2.1向量的概念及表示

2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路： （一） 一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现） 1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向） 2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？ 这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；ABCDA(起点)B（终点）a③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小―长度称为向量的模，记作|AB|.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. （四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77页练习1、2、3题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

初中向量知识点总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义在数学上，向量通常用有向线段来表示。

有向线段是由一个起点和一个终点确定的，它具有方向和大小。

向量的表示通常用字母加上一个有方向的箭头来表示，比如a→。

1.2 向量的分量向量可以通过分解为横坐标和纵坐标的形式来表示，这两个分量分别称为水平分量和垂直分量。

比如向量a→可以表示为a→=(a1,a2)，其中a1为水平分量，a2为垂直分量。

1.3 向量的模长向量的大小用模长来表示，模长的计算公式为|a→|=√(a12+a22)。

向量的大小也可以理解为向量的长度。

1.4 向量的方向角向量的方向可以用方向角来表示，方向角通常用与x轴的夹角来表示，比如θ。

方向角的计算一般通过反三角函数来得到。

1.5 零向量零向量是指模长为0的向量，它的起点和终点重合，没有方向。

1.6 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行向量。

平行向量具有相同的方向角，不一定有相同的大小。

1.7 共线向量如果一个向量可以表示为另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。

即存在实数k，使得a→=k* b→。

二、向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是一个新的向量，它的起点与第一个向量的起点重合，终点与另一个向量的终点重合。

2.2 向量的减法向量的减法可以通过加上被减向量的相反向量来实现。

2.3 向量与实数的乘法向量与实数相乘，实际上是将向量等比例放大或缩小。

当实数大于0时，向量的方向不变，大小变化；当实数小于0时，向量的方向相反，大小也变化。

2.4 向量的数量积向量的数量积又称为点积，是两个向量的数乘之和，计算公式为a→· b→=|a→|* |b→|* cosθ。

其中θ为两个向量夹角。

2.5 向量的数量积的性质向量的数量积具有分配律、交换律和结合律，但不满足交换律。

2.6 向量的数量积的几何意义数量积的结果是一个标量，它表示两个向量的夹角和它们的大小的乘积。

中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 2.1向量的概念（第1课时）教学目标通过学习，以位移、力等物理背景，了解平面向量、有向线段、单位向量、零向量、相等向量、相反向量和共线向量的含义；能体会向量及有关概念的抽象过程，知道有向线段可以表示向量；能区分并举例说明相等向量、相反向量、共线向量。

重点向量及相关概念，向量的表示，共线向量的概念及判断．难点向量的两个要素及向量的表示，共线向量的概念．教法教学设备教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入随着我国综合国力的不断增强,我国海军装备事业发展迅速,一批新型舰艇陆续下水试航. 如图所示,为测试某型号舰艇的性能,S舰从A点沿东北方向航行100 n mile 到达B点. 如果S舰沿其他方向航行100 n mile,能不能到达B点呢？教学内容二、探索新知可以看出，S舰从A点出发沿其他方向航行100 n mile 不能到达B点．事实上,图中带箭头的线段AB包含两个要素：航程100 n mile；航向东北方向．物理学中，把“S舰沿东北方向航行100 n mile”称为S舰的位移.生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量. 向量常用小写黑体英文字母a、b、c 等来表示，手写体为在字母上方加箭头，如a.向量a的大小也称为该向量a的模，记为|a|.模为1的向量称为单位向量．规定:模为零的向量为零向量，记作0或0.零向量的方向是任意的.一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示．“情境与问题”中，有向线段直观地表示了S 舰的位移，其长度表示S 舰位移的大小，其箭头指向表示S舰位移的方向.一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 这也是向量的几何表示.三、典型例题例1如图(1)所示，用点A、B、C 表示三地的位置.分别用有向线段表示出A地至B、C 两地的位移，并通过测量和计算指出它们的大小和方向（精确到1km）.教学内容解如图(2)所示，用有向线段AB表示A地到B地的位移.测量可得AB≈2.5cm.因此位移AB的大小|AB|≈25km，方向是正北.同理，用有向线段AC表示A地到C 地的位移.位移的大小|AB|≈22km，方向是正东.例 2 如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量.解向量a：|a|=222+2=22，东北方向；向量b：|b|=222+2=22，东北方向；向量c：|c|=221+1=2，西南方向；向量d：|d|=221+1=2，东北方向；向量m：|m|=2，正北方向；向量i：|i|=1，正东方向；向量j：|j|=1，正北方向；其中的单位向量有：i、j.四、巩固练习1.在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N).教学内容(1)方向正北、大小为20N的力，用向量AB表示；(2)方向正东、大小为50N的力，用向量CD表示.2.按图中的比例尺,分别求出由A地到B、C两地的位移(长度精确到1km)五、归纳总结六、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案教学内容向量c与d的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系.一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量.向量a与b相等时，记a=b.与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作−a.规定：零向量的相反向量仍是零向量.进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行.一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量.当向量a与b平行时，记a∥b.规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a,都有0∥a.温馨提示对于坐图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l. 然后，在l上任取一点O，并在l上分别作出OA=a、OC=c、OD=d如右图所示. 这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.因此，平行向量也称共线向量.（3）因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、三、典型例题AD的平行向量；AB相等的向量；AO的相反向量．由平行四边形的性质可知，因为平行向量是方向相同或相反的两个非零向量，所以AD的平行向量有DA、BC、CB；）因为相等向量是模相等且方向相同的两个向量，所以与向量AB相等的向量只有DC；因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、方向相反的向量，所以AO的相反向量有OA、CO.四、巩固练习试判断下列说法是否正确。

向量知识点全总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示空间中有方向和大小的量，通常用箭头来表示。

向量可以用坐标表示，也可以用物理量的大小和方向表示。

1.2 向量的性质（1）相等性质：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等并且方向相同。

（2）零向量：大小为0的向量称为零向量。

（3）负向量：一个向量的方向与另一个向量相反，并且大小相同，那么这个向量就是另一个向量的负向量。

1.3 向量的表示向量可以用坐标表示，一般表示为 (x，y) 或 (x，y，z)。

也可以用物理量的大小和方向表示。

1.4 向量的运算（1）向量的加法：向量a加上向量b得到向量c，即a＋b=c，也可以表示为c＝a+b。

（2）向量的减法：向量a减去向量b得到向量c，即a－b=c，也可以表示为c＝a-b。

（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，大小和原向量的方向相同。

1.5 向量的线性运算（1）向量的线性组合：给定向量α1，α2，···，αn及标量k1，k2，···，kn，它们的线性组合是指表达式k1α1+k2α2+···+knαn ，其中k1，k2，···，kn 是任意实数。

（2）基底：如果空间里的所有向量都可以由向量组β1，β2，···，βn的线性组合组成，那么向量组β1，β2，···，βn被称为空间的一组基底。

1.6 向量的模向量的模表示向量的大小，通常用|v|表示。

对于二维向量(x，y)和三维向量(x，y，z)，向量的模可以表示为：|v|=√(x^2+y^2) （二维）|v|=√(x^2+y^2+z^2) （三维）1.7 向量的方向向量的方向是指向量的朝向。

可以用夹角来表示向量的方向。

1.8 单位向量模为1的向量称为单位向量。

1.9 向量的投影向量a在向量b上的投影是向量a在向量b上的正交投影。