不等式的综合运用

例谈不等式性质的综合运用不等式是初中数学中的重点内容之一，灵活应用它的相关性质解答问题，是我们必须具备的一项能力，也是进一步学习其它知识的基础，下面举例说明，供同学们参考．一、 巧用不等式意义深化理解例1 已知ax 2-a >3(x-1)是一元一次不等式，求a 的值．析解：由一元一次不等式的定义可知，指数2-a=1,解得a=1∴当a=1时是一元一次不等式例2 已知a >b ，则下列不等式不成立的是（ ）A 、c ＋a >b ＋cB 、－1－3a <－1－3bC 、b －a <0D 、a×c 2>b×c 2析解：∵a >b ，由不等式性质1可知A 正确；由性质3得，－3a <－3b 成立，再由性质1 ∴－1－3a <－1－3b ，B 正确；有性质1得0>b －a 即b －a <0；由c 2可能等于0，因此可能有a×c 2 =b×c 2∴D 不正确二、 活用不等式性质巩固深化例3 已知a =x +2，b =x -1,且a >3>b ，则x 的取值范围是 ( )A ．x >1B ．x <4C ．x >1或x <4D ．1<x <4析解：利用转化的数学思想， 将已知转化为不等式组 x+2>3x -1<3解得：1<x<4 故选D例4. 如果不等式()22m x m ->-的解集为1x <，那么正确的是( )A ．2m ≠B ．2m >C ．2m <D ．m 为任意有理数析解：根据已知解集，结合不等式性质3，可知m －2<0, ∴m<2选C 三、 数形结合形象识别例5 不等式3(x －1)+4≥2x 的解集在数轴上表示为______．A ：B ：C ：D ：析解：解不等式得x ≥-1,把不等式的解集标在数轴上，形象直观理解不等式的解的取值范围，注意圆圈和实点的区别．选A四、妙用不等式解集便于掌握例6、下列说法中错误的是 （ ）（A ）2x >-6的解集是x>-3（B ） -8是2x<-8的一个解（C ）x <5的整数解有无数个（D ）x <3的正数解只有两个析解：本题对不等式的解、解集、整数解、正数解巧妙设置，拓广了思维空间．要正确区别上述几个概念含义，由题意可知D选项错误．五、联系实际情景，深化不等式性质应用例7 设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大．．．．的顺序排列为（）A、○□△B、○△□C、□○△D、△□○析解：把不等式和等式的关系用天平的倾斜与平衡，形象直观的表示低的一边为重（即大），贴近生活实际，体现了数学Array来源于生活的新理念．由第一个天平可知2○＞○+□即○＞□，由第二个天平可知3△=△+□，即□=2△，∴□>△；因此△<□<○∴应选D．。

初二数学不等式基本解法思路不等式是数学中常见的一种方程形式，其解法与等式有所不同。

在初二数学中，我们需要掌握不等式的基本解法思路，以便解决相关问题。

一、一元不等式的解法1. 分情况讨论法：当不等式中存在绝对值、分式等复杂形式时，可以通过分情况讨论来解决问题。

步骤如下：- 首先，将不等式根据条件进行合理分组，得到多个可能的情况。

- 其次，针对每个情况，确定对应的条件，并解出相应的不等式。

- 最后，整合各个情况下的解集，得到最终的解集。

2. 提取公因式法：当不等式中存在公因式时，可以通过提取公因式的方式简化问题。

步骤如下：- 首先，观察不等式中的各项是否存在公因式。

- 其次，将公因式提取出来，使不等式变得更简单。

- 最后，解出简化后的不等式，并确定解集。

3. 线性不等式的解法：当不等式为一次方程时，我们可以使用线性不等式的解法来求解。

步骤如下：- 首先，将不等式转化为等式，得到一个一次方程。

- 其次，根据一次方程的解的性质，确定不等式的解集。

- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。

二、二元不等式的解法1. 图像法：当不等式中存在二元变量和图像的相关关系时，可以使用图像法解决问题。

步骤如下：- 首先，将不等式转化为图像，并观察图像的特点。

- 其次，根据图像的特点，确定不等式的解集。

- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。

2. 代入法：当不等式中存在二元变量时，可以使用代入法解决问题。

步骤如下：- 首先，先固定其中一个变量，将不等式化简为一元不等式。

- 其次，解出化简后的一元不等式，并得到相应的解集。

- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。

三、综合运用不等式解题在解决具体问题时，我们需要综合运用不等式的解法思路。

具体步骤如下：1. 首先，将问题中的条件和要求抽象成一个或多个不等式。

2. 其次，根据具体情况选择合适的不等式解法。

3. 然后，根据解法思路解出不等式，并得到相应的解集。

4. 最后，验证解集是否满足问题的条件和要求。

难点20 不等式的综合应用不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一；作为解决问题的工具；与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类；一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系；利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法；使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.●难点磁场(★★★★★)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞0)；方程f (x )－x =0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜a 1. (1)当x ∈［0；x 1)时；证明x ＜f (x )＜x 1； (2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称；证明；x 0＜21x . ●案例探究［例1］用一块钢锭烧铸一个厚度均匀；且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米；盖子边长为a 米；(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米；则当h 为何值时；V 最大？求出V 的最大值(求解本题时；不计容器厚度)命题意图；本题主要考查建立函数关系式；棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托；本题求得体积V 的关系式后；应用均值定理可求得最值.错解分析；在求得a 的函数关系式时易漏h ＞0.技巧与方法；本题在求最值时应用均值定理.解；①设h ′是正四棱锥的斜高；由题设可得；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='⋅+12222412214h a a a h a 消去)0(11:.2>+='a h a h 解得 ②由)1(33122+==h h h a V (h ＞0) 得；2121)1(31=⋅=++=hh h h hh V 而 所以V ≤61；当且仅当h =h1即h =1时取等号 故当h =1米时；V 有最大值；V 的最大值为61立方米. ［例2］已知a ；b ；c 是实数；函数f (x )=ax 2+bx +c ；g (x )=ax +b ；当－1≤x ≤1时|f (x )|≤1.(1)证明；|c |≤1；(2)证明；当－1 ≤x ≤1时；|g (x )|≤2；(3)设a ＞0；有－1≤x ≤1时； g (x )的最大值为2；求f (x ).★★★★★级题目.知识依托；二次函数的有关性质、函数的单调性是药引；而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.错解分析；本题综合性较强；其解答的关键是对函数f (x )的单调性的深刻理解；以及对条件“－1≤x ≤1时|f (x )|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当；会使解题过程空洞；缺乏严密；从而使题目陷于僵局.技巧与方法；本题(2)问有三种证法；证法一利用g (x )的单调性；证法二利用绝对值不等式；||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |；而证法三则是整体处理g (x )与f (x )的关系.(1)证明；由条件当=1≤x ≤1时；|f (x )|≤1；取x =0得；|c |=|f (0)|≤1；即|c |≤1.(2)证法一；依题设|f (0)|≤1而f (0)=c ；所以|c |≤a ＞0时；g (x )=ax +b 在［－1；1］上是增函数；于是g (－1)≤g (x )≤g (1)；(－1≤x ≤1).∵|f (x )|≤1；(－1≤x ≤1)；|c |≤1；∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤|f (1)|+|c |=2；g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(|f (－2)|+|c |)≥－2；因此得|g (x )|≤2 (－1≤x ≤1)；当a ＜0时；g (x )=ax +b 在［－1；1］上是减函数；于是g (－1)≥g (x )≥g (1)；(－1≤x ≤1)； ∵|f (x )|≤1 (－1≤x ≤1)；|c |≤1∴|g (x )|=|f (1)－c |≤|f (1)|+|c |≤2.综合以上结果；当－1≤x ≤1时；都有|g (x )|≤2.证法二；∵|f (x )|≤1(－1≤x ≤1)∴|f (－1)|≤1；|f (1)|≤1；|f (0)|≤1；∵f (x )=ax 2+bx +c ；∴|a －b +c |≤1；|a +b +c |≤1；|c |≤1；因此；根据绝对值不等式性质得；|a －b |=|(a －b +c )－c |≤|a －b +c |+|c |≤2；|a +b |=|(a +b +c )－c |≤|a +b +c |+|c |≤2；∵g (x )=ax +b ；∴|g (±1)|=|±a +b |=|a ±b |≤2；函数g (x )=ax +b 的图象是一条直线；因此|g (x )|在［－1；1］上的最大值只能在区间的端点x =－1或x =1处取得；于是由|g (±1)|≤2得|g (x )|≤2；(－1＜x ＜1).)21()21(])21()21([])21()21([)2121(])21()21[()(,)21()21(4)1()1(:22222222--+=+-+--++++=--++--+=+=∴--+=--+=x f x f c x b x a c x b x a x x b x x a b ax x g x x x x x 证法三 当－1≤x ≤1时；有0≤21+x ≤1；－1≤21-x ≤0； ∵|f (x )|≤1；(－1≤x ≤1)；∴|f )21(+x |≤1；|f (21-x )|≤1； 因此当－1≤x ≤1时；|g (x )|≤|f )21(+x |+|f (21-x )|≤2. (3)解；因为a ＞0；g (x )在［－1；1］上是增函数；当x =1时取得最大值2；即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2.① ∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1；∴c =f (0)=－1.因为当－1≤x ≤1时；f (x )≥－1；即f (x )≥f (0)；根据二次函数的性质；直线x =0为f (x )的图象的对称轴； 由此得－ab 2＜0 ；即b =0. 由①得a =2；所以f (x )=2x 2－1.●锦囊妙计1.应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题；在解决这些问题时；关键是把非不等式问题转化为不等式问题；在化归与转化中；要注意等价性.2.对于应用题要通过阅读；理解所给定的材料；寻找量与量之间的内在联系；抽象出事物系统的主要特征与关系；建立起能反映其本质属性的数学结构；从而建立起数学模型；然后利用不等式的知识求出题中的问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)定义在R 上的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间［0；+∞)的图象与f (x )的图象重合；设a ＞b ＞0；给出下列不等式；其中正确不等式的序号是( )①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )A.①③B.②④C.①④D.②③二、填空题2.(★★★★★)下列四个命题中；①a +b ≥2ab ②sin 2x +x2sin 4≥4 ③设x ；y 都是正数；若yx 91 =1；则x +y 的最小值是12 ④若|x －2|＜ε；|y －2|＜ε；则|x －y |＜2ε；其中所有真命题的序号是__________.3.(★★★★★)某公司租地建仓库；每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比；而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比；如果在距车站10公里处建仓库；这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元；那么要使这两项费用之和最小；仓库应建在离车站__________公里处.三、解答题4.(★★★★★)已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ；b ∈R ；a ＞0)；设方程f (x )=x 的两实数根为x 1；x 2.(1)如果x 1＜2＜x 2＜4；设函数f (x )的对称轴为x =x 0；求证x 0＞－1；(2)如果|x 1|＜2；|x 2－x 1|=2；求b 的取值范围.5.(★★★★)某种商品原来定价每件p 元；每月将卖出n 件；假若定价上涨x 成(这里x 成即10x ；0＜x ≤10).每月卖出数量将减少y 成；而售货金额变成原来的 z 倍. (1)设y =ax ；其中a 是满足31≤a ＜1的常数；用a 来表示当售货金额最大时的x 的值； (2)若y =32x ；求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围. 6.(★★★★★)设函数f (x )定义在R 上；对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n )；且当x ＞0时；0＜f (x )＜1.(1)求证；f (0)=1；且当x ＜0时；f (x )＞1；(2)求证；f (x )在R 上单调递减；(3)设集合A ={ (x ；y )|f (x 2)·f (y 2)＞f (1)}；集合B ={(x ；y )|f (ax －g +2)=1；a ∈R }；若A ∩B =∅；求a 的取值范围.7.(★★★★★)已知函数f (x )=1222+++x c bx x (b ＜0)的值域是［1；3］； (1)求b 、c 的值；(2)判断函数F (x )=lg f (x )；当x ∈［－1；1］时的单调性；并证明你的结论；(3)若t ∈R ；求证；lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 513.［科普美文］数学中的不等式关系数学是研究空间形式和数量关系的科学；恩格斯在《自然辩证法》一书中指出；数学是辩证的辅助工具和表现形式；数学中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素；等与不等关系正是该点的生动体现；它们是对立统一的；又是相互联系、相互影响的；等与不等关系是中学数学中最基本的关系.等的关系体现了数学的对称美和统一美；不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美.不等关系起源于实数的性质；产生了实数的大小关系；简单不等式；不等式的基本性质；如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式；不等式发展为一个人丁兴旺的大家族；由简到繁；形式各异.如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系；又产生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的吗？显然不是；由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件；不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下；阐述论证过程；揭示内在规律；基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n 有关的证明问题；常采用观察—归纳—猜想—证明的思路；以数学归纳法完成证明.另外；不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.数学科学是一个不可分割的有机整体；它的生命力正是在于各个部分之间的联系.不等式的知识渗透在数学中的各个分支；相互之间有着千丝万缕的联系；因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题；诸如集合问题；方程(组)的解的讨论；函数单调性的研究；函数定义域的确定；三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系.许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.总之；不等式的应用体现了一定的综合性；灵活多样性.等与不等形影不离；存在着概念上的亲缘关系；是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性；而不等关系是深刻而生动的体现.不等虽没有等的温柔；没有等的和谐；没有等的恰到好处；没有等的天衣无缝；但它如山之挺拔；峰之隽秀；海之宽阔；天之高远；怎能不让人心旷神怡；魂牵梦绕呢？参考答案难点磁场解；(1)令F (x )=f (x )－x ；因为x 1；x 2是方程f (x )－x =0的根；所以F (x )=a (x －x 1)(x －x 2).当x ∈(0；x 1)时；由于x 1＜x 2；得(x －x 1)(x －x 2)＞0；又a ＞0；得F (x )=a (x －x 1)(x －x 2)＞0；即x ＜f (x )x 1－f (x )=x 1－［x +F (x )］=x 1－x +a (x 1－x )(x －x 2)=(x 1－x )［1+a (x －x 2)］∵0＜x ＜x 1＜x 2＜a1；∴x 1－x ＞0；1+a (x －x 2)=1+ax －ax 2＞1－ax 2＞0 ∴x 1－f (x )＞0；由此得f (x )＜x 1.(2)依题意；x 0=－ab 2；因为x 1、x 2是方程f (x )－x =0的两根；即x 1；x 2是方程ax 2+(b －1)x +c =0的根. ∴x 1+x 2=－ab 1- ∴x 0=－a ax ax a x x a a b 2121)(22121-+=-+=；因为ax 2＜1；∴x 0＜2211x a ax = 歼灭难点训练 一、1.解析；由题意f (a )=g (a )＞0；f (b )=g (b )＞0；且f (a )＞f (b )；g (a )＞g (b )∴f (b )－f (－a )=f (b )+f (a )=g (a )+g (b )而g (a )－g (－b )=g (a )－g (b )∴g (a )+g (b )－［g (a )－g (b )］=2g (b )＞0；∴f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )同理可证；f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )答案；A二、2.解析；①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”.④式；|x －y |=|(x －2)－(y －2)|≤|(x －2)－(y －2)|≤|x －2|+|y －2|＜ε+ε=2ε.答案；④3.解析；由已知y 1=x 20；y 2x (x 为仓库与车站距离)费用之和y =y 1+y 2x + x 20≥2xx 208.0⋅=8 x =x20即x =5时“=”成立 答案；5公里处三、4.证明；(1)设g (x )=f (x )－x =ax 2+(b －1)x +1；且x ＞0.∵x 1＜2＜x 2＜4；∴(x 1－2)(x 2－2)＜0；即x 1x 2＜2(x 1+x 2)－4；12)42(212)(212)()(2121)(21)11(21221212121210-=++->++-=++-+>-+=---⋅=-=x x x x x x x x x x a a b a b x 于是得 (2)解；由方程g (x )=ax 2+(b －1)x +1=0可知x 1·x 2=a 1＞0；所以x 1；x 2同号 1°若0＜x 1＜2；则x 2－x 1=2；∴x 2=x 1+2＞2；∴g (2)＜0；即4a +2b －1＜0① 又(x 2－x 1)2=44)1(22=--a ab ∴2a +1=1)1(2+-b (∵a ＞0)代入①式得；21)1(2+-b ＜3－2b② 解②得b ＜41 2°若 －2＜x 1＜0；则x 2=－2+x 1＜－2 ∴g (－2)＜0；即4a －2b +3＜0③ 又2a +1=1)1(2+-b ；代入③式得21)1(2+-b ＜2b －1 ④解④得b ＞47. 综上；当0＜x 1＜2时；b ＜41；当－2＜x 1＜0时；b ＞47. 5.解；(1)由题意知某商品定价上涨x 成时；上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是；p (1+10x )元、n (1－10y )元、npz 元；因而 )10)(10(1001),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+=；在y =ax 的条件下；z =1001［－a ［x －a a )1(5-］2+100+a a 2)1(25-］.由于31≤a ＜1；则0＜aa )1(5-≤10. 要使售货金额最大；即使z 值最大；此时x =aa )1(5-. (2)由z =1001 (10+x )(10－32x )＞1；解得0＜x ＜5. 6.(1)证明；令m ＞0；n =0得；f (m )=f (m )·f (0).∵f (m )≠0；∴f (0)=1取m =m ；n =－m ；(m ＜0)；得f (0)=f (m )f (－m )∴f (m )=)(1m f -；∵m ＜0；∴－m ＞0；∴0＜f (－m )＜1；∴f (m )＞1 (2)证明；任取x 1；x 2∈R ；则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)－f ［(x 2－x 1)+x 1］=f (x 1)－f (x 2－x 1)·f (x 1)=f (x 1)［1－f (x 2－x 1)］；∵f (x 1)＞0；1－f (x 2－x 1)＞0；∴f (x 1)＞f (x 2)；∴函数f (x )在R 上为单调减函数.(3)由⎩⎨⎧=+-<+⎩⎨⎧θ==+->+021)(1)2()1()(2222y ax y x f y ax f f y x f 得；由题意此不等式组无解；数形结合得；1|2|2+a ≥1；解得a 2≤3∴a ∈［－3；3］ 7.(1)解；设y =1222+++x c bx x ；则(y －2)x 2－bx +y －c =0 ① ∵x ∈R ；∴①的判别式Δ≥0；即 b 2－4(y －2)(y －c )≥0；即4y 2－4(2+c )y +8c +b 2≤0②由条件知；不等式②的解集是［1；3］∴1；3是方程4y 2－4(2+c )y +8c +b 2=0的两根 ⎪⎩⎪⎨⎧+=⨯+=+48312312b c c ∴c =2；b =－2；b =2(舍）(2)任取x 1；x 2∈［－1；1］；且x 2＞x 1；则x 2－x 1＞0；且(x 2－x 1)(1－x 1x 2)＞0；∴f (x 2)－f (x 1)=－)1)(1()1)((2)12(122221*********x x x x x x x x x x ++--=+--+＞0；∴f (x 2)＞f (x 1)；lg f (x 2)＞lg f (x 1)；即F (x 2)＞F (x 1)∴F (x )为增函数.,31|)61()61(||||,61||61|)3(=+--≤+--=t t u t t u 记 即－31≤u ≤31；根据F (x )的单调性知 F (－31)≤F (u )≤F (31)；∴lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 513对任意实数t 成立.。

不等式的计算规律口诀不等式是数学中一种重要的表达式形式，它描述了数值之间的大小关系。

在解决实际问题时，我们经常会遇到不等式的计算和简化。

为了更好地掌握不等式的计算规律，我们可以借助口诀来帮助记忆。

下面是不等式的计算规律口诀：一、加减法口诀：1. 当不等式两边同时加减一个数时，不等号方向不变。

2. 当不等式两边同时加减一个负数时，不等号方向相反。

二、乘除法口诀：1. 当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号方向不变。

2. 当不等式两边同时乘以一个负数时，不等号方向相反。

3. 当不等式两边同时除以一个正数时，不等号方向不变。

4. 当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向相反。

三、乘方口诀：1. 当不等式两边同时取平方时，不等号方向不变。

2. 当不等式两边同时取平方根时，不等号方向不变，但需要注意正负号的情况。

四、绝对值口诀：1. 当不等式两边的绝对值相等时，不等号方向不变。

2. 当不等式两边的绝对值不等时，不等号方向可能发生改变，需要仔细判断。

五、分式口诀：1. 当不等式两边的分式取倒数时，不等号方向相反。

六、倒数口诀：1. 当不等式两边的倒数取倒数时，不等号方向不变。

七、开方口诀：1. 当不等式两边同时开方时，不等号方向不变，但需要注意正负号的情况。

八、综合运用口诀：1. 当不等式中同时包含加减、乘除、乘方、绝对值、分式、倒数、开方等多种运算时，根据不等式计算规律的先后顺序，逐步进行运算。

九、解不等式的步骤口诀：1. 将不等式化简为等式或不等式的组合形式。

2. 确定不等式的解集的方向性。

3. 判断不等式的解集是否为空集。

4. 判断不等式的解集是否为有限集或无限集。

以上口诀是解决不等式计算过程中的一些基本规律，通过熟练掌握这些规律，我们可以更加灵活地运用不等式来解决实际问题。

同时，需要注意的是，在不等式计算过程中，要遵循数学规律，严格按照口诀的要求进行计算，以确保结果的准确性。

不等式的解题方法与技巧不等式是数学中的一个重要概念，解不等式不仅是中学阶段数学学习的一部分，也是高中阶段进一步学习函数与分析的基础。

下面将介绍一些解不等式的常用方法和技巧。

1.基本不等式性质对于两个不等式a<b和c<d，可以根据其性质进行合并或分拆：-合并：a+b<c+d-分拆：a-b>c-d2.不等式化简对于复杂的不等式，可以通过一系列的等价变形将其化简为简单的形式。

常用的等价变形方法有：- 同乘或同除以一个正数：如果a<b，则对于正数x，有ax<bx；如果a<b且x>0，则有ax<bx；如果a<b且x<0，则有ax>bx。

-同加或同减一个具体数：如果a<b，则对于任意实数x，有a+x<b+x，即a+c<b+c；同理，a-c<b-c。

-综合运用：通过多次变换，将不等式化为更简洁的形式。

3.不等式乘法法则不等式乘法法则用于解决乘法不等式的问题。

对于两个正数a和b，以及一个不等式c<d，有以下结论：- 如果a<b且c<d，则ac<bd。

- 如果a<b且c>d，则ac>bd。

- 如果a<b且c=d，则ac=bd。

注意：当a和b中至少一个为负数时，上述法则不适用。

4.不等式绝对值性质当不等式中含有绝对值时，可以利用绝对值的性质进行求解。

对于实数a和b，可以根据绝对值性质得到以下结果：-如果，a，<，b，则a^2<b^2-如果，a，>，b，则a^2>b^2-如果，a，=，b，则a^2=b^25.不等式取正负号问题当不等式的系数为负数时，可以通过取正负号的方式，将其转化为求解不等式的问题。

具体方法如下：-如果a<0，则对不等式两边同时取负号，得到-a>-b。

-如果a>0，则对不等式两边同时取正号，得到a<b。

6.解多项式不等式对于多项式不等式，可以通过求解其零点，确定其正负性。

《初中数学教案方程与不等式的综合运用》教案题目:初中数学教案-方程与不等式的综合运用教学目标:1.理解方程与不等式的概念及其应用2.掌握通过方程与不等式解决问题的方法与技巧3.培养学生综合运用方程与不等式解决实际问题的能力教学内容:1.方程与不等式的基本概念及表示法2.方程与不等式的解法3.通过方程与不等式解决实际问题教学步骤:Step 1: 引入知识 (10分钟)-通过实际例子引导学生认识方程与不等式的概念，如“如果一个数加上5等于10，我们可以用一个方程来表示这个关系。

如果一个数比5小于10，我们可以用一个不等式来表示这个关系。

”-让学生讨论一些他们在生活中遇到的实际问题，并思考如何用方程与不等式来解决问题。

Step 2: 理解方程与不等式的表示法 (15分钟)-通过示例和练习引导学生理解方程与不等式的表示法，如“3x+7=22”表示一个方程，“2x-5<10”表示一个不等式。

”-让学生分组讨论并写出几个不同形式的方程与不等式，并解释它们的意义。

Step 3: 学习方程与不等式的解法 (20分钟)-介绍一些常用的解方程与不等式的方法，如逆运算法、代入法、平方根法等。

-通过例题和练习让学生掌握不同方法的运用技巧，并提醒他们注意解方程不等式时需要注意的一些常见错误。

Step 4: 实际问题应用 (25分钟)-给学生提供一些带有数学问题的实际情境，如购物打折、图形面积与周长等，要求学生利用方程与不等式解决这些问题。

-让学生分组合作，通过讨论和思考，提出解决问题的方案，并用方程与不等式来表示与解决问题。

Step 5: 总结与拓展 (10分钟)-进行课堂总结，复习方程与不等式的基本概念、表示法和解法。

-提醒学生方程与不等式的运用范围，并鼓励他们在日常生活中积极应用所学知识。

-布置相关的作业，并鼓励学生自主学习和探索。

教学资源:-板书、教科书、练习题、黑板、多媒体设备等教学评估:-教师观察学生在课堂上的学习表现，包括思考能力、解题能力等。

高考数学如何解决复杂的不等式问题高考数学中，不等式问题一直是考试中的难点之一。

解决复杂的不等式问题需要灵活运用不等式的性质以及各种解不等式的方法。

本文将介绍解决复杂不等式问题的一些有效方法与技巧，帮助考生在高考数学中更好地应对不等式题目。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式问题，形式一般为ax+b>0或ax+b<0。

解决一元一次不等式问题，可以通过下面的步骤进行：1. 化简不等式：将一元一次不等式化简为标准形式。

即将不等式左右两边移项，使得系数为正或负。

2. 约束条件：根据不等式中的约束条件，判断解的范围。

3. 解不等式：根据一元一次不等式的性质，得到不等式的解集。

二、一元二次不等式一元二次不等式是高考数学中常见的复杂不等式类型之一。

一元二次不等式的解决方法一般分为以下几种情况：1. 利用一元二次不等式的图像解题：将一元二次不等式转化为图像，通过观察图像的形状来确定解的范围和解集。

2. 利用配方法解题：对一元二次不等式进行配方法，将其化为平方形式，并利用平方的性质来解决不等式。

3. 利用根的性质解题：对一元二次不等式利用根的性质来解题。

即求出一元二次不等式的根，并根据根的位置来判断解的范围。

三、绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的不等式类型之一。

解决绝对值不等式问题，可以按照以下步骤进行：1. 分情况讨论：将绝对值不等式进行分情况讨论，根据绝对值的定义来确定绝对值的取值范围。

2. 解不等式：将不等式的绝对值表达式划分为两个部分，分别求解，得到不等式的解。

四、常见的不等式定理与性质在解决复杂不等式问题时，常常需要用到一些不等式定理与性质。

以下是一些常见的不等式定理与性质：1. 线性不等式性质：对于线性不等式，若两边同乘（除）一个正数，则不等号方向不变；若两边同乘（除）一个负数，则不等号方向反向。

2. 开方不等式性质：对于开方不等式，若两边平方，则不等号方向不变。

3. 加减不等式性质：对于加减不等式，若右边加（减）一个数，则不等号方向不变。

江苏省郑梁梅高级中学高三数学教学案主备人：朱延超 做题人：王金石 孔凡玲 审核人：徐耀然课题：不等式的综合运用考纲要求：能综合运用不等式知识解决数学问题 难点、疑点 不等式的功能：不等式的知识已经渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，体现了不等式广泛运用的工具功能。

课前预习：1、设点(),m n 在直线1x y +=位于第一象限内的图象上运动，则22log log m n +的最大值是___________2、已知12320061x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，且1232006x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，都是正数，则 ()()()122006111x x x ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+的最小值是___________3、已知6084x <<，2833y << ，则x y -的取值范围为___________，xy的取值范围为___________4、0a >，0b >，给出下列四个不等式：①122a b ab ++≥；②()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭；③22a b a b ab+≥+；④124a a +≥-+其中正确的不等式序号有___________序号：103例题精析：例1、已知关于x 的方程0124=++⋅+a a xx（1）若此方程有实数解，求实数a 的取值范围；（2）若此方程有负的实数解，求实数a 的取值范围。

△例2、已知关于x 的方程220x ax --=的两根为21x x ，，试问：是否存在实数m ，使得不等式||1212x x lm m -≥++对于任意实数[11][11]a l ∈-∈-，及，恒成立？若存在，求m 的取值范围，若不存在，说明理由。

△例3、设函数2()()()f x x x a x R =--∈，其中3>a ，证明：存在]01[，-∈k ，使得不等式）（）（x k f x k f 22cos cos -≥-对任意R x ∈恒成立。