不等式第二十一讲 不等式综合应用

基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

ax y 4表示的区域不包含点 （2,1），故排除C ,故选D .专题七不等式第二十一讲不等式的综合应用答案部分2019 年1.解析x 0， y0，x 2y 5，x 1 2y 1 2xy x 2y 1罕62网 v xy由基本不等式, 2历亠…2 p 屁各4^3 J xy V v xy（当且仅当2j xy 品时，即J xyxy 3，且 x 2y 5时，即x 3 * *或x;时，等号成立）y 1 y-故斗夕 J xy 的最小值为2010-2018年 1. D 【解析】点（2,1）在直线x y 1上，ax y 4表示过定点（0,4），斜率为 a 的直线, 当a 0时，x ay 2表示过定点（2,0），斜率为 丄的直线，不等式x ay < 2表示 a的区域包含原点，不等式 ax y 4表示的区域不包含原点.直线 ax y 4与直线 x ay 2互相垂直，显然当直线ax y 4的斜率 a 0时，不等式ax 4表示 3 的区域不包含点（2,1），故排除A ;点（2,1）与点（0,4）连线的斜率为 - 23 3a -，即卩 a 一时，ax22y 4表示的区域包含点（2,1），此时xay 2表示的区域也包含点（2,1），故排除1时，2a 1 4 3，则2 aw 2，解得a 2，所以当且仅当解法二由题意x 0时，f (x)的最小值2，所以不等式f(x)弋a|等价于(2,1) A .故选D •2. A【解析】解法一函数f(x)的图象如图所示，当xy 12 a I的图象经过点(0, 2)时，可2a的图象与y X —x的图象相切时，由0，并结合图象可得x 一a2.xx -，得x2，要使f (x)》|—a I恒成立，当a w 0时，需满足a w 2 ,即2w a w 0 , 当a 0时，需满足a w 2，所以x|—a|w 2在R上恒成立.2当a 2^3时，令x 0，得|- 2/3|22，不符合题意，排除C、D;当a 273时，令x 0，得|- 2J3| 2，不符合题意，排除2B；3. C【解析】若｛a n｝是递减的等差数列，则选项A, B都不一定正确. 若｛a n｝为公差为0的等差数列，则选项D不正确.对于C选项，由条件可知｛a n｝为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得a2 =穿，由基本不等式得肓 >屁，所以C正确.4. B【解析】•••0<a<b ,•••宁>底，又f(x) = lnx在(0，+?)上单调递增，故f(Jab)v f(旦+3，即q> P,解法二若(2,1) A a w -时,29.1 1r = -( f (a) + f (b)) = - (In a + ln b) = l^/ab = f (TOb) = p ,故选B.二 p = r vq .D 【解析】 由已知得 3a 4b ab，且ab0,可知a 0,b 0,4 所以43 1(a 0,b 0), a b (ab)(-[) 74b 3a> 7 4/3 .a ba ba b当且仅当4b 3a ——时取等号.abD 【解析】 本题考查的是均值不等式. 因为 1 2x 2y2J 2X 2y ,即2xy22,所以xy2，当且仅当2x2y ，即 x y 时取等号.B 【解析】 由I x23xy 4y 2 z 0,得z x 2 3xy 4y 2.所以空xy111,当且仅当x4yz y x3y5. 6.7. x 3xy 4y x xyxyxyxy当且仅 当x 24y2即x 2y 时,z -有最小值1,xy将x2y 代入原式得 z 2y 2 ,所以x 2y z 2y2y 2y 22y 24y ,当y 1时有最大值2.故选C .；【解析】Q x 3y 口1 5xy ,-35 ,y x1 1 3 1 3x 12y 13 1-(3x 4y)(—-) (- ):匚2 5 y x 5 y x 5 52j x 2 4y 233后逻5.5z x 24y 23 1,x 2y 时取等号此时2y 2,2 1 2y y 丄空)2xy& C【解析】 x 2 3xy 4y 2x 2 4y 23xy10. C 【解析】Q x 3y 1 1 5(3X 4y) (7 -) X 1 3x 12y 片v )13 511. A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为 2Sa b2ab a b 2ab ^/ab T ab.2aba b 2a 2 2a 12. B 【解析】在同一坐标系中作出 y2m7(m 0)，y |log 2 X 图像如下图, 由 Iog 2 X = m ，得 X 1 82m 12 2m8Iog2x| = —8— 2m 1 X 3 1,X 488依题意得a 2 m 2 2m 1 ,b-m- 2m 12 2b a82 2m 1 8m 2 m 12m28 m -----2 2m 1Q m —8— 2m 1 13. B 【解】（方法一）已知 2因为a4 12b 和 v ab31(b)i\ /minaa b 2(j ab)2a(a b) 0，所以 a T ab ，同理由，比较a 与J Ob ,b 2(j ab)2b(b a) 0得 j ab b ；作差法：b -~~b218. 4【解析】所以—b2（方法二） ■ a bb，综上可得a质丁 b;故选B . 则Tab 取 a 2, b 8, 4，竽5，所以a 质专b . 14. D 【解析】 对于 A 取a b 1，此时a 2 b 2 2ab 2，因此A 不正确；对于 1,此时a b 2 2jab 2，因此B 不正确；对于 C 取a b 1 1 2此时1 12亠 a b T ab 2，因此C 不正确；对于D ,v ab 0 , b 0, b0 a a b a A 2 /F I a bY a bD 正确. 15. 1【解析】由a 3b 4 0，得 a 3b 6 , 所以2a 1 8b23b 6 A 2松 2b 2 2 3 1 当且仅当 23b 6，即b 1时等号成立. 16. (1,4) ; (1,3]U(4, ）【解析】若 2，则当X > 2时，令X 4 0，得2 <2当X 2时，令X 4x 3 0 ,得1 X 2 .综上可知1X 4，所以不等式f （x ） 0的解集为(1,4).令X 4 0 ,解得X 4 ;令X 24x 3 解得X为函数f （X ）恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知 17. [1,1]【解析】由题意，U X 2 y 2 X 2 (1 X)2 2x 2 2x 1 2(xf)21 2，且2 2 1 X [0,1]，又 X 0 时，U X y 1 , X -时，u min2 2 2 1 y 1，所以X y 取值范围为[2,1].a4 4b4 1、4a2b2 14ab 丄 A 4 ,ab ab 当且仅当aba 22b 2，且ab -，即a 2— 时取等号. 2 2X 2y 2 £，当 X 1时,0 ,x 30时等号成立. 9解得a 一或a219. 30【解析】总费用为4x600 6x240，当且仅当x 100，即 x21. 综上可得，实数 a 的取值范围是，|].J Q—【解析】由3a b c 0 得，a则 a2 *( b c)2 b 22c 2 2bc2 .2c bc 21，所以 3a 2w 2 ,22. 23. 解得血w a w 毎，故a 的最大值为磴3 3 3-1【解析】设|2a b|最大，则必须a,b 同号, 因为 4a 2 b 2 4ab c 6ab w c 3( — )2, 2Q —I* 故有(2a b)2 w 4c , c > (—于)2，当且仅当2a b 时取等号，此时 4 = 4A 4(1 丄)21> 1 . c b b b 2—2【解析】2 2设 2a b t ，则 2a t b ，因为 4a 2ab 4b c所以将2a tb 代入整理可得6b 2 3tb t 2c 0①,c b 2,20.(,|］【解析】•••[1,4]，二4-[4,5] x①当a > 5时，f(x)2a所以f (x)的最大值2a 5，即②当a < 4时，f (x) 9a -2 4 x - w 5(舍去)③当4 a 5时,f(x)max max{|a| a,| 5 a| a}，则|4 a| a >|5 |4 a| a 5a|a或 14a| a||5 5，当|2a b|取得最大值时，t ,0 ,5 X y w3324. 25. 26. 27. 代入①式得当且仅当 1900 100 焉，再由2a2 祠 4^107c 7c 5时等号成立. 【解析】（I ） F 当且仅当V 11时等号成立. / 、 L 76000 ” (n) F -------------- w 20 5 g V ---- 18 V 2000 1900 100.-2【解析】；T a > —a— 4|a| 当且仅当 V4|a| b 3 r c ~ 2V 10，V c V c76000 / 76000----------- ___________ 20 6.05 18 2A 21 181900, 倍2。

不等式的综合应用不等式在数学中起着重要的作用，可以用来描述数之间的大小关系。

不仅能够解决简单的大小比较问题，还能在实际生活中找到广泛的应用。

本文将介绍不等式的概念及其综合应用，并探讨其在不同领域中的具体运用。

一、不等式的基本概念不等式是数学中描述数之间大小关系的一种表达方式。

在数学中，常见的不等式有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。

举例来说，对于两个实数a和b，a > b表示a大于b；a < b表示a小于b；a ≥ b表示a大于等于b；a ≤ b表示a小于等于b。

其中，>和<称为严格不等式，≥和≤称为非严格不等式。

二、不等式在数学中有许多重要的应用。

下面将介绍不等式的综合应用在数学、经济学和物理学等领域的具体运用。

1. 数学领域在数学中，不等式经常被用于解决数值范围的问题。

例如，在解方程的过程中，通常需要首先确定方程的解集所在的范围，这就要用到不等式。

另外，在数学建模中，不等式也被广泛应用于优化问题、最大值最小值的求解等方面。

2. 经济学领域在经济学领域，不等式被用于描述供需关系、收入分配等经济现象。

例如，在市场分析中，不等式可以用来表示价格和需求量之间的关系，根据不等式的结果可以预测市场的供求情况。

另外，在经济学中，不等式的运算也可以用于解决收入分配问题。

通过建立收入不等式模型，可以研究收入差距的成因，并提出相应的政策建议。

3. 物理学领域在物理学中，不等式被广泛运用于描述力学、热力学、电磁学等物理现象。

例如，在力学中，不等式可以用来描述物体受力平衡的条件，解决静力学问题。

在热力学中，不等式可以用来描述物体热平衡、热传导等问题。

在电磁学中，不等式可以用来描述电流和电压之间的关系，解决电路中的问题。

三、不等式的实际例子为了更好地理解不等式的综合应用，下面将举几个实际例子来说明。

1. 例子一：超市打折假设某超市进行打折活动，对购物总额在100元以上的顾客，可以享受8折优惠。

难点20 不等式的综合应用不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一；作为解决问题的工具；与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类；一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系；利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法；使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.●难点磁场(★★★★★)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞0)；方程f (x )－x =0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜a 1. (1)当x ∈［0；x 1)时；证明x ＜f (x )＜x 1； (2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称；证明；x 0＜21x . ●案例探究［例1］用一块钢锭烧铸一个厚度均匀；且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米；盖子边长为a 米；(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米；则当h 为何值时；V 最大？求出V 的最大值(求解本题时；不计容器厚度)命题意图；本题主要考查建立函数关系式；棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托；本题求得体积V 的关系式后；应用均值定理可求得最值.错解分析；在求得a 的函数关系式时易漏h ＞0.技巧与方法；本题在求最值时应用均值定理.解；①设h ′是正四棱锥的斜高；由题设可得；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='⋅+12222412214h a a a h a 消去)0(11:.2>+='a h a h 解得 ②由)1(33122+==h h h a V (h ＞0) 得；2121)1(31=⋅=++=hh h h hh V 而 所以V ≤61；当且仅当h =h1即h =1时取等号 故当h =1米时；V 有最大值；V 的最大值为61立方米. ［例2］已知a ；b ；c 是实数；函数f (x )=ax 2+bx +c ；g (x )=ax +b ；当－1≤x ≤1时|f (x )|≤1.(1)证明；|c |≤1；(2)证明；当－1 ≤x ≤1时；|g (x )|≤2；(3)设a ＞0；有－1≤x ≤1时； g (x )的最大值为2；求f (x ).★★★★★级题目.知识依托；二次函数的有关性质、函数的单调性是药引；而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.错解分析；本题综合性较强；其解答的关键是对函数f (x )的单调性的深刻理解；以及对条件“－1≤x ≤1时|f (x )|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当；会使解题过程空洞；缺乏严密；从而使题目陷于僵局.技巧与方法；本题(2)问有三种证法；证法一利用g (x )的单调性；证法二利用绝对值不等式；||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |；而证法三则是整体处理g (x )与f (x )的关系.(1)证明；由条件当=1≤x ≤1时；|f (x )|≤1；取x =0得；|c |=|f (0)|≤1；即|c |≤1.(2)证法一；依题设|f (0)|≤1而f (0)=c ；所以|c |≤a ＞0时；g (x )=ax +b 在［－1；1］上是增函数；于是g (－1)≤g (x )≤g (1)；(－1≤x ≤1).∵|f (x )|≤1；(－1≤x ≤1)；|c |≤1；∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤|f (1)|+|c |=2；g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(|f (－2)|+|c |)≥－2；因此得|g (x )|≤2 (－1≤x ≤1)；当a ＜0时；g (x )=ax +b 在［－1；1］上是减函数；于是g (－1)≥g (x )≥g (1)；(－1≤x ≤1)； ∵|f (x )|≤1 (－1≤x ≤1)；|c |≤1∴|g (x )|=|f (1)－c |≤|f (1)|+|c |≤2.综合以上结果；当－1≤x ≤1时；都有|g (x )|≤2.证法二；∵|f (x )|≤1(－1≤x ≤1)∴|f (－1)|≤1；|f (1)|≤1；|f (0)|≤1；∵f (x )=ax 2+bx +c ；∴|a －b +c |≤1；|a +b +c |≤1；|c |≤1；因此；根据绝对值不等式性质得；|a －b |=|(a －b +c )－c |≤|a －b +c |+|c |≤2；|a +b |=|(a +b +c )－c |≤|a +b +c |+|c |≤2；∵g (x )=ax +b ；∴|g (±1)|=|±a +b |=|a ±b |≤2；函数g (x )=ax +b 的图象是一条直线；因此|g (x )|在［－1；1］上的最大值只能在区间的端点x =－1或x =1处取得；于是由|g (±1)|≤2得|g (x )|≤2；(－1＜x ＜1).)21()21(])21()21([])21()21([)2121(])21()21[()(,)21()21(4)1()1(:22222222--+=+-+--++++=--++--+=+=∴--+=--+=x f x f c x b x a c x b x a x x b x x a b ax x g x x x x x 证法三 当－1≤x ≤1时；有0≤21+x ≤1；－1≤21-x ≤0； ∵|f (x )|≤1；(－1≤x ≤1)；∴|f )21(+x |≤1；|f (21-x )|≤1； 因此当－1≤x ≤1时；|g (x )|≤|f )21(+x |+|f (21-x )|≤2. (3)解；因为a ＞0；g (x )在［－1；1］上是增函数；当x =1时取得最大值2；即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2.① ∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1；∴c =f (0)=－1.因为当－1≤x ≤1时；f (x )≥－1；即f (x )≥f (0)；根据二次函数的性质；直线x =0为f (x )的图象的对称轴； 由此得－ab 2＜0 ；即b =0. 由①得a =2；所以f (x )=2x 2－1.●锦囊妙计1.应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题；在解决这些问题时；关键是把非不等式问题转化为不等式问题；在化归与转化中；要注意等价性.2.对于应用题要通过阅读；理解所给定的材料；寻找量与量之间的内在联系；抽象出事物系统的主要特征与关系；建立起能反映其本质属性的数学结构；从而建立起数学模型；然后利用不等式的知识求出题中的问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)定义在R 上的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间［0；+∞)的图象与f (x )的图象重合；设a ＞b ＞0；给出下列不等式；其中正确不等式的序号是( )①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )A.①③B.②④C.①④D.②③二、填空题2.(★★★★★)下列四个命题中；①a +b ≥2ab ②sin 2x +x2sin 4≥4 ③设x ；y 都是正数；若yx 91 =1；则x +y 的最小值是12 ④若|x －2|＜ε；|y －2|＜ε；则|x －y |＜2ε；其中所有真命题的序号是__________.3.(★★★★★)某公司租地建仓库；每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比；而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比；如果在距车站10公里处建仓库；这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元；那么要使这两项费用之和最小；仓库应建在离车站__________公里处.三、解答题4.(★★★★★)已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ；b ∈R ；a ＞0)；设方程f (x )=x 的两实数根为x 1；x 2.(1)如果x 1＜2＜x 2＜4；设函数f (x )的对称轴为x =x 0；求证x 0＞－1；(2)如果|x 1|＜2；|x 2－x 1|=2；求b 的取值范围.5.(★★★★)某种商品原来定价每件p 元；每月将卖出n 件；假若定价上涨x 成(这里x 成即10x ；0＜x ≤10).每月卖出数量将减少y 成；而售货金额变成原来的 z 倍. (1)设y =ax ；其中a 是满足31≤a ＜1的常数；用a 来表示当售货金额最大时的x 的值； (2)若y =32x ；求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围. 6.(★★★★★)设函数f (x )定义在R 上；对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n )；且当x ＞0时；0＜f (x )＜1.(1)求证；f (0)=1；且当x ＜0时；f (x )＞1；(2)求证；f (x )在R 上单调递减；(3)设集合A ={ (x ；y )|f (x 2)·f (y 2)＞f (1)}；集合B ={(x ；y )|f (ax －g +2)=1；a ∈R }；若A ∩B =∅；求a 的取值范围.7.(★★★★★)已知函数f (x )=1222+++x c bx x (b ＜0)的值域是［1；3］； (1)求b 、c 的值；(2)判断函数F (x )=lg f (x )；当x ∈［－1；1］时的单调性；并证明你的结论；(3)若t ∈R ；求证；lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 513.［科普美文］数学中的不等式关系数学是研究空间形式和数量关系的科学；恩格斯在《自然辩证法》一书中指出；数学是辩证的辅助工具和表现形式；数学中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素；等与不等关系正是该点的生动体现；它们是对立统一的；又是相互联系、相互影响的；等与不等关系是中学数学中最基本的关系.等的关系体现了数学的对称美和统一美；不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美.不等关系起源于实数的性质；产生了实数的大小关系；简单不等式；不等式的基本性质；如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式；不等式发展为一个人丁兴旺的大家族；由简到繁；形式各异.如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系；又产生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的吗？显然不是；由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件；不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下；阐述论证过程；揭示内在规律；基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n 有关的证明问题；常采用观察—归纳—猜想—证明的思路；以数学归纳法完成证明.另外；不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.数学科学是一个不可分割的有机整体；它的生命力正是在于各个部分之间的联系.不等式的知识渗透在数学中的各个分支；相互之间有着千丝万缕的联系；因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题；诸如集合问题；方程(组)的解的讨论；函数单调性的研究；函数定义域的确定；三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系.许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.总之；不等式的应用体现了一定的综合性；灵活多样性.等与不等形影不离；存在着概念上的亲缘关系；是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性；而不等关系是深刻而生动的体现.不等虽没有等的温柔；没有等的和谐；没有等的恰到好处；没有等的天衣无缝；但它如山之挺拔；峰之隽秀；海之宽阔；天之高远；怎能不让人心旷神怡；魂牵梦绕呢？参考答案难点磁场解；(1)令F (x )=f (x )－x ；因为x 1；x 2是方程f (x )－x =0的根；所以F (x )=a (x －x 1)(x －x 2).当x ∈(0；x 1)时；由于x 1＜x 2；得(x －x 1)(x －x 2)＞0；又a ＞0；得F (x )=a (x －x 1)(x －x 2)＞0；即x ＜f (x )x 1－f (x )=x 1－［x +F (x )］=x 1－x +a (x 1－x )(x －x 2)=(x 1－x )［1+a (x －x 2)］∵0＜x ＜x 1＜x 2＜a1；∴x 1－x ＞0；1+a (x －x 2)=1+ax －ax 2＞1－ax 2＞0 ∴x 1－f (x )＞0；由此得f (x )＜x 1.(2)依题意；x 0=－ab 2；因为x 1、x 2是方程f (x )－x =0的两根；即x 1；x 2是方程ax 2+(b －1)x +c =0的根. ∴x 1+x 2=－ab 1- ∴x 0=－a ax ax a x x a a b 2121)(22121-+=-+=；因为ax 2＜1；∴x 0＜2211x a ax = 歼灭难点训练 一、1.解析；由题意f (a )=g (a )＞0；f (b )=g (b )＞0；且f (a )＞f (b )；g (a )＞g (b )∴f (b )－f (－a )=f (b )+f (a )=g (a )+g (b )而g (a )－g (－b )=g (a )－g (b )∴g (a )+g (b )－［g (a )－g (b )］=2g (b )＞0；∴f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )同理可证；f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )答案；A二、2.解析；①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”.④式；|x －y |=|(x －2)－(y －2)|≤|(x －2)－(y －2)|≤|x －2|+|y －2|＜ε+ε=2ε.答案；④3.解析；由已知y 1=x 20；y 2x (x 为仓库与车站距离)费用之和y =y 1+y 2x + x 20≥2xx 208.0⋅=8 x =x20即x =5时“=”成立 答案；5公里处三、4.证明；(1)设g (x )=f (x )－x =ax 2+(b －1)x +1；且x ＞0.∵x 1＜2＜x 2＜4；∴(x 1－2)(x 2－2)＜0；即x 1x 2＜2(x 1+x 2)－4；12)42(212)(212)()(2121)(21)11(21221212121210-=++->++-=++-+>-+=---⋅=-=x x x x x x x x x x a a b a b x 于是得 (2)解；由方程g (x )=ax 2+(b －1)x +1=0可知x 1·x 2=a 1＞0；所以x 1；x 2同号 1°若0＜x 1＜2；则x 2－x 1=2；∴x 2=x 1+2＞2；∴g (2)＜0；即4a +2b －1＜0① 又(x 2－x 1)2=44)1(22=--a ab ∴2a +1=1)1(2+-b (∵a ＞0)代入①式得；21)1(2+-b ＜3－2b② 解②得b ＜41 2°若 －2＜x 1＜0；则x 2=－2+x 1＜－2 ∴g (－2)＜0；即4a －2b +3＜0③ 又2a +1=1)1(2+-b ；代入③式得21)1(2+-b ＜2b －1 ④解④得b ＞47. 综上；当0＜x 1＜2时；b ＜41；当－2＜x 1＜0时；b ＞47. 5.解；(1)由题意知某商品定价上涨x 成时；上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是；p (1+10x )元、n (1－10y )元、npz 元；因而 )10)(10(1001),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+=；在y =ax 的条件下；z =1001［－a ［x －a a )1(5-］2+100+a a 2)1(25-］.由于31≤a ＜1；则0＜aa )1(5-≤10. 要使售货金额最大；即使z 值最大；此时x =aa )1(5-. (2)由z =1001 (10+x )(10－32x )＞1；解得0＜x ＜5. 6.(1)证明；令m ＞0；n =0得；f (m )=f (m )·f (0).∵f (m )≠0；∴f (0)=1取m =m ；n =－m ；(m ＜0)；得f (0)=f (m )f (－m )∴f (m )=)(1m f -；∵m ＜0；∴－m ＞0；∴0＜f (－m )＜1；∴f (m )＞1 (2)证明；任取x 1；x 2∈R ；则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)－f ［(x 2－x 1)+x 1］=f (x 1)－f (x 2－x 1)·f (x 1)=f (x 1)［1－f (x 2－x 1)］；∵f (x 1)＞0；1－f (x 2－x 1)＞0；∴f (x 1)＞f (x 2)；∴函数f (x )在R 上为单调减函数.(3)由⎩⎨⎧=+-<+⎩⎨⎧θ==+->+021)(1)2()1()(2222y ax y x f y ax f f y x f 得；由题意此不等式组无解；数形结合得；1|2|2+a ≥1；解得a 2≤3∴a ∈［－3；3］ 7.(1)解；设y =1222+++x c bx x ；则(y －2)x 2－bx +y －c =0 ① ∵x ∈R ；∴①的判别式Δ≥0；即 b 2－4(y －2)(y －c )≥0；即4y 2－4(2+c )y +8c +b 2≤0②由条件知；不等式②的解集是［1；3］∴1；3是方程4y 2－4(2+c )y +8c +b 2=0的两根 ⎪⎩⎪⎨⎧+=⨯+=+48312312b c c ∴c =2；b =－2；b =2(舍）(2)任取x 1；x 2∈［－1；1］；且x 2＞x 1；则x 2－x 1＞0；且(x 2－x 1)(1－x 1x 2)＞0；∴f (x 2)－f (x 1)=－)1)(1()1)((2)12(122221*********x x x x x x x x x x ++--=+--+＞0；∴f (x 2)＞f (x 1)；lg f (x 2)＞lg f (x 1)；即F (x 2)＞F (x 1)∴F (x )为增函数.,31|)61()61(||||,61||61|)3(=+--≤+--=t t u t t u 记 即－31≤u ≤31；根据F (x )的单调性知 F (－31)≤F (u )≤F (31)；∴lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 513对任意实数t 成立.。

不等式的综合应用不等式是数学中常见且重要的概念，在各个领域都有广泛的应用。

本文将探讨不等式的综合应用，包括数学问题求解、经济学和物理学中的应用。

一、数学问题求解不等式在数学问题的求解中起着重要的作用。

例如，在解决线性方程组时，我们通常需要对方程组进行不等式的相关处理。

设想有以下线性方程组：3x + 5y ≥ 102x - 4y ≤ 8我们可以将其转化为不等式的形式。

首先，将第一个等式左右两边都减去10得到：3x + 5y - 10 ≥ 0然后，将第二个等式左右两边都加上8得到：2x - 4y + 8 ≤ 0通过这样的处理，我们可以将线性方程组问题转化为不等式问题。

进一步分析这个不等式系统，我们可以求解出x和y的取值范围，从而得到方程组的解。

二、经济学中的应用不等式在经济学中也具有广泛的应用。

例如，在市场需求与供给的分析中，我们经常需要利用不等式关系来描述市场状况。

假设某种商品的市场需求量D(x)和市场供给量S(x)分别与价格x相关。

根据供需关系，我们可以得到以下不等式：D(x) ≥ S(x)通过对不等式进行进一步分析，我们可以确定市场均衡价格的范围，从而指导市场的调节和决策。

三、物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。

例如，在运动学问题中，不等式可以帮助我们描述物体的运动状态。

考虑一个自由落体问题，物体从高度h自由落下，其下落时间t和下落距离s满足以下不等式关系：s = (1/2)gt^2 ≥ h其中，g表示重力加速度。

通过这个不等式关系，我们可以求解出物体的下落时间和下落距离的范围。

结论综上所述，不等式的应用范围广泛且多样化。

无论是在数学问题的求解、经济学的市场分析，还是物理学中的运动描述，不等式都能够提供重要的辅助工具。

在实际问题中，我们可以运用不等式的性质和方法，解决各种与大小关系相关的计算和推理问题。

通过不等式的综合应用，我们可以更好地理解和解决数学、经济学和物理学中的各种实际问题。