向量的概念及其表示

平面向量1、向量的物理背景与概念了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.3、向量的几何表示带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.4、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.5、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6、向量加法运算及其几何意义 三角形法则和平行四边形法则. b a +≤b a +.7、向量数乘运算及其几何意义规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反.8、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.9、平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.10、平面向量的正交分解及坐标表示()y x j y i x a ,=+=. 11、平面向量的坐标运算设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x a λλλ=，12、平面向量共线的坐标表示 设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y yy x x x ++++. 13、平面向量数量积的物理背景及其含义 θcos b a b a =⋅.a 在b 方向上的投影为：θcos a . 22a a =. 2a a =. 0=⋅⇔⊥b a b a .设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=14、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()()212212y y x x AB -+-=.提炼： 1 θcos b a b a =⋅ b a ba ⋅=θcos2设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += 212122y x a a +== 22)(b a b a +=+ ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 练习。

向量的概念与性质向量，作为研究物理、数学等学科中的基本概念之一，具有广泛的应用价值。

在本文中，我们将讨论向量的概念以及其所具有的一些重要性质。

一、向量的概念向量可以被理解为带有方向和大小的量，常用以描述位移、速度、力等物理量。

向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

例如，位移向量可以表示一个物体从初始位置到最终位置的位移情况，速度向量可以表示运动物体在某一时刻的速度大小和方向。

二、向量的性质1. 向量的加法和乘法运算向量的加法定义为两个向量相加得到的结果，其几何意义为将一个向量平移至另一个向量的尾部，连接两个向量的首尾即可得到结果向量。

向量的乘法通常有数量积和向量积两种形式，数量积的结果为一个标量，表示两个向量之间的夹角关系；向量积的结果为一个向量，垂直于原向量所在的平面。

2. 向量的共线性若两个向量的方向相同或相反，称它们共线；若两个向量的大小和方向都相同，称它们相等；若一个向量的大小为零，称它为零向量。

共线向量有以下性质：共线向量的数量积为零，零向量与任何向量的数量积为零。

3. 向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，用于衡量一个向量在某个方向上的分量。

投影的大小等于向量的模长与两向量之间夹角的余弦值的乘积。

4. 向量的线性运算向量具有线性运算的性质，即向量与标量的乘法和向量的加法满足以下规则：若a是一个实数，u、v、w是任意向量，则有：(a*u) + (a*v) = a*(u+v)；a*(u+v) = (a*u) + (a*v) = a*u + a*v。

5. 向量的单位化向量的单位化是将一个向量的大小调整为1，其方向不变。

通过将向量除以其模长即可得到单位向量，单位向量用帽子 (^) 表示。

单位向量在物理中有着重要的应用，例如在力学中，单位向量常用于表示力的方向。

总结向量作为一种重要的数学概念，具有广泛的应用。

通过向量的加法和乘法运算，我们可以对向量进行各种运算操作。

向量总结归纳向量是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个学科领域。

本文将对向量进行总结归纳，介绍向量的定义、性质、表示方法以及相关的运算规则，并结合实际例子进行说明。

一、向量的定义向量是带有方向和大小的量，用于表示空间中的位移、速度、力等物理量。

常用一个有向线段来表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。

二、向量的性质1. 等向量：具有相同大小和方向的向量称为等向量。

2. 零向量：大小为0的向量称为零向量，用0表示，方向可以是任意方向。

3. 负向量：与原向量大小相等，方向相反的向量称为原向量的负向量。

三、向量的表示方法1. 坐标表示法：在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，例如向量a可以表示为(a₁, a₂, a₃)。

2. 分量表示法：将向量沿坐标轴投影得到的三个数值称为向量的分量，例如向量a可以表示为a = a₁i + a₂j + a₃k，其中i、j、k分别是x、y、z轴方向上的单位向量。

四、向量的运算规则1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加，得到一个新的向量。

例如：向量a = (a₁, a₂, a₃)和向量b = (b₁, b₂, b₃)，它们的和为a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)。

2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的相应分量相减，得到一个新的向量。

例如：向量a = (a₁, a₂, a₃)和向量b = (b₁, b₂, b₃)，它们的差为a - b = (a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃)。

3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新的向量。

例如：向量a = (a₁, a₂, a₃)，标量k，它们的数量乘积为ka = (ka₁, ka₂, ka₃)。

4. 向量的点积：向量的点积是指将两个向量的对应分量相乘，然后相加得到一个标量。

例如：向量a = (a₁, a₂, a₃)和向量b = (b₁, b₂,b₃)，它们的点积为a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。

初中数学知识归纳向量的概念与向量的运算初中数学知识归纳：向量的概念与向量的运算向量是数学中重要的概念之一，它在几何、物理和计算机科学等领域发挥着重要的作用。

了解向量的概念及其运算规则对于初中数学学习来说至关重要。

本文将对初中数学中的向量概念和向量的运算进行归纳总结。

一、向量的概念向量是有大小和方向的量，常用有向线段表示。

向量通常用大写字母表示，如A、B。

向量的大小称为向量的模，用|AB|表示。

向量的方向可以用箭头表示，指向向量的方向。

一个向量可以由起点和终点表示，如向量AB。

向量的起点称为原点，向量的终点称为终点。

二、向量的运算1. 向量的相加向量的相加是指两个向量相互叠加的运算。

设有向量AB和向量CD，则向量AB+CD的结果是从向量A的起点到向量D的终点所得的新向量。

2. 向量的相减向量的相减是指两个向量相互抵消的运算。

设有向量AB和向量CD，向量AB-CD的结果是从向量A的起点向向量D的相反方向延长所得的新向量。

3. 数乘数乘是指将一个向量与一个实数相乘的运算。

设有向量AB和实数k，则k*AB的结果是长度为k倍的向量，其方向与向量AB相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。

4. 向量的数量积向量的数量积也称为向量的点乘，记作AB·CD。

向量的数量积满足以下运算规则：- AB·CD = |AB| |CD| cosθ，其中θ为向量AB和向量CD之间的夹角。

- 如果两个向量的数量积为0，即AB·CD=0，则向量AB与向量CD垂直。

5. 向量的向量积向量的向量积也称为向量的叉乘，记作AB×CD。

向量的向量积满足以下运算规则：- |AB×CD| = |AB| |CD| sinθ，其中θ为向量AB和向量CD之间的夹角。

- 向量AB与向量CD的向量积垂直于向量AB和向量CD所在的平面，并且其方向满足右手定则。

三、向量的应用向量的概念与运算在几何、物理和计算机科学等领域有着广泛的应用。

初中向量知识点总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义在数学上，向量通常用有向线段来表示。

有向线段是由一个起点和一个终点确定的，它具有方向和大小。

向量的表示通常用字母加上一个有方向的箭头来表示，比如a→。

1.2 向量的分量向量可以通过分解为横坐标和纵坐标的形式来表示，这两个分量分别称为水平分量和垂直分量。

比如向量a→可以表示为a→=(a1,a2)，其中a1为水平分量，a2为垂直分量。

1.3 向量的模长向量的大小用模长来表示，模长的计算公式为|a→|=√(a12+a22)。

向量的大小也可以理解为向量的长度。

1.4 向量的方向角向量的方向可以用方向角来表示，方向角通常用与x轴的夹角来表示，比如θ。

方向角的计算一般通过反三角函数来得到。

1.5 零向量零向量是指模长为0的向量，它的起点和终点重合，没有方向。

1.6 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行向量。

平行向量具有相同的方向角，不一定有相同的大小。

1.7 共线向量如果一个向量可以表示为另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。

即存在实数k，使得a→=k* b→。

二、向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是一个新的向量，它的起点与第一个向量的起点重合，终点与另一个向量的终点重合。

2.2 向量的减法向量的减法可以通过加上被减向量的相反向量来实现。

2.3 向量与实数的乘法向量与实数相乘，实际上是将向量等比例放大或缩小。

当实数大于0时，向量的方向不变，大小变化；当实数小于0时，向量的方向相反，大小也变化。

2.4 向量的数量积向量的数量积又称为点积，是两个向量的数乘之和，计算公式为a→· b→=|a→|* |b→|* cosθ。

其中θ为两个向量夹角。

2.5 向量的数量积的性质向量的数量积具有分配律、交换律和结合律，但不满足交换律。

2.6 向量的数量积的几何意义数量积的结果是一个标量，它表示两个向量的夹角和它们的大小的乘积。

向量知识点总结及讲解一、向量的基本概念1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。

在几何学中，向量通常表示为有向线段。

在向量中，大小通常表示为向量的长度，方向表示为向量的箭头指向。

2. 向量的表示向量可以用坐标、分量或者表示向量的起点和终点等方式来表示。

在二维空间中，可以使用(x, y)来表示向量，在三维空间中，可以使用(x, y, z)来表示。

3. 向量的相等当两个向量的大小和方向都相同时，这两个向量称之为相等向量，可以表示为AB=CD。

4. 零向量零向量是指大小为0，方向任意的向量，可以表示为0。

5. 单位向量单位向量是指大小为1的向量，可以将任意非零向量除以其大小得到单位向量。

6. 平行向量两个向量的方向相同或者相反，则这两个向量称之为平行向量，可以表示为AB∥CD。

7. 垂直向量当两个向量的夹角为90°时，这两个向量称之为垂直向量，可以表示为AB⊥CD。

8. 自由向量自由向量是指一个向量沿着平行的方向平移以后仍然保持原有性质的向量。

9. 定位向量定位向量是指起点固定在坐标原点上的向量，可以用终点的坐标表示。

二、向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

2. 向量减法向量减法是指将被减向量取反后与减向量进行向量加法，得到一个新的向量。

3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或者内积，是指将两个向量的对应分量相乘后相加得到一个数，可以表示为a·b。

4. 向量的数量积性质（1）交换律：a·b = b·a（2）结合律：a·(b+c) = a·b + a·c（3）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c5. 向量的数量积应用向量的数量积有很多应用，例如计算向量的模、判定向量的垂直性、计算夹角等。

6. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或者外积，是指将两个向量的对应分量相乘后得到一个新的向量。

数量的定义数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量），物理中常称为标量。

向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。

注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n 维向量。

α=（a1，a2，…，an）称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。

（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。

向量的表示1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c …等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。

2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。

这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。

）3、坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底。

a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。

由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。

这就是向量a的坐标表示。

其中（x，y）就是点P的坐标。

向量OP称为点P的位置向量。

向量的模和向量的数量向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。

向量a的模记作|a|。

注：1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。

2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。

对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。

特殊的向量单位向量长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。

零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。

1向量的坐标表示及其运算一、知识点（一）向量及其表示：1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.对于平面直角坐标系内的任意一个向量a ，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合吗？如下图左.显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA ，使OA a =.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a 都存在一个与它相等的位置向量OA .由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合，所以平面内任意的一个向量a 都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合.即：a =OA =xi y j +上式中基本单位向量,i j 前面的系数x,y 是与向量a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标.由于基本单位向量,i j 是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a 的位置向量OA 是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y ）表示向量a ，并称（x,y ）为向量a 的坐标，记作：a =（x,y ）[说明]（x,y ）不仅是向量a 的坐标，而且也是与a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标！当将向量a 的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a 的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量坐标的有关概念（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j，如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，OA即为一个位置向量.如上图右，设如果点A的坐标为(),x y，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量OA能用向量OM与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON=+），OM与ON 能用基本单位向量,i j来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OM xi ON y j==），于是可得：OA OM ON xi y j=+=+由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.向量的坐标运算：设),(),(),(),,(1121212211yxayyxxbayxbyxaλλλλ=±±=±ℜ∈==，，3.向量的摸：22yxa+=（二）向量平行的充要条件：1向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a⇔b=λa（a≠0）.2设a=（x1，y1），b=（x2，y2）则b∥a⇔1221yxyx=练习2：1．已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且//a b ，则x 为_________；2．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2121y yx x =；③(a +b )//(a －b ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3．设0a 为单位向量，有以下三个命题：（1）若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；(2)若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；（3）若a 与0a 平行且1a =，则0a a =.上述命题中，其中假命题的序号为 ；问题一：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ [说明] 三点共线的证明方法总结： 法一：利用向量的模的等量关系法二：若A 、B 、C 三点满足AB AC λ=，则A 、B 、C 三点共线.*法三：若A 、B 、C 三点满足OC mOA nOB =+，当1m n +=时，A 、B 、C 三点共线. 问题二：定比分点公式：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.解：由12PP PP λ= ，可知{)()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ，此公式叫做线段21P P 的中点公式.例、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（2,22121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =则由定比分点公式得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=21222122213213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=3332121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.例、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值. 解1： 由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .（-15），所以定比λ=-32.解2： 因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式得12=λλ+-⨯+1)3(2解出实数λ=-32.解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又21PP P P= 32 ，所以λ=-32 .3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y == 由于1111(,),a x y x i y j ==+ 2222(,)b x y x i y j ==+ 所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±()()1122x i y j x i y j =+±+()()()()()121212121212,x i x i y j y j x x i y y j x x y y =±+±=±+±=±± ()()11111111(,),a x y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ=[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积. 例.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC 的坐标； （2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.解：（1）()()12,313,2AC =---=- ()()()13,322,1BC =----=（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB = 设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---= 又 ()()32,215,1AB =---=- 故 ()()1,35,1D D x y ---=- 由此可得1531D D x y --=-⎧⎨-=⎩ 解得42D D x y =⎧⎨=⎩因此点D 的坐标为()4,2.1. 如图，写出向量,,a b c 的坐标.2.已知(1,2)a =-，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；DC(-1,3)A(2,1)B(-3,2)yxO若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 . 3.已知向量()2,3a =-与()1,5b =-，求3a b -及3b a -的坐标.解：1.由题意：()()()()()()2,1,1,1,2,11,121,1(1)1,2a b c ==-=--=---=2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3. 3a b -=3()7,14---()()1,57,14-=- 3b a -=()1,5--3()2,3-()7,14=-[另法]：3b a -=()3a b --=()7,14--()7,14=-二、典型例题例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少?例2 下列哪些是向量？哪些是标量？（1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量 例3． ∆ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ∆重心，求GA 的坐标例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B ()反向的单位向量求与AB 1 ()()的坐标，求点，若E BE 522-= ()3若a BD AC a 求,-=()三点不共线，，求证：C B A 4 ()CD BD AD AC AB ++来表示，以5()()坐标三点共线，求点，，且若P P B A x P 3,6()如图7所示，若点M 分BA 的比λ为3：1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 点的坐标例5若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE 等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21b D.a －21b 例6.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1例7.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______.例8 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6. 例11若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小?例12.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有A.a ∥b 且a 、b 方向相同B.a =bC.a =－bD.以上都不对例13.设四边形ABCD 中，有DC =21AB 且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形例15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围..例16已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?例17.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC =a ，BD =b ，试用a 、b 分别表示DE 、CE 和MN .AB CDMN E例18在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示AE .A BCMNE1.若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于 A.（－3，6） B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3） 2.已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于A.43 B.－43 C.34D.－343已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－31．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH AG +D ．GH BG +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．c b a =+ B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =- 6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R o b a b a ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．o b o a ==,B ．o o a ==μ,C ．o b o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于 （ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、 B 、D 三点共线，求k 的值.19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使AC AB AP 21λλ+=.1.已知(2,0),(1,3),a b ==-则a b +与a b -的坐标分别为( ) (A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB 的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( ) (A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==-若1,2a b =则x= ,y= . 4.已知AB (1)i x j +-=(2-x)，且AB 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是.5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD .6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=-并且.c xa yb =+求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+=，且.a b =求,.m n 的值.。