2=1，0为坐标原点，F为c的右点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N若△OMN为直角三角形，则IMNI=A.3/2B. 3C. 2√3D.45.(单项选择题)(每题5.00 分) 1+2i/1-2i=A. 4/5/3/5iB. 4/5+3/5iC. 3/5-4/5iD. 3/5+4/5i6.(单项选择题)(每题5.00 分) 已知集合A=(x,y)▏x2+y2≤3,x∈z,y∈z}，则A中元素的个数为{A. 9B. 8C. 5D. 47.(填空题)(每题5.00 分) 设Sn 是数列{ a n }的前n 项和，且a1 = -1 ，a n+1 = Sn S n+1 ，则Sn = _______ .8.(填空题)(每题5.00 分) 曲线.y=21n(x+1),在点（0，0）处的切线方程为________.9.(单项选择题)(每题5.00 分) 已知集合A=｛x∣x2-2x-3≥0｝,B=x∣-2≤x10.(填空题)(每题5.00 分) 已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_______?11.(单项选择题)(每题5.00 分) 函数f(x)在（-∞，+∞）单调递减，且为奇函数。

回扣数列.牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列等比数列 通项公式 ＝＋(－)＝－ (≠) 前项和 ＝＝＋()≠，＝＝ ()＝，＝.活用定理与结论()等差、等比数列{}的常用性质等差数列等比数列 性质 ①若，，，∈*，且＋＝＋，则＋＝＋②＝＋(－)③，－，－，…仍成等差数列①若，，，∈*，且＋＝＋，则·＝· ②＝－ ③，－，－，…仍成等比数列(≠)()判断等差数列的常用方法①定义法：＋－＝ (常数) (∈*)⇔{}是等差数列.②通项公式法：＝＋ (，为常数，∈*)⇔{}是等差数列.③中项公式法：＋＝＋＋ (∈*)⇔{}是等差数列.④前项和公式法：＝＋(，为常数，∈*)⇔{}是等差数列.()判断等比数列的三种常用方法①定义法：＝ (是不为的常数，∈*)⇔{}是等比数列.②通项公式法：＝ (，均是不为的常数，∈*)⇔{}是等比数列.③中项公式法：＝·＋(·＋·＋≠，∈*)⇔{}是等比数列..数列求和的常用方法()等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.()形如{·}(其中{}为等差数列，{}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.()通项公式形如＝(其中，，，为常数)用裂项相消法求和.()通项公式形如＝(－)·或＝·(－)(其中为常数，∈*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分为奇数、偶数两种情况讨论.()分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成＝＋形式的数列求和问题的方法，其中{ }与{}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.()并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求..已知数列的前项和求，易忽视＝的情形，直接用－－表示.事实上，当＝时，＝；当≥时，＝－－..易混淆几何平均数与等比中项，正数，的等比中项是±..等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{}与{}的前项和分别为和，已知＝，求时，无法正确赋值求解..易忽视等比数列中公比≠，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解..运用等比数列的前项和公式时，易忘记分类讨论.一定分＝和≠两种情况进行讨论..利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.。

回扣6立体几何1.概念理解(1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.(2)三视图①三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.②三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样.2.柱、锥、台、球体的表面积和体积3.平行、垂直关系的转化示意图(1)(2)线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直(3)两个结论①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 4.用向量求空间角(1)直线l 1，l 2夹角θ有cos θ＝|cos 〈l 1，l 2〉|(其中l 1，l 2分别是直线l 1，l 2的方向向量). (2)直线l 与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|(其中l 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量).(3)平面α，β夹角θ有cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|，则α—l —β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n 1，n 2分别是平面α，β的法向量).1.混淆“点A 在直线a 上”与“直线a 在平面α内”的数学符号关系，应表示为A ∈a ，a ⊂α.2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.3.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13.4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件.5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.6.几种角的范围两条异面直线所成的角0°<α≤90° 直线与平面所成的角0°≤α≤90° 二面角0°≤α≤180°两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90° 直线的倾斜角0°≤α<180° 两个向量的夹角0°≤α≤180°锐角0°<α<90°7.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.1.如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为2的等腰直角三角形，则这个多面体最长一条棱长为()A. 2B. 3C.2 3D.3 2答案 B解析由三视图可知，几何体是一个三棱锥，底面是一个斜边长为2的等腰直角三角形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度为1，这样在所有棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与底面的另一锐角顶点的侧棱最长，长度是12＋(2)2＝ 3.故选B.2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案 D解析在被截去的四棱锥的三条可见棱中，两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合.3.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.72 cm3B.90 cm3C.108 cm3D.138 cm3答案 B解析该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.V＝V三棱柱＋V长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3).4.直三棱柱ABC—A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是()A.AB1∥平面BDC1B.A1C⊥平面BDC1C.直三棱柱的体积V＝4D.直三棱柱的外接球的表面积为43π答案 D解析由三视图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC 是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.连接B1C交BC1于点O，连接OD.在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1.故A正确.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BD .又AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .∴BD ⊥A 1C . 又A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ， ∴A 1B 1⊥平面B 1C 1CB ，∴A 1B 1⊥BC 1.∵BC 1⊥B 1C ，且A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴BC 1⊥平面A 1B 1C . ∴BC 1⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面BDC 1.故B 正确. V ＝S △ABC ×C 1C ＝12×2×2×2＝4，∴C 正确.此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为12π，D 错误.故选D.5.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90° 答案 C解析 由中点M ，N 可知MN ∥AD 1，由△D 1AC 是正三角形可知∠D 1AC ＝60°，所以异面直线AC 和MN 所成的角为60°.6.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D.若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案 B7.已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝1，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________. 答案52π3解析 由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h ，则h ·34·12＝3⇒h ＝4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R 2＝22＋(33)2＝133，因此球的表面积等于4πR 2＝4π·133＝523π. 8.已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，E ，F ，G ，H 分别是棱AD ，BB ′，B ′C ′，DD ′中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB ′D ′平行的有________条.答案 6解析 如图，连接EG ，EH ，FG ，∵EH 綊FG ，∴EFGH 四点共面，由EG ∥AB ′，EH ∥AD ′，EG ∩EH ＝E ，AB ′∩AD ′＝A ， 可得平面EFGH 与平面AB ′D ′平行，∴符合条件的共有6条.9.α，β是两平面，AB ，CD 是两条线段，已知α∩β＝EF ，AB ⊥α于B ，CD ⊥α于D ，若增加一个条件，就能得出BD ⊥EF ，现有下列条件：①AC ⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF . 其中能成为增加条件的序号是________. 答案 ①③解析 由题意得，AB ∥CD ，∴A ，B ，C ，D 四点共面. ①中，∵AC ⊥β，EF ⊂β，∴AC ⊥EF ，又∵AB ⊥α，EF ⊂α， ∴AB ⊥EF ，∵AB ∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面ABCD ， 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥EF ，故①正确； ②中，由①可知，若BD ⊥EF 成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，可知面EF⊥AC，由①可知③正确；④中，仿照②的分析过程可知④错误，故填①③.10.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为60°. 错误的有________.(把你认为错误的序号全部写上)答案④解析①BD∥B1D1，利用线面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1；②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD；③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为45°，错误.11.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝3，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为________.答案π6解析如图，取AC中点F，连接FD，FB.则DF∥BE，DF＝BE，∴DE∥BF，∴BF与平面BB1C1C所成的角为所求的角，∵AB＝1，BC＝3，AC＝2，∴AB⊥BC，又AB⊥BB1，∴AB⊥平面BB1C1C，作GF∥AB交BC于点G，则GF⊥平面BB1C1C，∴∠FBG为直线BF与平面BB 1C 1C 所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6.12.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边长都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC ，答案不唯一) 解析 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， 又∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥BD ， 又AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥PC . ∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时， 即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .13.在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又P A ＝AB ＝4，∠CDA ＝120°，点N 在线段PB 上，且PN ＝ 2.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)求证：MN∥平面PDC；(3)求二面角A—PC—B的余弦值.(1)证明因为△ABC是正三角形，M是AC中点，所以BM⊥AC，即BD⊥AC，又因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，P A⊥BD，又P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，所以BD⊥PC.(2)证明在正三角形ABC中，BM＝23，在△ACD中，因为M为AC中点，DM⊥AC，，所以AD＝CD，又∠CDA＝120°，所以DM＝233所以BM∶MD＝3∶1，在等腰直角三角形P AB中，P A＝AB＝4，PB＝42，所以BN∶NP＝3∶1，BN∶NP＝BM∶MD，所以MN∥PD，又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC.(3)解因为∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°，所以AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所，0)，P(0，0，4).以B(4，0，0)，C(2，23，0)，D(0，433由(1)可知，DB→＝(4，－43，0)为平面P AC的一个法向量，3→＝(2，23，－4)，PB→＝(4，0，－4)，PC设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋23y －4z ＝0，4x －4z ＝0.令z ＝3，则平面PBC 的一个法向量为n ＝(3，3，3)， 设二面角A —PC —B 的大小为θ， 则cos θ＝n ·DB →|n ||DB →|＝77.所以二面角A —PC —B 的余弦值为77.。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！高考数学（理）总复习：导数的简单应用与定积分题型一 导数的几何意义及导数的运算 【题型要点解析】(1)曲线y ＝f (x )在点x ＝x 0处导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)，由此当f ′(x 0)存在时，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)过P 点的切线方程的切点坐标的求解步骤：①设出切点坐标；①表示出切线方程；①已知点P 在切线上，代入求得切点坐标的横坐标，从而求得切点坐标．(3)①分式函数的求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；①对数函数的求导，可先化为和、差的形式；①三角函数的求导，先利用三角函数的公式转化为和或差的形式；①复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导．所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导．例1．函数f (x )＝14 ln x ＋x 2－bx ＋a (b >0，a ①R )的图象在点(b ，f (b ))处的切线的倾斜角为α，则倾斜角α 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ,43 【解析】】 依题意得f ′(x )＝14x ＋2x －b ，f ′(b )＝14b＋b ≥214b ·b ＝1(b >0)，当且仅当14b＝b >0，即b ＝12时取等号，因此有tan α≥1，即π4≤α<π2，即倾斜角α 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,4ππ，选B.【答案】 B例2．若实数a ，b ，c ，d 满足(b ＋a 2－3ln a )2＋(c －d ＋2)2＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．8【解析】 因为实数a ，b ，c ，d 满足(b ＋a 2－3ln a )2＋(c －d ＋2)2＝0，所以b ＋a 2－3ln a ＝0，设b ＝y ，a ＝x ，则有y ＝3ln x －x 2，由c －d ＋2＝0，设d ＝y ，c ＝x ，则有y ＝x ＋2，所以(a －c )2＋(b －d )2就是曲线y ＝3ln x －x 2与直线y ＝x ＋2之间的最小距离的平方值，对曲线y ＝3ln x －x 2求导：y ′＝3x －2x 与平行y ＝x ＋2平行的切线斜率k ＝1＝3x －2x ，解得x ＝1或x ＝－32(舍去)，把x ＝1代入y ＝3ln x －x 2，解得y ＝－1，即切点(1，－1)，则切点到直线y ＝x ＋2的距离为L ＝|1＋1＋2|2＝22，所以L 2＝8，即(a －c )2＋(b －d )2的最小值为8，故选D.【答案】 D题组训练一 导数的几何意义及导数的运算1．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝( )A ．1 B.12C ．1－ln 2D ．1－2ln 2【解析】 对于函数y ＝ln x ＋2，切点为(r ，s )，y ′＝1x ，k ＝1r ，对于函数y ＝ln (x ＋1)，切点为(p ，q )，y ′＝1x ＋1，k ＝1p ＋1，1r ＝1p ＋1①r ＝p ＋1， 斜率k ＝1r ＝1p ＋1＝q －s p －r ＝(ln r ＋2)－ln (p ＋1)r －p ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2r ＝12，p ＝－12，s ＝ln r ＋2＝ln 12＋2＝2－ln 2，s ＝q ＋2代入y ＝2x ＋b,2－ln 2＝2×(12)＋b ，得：b ＝1－ln 2.【答案】 C2．在直角坐标系xOy 中，设P 是双曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A 、B 两点，则以下结论正确的是( )A ．①OAB 的面积为定值2 B ．①OAB 的面积有最小值为3C ．①OAB 的面积有最大值为4D ．①OAB 的面积的取值范围是[3,4]【解析】 设P 是双曲线xy ＝1上任意一点，其坐标为P (x 0，y 0)，经过P 点的切线方程为y ＝kx ＋b .双曲线化为y ＝1x 形式，y 对x 的导数为y ′＝－1x2，在P 点处导数为－1x 20，切线方程为(y －y 0)＝－1x 20(x －x 0)，令x ＝0，y ＝y 0＋1x 0＝x 0·y 0＋1x 0＝2x 0＝2y 0，(其中x 0·y 0＝1)，则切线在y 轴截距为2y 0，令y ＝0，x ＝2x 0，则切线在x 轴截距为2x 0，设切线与两坐标轴相交于A 、B 两点构成的三角形为OAB .S ①OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·|2y 0|＝2|x 0·y 0|＝2，故切线与两坐标轴构成的三角形面积定值为2.【答案】 A题型二 利用导数研究函数的单调性 【题型要点解析】求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． 【提醒】 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．例1.已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x ，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)f ′(x )＝2x －2x，令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1，所以f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)， 单调递减区间是(0,1)．(2)由题意g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x ，g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x －2x 2.①φ(x )在[1，＋∞)上单调递减，①φ(x )max ＝φ(1)＝0， ①a ≥0；若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ①实数a 的取值范围为[0，＋∞)．题组训练二 利用导数研究函数的单调性 设函数f (x )＝3x 2＋ax e x(a ①R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 【解析】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x(e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x .令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,29 题型三 利用导数研究函数的极值(最值)问题 【题型要点解析】(1)利用导数研究函数的极值的一般思想：①求定义域；①求导数f ′(x )；①解方程f ′(x )＝0，研究极值情况；①确定f ′(x 0)＝0时x 0左右的符号，定极值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；①将函数y ＝f (x )的极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(3)当极值点和给定的自变量范围关系不明确时，需要分类求解，在求最值时，若极值点的函数值与区间端点的函数值大小不确定时需分类求解．例1.设函数G (x )＝x ln x ＋(1－x )·ln (1－x )． (1)求G (x )的最小值；(2)记G (x )的最小值为c ，已知函数f (x )＝2a ·e x ＋c ＋a ＋1x －2(a ＋1)(a >0)，若对于任意的x ①(0，＋∞)，恒有f (x )≥0成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由已知得0<x <1，G ′(x )＝ln x －ln (1－x )＝lnx 1－x.令G ′(x )<0，得0<x <12；令G ′(x )>0，得12<x <1，所以G (x )的单调减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，单调增区间为⎪⎭⎫⎝⎛1,21.从而G (x )min ＝G ⎪⎭⎫⎝⎛21＝ln 12＝－ln 2.(2)由(1)中c ＝－ln 2，得f (x )＝a ·e x＋a ＋1x －2(a ＋1)．所以f ′(x )＝ax 2·e x －(a ＋1)x 2.令g (x )＝ax 2·e x －(a ＋1)，则g ′(x )＝ax (2＋x )e x >0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 因为g (0)＝－(a ＋1)，且当x →＋∞时，g (x )>0，所以存在x 0①(0，＋∞)，使g (x 0)＝0，且f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．因为g (x 0)＝ax 20·e x 0－(a ＋1)＝0，所以ax 20·e x 0＝a ＋1，即a ·e x 0＝a ＋1x 20，因为对于任意的x ①(0，＋∞)，恒有f (x )≥0成立，所以f (x )min ＝f (x 0)＝a ·e x 0＋a ＋1x 0－2(a ＋1)≥0，所以a ＋1x 20＋a ＋1x 0－2(a ＋1)≥0，即1x 20＋1x 0－2≥0，即2x 20－x 0－1≤0， 所以－12≤x 0≤1.因为ax 20·e x 0＝a ＋1，所以x 20·e x 0＝a ＋1a >1.又x 0>0，所以0<x 0≤1，从而x 20·e x 0≤e ，所以1<a ＋1a ≤e ，故a ≥1e －1. 题组训练三 利用导数研究函数的极值(最值)问题已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 【解】 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －ce x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0，所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋ce －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x .因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e －5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.题型四 定积分 【题型要点解析】(1)求简单定积分最根本的方法就是根据微积分定理找到被积函数的原函数，其一般步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；①利用定积分的性质把所求定积分化为若干个定积分的和或差；①分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；①利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；①计算所求定积分的值．有些特殊函数可根据其几何意义，求其围成的几何图形的面积，即其对应的定积分．(2)求由函数图象或解析几何中曲线围成的曲边图形的面积，一般转化为定积分的计算与应用，但一定找准积分上限、积分下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决，其一般步骤：①画出图形，确定图形范围；①解方程组求出图形交点范围，确定积分上、下限；①确定被积函数，注意分清函数图象的上、下位置；①计算下积分，求出平面图形的面积．例1．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ①[－1，1)x 2－1，x ①[1，2]，则⎰-21f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 【解析】 ⎰-21f (x )d x ＝⎰-211－x 2d x ＋⎰-21(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 331⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A.【答案】 A例2．⎰1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212x x d x ＝________.【解析】⎰1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-212x x d x ＝⎰101－x 2d x ＋⎰112x d x ，⎰112x d x ＝14，⎰11－x 2d x表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.【答案】π＋14例3．由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( )A ．3B.103C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，结合图形可知，所求的面积为⎰1(x 2＋1)d x ＋12×22＝⎪⎭⎫⎝⎛+x x 331|10＋2＝103，选B. 【答案】 B 题组训练四 定积分1．已知1sin φ＋1cos φ＝22，若φ①⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，则⎰-ϕtan 1(x 2－2x )d x ＝( )A.13 B ．－13C.23D ．－23【解析】 依题意，1sin φ＋1cos φ＝22①sin φ＋cos φ＝22sin φcos φ①2sin(φ＋π4)＝2sin2φ，因为φ①(0，π2)，所以φ＝π4，故⎰-ϕtan 1(x 2－2x )d x ＝⎰-ϕtan 1－1(x 2－2x )d x ＝(x 33－x 2)|1－1＝23.选C. 【答案】 C 2．函数y ＝⎰t(sin x ＋cos x sin x )d x 的最大值是________．【解析】 y ＝⎰t(sin x ＋cos x sin x )d x＝⎰t⎪⎭⎫⎝⎛+x x 2sin 21sin d x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 2cos 41cos ⎪⎪⎪t 0＝－cos t －14cos 2t ＋54＝－cos t －14(2cos 2 t －1)＋54＝－12(cos t ＋1)2＋2，当cos t ＝－1时，y max ＝2. 【答案】 2 【专题训练】 一、选择题1．已知变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a (a >0)，若点Q (m ，n )在直线y ＝2x ＋12上，则(a－m )2＋(b －n )2的最小值为( )A ．9 B.353 C.95D ．3【解析】令y ＝3ln x －12x 2及y ＝2x ＋12，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值就是曲线y ＝3ln x－12x 2上一点与直线y ＝2x ＋12的距离的最小值，对函数y ＝3ln x －12x 2求导得：y ′＝3x －x ，与直线y ＝2x ＋12平行的直线斜率为2，令2＝3x －x 得x ＝1或x ＝－3(舍)，则x ＝1，得到点(1，－12)到直线y ＝2x ＋12的距离为355，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值为(355)＝95. 【答案】C2．设a ①R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ①R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13D ．a <－13【解析】 y ′＝a e ax ＋3＝0在(0，＋∞)上有解，即a e ax ＝－3，①e ax >0，①a <0.又当a <0时，0<e ax <1，要使a e ax ＝－3，则a <－3，故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，若对于任意的a ①[1,2]，b ①(2,3]，函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，5]C ．[3，＋∞)D ．[5，＋∞)【解析】 ①f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，①f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[a ，b ]上恒成立，即不等式3x 2－2tx ＋3≤0在[a ，b ]上恒成立，即有t ≥32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1在[a ，b ]上恒成立，而函数y ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1在[1,3]上单调递增，由于a ①[1,2]，b ①(2,3]，当b＝3时，函数y ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1取得最大值，即y max ＝32⎪⎭⎫ ⎝⎛+313＝5，所以t ≥5，故选D.【答案】 D4．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋a )(a ①R )有唯一的零点x 0，(e ＝2.718…)则( ) A ．－1<x 0<－12B ．－12<x 0<－14C ．－14<x 0<0D ．0<x 0<12【解析】 函数f (x )＝e x －ln(x ＋a )(a ①R )，则x >－a ，可得f ′(x )＝e x －1x ＋a ，f ″(x )＝e x ＋1(x ＋a )2恒大于0，f ′(x )是增函数，令f ′(x 0)＝0，则e x 0＝1x 0＋a ，有唯一解时，a ＝1e x 0－x 0，代入f (x )可得：f (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋a )＝e x 0－ln(1e x 0)＝e x 0＋x 0，由于f (x 0)是增函数，f (－1)≈－0.63，f (－12)≈0.11，所以f (x 0)＝0时，－1<x 0<－12.故选A.【答案】 A5．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )>2(x ＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则下列不等式中，一定成立的是( )A ．f (1)>f (2)2>f (3)3B.f (1)2>f (4)3>f (9)4 C ．f (1)<f (2)2<f (3)3D.f (1)2<f (4)3<f (9)4【解析】 ①f (x )>2(x ＋x )f ′(x )， ①f (x )>2x (x ＋1)f ′(x )， ①f (x )12x>(x ＋1)f ′(x )．①f ′(x )(x ＋1)－f (x )12x <0，①(f (x )x ＋1)′<0，设g (x )＝f (x )x ＋1，则函数g (x )在(0，＋∞)上递减， 故g (1)>g (4)>g (9)，①f (1)2>f (4)3>f (9)4.故选B.【答案】 B6．已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f ′(x )满足f ′(x )－f (x )x －1>0，y ＝f (x )e x 关于直线x ＝1对称，则不等式f (x 2－x )e x 2－x<f (0)的解集是( )A ．(－1,2)B ．(1,2)C ．(－1,0)①(1,2)D ．(－∞，0)①(1，＋∞)【解析】 令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x .①f ′(x )－f (x )x －1>0，当x >1时，f ′(x )－f (x )>0，则g ′(x )>0，①g (x )在(1，＋∞)上单调递增； 当x <1时，f ′(x )－f (x )<0，则g ′(x )<0， ①g (x )在(－∞，1)上单调递减． ①g (0)＝f (0)，①不等式f (x 2－x )e x 2－x <f (0)即为不等式g (x 2－x )<g (0)．①y ＝f (x )e x 关于直线x ＝1对称，①|x 2－x |<2，①0<x 2－x <2，解得－1<x <0或1<x <2，故选C. 【答案】 C7．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)①(0,1)B ．(－∞，－1)①(1，＋∞)C ．(－1,0)①(1，＋∞)D ．(－1,0)①(0,1)【解析】 根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )·x －2·f (x )x 3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)①(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)①(0,1)上的函数值大于零．【答案】D8．定义在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )·tan x 成立，则( ) A.3f ⎪⎭⎫⎝⎛4π>2f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π B ．f (1)<2f ⎪⎭⎫⎝⎛6πsin 1 C.2f ⎪⎭⎫⎝⎛6π>f ⎪⎭⎫⎝⎛4π D.3f ⎪⎭⎫⎝⎛6π<f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π 【解析】 构造函数F (x )＝f (x )sin x.则F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2 x >0，x ①⎪⎭⎫⎝⎛2,0π， 从而有F (x )＝f (x )sin x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上为增函数，所以有F ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π<F ⎪⎭⎫⎝⎛3π，3sin36sin 6ππππ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ①3f ⎪⎭⎫⎝⎛6π<f ⎪⎭⎫⎝⎛3π，故选D.【答案】 D 二、填空题9．已知曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则实数a ＋b 的值为____________．【解析】 因为两个函数的交点为(0，m )，①m ＝a cos0，m ＝02＋b ×0＋1，①m ＝1，a ＝1，①f (x )，g (x )在(0，m )处有公切线，①f ′(0)＝g ′(0)，①－sin 0＝2×0＋b ，①b ＝0，①a ＋b ＝1.【答案】 110．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ①(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )>0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1614log 1614log f ，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 根据题意，令g (x )＝xf (x )，则a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g (log 4116)有g (－x )＝(－x )f (－x )＝(－x )[－f (x )]＝xf (x )，则g (x )为偶函数，又由g ′(x )＝(x )′f (x )＋xf ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又由当x ①(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )>0成立，则当x ①(0，＋∞)时，有g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上为增函数，分析可得|log 4116|>|40.2|>|log 43|，则有c >a >b ；故答案为：c >a >b .【答案】 c >a >b11．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 令f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x ＝2ax －1.因为函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，所以f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点(0，－1)作y ＝ln x 的切线，设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝1x 0，切线方程为y ＝1x 0x －1.切点在切线y ＝1x 0x－1上，则y 0＝x 0x 0－1＝0，又切点在曲线y ＝ln x 上，则ln x 0＝0，①x 0＝1，即切点为(1,0)，切线方程为y ＝x －1.再由直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 有两个交点，知直线y ＝2ax －1位于两直线y ＝0和y ＝x －1之间，其斜率2a 满足0<2a <1，解得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.【答案】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,012．曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________．【解析】 令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ①[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝∫5π6(2sin x －1)d x ＝(－2cos x －x )π6⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.【答案】 23－2π3三、解答题13．已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．【解析】 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)， (i)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ii)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .当x ①(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ①(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增．(2)(i)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ii)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点； ①当a ①(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；①当a ①(0,1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点． 设正整数n 0满足n 0>ln (3a －1)，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2r 0－n 0>0.由于ln (3a －1)>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．14．已知函数f (x )＝e ax (其中e ＝2.71828…)，g (x )＝f (x )x .(1)若g (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝12时，求函数g (x )在[m ，m ＋1](m >0)上的最小值．【解析】 (1)由题意得g (x )＝f (x )x ＝eaxx在[1，＋∞)上是增函数，故'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x e ax＝e ax(ax －1)x 2≥0在[1，＋∞)上恒成立，即ax －1≥0在[1，＋∞)恒成立，a ≥1x 在x ①[1，＋∞)上恒成立，而1x ≤1，①a ≥1； (2)当a ＝12时，g (x )＝e x 2x ，g ′(x )＝e x 2(x2－1)x 2，当x >2时，g ′(x )>0，g (x )在[2，＋∞)递增， 当x <2且x ≠0时，g ′(x )<0，即g (x )在(0,2)，(－∞，0)递减，又m >0，①m ＋1>1，故当m ≥2时，g (x )在[m ，m ＋1]上递增，此时，g (x )min ＝g (m )＝e m2m ，当1<m <2时，g (x )在[m,2]递减，在[2，m ＋1]递增，此时，g (x )min ＝g (2)＝e2，当0<m ≤1时，m ＋1≤2，g (x )在[m ，m ＋1]递减，此时，g (x )min ＝g (m ＋1)＝e m ＋12m ＋1，综上，当0<m ≤1时，g (x )min ＝g (m ＋1)＝e m ＋12m ＋1，当1<m <2时，g (x )min ＝g (2)＝e2，m ≥2时，g (x )min ＝g (m )＝e m 2m .精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！2020年高考数学（理）总复习：函数的图象与性质、函数与方程题型训练题型一函数的定义域、值域及解析式【题型要点解析】(1)函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．①求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．①解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．①求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．(3)函数值和值域的求法：求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可，在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式；求解函数值域的方法有：公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等，要做到具体问题具体分析，选取适当的求解方法．例1．已知函数f(x2－3)＝lgx2x2－4，则f(x)的定义域为________．【解析】设t＝x2－3，则x2＝t＋3，则f(t)＝lgt＋3t＋3－4＝lgt＋3t－1，由t ＋3t －1>0得t >1或t <－3， ①t ＝x 2－3≥－3，①t >1，即f (t )＝lgt ＋3t －1的定义域为(1，＋∞)， 故函数f (x )的定义域为(1，＋∞)． 【答案】 (1，＋∞)例2．设集合A ＝⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ①A ，2(1－x )，x ①B .若x 0①A ，且f [f (x 0)]①A ，则x 0的取值范围是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0B.⎥⎦⎤⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫⎝⎛21,41 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡83,0【解析】因为x 0①A ，即0≤x 0<12，所以f (x 0)＝x 0＋12，12≤x 0＋12<1，即12≤f (x 0)<1，即f (x 0)①B ，所以f [f (x 0)]＝2[1－f (x 0)]＝1－2x 0.因为f [f (x 0)]①A ，所以0≤1－2x 0<12，解得14<x 0≤12.又因为0≤x 0<12，所以14<x 0<12，故选C.【答案】 C题组训练一：函数的定义域、值域及解析式1．函数f (x )的定义域是[0,3]，则函数y ＝f (2x －1)lg (2－x )的定义域是________．【解析】 ①函数f (x )的定义域是[0,3]，①由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x －1≤32－x >0lg (2－x )≠0得：⎩⎨⎧12≤x ≤2x <2x ≠1，即12≤x <2且x ≠1， 即函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x <2且x ≠1， 【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤2，且x ≠1 2．设[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设g (x )＝a xa x ＋1(a >0，且a ≠1)，那么函数f (x )＝[g (x )－12]＋[g (－x )－12]的值域为( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{1，－1}D ．{－1,0}【解析】①g (x )＝a x a x ＋1，①g (－x )＝1a x ＋1，①0<g (x )<1,0<g (－x )<1，g (x )＋g (－x )＝1. 当12<g (x )<1时，0<g (－x )<12，①f (x )＝－1. 当0<g (x )<12时，12<g (－x )<1，①f (x )＝－1.当g (x )＝12时，g (－x )＝12，①f (x )＝0.综上，f (x )的值域为{－1,0}，故选D.【答案】 D3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ①R 恒成立，当x ①[0,1]时，f (x )＝2x ，则f (－92)＝( )A.12 B.2 C.22D ．1【解析】 ①f (x ＋2)＝f (x )对x ①R 恒成立， ①f (x )的周期为2，f (x )是定义在R 上的偶函数，①f (－92)＝f (－12)＝f (12)①当x ①[0,1]时，f (x )＝2x ，①f (12)＝2，故选B.【答案】 B题型二 函数的图象及其应用 【题型要点解析】(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．例1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x1＋x (x >0)ln (－x )1－x (x <0)的图象大致是( )【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x1＋x(x >0)ln (－x )1－x (x <0)，满足f (－x )＝f (x )，所以函数是偶函数，排除选项B ，D ；当x ①(0,1)时，f (x )＝ln x1＋x<0，排除A.故选C.【答案】C2．函数y ＝2sin x 1＋1x2⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈43,00,43ππx 的图象大致是( )【解析】 函数满足f (－x )＝－f (x )，函数是奇函数，关于原点对称，f (x )＝2x 2sin x 1＋x 2，f ′(x )＝(4x sin x ＋2x 2cos x )(1＋x 2)－2x 2sin x ·2x (1＋x 2)2＝4x sin x ＋2x 2cos x ＋2x 4cos x (1＋x 2)2，f ′(π2)>0，并且f (π2)>0，满足条件的只有A ，故选A. 【答案】 A题组训练二：函数的图象及其应用1．函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x 的大致图象是( )【解析】因为函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x ，所以x >1时，f (x )＝ln(x －1)＋x ，函数在(1，＋∞)上递增，只有选项A 符合题意，故选A.【答案】 A2．函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )【解析】 因为f ′(x )＝(2x －2＋x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x ，所以当x ①(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数单调递增；当x ①(－2，2)时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ①(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增；又x <－2时，x 2－2x >0，即f (x )>0.应选答案B.【答案】B题型三 函数的性质及其应用 【题型要点解析】解决与函数有关的综合问题的常见4个切入点(1)已知函数的单调性和周期性，常画出函数的图象求解；(2)已知函数的奇偶性和相对函数的对称性，常画出函数的图象求解；(3)求函数的最值或值域时，常结合相应函数在待求区间上图象的最高点、最低点的纵坐标求解；(4)求解方程(不等式)中的参数的取值范围时，常借助函数性质求解． 例1．设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,①(1，＋∞)C.⎪⎭⎫⎝⎛-31,31 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,①⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31【解析】 函数f (x )为偶函数． ①当x ≥0时，f (x )＝ln (1＋x )－11＋x 2， 在(0，＋∞)上y ＝ln (1＋x )单调递增，y ＝－11＋x 2也单调递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知，f (x )＞f (2x －1)①f (|x |)＞f (|2x －1|)①|x |＞|2x －1|①x 2＞(2x －1)2①3x 2－4x ＋1＜0①13＜x ＜1.【答案】A例2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若方程f (x ＋1)＝|x 2＋2x －3|的零点分别为x 1，x 2，…，x n ，则x 1＋x 2＋…＋x n ＝( )A ．nB ．－nC ．－2nD ．－3n【解析】函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，函数f (x ＋1)的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到的，所以函数f (x ＋1)的对称轴为直线x ＝－1，且函数g (x )＝|x 2＋2x －3|的对称轴也是直线x ＝－1，所以方程f (x ＋1)＝|x 2＋2x －3|零点关于直线x ＝－1对称，所以有x 1＋x 2＋…＋x n ＝－n ，故选B.【答案】 B题组训练三：函数的性质及其应用1．如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程式为y ＝f (x )(x ①R )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；①对任意的x ①R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)； ①函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减； ①f (x )d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________．【解析】当－2≤x ≤－1时，P 的轨迹是以A 为圆心，1为半径的14圆；当－1≤x ≤1时，P的轨迹是以B 为圆心，2为半径的14圆；当1≤x ≤2时，P 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的14圆；当2≤x ≤3时，P 的轨迹是以A 为圆心，1为半径的14圆，所以函数的周期为4，图象如图所示．根据其对称性可知y ＝f (x )是偶函数，所以①正确；因为最小正周期为4，所以①正确；函数f (x )在[2,3]上单调递增，所以①错误；根据定积分的几何意义可知f (x )d x ＝18×π×(2)2＋12×1×1＋14×π×12＝π＋12，所以①正确，故正确答案为①①①.【答案】 ①①①2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ①(0，2]min{|x －1|，|x －3|}，x ①(2，4]min{|x －3|，|x －5|}，x ①(4，＋∞).(1)若f (x )＝a 有且只有1个实根，则实数a 的取值范围是________．(2)若关于x 的方程f (x ＋T )＝f (x )有且只有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是________．【解析】 函数f (x )图象如下图．根据上图，若f(x)＝a只有1个实根，则a>1；若将函数f(x)的图象向左平移T＝2个单位时，如下图所得图象与f(x)的图象在(0,4]上重合，此时方程f(x＋T)＝f(x)有无穷多个解，所以若方程有且只有3个不同的实根，平移图象，如下图观察可知2<T<4或－4<T<－2.【答案】(1)(1，＋∞)(2)(－4，－2)①(2,4)【专题训练】一、选择题1．函数f(x)＝2－2x＋1log3x的定义域为()A．{x|x<1}B．{x|0<x<1} C．{x|0<x≤1} D．{x|x>1}【解析】要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－2x≥0log 3x ≠0，x >0即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≠1x >0，得0<x <1，即函数的定义域为{x |0<x <1}，故选B.【答案】 B2．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( )A.12 B ．eC.1eD ．－1【解析】 解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e1－t，即f (x )＝1e1－x ，故f (2)＝e .解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.【答案】 B3．下列函数中，可以是奇函数的为( ) A ．f (x )＝(x －a )|x |，a ①R B ．f (x )＝x 2＋ax ＋1，a ①R C ．f (x )＝log 2(ax －1)，a ①RD ．f (x )＝ax ＋cos x ，a ①R【解析】 对于A ，f (－x )＝(－x －a )|－x |＝(－x －a )|x |，若f (－x )＋f (x )＝(－2a )|x |＝0，则a ＝0，A 满足；对于B ，f (－x )＝(－x )2－ax ＋1，若f (－x )＋f (x )＝2x 2＋2＝0，则方程无解，B 不满足；对于C ，由ax －1>0，不管a 取何值，定义域均不关于原点对称，则C 不满足；对于D ，f (－x )＝－ax ＋cos(－x )＝－ax ＋cos x ，若f (－x )＋f (x )＝2cos x ＝0，则不满足x 为一切实数，D 不满足．故选A.【答案】A4．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )【解析】 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，解得f (x )的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}．令g (x )＝ln (x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1， 当－1<x <0时，g ′(x )>0；当x >0时，g ′(x )<0.①f (x )在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B 符合．方法二 本题也可取特值，用排除法求解：f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎪⎭⎫⎝⎛-21＝1ln 12＋12＝1lne 2<0，排除C ，D ，故选B. 【答案】 B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x ，x <0log 2(x ＋1)＋2，x ≥0(e 为自然对数的底数)，则不等式f (x )>4的解集为( )A ．(－ln 2,0)①(3，＋∞)B ．(－ln 2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－ln 2,0)【解析】 当x <0时，2e x >4，解得：x >ln 2，不合题意； 当x ≥0时，log 2(x ＋1)＋2>4，解得：x >3， 综上可得：不等式的解集为：(3，＋∞)． 【答案】C6．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同【解析】①f(1＋x)＝f(1－x)，①f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，①c＝3.①f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，①f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，①f(3x)>f(2x)．①f(3x)≥f(2x)．即f(b x)≤f(c x)．【答案】A7．函数f(x)＝(16x－16－x)log2|x|的图象大致为()【答案】A8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1)．若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)①(1，＋∞)D ．(0,1)①(1,4)【解析】 由题意得y ＝log a x 与y ＝|x －3|,0<x ≤4有且仅有一个交点，当0<a <1时，有且仅有一个交点；当a >1时，需满足log a 4>4－3①1<a <4，因此a 的取值范围是(0,1)①(1,4)，选D.【答案】 D9．如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812【解析】 当m ＝2时，f (x )＝(n －8)x ＋1在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，则n －8<0①n <8，于是mn <16，则mn 无最大值．当m ①[0,2)时，f (x )的图象开口向下且过点(0,1)，要使f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，需－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，又n ≥0，则mn ≤m ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29m ＝－12m 2＋9m .而g (m )＝－12m 2＋9m 在[0,2)上为增函数，①m ①[2,0)时，g (m )<g (2)＝16，①mn <16，故m ①[0,2)时，mn 无最大值．当m >2时，f (x )的图象开口向上且过点(0,1)，要使f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，需－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12，而2m ＋n ≥2 2m ·n ，①mn ≤18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝12，2m ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝6时，取“＝”，此时满足m >2.故(mn )max ＝18.故选B.【答案】 B10．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛641f f ＝________. 【答案】 1411．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1＋x ＋sin x ，若正实数a ，b 满足f (4a )＋f (b －9)＝0，则1a ＋1b 的最小值为________．【解析】 因为f (－x )＝－f (x )，故由题设可得当4a ＋b ＝9，即4a 9＋b 9＝1时，则1a ＋1b＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+b a a b a 1994＝19⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a b b a 414≥19(5＋4)＝1，当且仅当b ＝2a 时取等号． 【答案】 112．．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】 根据题意作出f (x )的简图：由图象可得当k ①(0,1)时，函数f (x )－k 有四个不同零点．若方程2f 2(x )＋2bf (x )＋1＝0有8个不同实数解，令k ＝f (x )，则关于k 的方程2k 2＋2bk ＋1＝0有两个不同的实数根k 1、k 2，且k 1和k 2均为大于0且小于1的实数，即有k 1＋k 2＝－b ，k 1k 2＝12.故：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8>00<k 1＋k 2<2k 1k 2>0(k 1－1)(k 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b >2或b <－20<－b <2b >－32，可得－32<b <－ 2.【答案】⎝⎛⎭⎫－32，－22020年高考数学（理）总复习：基本初等函数性质及应用题型一 求函数值 【题型要点解析】已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化．例1．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝4231-⎪⎭⎫⎝⎛x 由于y＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．【答案】 B例2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥0，3x 2＋ln 1＋x 2－x ，x <0，若f (x －1)<f (2x ＋1)，则x 的取值范围为________．【解析】 若x >0，则－x <0，f (－x )＝3(－x )2＋ln (1＋(－x )2＋x )＝3x 2＋ln (1＋x 2＋x )＝f (x )，同理可得，x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )是偶函数．因为当x >0时，函数f (x )单调递增，所以不等式f (x －1)<f (2x ＋1)等价于|x －1|<|2x ＋1|，整理得x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2.【答案】 (－∞，－2)∪(0，＋∞)例3．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.【解析】 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即b 2b ＝bb 2.∴2b ＝b 2，∴b ＝2，a ＝4.【答案】 4；2 题组训练一 求函数值1．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递增．若实数a 满足f (log 2 a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的最小值是( )A.32 B ．1C.12D ．2【解析】 log 12a ＝－log 2a ，f (log 2 a )＋f (log 12 a )≤2f (1)，所以2f (log 2 a )≤2f (1)，所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，所以a 的最小值是12，故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝a x －2－2a (a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0x ，则函数f (x )在[0,3]上的最小值等于________．【解析】令x －2＝0得x ＝2，且f (2)＝1－2a ，所以函数f (x )的图象恒过定点(2,1－2a )，因此x 0＝2，a ＝13，于是f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －2－23，f (x )在R 上单调递减，故函数f (x )在[0,3]上的最小值为f (3)＝－13.【答案】 －13题型二 比较函数值大小 【题型要点解析】三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．例1．已知a ＝3421-⎪⎭⎫ ⎝⎛，b ＝5241-⎪⎭⎫ ⎝⎛，c ＝31251-⎪⎭⎫⎝⎛，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．c <b <aD ．b <a <c【解析】 因为a ＝3421-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝243，b ＝5241-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝245，c ＝31251-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝523，显然有b <a ，又a ＝423<523＝c ，故b <a <c . 【答案】 D例2．已知a ＝π3，b ＝3π，c ＝e π，则a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >aD ．b >a >c【解析】 ∵a ＝π3，b ＝3π，c ＝e π，∴函数y ＝x π是R 上的增函数，且3>e>1，∴3π>e π，即b >c >1；设f (x )＝x 3－3x ，则f (3)＝0，∴x ＝3是f (x )的零点，∵f ′(x )＝3x 2－3x ·ln 3，∴f ′(3)＝27－27ln 3<0，f ′(4)＝48－81ln 3<0，∴函数f (x )在(3,4)上是单调减函数，∴f (π)<f (3)＝0，∴π3－3π<0，即π3<3π，∴a <b ；又∵e π<πe <π3，∴c <a ；综上b >a >c .故选D.【答案】 D题组训练二 比较函数值大小 1．若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c <b c B ．ab c <ba c C ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c【解析】 对A ：由于0<c <1，∴函数y ＝x c 在R 上单调递增，则a >b >1⇔a c >b c ，A 错误；对B ：由于－1<c －1<0，∴函数y ＝x c－1在(1，＋∞)上单调递减，又∴a >b >1，∴a c －1<b c－1⇔ba c <ab c ，B 错误；对C ：要比较a log b c 和b log a c ，只需比较a ln c ln b 和b ln c ln a ，只需比较ln cb ln b。

回扣专项练1．设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β D ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β2．已知空间中有不共线的三条线段AB ，BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 异面 C ．AB 与CD 相交D ．AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交 3．平面α与平面β平行的条件可以是( ) A ．α内有无穷多条直线与β平行 B ．直线a ∥α，a ∥βC ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥αD ．α内的任何直线都与β平行4.如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内(含正方体表面)任取一点M ，则AA 1→·AM →≥1的概率p 等于( )A.34B.23C.12D.145.如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC ，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定6.如图，A ，B ，C ，D 为空间中的四个不同点．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝ 2.等边三角形ADB 以AB 为轴运动．当平面ADB ⊥平面ABC 时，CD ＝________.7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．8．已知点P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四个点，且P A 、PB 、PC 两两成60°角，P A ＝PB ＝PC ＝1 cm ，则球的表面积为________ cm 2.9．如图①所示，在等腰三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点，将△ADE 沿DE 折起，得到如图②所示的四棱锥A ′—BCDE .若A ′O ⊥平面BCDE ，则A ′D与平面A ′BC 所成角的正弦值是________．10.如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .11.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ，E 分别为CC 1，AD 的中点，F 为BB 1上的点，且B 1F ＝3BF .(1)证明：EF ∥平面ABC ；(2)若AC ＝22，CC 1＝2，BC ＝2，∠ACB ＝π3，求二面角B —AD —C 的大小．12.如图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，且AB ∥CD ，O 是AB 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝CD ＝DA ＝12AB ＝4，M 是P A 的中点．(1)证明：平面PBC ∥平面ODM ；(2)求平面PBC 与平面P AD 所成锐二面角的余弦值．答案精析回扣专项练61．B [设m 与n 相交，m 、n 都在平面γ内，γ∥α，γ∥β时，满足A 的条件，∴A 错；若m ⊥α，α⊥β，则m ⊂β或m ∥β，又n ⊥β，∴n ⊥m ，∴B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，结合n ⊂β得不出α⊥β，故C 错；当m ∥n 且满足D 的条件时，得不出α∥β，故D 错．]2．D [若三条线段共面，则直线AB 与CD 相交或平行；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线．] 3．D [当α∩β＝l 时，α内与l 平行的直线都与β平行，∴A 错；当α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β时，满足B 的条件，∴B 错；当α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l 时，有a ∥β，b ∥α，∴C 错，故选D.] 4．A [可解得|AM →|cos θ≥12，也即AM →在AA 1→上的投影大于或等于12.由几何概型的求法知，p ＝⎝⎛⎭⎫2－12×2×22×2×2＝34.]5．B [由于PB ⊥α，所以PB ⊥AC .又由于PC ⊥AC ，PC ∩PB ＝P ，所以AC ⊥平面PBC .所以AC ⊥BC .所以△ABC 为直角三角形．]6．2 [取AB 的中点E ，连接DE ，CE . 由于△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB .当平面ADB ⊥平面ABC 时，由于平面ADB ∩平面ABC ＝AB ，所以DE ⊥平面ABC ， 故DE ⊥CE .由已知可得DE ＝3，EC ＝1， 在Rt △DEC 中， CD ＝DE 2＋EC 2＝2.] 7.533解析 由几何体的三视图可知，该几何体的底面是边长为2的正三角形，三条侧棱分别垂直于底面，且两条侧棱的长度是2，一条侧棱的长度为1，故其体积为12×2×3×1＋13×2×1×3＝533.8.3π2解析 如图所示，P 、A 、B 、C 四点可以看成如图正方体的四个顶点，则三棱锥P —ABC 的外接球就是该正方体的外接球，易得正方体的边长a ＝22，球的半径R ＝12a 2＋a 2＋a 2＝64，∴S 球＝4πR 2＝3π2.9.24解析 如图，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，连接A ′H .∵A ′O ⊥平面BCDE ，A ′O ⊂平面A ′BC ， ∴平面A ′BC ⊥平面BCDE . 又平面A ′BC ∩平面BCDE ＝BC ， ∴DH ⊥平面A ′BC .∴∠DA ′H 即为A ′D 与平面A ′BC 所成的角．又DH ＝1，A ′D ＝32－2＝22，∴sin ∠DA ′H ＝DH A ′D ＝24，∴A ′D 与平面A ′BC 所成角的正弦值为24. 10．证明 (1)如图，连接AC ，BE ，设AC ∩BE ＝O ， 连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点．又F 为PC 的中点，因此在△P AC 中，可得AP ∥OF ， 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC ， 所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，因此AP ⊥BE ， 由于四边形ABCE 为菱形， 所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，且AP ⊂平面P AC ， AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面P AC .11.(1)证明 设AC 的中点为O ，连接EO ，OB ，由题意知EO ∥CC 1，且EO ＝14CC 1，BF ∥CC 1，且BF ＝14CC 1，∴EO ∥FB ，且EO ＝FB .∴四边形EFBO 是平行四边形． ∴EF ∥OB .又EF ⊄平面ABC ，BO ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC .(2)解 作BG ⊥AC ，BH ⊥AD ，连接GH ，∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴BG ⊥平面AA 1C 1C . ∵AD ⊂平面AA 1C 1C ， ∴BG ⊥AD .又BH ∩BG ＝B ，∴AD ⊥平面BHG .∴HG ⊥AD .∴∠BHG 为二面角B —AD —C 的平面角． 由已知得△ABC 为直角三角形，AB ＝ 6.在Rt △ABC 中，由S △ABC ＝12AB ·BC ＝12BG ·AC ，得BG ＝62，在Rt △ABD 中，由S △ABD ＝12AB ·BD ＝12AD ·BH ，得BH ＝2，在Rt △BHG 中，sin ∠BHG ＝BG BH ＝32，则∠BHG ＝π3.故二面角B —AD —C 的大小为π3.12．(1)证明 由于O ，M 分别为AB ，AP 的中点，所以OM ∥PB .由于CD ＝12AB ，O 为AB 的中点，所以CD ＝BO ，又由于CD ∥AB ，所以四边形OBCD 为平行四边形，所以BC ∥OD .由于BC ∩PB ＝B ，DO ∩OM ＝O ， 所以平面PBC ∥平面ODM .(2)解 方法一 延长AD ，BC 交于点E ，连接PE ，则平面PBC ∩平面P AD ＝PE .易知PB ＝P A ，EB ＝EA ，PE ＝PE ，所以△PBE 与△P AE 全等．过点A 作AQ ⊥PE 于点Q ，连接BQ ，则BQ ⊥PE ，由二面角定义可知，∠AQB 为所求角或其补角．易求得PE ＝8，AE ＝8，P A ＝42， 由等积法求得AQ ＝27＝BQ ，所以cos ∠AQB ＝AQ 2＋BQ 2－AB 22AQ ·BQ＝28＋28－642×27×27＝－17<0，所以所求角为π－∠AQB ， 所以cos(π－∠AQB )＝17，因此平面PBC 与平面P AD 所成锐二面角的余弦值为17.方法二 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则P (0,0,4)， B (－4,0,0)， A (4,0,0)，C (－2，－23，0)，D (2，－23，0)．由于PB →＝(－4,0，－4)，BC →＝(2，－23，0)，所以易求得平面PBC 的一个法向量n 1＝(3，1，－3)． 又P A →＝(4,0，－4)，AD →＝(－2，－23，0)，所以易求得平面P AD 的一个法向量n 2＝(3，－1，3)． 设θ为平面PBC 与平面P AD 所成的锐二面角， 则cos θ＝|3×3＋1×(－1)＋(－3)×3|3＋1＋3×3＋1＋3＝17，所以平面PBC 与平面P AD 所成锐二面角的余弦值为17.。

考前根底知识回扣1．假设直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，那么实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或者－122．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，那么直线的方程为 ( ) A ．x ＋2y －6＝0 B ．2x ＋y －6＝0 C ．x －2y ＋7＝0 D ．x －2y －7＝03．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．x －2y －4＝0D ．x ＋2y ＋4＝04．假设直线y ＝－ab x －c b经过第一、二、三象限，那么 ( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜05．点A (1,2)、B (3,1)，那么线段AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5 D ．x －2y ＝56．直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，假设直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，那么直线l 2的方程是 ( ) A ．x ＋3y －5＝0 B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝07．经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 8．求经过点A (－5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程________________．9．A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上挪动，那么xy 的最大值等于________________． 10．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足以下条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)假设l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)假设l 不经过第二象限，务实数a 的取值范围．12．直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0. (1)证明：直线l 过定点；(2)假设直线l 交x 负半轴于A ，交y 正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，试求S 的最小值并求出此时直线l 的方程．1．D 【解析】：当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或者m ＝－122.B 【解析】：∵直线过点P (1,4)，代入后舍去A 、D ，又在两坐标轴上的截距均为正值，故舍去C.3.D 【解析】：直线2x －y －2＝0与y 轴交点为A (0，－2)， 所求直线过A 且斜率为－12，∴l ：y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0.4.D 【解析】：因为直线经过第一、二、三象限，所以－ab＞0， 即ab ＜0，且直线与坐标轴的交点在原点的上方， 所以－c b＞0，即bc ＜0.5.B 【解析】：A 、B 中点为(2，32)，k AB ＝1－23－1＝－12，∴k l ＝2 6.B 【解析】：k 1＝3，k 2＝－k ，又l 1⊥l 2，∴3×(－k )＝－1，∴k ＝13，∴l 2的斜率为－13，∴l 2：x ＋3y －15＝0.7. 2x ＋y ＋2＝0或者x ＋2y －2＝0 解析：设所求直线方程为x a ＋y b＝1，由可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或者⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或者x ＋2y －2＝0为所求． 8. 2x ＋5y ＝0或者x ＋2y ＋1＝0解析：分截距为0或者不为0两种情况可求2x ＋5y ＝0或者x ＋2y ＋1＝0. 9.3【解析】：AB 所在直线方程为x 3＋y4＝1，∴x 3·y 4≤14(x 3＋y 4)2＝14， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4取等号．10.【解析】：∵直线的方程为y ＝－3x ＋1， ∴k ＝－3，倾斜角α＝120°，由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为33.(1)∵直线经过点(3，－1)， ∴所求直线方程为y ＋1＝33(x －3)， 即3x －3y －6＝0.(2)∵直线在y 轴上的截距为－5， ∴由斜截式知所求直线方程为y ＝33x －5， 即3x －3y －15＝0.11.【解析】：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，截距相等， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0. 假设a ≠2，由于截距存在，∴a －2a ＋1＝a －2， 即a ＋1＝1，∴a ＝0， 方程即x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.12.【解析】：(1)证明：由得k (x ＋2)＋(1－y )＝0， ∴无论k 取何值，直线过定点(－2,1)． (2)令y ＝0得A 点坐标为(－2－1k，0)，令x ＝0得B 点坐标为(0,2k ＋1)(k ＞0)， ∴S △AOB ＝12|－2－1k||2k ＋1|＝12(2＋1k )(2k ＋1)＝12(4k ＋1k ＋4) ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号．即△AOB 的面积的最小值为4，此时直线l 的方程为12x －y ＋1＋1＝0.即x －2y ＋4＝0.。

回扣6 立体几何1.概念理解(1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.(2)三视图①三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.②三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样. 2.柱、锥、台、球体的表面积和体积侧面展开图 表面积 体积 直棱柱 长方形 S ＝2S 底＋S 侧 V ＝S 底·h 圆柱 长方形 S ＝2πr 2＋2πrl V ＝πr 2·l 棱锥 由若干三角形构成S ＝S 底＋S 侧 V ＝13S 底·h圆锥 扇形 S ＝πr 2＋πrl V ＝13πr 2·h棱台 由若干个梯形构成S ＝S 上底＋S 下底＋S 侧 V ＝13(S ＋SS ′＋S ′)·h圆台 扇环 S ＝πr ′2＋π(r ＋r ′)l ＋πr 2V ＝13π(r 2＋rr ′＋r ′2)·h球S ＝4πr 2S ＝43πr 3 3.平行、垂直关系的转化示意图(1)(2)线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直(3)两个结论①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 4.用向量求空间角(1)直线l 1，l 2夹角θ有cos θ＝|cos 〈l 1，l 2〉|(其中l 1，l 2分别是直线l 1，l 2的方向向量). (2)直线l 与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|(其中l 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量).(3)平面α，β夹角θ有cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|，则α—l —β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n 1，n 2分别是平面α，β的法向量).1.混淆“点A 在直线a 上”与“直线a 在平面α内”的数学符号关系，应表示为A ∈a ，a ⊂α.2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.3.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13.4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件.5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.6.几种角的范围两条异面直线所成的角0°<α≤90° 直线与平面所成的角0°≤α≤90° 二面角0°≤α≤180°两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90° 直线的倾斜角0°≤α<180° 两个向量的夹角0°≤α≤180°锐角0°<α<90°7.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.1.如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为2的等腰直角三角形，则这个多面体最长一条棱长为()A. 2B. 3C.2 3D.3 2答案 B解析由三视图可知，几何体是一个三棱锥，底面是一个斜边长为2的等腰直角三角形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度为1，这样在所有棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与底面的另一锐角顶点的侧棱最长，长度是12＋(2)2＝ 3.故选B.2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案 D解析在被截去的四棱锥的三条可见棱中，两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合.3.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.72 cm 3B.90 cm 3C.108 cm 3D.138 cm 3 答案 B解析 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3).4.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图及三视图如图所示，D 为AC 的中点，则下列命题是假命题的是( )A.AB 1∥平面BDC 1B.A 1C ⊥平面BDC 1C.直三棱柱的体积V ＝4D.直三棱柱的外接球的表面积为43π 答案 D解析 由三视图可知，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面B 1C 1CB 是边长为2的正方形，底面ABC 是等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2.连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD .在△CAB 1中，O ，D 分别是B 1C ，AC 的中点，∴OD ∥AB 1，∴AB 1∥平面BDC 1.故A 正确.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BD .又AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .∴BD ⊥A 1C . 又A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ， ∴A 1B 1⊥平面B 1C 1CB ，∴A 1B 1⊥BC 1.∵BC 1⊥B 1C ，且A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴BC 1⊥平面A 1B 1C . ∴BC 1⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面BDC 1.故B 正确. V ＝S △ABC ×C 1C ＝12×2×2×2＝4，∴C 正确.此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为12π，D 错误.故选D.5.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90° 答案 C解析 由中点M ，N 可知MN ∥AD 1，由△D 1AC 是正三角形可知∠D 1AC ＝60°，所以异面直线AC 和MN 所成的角为60°.6.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D.若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案 B7.已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝1，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________. 答案52π3解析由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h，则h·34·12＝3⇒h＝4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R2＝22＋(33)2＝133，因此球的表面积等于4πR2＝4π·133＝523π.8.已知长方体ABCD—A′B′C′D′，E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的有________条.答案 6解析如图，连接EG，EH，FG，∵EH綊FG，∴EFGH四点共面，由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，可得平面EFGH与平面AB′D′平行，∴符合条件的共有6条.9.α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC 与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.答案①③解析由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；②中，由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，可知面EF⊥AC，由①可知③正确；④中，仿照②的分析过程可知④错误，故填①③.10.如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论：①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1；④异面直线AD 与CB 1所成角为60°. 错误的有________.(把你认为错误的序号全部写上) 答案 ④解析 ①BD ∥B 1D 1，利用线面平行的判定可推出BD ∥平面CB 1D 1； ②由BD ⊥平面ACC 1可推出AC 1⊥BD ；③AC 1⊥CD 1，AC 1⊥B 1D 1可推出AC 1⊥平面CB 1D 1； ④异面直线AD 与CB 1所成角为45°，错误.11.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为________.答案 π6解析 如图，取AC 中点F ，连接FD ，FB .则DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴DE ∥BF ，∴BF 与平面BB 1C 1C 所成的角为所求的角，∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB 1，∴AB ⊥平面BB 1C 1C ，作GF ∥AB 交BC 于点G ，则GF ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠FBG 为直线BF 与平面BB 1C 1C 所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6.12.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边长都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC ，答案不唯一) 解析 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， 又∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥BD ， 又AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥PC . ∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时， 即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .13.在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又P A ＝AB ＝4，∠CDA ＝120°，点N 在线段PB 上，且PN ＝ 2.(1)求证：BD ⊥PC ； (2)求证：MN ∥平面PDC ； (3)求二面角A —PC —B 的余弦值.(1)证明 因为△ABC 是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM ⊥AC ，即BD ⊥AC ，又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， P A ⊥BD ，又P A ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC .(2)证明 在正三角形ABC 中，BM ＝23， 在△ACD 中，因为M 为AC 中点，DM ⊥AC ， 所以AD ＝CD ，又∠CDA ＝120°，所以DM ＝233，所以BM ∶MD ＝3∶1，在等腰直角三角形P AB 中， P A ＝AB ＝4，PB ＝42，所以BN ∶NP ＝3∶1， BN ∶NP ＝BM ∶MD ，所以MN ∥PD ， 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， 所以MN ∥平面PDC .(3)解 因为∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝90°，所以AB ⊥AD ，分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以B (4，0，0)，C (2，23，0)，D (0，433，0)，P (0，0，4).由(1)可知，DB →＝(4，－433，0)为平面P AC 的一个法向量，PC →＝(2，23，－4)，PB →＝(4，0，－4)， 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0， 即⎩⎨⎧2x ＋23y －4z ＝0，4x －4z ＝0.令z ＝3，则平面PBC 的一个法向量为n ＝(3，3，3)， 设二面角A —PC —B 的大小为θ， 则cos θ＝n ·DB →|n ||DB →|＝77.所以二面角A —PC —B 的余弦值为77.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。