4、基本不等式(上海,含答案)

专题08 基本不等式及其应用（平均值不等式及其应用，三角不等式）知识梳理一、基本不等式：1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值（2）“和定积最大”：22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。

3.若,a b R +∈2a b+≥ 加权平均》算术平均》几何平均二、平均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b+≥a b =时取等号变式：222()22a b a b ab ++≥≥推广：123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++称为这n 个正数的算术平均数，称为这n个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n ++⋅⋅⋅+≥12n a a a ===时等号成立。

三、三角形不等式如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤ 注：当b a ,为复数或向量时结论也成立. 推论1：1212n n a a a a a a ++++++≤推论2：如果a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时,等号成立.例题解析一、简单基本不等式问题【例1】条件“0>a 且0>b ”是结论“ab ba ≥+2”成立的 条件。

【难度】★【答案】充分非必要条件 【例2】已知正数y x ,满足12=+y x ，求yx 11+的最小值。

判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。

y x xyxy y x xy y x y x 112422221,2110,0+∴≥∴≥+=≥+∴>> 的最小值为24【难度】★【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件， 当时，即，取得最小值。

2019年上海高考数学第一轮复习第04讲基本不等式第04讲基本不等式及证明[基础篇]一、常用的基本不等式：1）对于实数a,b，有a^2+b^2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）推广：对于实数a,b,c，有a+b+c≥ab+bc+ac（当且仅当a=b=c时取等号）2）基本不等式：对于实数a,b，有a+b≥2ab（当且仅当a=b时取等号）3）四项连不等式：对于实数a,b,c,d，有a≤b≤c≤d，则a+c≤b+d≤2c（当且仅当a=b=c=d时取等号）推广：对于实数a,b,c，有ab+bc+ac≤a^2+b^2+c^2（当且仅当a=b=c时取等号）4）基本不等式推论1：对于实数a,b，有ab≤(a^2+b^2)/25）基本不等式推论2：对于实数a≥1，有a+1/a≥26）基本不等式推论3：对于实数a,b<0，有a+b≤-2ab（当且仅当a=b时取等号）二、利用重要不等式求最值：设x,y>0，由x+y≥2xy1）如积xy=P（定值），则积x+y有最小值2P；2）如和x+y=S（定值），则积xy有最大值S^2/4注意：1）运用重要不等式求最值时，注意三个条件：“一正，二定，三相等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立。

以上三个条件缺一不可。

如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；2）均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。

技能篇]题型一：基本不等式应用：例题1-1已知a、b>0，则下列不等式中不成立的是（）A。

a^2+b^2≥2abB。

(a+b)/(2√ab)≥1C。

a+b+2√ab≥2abD。

(a+b)/ab≥1例题1-2下列函数中，最小值为2的是A。

y=x+2/xB。

y=sin(x)+2sin(x/2)C。

y=e^x+2e^(-x)D。

y=ln(x)+2ln(1/x)题型二：“凑”基本不等式：例题2-1函数y=x^2+1/(x^2+1)+1的值域为A。

第四节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识点1 基本不等式ab ≤a ＋b2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．因此基本不等式又称为均值不等式．知识点2 利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)1．必会结论(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R )． (6)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．2．必清误区(1)使用基本不等式求最值．“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． (2)连续应用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 【学情自测】1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( ) (2)函数b a ＋ab 的取值范围是[2，＋∞)．( )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值为4.( )2．(教材改编)设a >0，b >0，且a ＋b ＝8，则ab 的最大值为( ) A ．8 B.12 C ．14D.163．若a >0，b >0且a ＋2b ＝2，则ab 的最大值为( ) A.12 B.2 C ．1D.44．(2016·重庆模拟)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________.【利用基本不等式求最值】1．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标是( )A ．(1,2) B.(1，－2) C ．(1,1)D.(0,2)2．(2016·威海模拟)已知x>0，则xx2＋4的最大值为________．3．(2016·武汉模拟)已知正实数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________．【基本不等式的综合应用】(1)(2016·济宁模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1) B.(－∞，22－1)C．(－1,22－1) D.(－22－1,22－1)(2)(2016·郑州模拟)已知各项为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项a m，a n，使得a m·a n＝22a1，则1m＋4n的最小值为________．[变式训练]1．(2016·泰安模拟)已知a>0，b>0，若不等式3a＋1b≥ma＋3b恒成立，则m的最大值为()A．9 B.12C．18 D.242．(2015·济南模拟)若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则1m＋1 n的最小值为________．【基本不等式的实际应用】(1)某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．(2)(2016·盐城模拟)某水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．①求出f(n)的表达式；②求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？[变式训练]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图6-4-1所示)．图6-4-1(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1||B1C1|＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？.【易错辨析】多次使用基本不等式忽视成立条件致误(2016·深圳模拟)已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x⎝⎛⎭⎪⎫y＋1y的最小值为________．课时强化练A组跨越本科线1．已知f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值为0 B.最小值为0C．最大值为－4 D.最小值为－42．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13 B.12C.34 D.233．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()A．4 B.8C．16 D.324．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg a·lg b的最大值是()A．0 B.1C．2 D.525．(2015·陕西高考)设f(x)＝ln x,0<a<b，若p＝f(ab)，q＝f⎝⎛⎭⎪⎫a＋b2，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r<p B.p＝r<qC ．q ＝r >p D.p ＝r >q 6．(2016·蚌埠模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b 的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8D.97．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________． 8．(2016·广州模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为________．B 组 名校必刷题9．(2016·福州模拟)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B.4 C.92D.11210．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2 B.23－2 C ．2 3 D.211．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．高考突破练(九)命题热点一不等关系与一元二次不等式1．(2014·天津高考)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】当b＜0时，显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|；当b＝0时，显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|；当b＞0时，a＞b有|a|＞|b|，所以a＞b⇔a|a|＞b|b|.综上可知a＞b⇔a|a|＞b|b|，故选C.【答案】 C2．(2014·四川高考)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ad＞bc B.ad＜bcC.ac＞bd D.ac＜bd【解析】法一令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则ac＝－1，bd＝－1，排除选项C，D；又ad＝－32，bc＝－23，所以ad＜bc，所以选项A错误，选项B正确．故选B.法二 因为c ＜d ＜0， 所以－c ＞－d ＞0， 所以1－d ＞1－c ＞0. 又a ＞b ＞0，所以a－d ＞b－c ，所以a d ＜bc .故选B.【答案】 B命题热点二 简单的线性规划问题3．(2015·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1 B.0 C ．1D.2【解析】 画出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，平移直线2x －y ＝0，当直线过A 点时，z 取得最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， ∴A (0,1)．∴当x ＝0，y ＝1时，z min ＝2×0－1＝－1，故选A. 【答案】 A4．(2015·安徽高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1 B.－2 C ．－5D.1【解析】 约束条件下的可行域如图所示，由z ＝－2x ＋y 可知y ＝2x ＋z ，当直线y ＝2x ＋z 过点A (1,1)时截距最大，此时z 最大为－1，故选A.【答案】 A5．(2015·山东高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．【解析】 根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线y ＝－13x ，当直线y ＝－13x ＋z3过点A 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝1，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，代入可得z ＝1＋3×2＝7. 【答案】 76．(2015·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．【解析】 ∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，将直线y ＝－2x 向上平移，经过点B 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x －2y ＋1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴z max ＝2×3＋2＝8.【答案】 87．(2014·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2.【答案】 －28．(2014·浙江高考)当实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32命题热点三 基本不等式9．(2015·福建高考)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2 B.3 C ．4D.5【解析】 将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C.【答案】 C10．(2014·福建高考)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元 B.120元 C ．160元D.240元【解析】 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋【答案】 C11．(2014·重庆高考)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3B.7＋2 3 C ．6＋4 3D.7＋4 3【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a ≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3ab ＝4ba 时取等号．故选D.【答案】 D12．(2015·天津高考)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．【解析】 由于a >0，b >0，ab ＝8，所以b ＝8a .所以log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫16a ＝log 2a ·(4－log 2a )＝－(log 2a －2)2＋4，当且仅当log 2a ＝2，即a ＝4时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值4. 【答案】 413．(2014·上海高考)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．【解析】∵x2＋2y2≥2x2·2y2＝22xy＝22，当且仅当x＝2y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为2 2.【答案】2 214．(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．【解析】(1)当l＝6.05时，F＝76 000vv2＋18v＋121＝76 000v＋121v＋18≤76 0002v·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时．(2)当l＝5时，F＝76 000vv2＋18v＋100＝76 000v＋100v＋18≤76 0002v·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000.当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时．比(1)中的最大车流量增加100辆/时．【答案】(1)1 900(2)100。

2023学年上海市重点高中高一年级数学专项（基本不等式）好题练习一．基本不等式及其应用（共4小题）1．（2022秋•宝山区校级期中）某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米．怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米）2．（2022秋•宝山区校级期中）（1）设x＞1，求函数的最小值；（2）设x∈R，求函数y＝x（8﹣x）的最大值．3．（2022秋•浦东新区校级期中）定义min{a1，a2⋯，，a n}为n个实数a1，a2，…，a n中的最小数，max{a1，a2，⋯，a n}为n个实数a1，a2，…，a n中的最大数．（1）设a，b都是正实数，且a+b＝1，求；（2）解不等式：min{x+1，x2+3，|x﹣1|}＞2x﹣3；（3）设a，b都是正实数，求的最小值．4．（2019秋•浦东新区校级期中）已知两个正数a、b满足a+2b＝1，求的最小值．二．函数恒成立问题（共1小题）5．（2022秋•临渭区期末）已知函数f（x）＝x2+（1﹣k）x+2﹣k．（1）解关于x的不等式f（x）＜2；（2）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．（3）对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≥1恒成立，求实数k的取值范围．三．根据实际问题选择函数类型（共19小题）6．（2022秋•浦东新区校级期末）为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场详细分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本C（x）万元，且．由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．（1）请写出2022年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价﹣成本）（2）当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．7．（2022秋•浦东新区校级期末）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场详细分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本C（x）万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额﹣成本）（1）求2023年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．8．（2022秋•长宁区校级期末）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱（x＞0，x∈N），需另投入成本p（x）万元．当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场详细分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大？9．（2022秋•浦东新区校级月考）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场详细分析，每生产x（千辆）获利10W（x）（万元），该公司预计2022年全年其他成本总投入（20x+10）万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．22年的全年利润为f（x）（单位：万元）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当2022年产量为多少辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．10．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，某研究员需要围成相同的长方形小白鼠笼四间来做观察对比实验，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36dm长网的材料，每间小白鼠笼的长、宽各设计为多少时，可使每间小白鼠笼面积最大？（2）若使每间小白鼠笼面积为24dm2，则每间小白鼠笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间小白鼠笼的钢筋总长度最小？11．（2022秋•宝山区校级期中）某公司经过测算，计划投资A、B两个项目．若投入A项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）；若投入B项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）．（1）当投入A、B两个项目的资金相同且B项目比A项目创造的利润高，求投入A项目的资金x（万元）的取值范围；（2）若该公司共有资金30万元，全部用于投资A、B两个项目，且要求投资B项目的资金不超过10万元，则该公司一年至少能创造多少利润？（结果精确到0.1万元）．12．（2022秋•宝山区校级月考）某校拟建一个面积为100平方米的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使 周长最小的建造方案，下面是其中一个小组的探究过程，请补充完整．（1）列式：设矩形的一边长是x米，若周长为y米，则y与x之间的函数关系式为_____．（2）填表画图：x • 4 6 10 13 16 20 25 30 •y • 58 a 40 41 44 50 58 66 • 填表：①其中a＝_____．②描点连线，请在图中画出该函数的图象．（3）请求出周长y的最小值．13．（2021秋•黄浦区校级月考）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为5万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，其中k为能耗系数，k＞0．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，即f（x）＝5x+20C（x）．（1）若建1cm隔热层时，每年能源消耗费用C为16万元，求此时k的值及f（x）的表达式；（2）在第（1）问的条件下，隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值；（3）在实际生产中，隔热层厚度x（单位：cm）控制在3≤x≤10之间，求总费用f（x）的最小值关于k的函数g（k）．14．（2023春•和平区校级月考）某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月燃油费7000元，第n个月的维修费和工资支出为600（n﹣1）+3000元．（1）设月平均消耗为y元，求y与n（月）的函数关系；（2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）（3）若第一年纯收入50万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可收回成本？15．（2022秋•新邵县期末）为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议．某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产．为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供x万元（x∈[10，20]）的专项补贴．A 企业在收到政府x万元补贴后，产量将增加到t＝（x+2）万件．同时A企业生产t万件产品需要投入成本为）万元，并以每件（）元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额+政府专项补贴﹣成本）（1）求A企业春节期间加班追产所获收益R（x）（万元）关于政府补贴x（万元）的函数关系式；（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？16．（2022秋•徐州期末）“硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿、最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且y＝，每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台．（1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．17．（2022秋•青秀区校级期末）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：W（x）＝，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这水果的时常售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润f（x）（单位：元）．（1）求f（x）的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？18．（2022秋•临澧县校级期末）新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知，突如其来，来势汹汹的疫情天灾，中央出台了一系列助力复工复产好政策城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔x（单位：分钟）满足：4≤x≤15，x∈N，平均每趟快递车辆的载件个数f（x）（单位：个）与发车时间间隔x近似地满足，其中x∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔x的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔x为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．19．（2022秋•安徽期末）2022年是不平凡的一年，由于受疫情的影响，各行各业都受到很大冲击，为了减少疫情带来的损失，某书商准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到（10﹣0.1x）万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价﹣供货价格．（1）求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．20．（2022秋•安次区校级期末）某大型企业原来每天成本y1（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为y1＝2x2+（15﹣4k）x+120k+8，为了配合环境综合整治，该企业积极引进尾气净化装置，每吨产品尾气净化费用为k万元，尾气净化装置安装后当日产量x＝1时，总成本y＝142．（1）求k的值；（2）设每吨产品出厂价为48万元，试求尾气净化装置安装后日产量为多少时，日平均利润最大，其最大值为多少．（日平均利润就是日总利润÷日产量）21．（2022秋•岳阳期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数M（x）（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数N（x）（单位：百万元）：．（1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为y（百万元），写出y关于x的函数解析式；（2）生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？22．（2022秋•槐荫区校级期末）我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机．通过市场详细分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入可变成本R（x）万元，且R（x）＝，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）．（1）求2023年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？23．（2022秋•九龙坡区期末）2021年11月初，新冠肺炎疫情由兰州转到天水，天水市某村施行“封村”行动．为了更好地服务于村民，村卫生室需建造一间地面面积为30平方米且墙高为3米的长方体供给监测站．供给监测站的背面靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米600元，左右两面新建墙体报价为每平方米360元，屋顶和地面以及其他报价共计21600元，设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米（3≤x≤10）．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此监测站的建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．24．（2022秋•浙江月考）如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2800元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为250元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2．设总造价为W（单位：元），AD长为x（单位：m）．（1）当x＝4m时，求草坪面积；（2）当x为何值时，W最小？并求出这个最小值．四．绝对值不等式的解法（共1小题）25．（2022秋•浦东新区期末）解不等式|2x﹣1|＞1．五．不等式的证明（共2小题）26．（2020秋•黄浦区校级期末）已知a、b都是正实数，且＝b﹣a．（1）求证：a＞1；（2）求b的最小值．27．（2021秋•徐汇区校级期中）（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，C，求证：A，B，C中至少有一个角大于或等于60°；（2）已知a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：．六．反证法与放缩法证明不等式（共1小题）28．（2022秋•长宁区校级期中）已知实数a＞b＞c，a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1． （1）若，求a﹣b的值；（2）求证：；（3）用反证法证明：c＜0．参考答案一．基本不等式及其应用（共4小题）1．（2022秋•宝山区校级期中）某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米．怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米）【详细分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【名师解答】解：设矩形绿地的长度为x，宽为，人行道的占地面积S，则S＝（x+8）（+6）﹣700＝6x++48+48＝80+48≈414.4，当且仅当6x＝，即x＝时，等号成立，故绿地的长为≈30.5米，宽为23米时，人行道的占地面积最小为414.4平方米．【名师点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题． 2．（2022秋•宝山区校级期中）（1）设x＞1，求函数的最小值；（2）设x∈R，求函数y＝x（8﹣x）的最大值．【详细分析】（1）构造函数的表达式为：a+类型，利用基本不等式求解函数的最小值即可．（2）化简函数的解析式，求出函数的对称轴，利用二次函数的性质求解函数的值域以及函数的最值即可． 【名师解答】解：（1）∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴y＝x+＝x﹣1++1≥2+1＝4+1＝5，当且仅当x﹣1＝，即x＝3时，取等号．∴x＝3时，函数的最小值是5．（2）因为y＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+16，函数的对称轴为：x＝4，由二次函数的性质可知，当x＝4时，最大值是16．【名师点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，注意基本不等式成立的条件，考查转化思想以及计算能力． 3．（2022秋•浦东新区校级期中）定义min{a1，a2⋯，，a n}为n个实数a1，a2，…，a n中的最小数，max{a1，a2，⋯，a n}为n个实数a1，a2，…，a n中的最大数．（1）设a，b都是正实数，且a+b＝1，求；（2）解不等式：min{x+1，x2+3，|x﹣1|}＞2x﹣3；（3）设a，b都是正实数，求的最小值．【详细分析】（1）由基本不等式放缩即可；（2）利用最小值函数定义，化简函数，分段解不等式；（3）利用最大值函数定义放缩，然后利用最值定义求最值．【名师解答】解：（1）由基本不等式，所以＝；（2）由于x2+3﹣（x+1）＝x2﹣x+2＞0，则min{x+1，x2+3，|x﹣1|}＝min{x+1，|x﹣1|}＝，当x＜0时，原不等式可化为x+1＞2x﹣2，即x＜3，结合x＜0得x＜0；当x≥0时，原不等式可化为|x﹣1|＞2x﹣3，即或，解得1≤x＜2或0≤x＜1，即0≤x＜2；综上，原不等式解集为：（﹣∞，2）；（3）设M＝，则，于是，从而，当且仅当时取等号，故的最小值为．【名师点评】本题考查基本不等式及不等式的解法，属于中档题．4．（2019秋•浦东新区校级期中）已知两个正数a、b满足a+2b＝1，求的最小值． 【详细分析】直接利用函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用求出结果．【名师解答】解：两个正数a、b满足a+2b＝1，故：＝1+，（当且仅当a＝b时，等号成立）．故答案为：9．【名师点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．二．函数恒成立问题（共1小题）5．（2022秋•临渭区期末）已知函数f（x）＝x2+（1﹣k）x+2﹣k．（1）解关于x的不等式f（x）＜2；（2）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．（3）对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≥1恒成立，求实数k的取值范围．【详细分析】（1）由题意得（x+1）（x﹣k）＜0，令（x+1）（x﹣k）＝0，解得x＝﹣1或x＝k，分类讨论k＝﹣1，k＞﹣1，k＜﹣1，结合二次函数的图象与性质，即可得出答案；（2）题意转化为方程x2+（1﹣k）x+2﹣k＝0在（﹣1，1）上有两个不同的根，结合二次函数的图象与性质，列出关于k的不等式组，即可得出答案；（3）利用分离参数法，题意转化为对任意的x∈（﹣1，2），恒成立，构造函数，x∈（﹣1，2），利用基本不等式求出g（x）的最小值，即可得出答案． 【名师解答】解：（1）∵f（x）＝x2+（1﹣k）x+2﹣k，∴f（x）＜2，即x2+（1﹣k）x﹣k＜0，即（x+1）（x﹣k）＜0，令（x+1）（x﹣k）＝0，解得x＝﹣1或x＝k，当k＝﹣1时，此时（x+1）2＜0，故原不等式的解集为∅，当k＞﹣1时，不等式的解集为（﹣1，k），当k＜﹣1时，不等式的解集为（k，﹣1）；（2）函数f（x）在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，转化为方程x2+（1﹣k）x+2﹣k＝0在（﹣1，1）上有两个不同的根，∴，解得，故实数k的取值范围为；（3）f（x）＝x2+（1﹣k）x+2﹣k，对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≥1恒成立，转化为对任意的x∈（﹣1，2），恒成立，令，x∈（﹣1，2），则k≤g（x）min，又0＜x+1＜3，则，当且仅当，即x＝0时等号成立， ∴k≤1，故实数k的取值范围为（﹣∞，1]．【名师点评】本题考查函数恒成立问题和二次函数的图象与性质、基本不等式的应用，考查转化思想、函数思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三．根据实际问题选择函数类型（共19小题）6．（2022秋•浦东新区校级期末）为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场详细分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本C（x）万元，且．由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．（1）请写出2022年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价﹣成本）（2）当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【详细分析】（1）根据给定条件，分段求出C（x）的表达式，即可得出答案；（2）由（1）得，根据分段函数的性质，分类讨论0＜x＜40，x≥40求出最大值，比较大小，即可得出答案．【名师解答】解：（1）∵，∴当0＜x＜40时，L（x）＝9×100x﹣10x2﹣500x﹣2500＝﹣10x2+400x﹣2500，当x≥40时，，故；（2）由（1）得，∴当0＜x＜40时，L（x）＝﹣10（x﹣20）2+1500，∴当x＝20时，L（x）max＝1500；∴当x≥40时，，当且仅当，即x ＝80时等号成立，又3640＞1500，∴当x＝80，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元．【名师点评】本题考查分段函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7．（2022秋•浦东新区校级期末）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场详细分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本C（x）万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额﹣成本）（1）求2023年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【详细分析】（1）根据利润＝销售额﹣成本，分类讨论0＜x＜40，x≥40，求解即可得出答案；（2）根据分段函数的性质，分类讨论0＜x＜40，x≥40，分别求出最大值，比较大小，即可得出答案． 【名师解答】解：（1）∵，∴当0＜x＜40时，L（x）＝500x﹣10x2﹣100x﹣2500＝﹣10x2+400x﹣2500，当x≥40时，，故；（2）由（1）得，当0＜x＜40时，L（x）＝﹣10（x﹣20）2+1500，∴L（x）max＝L（20）＝1500，当x≥40时，，当且仅当，即x ＝100时等号成立，故L（x）max＝L（100）＝1800，∵1800＞1500，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．【名师点评】本题考查根据实际问题选择函数类型和分段函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．（2022秋•长宁区校级期末）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱（x＞0，x∈N），需另投入成本p（x）万元．当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场详细分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大？【详细分析】（1）由题意得y＝100x﹣p（x）﹣400，分类讨论0＜x＜60，x≥60，即可得出答案；（2）由（1）得y＝，分别求出0＜x＜60，x≥60，的最大值，比较大小，即可得出答案．【名师解答】解：（1）由题意得y＝100x﹣p（x）﹣400，当0＜x＜60时，，则y＝100x﹣（x2+50x）﹣400＝﹣x2+50x﹣400，当x≥60时，，则y＝100x﹣（101x+﹣1860）﹣400＝1460﹣x﹣， 综上所述，y＝；（2）由（1）得y＝，当0＜x＜60时，y＝﹣x2+50x﹣400＝＝﹣（x﹣50）2+850，二次函数y的图象开口向下，且对称轴为x＝50，∴当x＝50时，y max＝850，当x≥60时，y＝1460﹣x﹣≤1460﹣2＝1300，当且仅当x＝，即x＝80时等号成立， ∵1300＞850，∴当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大．【名师点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9．（2022秋•浦东新区校级月考）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场详细分析，每生产x（千辆）获利10W（x）（万元），该公司预计2022年全年其他成本总投入（20x+10）万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．22年的全年利润为f（x）（单位：万元）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当2022年产量为多少辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．【详细分析】（1）由题意得f（x）＝10W（x）﹣（20x+10），结合题意和分段函数的性质，分类讨论0＜x≤2，2＜x≤5，化简计算，即可得出答案．（2）由（1）得，根据分段函数的性质，分别求出0＜x≤2，2＜x≤5的最大值，比较大小，即可得出答案．【名师解答】解：（1）由题意得f（x）＝10W（x）﹣（20x+10），∵，∴当0＜x≤2时，W（x）＝2（x2+17），则f（x）＝20（x2+17）﹣（20x+10）＝20x2﹣20x+330，当2＜x≤5时，W（x）＝50﹣，则f（x）＝10（50﹣）﹣（20x+10）＝490﹣﹣20x，综上所述，函数f（x）的解析式为；（2）由（1）得，当0＜x≤2时，，∴f（x）在（0，]上单调递减，在[，2]上单调递增，∴f（x）max＝f（2）＝370；当2＜x≤5时，当且仅当，即x＝3时，f（x）max＝390，∵370＜390，∴f（x）最大值为390，故当2022年产量为3000辆，该企业利润最大，最大利润是390万元．【名师点评】本题考查根据实际问题选择函数类型和分段函数的性质，考查函数思想和转化思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，某研究员需要围成相同的长方形小白鼠笼四间来做观察对比实验，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36dm长网的材料，每间小白鼠笼的长、宽各设计为多少时，可使每间小白鼠笼面积最大？（2）若使每间小白鼠笼面积为24dm2，则每间小白鼠笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间小白鼠笼的钢筋总长度最小？【详细分析】（1）设每间小白鼠笼的长为x，宽为y，则每间小白鼠笼的面积为xy，由题意得4x+6y＝36，利用基本不等式，即可得出答案；（2）设每间小白鼠笼的长为x，宽为y，则每间小白鼠笼的面积为xy＝24，则围成四间小白鼠笼的钢筋总长度为4x+6y，利用基本不等式，即可得出答案．【名师解答】解：（1）设每间小白鼠笼的长为x，宽为y，则每间小白鼠笼的面积为xy，由题意得4x+6y＝36，即2x+3y＝18，∵x＞0，y＞0，∴18＝2x+3y≥2，当且仅当2x＝3y，即x＝dm，y＝3dm时等号成立，即≤，则xy≤， 故每间小白鼠笼的长、宽各设计为dm、3dm时，可使每间小白鼠笼面积最大；（2）设每间小白鼠笼的长为x，宽为y，则每间小白鼠笼的面积为xy＝24，则围成四间小白鼠笼的钢筋总长度为4x+6y≥2＝4＝4＝48，当且仅当4x＝6y，即x＝6，y＝4时等号成立，故每间小白鼠笼的长、宽各设计为6dm、4dm时，可使围成四间小白鼠笼的钢筋总长度最小．【名师点评】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 11．（2022秋•宝山区校级期中）某公司经过测算，计划投资A、B两个项目．若投入A项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）；若投入B项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）．（1）当投入A、B两个项目的资金相同且B项目比A项目创造的利润高，求投入A项目的资金x（万元）的取值范围；。

第07讲 基本不等式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点 1 基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】22222()0202a b a b ab a b ab -≥⇔+-≥⇔+≥，当且仅当a b =时，等号成立．（2）常见变形：2222()()a b a b +≥+、222a b ab +≤、2242ab a b ab ≤++．2、基本不等式（1）公式：如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】2ba +叫做正数,ab 的算术平均数，ab 叫做正数,a b 的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（3）常用结论：①2b aa b+≥（,a b 同号），当且仅当a b =时取等号；2b aa b+≤-（,a b 异号），当且仅当a b =-时取等号．②12a a+≥（0a >），当且仅当1a =时取等号；12a a+≤-（0a <），当且仅当1a =-时取等号；知识点 2 最值定理1、最值定理：已知,x y 都是正数，（1）若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24．（2）若xy ＝p (积p 为定值)，则当x=y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p ．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>．当且仅当a b =时等号成立．其中，2211aba b a b=++为,a b 的调和平均值，222a b +为,a b 的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：3a b c ++≥,,a b c 均为正实数），当且仅当a b c ==时等号成立．（2）n元基本不等式：12n a a a n+++ 12,,n a a a 均为正实数），当且仅当12n a a a === 时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（ ）A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A．2a b+≥B ．()()2222a b a b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD 、AD 、BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()2230,0a b ab a b +>>>C()20,011a b a b≥>>+D ．()220,022a b a ba b ++≥>>考点二：利用基本不等式比较大小例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设n mA m n=+（m 、n 为互不相等的正实数），242B x x =-+-，则A 与B 的大小关系是（ ）A ．A B>B ．A B≥C ．A B<D ．A B≤【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a ，b ，c 满足22c b a a-=+-，2222c b a a a+=++，且0a >，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a>>B ．c b a>>C ．a c b>>D ．c a b>>【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若170,139a b <<<<，则,a b +22,2a b +中不可能是最大值的是（ ）A ．222a b +B．C．D ．a b+【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A．2a b+>B ．22ab a ba b +<+C ．22ab a ba b +>+D 2aba b>+考点三：利用基本不等式求最值例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．6【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知100x >>，则2的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．83【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知0a >，0b >，且a b ab +=，则27ab a b -+的最小值是（ ）A ．6B ．9C ．16D ．19考点四：利用基本不等式证明不等式例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知0,0,1a b a b >>+=，求证:(1)114a b+≥;(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，证明：(1)22221a b +≥；(2)1916a b+≥．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a ，b ，c 均为正数，求证：()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥⎪+++⎝⎭．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知,,a b c 是正实数.(1)证明：a b c ++≥(2)若2a b c ++=，证明：11192a b c ++≥.(3)已知,a b 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．考点五：基本不等式恒成立问题例5. （23-24高一上·贵州安顺·≥数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知0x >，0y >，且2x y +=．若410x mxy +-≥恒成立，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．8C ．3D ．6【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知0x >，0y >，且9x y xy +=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6-∞B ．(],16-∞C ．(],8∞-D ．(],9-∞【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意0x >，231xax x ≤++恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．15B ．110C ．12D ．13考点六：基本不等式在实际中的应用例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m ，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/2m ，中间两道隔墙的造价为248元/2m ，池底造价为80元/2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）221x x +取最小值时x 的取值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若0x >，0y >，且1x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．13．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若0x >，则22y x x=+的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．24．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0x >，则24-+x x x 的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．5-D ．5-或36．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段AB 为半圆的直径，O 为圆心，,C F 为半圆弧上不与,A B 重合的点，OF AB ⊥.作CD AB ⊥于,D DE OC ⊥于E ，设,AD a BD b ==，则下列不等式中可以直接表示CE DF ≤的是（ ）A ．2aba b≤+B 2a b +≤C ．2a b +≤D ．2ab a b ≤+二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（ ）A ．1x x+的最小值为2B ．(2)x x -的最大值为2C ．22x x -+的最小值为2D ．2272x x ++最小值为28．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,R a b ∈，且0ab ≠，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）A ．222a b ab +≥B ．2b a a b+≥C ．2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2D ．22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.10．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若x a ∀>，关于x 的不等式225x x a+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是.四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？（3）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y+的最小值．13．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC 的直角边长为,a b ，且直角三角形ABC 的周长为2.（已知正实数,x y2x y +≤x y =时等号成立）(1)求直角三角形ABC 面积的最大值；(2)求正方形ABDE 面积的最小值.第07讲 基本不等式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点 1 基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】22222()0202a b a b ab a b ab -≥⇔+-≥⇔+≥，当且仅当a b =时，等号成立．（2）常见变形：2222()()a b a b +≥+、222a b ab +≤、2242ab a b ab ≤++．2、基本不等式（1）公式：如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】2ba +叫做正数,ab 的算术平均数，ab 叫做正数,a b 的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（3）常用结论：①2b aa b+≥（,a b 同号），当且仅当a b =时取等号；2b aa b+≤-（,a b 异号），当且仅当a b =-时取等号．②12a a+≥（0a >），当且仅当1a =时取等号；12a a+≤-（0a <），当且仅当1a =-时取等号；知识点 2 最值定理1、最值定理：已知,x y 都是正数，（1）若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24．（2）若xy ＝p (积p 为定值)，则当x=y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p ．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>．当且仅当a b =时等号成立．其中，2211aba b a b=++为,a b 的调和平均值，222a b +为,a b 的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：3a b c ++≥,,a b c 均为正实数），当且仅当a b c ==时等号成立．（2）n元基本不等式：12n a a a n+++ 12,,n a a a 均为正实数），当且仅当12n a a a === 时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（ ）A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【答案】B【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式()1222x y x y-+≥-成立的前提条件为20x y ->，即2x y >.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.【答案】A【解析】A 选项，2642a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当8a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，当a<0时，40a a+<，所以B 选项错误.C 选项，当0,0a b ><时，()20,02a b ab +<≥，所以C 选项错误.D 选项，当0,0a b <<时，0a b +<，a b +≥不成立，所以D 选项错误. 故选：A【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．2a b+≥B ．()()2222a b a b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【解析】对于A ，当,a b 为负数时不成立，故A 错误，对于B ，()()22222()0a b a b a b +-+=-≥，则()()2222a b a b +≥+，故B 正确，对于C ，0ab >，则,b aa b 都为正数，2b a a b +≥，当且仅当b a ab=，即a b =时等号成立，故C 正确，对于D ，111224b a a b ab a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab ab =和b aa b=同时成立，即1a b ==±时等号成立，故D 正确，故选：BCD 【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD 、AD 、BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()2230,0a b ab a b +>>>C()20,011a b a b≥>>+D ．()220,022a b a ba b ++≥>>【答案】AC【解析】由题意可知AB AC BC a b =+=+，2a bOA OB OD +===，因为90CBD CAD ADC ∠=-∠=∠ ，90ACD DCB ∠=∠= ，则Rt Rt ACD DCB ∽ ，所以，CD ACBC CD= ，即2CD AC BC ab =⋅=，所以CD =在Rt OCD △中，OD CD >，即)0,02a ba b +>>当OD AB ⊥时，O 、C 点重合，a b =，此时)0,02a ba b +=>>，则)0,02a ba b +≥>>，所以A 正确；对于C 选项，在Rt OCD △中，CE OD ⊥，则90DCE CDE DOC ∠=-∠=∠ ，又因为90DEC DCO ∠=∠= ，所以，Rt Rt DEC DCO ∽ ，可得CD DE DO CD=，即2CD DE OD =⋅，所以222112CD ab ab DE a b OD a b a b====+++，由于CD DE >111a b >+，当a b =时，CD DE =111a b=+，()20,011a ba b>>+，所以C正确；由于22a b+在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明，故选：AC.考点二：利用基本不等式比较大小例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设n mAm n=+（m、n为互不相等的正实数），242B x x=-+-，则A与B的大小关系是（）A．A B>B．A B≥C．A B<D．A B≤【答案】A【解析】m、n为互不相等的正实数，则m nn m≠，所以2n mAm n=+>=，2242(2)22B x x x=-+-=--+≤，=2x时，max2B=，所以A B>．故选：A．【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足22c b aa-=+-，2222c b a aa+=++，且0a>，则a，b，c的大小关系是（）A．b c a>>B．c b a>>C．a c b>>D．c a b>>【答案】B【解析】因为0a>，由基本不等式得22220c b aa-=+-≥=>，故c b>，因为2222c b a aa+=++，22c b aa-=+-，两式相减得，2222222222a a a aabaa++-=-+++=，故2112a ab+=+，所以220141151216ab aa a⎛⎫-⎪-+-+⎝=⎭=>，故b a>，所以c b a>>.故选：B【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若170,139a b <<<<，则,a b +22,2a b +中不可能是最大值的是（ ）A ．222a b +B ．C ．D ．a b+【答案】ABC【解析】由于170,139a b <<<<，则a b ¹，故a b +>222a b +>，则不可能是最大值，B ，C 符合题意；由于22221132)2()()428(a b a b a b ++=--+--，当170,139a b <<<<时，221112()2(0448a -<-=，22111()(1224b -<-=，故221131132((0428848a b -+--<+-=，即222a b a b +<+，故222a b +不可能是最大值，A 符合题意，故选：ABC【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a b+>B ．22ab a ba b +<+C ．22ab a ba b +>+D 2aba b>+【答案】ABD【解析】对于选项A ，因为0a b >>，则20>，所以2a b+A 正确；因为0a b >>，所以0a b +>，0ab >，又2a b +>，得到01<<故22ab a ba b +<<+，所以选项B 和D 正确，对于选项C ，取2,1a b ==，满足0a b >>，但243322ab a ba b +=<=+，所以C 错误，故选：ABD.考点三：利用基本不等式求最值例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．6【答案】B【解析】()32x x -()213234x x ⎡⎤≤⨯+-=⎣⎦，当且仅当2x x =-，即1x =取得等号，满足题意.故选：B.【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知100x >>，则2的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】A【解析】因为100x >>，故()10x x +-≥5，当且仅当5x =时，等号成立，所以2253≥-=-.故选：A.【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】因为()2222228T a b a b ab =++++≥++=，当且仅当1a b ==时取等号，所以T 的最小值为8.故选：C.【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．83【答案】B【解析】由正数x ，y 满足44x y +=，得111111419(4)()(5)5)4444y x x y x y x y x y +=++=++≥=，当且仅当4y x x y =，即23x =，43y =时取等号，所以11x y +的最小值为94．故选：B【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知0a >，0b >，且a b ab +=，则27ab a b -+的最小值是（ ）A ．6B ．9C ．16D ．19【答案】C【解析】因为a b ab +=且0a >，0b >，所以111a b+=，则()1192722799101016b a ab a b a a b b a b a b a b a b ⎛⎫-+=-++=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9111b aa ba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即当4a =，43b =时，等号成立.因此，27ab a b -+的最小值是16.故选：C.考点四：利用基本不等式证明不等式例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知0,0,1a b a b >>+=，求证:(1)114a b+≥;(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）0,0,1a b a b >>+= ，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当ba a b=，即12a b ==时等号成立.（2）0,0,1a b a b >>+= ，12212212()1111a b a b b a ab b a ab +⎛⎫⎛⎫∴++=+++=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭21223434111()a b b a a b a b a b ⎛⎫=++++=++=+++ ⎪⎝⎭3434134888b a b a a b a b =++++=++≥+=+当且仅当34b a ba =时，即3,4ab ==-时等号成立.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，证明：(1)22221a b +≥；(2)1916a b+≥．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）因为1a b +=，所以()222212a b a b ab ab +=+-=-，因为0a >，0b >，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以11121242ab -≥-⨯=，即2212a b +≥，故22221a b +≥；（2）因为1a b +=，所以()1919910b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为0a >，0b >，所以0b a>，90a b >，所以96b a a b +≥，当且仅当9b a a b =，即334b a ==时，等号成立，则91016b aa b ++≥，即1916a b+≥．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a ，b ，c 均为正数，求证：()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥⎪+++⎝⎭．【答案】证明见解析【解析】∵a ，b ，c 均为正数，∴()()()0a b b c c a +++++≥>，当且仅当a b b c a c +=+=+，即a b c ==时，等号成立．1110a b b c a c ++≥>+++，当且仅当111a b b c a c==+++，即a b c ==时，等号成立．∴()11129a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥= ⎪+++⎝⎭，故()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥ ⎪+++⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知,,a b c 是正实数.(1)证明：a b c ++≥(2)若2a b c ++=，证明：11192a b c ++≥.(3)已知,a b 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）由222()()()a b c a b b c a c ++=+++++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，即a b c ++≥.（2）由11111()(3)22a b c a b c a b c b c a c a ba b c a b c a a b b c c++++++++=⋅++=⋅++++++119(3(3222)222≥++=⋅+++=，当且仅当23a b c ===时等号成立，则11192a b c ++≥，得证.（3）由222222()()()()(2)()ax by bx ay ab x y xy a b ab xy xy a b ++=+++≥++2()xy a b xy =+=，当且仅当x y =时等号成立，不等式得证.考点五：基本不等式恒成立问题例5. （23-24高一上·贵州安顺·≥数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】Dm ≥恒成立，即5m +≥恒成立.又559≥+=，当且仅当a b =时取等号.故实数m 的最大值为9.故选：D【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知0x >，0y >，且2x y +=．若410x mxy +-≥恒成立，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．8C ．3D ．6【答案】A【解析】由410x mxy +-≥，则41828912222x x x x y m xy xy xy y x++++≤===+()9111991542222222221x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫++==+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当922x y y x =，即12x =，32y =时，等号成立.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知0x >，0y >，且9x y xy +=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6-∞B ．(],16-∞C ．(],8∞-D ．(],9-∞【答案】B【解析】9x y xy +=，故911x y +=，()91910x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，0x >，0y >，故96x y y x +≥=，当且仅当9x y y x=，即12,4x y ==时取等号，故10616x y +≥+=，x y +最小值是16，由不等式a x y ≤+恒成立可得16a ≤.a 的取值范围是(],16-∞，故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意0x >，231xax x ≤++恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．15B ．110C ．12D ．13【答案】ACD【解析】因为0x >，所以21113153x x x x x =≤=++++，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，由任意0x >，231xa x x ≤++恒成立， 所以15a ≥，符合条件有15，12，13，故A 、C 、D 对；11015<，故B 错；故选：ACD考点六：基本不等式在实际中的应用例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 【答案】B【解析】如图，设AB x =，由矩形()ABCD AB AD >的周长为4，可知(2)AD x =-．设PC a =，则()DP x a =-．,90,APD CPB ADP CB P AD CB '''∠=∠∠=∠=︒= ，,Rt ADP Rt CB P AP PC a '∴∴== ≌．在Rt ADP 中，由勾股定理得222AD DP AP +=，即222(2)()x x a a -+-=，解得222x x a x-+=，所以22x DP x a x-=-=．所以ADP △的面积11222(2)322x S AD DP x x x x -⎛⎫=⋅=-⋅=-+ ⎪⎝⎭．所以33S ≤-=-2x x =时，即当x =时，ADP △的面积最大，面积的最大值为3-B ．【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【答案】当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，为198400元．【解析】设池底的一边长为()m 0x x >，则另一边长为48001600m=m 3x x，总造价为y 元，则1600160016001003280160000480y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭160000480198400≥+⨯=，当且仅当1600x x=，即40x =时，等号成立，所以当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，最低为198400元．【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m ，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/2m ，中间两道隔墙的造价为248元/2m ，池底造价为80元/2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【答案】长为时总造价最低．【解析】设处理池的长和宽分别为x ，y ，高为h ，总造价为z ，则150xy =，(016,016)x y <≤<≤，(22)400224815080(8001296)120001200012000z x y h yh x y h =+⨯+⨯+⨯=++≥+=+，当且仅当8001296x y =，又150xy =，即16x =<，16y 时取到等号，故长为时总造价最低．【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．【答案】当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m ．【解析】设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点,B C 作下底的垂线，垂足分别为,E F ，则BE ，2a AE DF ==，则下底22a aAD b a b =++=+，该等腰梯形的面积())22b a b S a b a ++==+=所以()2300a b a +=，则30022a b a =-，所用篱笆长为2l a b =+300222a a a =+-300322a a =+≥30=，当且仅当300322aa =，即()10m a =，()10mb =时取等号．所以，当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m ．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）221x x+取最小值时x 的取值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】B【解析】由题意可知，20x >，∴2212x x +≥=，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，即221x x+取最小值时x 的取值为1±．故选：B ．2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若0x >，0y >，且1x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】由题意1x y +=≥，解得14≤xy ，等号成立当且仅当12x y ==.故选：B.3．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若0x >，则22y x x=+的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．2【答案】C【解析】因为0x >，所以224y x x =+=≥，当且仅当22x x=，即1x =时等号成立，所以22y x x=+的最小值是4.故选：C.4．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】正数a ，b 满足41a b +=，则11114()2244444)(b a a b a b a a b b +=+=≥++++，当且仅当44b aa b =，即142a b ==时取等号，所以当11,82a b ==时，114a b +取得最小值4.故选：C5．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0x >，则24-+x x x 的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．5-D ．5-或3【答案】B【解析】由0x >，得244113x x x x x -+=+-≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，所以24-+x x x的最小值为3．故选：B.6．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段AB 为半圆的直径，O 为圆心，,C F 为半圆弧上不与,A B 重合的点，OF AB ⊥.作CD AB ⊥于,D DE OC ⊥于E ，设,AD a BD b ==，则下列不等式中可以直接表示CE DF ≤的是（ ）A ．2aba b≤+B 2a b +≤C ．2a b +≤D ．2ab a b ≤+【答案】D【解析】因为,AD a BD b ==，所以,22a b a b OF OC OD +-===，在Rt DOF △中，DF ==又CD AB ⊥，所以CD ===在Rt CDO △中，DE OC ⊥，故ED OC OD DC ⋅=⋅，得到22a bOD DC ED a b OC -⋅===+所以2abCE a b===+，所以CE DF ≤，即2ab a b +，故选：D.二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（ ）A ．1x x+的最小值为2B ．(2)x x -的最大值为2C ．22x x -+的最小值为2D ．2272x x ++最小值为2【答案】CD【解析】对于选项A ，当=1x -时，12x x+=-，故A 错误；对于选项B ，()()222211x x x x x -=-+=--+，所以()2x x -的最大值为1，故B错误；对于选项C，122222x x x x -+=+≥=，当且仅当122xx=，即0x =时，等号成立，故C 正确.对于选项D ，222277222222x x x x ++=+-≥=-++，当且仅当22722x x+=+，即22x =时，等号成立，故D 正确.故选：CD.8．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,R a b ∈，且0ab ≠，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）A ．222a b ab +≥B ．2b a a b+≥C ．2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2D ．22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】由,R a b ∈，则222a b ab +≥，得222a b ab +≥，A 正确；由,R a b ∈，取1,2a b =-=，则1202b a a b +=--<，故B 错误；由于,R a b ∈，则22()024a b a b ab +-⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，则2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故C 正确；由于2222()0224a b a ba b ++-⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：ACD ．三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.【答案】9【解析】由1x >，得10x ->，于是21616161119111x x x x x x x -+=+=-++≥=---，当且仅当1611x x -=-，即5x =时取等号，所以2161x x x -+-的最小值为9.故答案为：910．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台.【答案】300【解析】购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++，则平均成本()150112600P x x x x =++≥+=，当且仅当150600x x=，即300x =时，平均成本最低为2万元.故答案为：300.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若x a ∀>，关于x 的不等式225x x a+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】若关于x 的不等式225x x a +≥-恒成立，则min 2(2)5x x a+≥-，因为x a >，故2222()2242x x a a a a x a x a +=-++≥=+--，当且仅当1x a =+时取等，故得425a +≥，解得12a ≥.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？（3）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y +的最小值．【答案】（1）23；（2）2 ；（3）1+【解析】（1）2113434(43)(3)(43)[3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=，当且仅当343x x =-，即2(0,1)3x =∈时取等号．故(43)x x -取得最大值43时，x 的值为23．（2）2222122311x x x x y x x +-++-+==--2(1)2(1)31x x x -+-+=-3(1)221x x =-++≥+-．（1x >）当且仅当311x x -=-，即1(1,)x =∈+∞时取等号．故函数的最小值为2．（3）x ，R y +∈，()1311313112144y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当y =，即)21x =，(23y =时取等号．∴13x y +的最小值为113．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC 的直角边长为,a b ，且直角三角形ABC 的周长为2.（已知正实数数学31,x y2x y +≤x y =时等号成立）(1)求直角三角形ABC 面积的最大值；(2)求正方形ABDE 面积的最小值.【答案】(1)3-；(2)(43-【解析】（1）由题意得：(22a b =+=2≤=6ab ≤-所以132S ab =≤-a b =时，等号成立，所以直角三角形ABC面积的最大值为3-；（2）因为a b +≤所以21a b =+≤)21≥=，所以(2243S a b =+≥-，当且仅当a b =时，等号成立，所以正方形ABDE 面积的最小值为(43-.。

上海理工大学附属中学高一数学上册《基本不等式及其应用》练习 沪教版2.4基本不等式及其应用1.通晓两种基本不等式的形式：○1基本不等式1：对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立。

○2基本不等式2：对任意正数,a b ，有2a bab +≥，当且仅当a b =时等号成立。

2.全面理解基本不等式：○1对于基本不等式2，,a b R +∈条件可减弱为0,0a b ≥≥，所以上述条件只是充分不必要条件；○2基本不等式的主体是2a bab +≥（,a b R +∈），即两正数的算术平均值不小于其几何平均值；○3基本不等式等号成立的充要条件是a b =（0,0a b >>）； ○4掌握不等式2的变形： (,)2a b ab a b R ++≥∈，变形得：22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（,a b R +∈），由此可知，当积为定值，和有最小值；当和为定值，积有最大值。

3.知道基本不等式还有其推广形式：○1对任意,,a b c R +∈，有33a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时等号成立； ○2对任意12,,,n a a a R +∈L ，有1212n n n a a a n a a a ++≥L L ，当且仅当12n a a a ===L例1.（1）当0x >，1x x+的取值范围，并指出取的最小值时的x 的值；（2）当0x <，求42x x+的最值，并指出取最值时x 的值；（3）若1x >，求11x x +-的取值范围；（4）如果3x >，求2313x x x -+-的取值范围；例2.（1）已知,x y R +∈，且21x y +=，求证：18xy ≤，并指出等号成立的条件；（2）已知01x <<，求当x 取何值时，(1)x x -值最大；（3）已知102x <<，则当_________x =时，3(12)x x -有最大值_________；（4）当________x =时，21x x -有最大值___________；例3.已知,a b R +∈且1a b +=，求11a b+的最小值；变式一：已知,a b R +∈且321a b +=，求11a b+的最小值；变式二：已知,a b R +∈且231a b +=，求21a b+的最小值；变式三：已知,a b R +∈且211a b+=，求a b +的最小值；例4.对于问题“已知正数,x y 满足21x y +=，求11x y+的最小值”有如下做法： 21x y +=Q 且,0x y >，11111(2)22242x y xy x y x y xy⎛⎫∴+=++≥= ⎪⎝⎭，min1142x y ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确的解法。

一、选择题1．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）A ．甲B ．乙C ．甲、乙一样D ．无法确定2．若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子：（1）22a 32b ab +>，（2）553223a b b a a b +>+， （3）2252(2)a b a b ++≥-，（4）2b aa b+>.其中恒成立的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．关于x 的不等式13x x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),42,-∞-+∞B ．(][),24,-∞+∞C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),24,-∞-⋃+∞4．设,,a b c ∈R ，且a b >，则( ) A ．ac bc > B ．a c b c -<- C ．33a b > D ．22a b > 5．已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，那么下列选项中正确的是（ ） A ．ab ac >B ．ac bc <C ．22ab cb >D ．22ca ac >6．若实数a ＞b ，则下列结论成立的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．11a b＜C ．ln 2a ＞ln 2bD ．ax 2＞bx 27．已知1a >，实数,x y 满足x y a a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11x y x y+>+ B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >8．若()0,2x π∈，则不等式sin sin x x x x +<+的解集为( ) A ．()0,πB ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),2ππ9．若a b >，0ab ≠则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11a b< D ．a b 22>10．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 11．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11()()22ab<D ．1a b> 12．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >二、填空题13．若不等式2240x x m +--≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______.14．若存在实数(0)a a ≠满足不等式2211ax a a a +≤--+，则实数x 的取值范围是________．15．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是_____ 16．若110a b>>有下列四个不等式①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；④3322a b ab +>.则下列组合中全部正确的为__________ 17．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____.18．若关于x 的不等式||(,)x a b a b R +<∈的解集为{|35}x x <<，则a b -=________. 19．若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____.20．已知|a ＋b|＜－c(a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a|＜|b|－c ； ⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)．三、解答题21．已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 22．已知函数2()|1|5f x mx a x =-++．（1）当0,1m a ==时，求不等式()|2|f x x -的解集；（2）当1m =时，存在0[0,2]x ∈，使()00|1|f x a x -成立，求实数a 的取值范围． 23．已知函数()f x x x m =-. （1）若3m =，解不等式()2f x >；（2）若0m >，且()f x 在[]0,2上的最大值为3，求正实数m 的值. 24．已知函数()|1|2|3|f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式23()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围. 25．已知()12f x x x =-+-.（1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立. 26．已知函数()21f x x ax a =++-(0)a >. （1）当2a =时，求不等式()5f x ≤的解集； （2）若函数()f x 的最小值为32，设正实数,m n 满足m n a +=，求1212m n +++的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +， 平均价格为121222p x p x p p x ++=； 对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为12y yp p +， 平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，12121222p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商2．A解析：A 【解析】分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可. 详解：(1) 22a 32b ab +-=22322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立； (2)553223 a b b a a b +>+=()()()222a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时，不等式不成立；(3)()22522a b a b ++--()()22=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) ba a b+,2][2,)∈-∞-⋃+∞（,故不正确. 故答案为A.点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.3．D解析：D 【分析】利用绝对值三角不等式确定1x x a -+-的最小值，再解不等式即可. 【详解】解：根据绝对值三角不等式，得()()111x x a x x a a -+-≥---=-，所以不等式13x x a -+-≥恒成立等价于13a -≥，解得：4a ≥或2a ≤-，即实数a 的取值范围是(][),24,-∞-⋃+∞， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a 的取值范围．4．C解析：C 【分析】取特殊值判断A,D ,根据不等式的性质判断B ,根据幂函数的性质判断C . 【详解】 A 选项，取0c时，不等式不成立；B 选项，不等式两边加上同一个数c -，不等号方向不发生改变，故错误；C 选项，根据幂函数3y x =在R 上为增函数知33a b >，故正确；D 选项，取1,2a b ==-，不等式不成立，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，幂函数的单调性，特值法，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据不等式的性质推理即可得出. 【详解】c b a <<，且0ac <， 0c ∴<，0a >，0b a -<，ab ac ∴>.故选：A. 【点睛】本题考查不等式与不等关系，解题关键是熟练掌握不等式的性质，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】特值法排除A,B,D,单调性判断C 【详解】 由题意，可知：对于A ：当a 、b 都是负数时，很明显a 2＜b 2，故选项A 不正确； 对于B ：当a 为正数，b 为负数时，则有11a b＞，故选项B 不正确； 对于C ：∵a ＞b ，∴2a ＞2b ＞0，∴ln 2a ＞ln 2b ，故选项C 正确； 对于D ：当x ＝0时，结果不成立，故选项D 不正确； 故选：C ． 【点评】本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．7．D解析：D 【分析】根据指数函数的单调性，得到x y >，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【详解】根据指数函数的单调性，由1a >且x y a a >，可得x y >， 对于A 中，由111()()(1)x y x y x y x y x y xy xy-+--=--=--，此时不能确定符号，所以不正确；对于B 中，当x 1,y 2==-时，2211x y +<+，此时()()22ln 1ln 1x y +<+，所以不正确；对于C 中，例如：当2,32x y ππ==时，此时sin sin x y <，所以不正确； 对于D 中，由33222213()()()[()]024x y x y x xy y x y x y y -=-++=--+>，所以33x y >，所以是正确的．故选D ． 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．D解析：D 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出sin 0x x <，由02x π<<，得出sin 0x <，借助正弦函数图象可得出答案． 【详解】因为sin sin x x x x +<+成立，所以sin 0x x <， 又(0,2)x π∈，所以sin 0x <，(,2)x ππ∈，故选D ． 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题．9．D解析：D 【分析】利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】对于选项A, 22a b >不一定成立，如a=1＞b=-2,但是22a b ＜，所以该选项是错误的； 对于选项B, 1111,,,lg 0,2366a b a b ==-=<所以该选项是错误的； 对于选项C,11,0,b a b a a b ab--=-<ab 符号不确定，所以11a b <不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D, 因为a>b,所以a b 22>，所以该选项是正确的. 故选D 【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果． 【详解】 对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立； 对于选项D ：当0a b >>时，不成立； 故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11．C解析：C 【解析】 【分析】利用不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，对四个选项逐一进行分析即可得到答案 【详解】对于A ，令0,1a b ==-，200=，()211-=，满足a b >，但不满足22a b >，故排除 对于B ，令0,1a b ==-，()lg 10a b lg -==，故排除对于C ，1 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，当a b >时，1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 恒成立对于D ，令0,1a b ==-，011a b =<-，故排除 故选C 【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。

高二数学基本不等式试题答案及解析1.已知正数，满足，，则的最小值为_________．【答案】9【解析】【考点】基本不等式的应用.2.已知且满足,则的最小值为【答案】18【解析】.【考点】基本不等式的应用.3.下列各式中，最小值是2的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，当且仅当，即，取得最小值，故选择C，不选择A的原因是不满足是正数的条件，不选择B的原因是中的等号不成立，不选择D的原因是该式没有最小值，所以运用均值不等式求最值，一定要注意“一正、二定、三相等”是否都具备，缺一不可.【考点】利用均值不等式求最值.4.（1）已知，，求证：；（2）已知，，求证：；并类比上面的结论写出推广后的一般性结论（不需证明）.【答案】（1）证明书详见解析；（2）证明详见解析；（3）结论推广为：，则．【解析】（1）由均值不等式即可证明；（2）注意到：，故可考虑用柯西不等式得到，进而得出所要证明的不等式；（3）观察（1）（2）所给条件，，可想到任意个正数的条件为，而（1）（2）的结论都是对应数的倒数之和大于等于1，所以结论为：.（1）因为且所以由基本不等式可得，再根据倒数法则可得；（2）因为，所以由柯西不等式可得即，所以（3）一般性结论为：，则．【考点】1.基本不等式；2.柯西不等式；3.归纳推理.5.下列结论中①函数有最大值②函数（）有最大值③若，则正确的序号是_____________.【答案】①③【解析】①②因为，所以③因为，所以【考点】基本不等式应用6.设（R,且），则大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由基本不等式可知因为所以等号不成立.【考点】基本不等式.7.设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为 ( ) A．0B．1C．D．3【答案】D【解析】根据题意，由于正实数满足，当取得最大值时,x=2y,,故可知答案为D.【考点】不等式的运用点评：主要是考查了均值不等式的运用，属于基础题。

8.已知,且，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，当且仅当时等号成立取得最小值【考点】均值不等式点评：利用均值不等式求最值时要注意其成立的条件：都是正数，当和为定值时，乘积取最值，当乘积为定值时，和取最值，最后验证等号成立的条件是否满足9.若且满足，则的最小值是（）A．B．C．7D．6【答案】C【解析】将x用y表示出来，代入3x+27y+1，化简整理后，再用基本不等式，即可求最小值．解：由x+3y-2=0得x=2-3y，代入3x+27y+1=32-3y+27y+1=+27y+1，∵＞0，27y＞0，∴+27y+1≥7，当=27y时，即y=，x=1时等号成立，故3x+27y+1的最小值为7，故选C．【考点】基本不等式点评：本题的考点是基本不等式，解题的关键是将代数式等价变形，构造符合基本不等式的使用条件．10.如果，那么的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】根据题意，由于，那么可知，当a=1时等号成立，故答案为3.【考点】均值不等式的运用点评：主要是考查了运用均值不等式来求解函数的最值的运用属于基础题。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题09平面向量、不等式及复数考点精析考点一基本不等式及其应用1．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为．【解析】132yx =+，∴298y x =；故答案为：982．（2020•上海）下列不等式恒成立的是()A ．222a b ab+B ．222a b ab+-C ．a b +D ．222a b ab+-【解析】A ．显然当0a <，0b >时，不等式222a b ab +不成立，故A 错误；B ．2()0a b + ，2220a b ab ∴++，222a b ab ∴+-，故B 正确；C ．显然当0a <，0b <时，不等式a b +不成立，故C 错误；D ．显然当0a >，0b >时，不等式222a b ab +-不成立，故D 错误．故选：B ．3．（2022•上海）若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是()A ．a b +>B ．a b +<C ．22ab +>D ．22ab +<【解析】因为0a b >>，所以a b +，当且仅当a b =时取等号，又0a b >>，所以a b +>，故A 正确，B 错误，22a b +=22a b =，即4a b =时取等号，故CD 错误，故选：A ．4．【多选】（2020•山东）已知0a >，0b >，且1a b +=，则()A ．2212a b +B ．122a b ->C ．22log log 2a b +-D 【解析】①已知0a >，0b >，且1a b +=，所以222()22a b a b ++，则2212a b +，故A 正确．②利用分析法：要证122a b ->，只需证明1a b ->-即可，即1a b >-，由于0a >，0b >，且1a b +=，所以：0a >，110b -<-<，故B 正确．③22222log log log log ()22a b a b ab ++==-，故C 错误．④由于0a >，0b >，且1a b +=，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得2a b ++，即1，故122a b +=，当且仅当12a b ==时，等号成立．故D 正确．故选：ABD ．5．（2021•上海）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a =．【解析】()3311153131x xx x a a f x =+=++--=++，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．6．【多选】（2022•新高考Ⅱ）若x ，y 满足221x y xy +-=，则()A ．1x y +B ．2x y +-C ．222x y +D ．221x y +【解析】方法一：由221x y xy +-=可得，22()12y x y -+=，令cos 2sin 2y x y θθ⎧-=⎪⎪⎪=⎪⎩，则sin cos 3x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos 2sin()[26x y πθθθ∴+=+=+∈-，2]，故A 错，B对，222214242cos ))2cos 2sin(2)[333633x y πθθθθθθ+=++=-+=-+∈ ，2]，故C 对，D 错，方法二：对于A ，B ，由221x y xy +-=可得，22()1313()2x y x y xy ++=++，即21()14x y +，2()4x y ∴+，22x y ∴-+，故A 错，B 对，对于C ，D ，由221x y xy +-=得，222212x y x y xy ++-=，222x y ∴+，故C 对；222x y xy +- ，222222223()122x y x y x y xy x y ++∴=+-++=，∴2223x y +，故D 错误．故选：BC ．考点二平面向量的线性运算7．（2020•海南）在ABC ∆中，D 是AB 边上的中点，则(CB =)A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA- D ．2CD CA+【解析】在ABC ∆中，D 是AB 边上的中点，则CB CD DB CD AD =+=+ ()CD AC CD =++ 2CD CA =- ．故选：C ．8．（2019•浙江）已知正方形ABCD 的边长为1．当每个(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是，最大值是．【解析】如图，建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D ，∴(1,0)AB = ，(0,1)BC = ，(1,0)CD =- ，(0,1)DA =- ，(1,1)AC = ，(1,1)BD =-，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ∴+++++ 1356|(λλλλ=-+-，2456)|λλλλ-++2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++，(*)，(*)中第一个括号中的1λ，3λ与第二个括号中的2λ，4λ的取值互不影响，只需讨论5λ，6λ的取值情况即可，当5λ，6λ同号时，不妨取51λ=，61λ=，则(*)221324()(2)λλλλ-+-+，1λ ，2λ，3λ，4{1λ∈-，1}，13λλ∴=，2422(1λλλ-=-=-，41)λ=时，(*)取得最小值0，当13||2λλ-=（如11λ=，31)λ=-，2422(1λλλ-==，41)λ=-时，(*)式取得最大值为25，当5λ，6λ异号时，不妨取51λ=，61λ=-，则(*)221224(2)()λλλλ-++-，同理可得最小值为0，最大值为25故答案为：0；59．（2020•上海）已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，(*)k b k N ∈ 是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}（其中1i =，2，1j =，2，⋯，)k ，则k 的最大值是．【解析】如图，设11OA a = ，22OA a = ，由12||1a a -=，且||{1i j a b -∈ ，2}，分别以1A ，2A 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k 的最大值为6．故答案为：6．考点三平面向量的基本定理10．（2022•新高考Ⅰ）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m = ，CD n =，则(CB = )A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【解析】如图，1111()2222CD CA AD CA DB CA CB CD CA CB CD =+=+=+-=+- ，∴1322CB CD CA =- ，即3232CB CD CA n m =-=-．故选：B ．考点四平面向量数量积的运算11．（2023•上海）已知向量(2,3)a =- ，(1,2)b = ，则a b ⋅=．【解析】 向量(2,3)a =-，(1,2)b = ，故答案为：4．12．（2021•浙江）已知非零向量a，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b = ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a c ⊥ 且b c ⊥ ，则0a c b c ⋅=⋅= ，但a与b 不一定相等，故a b b c ⋅=⋅ 不能推出a b = ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的不充分条件；由a b = ，可得0a b -= ，则()0a b c -⋅= ，即a b b c ⋅=⋅ ，所以a b = 可以推出a b b c ⋅=⋅ ，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要条件．综上所述，“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件．故选：B ．13．（2021•上海）如图正方形ABCD 的边长为3，求AB AC ⋅=．【解析】由数量积的定义，可得cos AB AC AB AC BAC ⋅=⨯⨯∠，因为cos AB AC BAC =⨯∠，所以29AB AC AB ⋅== ．故答案为：9．14．（2021•新高考Ⅱ）已知向量0a b c ++= ，||1a =，||||2b c == ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=．【解析】方法1：由0a b c ++= 得a b c +=- 或a c b +=- 或b c a +=-，22()()a b c ∴+=- 或22()()a c b +=- 或22()()b c a +=-，又||1a = ，||||2b c == ，524a b ∴+⋅= ，524a c +⋅=，821b c +⋅= ，∴12a b ⋅=- ，12a c ⋅=- ，72b c ⋅=- ，∴92a b a c b c ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．方法2222()||||||014492:222a b c a b c a b b c c a ++------⋅+⋅+⋅===-．故答案为：92-．15．（2020•上海）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB =．【解析】 在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯ ，∴111124162AB AC =⨯⨯= ，且D 是BC 的中点，∴1()2AD AB AB AC AB=+ 21()2AB AB AC =+111(4)22=⨯+194=．故答案为：194．16．【多选】（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，则()A ．12||||OP OP = B ．12||||AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【解析】法一、1(cos ,sin )P αα ，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，∴1(cos ,sin )OP αα= ，2(cos ,sin )OP ββ=- ，3(cos()OP αβ=+ ，sin())αβ+，(1,0)OA =，1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，则1||1OP == ，2||1OP = ，则12||||OP OP = ，故A 正确；1||AP == ，2||AP =，12||||AP AP ≠ ，故B 错误；31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin sin cos()OP OP αβαβαβ⋅=-=+ ，∴312OA OP OP OP ⋅=⋅，故C 正确；11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()sin sin()cos[()]cos(2)OP OP βαββαββαβαβ⋅=+-+=++=+，∴123OA OP OP OP ⋅≠⋅，故D 错误．故选：AC ．法二、如图建立平面直角坐标系，(1,0)A ，作出单位圆O ，并作出角α，β，β-，使角α的始边与OA 重合，终边交圆O 于点1P ，角β的始边为1OP ，终边交圆O 于3P ，角β-的始边为OA ，交圆O 于2P ，于是1(cos ,sin )P αα，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，2(cos ,sin )P ββ-，由向量的模与数量积可知，A 、C 正确；B 、D 错误．故选：AC ．17．（2022•上海）若平面向量||||||a b c λ=== ，且满足0a b ⋅= ，2a c ⋅=，1b c ⋅= ，则λ=．【解析】由题意，有0a b ⋅= ，则a b ⊥，设,a c θ<>= ，21a c b c ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩⇒2,1,2a c cos bc cos θπθ⎧=⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩①②则②①得，1tan 2θ=，由同角三角函数的基本关系得：cos θ=，则25||||cos 25a c a c θλλ⋅==⋅⋅=，2λ=，则λ=．．18．（2020•山东）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是()A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【解析】画出图形如图，||||cos ,AP AB AP AB AP AB ⋅=<> ，它的几何意义是AB 的长度与AP 在AB向量的投影的乘积，显然，P 在C 处时，取得最大值，1||cos ||||32AC CAB AB AB ∠=+=，可得||||cos ,236AP AB AP AB AP AB ⋅=<>=⨯= ，最大值为6，在F 处取得最小值，1||||cos ,2222AP AB AP AB AP AB ⋅=<>=-⨯⨯=- ，最小值为2-，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，所以AP AB ⋅的取值范围是(2,6)-．故选：A ．19．（2021•上海）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是()A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =--- ，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，则2(12)(1)20x x y -+--=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE 与CG不共线，即②不成立．故选：B ．20．（2022•浙江）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A ⋯的边12A A 上，则222128PA PA PA ++⋯+ 的取值范围是．【解析】以圆心为原点，73A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(0,1)A ，222(22A ，3(1,0)A ，422(,)22A -，5(0,1)A -，622(,22A --，7(1,0)A -，822(22A ，设(,)P x y ，则222222222222212812345678||||||||||||||||8()8PA PA PA PA PA PA PA PA PA PA PA x y ++⋯+=+++++++=++ ，cos 22.5||1OP ︒ ，∴221cos 4512x y +︒+，∴222214x y ++，2212228()816x y ∴+++，即222128PA PA PA ++⋯+ 的取值范围是[1222+，16]，故答案为：[1222+，16]．21．（2021•浙江）已知平面向量a，b ，(0)c c ≠ 满足||1a = ，||2b = ，0a b ⋅= ，()0a b c -⋅= ．记平面向量d 在a ，b 方向上的投影分别为x ，y ，d a - 在c方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值是．【解析】令(1,0),(0,2),(,)a b c m n ===，因为()0a b c -⋅= ，故(1，2)(m -⋅，)0n =，20m n ∴-=，令(2,)c n n =，平面向量d 在a ，b方向上的投影分别为x ，y ，设(,)d x y = ，则：(1,),()2(1),|||d a x y d a c n x ny c n -=--⋅=-+=，从而：()||d a c z c -⋅==22x y +±=，方法一：由柯西不等式可得22x y +=，化简得22242105x y z ++=，当且仅当21x y z ==，即215,,555x y z ===-时取等号，故222x y z ++的最小值为25．方法二：则222x y z ++表示空间中坐标原点到平面220x y +±-=上的点的距离的平方，由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：222242()105min x y z ++===．故答案为：25．考点五平面向量的数量积的应用22．（2023•新高考Ⅰ）已知向量(1,1)a =，(1,1)b =- ．若()()a b a b λμ+⊥+ ，则()A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【解析】 (1,1)a =，(1,1)b =- ，∴(1,1)a b λλλ+=+- ，(1,1)a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+，得(1)(1)(1)(1)0λμλμ+++--=，整理得：220λμ+=，即1λμ=-．故选：D ．23．（2023•新高考Ⅱ）已知向量a，b 满足||a b -= |||2|a b a b +=- ，则||b =．【解析】||a b -=，|||2|a b a b +=- ，∴2223a b a b +-⋅= ，2222244a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，∴22a a b =⋅，∴23b = ，∴||b =．．24．（2022•新高考Ⅱ）已知向量(3,4)a = ，(1,0)b = ，c a tb =+ ，若a <，c b >=< ，c > ，则(t =)A ．6-B ．5-C ．5D ．6【解析】 向量(3,4)a =，(1,0)b = ，c a tb =+ ，∴(3,4)c t =+，a < ，cb >=<，c > ，∴||||||||a c b c a c b c ⋅⋅=⋅⋅，∴253351t t++=，解得实数5t =．故选：C ．25．（2020•浙江）已知平面单位向量1e ，2e满足12|2|e e - ．设12a e e =+ ，123b e e =+ ，向量a，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值是．【解析】设1e 、2e 的夹角为α，由1e ，2e为单位向量，满足12|2|e e -所以2211224444cos 12e e e e α-+=-+ ，解得3cos 4α；又12a e e =+ ，123b e e =+ ，且a，b 的夹角为θ，所以2211223444cos a b e e e e α=++=+ ，2221122222cos a e e e e α=++=+ ，222112296106cos b e e e e α=++=+ ；则222228()(44cos )44cos 43cos (22cos )(106cos )53cos 353cos a b a bααθαααα++====++++⨯ ，所以3cos 4α=时，2cos θ取得最小值为842833329534-=+⨯．故答案为：2829．考点六复数的基本概念26．（2022•浙江）已知a ，b R ∈，3()(a i b i i i +=+为虚数单位），则()A ．1a =，3b =-B ．1a =-，3b =C ．1a =-，3b =-D ．1a =，3b =【解析】3()1a i b i i bi +=+=-+ ，a ，b R ∈，1a ∴=-，3b =，故选：B ．27．（2020•浙江）已知a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数，则(a =)A ．1B ．1-C ．2D ．2-【解析】a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数，可得20a -=，解得2a =．故选：C ．考点七复数的几何意义28．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，(13)(3)i i +-对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】(13)(3)39368i i i i i +-=-++=+，则在复平面内，(13)(3)i i +-对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．故选：A ．29．（2021•新高考Ⅱ）复数213ii--在复平面内对应点所在的象限为()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 2222(2)(13)263551113(13)(13)1(3)1022i i i i i i i i i i i --++--+====+--++-，∴在复平面内，复数213i i --对应的点的坐标为1(2，1)2，位于第一象限．故选：A ．考点八复数的运算A ．i -B ．iC ．0D ．1【解析】21111(1)122212(1)(1)2i i i z i i i i i ---==⋅=⋅=-+++-，则12z i =，故z z i -=-．故选：A ．31．（2022•新高考Ⅱ）(22)(12)(i i +-=)A ．24i-+B ．24i--C ．62i +D ．62i-【解析】2(22)(12)242462i i i i i i +-=-+-=-．故选：D ．32．（2021•浙江）已知a R ∈，(1)3(ai i i i +=+为虚数单位），则(a =)A ．1-B ．1C ．3-D ．3【解析】因为(1)3ai i i +=+，即3a i i -+=+，由复数相等的定义可得，3a -=，即3a =-．故选：C ．33．（2020•海南）(12)(2)(i i ++=)A ．45i+B ．5iC ．5i -D ．23i+【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=，故选：B ．34．（2020•山东）2(12ii-=+)A ．1B ．1-C ．i D ．i-【解析】2(2)(12)512(12)(12)14i i i ii i i i ----===-++-+，故选：D ．35．（2023•上海）已知复数1(z i i =-为虚数单位），则|1|iz +=．【解析】1z i =- ，|1||1(1)||2|iz i i i ∴+=+-=+=．36．（2021•上海）已知11z i =+，223z i =+，求12z z +=．【解析】因为11z i =+，223z i =+，所以1234z z i +=+．故答案为：34i +．37．（2020•上海）已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z =．【解析】由12z i =-，得||z ==．38．（2019•上海）已知z C ∈，且满足15i z =-，求z =．【解析】由15i z =-，得15z i -=，即155z i i=+=-．故答案为：5i -．39．（2019•浙江）复数1(1z i i=+为虚数单位），则||z =．【解析】11111(1)(1)22i z i i i -===-++- ．||2z ∴==．故答案为：22．考点九共轭复数40．（2022•新高考Ⅰ）若(1)1i z -=，则(z z +=)A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解析】由(1)1i z -=，得211iz i i i --===--，1z i ∴=+，则1z i =-，∴112z z i i +=++-=．故选：D ．41．（2021•新高考Ⅰ）已知2z i =-，则()(z z i +=)A ．62i-B ．42i-C ．62i +D ．42i+【解析】2z i =- ，2()(2)(2)(2)(22)442262z z i i i i i i i i i i ∴+=-++=-+=+--=+．故选：C ．42．（2022•上海）已知1z i =+（其中i 为虚数单位），则2z =．【解析】1z i =+，则1z i =-，所以222z i =-．故答案为：22i -．43．（2020•上海）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为．【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈． 复数z 满足26z z i +=+，36a bi i ∴-=+，可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-．则z 的实部为2．故答案为：2．。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结4基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1．若0<a<12，则a(1－2a)的最大值是()A．18B．14C．12D．1答案 A解析由0<a<12，得1－2a>0，则a(1－2a)＝12·2a(1－2a)≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a＋（1－2a）22＝18，当且仅当a＝14时取等号．故选A.2．已知m>0，n>0，2m＋n＝1，则14m＋2n的最小值为()A．4 B．22C．92D．16答案 C解析 由于m >0，n >0，2m ＋n ＝1，则14m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4m n ≥52＋2n 4m ·4m n ＝92，当且仅当n ＝23，m ＝16时取等号．故选C. 3．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．32 答案 A解析 由于x >0，则y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数y 的最小值为0.故选A.4．已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥n2a ＋b 恒成立，则n 的最大值为( )A ．9B ．12C ．16D ．20 答案 A解析 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，2a ＋1b ≥n 2a ＋b⇒(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥n ，(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋22a b ·2b a ＝9(当且仅当a ＝b 时，取等号)，要想不等式2a ＋1b≥n2a ＋b恒成立，只需n ≤9，即n 的最大值为9.故选A. 5．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B ．42 C ．2 D ．2 2解析∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥223x·22y＝223x＋2y＝4，当且仅当3x＝2y，即x＝13，y＝12时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4.故选A.6．已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy的最大值为()A．14B．12C．1 D．2答案 B解析因为a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝2．又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥22xy，当且仅当x＝12，y＝1时等号成立，即22xy≤2，所以xy≤12，所以当且仅当x＝12，y＝1时，xy取到最大值，最大值为12.故选B.7．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a2＋b2的最小值为()A．2 B．22C．4 D．4 2 答案 C解析∵a>0，b>0，∴1a ＋1b＝ab≥21ab，∴ab≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，∴a2＋b2≥2ab≥4，当且仅当a＝b＝2时等号成立．综上，a2＋b2的最小值为4.故选C.8．已知函数f(x)＝cosπx(0<x<2)，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则1a＋4b的最小值为()A．92B．9 C．18 D．36解析函数f(x)＝cosπx(0<x<2)的图象的对称轴为直线x＝1.因为a≠b，且f(a)＝f(b)，所以a＋b＝2，所以1a ＋4b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b(a＋b)×12＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋ba＋4ab≥12×⎝⎛⎭⎪⎫5＋2ba·4ab＝92，当且仅当a＝23，b＝43时取等号，故1a＋4b的最小值为92.故选A.9．(多选)设x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，S＝x＋y，P＝xy，以下四个命题中正确的是()A．若P＝1，则S有最小值2 B．若S＋P＝3，则P有最大值1C．若S＝2P，则S有最小值4 D．若S＋P＝3，则S有最大值2答案AB解析对于A，若xy＝1，则S＝x＋y≥2xy＝2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故A 正确；对于B，若x＋y＋xy＝3，则3＝x＋y＋xy≥2xy＋xy，解得0<xy≤1(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故B正确；对于C，若x＋y＝2xy，则x＋y＝2xy≤（x＋y）22，可得x＋y≥2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故C错误；对于D，若x＋y＋xy＝3，则3＝x＋y＋xy≤x＋y＋（x＋y）24，解得x＋y≥2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故D错误．10．(多选)下列说法正确的是()A．x＋1x(x＞0)的最小值是2 B．x2＋2x2＋2的最小值是 2C．x2＋5x2＋4的最小值是2 D．2－3x－4x的最大值是2－4 3解析 当x ＞0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，A 正确；∵x 2≥0，∴x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确；x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，令t ＝x 2＋4，则t ∈[2，＋∞)，∵y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥2＋12＝52，即x 2＋5x 2＋4≥52，C 错误；当x ＜0时，2－3x －4x 无最大值，D 错误．故选AB.11．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为________． 答案 4解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，∴x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0.设x ＋2y ＝t ＞0，∴t ＋14t 2－8≥0，∴t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)(t －4)≥0，∴t ≥4，即x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值为4.12．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则m ＋n ＝________，1m ＋9n 的最小值是________．答案 4 4解析 由于数列{a n }是正项等比数列，由a 6＝a 5＋2a 4得q 2＝q ＋2，解得q ＝2(负根舍去).由a m a n ＝2a 1，得2m ＋n －2＝22，m ＋n ＝4.故1m ＋9n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n (m ＋n )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9＋n m ＋9m n ≥14⎝⎛⎭⎪⎫10＋2n m ·9m n ＝14×(10＋6)＝4，当且仅当m ＝1，n ＝3时，1m ＋9n取得最小值4.二、高考小题13．(2022·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是()A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋4 |sin x|C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋4 ln x答案 C解析对于A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且y min＝3，所以A不符合题意；对于B，因为y＝|sin x|＋4|sin x|≥2|sin x|·4|sin x|＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝4|sin x|，即|sin x|＝2时取等号，但是根据正弦函数的性质可知|sin x|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以B不符合题意；对于C，因为y＝2x＋22－x ≥22x·22－x＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，x＝1时取等号，所以y min＝4，所以C符合题意；对于D，当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋4ln x<0，所以D不符合题意．14．(2022·浙江高考)已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三个值中，大于12的个数的最大值是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sinα，cos β，sin β，cos γ，sin γ，cosα均为正数．由基本不等式可知sin αcos β≤sin2α＋cos2β2，sinβcos γ≤sin2β＋cos2γ2，sinγcosα≤sin 2γ＋cos 2α2.三式相加可得sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α≤32，当且仅当sin α＝cos β，sin β＝cos γ，sin γ＝cos α，即α＝β＝γ＝π4时取等号，因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＜32，所以这三个值不会都大于12.若取α＝π6，β＝π3，γ＝π4，则sin π6cos π3＝12×12＝14＜12，sin π3cos π4＝32×22＝64＞24＝12，sin π4cos π6＝22×32＝64＞12，所以这三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C.15．(2022·上海高考)下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2≤2ab B ．a 2＋b 2≥－2ab C ．a ＋b ≥2|ab | D ．a 2＋b 2≤－2ab 答案 B解析 显然当a <0，b >0时，不等式a 2＋b 2≤2ab 不成立，故A 错误；∵(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2＋2ab ≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，故B 正确；显然当a <0，b <0时，不等式a ＋b ≥2|ab |不成立，故C 错误；显然当a >0，b >0时，不等式a 2＋b 2≤－2ab 不成立，故D 错误．故选B.16．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12 B ．2a －b >12 C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D ．a ＋b ≤ 2 答案 ABD解析 对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.17．(2022·天津高考)若a >0，b >0，则1a ＋ab 2＋b 的最小值为________． 答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b＋b ≥22b ·b ＝22，当且仅当1a ＝a b 2且2b ＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，∴1a ＋ab2＋b 的最小值为2 2. 三、模拟小题18．(2022·浙江杭州富阳中学高三上第一次二校联考)已知正实数a ，b 满足1a ＋9b ＝6，则(a ＋1)(b ＋9)的最小值是( )A ．8B ．16C ．32D ．36 答案 B解析 因为正实数a ，b 满足1a ＋9b ＝6，所以6＝1a ＋9b ≥29ab ，即ab ≥1，当且仅当1a ＝9b 时，即a ＝13，b ＝3时取等号．因为1a ＋9b ＝6，所以b ＋9a ＝6ab ，所以(a ＋1)(b ＋9)＝9a ＋b ＋ab ＋9＝7ab ＋9≥7＋9＝16.故(a ＋1)(b ＋9)的最小值是16.故选B.19．(2022·湖北新高考联考协作体高三上新起点考试)已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，若不等式1a ＋1b >m 恒成立，m ∈N *，则m 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 A解析 ∵不等式1a ＋1b >m 恒成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b min >m ，又a ＋b ＝1，a >0，b >0∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b min＝4，∴m <4，又m ∈N *，∴m ＝3.故选A.20．(2022·河北省“五个一”名校联盟高三第一次联考)已知x >0，y >0，且x ＋4y －xy ＝0，若不等式a ≤x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，6]B ．(－∞，7]C ．(－∞，8]D ．(－∞，9] 答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋4y －xy ＝0，∴4x ＋1y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝5＋x y ＋4y x .∵x y＋4yx≥2x y ·4y x ＝4(当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y ＝6时取等号)，∴x ＋y ≥5＋4＝9.又不等式a ≤x ＋y 恒成立，∴a ≤9.21．(2022·辽宁六校高三上学期期初联考)已知定义在R 上的偶函数f (x )＝|x －m ＋1|－2，若正实数a ，b 满足f (a )＋f (2b )＝m ，则2a ＋3b 的最小值为( )A ．85B ．8＋435 C ．835D ．2105 答案 B解析 ∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|－x －m ＋1|－2＝|x －m ＋1|－2，即(－x －m ＋1)2＝(x －m ＋1)2，整理得2(m －1)x ＝－2(m －1)x ，∴m ＝1，∴f (x )＝|x |－2.∴f (a )＋f (2b )＝a －2＋2b －2＝1，即a ＋2b ＝5.∴2a ＋3b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (a ＋2b )＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋4b a ＋3a b ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋24b a ·3a b ＝8＋435(当且仅当4b a ＝3a b ，即2b ＝3a 时取等号)，∴2a ＋3b 的最小值为8＋435.故选B.22．(多选)(2022·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均速度为v ，则( )A ．a ＜v ＜ abB ．v ＝abC ．ab ＜v <a ＋b 2D ．v ＝2ab a ＋b答案 AD解析 设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s a ＋s b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b .∵b ＞a ＞0，∴v ＝2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab ；另一方面，v ＝2ab a ＋b ＜2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22a ＋b＝a ＋b 2，v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a ，则a ＜v ＜ab .故选AD. 23．(多选)(2022·河北石家庄第一中学高三上教学质量检测(一))以下结论正确的是( )A ．x 2＋1x 2≥2B ．x 2＋3＋1x 2＋3的最小值为2 C ．若a 2＋2b 2＝1，则1a 2＋1b 2≥3＋2 2 D ．若a ＋b ＝1，则1a ＋1b≥4 答案 AC解析 对于A ，x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2，当且仅当x 2＝1时等号成立，故A 正确；对于B ，x 2＋3＋1x 2＋3≥2x 2＋3·1x 2＋3＝2，当且仅当x 2＋3＝1时等号成立，但x 2＋3≥3≠1，故B 错误；对于C ，1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2·(a 2＋2b 2)＝3＋2b 2a 2＋a 2b 2≥3＋22，当且仅当a 2＝2－1，b 2＝2－22时等号成立，故C 正确；对于D ，当a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋a b ＋b a ≥4，但当a ＋b ＝1时，不一定有a ＞0，b ＞0，故D 错误．故选AC.24．(多选)(2022·辽宁葫芦岛协作校高三上第一次考试)下列函数中，最小值为9的是( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x B ．y ＝1sin 2x ＋4cos 2xC ．y ＝lg x ＋4lg x －5D ．y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2答案 AB解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＝5＋x 2＋4x 2≥5＋24＝9，当且仅当x 2＝2时，等号成立．y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝5＋cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ≥5＋24＝9，当且仅当tan 2x ＝12时，等号成立．当lg x －5小于0时，y ＝lg x ＋4lg x －5无最小值．y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2＝4（2x 2＋1）（x 2＋2）（x 2＋1）2≤4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x 2＋1）＋（x 2＋2）22（x 2＋1）2＝9，当且仅当x 2＝1时，等号成立，则y ＝（2x 2＋1）（4x 2＋8）（x 2＋1）2的最大值为9.故选AB. 25．(2022·福建晋江磁灶中学高三上阶段测试(一))若lg x ＋lg y ＝0，则4x ＋9y 的最小值为________．答案 12解析 因为lg x ＋lg y ＝0，所以xy ＝1(x >0，y >0)，所以4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12.等号成立的条件为4x ＝9y ，即x ＝32，y ＝23时取得最小值．26．(2022·河北正定中学高三开学考试)已知x ，y >0，且1x ＋3＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为________．答案 5解析x ＋y ＝2[(x ＋3)＋y ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3＋1y －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋3＋x ＋3y －3≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋3·x ＋3y －3＝5，当且仅当y x ＋3＝x ＋3y ，即x ＝1，y ＝4时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为5.一、高考大题1．(2022·全国Ⅲ卷)设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1.(1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34.证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2). 由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0.∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝（b ＋c ）2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a≥34，即max{a，b，c}≥34.2．(2022·全国Ⅰ卷)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc ＝1a＋1b＋1c.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33（a＋b）3（b＋c）3（c＋a）3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ca)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.二、模拟大题3．(2022·福建龙岩高三检测)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.(1)求1x ＋1y 的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由.解 (1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x＋1y 的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y ).又x ，y ∈(0，＋∞)，所以0<x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.4．(2022·广东省珠海市高三模拟)某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值(不含运费)成正比，比例系数为k ，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元．(1)求k 的值；(2)请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应的最少费用．解 (1)由题意，当每批购入400台时，全年的运费为400×3600400＝3600(元)，每批购入的电视机的总价值为400×2000＝800000(元)，所以保管费为k·800000(元).因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以3600＋k·800000＝43600，解得k＝0.05.(2)设每批进货x台，则运费为400×3600x ＝1440000x，保管费为0.05×2000x＝100x.所以支付运费与保管费的和为1440000x＋100x，因为1440000x ＋100x≥21440000x×100x＝24000，当且仅当1440000x＝100x，即x＝120时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元．5.(2022·江苏镇江模拟)某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且点P在斜边BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10，20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为37kS元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS元(k为正常数).(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围；(2)写出总造价T 与面积S 的函数关系式；(3)如何选取|AM |，才能使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?解 (1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |tan ∠PCM ＝3(30－x )，∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝3x (30－x )，x ∈[10，20]，由x (30－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝225， 可知当x ＝15时，S 取得最大值，为2253，当x ＝10或20时，S 取得最小值，为2003，∴2003≤S ≤2253，即S 的取值范围为[2003，2253].(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k S ，又△ABC 的面积为12×30×303＝4503，∴草坪造价T 2＝12k S(4503－S ). ∴总造价T ＝T 1＋T 2＝25k ⎝⎛⎭⎪⎫S ＋2163S ， 2003≤S ≤225 3.(3)∵S ＋2163S≥1263，当且仅当S＝2163，S即S＝2163时等号成立，此时3x(30－x)＝2163，解得x＝12或x＝18.∴选取|AM|为12米或18米时，能使总造价T最低．。

一、选择题1．不等式2122x x a a ++-≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3-B ．][),33,(-∞⋃+∞C ．(),3-∞D ．()3,+∞）2．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4-3．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（ ） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n ++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m ++<<<++ 4．已知x y z >>，2x y z ++=，则（ ）A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数m 满足321(log (211))(log )2f m f -+>，则m 的取值范围是( )A ．13(,)(,)22-∞-+∞） B ．3(,)2-∞ C ．1(,)2-+∞ D ．13(,)22-6．若0,a b <<则下列不等关系中，不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．2233a b >D ．22a b >7．已知1a >，实数,x y 满足x y a a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11x y x y+>+ B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >8．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>；②a b a b -<+；③2(0)b a ab a b+≠；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( )A ．01a b<< B ．a b c c > C ．0ac bc -<D ．ln0ab> 10．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 211．2x ≤是11x +≤成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件12．给出以下四个命题：（ ） ①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．15．若关于x 的不等式()4log 22(0x x a a -++>>且1)a ≠恒成立则a 的取值范围是_________. 16．不等式41xx 的解集是________17．已知a b R ∈，，写出不等式a b a b a b +≤++-等号成立的所有条件_________18．不等式252x xy -<-对任意[]1,2x ∈都成立，则实数y 的取值范围为______；19．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为_____________． 20．若a ＞0，b ＞0，则lg 12a b +⎛⎫+⎪⎝⎭________12 [lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．(选填“≥”“≤”或“＝”) 三、解答题21．已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()2f x ≤的解集A ；（2）若不等式2()2f x x x m ≤+-对x A ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 22．已知函数2()|3|9f x x a x =-+-+ （1）2a =时，解关于x 的不等式()0f x >；（2）若不等式()0f x ≤对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.23．已知函数()54f x x x =-++. （1）求不等式()12f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()13210af x ---≥恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数(),f x x a a R =-∈ (I)当1a =时，求()11f x x ≥++的解集；(II)若不等式()30f x x +≤的解集包含{}1x x ≤-，求a 的取值范围． 25．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -． 26．求下列关于x 的不等式的解集 （1）|21|3x x +>-； （2）2|5|5x x -．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用绝对值三角不等式求得12x x ++-的最小值，由此可得出关于实数a 的不等式，进而可解得实数a 的取值范围. 【详解】由绝对值三角不等式可得()()12123x x x x ++-≥++-=，当12x -≤≤时等号成立，由于不等式2122x x a a ++-≥-恒成立，则223a a -≤，解得13a -≤≤. 因此，实数a 的取值范围是[]1,3-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用绝对值不等式恒成立求参数，考查了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.2．C解析：C【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．3．A解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a m b b m ba bm ab am a a m a a m a a m ， 因为0,0a b m >>>，所以()()0-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n，()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ， 因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+， 所以b b m a n a a a m b n b ++<<<++。

高一（上）数学期末专题复习二：基本不等式知识梳理：1、若,a b R ∈，则222a b ab +≥ ，当且仅当a b =时等号成立；2、若,a b R +∈, 则a b +≥ , 当且仅当a b =时等号成立；3、若 ,a b R +∈, ,a b S ab P +==,则⑴如果P 是定值，那么当且仅当a b =时，S 的值最小；⑵如果S 是定值，那么当且仅当a b =时，P 的值最大4、两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数5、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 6．含绝对值的不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，具体训练：（一）利用基本不等式求最值若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是________．（二）利用基本不等式证明不等式1．设a 、b 是正实数， 以下不等式①ab >2ab a ＋b；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2； ④ab ＋2ab>2恒成立的序号为 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④2．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8. （三）基本不等式的实际应用为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？（四）基本不等式的综合应用已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 学案答案：（一）解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋ 2.当且仅当b ＝22a 时取等号，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1. 答案：f (x )＝(22－2)x ＋1＋1（二）1解析：∵a 、b 是正实数，∴①a ＋b ≥2ab ⇒1≥2ab a ＋b ⇒ab ≥2ab a ＋b.当且仅当a ＝b 时取等号，∴①不恒成立；②a ＋b >|a －b |⇒a >|a －b |－b 恒成立；③a 2＋b 2－4ab ＋3b 2＝(a －2b )2≥0，当a ＝2b 时，取等号，∴③不恒成立；④ab ＋2ab ≥2 ab ·2ab＝2 2>2恒成立． 答案：D2证明：∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝(1－a )(1－b )(1－c )abc＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． （三）(1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， ×8＋16x x(元)， ∴2010年的利润y ＝x ·－(8＋16x )－m＝－[16m ＋1＋(m ＋1)]＋29(元)(m ≥0)． (2)∵m ≥0，∴16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤29－8＝21，当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3，y max ＝21. ∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．（四）解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2 2(x －a )·2x －a＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32. 答案：32基本不等式回家作业姓名：__________ 学号：___________1、已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____.2、已知R b a ∈,，则下列不等式不正确．．．的是（ ） A ．222a b ab +≥B ．222a b ab +≥-C ．22a b ab +≥ D ．222()22a b a b +≥+3、已知0,0a b >>，则11a b ++ ）A ．2B ．C ．4D ．5 4、三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．5、“18a =”是“对任意的正数x ，21a x x+≥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6、关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ）∈M ，0∈M ； B.2∉M ，0∉M ；∈M ，0∉M ； D.2∉M ，0∈M ．7、已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz 的最小值 ． 8、①对任意2,210x R x x ∈-+>；②“1x >且2y >”是“3x y +>”的充要条件；③ 函数y =2。

专题07基本不等式及其应用考点剖析....................................................................................................................................................................2（一）平均值不等式及其应用............................................................................................................................3（二）三角不等式................................................................................................................................................4过关检测....................................................................................................................................................................4A 组双基过关....................................................................................................................................................5B 组巩固提高....................................................................................................................................................7C 组综合训练....................................................................................................................................................9D 组拓展延伸 (15)（一）知识回顾1.分式不等式的解法；2.一元二次不等式的解法；3.绝对值不等式的解法.（二）引入1.给一根长度给定的铁丝，围成的各种封闭图形中，何时面积最大？2.如果长度为16，围成的的矩形中，何时面积最大？二、知识梳理【难度系数：★★★参考时间：15min 】（一）平均值不等式及其应用1.常用不等式对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立.证明：2222()a b ab a b +-=-2222()02()0a b a b a b ab a b a b ⎫=-=⇒+≥⎬≠->⎭当时当时，，证明：2022a b +-=≥ 2a b+∴≥当且仅当a b =时，2a b+=综上，对任意正数a 和b ，有2a b+≥.【注】①我们称2a b+为正数a 和b 为正数a 和b 的几何平均值，因而，此不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值.②222a b ab +≥和2a b+≥成立的条件是不同的：前者只要求a 和b 都是实数，而后者要求a 和b 都是正数.③“当且仅当”的含义是充要条件.④平均值不等式的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为a b +的线段为直径作圆O ，在直径AB 上取点C ，使AC a =，CB b =，过点C 作垂直于直径AB 的弦DE ，那么2CD CA CB =⋅，即CD =，这个圆的半径为2a b OD +=，显然OD CD ≥，即2a b+≥，当且仅当点C 与圆心O 重合，即a b =时取等.（二）三角不等式根据三角形中两边之和大于第三边的事实，我们可以类比得到下面的不等式：证明：因为a b a b +≥+等价于22()()a b a b +≥+，即22222||2b ab a b ab a ++≥++，也即ab ab 2||2≥，所以三角不等式成立，当且仅当0ab ≥时等号成立.考点剖析（一）平均值不等式及其应用例1.已知0>x ，求证：21≥+xx ，并指出等号成立的条件.例2.已知0ab >，求证：2b aa b+≥，并指出等号成立的条件.例3.设R x ∈，求二次函数)4(x x y -=的最大值.于是，当且仅当x x -=4，即2=x 时，y 取得最大值4.例4.设a 、b 为正数，且12=+b a ，比较ab 的值与81的大小.例5.证明：（1）在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；（2）在面积相同的所有矩形中，正方形的周长最小.证明：（1）设矩形的周长为常数l （0>l ），其长、宽分别为x 、y （0>x ，0>y ），则l y x =+22.（2）设矩形的面积为常数S （0>S ），其长、宽分别为x 、y （0>x ，0>y ），则S xy =.S ，，即矩形为正方形时，周长l 取得最小值S 4.例6.某新建居民小区欲建一面积为7002m 的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3m ，短边外人行道宽4m .如图所示，问如何设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小.人行道的占地面积为S 2m .（二）三角不等式例7.已知a 、b 为实数，求证：||2||||a b a b a ≥-++.【解析】证明：因为()()2a b a b a ++-=，由三角不等式，有|2||)()(|||||a b a b a b a b a =-++≥-++，所以||2||||a b a b a ≥-++.例8.已知,a b 为实数，求证：a a b ≤-，并指出等号成立的条件.由三角不等式，有|||)(|||||a b b a b b a =+-≥+-，所以||||||b a b a -≤-，当且仅当0)(≥⋅-b b a ，即2b ab ≥时等号成立.例9.证明：2|5||3|≥-+-x x 对所有实数x 恒成立，并求等号成立时x 的取值范围.【解析】证明：因为|5||5|x x -=-，由三角不等式，有2|)5()3(||5||3||5||3|=-+-≥-+-=-+-x x x x x x ，所以2|5||3|≥-+-x x ，当且仅当0)5)(3(≥--x x ，即53≤≤x 时等号成立.因此，2|5||3|≥-+-x x 对所有实数x 恒成立，且当且仅当]5,3[∈x 时等号成立.过关检测A 组双基过关【难度系数：★时间：8分钟分值：20分】1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设x ∈R ，对于使22x x M -+≤恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界．若,(0,)a b ∈+∞，且1a b +=，则122a b--的上确界为（）A ．2-B ．92-C ．52-D ．12-立，则实数k 的最大值是．为.对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数a的取值范围．6．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知a，b都是正数，则b a b+的最小值为．a b所以22a b a b +<+，所以a b +最大.B 组巩固提高【难度系数：★★时间：10分钟分值：20分】8．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s （单位：万元）与生产线运转时间t （单位：年）满足二次函数关系：224098s t t =-+-，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t 为（）年．A ．7B ．8C ．9D ．109．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，关于x 的不等式的解集为M ，设N M =Z I ，当a 变化时，集合N 中的元素个数最少时的集合N 为．10．（23-24高一上·上海·期末）设a 、b 为正数，且21a b +=，则ab 18（填“≤，≥，<，>”）【答案】≤最大值为.的最大值为.13．（23-24高一上·上海·期末）已知实数,x y 满足322x y y x x y -+-=-且0y ≠，则y的最小值是是．为.的最大值是．C组综合训练【难度系数：★★★时间：15分钟分值：30分】17．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a ，b ，有a b a b -≤-，且等号当且仅当（）成立．A ．0ab ≤B ．()0a ab -≥C ．0ab ≥D ．()0b a b -≥18．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知0a >，0b >，若21a b +=，则a b+的最小值为（）A ．7B ．9C ．11D ．13是；的最小值，即可根据有解转化成最值问题即可求解图像的上方，则m 的取值范围为．21．（22-23高一上·上海·期末）已知12a b ≤≤≤，记3b a+的最大值为M ，最小值为m ，则22M m -=．垂足为D ，设BD 及CD 的长度分别为a 和()b a b ≠，E 是BC 的中点，点B 绕点E 顺时针旋转90 后得到点F ，过D 点作DH 垂直于AE ，且垂足为H ．有以下三个命题：①由图知AD AE <2a b+<；②由图知AH AD <，即可以得到不等式2aba b<+；③由图知FE FD <，即可以得到不等式2a b +<以上三个命题中真命题的是.（写出所有正确命题的序号）23．（23-24高一上·上海·期末）已知0x >，2y >，且112a x y +=-，若x y +的最小值为4，则实数a 的值为.1122()1212,d P Q x x y y =-+-．(1)若点(),A x y 在函数21y x =-图像上，点B 的坐标为()0,1，求满足(),3d A B ≥的x 的集合；(2)若()()1,3,2,5A B ，点(),C x y 是直角坐标平面上的任意一点，求()(),,d A C d B C +的最小值，并指出取得最小值时的点(),C x y 的集合．（2）证明：24215x x -++≥对所有实数x 恒成立，并指出等号成立时x 的取值范围．(1)比较33+a b 与22a b b a +的大小；(2)若1a b +=，求22a b b a+的最小值．D 组拓展延伸【难度系数：★★★时间：20分钟分值：30分】27．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数0k >，则3223333141422k kk k +⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为．=范围为．29．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a ，b 满足1a b +=，求a b+的最小值.其中一种解法是：()12121b a b a b a b a ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭223a b +++≥当且仅当2b aa b=且1a b +=时，即1a =且2b =时取等号.学习上述解法并解决下列问题：(1)若正实数x ，y 满足1x y +=，求23x y+的最小值；(2)若实数a，b，x，y满足22221x ya b-=，求证：()2 22a b x y-≤-；(3)求代数式M=M最小的m的值.1122定义为()1212,D A B x x y y =-+-，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离．在初中时我们学过的两点之间的距离公式是A B =直线距离．(1)已知,A B 两个点的坐标为(2,1A x ，()3,2B ，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么x 的取值范围是多少？(2)已知,A B 两个点的坐标为(),A x a ，()3,B x ，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么a 的取值范围是多少？(3)若点(),A x y 在函数3log y x =图象上且Z x ∈，点B 的坐标为()9,1，求(),D A B 的最小值并说明理由．。

一、选择题1．已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．12．若对于任意的x ＞0，不等式231x a x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥15 B ．a ＞15 C ．a ＜15 D ．a ≤153．若关于x 的不等式13x x m -++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是 A ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞B ．(,4)(1,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．[4,1]- 4．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（ ） A ．m n = B ．m n < C ．m n > D ．m 、n 关系不确定 5．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b <B ．ac bc ≥C ．20c a b >- D ．()20a b c -≥ 6．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b > D ．1a b b>+ 7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A b a <B ．33a b b a -<-C ．lg lg a b b a -<-D ．lg lg a b b a ->-8．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（） A ．ac ＞bc B ．ac ＜bcC ． 22ac bc >D ． 22ac bc 9．不等式536x x -++≥的解集是 ( )A ．[]5,7-B ．(),-∞+∞C ．()(),57,-∞-+∞D ．[]4,6- 10．若()0,2x π∈，则不等式sin sin x x x x +<+的解集为( ) A ．()0,π B ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．(),2ππ11．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 212．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是（ ）A ．若,,a b c d >>则a c b d +>+B ．22a b ac bc >>若，则C ．若,a b >则11a b< D ．若,,a b c d >>则ac bd > 二、填空题13．已知函数()21f x x x =--，若对任意的实数x 有()()()1f x t f x t R +-≤∈成立，则实数t 的取值范围是______.14．已知函数()|||2|f x x a x =++-．若()|4|f x x ≤-的解集包含[]1,2，则实数a 的取值范围为__________．15．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是_____ 16．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 17．设集合{132}A x x x =-<-，集合1{1}B xx =<，则A B =________. 18．若2,3a b >>，则1(2)(3)a b a b ++--的最小值为________. 19．已知|a ＋b|＜－c(a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式：①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a|＜|b|－c ；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)．20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11a c c a+++的最小值为_____． 三、解答题21．已知0a >，0b >，23a b +=.（1）求 22a b +的取值范围；（2）求证：3381416a b ab +≤. 22．已知函数()12f x x x =--+.（1）求不等式()2f x ≤的解集A ；（2）若不等式2()2f x x x m ≤+-对x A ∈恒成立，求实数m 的取值范围.23．已知函数()54f x x x =-++.（1）求不等式()12f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()13210a f x ---≥恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知()|2||21|f x x x =+--，M 为不等式()0f x >的解集.（1）求M ；（2）求证：当,x y M ∈时， ||15x y xy ++<.25．已知()12f x x x =-+-.（1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立. 26．当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22+px qy 的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】 考虑12x =，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值． 【详解】 函数()()1,f x ax b a b R x=++∈，当1[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ， 可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++，11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++， 可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++ 211124113363332a b a b a b ≥+++++---=， 即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为14， 故选：B【点睛】 关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，熟练掌握绝对值的三角不等式. 2．A解析：A【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解.由题：对于任意的x ＞0，不等式231x a x x ≤++恒成立， 即对于任意的x ＞0，不等式113a x x ≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以113x x++的最大值为15， 所以15a ≥. 故选：A【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.3．A解析：A【解析】 由于13x x m -++>表示数轴上的x 对应点到1和m -的距离之和，它的最小值等于1m +，由题意可得13m +>，解得 2m >，或4m <-，故实数m 的取值范围是为()(),42,-∞-⋃+∞，故选A.4．C解析：C【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--，两式作差即可得大小关系.【详解】 (21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--,2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知，2(2)0m n a -=+>， m n ∴>，故选：C【点睛】本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题.5．D【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解.【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b >A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确；C . 若0c ,则20c a b=-，故本选项不成立； D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥故选：D【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.6．D解析：D【分析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结合选项A ，判断选项C 正确； 令5,a =3b =，满足||1a b >+，1a b b>+不成立. 【详解】 ||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+，A 一定成立；||11a b b >+≥+122a b +⇒>，B 一定成立；又212||b b +≥，故24||4a b b >≥，C 一定成立；令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立.故选:D.【点睛】本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题. 7．C解析：C【分析】考虑到,C D 中不等号方向，先研究C ，D 中是否有一个正确。

知识梳理与应用主要考察一：三角不等式的应用对任意实数a 、b 有||||||a b a b +≤+，当且仅当0ab ≥时等号成立. 基础：应用三角不等式求最值【例1】（2020·上海高三专题练习）★★☆☆☆对于实数x ，y ，若|1|1x -≤，|2|1y -≤，则|21|x y -+的最大值为( ).A ．5B ．4C ．8D ．7【答案】A【解析】由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x -1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y -2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.进阶：应用三角不等式解决不等式恒成立（或有解）问题【例2】（2020·上海市南洋模范中学高一月考）★★★☆☆x 为实数，且|5||3|x x m -+-<有解，则m 的取值范围是( ).A ．1m >B ．1m ≥C ．2m >D ．2m ≥【答案】C【详解】 53x x m -+-<有解，只需m 大于53x x -+-的最小值，532x x -+-≥，所以2m >，53x x m -+-<有解．故选C ．第4讲基本不等式【例3】（2020·上海市新场中学高一期中）★★★☆☆【答案】7a <【详解】因为43x x a -++>恒成立，所以()min |4||3|x x a -++>，因为|4||3||(4)(3)|7x x x x -++≥--+=，所以7a <.故答案为：7a <【练习】1、（2021·上海杨浦区高一期末）★★☆☆☆【答案】4【详解】因为()37374f x x x x x =-+-≥-+-=,当37x ≤≤时，取等号，所以()f x 的最小值为4故答案为：4【练习】2、（2018·上海市七宝中学高一月考）★★★☆☆【答案】3t <【详解】因为|1||2||12|3x x x x +--≤+-+=，又关于x 的不等式|1||2|x x t +-->有解，所以max |1||2|3x x t t +-->∴<（）故答案为3t <【练习】3、（2021·上海中学高一）★★★☆☆【答案】7a >或1a <-【详解】因为3333x a x x a x x a x a -+-=-+-≥-+-=-，当且仅当3x a x -=-时取等号，即当32a x +=时取等号， 所以3x a x -+-最小值是3a -，要想不等式34x a x -+->对一切实数x 恒成立， 只需34a ->，解得7a >或1a <-.主要考察二：应用平均值不等式求最值常用不等式：对于任意,a b R ∈，有222a b ab +≥，2()2a b ab +≥当且仅当a b =时等号成立. 基础：直接型【例4】（2021·上海市川沙中学高一期末）★☆☆☆☆【答案】2【详解】0x >，12y x x =+≥， 当且仅当1x =时，取“=”，以1y x x=+的最小值为2， 进阶1：凑配型【例5】（2017·上海市宝山中学高一期中）★★☆☆☆【答案】5.【详解】因为0x <，所以0x ->，所以44()11()15f x x x x x =--=+-+≥+-， 当且仅当4x x-=-，即2x =-时等号成立， 故答案为：5.【例6】（2020·上海市洋泾中学高一期中）★★★☆☆【答案】4【详解】当2x >时，122x x +-12(2)42x x =-++-4≥4=，当且仅当2x =+时等号成立. 进阶2：“1的妙用”【例7】（2021·上海长宁区高一期末）★★★☆☆【答案】1【详解】因为a 、b 都为正数，所以有：111111114()()()(2)(214444b a a b a b a b a b ⨯⋅+=+⋅+=⋅++≥⋅+=， 当且仅当b a a b=时取等号，即2a b ==时取等号， 故答案为：1.【例8】（2021·上海市奉贤高三二模）★★★★☆【答案】2【详解】 令2019a x +=，2020b y +=，则2019x >，2020y >且4042x y +=，∴1()14042x y +=，∴202120211111120212021()201920204042x y a b x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1111222y x x y ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭≥， 当且仅当y x x y=取等号，即2021,2,1x y a b ====时成立. 故答案为：2【例9】（2020·上海高一专题练习）★★★☆☆【答案】9【详解】 依题意2220,0,0x y z >>>，且2221x y z ++=， ()222222222111111++++x y z x y z x y z ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭ 2222222222223y z x z x y x x y y z z=++++++3369≥++=. 当且仅当22213x y z ===时等号成立. 故答案为：9【例10】（2018·上海格致中学高一期中）★★★☆☆【答案】9【详解】由20x y xy +-=可得122,1x y xy x y+=+=,122(2)()52()5229y x x y x y x y x y+=++=++≥+⨯=, 当且仅当3x y ==时，等号成立, 所以2x y +的最小值为9.故答案为:9【练习】（2021·辽宁沈阳市·高三一模）★★★☆☆【答案】16【详解】因为4914911691(4)404016444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当169b a a b =，即31,4a b ==时等号成立， 所以49a b +的最小值为16.进阶3：和积共存等式，求最值 【例11】（2020·华东师范大学第一附属中学高一期中）★★★☆☆【答案】[6,)+∞【详解】化简得：3x y xy ++=因为：0,0x y >>，由均值不等式得：232x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 令x y t +=，则232t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭．化简得24120t t --≥ 解得6t ≥或2t ≤-（舍去），所以x y +的取值范围为[6,)+∞.故答案为：[6,)+∞.【例12】（2017·上海市进才中学高一期中）★★★☆☆【答案】18.【详解】因为a ，b R *∈，所以2a b +≥而230a ab b ++=，所以有30ab -≥于是有000ab ≤⇒->∴所以ab 的最大值为18.【练习】（2019·上海中学高三开学考试）★★★☆☆【答案】3【详解】试题分析：因为,x y 为正实数,且24xy x y ++=，设0x y k +=>，则y k x =-代入已知式得()240x k x x k x -++--=，整理得2(1)40x k x k -+-+=，关于x 的方程有解，所以2[(1)]4(4)0k k ∆=-+-⨯-≥，解之得：3k ≤--3k ≥，又因为0k >，所以3k ≥，即x y +的最小值为3．考点：方程与不等式．*平均值不等式的拓展1、三元算术-几何平均值不等式【例13】（编者精选）★★★★★【详解】11312c a b c a b c a b c c a b c c+++=++-++≥=-=【练习】（编者精选）★★★☆☆【答案】3【详解】2x y +3x x y =++≥=，当且仅当1x y ==时等号成立.2、平均值不等式211a b+分别叫做这两个数的平方平均值和调和平均值. 【例14】（编者精选）★★★☆☆【答案】32【详解】2xy x y =+即2411x y=+211x y +得2232x y +≥，当且仅当4x y ==时等号成立.1、（2020·上海曹杨二中高一月考）★★★☆☆【答案】5 【详解】由,0x y >满足35x y xy +=，可得315x y+=， 则311134(34)()(13123)55y x x y x y y x yx +=⋅++=++⨯11(13(1312)555≥⋅+=+=，当且仅当123y x x y =时，即21x y ==时等号成立，所以34x y +的最小值是5.故答案为：5.2、（2021·上海浦东新区高三二模）★★★★☆【答案】)2,⎡+∞⎣【详解】由202120200a b ab +-=得202120201b a += 2020202188m n a b ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭则111n m m n mn m n m n mn ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2221()16522m n m n mn mn mn mn mn mn++++=+=+-=+- 令22(8)8(4)16t mn m m m m m ==-=-+=--+(]08,0,16m t <<∴∈116565222652m n mn t m n mn t ⎛⎫⎛⎫∴++=+-=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当65t t=，即t =即11()()m n m n +⋅+的取值范围为)2,⎡+∞⎣故答案为：)2,⎡+∞⎣。

一、选择题1．设0,0a b >>，若4a b +=.则49a b+的最小值为（ ） A ．254B ．252 C ．85D ．1252．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a ba b+--的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．83．已知2244x y +=，则2211x y +的最小值为（ ） A ．52B ．9C ．1D ．944．设x ，y R +∈，1x y +=，求14x y+的最小值为（ ）． A ．2B ．4C ．8D ．95．若实数x ，y 满足约束条件21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．1-B ．2C ．3D ．46．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6-7．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．108．设,x y 满足约束条件0{4312x y xx y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．2,6C ．[]2,10D ．[]3,119．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+10．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b< B ．a 2＞b 2 C ．a 3＞b 3 D ．a b b a> 11．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则AB =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥-12．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c |二、填空题13．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________． 14．已知不等式24xa x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 15．已知1,1,1,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩当z x y =+取到最小值时，xy 的最大值为________.16．已知正实数,x y 满足x y xy +=，则3211x yx y +--的最小值为______． 17．已知ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =，AF xAB yAC =+，则xy 的最大值为________.18．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．19．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值为__________．20．某港口的水深y （米）随着时间t （小时）呈现周期性变化，经研究可用sincos66y a t b t c ππ=++来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则+a b的取值范围为_______．三、解答题21．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题： （1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值.甲给出的解法是：由2122x y xy +=≥，得22xy ≤，则1222228x y xy xy+≥=≥，所以12x y +的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法； （2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值. 22．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）.A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元).（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；（2）在复工率为k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.23．已知函数()()21,4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围； （2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少． 25．已知2()(1)1f x ax a x =+--（1）若()0f x >的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求关于x 的不等式301ax x +≤-的解集； （2）解关于x 的不等式()0f x ≥.26．已知函数f （x ）＝ax 2﹣（4a +1）x +4（a ∈R ）.（1）若关于x 的不等式f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}，求实数a ，b 的值； （2）解关于x 的不等式f （x ）＞0.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式可得最小值． 【详解】0,0,4a b a b >>+=()(4914914912513134444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当49b aa b =，即812,55a b ==时取等号. 故选：A ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2．C解析：C 【分析】 化简得出441511a b a b b a +=+---，将代数式14a b+与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得411a b a b+--的最小值. 【详解】已知正数a 、b 满足1a b +=，则()414141511b a ba ab b a b a--+=+=+---()41454a b a b b a b a ⎛⎫=++-=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2b a =时，等号成立， 因此，411a ba b+--的最小值是4. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D 【分析】利用22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y=，即2242,33x y ==时等号成立．故选：D ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．4．D解析：D 【分析】由“1”有代换利用基本不等式可得最小值． 【详解】因为x ，y R +∈，1x y +=， 所以141444()5529x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即12,33x y ==时，等号成立．故选：D ． 【点睛】易错点睛：本题考查用基本不等式求最小值．解题关键是利用“1”的代换凑配出定值．用基本不等式求最值必须满足三个条件：一正二定三相等．特别是相等这个条件常常会不满足，因此就不能用基本不等式求得最值．5．D解析：D 【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论. 【详解】画出约束条件210110x y x x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图所示，.目标函数2z x y =-，可化为2y x z =-， 由图象可知，当直线2y x z =-经过点A 时， 使得目标函数2z x y =-取得最大值， 又由10210x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得(3,2)A ，所以目标函数的最大值为2324z =⨯-=， 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中等题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．C解析：C 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可． 【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 由23z x y =-得到233z y x =-， 平移直线233zy x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ， 所以23z x y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=， 故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．7．B解析：B 【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法8．D解析：D 【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y xx y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.9．C解析：C 【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y tt（，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．4y ≥=， 当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．10．C解析：C 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11a b>，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， a bb a=，故D 错误；故选C. 11．C解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 2<b 2，排除A 、B ； 因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的；当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.二、填空题13．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键解析：9 【分析】由已知结合基本不等式a b +≥ 【详解】30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-,a b为正实数，a b ∴+≥a b =时取等号，3ab ∴-≥30ab ∴-≥，即)310≥3≥1≤-（舍去），9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已算能力，属于基础题．14．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解解析：1[,)4+∞.【分析】利用基本不等式求得24xx +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】因为[]1,3x ∈，则211444x x x x =≤=++，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立， 即24xx +在[]1,3x ∈的最大值为14， 又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞.故答案为：1[,)4+∞.【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24xx +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【分析】根据约束条件作出可行域将目标函数变形为通过平移可知当直线与直线重合时取得最小值再利用基本不等式求解即可【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域如图所示：将目标函数变形为由图可知当直线与直线重解析：14【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为y x z =-+，通过平移可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，再利用基本不等式求解即可.【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，由图可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，此时1x y +=， 所以21()24x y xy +≤=，当且仅当x y =且1x y +=，即12x y ==时等号成立. 所以xy 的最大值为14. 故答案为：14【点睛】本题主要考查简单线性规划问题中的目标函数最值问题及基本不等式，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义.16．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才解析：526+ 【详解】正实数,x y 满足x y xy +=，1111132321111111111x y x y x y x y x y yx ⎧=-⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨--⎪--=-⎪⎩ 故得到113121323211=5++5+26111111x 1111y x y x x y y x y x y⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=++≥------（）（）112131-y x ⎫⎫-⎪⎪⎭⎭. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17．【分析】首先根据平面向量的线性运算表示出再根据向量相等得到最后利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为DE 分别为ABAC 的中点所以又所以由所以当且仅当时取等号；故答案为：【点睛】本题考查平面向量基本解析：116【分析】首先根据平面向量的线性运算表示出()11122AF t AB AC =-+，再根据向量相等得到12x y +=，最后利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =， 所以()12AF AD DF AD tDE AB t AE AD =+=+=+- ()11111122222AB t AC AB t AB AC ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭ 又AF xAB yAC =+，所以()11212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由12x y +=所以21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当14x y ==时取等号； 故答案为：116【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.18．【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单的线性规解析：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】 作出可行域，yx表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解. 【详解】如图，不等式组201030yx yx y-⎧⎪--⎨⎪+-⎩表示的平面区域ABC（包括边界），所以yx表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B，，所以122OA OBk k==，，故1,22yx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.19．2【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】画出表示的可行域如图由可得将变形为平移直线由图可知当直经解析：2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出3310x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩约束条件表示的可行域，如图，由10330x y x y --=⎧⎪⎨⎪+-=⎩可得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩， 将z x y =+变形为y x z =-+，平移直线y x z =-+， 由图可知当直y x z =-+经过点31,22⎛⎫⎪⎝⎭时， 直线在y 轴上的截距最小， 最大值为31222z =+=，故答案为2. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.20．【分析】由已知结合辅助角公式可求然后结合基本不等式即可求解【详解】由题意可知（为辅助角）由题意可得故由解得故答案为【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用属于中档题解析：⎡⎢⎣⎦【分析】由已知结合辅助角公式可求2294a b +=，然后结合基本不等式22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】由题意可知sincos666y a t b t c t c πππθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，（θ为辅助角）由题意可得3=，故2294a b +=， 由2229228a b a b ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，解得a b ≤+≤故答案为⎡⎢⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）最小值为5+ 【分析】（1）本题可通过两次基本不等式取等号的情况不能同时成立判断出甲的解法错误，然后将12x y+转化为2214y xx y +++，通过基本不等式即可求出最值；（2）本题首先可令x m =、12x n -=，将题意转化为“已知21m n +=，求min13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”，然后将13+m n 转化为65n m m n ++，通过基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）甲的解法错误，原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立. 正确解法：()12122221459y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当13x y ==时等号成立. （2）令x m =，12x n -=，则0m >，0n >， 即可将“求函数()1312f x x x =+-最小值”转化为“已知21m n +=，求min13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”， 因为()13136255n mm n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭m =立，所以当x =时，函数()1312f x x x =+-取最小值，最小值为5+【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 22．（1）3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈；（2）4；（3）0.65 【分析】（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案； （2）由()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦，进而结合基本不等式求出()4544kx x +++的最小值，此时y 取得最大值，从而可求出答案； （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，可知36018082004kk x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，利用参变分离，可得()()20841802x x k x ++≥+，求出()()20842x x x +++的最大值，令()()max20841802x x k x ++⎡⎤≥⎢⎥+⎣⎦，即可得出答案. 【详解】 （1）由题意，80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--123068204k x x ⎛⎫=⋅--- ⎪+⎝⎭3601808204kk x x =---+，即3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈. （2）()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦， 因为[0,10]x ∈，所以4414x ≤+≤，所以()4544kx x ++≥=+4544k x x+=+，即4x =时，等号成立.所以()451801284180124k y k x k x ⎡⎤=+-++≤+-⎢⎥+⎣⎦， 故政府补贴为4万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为18012k +-.（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，则36018082004kk x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，不等式整理得，()()20841802x x k x ++≥+，令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()208484288202x x m m m x mm++++==+++，由函数()8820h m m m=++在[]2,12上单调递增，可得()()max 821281*********h m h ==⨯++=+， 所以21801163k ≥+，即211630.65180k +≥≈. 所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损.【点睛】本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 23．（1）()2111424f x x x =++；（2）答案见解析. 【分析】 （1）由题得104a b -+=，20b a =-≤△且0a >，化简即得,a b 的值，即得函数的解析式；（2）由题得220cx x c -+<，再对c 分类讨论解不等式. 【详解】（1）()1104f a b -=-+=， 因为()0f x ≥恒成立，则20b a =-≤△且0a >，即221110,0,444a a a a ⎛⎫⎛⎫+-≤∴-≤∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12b =， ()2111424f x x x ∴=++ （2）()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即22111131424424x x c x x c ⎛⎫⎛⎫++>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 220cx x c ∴-+<当0c 时：解得0x >；当0c >时：244c =-故当1c ≥时：2440c =-≤，不等式无解；故当1c <时：2440c =->x <<综上所述，0c，不等式解集为0,；1c ≥时，不等式解集为∅；01c <<时，不等式解集为11c c ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查二次函数的解析式的求法，考查二次不等式的恒成立的问题，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 24．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ． 【分析】（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽. 【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭， 由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得：4400x <<； （2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=，当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立．因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ． 【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题． 25．（1）3(,1),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）当0a =时，解集为(,1]-∞-，当0a >时，解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，当1a <-时，解集为11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1a =-时，解集为{}1-，当10a -<<时，解集为1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据不等式的解与方程的根的关系，利用韦达定理列出方程组，求得a 的值，代入求得不等式的解集.（2）对参数a 分情况讨论，分别求得不等式的解集. 【详解】解：（1）由题意得11121112a a a -⎧--=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-⨯-=⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a =-，故原不等式等价于2301x x -+-，即(23)(1)010x x x --⎧⎨-≠⎩所以不等式的解集为3(,1),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.（2）当0a =时，原不等式可化为10x +≤，解集为(,1]-∞-; 当0a >时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭; 当0a <时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 当11a >-，即1a <-时，解集为11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; 当11a=-，即1a =-时，解集为{}1-; 当11a <-，即10a -<<时，解集为1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，意在考查学生的分类讨论思想及数学运算的学科素养，属中档题. 26．（1）-1,6；（2）答案见详解 【分析】（1）由f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}结合韦达定理即可求解参数a ，b 的值；（2）原式可因式分解为()()()14f x ax x =--，再分类讨论即可0,0,0a a a =<>，对0a >再细分为111,0,,,444a a a ⎛⎫⎛⎫=∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解. 【详解】（1）由f （x ）≥b 得()24140ax a x b -++-≥，因为f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}，故满足4112a a ++=，412b a-⨯=，解得1,6a b =-=； （2）原式因式分解可得()()14f x a x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当0a =时，()40f x x =-+>，解得(),4x ∈-∞；当0a <时，()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的解集为1,4x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 当0a >时，()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， ①若14a =，即14a =，则()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的解集为4x ≠； ②若14a <，即14a >时，解得()1,4,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭； ③若14a >，即104a <<时，解得()1,4,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解求解参数，分类讨论求解一元二次不等式，属于中档题.。