质数与合数讲义(完整资料)

质数和合数知识要点1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.（1）、质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。

（2)、合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数)。

（3)、1：只有1个因数。

“1"既不是质数，也不是合数。

注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。

②每个合数都可以由几个质数相乘得到,质数相乘一定得合数。

③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧:看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数.关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是:1;A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0;A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是:0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。

树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解,一直分解到全部因数都是质数为止.把36分解质因数是：36=2×2×3×35、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。

例：分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。

具体步骤是：6、互质数:公因数只有1的两个数，叫做互质数.两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数:8和9一质一合的互质数:7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质;⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；三、经验之谈：书写分解质因数的结果时不能把质因数相乘写在等号左边，把合数写在右边,比如36=2×2×3×3就不能写成2×2×3×3=36；短除法是除法一种简化，利用短除法分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数一、填空。

数学竞赛班讲义班级______姓名______学号______第二讲质数与合数知识点归纳一、正整数的一种分类：质数、合数、1。

二、质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。

三、合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。

四、质数的性质：（1）质数只有1和本身两个正约数；（2）质数中只有一个偶数2；（3）如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2；（4）如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2；（5）任何合数都可以分解为几个质数的积。

能写成几个质数的积的正整数就是合数。

例题与分析1．用1，2，3三个数码（可以重复）可以组成的最大两位质数是多少？2．用1，2，3，4四个数字中的三个可以组成的三位最大质数是多少？3．在所有两位以上的质数中，在个位数上不可能出现的数字共有多少个？4． 设xy 是小于50的质数，且)(|2y x +，则满足条件的数共有多少个？5． 已知三个质数30=++z y x ，则xyz 最小为多少？6． 图中的每个圆圈内的数都是质数，且大三角形每条边上三个数的和与其中小三角形上三个顶点的和都相等，则这个和最小是多少？7． 如果P 是质数，且42+P ，43+P 仍是质数，那么P 最小是多少？8． 请在下式的方框内填入6个50以内的不同质数．2×□＋□×□＋□×□×□=20029． 三个质数的积恰为它们和的7倍，则这三个数是多少？10． 将50写成10个质数之和，则其中最大的一个不会超过多少？11． 已知P ，5)4(2-+P 都为质数，求)4)(3)(2)(1(++++P P P P 的值．12． 已知两个质数a 和b ，它们的积加上7后恰好为三个不同质数的乘积，这三个质数均不超过30，求a 的最小值．练习与巩固1． 最小的质数与最小的合数之和为____________．2． 两个合数的和为质数，则这两个数最小为__________，___________．3． 20以内的质数共有__________个，最大的一个为___________．4． 下列五个数15、23、39、41、51中，_________和_________为质数．5． 已知两个质数a 和b 的和是奇数，则它们的积为___________（填“奇数”或偶数）．6． 两个质数的和为43，则这两个质数较大数比较小数大____________．7． 正整数A 和B 都是质数，且6723=+B A ，且B A >，则__________=+B A ．8． 有一个质数加上10或12后，仍为质数，则这个数最小为__________．9． 试写出5个由小到大的连续正整数，它们都是合数，其中最小数的最小值为__________．10． 有一类两位质数，将十位数字与个位数字对换后仍为质数，则所有这些数之和为_____．11． 分别判断117和373是质数还是合数．12． 已知x 、y 、z 为三个质数，且24=+y x ，66=+z y ，z y x <<，求x 、y 、z 的值．。

第二讲质数与合数知识说明1.质数与合数：一个数除了1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。

常用的100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25 个；除了2 其余的质数都是奇数；除了2 和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7 或9。

考点：（1）值得注意的是很多题都会以质数2 的特殊性为考点，例如:两个质数之和为39，求这两个质数的乘积。

分析：因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是 2，另一个是 37，乘积为 74。

我们要善于抓住此类题的突破口。

（2）除了2 和5，其余质数个位数字只能是1，3，7 或9。

这也是很多题解题思路，需要大家注意2.质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

互质数：公约数只有1 的两个自然数，叫做互质数。

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如：30＝2×3×5。

其中2、3、5 叫做30 的质因数。

又如12＝2×2×3＝22 ×3，2、3 都叫做12 的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式。

分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。

例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数.分析：210 分解质因数：210=2×3×5×7，可知这三个数是5、6 和7。

3.判断一个数是否为质数的方法：根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p（均为整数），使得p能够整除P，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数K 2 ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除P，如没有能够除尽的那么P 就为质数。

华杯赛数论专题：3 质数与合数基础知识：1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.1不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数，3是最小的奇质数.除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1,3,7,9.2.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P的质数q（均为整数），使得q能够整除P ，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但这样的计算量很大，对于不太大的P ，可以先找一个大于且接近P的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除P ，如果没有能除尽的，那么P就为质数.3.唯一分解定理每个大于1的自然数均可以分解为有限个素数的乘积，并且具有唯一（不计次序变化）的素数分解形式.例题例1.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有几个？【答案】23，37，53，73.【解答】首先，个位数字不能是0，2，4，6，8，5，十位数字只能是3，7，所以满足要求的两位数有四个：23，37 ，53 ，73.例2.把质数373拆开（不改变各数字间的顺序），所有的可能只有3，7，37，73这四个数，它们都是质数. 请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数.【答案】23，37，53，73，373【解答】用排除法，在所找的数中，各个数位上都不能出现0，1，4，6，8和9，否则拆成一位数时将出现这六个数，都不是质数. 另外除首位外，各位数字都不能出现2和5. 因此，可采用的数字只有3，7，2，5，其中2，5只能出现在首位，并且同一个数字不能连续出现.经检验，满足题意的数只有五个：23，37，53，73和373.例3.老师想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【答案】167、257、347、527或617中间的任意一个【解答】因为是质数，所以个位数不可能为偶数0，2 ，4 ，6 ，8. 也不可能是奇数5.如果末位数字是3或9，那么数字和将是3或9的两倍，因而能被它们整除，就不是质数了.所以个位数只能是 7.这个三位数可以是167、257、347、527或617中间的任意一个.例4.连续的九个自然数中至多有几个质数？为什么？【答案】4个【解答】如果连续的9个自然数在1到20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1~9中有4个质数2、3、5、7）.如果这连续的9个数中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中的奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必定有一个个位数是5，因而该数为合数.这样，至多另外4个奇数都是质数.综上，连续9个数中最多有4个质数.例5.三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.【答案】2，11，13或3，7，11【解答】设三个不同质数是a、b、c因为，所以a、b、c中，必定有一个质数是11，不妨设a＝11，则故可得<I>b</I>=2，c=13，或<I>b</I>=3，c=7，所以三个质数是2，11，13或3，7，11.例6.质数A、B、C、D满足A＋B＝C，A＋C＝D，那么A×C＋B×D是 .【答案】31【解答】如果A、B都是奇数，则C＝A＋B是大于2的偶数，不可能是质数，所以A、B有一个是偶数.同理A、C也有一个是偶数，因此只能是A＝2.那么B＋2＝C，C＋2＝D，即B、C、D是三个连续奇数，必定有一个是3的倍数，那么只能是B＝3，C＝5，D＝7.因此A×C＋B×D＝2×5＋3×7＝31.例7. 将135拆成4个互不相同的质数之和，使得其中两个质数的个位数字分别为1和7. 请写出两种满足要求拆分的方法：135＝________＝________.【答案】135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67【解答】四个质数不可能同为奇数，至少有一个偶质数，即为2，因此个位数字为1、2、7，所以第四个数字的个位数字是5且是质数，只能是5，所以原题变为把128拆成个位数字为1和7的两个质数之和，128＝31＋97=61＋67，所以135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67.例8.已知两个质数与一个合数的和是293，乘积是10336，那么这三个数中最大的是.【答案】272【解答】因为，其中三个数分别为2、19、272满足要求，故最大的数是 272.例9.请在下列算式中的每个方框内填入一个质数数字，使得等式成立，共有______种.□□＋□＝□□×□－□＝□□－□□＝□□÷□＋□【答案】4种【解答】第一个算式：32＋7或37＋2第二个算式：22×2－5或23×2－7第三个算式：72－33第四个算式：72÷2＋3例10.4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个合数，那么在这4个数字所能组成的四位数中，最大的是多少？【答案】8533【解答】将360分解质因数得，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个合数，所以该合数必至少为个质因数之积.而只有3个2相乘才小于10，所以这四个数为3、3、5、8，所能组成的最大四位数是8533.例11.把下面八个数分成两组，使这两组数的乘积相等.14、55、21、30、75、39、143、169【答案】（55、30、169、21）；（143、75、14、39）【解答】先把每个数都分解质因数如下：14＝2×7 21＝3×7 30＝2×3×5 39＝3×13 55＝5×11 75＝3×5×5 143＝11×13 169＝13×13，观察因子得到分组为：（55、30、169、21）；（143、75、14、39）.例12.5个连续质数的乘积是一个形如□△□□△□的六位数，其中□和△各代表一个数字，那么这个六位数是多少？【答案】323323【解答】因为□△□□△□＝□△□×1001＝□△□×7×11×13，又□△□为两个质数的乘积，所以□△□＝17×19=323，故六位数为323323.例13.幼儿园王老师带216元去买皮球，预计正好花光. 可实际上所购皮球价格比预计的便宜2元，个数比原计划的多9个，仍然恰好花光。

数的整除（2）质数、合数、分解质因数教室姓名学号【知识要点】1、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类：（1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。

（2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。

（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。

）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。

（4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（5）因数个数定理：例如：1980=22×32×5×11所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理：例如：1980=22×32×5×11所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（011+111）=7×13×6×12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。

例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。

解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。

任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。

例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。

课题
5-3-1.质数与合数（一）
一、基本概念和知识：
1.质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。

解：30＝2×3×5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。

二、典例剖析：
例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？
例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？
例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？。

《质数和合数》教案一、教学目的１知识与技能：使学生掌握的概念，知道它们的联系和区别。

２过程与方法：能正确判断一个数是质数还是合数。

３情感态度与价值观：培养学生判断推理能力。

二、教学重难点1教学重点：掌握质数、合数概念，会判断一个数是质数还是合数。

2教学难点：判断一个数是质数还是合数。

（使学生把握住的根本区别在于：质数，只有１和本身二个约数；合数，除了１和本身，还有其它约数。

）三、教学方法讲授法、提问法、讨论法四、教学过程1、新课导入（回顾旧知、循序导入）师：“我们学过求过一个数的约数，那么每个数的约数的个数又有什么规律呢？这节课我们来探索这个问题。

”师：“谁能说说什么是约数？”生：“如果数a能被数b（b不等于０）整除，a就叫做b的倍数，b就做a 的约数（或a的因数）。

师：“谁又能说说每个数的约数有什么特点？”生：“一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是１，最大的约数是它本身。

”2、探究新知１、教学例１。

教师出示例１（纸片）时说：“请两名学生分别写出左右两排数的约数。

”点两名学生上黑板完成例１。

例１写出下面每个数的所有的约数。

１的约数：１７的约数：１、７２的约数：１、２８的约数：１、２、４、８３的约数：１、３９的约数：１、３、９４的约数：１、２、４１０的约数：１、２、５、１０５的约数：１、５１１的约数：１、１１６的约数：１、２、３、６１２的约数：１、２、３、４、６、１２师：“谁能根据这些数的约数的个数进行分类？”教师在黑板上板书：有一个约数的是：（生）１有两个约数的是：（生）２、３、５、７、１１有两个以上约数的是：（生）４、６、８、９、１０、１２请一名学生上黑板进行分类，其余学生在书上完成。

师：“一个数，如果只有１和它本身两个约数，这样的数叫质数（或素数）（张贴质数概念）。

例如，２、３、５、７、１１都是质数。

谁能说说，还有哪些数是质数？”生：“１３、１７、１９、２３……”师：“质数的个数数得完吗？”生：“数不完，质数的个数有无数个？”师：“一个数，如果除了１和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数（张贴合数概念）。

第三讲质数与合数（一）范例讲解1、请把下面的数分解质因数：（1）160；（2）598；2、试判断103、437是质数还是合数？3、（1）如果两个质数相加等于16，这两个质数有可能等于多少？（2）如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？（3）如果两个质数相加等于29，这样的两个质数存在吗？4、请将2、5、14、24、27、55、56、99这8个数分成两组，使得这两组数的乘积相等。

5、将21、30、65、126、143、169、275分成两组，使两组数的积相等6、两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少？7、三个连续自然数的乘积等于39270.这三个连续自然数的和等于多少？8、有4名同学参加夏令营，他们的年龄恰好一个比一个大1岁。

且知道他们年龄的乘积是17160，你知道他们分别是多少岁吗？课堂练1、判断109,541是质数还是合数？2、将40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等。

回家练1、默写出1-100中的所有质数。

2、把下面的数分解质因数：（1）240 （2）15183、（1）两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？4、将21、30、65、126、143、169、275分成两组，使两组数的积相等。

5、两个相邻的自然数之积是1980，求这两个相邻的自然数。

6、两个自然数的积是180，差不大于5，则这两个自然数的和是多少？7、三个连续自然数的乘积是120，求这三个数的和是多少？8、某四年级学生参加数学竞赛，他获得的名次、他的年龄、他得的分数的乘积是2910.这个学生得第几名，成绩是多少分？。

质数与合数（二）1.掌握质数与合数的定义 2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题 3.能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.。

模块一、偶质数2【例 1】 如果,,a b c 都是质数，并且a b c -=，则c 的最小值是_________【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，17题【解析】 本题考察的是最小的偶质数2，所以c 最小是2.【答案】2【例 2】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。

偶数、奇数、质数和合数五年级杨皓一、知识归纳：1、 2 的倍数的特色：个位是上0，2，4，6，8 的数2、 3 的倍数的特色：一个数的各数位上的数字之和是3、 5 的倍数的特色：个位上是0 或 5 的数4、同时是 2 和 5 的倍数的特色：个位上是0 的数3 的倍数的数5、奇数和偶数的含义：奇数：不是 2 的倍数的数偶数：是 2 的倍数的数6、奇数、偶数的运算性质：奇数奇数 =偶数奇数偶数 =奇数奇数×偶数 =偶数偶数偶数 =偶数奇数×奇数 =奇数偶数×偶数 =偶数二、典例分析（基础篇）：例 1 101 以内 2 的倍数有哪些你发现了什么规律例 2 以下各数中，哪些是奇数哪些是偶数55 96 455 688 0 234 4678 7089 2000 555 4545991例 3 101 以内 5 的倍数有哪些你发现了什么规律例 4 101 以内 3 的倍数有哪些你发现了什么规律【基础训练】一、填空题1、个位是（）的数，都是2的倍数。

2、（）的数叫做偶数，（）的数叫做奇数。

3、最小的偶数是（），（）最大的偶数。

最小的奇数是（），（）最大的奇数。

4、由最小的奇数和最小的偶数组成的两位数是（）。

5、用 0，1，3，7 这四个数字组成一个最大的偶数是（），最大的奇数是（）。

二、判断题1、一个自然数，不是奇数就是偶数。

（）2、是 3 的倍数的数必然是奇数。

（）3、偶数都比奇数大。

（）4、个位上是3，6，9 的数，都是 3 的倍数。

（）5、个位上是0 的数，既是 2 的倍数，也是 5 的倍数。

（）三、选一选，填一填。

48516578260104 36157是 2的倍数是5的倍数是3的倍数四、按要求写数。

1、写出一个同时2、 5、 3 的倍数的最小自然数（ 0 除外）2、写出最小的两位奇数。

3、写出最大的三位偶数。

三、典例分析（提高篇）：例 1从三个数0、4、5 中取出两个组成一个两位数，分别满足下面的条件：（1）是 2的倍数（ 2）是 5 的倍数（3）既是 2 的倍数，又是 5 的倍数例 2在方框里填上适合的数字，使获取的三位数同时是 3 和 5 的倍数。