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高中数学北师大版选修22221导数的概念课件25张[可修改版ppt]

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导数的概念及其几何意义课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册

导数的概念及其几何意义课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
第二章
§2
导数的概念及
其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念及实际背景．
2.理解导数的几何意义．
核心素养：数学运算、数学抽象
新知学习
新知引入
前面我们研究了两类变化率问题：一类平均变化率，另一类是瞬时变化率.在解决瞬时变化率问题时，都
采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，问题的答案也是一样的表示形式.下面我们进
关键点二：|f ′x0|越大⇔在 x0 处瞬时变化越快；|f ′x0|越小⇔在
x0 处瞬时变化越慢.
即时巩固
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f ′(x0)． ( √ )
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大．
断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.
随堂小测
1+∆ − 1
2∆
∆→0
1.已知函数y＝f (x)是可导函数，且f ′(1)＝2，则 lim
1
A．2
B．2
C．1
＝( C )
D．－1
2.已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( B )
＜0，故B符合．
(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成
预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单
位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
A
B
C
D
解析：从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不

(北师大版)数学选修2-2：第2章《导数的概念及其几何意义》ppt课件

(北师大版)数学选修2-2：第2章《导数的概念及其几何意义》ppt课件
过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发出了欢呼声姜牧本来准备展开双臂欢 5米远只要顶到必进无

高中数学第二章变化率与导数2.2导数的概念及其几何意义课件北师大选修2_2

高中数学第二章变化率与导数2.2导数的概念及其几何意义课件北师大选修2_2

=
������(������0
+
������)-������(������0) ������
,曲线割线的斜率就是函数的平均
(2)切线的斜率.
当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为
直线AD,这条直线AD叫作此曲线在点A的切线.则当Δx→0时,割线
AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即 切线AD的斜率.
1.导数的概念
定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到
f(x1),函数值y关于x的平均变化率为
������ ������
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0),
当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那
么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变
化率为函数y=f(x)在x0点的导数.
计算公式:f'(x)= lim
������ 1 →������ 0
f(xx11)--fx(0x0)=������������x������→������0
§2.2 导数的概念及其几何意义
学习目标
思维脉络
1.通过实例分析,体会由平 均变化率过渡到瞬时变化
率的过程,了解导数概念建 立的背景. 2.理解瞬时变化率的含义, 并知道瞬时变化率就是导
数. 3.会求函数 f(x)在某一点 x0 处的导数. 4.理解导数的几何意义,并 能利用几何意义解决相关
问题. 5.会求与导数相关的切线 问题.

22《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)

22《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)

【解析】
在点P处的切线方程是y=(x21+2x1)+(2x1+2)(x-x1),
即y=(2x1+2)x-x21
①
曲线C2在点Q（x2,-x22+a）的切线斜率
消去x2得方程2x21+2x1+1+a=0.
若判别式Δ=4-4×2×(1+a)=0,即a= 1 时， 2
解得x1=x2= 1 , 此时点P与Q重合. 2
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 ,
∴所求直线的斜率为-3.
3
设切点坐标为（x0,y0),
=3x02+6x0,
∴3x02+6x0=-3. ∴x0=-1,∴切点坐标为（-1,1) ∴切线方程为y-1=-3(x+1) 即3x+y+2=0. 答案：3x+y+2=0
3.（5分）曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴，直线x=2所 围成的三角形的面积为_____. 【解析】
列条件.
x2
（1）平行于直线y=x+1.
(2)垂直于直线2x-16y+1=0.
(3)倾斜角为135°.
【解析】
（1）∵切线与直线y=x+1平行，
∴由导数几何意义知f′(x0)=1,即
-
8
x
3 0
=1,
∴x0=-2,y0=1，即P(-2,1).
(2)∵切线与直线2x-16y+1=0垂直，
∴有f′(x0)·( - 2 )=-1,
【练一练】1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时
速度为（ ）
（A）6
（B）18

高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选

高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选

提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.

【数学】第二章 2.1 导数的概念 课件(北师大版选修2-2)

【数学】第二章 2.1 导数的概念 课件(北师大版选修2-2)

为 y f (x1) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
x
x1 x0
x
当x1趋于x0时，如果平均变化率趋于一个固定 的值，那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的 瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数 y=f(x)在x0点的导数.通常用符号 f / (x0) 表示记作
f
的温度 单位 :0 C 为 f x
x2 7x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时,原油温度
的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解 在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f '2
和 f '6. 根据导数的定义, y f 2 x f 2
x
x
2 x2 72 x 15 22 7 2 15
f (2 x) f (2) 3(2 x) 3 2
x
x
3x 3 x
当x趋于2，即△x趋于0 s时水量的瞬时变化率， 即水流的瞬时速度.也就是如果水管中的水以 x=2 s时的瞬时速度流动的话，每经过1 s，水 管中流过的水量为3 m3
例2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产
品 ,需要 对原油进 行冷却 和加热.如果在 xh 时,原油
f '0.8 1.4.
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值, 验证 一下, 这些值是否正确.
t
0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率f 't 0.4 0 0.7 1.4
小结：
由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2) 求平均变化率 y x
x
4x x2 7x x 3, x
所以, f '2 lim y lim x 3 3,

高中数学第二章变化率与导数2.2导数的几何意义2.2.1导数的概念课件北师大版选修2_2


D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
2已知函数f(x)=5-7x,则f'(2)为( ) A.5 B.7 C.-7 D.-9 答案:C
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
= lim
Δ������→0
-
������(������0-������)-������(������0) ������
=
lim
Δ������→0
������[������0
+
(-������)]-������(������0) -������
=
−2.
答案:-2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
位:s)的函数,且y=f(t)=3t.求函数y=f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它
的实际意义.
解:根据导数的定义,得
������ ������
=
������(2+������)-������(2) ������
=
3(2+Δ������)-3×2 Δ������
=
3.
所以
f'(2)=
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+������)-������(������0) ������
.
当������1 趋于������0, 即 Δ������趋于 0 时, 如果平均变化率趋于一个固定的值,

北师版数学选修1-1课件：第3章 §2 2-1 导数的概念 2.2 导数的几何意义


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利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤： 1求函数的增加量 Δy＝fx0＋Δx－fx0； fx0＋Δx－fx0 Δy 2求平均变化率Δx：＝ ； Δx Δy 3求 f′x0＝ lim Δx. Δx→0
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[再练一题] 1． 一质点的运动路程 s(单位： m)是关于时间 t(单位： s)的函数： s＝－2t＋3， 求 s′(1)，并解释它的实际意义．
阶 段 一
§2
导数的概念及其几何意义 2.1 2.2 导数的概念 导数的几何意义
阶 段 三
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
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1．理解函数在某点处的导数定义及其几何意义．(重点、难点) 2．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义．(难点)
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[基础· 初探] 教材整理 1 导数的概念 阅读教材 P60“例 1”以上部分，完成下列问题． 设函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x0 变到 x1 时，函数值从 f(x0)变到 f(x1)，函数 Δy fx1－fx0 fx0＋Δx－fx0 值 y 关于 x 的平均变化率为Δx＝ ＝ .当 x1 趋于 x0，即 Δx Δ x x1 －x0 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个__________，那么这个值就是函数 y＝f(x) 在 x0 点的__________． 在数学中， 称瞬时变化率为函数 y＝f(x)在 x0 点的________， 通常用符号 f′(x0)表示， 记作 f′(x0)＝________________＝__________________.
【解析】 ∵f′(1)＝k＝－1， ∴切线方程为：y－2＝－(x－1)，即 x＋y－3＝0.

2021年优课系列高中数学北师大版选修2-2导数的概念课件(32张)

2
提出问题：
一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：米，时 间单位：秒)． 问题1：试求质点在前3秒内的平均速度．
提示：8米/秒． 问题2：试求质点在第3秒时的瞬时速度．
问题3：对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x1时，求 函数值y关于x的平均变化率．
问题4：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？这 个常数是什么？ 提示：是．
新知学习：
固定的值
注意：（1）函数应在点x0 的附近有定义ma 在研究极值问题中提出. 费马对数学的贡献包括：与笛卡尔 共同创立了解析几何；创造了作曲 线切线的方法，被微积分发明人之 一牛顿奉为微积分的思想先驱；通 过提出有价值的猜想，指明了关于 整数的理论——数论的发展方向。 他还研究了掷骰子赌博的输赢规律 ，从而成为古典概率论的奠基人之 一。
瞬时速度是 –13.1.
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.
28
探 究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
29
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
例：一条水管中流过的水量y（单位： ）是时
间x（单位：s）的函数
。求函数
在x=2处的导数
，并解释它的实际意义。
解：当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3（2+Δx）
，函数值y关于x的平均变化率为
（
当x趋于2，即Δx趋于0时，平均变化率趋于3，
10
所以
（ /s）.
导数 表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水流的 瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时的瞬时

高中数学北师大版选修22221导数的概念课件32张[可修改版ppt]


提出问题：
一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：米，时 间单位：秒)． 问题1：试求质点在前3秒内的平均速度．
提示：8米/秒． 问题2：试求质点在第3秒时的瞬时速度．
提示：ΔΔst＝s3＋ΔΔtt－s3＝14＋2Δt， 当Δt→0时，ΔΔst→14， 故质点在3秒时的瞬时速度为14米/秒．
高中数学北师大版 选修22221导数的
概念课件32张
学习目标： 1、通过回顾，进一步体会由平均变化率过渡到瞬时变 化率的过程. 2、理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，会求
函数f(x)在某一点x0处的导数。
3、能解释具体函数在一点的导数的实际意义。 学习重点：导数的概念及导数的实际意义。 学习难点：结合具体问题，理解导数概念的内涵
思 考 ： f ( 4 ) 的 值 ， 它 的 实 际 意 义 是 什 么 ？
说一说1：一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作， 生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x
（单位：h）的函数 y f(x) 。假设函数 y f(x)
在x=1和x=3处的导数分别为 f (1) 4和 f(3)3.5
，试解释它们的实际意义。
Δy Δx.
导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出. 费马对数学的贡献包括：与笛卡尔 共同创立了解析几何；创造了作曲 线切线的方法，被微积分发明人之 一牛顿奉为微积分的思想先驱；通 过提出有价值的猜想，指明了关于 整数的理论——数论的发展方向。 他还研究了掷骰子赌博的输赢规律， 从而成为古典概率论的奠基人之一。
问题3：对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x1时， 求函数值y关于x的平均变化率．
提示：ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0. 问题4：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？这 个常数是什么？ 提示：是．
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y
y=f(x)
y x
tan
kPQ
Q Δy
Pβ Δx
O
M x
当点Q沿着曲线逐渐向点P接近
△x→0,割线PQ有一个极限位置PT.
y=f(x) 割
我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. Q
线
y
lim
x0
y x
kPT
T 切线
P
o
x
曲线在点P(x0,y0)处的切线的斜率
k 切 线 ta n li x m 0 y x li x m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
△t>0时，从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
vh(2t)h(2) t
4.9(2t)26.5(2t)10(4.946.5210)
t 13.14.9t
△t<0时，从(2+△t)s到2s这段时间内平均速度
vh(2)h(2 t) 13.14.9 t t
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时
函数f(x)在点x0处的导数
f(x 0 ) li x m 0 y x li x m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
所以函数y=f(x)在点x0处存在导数时，导数的几何 意义为：函数在该点处切线的斜率。即
f(x0)k切线
练一练
1、求函数f(x)=x2在x=3处的导数。 2、求f(x)1在x=1处的导数，
x 并求出f(x)在该点处切线的方程。
1、求函数f(x)=x2在x=3处的导数。 解：
2、
解：
f
(1)
lim
f
(1x)
f
(1)Leabharlann 1 1 lim1xxo
x
xo x
lim 1 1 xo1x
由导数的几何意义知，所求的切线的斜率
为-1，且切线经过点（1,1）。由点斜式得，
f(x)在x=1处切线的方程为 y=-x+1
小结
导数概念的形成过程
平均速度 瞬时速度
平均变化率 瞬时变化率
导数
由平均变化率过渡到瞬 时变化率的三种方式 数值逼近
几何直观感受
解析式抽象
f(x 0 ) lx i0 m y x lx i0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
间内
间内
v 4 .9 t 1.1 3 v 4 .9 t 1.1 3
当△t = – 0.01时, v 当△t = – 0.001时, v
当△t = –0.0001时, v △t = – 0.00001, v
△t = – 0.000001, v
当△t = 0.01时, v 当△t =0.001时, v
的瞬时速度是 –13.1m/s。
当t 0时，
v h(2t)h(2) 13.1 t
为了表述方便,我们用
h2th2
lim
13.1
t0
t
表示“当t 2,t趋近于0时,平均速度v趋近于确
定值13.1” .
跳水运动员在t0到t0+△t时刻内的平均速度：
h(t0 t)h(t0)
t
跳水运动员在t=t0时刻的瞬时速度：
当△t =0.0001时, v △t = 0.00001, v △t =0.000001, v
…
当Δt趋近于0时,平均
……
…
速度有什么变化趋势?
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大
于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 – 13.1。
从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时
高中数学北师大版
选修22221导数的 概念课件25张
瞬时速度：物体在某一时刻的速度。
新课学习
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10
求ｔ＝2时的瞬时速度？
思考：
t在[2,2.1]内的平均速度是多少？ t在[2,2.01]内的平均速度是多少？ t在[2,2.001]内的平均速度是多少？ t在[2,2.0001]内的平均速度是多少？ t在[2,2.00001]内的平均速度是多少？
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f (2)和 f (6)
根据导数的定义,
所以,
求导数的步骤：
(1)求平均变化率
yf(x0x)f(x0)
x
x
(2)取极限得导数
f
(x0)
lim
x0
y x
牛顿
莱布尼茨
导数的几何意义
如图,函数y= f(x)的图象上有任意一点P(x0,y0),Q为 P在曲线C上邻近的一点,Q(x0+∆x,y0+∆y)
vlim slim h(t0 t)h(t0)
t t 0
t 0
t
函数f(x)从 x 0 到 x0 x 的平均变化率
yf(x0x)f(x0)
x
x
函数f(x)在 x x 0 处的瞬时变化率为
lim ylimf(x0 x)f(x0)
x x 0
x 0
x
导数的定义
一般的，函数y f (x)在点x x0处的瞬时变化率是
lim y lim f (x0 x) f (x0)
x x0
x0
x
我们称它为函数y f (x)在x x0处的导数，
记作f (x0)或y xx0
即：f
(
x0
)
lim
x0
y x
lim x0
f (x0
x) x
f (x0)
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,