2014数学中考二轮复习专题卷《一次二次函数》含答案

直角三角形问题1.已知：如图一次函数112y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数212y x bx c =++的图象与一次函数112y x =+的图象交于B C ，两点，与x 轴交于D E ，两点且D 点坐标为（1,0） （1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得PBC △是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由.（4）在抛物线上是否存在点P ，使得PBC △是以∠B 或∠C 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由.2. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点()02A ，，点()10C ，，如图所示；抛物线22y ax ax =--经过点B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC 斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C 的坐标为()10-，．B 点在抛物线211222y x x =+-的图象上，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，且B 点横坐标为3-．（1）求证：BDC COA △≌△； （2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=900,AC=BC ,OA=1，OC=4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.备用图5. 如图，已知抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点(03)C ，，对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段PQ =34AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．角与相似6.如图，四边形ABCO 是平行四边形，42AB OB ==，，抛物线过A B C 、、三点，与x 轴交于另一点D .一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止. （1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？（3）当t 为何值时，以P B O 、、为顶点的三角形与以点Q B O 、、为顶点的三角形相似？7. 如图①，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过(30)A ，、(44)B ，两点． (1)求抛物线的解析式；(2)将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标； (3)如图②，若点N 在抛物线上，且 NBO ABO ∠=∠，则在(2)的条件下，求出所有满足POD NOB △∽△的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．8.如图，已知抛物线的方程C :()()()120y x x m m =-+->与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧.（1）若抛物线1C 过点M (2，2)，求实数m 的值． （2）在（1）的条件下，求BCE △的面积．（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH EH +最小，并求出点H 的坐标． （4）在第四象限内，抛物线1C 上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与BCE △相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．9.在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .（1）直接填写：a = ，b = ，顶点C 的坐标为 ；（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.等腰三角形10.已知抛物线2y ax bx c =++经过()10A -，、()30B ，、()03C ，三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M ，使MAC △为等腰三角形，若存在，直接写出．．．．所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11. 已知直线24y x =+与x 轴、y 轴分别交于A D 、两点，抛物线212y x bx c =-++经过点A D 、，点B是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）设点M 是直线AD 上一点，且13AOM OMD S S =△△::，求点M 的坐标； （3）如果点(2)C y ，在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使BCP △为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12.如图，在平面直角坐标系中，直线22+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，将△AOB 绕原点O 顺时针旋转90º后得到△COD ，抛物线l 经过点A 、C 、D ． （1）求点A 、B 的坐标； （2）求抛物线l 的解析式；（3）已知在抛物线l 与线段AD 所围成的封闭图形（不含边界．．．．）中，存在点),(b a P ，使得△PCD 是等腰三角形，求a 的取值范围．答案1. 解：（1）()()0110B D ，，，的坐标代入212y x bx c =++ 1102c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩得解析式213122y x x =-+ 3分（2）设()00C x y ，，则有00200011213122y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得0043x y =⎧⎨=⎩，()43C ∴，. 6分由图可知：ACB ABD S S S =-△△又由对称轴为32x =可知()20E ，011119433122222S AE y AD OB ∴=-⨯=⨯⨯-⨯⨯=·8分（3）设符合条件的点P 存在，令()0P a ，.当P 为直角顶点时，如图，过C 作CF x ⊥轴于F . Rt Rt BO OP BOP PFC PF CF∴= △∽△，，即143aa =-.整理得2430a a -+=，解得1a =或3a = ∴所求的点P 的坐标为()10，或()30，综上所述：满足条件的点P 共有二个. 12分2. 解：（1）过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，9090BCD ACO ACO OAC ∠+∠=︒∠+∠=︒ ，，BCD CAO ∴∠=∠． 又90BDC COA ∠=∠=︒ ，CB AC =，∴12BDC CAO BD OC CD OA ∴====△≌△，，．∴点B 的坐标为()31，． （2）抛物线22y ax ax =--经过点()31B ，，则得到1932a a =--，解得12a=，所以抛物线的解析式为211222y x x =--； （3）假设存在点P ，使得ACP △是直角三角形；①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点；则延长BC 至点1P 使得1PC BC =，得到等腰直角三角形1ACP ，过点1P ，作1PMx ⊥轴，如图． 11CP BC MCP BCD =∠=∠ ，，190PMC BDC ∠=∠=︒， 1MPC DBC ∴△≌△2CM CD ∴==，11PM BD ∴==， 可求得点()111P --，；经检验点()111P --，在抛物线211222y x x =--上； ②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作2AP CA ⊥，且使得2AP AC =，得到等腰直角三角形2ACP ，过点2P 作2P N y ⊥轴， 如图同理可证2AP N CAO △≌△；221NP OA AN OC ∴====，，可求得点()221P -，；经检验点()221P -，也在抛物线211222y x x =--上； ③若以AC 为直角边，点A 为直角顶点； 则过点A 作3AP CA ⊥，且使得3APAC =， 得到等腰直角三角形3ACP ，过点3P 作3P H y ⊥轴，如图． 同理可证3AP H CAO △≌△；321HP OA AH OC ∴====，，可求得点()323P ，；经检验点()323P ，不在抛物211222y x x =--上． 故符合条件的点有()()121121P P ---，，，两点． 3. 解：（1）∵ 90BCD ACO ∠+∠=︒，90ACO OAC ∠+∠=︒，∴BCD OAC ∠=∠． ∵ABC △为等腰直角三角形，∴BC AC =．在BDC △和COA △中，90BDC COA BCD OAC BC AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDC COA △≌△（AAS ）．（2）∵C 点坐标为()10-，，∴BD =CO =1．∵B 点的横坐标为3-，∴B 点坐标为()31-，．设BC 所在直线的函数关系式为y kx b =+，则有0,31,k b k b -+=⎧⎨-+=⎩解之，得 1,21.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴BC 所在直线的函数关系式为1122y x =--． （3）存在．二次函数解析式为211222y x x =+-=21117228x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴对称轴为直线12x =-．若以AC 为直角边，点C 为直角顶点，对称轴上有一点1P ，使1CPAC ⊥．∵BCAC ⊥， ∴点1P 为直线BC 与对称轴直线12x =-的交点． 由题意，得 112212y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解之，得111214x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴11124P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，对称轴上有一点2P ，使2AP AC ⊥，过点A 作2AP BC ∥，交对称轴直线12x =-于点2P ． ∵CD =OA ， ∴A （0，2）．易求得直线2AP 的解析式为122y x =-+，由12212y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 得221294x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴21924P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴满足条件的点有两个，坐标分别为1211192424P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，-、-，． 4. 解：（1）由已知得：A （-1，0） B （4，5）∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （-1，0）B (4,5) ∴101645b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得：b=-2 c=-3（2）∵直线AB 经过点A （-1，0） B (4,5)∴直线AB 的解析式为：y=x +1 ∵二次函数223y x x =--∴设点E (t ， t +1),则F （t ，223t t --）∴EF= 2(1)(23)t t t +--- =2325()24t --+ ∴当32t =时，EF 的最大值=254∴点E 的坐标为（32，52）（3）①如图：顺次连接点E 、B 、F 、D可求出点F 的坐标（32，154-）,点D 的坐标为（1，-4） S EBFD 四边行=S BEF +S DEF=12531253(4)(1)242242⨯-+⨯-=758② ⅰ)过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P ,设点P (m ,223m m --)则有：25232mm --=解得:122m =,222m -=∴15)2p, 25)2p ⅱ）过点F 作b ⊥EF 交抛物线于3P ，设3P （n ，223n n --） 则有：215423n n --=- 解得：112n =，232n =（与点F 重合，舍去）∴3P 115-24（，） 综上所述：所有点P的坐标为125()22p +，225()22p 3P （115-24（，）. 5. （1）∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴1221b ba -=-=⨯，∴2b =-． ∵抛物线与y 轴交于点C （0，－3）， ∴c =－3，∴抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．（2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y =0时，x 2－2x －3=0． ∴x 1=1-，x 2=3. ∵A 点在B 点左侧， ∴A （1-，0），B （3，0）.设过点B （3，0）、C （0，－3）的直线的函数表达式为y =kx ＋m ，则033k m m =+⎧⎨-=⎩，∴13k m =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的函数表达式为y =x －3． （3）①∵AB =4，PO =34AB ，∴PO =3． ∵PO ⊥y 轴，∴PO ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得点P 的横坐标为12-，∴P 1724⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ∴F 704⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴FC =3－OF =3－74=54．∵PO 垂直平分CE 于点F ，∴CE =2FC =52． ∵点D 在直线BC 上，∴当x =1时，y =2-，则D （1，－2）．过点D 作DG ⊥CE 于点G ，∴DG =1，CG =1，∴GE =CE －CG =52－1=32．在Rt △EGD 中，tan ∠CED =23GD EG =．②P 1（1，2-），P 2512⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． 6. 解：（1） 四边形ABCO 是平行四边形，4.OC AB ∴==(42)(02)(40)A B C ∴-，，，，，． 1分 抛物线2y ax bx c =++过点B ， 2.c ∴= 2分由题意，有1642016422a b a b -+=⎧⎨++=⎩，．解得1161.4a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3分∴所求抛物线的解析式为211 2.164y x x =-++4分（2）将抛物线的解析式配方，得211(2)2.164y x =--+∴抛物线的对称轴为 2.x = 5分(80)(22)(2).D E F ∴，，，，，0欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有..OP QE BP FQ ==即363.2t t t ∴=-=，即7分（3）欲使以点P B O 、、为顶点的三角形与以点Q B O 、、为顶点的三角形相似， 90PBO BOQ ∠=∠=∴ °，有BP OQOB BO=或BP BOOB OQ=，即PB OQ =或2OB PB QO =·．①若P Q 、在y 轴的同侧.当BP OQ =时，t =83t -，2t ∴=．8分当2OB PB QO =·时，(83)4t t -=，即23840.t t -+=解得1222.3t t ==， 9分 ②若P Q 、在y 轴的异侧.当PB OQ =时，38t t -=，4t ∴=．10分当2OB PBQO =·时，(38)4t t -=，即23840t t --=.解得43t ±=403t -=< .故舍去. 43t +∴=11分∴当2t =或23t =或4t =或43t +=秒时，以P B O 、、为顶点的三角形与以点Q B O 、、为顶点的三角形相似.7. 解：(1) ∵ 抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点(30)A ，、(44)B ，．∴9301644a b a b +=⎧⎨+=⎩，．解得：13a b =⎧⎨=-⎩，．∴ 抛物线的解析式是23y x x =-．(2) 设直线OB 的解析式为1y k x =，由点(44)B ，，得：144k =，解得11k =． ∴ 直线OB 的解析式为y x =．∴ 直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y x m =-．∵ 点D 在抛物线23y x x =-上．∴ 可设2(3)D x x x -，．又点D 在直线y x m =-上，∴ 23x x x m -=-，即240x x m -+=．∵ 抛物线与直线只有一个公共点， ∴∆＝16－4m ＝0，解得：m ＝4．此时1x ＝2x ＝2，y ＝2x －3x ＝－2，∴ D 点坐标为(2，－2)．(3) ∵ 直线OB 的解析式为y x =，且(30)A ，，∴ 点A 关于直线OB 的对称点A '的坐标是(0，3)． 设直线A B '的解析式为23y k x =+，过点(44)B ，，∴ 2434k +=，解得：214k =． ∴ 直线A B '的解析式是134y x =+．∵ NBO ABO ∠=∠， ∴ 点N 在直线A B '上， ∴ 设点134N n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，又点N 在抛物线23y x x =-上，∴21334n n n +=-， 解得：134n =-，24n = (不合题意，会去)，∴ 点N 的坐标为345416⎛⎫- ⎪⎝⎭，．方法一：如图，将NOB △沿x 轴翻折，得到11N OB △，则1345416N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，1(44)B -，， ∴ O 、D 、1B 都在直线y x =-上．∵ 1POD NOB △∽△，∴ 111POD N OB △∽△， ∴11OP ON ＝1OD OB ＝12，∴ 点P 1的坐标为345832⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．将1OPD △沿直线y x =-翻折，可得另一个满足条件的点2453328P ⎛⎫⎪⎝⎭，．综上所述，点P 的坐标是345832⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或453328⎛⎫⎪⎝⎭，．方法二：如图，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°，得到22N OB △， 则2453164N ⎛⎫⎪⎝⎭，，2(44)B -，．∴O 、D 、2B 都在直线y x =-上．∵ 1POD NOB △∽△，∴ 122POD N OB △∽△，∴ 12OP ON ＝2OD OB ＝12，∴ 点1P 的坐标为453328⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 将1OPD △沿直线y x =-翻折，可得另一个满足条件的点2345832P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．综上所述，点P 的坐标是345832⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或453328⎛⎫⎪⎝⎭，． 8. 解：（1）依题意将()22M ，代入得2=()()1222m m-+-，解得4m =. （2）令()()12404x x -+-=，得1224x x =-=，.∴()20B -，，()40C ，.在1C 中，令0x =得2y =. ∴()02E ，.∴162BCE S BC OE ==△·. （3）当4m =时，易得对称轴1x =，又B 、C 关于1x =对称.连EC 交1x =于H ，则H 使BH EH +最小. 设直线EC ：y kx b =+，将()02E ，，()40C ，代入得122y x =-+，将1x =代入得312H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （4）分两种情况讨论（每写出一种相似情形给1分）右图当BEC BCF △∽△时，45EBC CBF∠=∠=°，2BE BCBC BE BF BC BF=∴=，·，作FT x ⊥轴，垂足为T ，则BT TF =.∴可令()2F x x --，()0x >，又点F 在抛物线上，∴()()122x x x m m--=-+-.∵2x +>0（∵x >0），∴2x m =，()222F m m --，， 此时)1BFm ==+，2BE BC m ==+.又∵2BCBE =·()22BF m∴+=，·)1m +，∴2m =±0m >，∴2m =. 如图（同上图略）当BEC FCB △∽△，则BC ECBF BC=，同①∵EBC CFB BTF COE ∠=∠，△∽△，2TF OE BT OC m ==，∴可令()22F x x m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0x >，又F 在抛物线上，∴()()()2122x x x m m m-+=-+-.∵()200x x +>> ，2x m =+，∴()2422m F m EC BC m m +⎛⎫+-==+ ⎪⎝⎭，，.又2BC ECBF=·，∴()22m +=整理得：0=16，显然不成立. 综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F ，使以点B 、C 、F 为顶点的三角形与BCE △相似，2m =.9. 解：（1）12a b =-=-，，顶点C 的坐标为（-1，4）（2）假设在y 轴上存在满足条件的点D , 过点C 作CE ⊥y 轴于点E ．由∠CDA =90°得，∠1+∠2=90°． 又∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1． 又∵∠CED =∠DOA =90°，∴△CED ∽△DOA ，∴AODO ED CE =．设D （0，c ），则341cc =-．变形得0342=+-c c ，解之得1231c ,c ==． 综合上述：在y 轴上存在点D （0，3）或（0，1），使△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形． （3）①若点P 在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ ∽△CAH ，得∠QCP =∠CAH ．延长CP 交x 轴于M ，∴AM =CM ， ∴AM 2=CM 2．设M （m ，0），则( m +3)2=42+(m +1)2，∴m =2，即M （2，0）．设直线CM 的解析式为y=k 1x+b 1，则⎩⎨⎧=+=+-0241111b k b k ， 解之得341-=k ，381=b ．∴直线CM 的解析式3834+-=x y ． 联立⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=3238342x x y x y ，解之得13209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或14x y =-⎧⎨=⎩(舍去)．∴)92031(，P ． ②若点P 在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ ∽△ACH ，得∠PCQ =∠ACH ．过A 作CA 的垂线交PC 于点F ，作FN ⊥x 轴于点N ．由△CFA ∽△CAH 得2==AHCHAF CA ， 由△FNA ∽△AHC 得21===CA AF HC NA AH FN ．∴12==FN AN ，, 点F 坐标为（-5,1）． 设直线CF 的解析式为y=k 2x+b 2，则⎩⎨⎧=+-=+-1542222b k b k ，解之得419,4322==b k ．∴直线CF 的解析式41943+=x y ． 联立⎪⎩⎪⎨⎧+--=+=32419432x x y x y ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=165547y x 或 14x y =-⎧⎨=⎩(舍去)． ∴)165547(，-P ． ∴满足条件的点P 坐标为)92031(，或)165547(，- 10. 解：（1）由题意得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，，． 解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，． ∴抛物线的函数关系式为：223y x x =-++.（2）∵()2121x =-=⨯-，∴抛物线的对称轴l 为：直线1x =. 连接BC 交对称轴l 于点P ，因为点A 与点B 关于对称轴l 成轴对称，所以点P 为所求的点.6分解法一：设直线l 交x 轴于点N ，则1ON =.∵()30B ，，∴3OB =，∴2BN =.∵l y ∥轴， ∴BPN BCO △∽△，∴PN BN CO BO =，∴233PN =，∴2PN =. ∵点P 在l 上，∴点P 的坐标是()12，. （图①）（图②）解法二：设直线BC 的函数关系式为y kx m =+，将()30B ，、()03C ，代入，得303k m m +=⎧⎨=⎩，．解得：13k m =-⎧⎨=⎩，．∴3y x =-+. ∵点P 在对称轴l 上，∴点P 的横坐标为1.当1x =时，132y =-+=，∴点P 的坐标是（1，2）.（3）符合条件的点M 共有4个：（1，0），（1），(1-，（1，1）.11题11. 解：（1）当0x =时，4y =，(04)D ∴，．当0y =时，2x =-，(20)A ∴-，． 抛物线212y x bx c=-++经过点A D 、，4220c b c =⎧∴⎨--+=⎩，．解得1b =，4c =．∴这条抛物线的解析式为2142y x x =-++.当0y =时，整理得2280x x --=，解得12x =-，24x =，∴点(40)B ，． （2）①当点M 在线段AD 上时，过点M 作MEx ⊥轴于E ，13AOM OMD S S = △△::，13AM MD ∴=::，又ME y ∥轴，Rt Rt AME ADO ∴△∽△，14ME AM DO AD ∴==，又(04)41D OD ME ∴=∴= ，，，，133241(1)22x x M ∴+=∴=-∴-，，，． ②当点M 在DA 的延长线上时，过点M 作MF x ⊥轴于F ，13AOM OMD S S = △△::，13AM MD ∴=::，12AM AD ∴=::，又M F y ∥轴，R t R tA M F A D O ∴△∽△，12MF AM DO AD ∴==． 2422423(32)OD MF x x M =∴=∴+=-∴=-∴-- ，，，，，．（3）在y 轴的正半轴上存在符合条件的点P ． 点(2)C y ，在这条抛物线上，4y ∴=，∴点()24C ，， 连接CD ，(04)D ，，90CDO ∴∠=°，①设11(0)P y ，，满足11PB PC =，其中10y >．在1Rt BOP △中，22211PB OB OP =+；在1Rt CDP △中，22211PC DC DP =+．222211OB DP DC DP ∴+=+，即2221142(4)y y +=+-．解得112y =，即11(0)2P ，，符合题意．②设22(0)P y ，，满足2P B BC =，其中20y >． 点(24)C ，，点(40)B ，，2224220BC ∴=+=，在2Rt BOP △中，22222P B OB OP =+，22220OB OP ∴+=，即222420y +=，解得22y =-（舍去）或22y =，即2(02)P ，，符合题意．③设33(0)P y ，，满足3PC BC =，其中30y >．在3Rt CDP △中，22233PC DP CD =+，22320DP CD ∴+=，即223(4)220y -+=，解得30y =（舍去）或38y =，即3(08)P ，． 直线3P B 的解析式为28y x =-+，而(24)C ，在直线3P B 上，∴3P 不符合题意，舍去． ∴在y 轴的正半轴上存在符合条件的点P ，点1(0)2P ，或(02)P ，． 12. 解：（1）当x =0时，y =2当y =0时，由2x+2=0得x =-1∴ A （-1，0） B （0，2） （答对一个坐标得2分）（2）由旋转可知：OC =OA =1，OD =OB =2∴ C （0，1）， D （2，0） 设抛物线l 的解析式是c bx ax y ++=2)0(≠a依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-02410c b a c c b a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=12121c b a ∴ 抛物线l 的解析式是121212++-=x x y（3）在COD Rt ∆中，由C （0，1）， D （2，0）可得512C 22=+=D 若△PCD 是等腰三角形，则有以下三种情况：①当C P =CD 时，此时点P 在抛物线l 与线段AD 所围成的封闭图形外，不合题意；（学生未答不扣分），②当DP =DC 时，以点D 为圆心，DC 长为半径画弧交x 轴于点H ，此时点P 在\s\up4 (⌒(⌒)CH ⌒上（不含点C 、H ），此时a 的取值范围是025<<+-a ； ③当P C=PD 时，作线段CD 的垂直平分线FG ，交CD 于点E ，交x 轴于点F ，交抛物线于点G ．此时点P 在线段FG 上（不含点F 、G 、E ），求得 E （1，21），DE =25.在DOC Rt DEF Rt ∆∆,中，DC DO DF DE CDO ==∠cos ，∴5225=DF ，解得45=DF ,∴43452=-=OF ，即F(43，0).易得过E 、F 的直线解析式是232-=x y ，联立方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-=121212322x x y x y 解得2293,229321--=+-=x x (舍去）∴点G 的横坐标是2293+-， 此时a 的取值范围是229343+-<<a ，且1≠a . 综合①②③，当△PCD 是等腰三角形时，a 的取值范围是025<<+-a 或229343+-<<a ，且1≠a .。

2014年中考数学总复习《二次函数》选择题参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）3．（2013•重庆）一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定a、b的符号，且直线与抛物线均经过点A，所以把点A的坐标代入一次函数或二次函数可以求得b=2a，k的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定．解答：解：∵根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，∴b=2a．∵由图示知，抛物线开口向上，则a＞0，∴b＞0．∵反比例函数图象经过第一、三象限，∴k＞0．A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k＞0∴2a+k＞2a，即b＜2a+k．故本选项错误；B、∵b=2a，∴a=﹣k，则k＜﹣k．∴k＜0．这与k＞0相矛盾，∴a=b+k不成立．故本选项错误；C、∵a＞0，b=2a，∴b＞a＞0．故本选项错误；D、观察二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）图象知，当x=﹣=﹣=﹣1时，y=﹣k＞﹣=﹣=﹣a，即k＜a，∵a＞0，k＞0，∴a＞k＞0．故本选项正确；故选D．点评：本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．1．（2013•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据图象得到x=﹣2时对应的函数值小于0，得到N=4a﹣2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x=﹣1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0，变形即可对于P作出判断，根据a，b，c的符号判断得出a+b﹣c的符号．解答：解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，∵图象经过y轴正半轴，∴c＞0，∴M=a+b﹣c＜0当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，∴N=4a﹣2b+c＜0，∵﹣＞﹣1，∴＜1，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，∴P=2a﹣b＜0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．故选：A．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及a，b，c的符号是解题关键．2．（2013•淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；解答：解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，∴4=a×（﹣2）2，解得：a=1∴解析式为y=x2，∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），∴OB=OD=2，∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD∥x轴，∴点D和点P的纵坐标均为2，∴令y=2，得2=x2，解得：x=±，∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：（，2）故选：C．点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．6．（2013•义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，∴=﹣3，则a=﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a=﹣，﹣=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．7．（2013•泰安）对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解：①∵a=﹣＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；③顶点坐标为（﹣1，3），正确；④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．8．（2013•深圳）已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：首先根据二次函数图象得出a，c的值，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限．解答：解：根据二次函数开口向上则a＞0，根据﹣c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y=ax+c的大致图象经过一、二、三象限，故选：A．点评：此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的值是解题关键．4．（2013•张家界）若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据正比例函数图象的性质确定m＜0，则二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．解答：解：∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0．∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．综上所述，符合题意的只有A选项．故选A．点评：本题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知m＜0是解题的突破口．5．（2013•岳阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④b+2a=0；⑤a+b+c＜0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D ．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：如图，①抛物线开口方向向下，则a＜0．故①正确；②∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即b＞0．故②错误；③∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．故③正确；④∵对称轴x=﹣=1，∴b+2a=0．故④正确；⑤根据图示知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0．故⑤错误．综上所述，正确的说法是①③④，共有3个．故选C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．（2013•日照）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：若y1=y2，记M=y1=y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．解答：解：∵当y1=y2时，即﹣x2+4x=2x时，解得：x=0或x=2，∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴①错误；∵抛物线y1=﹣x2+4x，直线y2=2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②正确；∵抛物线y1=﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，∴③正确；∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；当M=2，2x=2，x=1；x＞2时，y2＞y1；当M=2，﹣x2+4x=2，x1=2+，x2=2﹣（舍去），∴使得M=2的x值是1或2+，∴④错误；故选B．点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．10．（2013•黔西南州）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：（1）图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，正确；（2）图象与y轴的交点在1的下方，所以c＜1，错误；（3）∵对称轴在﹣1的右边，∴﹣＞﹣1，又a＜0，∴2a﹣b＜0，正确；（4）当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；故错误的有1个．故选：A．点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．12．（2013•平凉）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴x=﹣＞﹣1，故＜1，∵a＜0，∴b＞2a，所以2a﹣b＜0，①正确；②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确；③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确；④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，④错误；⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误；故错误的有2个．故选：B．点评：此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键．13．（2013•攀枝花）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据二次函数的图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数与反比例函数得出图象经过的象限．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴经过x的负半轴，∴a，b同号，图象经过y轴的正半轴，则c＞0，∵函数y=，a＜0，∴图象经过二、四象限，∵y=bx+c，b＜0，c＞0，∴图象经过一、二、四象限，故选；B．点评：此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数和反比例函数的性质，根据已知得出a，b，c的值是解题关键．14．（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．分析：根据对称轴及抛物线与x轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行判断．解答：解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意；B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意；C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；D、由抛物线的对称轴为x=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是利用数形结合思想解题．15．（2013•南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2﹣4ac≥0 C．x1＜x0＜x2D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0考点：抛物线与x轴的交点．专题：压轴题．分析：根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．解答：解：A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；B、∵x1＜x2，∴△=b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；D、若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键，C、D选项要注意分情况讨论．11．（2013•齐齐哈尔）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①②④D．①②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由于抛物线过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，则得到抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，于是可判断a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；利用抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；由于x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，变形得2a+b+=0，则根据0＜c＜2得2a+b+1＞0；根据根与系数的关系得到2x1=，即x1=，所以﹣2＜＜﹣1，变形即可得到2a+c＞0．解答：解：如图，∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，即x=﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，∴2a+b+=0，∵0＜c＜2，∴2a+b+1＞0，所以③错误；∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2，∴2x1=，即x1=，而﹣2＜x1＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∵a＜0，∴﹣4a＞c＞﹣2a，∴2a+c＞0，所以④正确．故选C．点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2﹣4ac＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2﹣4ac=0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2﹣4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．16．（2013•牡丹江）抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）如图所示，则关于x 的不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是（ ）A ． x ＜2B ． x ＞﹣3C ． ﹣3＜x ＜1D ． x ＜﹣3或x ＞1考点： 二次函数与不等式（组）．分析：根据函数图象，写出x 轴上方部分的x 的取值范围即可． 解答： 解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点坐标为（﹣3，0）（1，0），∴关于x 的不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是﹣3＜x ＜1． 故选C ．点评： 本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想求解是此类题目的特点．17．（2013•聊城）二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 二次函数的图象；一次函数的图象． 专题： 数形结合．分析： 根据二次函数图象的开口方向向下确定出a ＜0，再根据对称轴确定出b ＞0，然后根据一次函数图象解答即解答：解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＞0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，C选项图象符合．故选C．点评：本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关键．18．（2013•济南）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论正确的是（）D．4ac﹣b2＜﹣8aA．a＜0 B．a﹣b+c＜0 C．﹣考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．分析：由开口方向，可确定a＞0；由当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，可确定B错误；由对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，可确定x=﹣＜1；由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y轴右侧，a＞0，可得最小值：＜﹣2，即可确定D正确．解答：解：A、∵开口向上，∴a＞0，故本选项错误；B、∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故本选项错误；C、∵对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，∴x=﹣＜1，故本选项错误；D、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y轴右侧，a＞0，∴最小值：＜﹣2，∴4ac﹣b2＜﹣8a．故本选项正确．故选D．点评：此题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．19．（2013•河池）已知二次函数y=﹣x2+3x﹣，当自变量x取m对应的函数值大于0，设自变量分别取A．y1＞0，y2＞0 B．y1＞0，y2＜0 C．y1＜0，y2＞0 D．y1＜0，y2＜0考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：数形结合．分析：根据二次函数的性质得到二次函数y=﹣x2+3x﹣的图象的对称轴为x=，抛物线与y轴的交点为（0，﹣），则可得到抛物线与x轴两交点之间的距离小于3，所以当x=m时，y＞0；当x=m﹣3时，y1＜0；当x=m+3时，y2＜0．解答：解：如图，∵二次函数y=﹣x2+3x﹣的图象的对称轴为x=﹣=，而抛物线与y轴的交点为（0，﹣），∴抛物线与x轴两交点之间的距离小于3，∵当x=m时，y＞0，∴当x=m﹣3时，y1＜0；当x=m+3时，y2＜0．故选D．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式y=ax2+bx+c （a≠0）．20．（2013•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O其中正确的是（）A．①③B．只有②C．②④D．③④考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线开口向上，得到a＞0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b＜0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别﹣2b+c小于0，最后由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到b=﹣2a，得到选项④正确，即可得到正确结论的序号．解答：解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①错误；∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，②正确，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误；∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，而x=0时对应的函数值为正数，∴4a+2b+c＞0，④正确；则其中正确的有②④．故选C．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1，2及﹣2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．21．（2013•常州）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0考点：二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．专题：压轴题．分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选B．点评：本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22．（2013•滨州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：根据对称轴为x=1可判断出2a+b=0正确，当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，根据开口方向，以及与y轴交点可得ac＜0，再求出A点坐标，可得当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．解答：解：∵对称轴为x=1，∴x=﹣=1，∴﹣b=2a，∴①2a+b=0，故此选项正确；∵点B坐标为（﹣1，0），∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故此选项正确；∵图象开口向下，∴a＜0，∵图象与y轴交于正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0，故ac＞0错误；∵对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0），∴A点坐标为：（3，0），∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．，故④错误；故选：B．点评：此题主要考查了二次函数与图象的关系，关键掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．23．（2013•百色）在反比例函数y=中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y=mx 2+mx 的图象大致是图中的（ ） A ．B ．C ．D ．考点： 二次函数图象与系数的关系；反比例函数的性质．分析： 根据反比例函数图象的性质确定出m ＜0，则二次函数y=mx 2+mx 的图象开口方向向下，且与y 轴交于负半轴，即可得出答案．解答：解：∵反比例函数y=，中，当x＞0时，y 随x 的增大而增大，∴根据反比例函数的性质可得m ＜0； 该反比例函数图象经过第二、四象限，∴二次函数y=mx 2+mx 的图象开口方向向下，且与y 轴交于负半轴． ∴只有A 选项符合． 故选A ．点评： 本题考查了二次函数图象、反比例函数图象．利用反比例函数的性质，推知m ＜0是解题的关键，体现了数形结合的思想．24．（2013•鞍山）如图所示的抛物线是二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，则下列结论： ①abc ＞0；②b+2a=0；③抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0）；④a+c ＞b ；⑤3a+c ＜0． 其中正确的结论有（ ）A ． 5个B ． 4个C ． 3个D ． 2个考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 压轴题． 分析：由开口方向、与y 轴交于负半轴以及对称轴的位置，即可确定a ，b ，c 的正负；由对称轴x=﹣=1，可得b+2a=0；由抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x=1，可得抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0）；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0；a ﹣b+c ＜0，b+2a=0，即可得3a+c ＜0．解答： 解：∵开口向上，∴a ＞0，∵与y 轴交于负半轴，∵对称轴x=﹣＞0，∴b＜0，∴abc＞0；故①正确；∵对称轴x=﹣=1，∴b+2a=0；故②正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；故③正确；∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故④错误；∵a﹣b+c＜0，b+2a=0，∴3a+c＜0；故⑤正确．故选B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．25．（2013•鄂尔多斯）下列说法中，正确的有（）（1）的平方根是±5．（2）五边形的内角和是540°．（3）抛物线y=3x2﹣x+4与x轴无交点．（4）等腰三角形两边长为6cm和4cm，则它的周长是16cm．（5）若⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且O1O2=3，则两圆相交．A．2个B．3个C．4个D．5个考点：圆与圆的位置关系；平方根；解一元二次方程-因式分解法；抛物线与x轴的交点；三角形三边关系；等腰三角形的性质；多边形内角与外角．分析：（1）首先化简，可得=5，继而求得的平方根；（2）根据多边形的内角和公式：（n﹣2）×180°，即可求得答案；（3）根据抛物线与x轴交点的关系，即可求得答案；（4）分别从6cm为腰长，4cm为底边长与6cm为底边长，4cm为腰长去分析求解即可求得答案；（5）由圆与圆的位置关系的性质求解即可求得答案．解答：解：（1）的平方根是±，故错误；（2）五边形的内角和是540°，故正确；（3）∵△=b2﹣4ac=1﹣4×3×4=﹣47＜0，∴抛物线y=3x2﹣x+4与x轴无交点；故正确；（4）等腰三角形两边长为6cm和4cm，则它的周长是16cm或14cm，故错误；（5）∵若⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，∴⊙O1与⊙O2的半径分别为：1，3，∴半径和为4，差为2，∴两圆相交，故正确．故选B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系、等腰三角形的性质、平方根以及抛物线与一元二次方程的关系．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．26．（2013•内江）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x=1C．当x=1时，y的最大值为﹣4 D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）考点：二次函数的性质．分析：A根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向．B利用x=﹣可以求出抛物线的对称轴．C利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值．D当y=0时求出抛物线与x轴的交点坐标．解答：解：∵抛物线过点（0，﹣3），∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．A、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，正确．B、根据抛物线的对称轴x=﹣=﹣=1，正确．C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x=1时，y的最小值为﹣4，而不是最大值．故本选项错误．D、当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．正确．故选C．点评：本题考查的是二次函数的性质，根据a的正负确定抛物线的开口方向，利用顶点坐标公式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，确定抛物线的最大值或最小值，当y=0时求出抛物线与x轴的交点坐标．27．（2013•龙岩）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．a c＞0 D．b c＜0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题．分析：由抛物线开口向下得到a小于0，再根据对称轴在y轴左侧得到a与b同号得到b大于0，由抛物线与y轴交点在负半轴得到c小于0，即可作出判断．解答：解：根据图象得：a＜0，c＜0，b＜0，则ac＞0，bc＞0，故选C．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间28．（2013•济宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：A、抛物线的开口方向向下，则a＜0．故本选项错误；B、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故本选项正确；C、根据图示知，该抛物线与y轴交与正半轴，则c＞0．故本选项错误；D、根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．29．（2013•哈尔滨）把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2考点：二次函数图象与几何变换．分析：先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．解答：解：抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），∵向下平移2个单位，∴纵坐标变为﹣2，∵向右平移1个单位，∴横坐标变为﹣1+1=0，∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，﹣2），∴所得到的抛物线是y=x2﹣2．故选D．。

一次、反比例函数题-（密云）17．如图所示，已知一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数(0)my m x=≠ 的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ．若OA=OB=OD=1． （1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式． （密云）17. (1) ∵OA=OB=OD=1，∴点A 、B 、D 的坐标分别为A （﹣1，0），B （0，1），D （1，0）； (3)分（2）∵点A 、B 在一次函数y=kx+b （k≠0）的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=x+1．……………………………………………………………4分∵点C 在一次函数y=x+1的图象上，且CD⊥x 轴， ∴点C 的坐标为（1，2）， 又∵点C 在反比例函数(0)my m x=≠ 的图象上， ∴m=2；∴反比例函数的解析式为y=． (5)分（燕山）18.如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，OB OA <，且OA 、OB 的长分别是一元二次方程01272=+-x x 的两根．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）点P 是y 轴上的点，点Q A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，请直接．．写出Q 点的坐标． （燕山）18.解：（1）∵01272=+-x x ， ∴0)4)(3(=--x x ， ∴31=x ，42=x .∴ 点A 的坐标为(3,0)，点B 的坐标为(0,4) ． ……………2分 ∵设直线AB 的函数表达式为)0(≠+=k b kx y∴⎩⎨⎧=+=.4,30b b k ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=434b k∴直线AB 的函数表达式为434+-=x y . ……………3分 （2）Q 点的坐标是(3，5)或(3,825)． ……………5分（怀柔）18.如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （-3，0）. ⑴求点D 的坐标；⑵求经过点C 的反比例函数表达式. （怀柔）18.解：(1)根据题意得AO=4，BO=3，∠AOB=90°， ∴AB=22AO BO =2243=5. ………………………………………1分∵四边形ABCD 为菱形，所以AD=AB=5， ∴OD=AD-AO=1, ∵点D 在y 轴负半轴，∴点D 的坐标为（-1,0）. ………………………………3分 (2)设反比例函数表达式为k y x. ∵BC=AB=5，OB=3,∴点C 的坐标为（-3，-5）. ………………………………………4分 ∵反比例函数表达式ky x经过点C, ∴反比例函数表达式为15y x.………………………………………5分（大兴）17． 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中， 一次函数84+-=x y 的图象分别与x y 、轴交于 点A 、 B ，点P 在x 轴的负半轴上，△ABP 的面积为12.若一次函数y=kx+b 的图象经过点P 和点B ，求这个一次函数y=kx+b 表达式． （大兴）17.解：令0y =，得 2x = ∴A 点坐标为（2 ，0） 令0x =， 得 8=y∴B 点坐标为（0 ，8） ……………………………1分 ∵12=∆APB S ∴12821=⨯⨯AP 即AP =3∴P 点的坐标分别为)0,1(1-P 或)0,5(2P …………………2分 ∵点P 在x 轴的负半轴上，∴P （-1,0） ……………………………3分 ∵一次函数y=kx+b 的图象经过点P 和点B ∴⎩⎨⎧==+-,8,0b b k ……………………4分∴⎩⎨⎧==.8,8b k ∴ 这个一次函数y kx b =+的表达式为88+=x y …………5分xyBA11O xyBA11O （丰台）18．已知反比例函数1ky x的图象与一次函数y 2=ax +b 的图象交于点A （1，4）和 点B （m ，﹣2）。

2014年中考复习方程与不等式试题精选（含答案）一．选择题（共10小题）1．（2013•滨州）把方程变形为x=2，其依据是（）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质D．不等式的性质1 2．（2013•潍坊）为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地抽查了10000人，并进行统计分析．结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人．如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（）A．B．C．D．3．（2013•广安）如果a3x b y与﹣a2y b x+1是同类项，则（）A．B．C．D．4．（2013•湛江）由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价a%后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（）A．12（1+a%）2=5 B．12（1﹣a%）2=5 C．12（1﹣2a%）=5 D．12（1﹣a2%）=5 5．（2013•西宁）已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定6．（2013•泸州）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠07．（2013•岳阳）关于x的分式方程+3=有增根，则增根为（）A．x=1 B． x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣38．（2013•铜仁地区）张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米，某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分、7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，则可列得方程为（）A．B．C．D．9．（2013•聊城）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．10．（2013•德阳）适合不等式组的全部整数解的和是（）A．﹣1 B．0C．1D．2二．填空题（共6小题）11．（2013•深圳）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价_________元．12．（2012•淄博）关于x，y 的二元一次方程组中，m与方程组的解中的x或y相等，则m的值为_________．13．（2013•绍兴）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有_________只，兔有_________只．14．（2010•仙桃）二次三项式x2﹣4x﹣1写成a（x+m）2+n的形式为_________．15．（2013•绥化）若关于x 的方程=+1无解，则a的值是_________．16．（2012•菏泽）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是_________．三．解答题（共4小题）17．（2013•淄博）解方程组．18．（2013•来宾）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？19．（2013•玉溪）某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？20．（2013•莱芜）某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干．已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元，且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同．（1）两种跳绳的单价各是多少元？（2）若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，问学校有几种购买方案可供选择？2014年中考复习方程与不等式试题精选参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．B．2．B．3．D．4．B．5．C．6．D7．A．8．A．9．A．10．B．二．填空题（共6小题）11．2750 12．2或13．221114．（x﹣2）2﹣515．2或116．m≤3三．解答题（共4小题）17．解：，①﹣2×②得，﹣7y=7，解得y=﹣1；把y=﹣1代入②得，x+2×（﹣1）=﹣2，解得x=0，故此方程组的解为：．18．解：（1）由题意，得60（360﹣280）=4800元．答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）=7200，解得：x1=8，x2=60∵有利于减少库存，∴x=60．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．19．解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，根据题意，列方程得：．解得：x=50．经检验，x=50是原方程的根，当x=50时，x+30=80．答：排球的单价为50元，则篮球的单价为80元．20．解：（1）设长跳绳的单价是x元，短跳绳的单价为y元．由题意得：．解得：．所以长跳绳单价是20元，短跳绳的单价是8元．（2）设学校购买a条长跳绳，由题意得：．解得：．∵a为正整数，∴a的整数值为29，30，31，32，33．所以学校共有5种购买方案可供选择．。

二次函数的综合运用此题主要针对中考26题压轴题此题分为三问（1）求函数解析式（二次函数解析式、一次函数解析式、反比例函数解析式）；（2）求二次函数中的一些线段长度或某个四边形的面积；（3）求二次函数中某些动点坐标或轨迹。

解答题1、(2013·重庆A卷25题) 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．2、(2013·重庆B卷25题)如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数在第一象限的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1=23S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．3、（2008•重庆）已知：如图，抛物线22y ax ax c=-+（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、（2011•丹东）己知：二次函数26y ax bx=++（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2-4x-12=0的两个根．（1）请直接写出点A、点B的坐标．（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．5、如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B的左侧，A坐标为（-1，0）与y轴交于点C（0，3）△ABC的面积为6．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M，N，B为顶点的三角形与△ABC 相似时，请你求出BN的长度；（3）设抛物线的顶点为D在线段BC上方的抛物线上是否存在点P使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6、（2013•珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（-1，-1-m）．（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．7、（2013•舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线()221144y x m m m=--+的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE ∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？8、（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x 轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．9、（2013•增城市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=-x+3恰好经过B，C两点（1）写出点C的坐标；（2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．10、（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．11、（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．12、（2013•安顺）如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．参考答案1、分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=-1，交x 轴于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（-3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B 点（1，0）；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=-1，求出b 的值，再将B （1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x-3，得到C 点坐标，然后设P 点坐标为（x ，x2+2x-3），根据S △POC=4S △BOC 列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，进而得到点P 的坐标（4，21）或（-4，5）；②先运用待定系数法求出直线AC 的解析式为y=-x-3，再设Q 点坐标为（x ，-x-3），则D 点坐标为（x ，x2+2x-3），然后用含x 的代数式表示QD=23924x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． 2、分析：（1）y=x ，y=9x ； （2）y=x-92； （3）219422y x x =-+-；（4）点E 的坐标为（2，32）3、（1）2142y x x =--+（2）可先设Q 的坐标为（m ，0）；通过求△CEQ 的面积与m 之间的函数关系式()21133y m =--+，来得出△CQE 的面积最大时点Q 的坐标（1，0）．（3）本题要分三种情况进行求解：①当OD=OF 时，OD=DF=AD=2，又有∠OAF=45°，那么△OFA 是个等腰直角三角形，于是可得出F 的坐标应该是（2，2）．由于P ，F 两点的纵坐标相同，因此可将F 的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标()()11或．②当OF=DF 时，如果过F 作FM ⊥OD 于M ，那么FM 垂直平分OD ，因此OM=1，在直角三角形FMA 中，由于∠OAF=45°，因此FM=AM=3，也就得出了F 的纵坐标，然后根据①的方法求出P 的坐标．()()11+或③当OD=OF 时，OF=2，由于O 到AC的最短距离为，因此此种情况是不成立的． 综合上面的情况即可得出符合条件的P的坐标．()()11或；()()11+或。

2014中考数学二次函数综合训练1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线mxy+=与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边P点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图2，已知二次函数24y ax x c=-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的图13、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.（1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S.① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润S （万元）与时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）. 根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S 与时间t 之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；（4）求第8个月公司所获利是多少元？5、如图5，已知抛物线cxbxay++=2的顶点坐标为E（1,0），与y轴的交点坐标为（0,1）.（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥x轴交抛物线于D，过B作BC⊥x 轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（t,0），四边形ABCD的面积为S.P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点.图5 备用图6)如图6，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。

2014 年中考数学冲刺复习资料 : 二次函数压轴题一、面积类1．如图，已知抛物线经过点 A （﹣ 1，0）、 B （3， 0）、 C （ 0， 3）三点．（ 1）求抛物线的分析式．（ 2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B ， C 重合），过 M 作 MN ∥ y 轴交抛物线于 N ，若点M 的横坐标为 m ，请用 m 的代数式表示 MN 的长．（ 3）在（ 2）的条件下，连结 NB 、 NC ，能否存在 m ，使△ BNC 的面积最大？若存在，求 m 的值；若不存在， 说明原因．剖析：专题：压轴题；数形联合．（ 1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的分析式．（ 2）先利用待定系数法求出直线 BC 的分析式，已知点 M 的横坐标，代入直线 BC 、抛物线的分析式中，可获得M 、 N 点的坐标， N 、 M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长．（ 3）设 MN 交 x 轴于 D ，那么△ BNC 的面积可表示为： S △ BNC =S △ MNC +S △MNB =MN （ OD +DB ） =MN ? OB ， MN 的表达式在（ 2）中已求得，OB 的长易知， 由此列出对于S △ BNC 、m 的函数关系式， 依据函数的性质即可判断出△BNC能否拥有最大值．解：（ 1）设抛物线的分析式为： y =a （ x +1）（ x ﹣ 3），则：a （ 0+1）（ 0﹣ 3） =3， a =﹣ 1；∴抛物线的分析式：y =﹣（ x +1）（ ﹣ 3）=﹣ 2+2 +3．x x x（ 2）设直线 BC 的分析式为： y =kx +b ，则有：，解得；故直线 BC 的分析式： y =﹣ x +3．2已知点 M 的横坐标为 m ， MN ∥y ，则 M （m ，﹣ m +3）、 N （ m ，﹣ m +2m +3）； 22∴故 MN =﹣m +2m +3﹣（﹣ m +3）=﹣ m +3m （ 0＜ m ＜ 3）．（ 3）如图；∵ S △ BNC =S △ MNC +S △MNB =MN （ OD +DB ） =MN ? OB ，△ BNC22∴ S =（﹣ m +3m ） ? 3=﹣（ m ﹣） +（ 0＜m ＜ 3）；∴当 m =时，△ BNC 的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x 轴交于 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（ 4，0）． （ 1）A求抛物线的分析式；（ 2）尝试究△ABC的外接圆的圆心地点，并求出圆心坐标；（ 3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求△ MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．专题：压轴题；转变思想．剖析：（ 1）该函数分析式只有一个待定系数，只要将B 点坐标代入分析式中即可．（ 2）第一依据抛物线的分析式确立A 点坐标，而后经过证明△ ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆心的地点，由此确立圆心坐标．（ 3）△ MBC 的面积可由S △ MBC =BC × h 表示，若要它的面积最大，需要使h 取最大值，即点M 到直线BC 的距离最大，若设一条平行于BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M ．解：（ 1）将 B （ 4， 0）代入抛物线的分析式中，得：0=16a ﹣× 4﹣ 2，即： a =；∴抛物线的分析式为：y =x 2﹣ x ﹣2．（ 2）由（1）的函数分析式可求得：A （﹣ 1， 0）、C （ 0，﹣ 2）；∴ OA =1， OC =2， OB =4，2即： OC =OA ?OB ，又：OC ⊥ AB ，∴△ OAC ∽△ OCB ，得：∠ OCA =∠ OBC ；∴∠ ACB =∠OCA +∠ OCB =∠ OBC +∠ OCB =90°，∴△ ABC 为直角三角形， AB 为△ ABC 外接圆的直径；因此该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为： （， 0）．（ 3）已求得： B （ 4， 0）、 C （ 0，﹣ 2），可得直线BC 的分析式为： y =x ﹣ 2；设直线 l ∥BC ，则该直线的分析式可表示为：y =x +b ，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x +b =x 2﹣ x ﹣2，即： x 2﹣2x ﹣ 2﹣b =0，且△ =0；∴4﹣4×（﹣ 2﹣ b ）=0，即 b =﹣ 4；∴直线 l ： y =x ﹣ 4．因此点 M 即直线 l 和抛物线的独一交点，有：，解得：即 M （ 2，﹣ 3）．过 M 点作 MN ⊥ x 轴于 N ，S △ BMC =S 梯形 OCMN +S △MNB ﹣ S △ OCB =×2×（ 2+3）+×2×3﹣× 2×4=4．二、平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线= 2+ + 经过点 （ 3，0）、 （ 0，﹣ 3），点 P 是直线ABy x mx n AB上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点 P 的横坐标为 t ．（ 1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的分析式．（ 2）若点 P 在第四象限，连结 AM 、 BM ，当线段 PM 最长时，求△ ABM 的面积．（ 3）能否存在这样的点 P ，使得以点 P 、 M 、 B 、 O 为极点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明原因．考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数分析式；待定系数法求二次函数分析式；三角形的面积；平行四边形的判断．.专题：压轴题；存在型．剖析：（ 1）分别利用待定系数法求两函数的分析式：把 A （ 3， 0） B （ 0，﹣ 3）分别代入 y =x 2+mx +n 与 y =kx +b ，获得对于 m 、 n 的两个方程组，解方程组即可；（ 2）设点 P 的坐标是（ t ， t ﹣3），则 M （ t ， t 2﹣ 2t ﹣ 3），用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标获得 PM 的长，即 PM =（ t ﹣ 3）﹣（ t 2﹣ 2t ﹣ 3）=﹣ t 2+3t ，而后依据二次函数的最值获得当 t =﹣ =时， PM 最长为 =，再利用三角形的面积公式利用 S △ ABM =S △ BPM +S △ APM 计算即可；（ 3）由 PM ∥ OB ，依据平行四边形的判断获得当 PM =OB 时，点 P 、 M 、 B 、 O 为极点的四边形为平行四边形， 而后议论：当P 在第四象限： = =3， 最长时只有，因此不行能；当P 在第一象限：= =3，（ 2 ﹣PMOB PMPM OB t2 ﹣ 3）﹣（ t ﹣ 3） =3；当 P 在第三象限：= =3， t 2﹣ 3 t =3，分别解一元二次方程即可获得知足条件的tPM OBt 的值．解答：解：（ 1）把 A （ 3， 0） B （ 0，﹣ 3）代入 y =x 2+mx +n ，得解得，因此抛物线的分析式是y =x 2﹣ 2x ﹣3．设直线 AB 的分析式是 y =kx +b ，把 A （ 3， 0） B （ 0，﹣ 3）代入 y =kx +b ，得，解得，因此直线 AB 的分析式是 y =x ﹣ 3；（ 2）设点 P 的坐标是（ t ， t ﹣3），则 M （ t ， t 2﹣ 2t ﹣ 3），由于 p 在第四象限，因此 PM =（t ﹣ 3）﹣（ t 2﹣ 2t ﹣3） =﹣ t 2+3t ，当 t =﹣ =时，二次函数的最大值，即最长值为 =，PM则 S △ABM =S △ BPM +S △ APM ==．（ 3）存在，原因以下： ∵ PM ∥ OB ，∴当 PM =OB 时，点 P 、 M 、 B 、O 为极点的四边形为平行四边形，①当 P 在第四象限： PM =OB =3， PM 最长时只有，因此不行能有 PM =3． ②当 P 在第一象限： PM =OB =3，（ t 2﹣2t ﹣ 3）﹣（ t ﹣ 3） =3，解得 t 1=， t 2=（舍去），因此 P 点的横坐标是；③当 P 在第三象限： PM =OB =3， t 2﹣ 3t =3，解得 t 1=（舍去）， t 2 =，因此 P 点的横坐标是．因此 P 点的横坐标是或．4．如图，在平面直角坐标系中搁置向来角三角板，其极点为A （ 0， 1），B （ 2， 0）， O （ 0， 0），将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90°，获得△ A ′ B ′ O ．（ 1）一抛物线经过点A ′、B ′、 B ，求该抛物线的分析式；（ 2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，能否存在点 P ，使四边形 PB ′ A ′ B 的面积是△ A ′ B ′ O面积 4 倍？若存在，恳求出 P 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）在（ 2）的条件下，试指出四边形′ ′B 是哪一种形状的四边形？并写出四边形 ′ ′ 的两条性PB APBAB质．剖析：（ 1）利用旋转的性质得出A ′（﹣ 1， 0），B ′（ 0， 2），再利用待定系数法求二次函数分析式即可；（ 2）利用 S=S+S +S ，再假定四边形PB ′ A ′ B 的面积是△ A ′ B ′ O 面积的 4 倍，得出四边形 PB ′ A ′ B △ B ′ OA ′△ PB ′ O △POB一元二次方程，得出 P 点坐标即可；（ 3）利用 P 点坐标以及B 点坐标即可得出四边形′ ′ 为等腰梯形， 利用等腰梯形性质得出答案即可．PB A B解答：解：（ 1）△ A ′ B ′ O 是由△ ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90°获得的，又 A （ 0， 1）， B （ 2， 0）， O （0， 0）， ∴ A ′（﹣ 1， 0）， B ′（ 0， 2）．方法一：设抛物线的分析式为：y=ax2+bx+c（ a≠0），∵抛物线经过点A′、 B′、 B，∴，解得：，∴知足条件的抛物线的分析式为y=﹣ x2+x+2．方法二：∵ A′（﹣1，0）， B′（0，2），B（2，0），设抛物线的分析式为：y=a（x+1）（ x﹣2）将 B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得： a=﹣1，故知足条件的抛物线的分析式为y=﹣（ x+1）（ x﹣2）=﹣ x2+x+2；（ 2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设 P（ x， y），则 x＞0， y＞0，P 点坐标知足 y=﹣x2+x+2．连结 PB， PO， PB′，∴S 四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2） +1，=﹣x2+2x+3．∵ A′ O=1，B′ O=2，∴△ A′B′ O面积为：×1×2=1，假定四边形PB′ A′B 的面积是△ A′ B′ O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即 x2﹣2x+1=0，解得： x1=x2=1，此时 y=﹣12+1+2=2，即 P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′ A′B 的面积是△ A′B′ O面积的4倍．（ 3）四边形PB′ A′ B 为等腰梯形，答案不独一，下边性质中的随意 2 个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）或用符号表示：①∠ B′ A′B=∠ PBA′或∠ A′ B′ P=∠ BPB′；② PA′=B′ B；③ B′ P∥ A′ B；④ B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 10 分）5．如图，抛物线y =x 2﹣ 2x +c 的极点 A 在直线 l ：y =x ﹣ 5 上．（ 1）求抛物线极点 A 的坐标；（ 2）设抛物线与 y 轴交于点 B ，与 x 轴交于点 C 、 D （C 点在 D 点的左边），试判断△ ABD 的形状；（ 3）在直线 l 上能否存在一点P ，使以点P 、 A 、B 、 D 为极点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明原因．专题：压轴题；分类议论． 剖析：（ 1）先依据抛物线的分析式得出其对称轴，由此获得极点 A 的横坐标，而后辈入直线l 的分析式中即可求出点 A 的坐标．（ 2）由 A 点坐标可确立抛物线的分析式，从而可获得点B 的坐标．则 、 、 三边的长可得，而后根AB AD BD据边长确立三角形的形状．（ 3）若以点 P 、 A 、B 、 D 为极点的四边形是平行四边形，应分①AB 为对角线、② AD 为对角线两种状况讨论，即①ADPB 、② ABPD ，而后联合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P 点的坐标．解：（ 1）∵极点A 的横坐标为x =﹣ =1，且极点A 在y =x ﹣5 上，∴当x =1 时， y =1﹣ 5=﹣ 4，∴ A （ 1，﹣ 4）．（ 2）△ ABD 是直角三角形．将 A（1，﹣4）代入 y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴ c=﹣3，∴ y=x2﹣2x﹣3，∴ B（0，﹣3）当 y=0时， x2﹣2x﹣3=0， x1=﹣1， x2=3∴ C（﹣1，0）， D（3，0），2 2 2 2 2 2 2 2 2BD=OB+OD=18，AB=（4﹣3）+1 =2 ， AD=（3﹣1）+4 =20，22 2BD+AB=AD，∴∠ ABD=90°，即△ ABD是直角三角形．（ 3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交 y 轴于点 E（0，﹣5），交 x 轴于点 F（5，0）∴OE=OF=5，又∵ OB=OD=3∴△ OEF与△ OBD都是等腰直角三角形∴BD∥ l ，即 PA∥ BD则组成平行四边形只好是PADB或 PABD，如图，过点 P 作 y 轴的垂线，过点A作 x 轴的垂线交过P且平行于 x 轴的直线于点G．设 P（ x1， x1﹣5），则 G（1， x1﹣5）则 PG=|1﹣x1|， AG=|5﹣ x1﹣4|=|1﹣ x1|PA=BD=3由勾股定理得：2 2 2 ﹣2x﹣ 8=0，x =﹣ 2 或 4（ 1﹣ x ） +（ 1﹣ x ）=18，x1 1 1 1 1∴ P（﹣2，﹣7）或 P（4，﹣1），存在点 P（﹣2，﹣7）或 P（4，﹣1）使以点 A、 B、 D、P 为极点的四边形是平行四边形．三、周长类6．如图，Rt△ ABO的两直角边OA、OB分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3， 0）、（0， 4），抛物线y=x2+bx+c 经过点B，且极点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移获得△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点 C和点 D能否在该抛物线上，并说明原因；（ 3）在（ 2）的条件下，连结BD，已知对称轴上存在一点P 使得△ PBD的周长最小，求出 P 点的坐标；（ 4）在（ 2）、（3）的条件下，若点M是线段 OB上的一个动点（点M与点 O、 B不重合），过点 M作∥BD交x 轴于点，连结、，设的长为t，△的面积为，求S和t的函数关系式，并写出自变量N PM PN OM PMN St 的取值范围，S能否存在最大值？若存在，求出最大值和此时点的坐标；若不存在，说明原因．M剖析：（ 1）依据抛物线y=经过点B（0，4），以及极点在直线x=上，得出b， c 即可；（ 2）依据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5， 4）、（ 2， 0），利用图象上点的性质得出x=5或2 时， y 的值即可．（ 3）第一设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出分析式，当x=时，求出 y 即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，从而得出，获得ON=，从而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（ 1）∵抛物线y=经过点B（ 0， 4）∴c=4，∵极点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴ b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形 ABCD是菱形，∴ BC=CD=DA=AB=5，∴ C、 D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当 x=5时， y=，当 x=2时， y=，∴点 C和点 D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线 CD对应的函数关系式为 y=kx+b，则，解得：，∴，当 x=时， y=，∴ P（），（4）∵MN∥BD，∴△ OMN∽△ OBD，∴即得 ON=，设对称轴交x 于点 F，则（ PF+OM）? OF=（+t ）×，∵，S△PNF=× NF? PF=×（﹣ t ）×=，S=（﹣），=﹣（ 0＜t＜ 4），a=﹣＜0∴抛物线张口向下，S 存在最大值．由 S△PMN=﹣t 2+t =﹣（ t ﹣）2+，∴当 t =时， S 取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．四、等腰三角形类7．如图，点 A 在 x 轴上， OA =4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的地点．（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过点 A 、 O 、 B 的抛物线的分析式；（ 3）在此抛物线的对称轴上，能否存在点 P ，使得以点 P 、 O 、 B 为极点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明原因．专题：压轴题；分类议论．剖析：（ 1）第一依据 OA 的旋转条件确立 B 点地点， 而后过 B 做 x 轴的垂线， 经过建立直角三角形和OB 的长（即OA 长）确立 B 点的坐标．（ 2）已知 O 、 A 、 B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的分析式．（ 3）依据（ 2）的抛物线分析式，可获得抛物线的对称轴，而后先设出P 点的坐标，而 O 、 B 坐标已知，可先表示出△ OPB 三边的边长表达式，而后分①OP =OB 、② OP =BP 、③ OB =BP 三种状况分类议论，而后分辨能否存在切合条件的P 点．解答：解：（ 1）如图，过 B 点作 BC ⊥ x 轴，垂足为 C ，则∠ BCO =90°，∵∠ AOB =120°，∴∠ BOC =60°，又∵ OA =OB =4，∴ OC =OB =×4=2， BC =OB ? sin 60°=4×=2，∴点 B 的坐标为（﹣ 2，﹣ 2）；（ 2）∵抛物线过原点 O 和点 A 、 B ，∴可设抛物线分析式为y =ax 2+bx ，将 A （ 4， 0）， B （﹣ 2．﹣ 2）代入，得，解得，∴此抛物线的分析式为y =﹣ x 2+x（ 3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线=2，直线 x =2 与 x 轴的交点为 ，设点P的坐标为（ 2， ），xDy①若 =，OB OP则 22+| y | 2=42，解得 y =±2，当 y =2 时，在 Rt △ POD 中，∠ PDO =90°， sin ∠ POD ==，∴∠ POD =60°，∴∠ POB =∠POD +∠ AOB =60°+120°=180°，即 P 、 O 、 B 三点在同向来线上，∴y=2不切合题意，舍去，∴点P 的坐标为（2，﹣2）②若 OB=PB，则42+| y+2|2=42，解得 y=﹣2，故点 P 的坐标为（2，﹣2），③若 OP=BP，则22+| y|2=42+| y+2|2，解得 y=﹣2，故点 P 的坐标为（2，﹣2），综上所述，切合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣ 2），8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A （ 0， 2），点 C（﹣ 1， 0），以下图：抛物线y=ax 2+ax﹣2 经过点 B．（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的分析式；（3）在抛物线上能否还存在点 P（点 B 除外），使△ ACP仍旧是以 AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求全部点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．剖析：（ 1）依据题意，过点B作 BD⊥ x 轴，垂足为 D；依据角的互余的关系，易得B到 x、y 轴的距离，即B的坐标；（2）依据抛物线过B点的坐标，可得a的值，从而可得其分析式；（3）第一假定存在，分A、C是直角极点两种状况议论，依据全等三角形的性质，可得答案．解：（ 1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠ BCD+∠ACO=90°，∠ ACO+∠ CAO=90°，∴∠ BCD=∠CAO，（1分）又∵∠ BDC=∠ COA=90°， CB=AC，∴△ BCD≌△ CAO，（2分）∴BD=OC=1， CD=OA=2，（3分）∴点 B 的坐标为（﹣3，1）；（4分）（ 2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点 B（﹣3，1），则获得 1=9a﹣ 3a﹣ 2，（ 5 分）解得a=1因此抛物线的分析式为y=x2+x﹣2；（7分）（ 3）假定存在点P，使得△ ACP仍旧是以 AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角极点；则延伸BC至点P1，使得P1C=BC，获得等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点 P1作 P1M⊥x 轴，∵CP1=BC，∠ MCP1=∠ BCD，∠ P1MC=∠BDC=90°，∴△ MP1C≌△ DBC．（10分）∴ CM=CD=2， P1M=BD=1，可求得点 P1（1，﹣1）；（11分）②若以点 A为直角极点；则过点 A作 AP2⊥ CA，且使得 AP2=AC，获得等腰直角三角形△过点 P2作 P2N⊥y 轴，同理可证△AP2N≌△ CAO，（13分）ACP2，（12分∴ NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经查验，点P1（1，﹣1）与点 P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）五、综合类10．如图，已知抛物线= 2+ +c 的图象与x轴的一个交点为（5， 0），另一个交点为，且与y轴交于y x bx B A点 C（0，5）．（ 1）求直线BC与抛物线的分析式；（ 2）若点M是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M作 MN∥ y 轴交直线 BC于点 N，求 MN的最大值；（ 3）在（ 2）的条件下，MN获得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上随意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为 S1，△ ABN的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标．专题：压轴题．剖析：（ 1）设直线BC的分析式为y=mx+n，将B（ 5， 0），C（ 0， 5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的分析式；同理，将 B（5，0）， C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的分析式；（ 2）MN的长是直线B C的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个对于MN的长和 M点横坐标的函数关系式，依据函数的性质即可求出MN的最大值；（ 3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，依据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x 轴于点E，在直线DE上截取PQ =BC ，则四边形 CBPQ 为平行四边形． 证明△ EBD 为等腰直角三角形，则 BE =BD =6，求出 E 的坐标为（﹣ 1，0），运用待定系数法求出直线PQ 的分析式为 y =﹣ x ﹣ 1，而后解方程组，即可求出点 P 的坐标．解：（ 1）设直线 BC 的分析式为 y =mx +n ，将 B （ 5， 0）， C （ 0， 5）两点的坐标代入，得，解得，因此直线BC 的分析式为 y =﹣ x +5；将 B （ 5， 0）， C （ 0， 5）两点的坐标代入y =x 2+bx +c ，得，解得，因此抛物线的分析式为y =x 2﹣6x +5；（ 2）设 M （ x ， x 2﹣ 6x +5）（ 1＜ x ＜ 5），则 N （ x ，﹣x +5）， ∵ MN =（﹣ x +5）﹣（ x 2﹣ 6x +5）=﹣ x 2+5x =﹣（ x﹣） 2+，∴当 x =时， MN 有最大值；（ 3）∵ MN 获得最大值时， x =2.5 ，∴﹣ x +5=﹣2.5+5=2.5 ，即 N （2.5 ， 2.5 ）．解方程 x 2﹣ 6x +5=0，得 x =1 或 5，∴ A （ 1， 0）， B （ 5，0），∴ AB =5﹣ 1=4，∴△ ABN 的面积 S 2=×4×2.5=5 ，∴平行四边形 CBPQ 的面积 S 1=6S 2=30．设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD ，则 BC ⊥ BD ．∵ BC =5，∴ BC ? BD =30，∴ BD =3．过点 D 作直线的平行线，交抛物线与点 ，交 轴于点 ，在直线 上截取 = ，则四边形 为BC PxE DE PQ BC CBPQ平行四边形．∵ BC ⊥ BD ，∠ OBC =45°， ∴∠ EBD =45°，∴△ EBD 为等腰直角三角形， BE =BD =6，∵ B （ 5， 0），∴ E （﹣ 1，0），设直线 PQ 的分析式为 y =﹣ x +t ，将 E （﹣ 1， 0）代入，得 1+t =0，解得 t =﹣ 1∴直线 PQ 的分析式为 y =﹣ x ﹣ 1．解方程组，得， ，∴点 P 的坐标为 P 1（ 2，﹣ 3）（与点 D 重合）或 P 2（3，﹣ 4）．11．如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象过点 C （ 0， 1），极点为 Q （ 2， 3），点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD =OC ．（ 1）求直线 CD 的分析式；（ 2）求抛物线的分析式；（ 3）将直线绕点 C 逆时针方向旋转 45°所得直线与抛物线订交于另一点 ，求证：△∽△ ；CDECEQ CDO （ 4）在（ 3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点挪动过程中，△ PCF 的周长能否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明原因．剖析：（ 1）利用待定系数法求出直线分析式；（ 2）利用待定系数法求出抛物线的分析式；（ 3）重点是证明△ CEQ 与△ CDO 均为等腰直角三角形；（ 4）如答图②所示，作点 C 对于直线 QE 的对称点 C ′，作点 C 对于 x 轴的对称点 C ″，连结 C ′C ″，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则△PCF 即为切合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF 的周长等于线段 C ′ C ″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短能够证明此时△PCF 的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C ′ C ″的长度，即△ PCF 周长的最小值．解：（ 1）∵ C （ 0， 1），OD =OC ，∴ D 点坐标为（ 1， 0）．设直线 CD 的分析式为 y =kx +b （ k ≠0），将 C （ 0， 1）， D （ 1， 0）代入得：，解得： b =1， k =﹣ 1，∴直线 CD 的分析式为： y =﹣x +1．（ 2）设抛物线的分析式为 y =a （ x ﹣ 2） 2+3，将 C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得 a=．∴ y=（ x﹣2）2+3=x2+2x+1．（ 3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵ OC=OD，且 OC⊥ OD，∴△ OCD为等腰直角三角形，∠ ODC=45°，∴∠ ECD=∠ODC，∴ CE∥ x 轴，则点 C、E 对于对称轴（直线x=2）对称，∴点 E 的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与 CE交于点 M，则 M（2，1），∴ ME=CM=QM=2，∴△ QME与△ QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠ QCE=45°．又∵△ OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠ OCD=45°，∴∠ QEC=∠QCE=∠ ODC=∠ OCD=45°，∴△ CEQ∽△ CDO．（ 4）存在．如答图②所示，作点C 对于直线的对称点′，作点C对于x轴的对称点″，连结′ ″，交于QE C C C C OD点，交于点，则△即为切合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△的周长等F QEP PCF PCF于线段 C′C″的长度．（证明以下：不如在线段OD上取异于点 F的任一点 F′，在线段 QE上取异于点P的任一点 P′，连结 F′ C″，F′ P′， P′ C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′ C″+F′ P′+P′ C′；而 F′ C″+F′ P′+P′ C′是点 C′， C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知： F′C″+F′ P′+P′ C′＞ C′C″，即△ P′ CF′的周长大于△ PCE的周长．）如答图③所示，连结 C′ E，∵ C， C′对于直线 QE对称，△ QCE为等腰直角三角形，∴△ QC′ E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点 C′的坐标为（4，5）；∵ C， C″对于 x 轴对称，∴点 C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作 C′ N⊥ y 轴于点 N，则 NC′=4， NC″=4+1+1=6，在Rt△ C′NC″中，由勾股定理得： C′ C″===．综上所述，在 P 点和 F 点挪动过程中，△ PCF的周长存在最小值，最小值为．12．抛物线与x 轴交于 A（1，0）、 B（﹣3，0）两点，与y 轴交于点 C（0，3），设抛物线的极点为D．（1）求该抛物线的分析式与极点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明原因．（3）研究坐标轴上能否存在点P，使得以 P、 A、C为极点的三角形与△ BCD相像？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明原因．剖析：（1）利用待定系数法即可求得函数的分析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，而后依据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种状况议论，舍出P的坐标，依据相像三角形的对应边的比相等即可求解．解：（ 1）设抛物线的分析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y 轴交于点 C（0，3），可知 c=3．即抛物线的分析式为y=ax2+bx+3．把点 A（1，0）、点 B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1， b=﹣2∴抛物线的分析式为y=﹣ x2﹣2x+3．∵y=﹣ x2﹣2x+3=﹣（ x+1）2+4∴极点 D的坐标为（﹣1，4）；（ 2）△BCD是直角三角形．原因以下：解法一：过点分别作x 轴、y轴的垂线，垂足分别为、．D E F ∵在 Rt△ BOC中， OB=3， OC=3，2 2 2∴ BC=OB+OC=18在 Rt△ CDF中， DF=1， CF=OF﹣ OC=4﹣3=1，22 2∴ CD=DF+CF=2在 Rt△ BDE中， DE=4， BE=OB﹣ OE=3﹣1=2，222∴ BD =DE +BE =20 222∴ BC +CD =BD∴△ BCD 为直角三角形．解法二： 过点 D 作 DF ⊥ y 轴于点 F ．在 Rt △ BOC 中，∵ OB =3， OC =3∴ OB =OC ∴∠ OCB =45°∵在 Rt △ CDF 中， DF =1， CF =OF ﹣ OC =4﹣ 3=1∴ DF =CF∴∠ DCF =45°∴∠ BCD =180°﹣∠ DCF ﹣∠ OCB =90°∴△ BCD 为直角三角形．（ 3）①△的三边， ==，又 =，故当P 是原点 O 时，△ ∽△ ；BCDACPDBC②当 是直角边时，若与 是对应边，设P 的坐标是（ 0， ），则 =3﹣ ， =，即 =，解得： =﹣9，ACAC CDaPC aa则 P 的坐标是（ 0，﹣ 9），三角形不是直角三角形，则△∽△不建立；ACP ACP CBD③当 AC 是直角边，若 AC 与 BC 是对应边时，设 P 的坐标是（ 0， b ），则 PC =3﹣ b ，则 =，即 =，解得： b =﹣，故 P 是（ 0，﹣）时，则△ ACP ∽△ CBD 必定建立；④当 P 在 x 轴上时， AC 是直角边， P 必定在 B 的左边，设 P 的坐标是（ d ， 0）．则 AP =1﹣ d ，当 AC 与 CD 是对应边时， =，即 =，解得： d =1﹣3，此时，两个三角形不相像；⑤当 P 在 x 轴上时， AC 是直角边， P 必定在 B 的左边，设 P 的坐标是（ e ， 0）．则 AP =1﹣ e ，当 AC 与 DC 是对应边时， =，即 =，解得： e =﹣9，切合条件．总之，切合条件的点 P 的坐标为： ．六、对应练习13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与 x 轴交于 A、 B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点C，此中 A 点的坐标是（1，0）， C点坐标是（4，3）．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）在（ 1）中抛物线的对称轴上能否存在点D，使△ BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明原因；（ 3）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及 E 点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．剖析：（ 1）利用待定系数法求二次函数分析式解答即可；（ 2）利用待定系数法求出直线AC的分析式，而后依据轴对称确立最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（ 3）依据直线AC的分析式，设出过点E与 AC平行的直线，而后与抛物线分析式联立消掉y 获得对于 x 的一元二次方程，利用根的鉴别式△=0 时，△ ACE的面积最大，而后求出此时与AC平行的直线，而后求出点E 的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出，再依据直线l与x轴的夹角为 45°求AF出两直线间的距离，再求出AC间的距离，而后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（ 1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点 A（1，0），点 C（4，3），∴，解得，因此，抛物线的分析式为y=x2﹣4x+3；（ 2）∵点A、B对于对称轴对称，∴点 D为 AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线 AC的分析式为y=kx+b（ k≠0），则，解得，因此，直线AC的分析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（ x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x =2，当 x =2 时， y =2﹣ 1=1，∴抛物线对称轴上存在点D （2， 1），使△ BCD 的周长最小；（ 3）如图，设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为 y =x +m ，联立，消掉 y 得， x 2﹣5x +3﹣ m =0，△=（﹣ 5）2﹣4×1×（ 3﹣ m ） =0，即 m =﹣时，点 E 到 AC 的距离最大，△ ACE 的面积最大，此时 x =， y =﹣ =﹣，∴点 E 的坐标为（，﹣） ，设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F ，则 F （， 0），∴ AF =﹣ 1=，∵直线 AC 的分析式为 y =x ﹣1，∴∠ CAB =45°，∴点 F 到 AC 的距离为×=，又∵ AC ==3，∴△ ACE 的最大面积 =×3×=，此时 E 点坐标为（，﹣） ．14．如图，已知抛物线y =﹣ x 2+ +4与 x 轴订交于 、 两点，与 y 轴订交于点 ，若已知 A 点的坐标为 A bx A B C （﹣ 2， 0）．（ 1）求抛物线的分析式及它的对称轴方程；（ 2）求点 C 的坐标，连结 AC 、 BC 并求线段 BC 所在直线的分析式；（ 3）试判断△ AOC 与△ COB 能否相像？并说明原因；（ 4）在抛物线的对称轴上能否存在点Q ，使△ ACQ 为等腰三角形？若存在，求出切合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明原因．考点：二次函数综合题． .专题：压轴题．剖析：（ 1）利用待定系数法求出抛物线分析式，利用配方法或利用公式x =求出对称轴方程；（ 2）在抛物线分析式中，令 x =0，可求出点 C 坐标；令 y =0，可求出点 B 坐标．再利用待定系数法求出直线 BD 的分析式；（ 3）依据，∠ AOC =∠ BOC =90°，能够判断△ AOC ∽△ COB ；（ 4）本问为存在型问题．若△ ACQ 为等腰三角形，则有三种可能的情况，需要分类议论，逐个计算，防止漏解．解答：解：（ 1）∵抛物线 y =﹣ x 2+bx +4 的图象经过点 A （﹣ 2， 0），∴﹣×（﹣ 2） 2+b ×（﹣ 2） +4=0，解得： b =，∴抛物线分析式为 y =﹣ x 2+x +4，又∵ y =﹣ 2+ +4=﹣（ x ﹣ 3） 2+，∴对称轴方程为： x =3．x x（ 2）在 y =﹣ x 2+ +4 中，令 x =0，得 y =4，∴ （ 0，4）；x C令 y =0，即﹣ x 2+x +4=0，整理得 x 2﹣ 6x ﹣ 16=0，解得： x =8 或 x =﹣2， ∴ A （﹣ 2，0）， B （ 8， 0）．设直线 BC 的分析式为 y =kx +b ，把 B （ 8， 0）， C （ 0， 4）的坐标分别代入分析式，得：，解得 k =， b =4，∴直线 BC 的分析式为：y =x +4．（ 3）可判断△ AOC ∽△COB 建立．原因以下：在△ AOC与△ COB 中，∵ OA =2， OC =4， OB =8，∴，又∵∠ AOC =∠ BOC =90°，∴△ AOC ∽△ COB ．（ 4）∵抛物线的对称轴方程为： x =3，可设点 Q （3， t ），则可求得：AC ===，AQ ==，CQ ==．i ）当 AQ =CQ 时，有 =，25+t2=t2﹣ 8t +16+9，解得 t =0，∴ Q1（3，0）；ii）当 AC=AQ时，有 =，t 2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ ACQ不可以组成等腰三角形；iii）当 AC=CQ时，有 =，整理得： t 2﹣8t +5=0，解得： t =4±，∴点 Q坐标为： Q2（3，4+）， Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为： Q1（3，0）， Q2（3，4+）， Q3（3，4﹣）．15．如图，在座标系xOy中，△ ABC是等腰直角三角形，∠ BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx ﹣ 2 的图象过C点．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 挪动到哪处时，恰巧将△ABC的面积分为相等的两部分？P 点坐标；若（ 3）点P是抛物线上一动点，能否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出不存在，说明原因．剖析：如解答图所示：（ 1）第一结构全等三角形△AOB≌△ CDA，求出点 C的坐标；而后利用点C的坐标求出抛物线的分析式；（ 2）第一求出直线 BC 与 AC 的分析式，设直线 l 与 BC 、AC 交于点 E 、F ，则可求出 EF 的表达式；依据 S △CEF =S △ ABC ，列出方程求出直线 l 的分析式；（ 3）第一作出 ? PACB ，而后证明点 P 在抛物线上即可．解：（ 1）如答图 1 所示，过点 C 作 CD ⊥ x 轴于点 D ，则∠ CAD +∠ ACD =90°．∵∠ OBA +∠OAB =90°，∠ OAB +∠ CAD =90°，∴∠ OAB =∠ACD ，∠ OBA =∠ CAD ．∵在△ AOB 与△ CDA 中，∴△ AOB ≌△ CDA （ ASA ）．∴ CD =OA =1， AD =OB =2，∴ OD =OA +AD =3，∴ C （ 3， 1）．∵点 C （ 3， 1）在抛物线 y =x 2+bx ﹣ 2 上，∴ 1=×9+3 b ﹣ 2，解得： b =﹣．∴抛物线的分析式为： y =x 2﹣ x ﹣2．（ 2）在 Rt △ AOB 中， OA =1，OB =2，由勾股定理得： AB =．∴ S △ ABC =AB 2=5设直线 BC 的分析式为 y =kx +b ，∵ B （0， 2）， C （ 3， 1），∴， 解得 k =﹣ 1， b =2， ∴ y =﹣ x +2．同理求得直线 AC 的分析式为： y =x ﹣．如答图 1 所示，设直线 l 与 BC 、 AC 分别交于点 E 、 F ，则 EF =（﹣ x +2）﹣（ x ﹣） =﹣ x ．△ CEF 中， EF 边上的高 h =OD ﹣ x =3﹣ x ．由题意得：△ CEF = △ABC ， ∴（﹣ x ）? （ 3﹣ ）=×， 整理得：（ 3﹣ ）2=3， SS xx解得 x =3﹣或 x =3+（不合题意，舍去） ， ∴当直线 l 分析式为 x =3﹣时，恰巧将△ABC 的面积分为相等的两部分．（ 3）存在．如答图 2 所示，过点 C 作 CG ⊥ y 轴于点 G ，则 CG =OD =3，OG =1， BG =OB ﹣ OG =1．过点 A 作 AP ∥ BC 交 y 轴于点 W ，∵四边形 ACBP 是平行四边形，∴AP=BC，连结 BP，则四边形 PACB为平行四边形．过点 P 作 PH⊥ x 轴于点 H，∵ BC∥ AP，∴∠ CBO=∠AWO，∵ PH∥ WO，∴∠APH=∠AWO，∴∠ CBG=∠APH，在△ PAH和△ BCG中，∴△ PAH≌△ BCG（ AAS），∴PH=BG=1， AH=CG=3，∴OH=AH﹣ OA=2，∴P（﹣2，1）．抛物线分析式为：y=x2﹣ x﹣2，当 x=﹣2时， y=1，即点 P 在抛物线上．∴存在切合条件的点P，点 P 的坐标为（﹣2，1）．。

xA ．（n+2，3）B ．（，3）C ．（，3）D ．（，3） 2n -2n -22n -10．将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是( )．22y x =A ． B ． C ． D ．221y x =+221y x =-22(1)y x =+22(1)y x =-11．已知二次函数（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关2y x 3x m =-+于x 的一元二次方程的两实数根是 2x 3x m 0-+=A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝1，x 2＝2 C ．x 1＝1，x 2＝0 D ．x 1＝1，x 2＝312．若二次函数的图象经过点P （－2，4），则该图象必经过点【 】 2y ax =A ．（2，4） B ．（－2，－4） C ．（－4，2） D ．（4，－2）13．若一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为【 】A ．直线x=1B ．直线x=﹣2C ．直线x=﹣1D ．直线x=﹣414．若抛物线与y 轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是【 】 2y x 2x c =-+A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴是x=1C ．当x=1时，y 的最大值为﹣4D ．抛物线与x 轴的交点为（－1，0），（3，0）15．如图，⊙O 的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S 关于⊙O 的半径r （r ＞0）变化的函数图象大致是【 】A ．B ．C ．D ．出的水平距离为 米．或＝)（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；22考点：二次函数与不等式（组）． 6．B 【解析】试题分析：因为ｍ＜0，所以抛物线的开口向下，其对称轴为ｘ＝1，只有在对称轴x=1的左侧时，才能具备y 随x 的增大而增大．故选B. 考点：二次函数的性质． 7．D 【解析】试题分析：∵由函数图象平移的法则可知，将二次函数y=x 2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得函数的解析式为：y=（x+1）2-1，∴其顶点坐标为（-1，-1）．故选D ．考点：二次函数图象与几何变换． 8．D 【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，顶点坐标为（1，－3），所以此二次函数有最小值－3. 故选B ．考点：二次函数的最值． 9．C 【解析】试题分析：二次函数的图像关于对称轴对称抛物线的对称轴为，点2y x bx c =++1x =A ，均在抛物线上，且与轴平行，其中点的坐标为（n ，3），则点的横坐标B AB x A B 为,纵坐标与点A 的纵坐标相同. 1-x+1=2-x 考点：二次函数的图像性质. 10．B 【解析】试题分析：将抛物线向上平移 (＞0)个单位，得到的抛物线是;2a y x =k k 2a y x =2a y x =向下平移 (＞0)个单位得到的抛物线是.规律是:上加下减. k k 2a -k y x =考点：二次函数解析式． 11．B 。

二次函数一、选择题1. （2014•上海，第3题4分）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）2考点：二次函数图象与几何变换．专题：几何变换．分析：先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解答：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），所以所得的抛物线的表达式为y=（x﹣1）2．故选C．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．2. （2014•四川巴中，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（）A．abc＜0 B．﹣3a+c＜0 C．b2﹣4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c 考点：二次函数的图象和符号特征．分析：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0．B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y＜0，即可判断；C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0；D．把二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式，再求出平移后的解析式即可判断．解答：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a ﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确；C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；D．y=ax2+bx+c=，∵=2，∴原式=，向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．3. （2014•山东威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，故②正确；当x=1时，y=2a+b+c，∵对称轴是直线x=﹣1，∴，b=2a，又∵c=0，∴y=4a，故③错误；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．4. （2014•山东枣庄，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 2 3y 5 1 ﹣1 ﹣1 1则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x= C．直线x=2 D．直线x=考点：二次函数的性质分析：由于x=1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．解答：解：∵x=1和2时的函数值都是﹣1，∴对称轴为直线x==．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单．点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的图象与性质．解答：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x 的增大而减小．解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴8a +7b +2c ＞0，所以③正确； ∵对称轴为直线x =2，∴当﹣1＜x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，所以④错误．故选B ．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．6.（2014山东济南，第15题，3分）二次函数的图象如图，对称轴为1=x ．若关于x 的一元二次方程02=-+t bx x （为实数）在41<<-x 的范围内有解，则的取值范围是A ．1-≥tB ．31<≤-tC ．81<≤-tD ．83<<t 【解析】由对称轴为1=x ，得2-=b ，再由一元二次方程022=--t x x 在41<<-x 的范围内有解，得)4()1(y t y <≤， 即81<≤-t ，故选C ．7. （2014•山东聊城，第12题，3分）如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b ﹣2a=0；②4a ﹣2b+c ＜0；③a ﹣b+c=﹣9a ；④若（﹣3，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中正确的是（ ）1 ＢＯxy4A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a，∴b﹣2a=0，∴①正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），∴把x=﹣2代入得：y=4a﹣2b+c＞0，∴②错误；∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，又∵b=2a，∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a，∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a，∴③正确；∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），∵（，y2），1＜，∴y1＞y2，∴④正确；即正确的有①③④，故选B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．8．(2014年贵州黔东南9．（3分）)已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D． 2015考点：抛物线与x轴的交点．分析：把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．解答：解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，解得 m2﹣m=1．∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．故选：D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．9. (2014年贵州黔东南9．（4分）)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；故选B．点评：本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．10.考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．解答：解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；正确的只有D．故选：D．点评：此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．11. （2014•江苏苏州,第8题3分）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．5考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：把点（1，1）代入函数解析式求出a+b，然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），∴a+b﹣1=1，∴a+b=2，∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1．故选B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．12. (2014•年山东东营,第9题3分)若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2考点：抛物线与x轴的交点．分析：分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．解答：解：分为两种情况：①当函数是二次函数时，∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0，解得：m=±2，②当函数时一次函数时，m=0，此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，故选D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．13. （2014•山东临沂,第14题3分）在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（）A．1个B．1个或2个C．1个或2个或3个D．1个或2个或3个或4个考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据关于原点对称的关系，可得C2，根据直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点，可得答案．解答：解：函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是x=﹣y2﹣2y，a非常小时，直线y=a（a为常数）与C1没有交点，共有一个交点；直线y=a经过C1的顶点时，共有两个交点；直线y=a（a为常数）与C1、有两个交点时，直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点；故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，先求出C2的图象，再求出交点个数．14. （2014•山东淄博,第8题4分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2考点：待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．解答：解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，∴A（﹣2，4），将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，解得：b=﹣1，c=﹣2，则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．故选A．点评：此题考查l待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．15. （2014•山东淄博,第12题4分）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A （0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A． 6 B． 5 C． 4 D． 3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B都对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x ＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．16．（2014•四川南充，第10题，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．17.（2014•甘肃白银、临夏,第9题3分）二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）考点：二次函数图象与系数的关系．分析：此题可将b+c=0代入二次函数，变形得y=x2+b（x﹣1），若图象一定过某点，则与b无关，令b的系数为0即可．解答：解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x﹣1），则它的图象一定过点（1，1）．故选D．点评：本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把b当做变量，令其系数为0进行求解．18．（2014•甘肃兰州,第6题4分）抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A．y=﹣2（x+1）2+2 B．y=﹣2（x+1）2﹣2 C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2﹣2考点：二次函数图象与几何变换分析：根据图象右移减，上移加，可得答案．解答：解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是：左加右减，上加下减．20．（2014•甘肃兰州,第14题4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判断．解答：解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；B、由已知抛物线对称轴是直线x=1=﹣，得2a+b=0，正确；C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；D、直线x=﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x=﹣1时，y＜0，即y=ax2+bx+c=a﹣b+c＜0，错误．故选D．点评：在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．二、填空题1. （2014•浙江杭州，第15题，4分）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2 ．考点：二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式分析：根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可．解答：解：∵点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3，当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+k，则，解得，所以，y=（x﹣1）2+=x2﹣x+2，当对称轴为直线x=3时，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+k，则，解得，所以，y=﹣（x﹣3）2+=﹣x2+x+2，综上所述，抛物线的函数解析式为y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．故答案为：y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解．2. *( 2014年河南9．（4分）)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点．若点A 的坐标为（－2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB的长为 .答案：8.解析：根据点A到对称轴x=2的距离是4，又点A、点B关于x=2对称，∴AB=8.3. (2014年湖北咸宁15．（3分）)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度t/℃﹣4 ﹣2 0 1 4植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为﹣1 ℃．考点：二次函数的应用．分析：首先利用待定系数法求二次函数解析式解析式，在利用二次函数最值公式求法得出即可．解答：解：设 y=ax2+bx+c （a≠0），选（0，49），（1，46），（4，25）代入后得方程组，解得：，所以y与x之间的二次函数解析式为：y=﹣x2﹣2x+49，当x=﹣=﹣1时，y有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式，得出二次函数解析式是解题关键．3.4.5.6.7.8.三、解答题1. （2014•上海，第24题12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．考点：二次函数综合题分析：（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式，进一步得到对称轴；（2）分两种情况：当AC∥EF时；当AF∥CE时；两种情况讨论得到点F的坐标；（3）△BDP和△CDP的面积相等，可得DP∥BC，根据待定系数法得到直线BC的解析式，根据两条平行的直线k值相同可得直线DP的解析式，进一步即可得到t的值．解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣2），∴，解得．故抛物线的表达式为：y=x2﹣x﹣2=（x﹣1）2﹣，对称轴为直线x=1；（2）由（1）可知，点E（1，0），A（﹣1，0），C（0，﹣2），当AC∥EF时，直线AC的解析式为y=﹣2x﹣2，∴直线EF的解析式为y=﹣2x+2，当x=1时，y=0，此时点F与点E重合；当AF∥CE时，直线CE的解析式为y=2x﹣2，∴直线AF的解析式为y=2x+2，当x=1时，y=4，此时点F的坐标为（1，4）．综上所述，点P的坐标为（1，4）；（3）点B（3，0），点D（1，﹣），若△BDP和△CDP的面积相等，则DP∥BC，则直线BC的解析式为y=x﹣2，∴直线DP的解析式为y=x﹣，当y=0时，x=5，∴t=5．点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的表达式，待定系数法求直线的解析式，两条平行的直线之间的关系，三角形面积，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．2. （2014•山东威海，第25题12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．考点：二次函数综合题分析：（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．由相似关系求出点E的坐标；（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，由BC∥AD设BC的解析式为y=kx+b，设AD的解析式为y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出D坐标，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行线的性质就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四边形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出结论．解答：解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．将A（﹣1，0），B（4，0）代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）存在．由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，∴BC==．在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4，∴h=．∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），∴=，∴y=±2将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，得x1=0，x2=3．当y=﹣2时，不合题意舍去．∴E点坐标为（0，2），（3，2）．（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，∴，y BC=﹣x+2．由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣x+n，由图象，得0=﹣×（﹣1）+n∴n=﹣，y AD=﹣x﹣．∴﹣x2+x+2=﹣x﹣，解得：x1=﹣1，x2=5∴D（﹣1，0）与A重合，舍去，D（5，﹣3）．∵DE⊥x轴，∴DE=3，OE=5．由勾股定理，得BD=．∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），∴OA=1，OB=4，OC=2．∴AB=5在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得AC=，BC=2，∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，∴AC2+BC2=AB2∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°．∵BC∥AD，∴∠CAF+∠ACB=180°，∴∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，∴四边形ACBF是矩形，∴AC=BF=，在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=，∴DF=BF，∴∠ADB=45°．点评：本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式和一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．4. （2014•山东枣庄，第25题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；考点：二次函数综合题分析：（1）由抛物线已知，则可求三角形OBC的各个顶点，易知三角形形状及内角．（2）因为抛物线已固定，则S四边形OCDB固定，对于坐标系中的不规则图形常用分割求和、填补求差等方法求面积，本图形过顶点作x轴的垂线及可将其分为直角梯形及直角三角形，面积易得．由此可得E点坐标，进而可求ED直线方程，与抛物线解析式联立求解即得P点坐标．（3）PF的长度即为y F﹣y P．由P、F的横坐标相同，则可直接利用解析式作差．由所得函数为二次函数，则可用二次函数性质讨论最值，解法常规．解答：解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+2），∴由题意得，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）．在Rt△OBC中，∵OC=OB=3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC=45°．（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，此时S四边形OCDB=S梯形OCDH+S△HBD，∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，∴S梯形OCDH=•（OC+HD）•OH=，S△HBD=•HD•HB=4，∴S四边形OCDB=．∴S△OCE=S四边形OCDB==，∴OE=5，∴E（5，0）．设l DE：y=kx+b，∵D（1，﹣4），E（5，0），∴，解得，∴l DE：y=x﹣5．∵DE交抛物线于P，设P（x，y），∴x2﹣2x﹣3=x﹣5，解得 x=2 或x=1（D点，舍去），∴x P=2，代入l DE：y=x﹣5，∴P（2，﹣3）．（3）如图2，设l BC：y=kx+b，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴l BC：y=x﹣3．∵F在BC上，∴y F=x F﹣3，∵P在抛物线上，∴y P=x P2﹣2x P﹣3，∴线段PF长度=y F﹣y P=x F﹣3﹣（x P2﹣2x P﹣3），∵x P=x F，∴线段PF长度=﹣x P2+3x P=﹣（x P﹣）2+，（1＜x P≤3），∴当x P=时，线段PF长度最大为．点评：本题考查了抛物线图象性质、已知两点求直线解析式、直角三角形性质及二次函数最值等基础知识点，题目难度适中，适合学生加强练习．4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

2014年中考数学二轮专题复习试卷：函数(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分,共45分)1.（2013湖南娄底）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是( )A.x＜0B.x＞0C.x＜2D.x＞22.(2013山东德州)甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（m）与赛跑时间t（s）的关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲、乙两人的速度相同B.甲先到达终点C.乙用的时间短D.乙比甲跑的路程多3.（2013重庆）2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是( )4.(2012山东东营)根据下图所示程序计算函数值，若输入的x的值为52，则输出的函数值为( )32425A. B. C. D.252545.(2013山东德州)如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2 013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为( ) A.（1，4） B.（5，0） C.（6，4） D.（8，3）6.(2013湖南张家界）若正比例函数y =mx （m ≠0），y 随x 的增大而减小，则它和二次函数y =mx 2+m 的图象大致是( )7.（2013山东枣庄）将抛物线y =3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )A ．y =3（x －2）2－1B ．y =3（x －2）2+1C ．y =3（x +2）2－1D ．y =3（x +2）2+1 8.（2012广西河池）下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 9.（2013江苏镇江）二次函数y =x 2－4x +5的最小值是( )A.－1B.1C.3 D ．5 10.（2013重庆）如图，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，反比例函数ky x（k ≠0，x ＞0）的图象与正方形的两边AB 、BC 分别交于点M 、N ，ND ⊥x 轴，垂足为D ，连接OM 、ON 、MN ．下列结论：①△OCN ≌△OAM ；②ON =MN ；③四边形DAMN 与△MON 面积相等；④若∠MON =45°，MN =2，则点C 的坐标为（0）．其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.411.（2013山东潍坊）设点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是反比例函数ky x=图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则一次函数y =－2x +k 的图象不经过的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.(2012四川乐山)二次函数y =ax 2+bx +1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1,0).设t =a +b +1,则t 值的变化范围是( )A.0<t <1B.1<t <2C.0<t <2D.－1<t <113.（2013山东泰安）把直线y =－x +3向上平移m 个单位后，与直线y =2x +4的交点在第一象限，则m 的取值范围是( )A.1＜m ＜7B.3＜m ＜4C.m ＞1D.m ＜414.(2012湖北随州)如图，直线l 与反比例函数2y x=的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C 点，若AB ∶BC =(m －1)∶1(m >1)，则△OAB 的面积(用m 表示)为( )()()2222m 1m 1A. B.2m m 3m 13m 1C. D.m 2m-- -- 15.(2012浙江湖州)如图，已知点A (4,0),O 为 坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点 O 、A ），过P ，O 两点的二次函数y 1和过P ，A 两 点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B ，C ，射线OB 与AC 相交于点D .当OD =AD =3时， 这两个二次函数的最大值之和等于()C.3D.4 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分,共18分)16.函数1y x x 4-=+-中自变量x 的取值范围是 . 17.(2013山东德州)函数1y y x 2x ==-与的图象交点的横坐标分别为a ，b ，则11a b+的值为 .18.（2012广西北海）如图，点A 的坐标为（－1，0）， 点B 在直线y =2x －4上运动，当线段AB 最短时， 点B 的坐标是 ． 19.（2013四川广安）已知直线()n 11y x n 2n 2-+=+++（n 为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1+S 2+S 3+…+S 2012=.20.（2012山东枣庄）二次函数y =x 2－2x －3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是 ．21.（2013山西）如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴正半轴上，AB =3，BC =1，直线y =12x －1经过点C 交x 轴于点E ，双曲线ky x =经过点D ，则k 的值为 ．三、解答题(本大题共4个小题，共57分) 22.（本小题满分14分）(2013山东菏泽)（1）已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个实数根，求代数式22(m m)(m 1)m－－＋的值.（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x的图象与反比例函数k yx ＝的图象交于A、B两点.①根据图象求k的值；②点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P所有可能的坐标.23.(本小题满分14分)（2013山东聊城）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数8yx=-的图象在第二象限交于点C.如果点A的坐标为（2，0），B是AC的中点.（1）求点C的坐标；（2）求一次函数的解析式.(2013四川内江)如图，等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L.（1）求△ABC的面积；（2）设AD=x,图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积.(2013山东德州)如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t.①设抛物线的对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD 相似时点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由.参考答案1.C2.B3.A4.B5.D6.A7.C8.B9.B 10.C 11.A 12.C 13.C 14.B 15.A16.x ≥－1且x ≠0且x ≠4 17.－2 18.76(,)55- 19.5032 01420.－1<x <3 21.122.（1）解：方法1：∵m 是方程x 2－x －2=0的一个实数根，∴m 2－m －2=0， ∴m 2－m =2，m 2=m +2.2m 2m m 22m2(2()m m2m2(22 4.m-++-+∴====⨯=原式 方法2：解x 2－x －2=0得：x 1=－1，x 2=2， ∴m =－1或m =2. 当m =－1时，()()22211114;12m 2(22)(21)42=---⨯--+=-==-⨯-+=原式［］（）当时，原式，∴原式的值为4.（2）解：①由图象知点A 的横坐标为－1， ∵点A 在一次函数y =－x 的图象上， ∴点A 的纵坐标y =－(－1)=1. 又∵点A 在反比例函数ky x=的图象上， k 11k 1.∴=-∴=-，②点P 所有可能的坐标为P 1(0，2)，P 2(0，－2)，34P (0P (0-，，23.解：（1）作CD ⊥x 轴，且交x 轴于D ，则CD ∥BO ，∵B 是AC 的中点， ∴O 是AD 的中点， ∴点D 的横坐标为－2， 把x =－2代入到y =8x-中，得：y =4， 因此点C 的坐标为（－2，4）；（2）设一次函数为y =ax +b ，由于A 、C 两点在其图象上，02a b a 1.42a b b 2=+=-⎧⎧∴⎨⎨=-+=⎩⎩解得：， 因此一次函数的解析式为y =－x +2.24.解：(1)过点A 作AN ⊥BC 交BC 于N ，交DE 于点M ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC ，∠ABC =60°. 在Rt △ABN 中，AB =3， ∠B =60°，ABC ANsin B ABAN AB sin B 3sin 6011S BC AN 322ABC =∴==⨯︒=∴==⨯=∴， (2)∵DE ∥BC ，2ADE ABC222ADEABCS DE ADE ABC,().SBCDE AD x,BC AB 3x x S()S 39∴∴===∴===∽，以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的△A ′DE 与梯形DBCE 重叠部分图形L 的形状包括以下两种情况： ①当30x 2<≤时,A ′在三角形内部，图形L 是等边三角形，S △A ′DE =S △ADE∵BC =3,∴BC 边所对的三角形的中位线长为3.22ADEy Sx 4∴==； ②当3x 32<<时，点A ′落在三角形的外部,其重 叠部分图形L 的形状为梯形.2A DEADESSx 4'==， ∴DE 边上的高AM =A ′M=x.2由已知求得:AN=2∴A ′N =AA ′－AN2-由△A ′PQ ∽△A ′DE 知: A PQ 2A DE2A PQ 222S A N (),SA M3:S ),23y )2''''='-∴-=+解得)222330x y ,2x y 3x 32y y x 2x 2y <≤=∴=<<=+-=-+=（）当时，当当时，即当时，93x 2y <∴=当时， 即L为一等腰梯形，且梯形的高为2，较长的底边长为2，由于图形L 的顶点都在圆上，设圆心到较长底边的距离为a ，依题意2221a 1(a)():a 0.22+=++=，解得 说明圆的圆心在梯形较长的底边上，即圆的直径为2，所以⊙O 的面积S =π×12=π.25.解：（1）在Rt △AOB 中，OA =1，tan ∠BAO =3，OB tan BAO OA∠=， ∴OB =OA ·tan ∠BAO =3.∵△DOC 是由△AOB 绕原点O 逆时针旋转90°而得到的，∴OC =OB =3，OD =OA =1,∴A 、B 、C 三点的坐标分别为（1，0），（0，3），（－3，0）.代入抛物线解析式得，a b c 0,a 19a 3b c 0,b 2c 3c 3++==-⎧⎧⎪⎪-+==-⎨⎨⎪⎪==⎩⎩，解之得，，， 所以抛物线的解析式为：y =－x 2－2x +3.（2）①抛物线y =－x 2－2x +3的对称轴l 为：b x 12a=-=-， ∴E 点的坐标为（－1，0）.（ⅰ）当∠CEF =90°时，△CEF ∽△COD .此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，坐标为（－1，4）.（ⅱ）当∠CFE =90°时，△CFE ∽△COD .过点P 作PM ⊥CA 交AC 于点M ，则△EFC ∽△EMP .于是，EM EF DO 1MP FC OC 3===， ∴MP =3EM ，即：－t 2－2t +3=3（－1－t ），整理得：t 2－t －6=0.解之得：t 1=－2，t 2=3（不合题意，舍去）.当t =－2时，－（－2）2 －2×（－2）+3=3，所以此时点P 的坐标为（－2，3）.所以当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标分别为：（－1，4）或（－2，3）.②设直线CD 的解析式为：y =kx +m .3k m 0,m 1.1k m 1.3-+=⎧⎨=⎩==则得：解之得：，所以直线CD 的解析式为：1y x 1.3=+ 设PM 与CD 的交点为N ，则点N 的坐标为（1t t 13+，）.221NM t 1.31PN PM NM t 2t 3t 137t t 2.3∴=+∴=-=--+-+=--+（） 则S △PCD =S △PCN +S △PDN22PCD 11PN CM PN OM 2211PN CM OM PN OC 221737121t t 23t .2326247121t S .624=⨯+⨯=⨯+=⨯=--+⨯=-++∴=-（）（）（当取最大值为。