2.1.1向量的概念及表示

2．1.1 向量的概念1.了解平面向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，两个向量相等的含义． 3.掌握向量的几何表示．1．向量的定义及表示方法 (1)向量：具有大小和方向的量． (2)向量的表示方法2．与向量有关的概念(1)零向量：长度等于零的向量，记作0. (2)向量共线或平行基线：通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB →的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．共线向量的方向相同或相反．向量a 平行于b ，记作a ∥b ．(3)相等向量：两个向量a 和b 同向且等长，即a 和b 相等，记作a ＝b . (4)向量的长度(模)如果AB →＝a ，那么AB →的长度表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)，记作|a |. 3．用向量表示点的位置任给一定点O 和向量a (如图)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →常叫做点A 相对于点O 的位置向量．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模是一个正实数．( ) (2)向量就是有向线段．( ) (3)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (5)零向量是最小的向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M 答案：D3.如图，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量 答案：C4．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．解析：如图所示C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km.答案：西北方向5 2 km向量的概念[学生用书P34]下列关于向量的说法正确的个数是( )①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同，长度相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同，长度相等的两个非零向量的终点不一定相同，其终点在一个圆上，故②不正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．【答案】 D对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．给出下列几种说法：①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ； ②若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ③若两向量有相同的基线，则两向量相等． 其中错误说法的序号是______．解析：①错误．共线向量是指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量有相同的基线表示两向量共线(或平行)，但两向量的大小和方向都不一定相同．答案：①②③向量的表示[学生用书P34]一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解】 (1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反， 故AB →与CD →共线， 即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量的步骤在如图所示的坐标纸中，每个小正方形的边长为1，画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)|BC →|＝6，点C 在点B 正东方向． 解：(1)(2)(3)如图：相等向量与共线向量[学生用书P35]如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．【解】 (1)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．如图所示的▱ABCD ，OA →＝a ，OB →＝b .(1)与OA →的模相等的向量有多少个？ (2)与OA →的模相等且方向相反的向量有哪些？ (3)写出分别与OA →、AB →共线的向量．解：(1)与OA →的模相等的向量有OC →，AO →，CO →三个向量． (2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与OA →共线的向量有AO →，AC →，OC →，CO →，CA →；与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.1．向量既有大小又有方向，但不能比较大小，向量的模是数量，可以比较大小．对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的．2．平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，与是否在一条直线上无关．向量平行与直线平行的区别1．直线的平行具有传递性，即a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .2．向量的平行不具有传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，因为若b ＝0，它与任意向量共线，故a ，c 两向量不一定共线．1．下列物理量：①速度；②位移；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定，具备了向量的两个要素，所以是向量；而路程、密度只有大小没有方向，所以不是向量．故选B.2．下列关于零向量的说法不正确的是( ) A ．零向量是没有方向的向量 B ．零向量的方向是任意的 C ．零向量与任一向量平行 D ．零向量只能与零向量相等解析：选A.零向量的方向是任意的，是有方向的．3．如图，小正方形的边长为1，则|AB →|＝________；|CD →|＝________；|EF →|＝________．解析：根据勾股定理可得|AB →|＝32，|CD →|＝26， |EF →|＝2 2. 答案：3 226 2 24．在四边形ABCD 中，若AB →∥CD →，且|AB →|≠|CD →|，四边形ABCD 为________． 解析：由题意可知，对边AB 与CD 平行且不相等，故四边形ABCD 为梯形．答案：梯形, [学生用书P103(单独成册)])[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量a 共线的单位向量是a |a|. A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的． 2．若a 为任一非零向量，b 的模为1，给出下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③D ．②③解析：选B.①中，|a |的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B.3．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则两向量共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析：选C.由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ， 即四边形ABCD 为平行四边形． 又因为|AB →|＝|AD →|， 所以四边形ABCD 为菱形．5．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A ．AB →＝OC → B ．AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D ．AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →不共线，故AD →≠FC →，故选D. 6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22， 所以|OA →|＝ 2. 答案： 27．给出下列三个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 方向相反；③|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向， 即①不能够使a ∥b 成立； 因为a 与b 方向相反时，a ∥b ， 即②能够使a ∥b 成立； 因为零向量与任意向量共线， 所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是②③. 答案：②③8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：09．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么． 解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明：因为AB →＝DC →， 所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ， 所以四边形ABCD 是平行四边形， 所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .同理可得，四边形CNAM 是平行四边形， 所以CM →＝NA →. 所以|CM →|＝|NA →|， 所以|MB →|＝|DN →|， 又DN →与MB →的方向相同， 所以DN →＝MB →.[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →模的3倍 D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8对向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，BO →(OD →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：1213．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝55米．14．(选做题)如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由第一问所画的图知，①当点C 位于点C 1和C 2时，|BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C 位于点C 5和C 6时，|BC →|取得最大值42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。

2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路： （一） 一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现） 1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向） 2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？ 这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；ABCDA(起点)B（终点）a③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小―长度称为向量的模，记作|AB|.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. （四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77页练习1、2、3题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

2．1向量的概念及表示●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等的概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辩证思维的教育.●重点难点重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示．难点：向量的概念和共线向量的概念．●教学建议1．关于向量概念的教学教学时，建议教师从向量的物理背景出发，借助物理学中的位移、速度、力等矢量引出向量的概念，并指出向量具有“数”和“形”的双重特征．2．关于零向量、单位向量、相等向量和共线向量的教学教学时，建议教师类比数及向量的概念给出零向量、单位向量的概念；结合向量的两要素给出相等向量的定义；强调指出共线向量未必是在同一直线上的向量．由于零向量、单位向量、相等向量和共线向量是研究向量的基础，为增加学生对上述概念的感性认识，学习时建议教师对该知识点进行适当训练．●教学流程创设问题情境，引入向量的概念.⇒引导学生结合物理学中的位移、速度、力等矢量理解向量具有“数”和“形”的双重特征.⇒通过类比数与向量的概念，引导学生理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用向量有关概念判断有关命题真假的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用有向线段表示向量的方法，并注意向量模的大小.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握写出图形中的相等共线向量的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)3.理解向量的几何表示.向量及其有关概念(1)火车向正南方向行驶了50 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是正南．(2)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．1．上述两个实例中涉及的物理量的特点是什么？【提示】它们的大小和方向都是确定的．2．上述实例中的速度和力，如何表示？【提示】可以用有向线段表示，也可以用字母表示．1．向量的概念向量：既有大小，又有方向的量叫向量．2．向量的表示(1)用有向线段表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →.向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|. (2)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a →， b →， c →…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →. 3．与向量有关的概念(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (4)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量平行.向量的有关概念(1)单位向量一定相等； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)若AB →＝CD →，则点A 与点C 重合，点B 与点D 重合； (4)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； (5)若向量a ＝b ，则a ∥b ； (6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .【思路探究】 从概念的理解出发，结合具体实例进行判断．【自主解答】 (1)不正确．向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等．(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .(3)不正确．这是因为AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定有A 与C 重合，B 与D 重合．(4)不正确．“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．(5)正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．(6)不正确．对于非零向量命题正确，但当b ＝0时，满足a ∥b ，b ∥c ，但a 与c 不一定共线．1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量． 3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．下列说法：①方向相同或相反的向量是平行向量；②零向量的长度是0；③长度相等的向量叫相等向量；④共线向量是在一条直线上的向量．其中正确的命题是________．(填序号)【解析】 方向相同或相反的非零向量才是平行向量，所以①不正确；长度相等，方向相同的向量才叫相等向量，所以③不正确；共线向量也叫平行向量，它们不一定在一条直线上，也可能在平行直线上，所以④不正确；零向量的长度为0，所以②正确．【答案】 ②向量的表示50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】 解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．【自主解答】 (1)如图．(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD. 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD. ∴四边形ABCD 为平行四边形．∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．在如图2－1－1的方格纸中，画出下列向量．图2－1－1(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．【解】 取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应的向量如图所示：相等向量与共线向量图2－1－2如图2－1－2所示，在△ABC 中，三边长均不相等，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 这6点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与EF →共线的向量； (2)与EF →长度相等的向量； (3)与EF →相等的向量．【思路探究】 (1)与EF →共线的向量即与之方向相同或相反的向量；(2)与EF →长度相等即表示向量的线段与EF 长度相等；(3)与EF →相等的向量即与之共线且长度相等的向量．【自主解答】 (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)∵D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，∴BD ＝DC ＝12BC ，EF ＝12BC.∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →.1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．图2－1－3如图2－1－3，D ，E ，F 分别是△ABC 各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：(1)与CM →模相等且共线的向量； (2)与ED →相等的向量； (3)与BF →相反的向量．【解】 (1)DE →，ED →，BF →，FB →，FA →，AF →，MC →. (2)FB →，AF →，MC →. (3)FB →，AF →，ED →，MC →.对向量的有关概念理解不透彻致误判断下列说法是否正确： (1)向量就是有向线段； (2)AB →＝BA →；(3)若向量AB →与向量CD →平行，则线段AB 与CD 平行； (4)若|a |＝|b |，则a ＝±b ；(5)若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形． 【错解】 以上说法都正确．【错因分析】 (1)向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．因此，有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．(2)AB →与BA →的长度相等，但方向相反，故当AB →是非零向量时，AB →与BA →不相等． (3)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，故若AB →与CD →平行，则线段AB 与CD 可能平行，也可能共线．(4)由|a |＝|b |，仅能说明两向量的模相等，但方向却不能确定，故(4)不正确．而(5)中，A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上，故(5)不正确．【防范措施】 首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、单位向量、相等向量、零向量有深入的理解，考虑问题要全面，注意零向量的特殊性．【正解】 以上说法都不正确．1．如果有向线段AB 表示一个向量，通常我们就说向量AB →，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．2．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．1．下列说法正确的是________． ①若|a |＝0，则a ＝0； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③向量AB →与向量BA →是相反向量； ④若a ∥b ，则a ＝b .【解析】 ①不正确，若|a |＝0，则a ＝0；由于相等向量的长度相等且方向相同，故②④不正确；③显然正确．【答案】 ③图2－1－42．如图2－1－4所示，E ，F 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________(将图中适合条件的向量全写出来)．【解析】 ∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∴适合条件的向量为FE →，BC →，CB →. 【答案】 FE →，BC →，CB →3．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是________． ①AB →与CD →共线；②AC →与BD →相等；③AD →与CB →是相反向量；④AB →与CD →的模相等．【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，故①，④正确； AC ＝BD ，但AC →与BD →的方向不同，故②不正确； AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB →的方向相反，故③正确． 【答案】 ②4．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O. (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向成60°，与y 轴正方向成30°；(2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向成30°，与y 轴正方向成120°. 【解】 所求向量及其向量的终点坐标如图所示：一、填空题1．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b .其中正确的是________．(填序号)【解析】 |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 和b 不一定平行.a|a |是与a 方向相同的单位向量，所以②⑤不正确；a 为非零向量，显然有|a |＞0. 只有③正确． 【答案】 ③2．若a ＝b ，且|a |＝0，则b ＝________. 【解析】 ∵a ＝b ，且|a |＝0，∴a ＝b ＝0. 【答案】 0图2－1－53．如图2－1－5所示，四边形ABCE 为等腰梯形，D 为CE 的中点，且EC ＝2AB ，则与AB →相等的向量有________．【解析】 易知四边形ABDE 为平行四边形，则AB →＝ED →， 又∵D 是CE 的中点，则ED →＝DC →. 【答案】 DC →，ED →4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是________．【解析】 如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°.【答案】 南偏东30°5．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a 与b 共线成立的是________．【解析】 两向量共线只需两向量方向相同或相反．①a ＝b ，两向量方向相同；②|a |＝|b |两向量方向不确定；④|a |＝0或|b |＝0即为a ＝0或b ＝0 ，因为零向量与任一向量平行，所以④成立．综上所述，答案应为①③④. 【答案】 ①③④图2－1－66．如图2－1－6，已知正方形ABCD 边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________. 【解析】 正方形的对角线长为22， ∴|OA →|＝ 2. 【答案】27．四边形ABCD 满足AD →＝BC →且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 【解析】 由四边形ABCD 满足AD →＝BC →可知，四边形ABCD 为平行四边形． 又|AC →|＝|BD →|，即平行四边形ABCD 对角线相等，从而可知四边形ABCD 为矩形． 【答案】 矩形8．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．【解析】 如图，正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．【答案】 ①②③二、解答题图2－1－79．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，如图2－1－7所示，点K ，L ，M ，N 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：KL →＝NM →.【证明】 ∵N ，M 分别是AD ，DC 的中点，则NM →＝12AC →，同理KL →＝12AC →，故KL →＝NM →.图2－1－810．如图2－1－8所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为起点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．【解】 由题意可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.11．一架飞机从A 点向西北飞行200 km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 2 km 到达C 点，最后从C 点向南偏东60°飞行50 2 km 到达D 点，求飞机从D 点飞回A 点的位移．【解】 如图所示，由|AB →|＝200 km ，|BC →|＝100 2 km ，知C 在A 的正北100 2 km 处．又由|CD →|＝50 2 km ，∠ACD ＝60°，知∠CDA ＝90°，所以∠DAC ＝30°，所以|DA →|＝50 6 km.故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.如图，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →.求证：CN綊MA.【思路探究】 要证CN ∥MA 且CN ＝MA ，只需证四边形AMCN 是平行四边形，而四边形AMCN 是平行四边形，可以通过AN →＝MC →得证．【自主解答】 由条件AB →＝DC →可知AB ＝DC 且AB ∥DC ，从而四边形ABCD 为平行四边形，从而AD →＝BC →.又M ，N 分别是BC ，AD 的中点，于是AN →＝MC →，所以AN ＝MC 且AN ∥MC ，所以四边形AMCN 是平行四边形，从而CN ＝MA 且CN ∥MA ，即CN 綊MA.1．若AB →＝DC →，且四点A ，B ，C ，D 不共线，则四边形ABCD 为平行四边形，反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →＝DC →.2．利用向量相等或共线证明平行、相等问题：(1)证明线段相等，只需证明相应向量的长度(模)相等．(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，证明：四边形DNBM 是平行四边形．【证明】 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．。

向量的基本概念及运算向量是数学中常用的表示量的工具，它具有大小和方向两个属性。

在物理学、几何学、工程学等学科中广泛应用。

本文将介绍向量的基本概念以及常见的运算方法。

一、向量的基本概念向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

一般用大写字母加上箭头来表示向量，如A、B等。

向量的起点可以是任意的，终点也可以是任意的，只要保持方向和大小一致即可。

二、向量的表示方法1. 平面向量的表示平面向量由两个有序实数构成，可以表示为A = (x, y)，其中x和y 分别表示向量沿x轴和y轴的分量。

2. 空间向量的表示空间向量由三个有序实数构成，可以表示为A = (x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量沿x轴、y轴和z轴的分量。

三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相接，用第一个向量的起点和第二个向量的终点构成一个新的向量。

A +B = (x1 + x2, y1 + y2)A +B +C = A + (B + C) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)2. 向量的减法向量的减法表示为A - B，即A + (-B)，其中-B表示B的反向量。

向量的减法可以转换为向量的加法进行计算。

A -B = (x1 - x2, y1 - y2)3. 向量的数乘向量的数乘指将向量的每个分量都乘以同一个实数。

数乘后的向量与原向量方向相同（当实数大于0时），或反向（当实数小于0时），大小为原向量大小的绝对值与实数的乘积。

kA = (kx, ky)四、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的大小，表示为|A|。

计算公式为：|A| = √(x^2 + y^2) （平面向量）|A| = √(x^2 + y^2 + z^2) （空间向量）2. 零向量零向量是指模为零的向量，用0表示。

零向量的方向可以是任意的，但是定义上无法确定。

3. 单位向量单位向量是指模为1的向量，可以通过将向量除以模得到。

第二章平面向量§2．1平面向量的实际背景及基本概念§2．1.1平面向量的概念及几何表示【学习目标、细解考纲】了解向量丰富的实际背景，理解平面向量的概念及向量的几何表示。

【知识梳理、双基再现】1、向量的实际背景有下列物理量:位移,路程,速度,速率,力,功,其中位移,力,功都是既有_______________又有_________________的量.路程,速率,质量,密度都是____________________的量.2、平面向量是_________________________的量,向量__________比较大小.数量是_________________________的量,数量_____________比较大小.3、向量的几何表示(1)由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常用_____________________表示,而且不同的点表示不同的数量.(2)向量常用带箭头的线段表示,线段按一定比例(标度)画出,它的长短表示向量的____________,箭头的指向表示向量的________________.(3)有象线段是________________的线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点,B为终点的有向线段记作____________.起点要写在终点的前面.有向线段AB的长度,记作___________________.有向线段包含三个要素________________________________________________知道了有向线段的起点,长度,和方向,它的终点就惟一确定.(4)向量可以用有向线段表示.也可以用字母_________表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如字母_____________4、向量的模的向量向量AB的大小,也就是向量AB的长度,称_____________,记作__________.5、零向量是_____________的向量,记作____________.零向量的方向任意.6、单位向量是____________的向量.7、平行向量_________________________叫做平行向量,向量a与b平行,通常记作______________我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量b,都有_________________________. 【小试身手、轻松过关】1、判断下列命题的真假:（1）向量AB的长度和向量BA的长度相等.（2）向量a与b平行,则b与a方向相同.（3）向量a与b平行,则b与a方向相反.（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.（5）若a与b平行同向,且a＞b，则a＞b（6）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行。

2．1向量的概念及表示1.理解平面向量的基本概念和几何表示．2.掌握相等向量、共线向量和相反向量的定义．1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小，又有方向的量． (2)有向线段①定义：带有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以A 为起点、B 为终点的有向线段记为AB →.④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的表示2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，记作|AB →|． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量(又称共线向量)．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：0与任一向量平行．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b .(3)相反向量：把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a ，其中a 与－a 互为相反向量，并规定零向量的相反向量仍是零向量，对任一向量a 都有－(－a )＝a .1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大小相等的两个向量是共线向量．( ) (2)向量的模是一个正实数．( )解析：(1)错误．方向相同或相反的非零向量才是共线向量． (2)错误．零向量的模是零，不是正实数． 答案：(1)× (2)×2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M答案：D3．下列说法正确的序号是________． ①两个单位向量一定相等；②若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③共线的单位向量必相等；④两个相等的向量起点、方向、长度都必须相同．解析：因为零向量与任意向量都共线，又因为a 与b 不共线，所以a 与b 都是非零向量． 答案：②4．与非零向量a 平行的单位向量的个数是________．解析：与非零向量a 平行的单位向量只有与a 方向相同和方向相反的两个向量． 答案：2向量的有关概念如图，O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心．根据图中标出的向量，回答下列问题：(1)AO →与AF →的长度相等吗？它们是相等向量吗？(2)AB →与DE →的长度相等吗？它们平行吗？它们是相等向量吗？【解】 (1)AO →与AF →的长度相等，都是1， 即|AO →|＝|AF →|，但AO →与AF →不是相等向量．(2)|AB →|＝|DE →|，且AB →∥DE →，但AB →与DE →不是相等向量，因为AB →与DE →的方向相反．对向量有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量、共线向量与平行向量之间的区别和联系．(1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．(2)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．1.判断下列各命题是否正确．(1)因为|AB →|＝|BA →|，所以AB →＝BA →； (2)因为a ＝b ，b ＝c ，所以a ＝c ；(3)因为AB →＝DC →，所以AB →与DC →是共线向量，即A 、B 、C 、D 四点共线； (4)因为|0|＝0，所以0＝0.解：(1)不正确.AB →表示以A 为起点，B 为终点，方向从A 指向B ；BA →表示以B 为起点，A 为终点，方向从B 指向A ；虽然|AB →|＝|BA →|，但AB →与BA →的方向不同．(2)正确．相等向量是大小相等，方向相同的向量，显然由a ＝b ，b ＝c 可知，a 、c 都与b 大小相等，方向相同．(3)不正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量中AB →与DC →所在的直线不一定共线，也可能平行．(4)不正确．向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小没有方向，故0≠0.向量的表示一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|. 【解】 (1)向量AB →、BC →、CD →，如图所示．→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线．(2)由题意，易知AB又|AB→|＝|CD→|，所以在四边形ABCD中，AB═∥CD．所以四边形ABCD为平行四边形．所以AD→＝BC→，|AD→|＝|BC→|＝200 km.用有向线段表示向量的步骤(1)运用向量观点将实际问题抽象转化成数学模型．(2)确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．2.在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 的正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)求出|AB →|的值．解：取每个方格的单位长度为1，依题意，结合向量的表示可知， (1)(2)的向量如图所示．(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以|AB→|＝|OB→|2－|OA→|2＝3.相等向量与共线向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量． 【解】 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →， OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．3.如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：(1)与DO →，CO →相等的向量； (2)与DO →共线的向量；(3)与AO →模相等的向量． 解：(1)DO →＝CF →，CO →＝DE →. (2)与DO →共线的向量为CF →，BO →，AE →.(3)与AO →模相等的向量有：DO →，CO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →.1．向量与数量的区别和联系(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相等向量；(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．同一直线上的向量也是平行向量．4．与非零向量a共线的单位向量是a|a|或－a|a|.给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中的正确命题有________个．【解析】对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．【答案】 1(1)解答本题误认为|a|与|a|是同一问题，把向量的模按实数的绝对值来处理．(2)注意实数和向量的区别，不能简单地将实数中的性质直接迁移到向量中．1．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．图中与AE →平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个． 2．下列结论中正确的是( ) ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |. A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B ．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．关于零向量，下列说法中错误的是________． ①零向量是没有方向的； ②零向量的长度为0； ③零向量的模都相等； ④零向量的方向是任意的．解析：零向量是指长度为0的向量，也有方向，只不过方向是任意的． 答案：①4.如图，已知四边形ABCD 为▱ABCD ，则 (1)与OA →的模相等的向量有多少个？ (2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与AB →共线的向量．解：(1)与OA →的模相等的向量有AO →，OC →，CO →三个向量． (2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →. (3)与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.[学生用书P101(单独成册)])[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D ．根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D ．A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B ．因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．4．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B ．①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．5.如图所示，四边形ABCD 和BCEF 都是平行四边形． (1)写出与BC →相等的向量：________； (2)写出与BC →共线的向量：________．解析：两个向量相等，要求这两个向量不仅长度相等，而且方向相同．平行向量是指方向相同或相反的向量．这样只要两个向量平行，就一定可以平移到同一条直线上，所以平行向量也是共线向量．答案：(1)FE →、AD → (2)FE →、AD →、EF →、DA →、CB →6.如图所示，O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．解析：因为正方形的对角线互相平分，所以AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．答案：①②③7.已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线，所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：08.在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a .(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．9．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．解：如图所示，在B 处有3种走法；在C 处有8种走法．[B 能力提升]1.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．解析：因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →.答案：BA →，CD →2．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8组向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，BO →(OD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：123．设在平面内给定一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF →＝HG →.证明：如图所示，连结AC ．在△ABC 中，由三角形中位线定理知，EF ＝12AC ，EF ∥AC ，同理HG ＝12AC ，HG ∥AC ． 所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →同向，所以EF →＝HG →.4．(选做题)如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由第一问所画的图知，①当点C 位于点C 1和C 2时，|BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C 位于点C 5和C 6时， |BC →|取得最大值42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。

向量知识点总结在数学和物理学中，向量是一种具有大小和方向的量。

它在许多领域中都有广泛应用，包括几何、力学、电磁学等。

本文将总结向量的基本概念、运算法则以及一些常见应用。

1. 向量的基本概念向量由大小和方向两个要素组成。

我们通常用箭头（→）来表示向量，如AB→。

向量可以用坐标表示，也可以用矩阵表示。

2. 向量的表示方法2.1 坐标表示：向量的坐标表示为(x, y, z)，分别代表向量在x、y、z轴上的投影长度。

2.2 矩阵表示：向量也可以用矩阵表示，如A = [a1, a2, a3]，其中a1、a2、a3为向量在不同轴上的分量。

3. 向量的运算法则3.1 向量的加法：当两个向量的方向相同时，它们的加法就是将两个向量的对应分量相加，如A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。

3.2 向量的减法：向量的减法是指将被减向量的分量取相反数后与减向量相加，如A - B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。

3.3 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的每个分量都与一个常数相乘，如kA = (kx, ky, kz)，其中k为常数。

3.4 向量的点积：向量的点积是指两个向量对应分量乘积的和，如A · B = x1x2 + y1y2 + z1z2，结果是一个标量。

3.5 向量的叉积：向量的叉积是指两个向量相乘得到一个新的向量，如A × B = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)。

4. 向量的性质4.1 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

4.2 垂直向量：如果两个向量的点积为0，则它们是垂直向量。

4.3 单位向量：向量的长度称为其模，单位向量是模为1的向量。

5. 向量的应用5.1 几何：向量在几何中有广泛的应用，如表示线段、直线、平面的方向和距离等。

5.2 力学：向量在力学中用于描述力和速度等物理量。

向量知识点全总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示空间中有方向和大小的量，通常用箭头来表示。

向量可以用坐标表示，也可以用物理量的大小和方向表示。

1.2 向量的性质（1）相等性质：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等并且方向相同。

（2）零向量：大小为0的向量称为零向量。

（3）负向量：一个向量的方向与另一个向量相反，并且大小相同，那么这个向量就是另一个向量的负向量。

1.3 向量的表示向量可以用坐标表示，一般表示为 (x，y) 或 (x，y，z)。

也可以用物理量的大小和方向表示。

1.4 向量的运算（1）向量的加法：向量a加上向量b得到向量c，即a＋b=c，也可以表示为c＝a+b。

（2）向量的减法：向量a减去向量b得到向量c，即a－b=c，也可以表示为c＝a-b。

（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，大小和原向量的方向相同。

1.5 向量的线性运算（1）向量的线性组合：给定向量α1，α2，···，αn及标量k1，k2，···，kn，它们的线性组合是指表达式k1α1+k2α2+···+knαn ，其中k1，k2，···，kn 是任意实数。

（2）基底：如果空间里的所有向量都可以由向量组β1，β2，···，βn的线性组合组成，那么向量组β1，β2，···，βn被称为空间的一组基底。

1.6 向量的模向量的模表示向量的大小，通常用|v|表示。

对于二维向量(x，y)和三维向量(x，y，z)，向量的模可以表示为：|v|=√(x^2+y^2) （二维）|v|=√(x^2+y^2+z^2) （三维）1.7 向量的方向向量的方向是指向量的朝向。

可以用夹角来表示向量的方向。

1.8 单位向量模为1的向量称为单位向量。

1.9 向量的投影向量a在向量b上的投影是向量a在向量b上的正交投影。

向量的基本概念向量是应用广泛的数学概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有重要的应用。

本文将介绍向量的基本概念，包括向量的定义、向量的表示方式、向量的运算以及向量的性质等。

1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，用来表示空间中的位移、速度、力等物理量。

一个向量通常用一个有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量常用字母小写加箭头表示，如a→。

2. 向量的表示方式向量可以通过坐标表示或分量表示来表示。

2.1 坐标表示在直角坐标系中，一个向量可以用它在坐标轴上的投影来表示。

例如，在二维空间中，向量a→可以表示为(a₁, a₂)，其中a₁是向量在x轴上的投影，a₂是向量在y轴上的投影。

在三维空间中，向量a→可以表示为(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别是向量在x、y、z轴上的投影。

2.2 分量表示向量的分量表示指的是将一个向量根据坐标轴的方向拆分成多个独立的分量。

以二维空间为例，向量a→可以表示为a→ = a₁i→ + a₂j→，其中i→和j→分别是x轴和y轴上的单位向量。

a₁和a₂分别是向量a→在x轴和y轴上的分量。

3. 向量的运算向量具有多种运算，包括加法、减法、数量乘法和点乘法等。

3.1 加法向量的加法满足交换律和结合律。

设有向量a→和向量b→，它们的和记为c→ = a→ + b→，那么c→的大小等于a→和b→的大小之和，c→的方向与a→和b→相同。

3.2 减法向量的减法可以看作是加法的逆运算。

设有向量a→和向量b→，它们的差记为c→ = a→ - b→，即c→ = a→ + (-b→)。

其中，-b→表示b→的反向量。

减法也满足交换律和结合律。

3.3 数量乘法向量的数量乘法指的是一个向量乘以一个实数。

设有向量a→和实数k，那么ka→表示向量a→的长度缩放k倍，并且方向与a→相同（当k>0）或相反（当k<0）。

数量乘法也满足结合律和分配律。