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伪素数伪素数是指满足素数的某种性质，但并非素数的数。
最有名的伪素数是满足费马小定理的合数。
严格的定义是：对自然数和一个与其互素的自然数a，如果整除a x-1 - 1，则称是一个以a为底的伪素数或者关于a的伪素数。
最小的伪素数是341（=11×31，关于2）。
如果关于任何与其互素的数都是伪素数，则称是绝对伪素数（或卡邁克爾數，来自找到第一个绝对伪素数的数学家羅伯特·丹尼·卡邁克爾）。
最小的绝对伪素数是561。
有人已经证明了伪素数的个数是无穷的。
有一位数学家如此评论：“对于素数，费马小定理肯定是正确的；但他没说在合数中就不正确。
”事实上，费马小定理给出的是关于素数判定的必要非充分条件。
另外，若:不是質數(如下表中的情況)，則它就一定是偽質數。
這些當中包含了所有的費馬合數(當n=2k)，梅森合數(當n=p)及瓦格斯塔夫合數(當n=2p)分圓多項式階數偽質數n11 2047=23x8923 8388607=47x17848125 1082401=601x180128 3277=29x11329 536870911=233x1103x208935 8727391=71x12292136 4033=37x10937 137438953471=223x61631817739 9588151=79x121369伪素数年表∙1819年，萨鲁斯（Sarrus)发现第一个伪素数341∙1903年，马洛（Malo）证明：若n为伪素数，则也是一个伪素数，从而肯定了伪素数的个数是无穷的。
∙1950年，发现第一个偶伪素数。
∙1951年，皮格（Beeger）证明了存在无限多个偶伪素数。
以2为底的前50个伪素数（OEIS中的数列A001567）n n n n n1 341 =11 · 31112821 =7 · 13 ·31218481 =3 · 11 · 2573115709 =23 · 6834130121 =7 · 13 · 3312 561 =3 · 11 ·17123277 =29 · 113228911 =7 · 19 · 673215841 =7 · 31 · 734230889 =17 · 23 ·793 645 =3 · 5 · 43134033 =37 · 1092310261 =31 · 3313316705 =5 · 13 · 2574331417 =89 · 3534 1105 =5 · 13 ·17144369 =17 · 2572410585 =5 · 29 · 733418705 =3 · 5 · 29· 434431609 =73 · 4335 1387 =19 · 73154371 =3 · 31 ·472511305 =5 · 7 · 17· 193518721 =97 · 1934531621 =103 · 3076 1729 =7 · 13 ·19164681 =31 · 1512612801 =3 · 17 · 2513619951 =71 · 2814633153 =3 · 43 · 2577 1905 =3 · 5 · 127175461 =43 · 1272713741 =7 · 13 · 1513723001 =3 · 11 · 17 · 414734945 =5 · 29 · 2418 2047 =23 · 89186601 =7 · 23 ·412813747 =59 · 2333823377 =97 · 2414835333 =89 · 3979 2465 =5 · 17 ·29197957 =73 · 1092913981 =11 · 31 ·413925761 =3 · 31 · 2774939865 =5 · 7 · 17· 6710 2701 =37 · 73208321 =53 · 1573014491 =43 · 3374029341 =13 · 37 ·615041041 =7 · 11 · 13 · 41以任意整数为底的最小伪素数（OEIS中的数列A007535）a 最小的伪素数a最小的伪素数a最小的伪素数a最小的伪素数1 4 = 2²51 65 =5 · 13101175 = 5²· 7151 175 = 5²· 72 341 =11 · 315285 =5 · 17102133 =7 · 19152153 = 3²· 173 91 =7 · 135365 =5 · 13103133 =7 · 19153209 =11 · 194 15 = 3 · 5 54 55 =5 · 11104105 =3 · 5 · 7154 155 = 5 · 315 124 = 2²· 315563 = 3²· 7105451 =11 · 41155231 =3 · 7 · 116 35 = 5 ·7 56 57 =3 · 19106133 =7 · 19156 217 = 7 · 317 25 = 5²57 65 =5 · 13107133 =7 · 19157186 =2 ·3 · 318 9 = 3²58 133 =7 · 19108341 =11 · 31158 159 = 3 · 539 28 = 2²· 75987 =3 · 29109117 = 3²· 13159247 =13 · 1910 33 =3 · 1160341 =11 · 31110111 =3 · 37160 161 = 7 · 2311 15 = 3 · 5 61 91 =7 · 13111190 =2 · 5 · 19161190=2 · 5 ·1912 65 =5 · 136263 = 3²· 7112 121 = 11²162481 =13 · 3713 21 = 3 · 7 63 341 =11 · 31113133 =7 · 19163186 =2 ·3 · 3114 15 = 3 · 5 64 65 =5 · 13114115 =5 · 23164165 =3 · 5 · 1115 341 =11 · 3165112 =24· 7115133 =7 · 19165172 = 2²· 4316 51 =3 · 176691 =7 · 13116117 = 3²· 13166 301 = 7 · 4317 45 = 367 85 = 117 145 = 167 231 =²· 5 5 · 17 5 · 29 3 · 7 · 1118 25 = 5²68 69 =3 · 23118119 =7 · 17168 169 = 13²19 45 = 3²· 56985 =5 · 17119177 =3 · 59169231 =3 · 7 · 1120 21 = 3 · 7 70 169 = 13²120 121 = 11²170 171 = 3²· 1921 55 =5 · 1171105 =3 · 5 · 7121133 =7 · 19171 215 = 5 · 4322 69 =3 · 237285 =5 · 17122123 =3 · 41172247 =13 · 1923 33 =3 · 1173111 =3 · 37123217 =7 · 31173 205 = 5 · 4124 25 = 5²74 75 = 3 · 5²124 125 = 3³174 175 = 5²· 725 28 = 2²· 77591 =7 · 13125133 =7 · 19175319 =11 · 1926 27 = 3³76 77 =7 · 11126247 =13 · 19176 177 = 3 · 5927 65 =5 · 1377247 =13 · 19127153 = 3²· 17177196 = 2²· 7²28 45 = 3²· 578341 =11 · 31128129 =3 · 43178247 =13 · 1929 35 = 5 · 7 79 91 =7 · 13129217 =7 · 31179 185 = 5 · 3730 49 = 7²80 81 = 34130 217 =7 · 31180 217 = 7 · 3131 49 = 7²81 85 =5 · 17131143 =11 · 13181195 =3 · 5 · 1332 33 =3 · 118291 =7 · 13132133 =7 · 19182 183 = 3 · 6133 85 =5 · 1783105 =3 · 5 · 7133145 =5 · 29183221 =13 · 1734 35 = 5 · 7 84 85 =5 · 17134135 = 3³· 5184 185 = 5 · 3735 51 =3 · 1785129 =3 · 43135221 =13 · 17185 217 = 7 · 3136 91 =7 · 138687 =3 · 29136265 =5 · 53186187 =11 · 1737 45 = 3²· 58791 =7 · 13137148 = 2²· 37187 217 = 7 · 3138 39 =3 · 138891 =7 · 13138259 =7 · 37188 189 = 3³· 739 95 =5 · 198999 = 3²· 11139161 =7 · 23189 235 = 5 · 4740 91 =7 · 139091 =7 · 13140141 =3 · 47190231 =3 · 7 · 1141 105 =3 · 5 · 791115 =5 · 23141355 =5 · 71191 217 = 7 · 3142 205 =5 · 419293 =3 · 31142143 =11 · 13192 217 = 7 · 3143 77 =7 · 1193301 =7 · 43143213 =3 · 71193276 = 2²· 3 · 2344 45 = 3²· 59495 =5 · 19144145 =5 · 29194195 =3 · 5 · 1345 76 = 2²· 1995141 =3 · 47145153 = 3²· 17195 259 = 7 · 3746 133 =7 · 1996133 =7 · 19146147 = 3 · 7²196 205 = 5 · 4147 65 =5 · 1397105 =3 · 5 · 7147 169 = 13²197231 =3 · 7 · 1148 49 = 7²98 99 = 3²· 11148231 =3 · 7 · 11198247 =13 · 1949 66 =2 ·3 · 1199145 =5 · 29149175 = 5²· 7199225 = 3²· 5²50 51 =3 · 17100153 = 3²· 17150 169 = 13²200 201 = 3 · 67分类：∙整数数列∙编辑链接∙本页面最后修订于2014年7月17日 (星期四) 07:52。
fermat素数摘要：一、费马素数的概念1.定义与特点2.命名来源二、费马素数的性质1.费马定理2.费马素数与完全数的关系三、费马素数的应用1.密码学领域2.费马小定理在现代密码学中的应用四、费马素数的历史与研究进展1.费马与费马素数的故事2.费马素数的研究历程与突破正文：费马素数，又称费马数，是以数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）的名字命名的素数。
费马素数在数学领域具有重要的地位，它的研究不仅推动了数学的发展，还在密码学等领域有着广泛的应用。
费马素数的定义是指形如$2^n + 1$ 的素数，其中$n$ 是一个非负整数。
这类素数具有独特的性质，例如它们都是奇数，并且可以表示为两个连续的整数的乘积。
费马素数的命名来源于17 世纪法国数学家皮埃尔·德·费马。
他在研究费马素数时发现了一个著名的定理，即费马定理。
费马定理是指：对于任意大于2 的整数$n$，方程$x^n + y^n =z^n$ 没有整数解。
费马曾声称自己找到了一个“真正漂亮的证明”，但由于篇幅有限，并未公布。
直到1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）经过数年的努力，终于证明了费马定理。
这一成果被誉为数学史上最伟大的成就之一。
费马素数与完全数之间存在一定的关系。
完全数是指所有真因子（即除自身外的因子）之和等于该数本身的正整数。
在费马素数中，当$n=1$ 时，费马素数为3；当$n=2$ 时，费马素数为5。
可以发现，这两个费马素数都是完全数。
进一步的研究表明，当$n geq 4$ 时，费马素数与完全数之间不存在直接的关联。
在现代密码学领域，费马素数有着广泛的应用。
密码学中的RSA 算法，是基于费马小定理的一种公钥加密体制。
RSA 算法的安全性依赖于费马小定理，即对于任意整数$a$ 和$b$，若$a^r equiv b^r pmod{m}$，则$a equiv b pmod{m}$。
费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡１（mod p）假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1费马小定理的历史皮埃尔•德•费马于1636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。
在他的信中费马还提出a是一个质数的要求，但是这个要求实际上是不存在的。
与费马小定理相关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当2^(p-1)≡1(mod p)，p是一个质数。
假如p是一个质数的话，则2^(p-1)≡1(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。
但反过来，假如2^(p-1)≡1(mod p)成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。
因此整个来说这个猜想是错误的。
一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了，但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解。
费马小定理的证明一、准备知识：引理1．剩余系定理2若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时，有a≡b(mod m)证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)引理2．剩余系定理5若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m 个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。
证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。
取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1<i<=m。
在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。
因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。
把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。
1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。
命Px（1，2）为适合下列条件的素数p的个数：x-p=p1或x-p=p2p3其中p1,p2,p3都是素数。
[这是不好懂的；读不懂时可以跳过这几行。
]用X表一充分大的偶数。
p≤x,p+h=p1或h+p=p2p3对于任意给定的偶数h及充分大的X，用Xh（1，2）表示满足下面条件的素数p的个数：其中p1,p2,p3都是素数。
费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。
它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马大定理证明过程:对费马方程x^n+y^n=z^n整数解关系的证明，多年来在数学界一直颇多争议。
本文利用平面几何方法，全面分析了直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的存在条件，提出对多元代数式应用增元求值。
本文给出的直角三角型边长a^2+b^2=c^2整数解的“定a计算法则”；“增比计算法则”；“定差公式法则”；“a值奇偶数列法则”；是平方整数解的代数条件和实践方法；本文提出建立了一元代数式的绝对方幂式与绝对非方幂式概念；本文利用同方幂数增比性质，利用整数方幂数增项差公式性质，把费马方程x^n+y^n=z^n原本三元高次不定方程的整数解判定问题，巧妙地化为了一元定解方程问题。
数论之巅——5个关于素数的“未解之谜”，人类的知识极限之一数学中研究最多的领域之一是素数的研究。
素数领域存在很多非常困难的问题，即使是最伟大的数学家也没有解决。
今天，我们来看看数学中关于素数的5个最古老的问题，这些问题理解起来很容易，但却没有得到证实。
完美数（完全数、完备数）：奇数完全数是否存在？偶数完全数是无限的吗？看一下6、28、496、8128这些数字.....这些数字有什么特别之处？我建议你试着寻找一个关于数字的美丽的基本性质。
如果你看一下这些数的真因数，你可能会注意到这个“美丽”的性质。
•6 = 1 + 2 + 3,•28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,•496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248•8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064真因数之和等于数字本身的数字被称为完全数。
最早的关于完全数的研究已经消失在历史潮流中。
然而，我们知道毕达哥拉斯人（公元前525年）曾研究过完全数。
我们对这些数字了解多少呢？欧几里德证明，对于一个给定的n，如果（2^n-1）是一个素数，那么是一个完全数。
再做些铺垫。
梅森素数：梅森猜想，当n为素数时，所有形式为2^n-1的数都是素数。
我们知道这不是真的。
例如，2^11-1 =2047 = 23 × 89开放性问题：是否有无限多的梅森素数？目前我们知道47个梅森素数。
•欧拉在18世纪提出，任何偶数完全素数的形式都是2^(n-1)(2^n-1)。
换句话说，偶数完全数和梅森素数之间有一个一一对应的关系。
正如你所看到的，自从欧几里德（约公元前300年）以来，我们就知道偶数完全数以及得到它们的方法。
我们不知道的是，是否存在任何奇数完全数？（实际上，对奇数完全数的研究很少，在这个问题上几乎没有任何进展。
伪素数，探索素数分布的另外一条路！费马小定理还不够强大！伪素数，不明思议就是具有素数的某些重要性质，但又不是素数的数，定义为满足费马小定理，但本身不是素数的数。
1636年，法国的一名律师，又号称'业余数学家之王'的费马，发现整数的一个性质，也是当今数论四大定理之一的——费马小定理。
费马描述: 对于任意的素数p，和不是素数倍数的整数a，那么a ^ （p －1）-1 一定能被p整除。
这是一条非常漂亮的定理，意味着我们利用较小的数p和a，就可以构造指数增长的数，而且知道其整除性，这对大数的分解是很有用的。
比如我们计算 2 ^ 2017除以13的余数，只需要分解2017=12*168+1，然后由费马小定理得知2^12除以13是余1的，那么262017=2^（12*168）*2 ，立马得到我们要的结果是2。
后来莱布尼兹和欧拉都给出了证明，值得一提的是，欧拉推广了这个定理，不再把p限定为素数，而是推广成了欧拉函数ψ（x)。
欧拉可是有个难题一直困扰着数学家，那就是费马小定理的逆命题是否成立？如果逆命题也成立，就意味着费马小定理将成为判断一个数是否是素数的重要，且十分有效的办法。
我们来看：正命题：素数p一定满足费马小定理。
（正是费马小定理的内容）逆命题:满足费马小定理的一定是素数!弱逆命题:不满足费马小定理的一定是合数!很长一段时间里面，人们都相信逆命题是正确的，但是证明起来相当困难，1680~1681 年，莱布尼兹两次宣称证明了弱逆命题，但始终没有发表他的证明方法，该命题比逆命题稍弱，对于逆命题的证明终究没有进展。
直到1819年，法国数学家沙路斯发现了逆命题的一个反例，既a=2，p=341时满足费马小定理，但是341=11*31却是合数，这一发现让逆命题不攻而破，说明了费马小定理还不够强大！而且研究发现，这样的反例拥有无穷多个，这些反例统称为伪素数。
正整数分类1950年，美国数学家发现一个偶伪素数161038，大家别以为这个数小容易找，这个数在费马小定理中是指数，所以寻找起来相当困难。
2．3 费马小定理及其应用费马（Fermat ）小定理是初等数论中的一个重要定理，数学竞赛中经常需要用到．Fermat 小定理 设p 为素数，a 为整数，则()mod p a a p ≡．特别地，若p a ，则()11mod p a p ≡－．请注意该定理中p 为素数这个条件，下面的证明中这个条件是非常重要的．证明：当|p a 时，结论显然成立．当p a 时，设1x ，2x ，…，p x －1是1，2，…，p －1的一个排列，我们先证：a 1x ，a 2x ，…，a p x －1中任意两个数对模p 不同余．事实上，若存在1≤i ＜j ≤p －1，使得()mod i j ax ax p ≡，则()|i j p a x x －，而p a ，故|i j p x x －（注意，这里用到p 为素数），但i x 与j x 对模p 不同余，矛盾．又a 1x ，a 2x ，…，a p x －1中显然没有一个数为p 的倍数，因此，a 1x ，a 2x ，…，a p x －1除以p 所得的余数是1，2，…，p －1的一个排列，利用同余的性质，知（a 1x ）（a 2x ）…（a p x －1）≡()121mod p x x x p －…．再由()1211!p x x x p －…＝－，它不是p 的倍数（注意，这里再次用到p 为素数），所以， ()11mod p a p ≡－．说明 这个证明体现了整体处理的思想，它将模p 的余数全体对等考虑，分别将模p 的两个剩余系（都不包括零）作乘积后得到一个同余式，然后证出要证的式子．例1 设n 为正整数．证明：37|3n n ＋的充要条件是37|3n n ＋1． 证明 若37|3n n ＋，则7n ，于是，由Fermat 小定理，知()61mod7n ≡， 从而，由37|3n n ＋，知337|3n n n （＋）， 故37|3n n ＋1．反过来，若37|3n n ＋1，则7n ， 并且337|3n n n •（＋1），即637|3n n n •＋， 利用Fermat 小定理知 ()61mod7n ≡， 故37|3n n ＋．命题获证．说明 涉及指数的同余式经常需要用到Fermat 小定理，因为由Fermat 小定理得出的结论中，同余式的一边是1，这带来很大的方便．例2 设x 为整数，p 是21x ＋的奇素因数，证明：()1mod 4p ≡． 证明 由于p 为奇素数，若()1mod4p ≡，则()3mod4p ≡，可设p ＝4k ＋3，此时，由()21mod x p ≡－，得()()()2121142211mod k k p k x x x p ≡≡＋＋－＋＝＝－－．而由Fermat 小定理，应有()11mod p x p ≡－．结合上式将导出|2p ．矛盾．所以，()1mod 4p ≡．说明 利用此题的结论，我们可以证明：存在无穷多个模4余1的正整数为素数．事实上，若只有有限个素数模4余1，设它们是1p ，2p ，…，n p ．考虑数()2122n p p p …＋1的素因数即可导出矛盾．例3 设x 为整数，p 是数65x x ＋＋…＋1的素因数．证明：p ＝7或p ≡1（mod7）．证明 当x ＝1时，p ＝7；当x ≠1时，p 是711x x －－的素因子，因此，()71mod x p ≡，这表明p x ，于是，由Fermat 小定理，可知()11mod p xp ≡－，进而()711mod p x p ≡（，－）． 如果1p －，即()1mod p p ≡，那么（7，p －1）＝1，得()1mod x p ≡， 于是，0≡65x x ＋＋…＋1≡6511＋＋…＋1＝()7mod p ．得p ＝7． 所以，命题成立．说明 本题的解答中用到下面的结论：若（a ，m ）＝1，且()1mod u a m ≡，va ≡1（mod m ），则()1mod u v a m ≡（，）．它可以由下面的方法来得到．由贝祖定理，知存在整数x 、y ，使得ux ＋vy ＝（u ，v ），于是，u v ux vy a a （，）＋＝＝()x u a ·()()111mod yv x y a m ≡•＝． 这里在x 、y 为负整数时，用数论倒数去理解．另一方面，本题的结论可推广位：设q 为奇素数，x 为整数，则数1q x－＋…＋1的素因数p 满足：p ＝q 或者()1mod p q ≡．例4 设p 为素数．证明：存在无穷多个正整数n ，使得|2n p n －．证明 如果p ＝2，那么取n 为偶数，就有|2np n －，命题成立．设p ＞2，则由Fermat 小定理知 ()121mod p p ≡－．因此，对任意正整数k ，都有 ()121mod k p p ≡（－）， 所以，只需证明存在无穷多个正整数k ，使得()()11mod k p p ≡－（这样，令n ＝k （p －1），就有|2n p n －）． 而这只需()1mod k p ≡－，这样的k 当然有无穷多个．所以，命题成立 ．说明 用Fermat 小定理处理数论中的一些存在性问题有时非常方便、简洁．例 5 由Fermat 小定理知，对任意奇素数p ，都有()121mod p p ≡－．问：是否存在合数n ，使得()121mod n n ≡－成立？解：这样的合数n 存在，而且有无穷多个．其中最小的满足条件的合数n ＝341＝11×31（它是从两个不同奇素数作乘积去试算出来的）．事实上，由于 102⨯－1＝1023＝3413，故 ()102mod ≡1341， 所以 ()3403421mod ≡≡1341，故341符合要求． 进一步，设a 是一个符合要求的奇合数，则21a－也是一个奇合数（这一点利用因式分解可知）．再设121a a q ⨯－－＝，q 为正奇数，则()1122121211a a －－－－－＝2－＝221aq －＝()221q a － ≡211q －≡()0mod 21a －．因此21a －也是一个符合要求的数．依此递推（结合341符合要求），可知有无穷多个满足条件的合数． 说明 满足题中的合数n 称为“伪素数”，如果对任意（a ，n ）＝1都有()11mod n an ≡－成立，那么合数n 称为“绝对伪素数”．请读者寻找“绝对伪素数”．例6 求所有的素数p ，使得121p p－－是一个完全平方数． 解：p 是一个满足条件的素数，则显然p 是一个奇素数．由Fermat 小定理知12|21p p －－， 而 121p －－＝1221p －（－）1221p －（＋）， 故 12|21p p －－或12|21p p －＋．由于1112222212121p p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－－，＝，＝1＋－－， 所以，12|21p p －－与12|21p p －＋中恰有一个成立． 若12|21p p －－，则由条件及112212121p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－，＝＋－可知存在正整数x ， 使得 1222p x －＋1＝， 此时 （x －1）（x ＋1）＝122p －， 这表明x －1与x ＋1都是2的幂次，而x 为奇数，故x －1与x ＋1是两个相邻的偶数，所以，只能是 x －1＝2，x ＋1＝4，故 x ＝3，此时 p ＝7． 若12|21p p －＋，则同上知存在正整数x ，使得1222p x －－1＝， 当p ＞3时，导致()12211mod 4p x ≡－＝2－－，矛盾，故p ＝3． 另一方面，当p ＝3和7时，121p p－－分别为1和9，都是完全平方数． 综上可知p ＝3或7．。
费马小定理是数论中的一条重要定理。
它由法国数学家费马于17世纪提出，是数论研究中的一块宝藏，为许多数论问题的研究提供了有力的工具。
费马小定理是一个简洁而优美的定理，它给出了解决整数幂的问题的一种有效的方法。
费马小定理的具体内容是：如果p是一个素数，a是整数，且a不是p的倍数，那么a的p-1次方与1除以p的余数为1。
即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)这个定理有着许多重要的应用。
首先，它可以用来证明一些数不是素数。
例如，如果对于某个数a，a^(p-1)模p不等于1，那么根据费马小定理的逆否定理，p 一定不是素数。
这给了我们一种判断数是否为素数的方法。
其次，费马小定理还可以用来计算模幂。
对于一个较大的指数n，计算a^n除以p的余数是一个非常困难的问题。
但是，利用费马小定理，我们可以将指数n简化为n mod (p-1)，从而使得计算变得更加简单。
利用如下的恒等式：a^n ≡ a^(n mod (p-1)) (mod p)最后，费马小定理还可用于解决一些密码学问题。
在RSA加密算法中，费马小定理被广泛应用。
RSA算法利用了两个大素数的乘积的难以分解性质，而费马小定理则提供了一种验证是否为素数的方法。
值得一提的是，费马小定理的逆否定理在数论中也有重要的应用。
逆否定理的内容是：如果对于某个数a和素数p，a^(p-1)模p等于1，那么a一定是p的倍数。
这个逆否定理被称为费马定理。
费马定理意味着，如果一个数a满足a^(p-1)模p等于1，那么a一定是p的倍数。
利用费马定理，我们可以在研究数的性质时，通过验证一个数不是素数来确定它是一个合数。
总之，费马小定理是数论中的一条重要定理。
它给出了一种判断数是否为素数的方法，简化了计算模幂的问题，并在密码学中有着广泛的应用。
费马小定理是数论中的一个亮点，也是数学研究中的一片瑰宝。
在今后的数论研究中，费马小定理还将继续发挥其重要的作用，并为数学家们提供新的启发和突破口。
