优化课堂秋高中数学第3章指数函数和对数函数章末综合检测北师大版必修1

一、选择题1．下列等式成立的是（ ）A ．222log (35)log 3log 5+=+B ．2221log 3log 32-=C ．222log 3log 5log (35)⋅=+D ．231log 3log 2= 2．形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是（ ）位数(参考数据：lg2≈0.3010).A ．8B ．9C ．10D ．113．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1,3]D ．[0,3] 4．函数()f x =的定义域是（ ） A ．(0,2) B ．[2,)+∞ C ．(0,)+∞ D ．(,2)-∞ 5．已知函数)()ln f x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6．已知0.20.33log 0.2,3,0.2a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a << 7．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=，则()()f x f x +-的最小值等于（ ）.A ．2B ．4C ．8D ．128．设0.34()5a =，0.254b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，125log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．b c a >> 9．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+，且()g b a =，则()2f 的值为（ ）A ．2aB ．2C ．154D ．174 10．设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（ ）．A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a b c >>D ．a c b <<11．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 12．函数32ln ||()x x f x x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数，则a 的取值范围是______. 14．72log 2338log 272lg 5lg 47-+++=______.15．已知函数()4sin 22x x f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______. 16．已知11225x x -+=22165x x x x --+-=+-______.17．如图，在面积为2的平行四边形OABC 中，AC CO ⊥，AC 与BO 交于点E .若指数函数()01x y a a a =>≠,经过点E ，B ，则函数()a f x x x=-在区间[]1,2上的最小值为________.18．函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为_______.19．设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是_____. 20．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题21．计算下列各式的值：（1）3224031168()281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()2log 1483log 3log 3log 22+⨯+. 22．已知函数()3lg 3x f x x+=-． （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．23．已知函数22()log (23).f x x x =-++（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）写出函数()f x 的单调增区间和减区间（不要求证明）.24．计算下列各式：（1）)()()03235232ππ--； （2）92log 2663log 4log 3.2++ 25．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x x f -<．26．已知函数()lg(3)f x ax =-的图像经过定点(2,0)．(1)求a 的值；(2)设(3),(5)f m f n ==，求21log 63（用,m n 表示）；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断．【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+，A 错误；22221log 32log 3log 32-=-≠，B 错误； 222log 3log 5log (35)⋅≠+，C 错误；3233log 31log 3log 2log 2==，D 正确． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则．log log log ()a a a M N MN +=，log log n a a b n b =，一般log ()log log a a a M N M N +≠+．log ()log log a a a MN M N ≠⋅， 1log log n a a b b n ≠． 2．C解析：C【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯，进而即可判断出其位数．【详解】根据题意，53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯，因为0.63211010<<，所以5F 的位数是10．故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是转化成对数运算，即3232lg 2210=. 3．D解析：D【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解.【详解】 由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 且()116416f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()10f =， 结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈， 所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解.4．A解析：A【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域.【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x << 所以函数的定义域是()0,2.故选：A .【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.5．D解析：D【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021，2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】 210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()ln ln f x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减， 102021202020120>=，202020201log log 102021<=， 2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()lnf x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较. 6．B解析：B【分析】 根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果【详解】因为33log 0.2log 10<=，0.20331>=，...030002021<<=，a cb ∴<<．故选：B ．【点睛】比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答 7．B解析：B【分析】根据()3x f x -为定值，可假设()3x f x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果.【详解】由题可知：()3x f x -为定值故设()3xf x m -=，即()3x f x m =+ 又[()3]4xf f x -=，所以()341m f m m m =+=⇒=则()31x f x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133x x =时，取等号 所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3xf x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题. 8．A解析：A【分析】根据指数函数、对数函数的 性质结合中间值0和1比较．【详解】 由指数函数性质得0.34015⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0.2514⎛⎫> ⎪⎝⎭，由对数函数性质得125log 04<， ∴b a c >>．故选：A ．【点睛】 本题考查比较幂与对数的，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键．解题方法是借助中间值比较大小．9．C解析：C【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x x f x g x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+x x g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .②+①②，得()24g x =，()2g x ∴=.(),2g b a a =∴=.()22﹣-∴=x x f x .22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．A解析：A【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】 解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>> 所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>=所以b a c <<故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.11．D解析：D【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案.【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ；当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C.故选：D.【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.12．A解析：A【分析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项．【详解】解：函数的定义域为{0}xx ≠∣， 因为3322()ln ||ln ||()()()x x x x f x f x x x -----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x x f x x x x-==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．二、填空题13．【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a 的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数 解析：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数2x ax a -+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,然后求解关于a 的不等式即可得到结果.【详解】令2t x ax a =-+,则原函数化为12()log g t t =,此函数为定义域内的减函数,要使函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数,则函数2t x ax a =-+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,即有232330a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩,解得92a ≤. 故答案为:9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【点睛】本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.14．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值 解析：32【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得.【详解】72log 2338log 2lg 5lg 47-+++()732log 232332log 32lg52lg 27=-++++ 34222=-+++ 32= 故答案为：32 【点睛】此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值. 15．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题解析：2019【分析】 观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解.【详解】因为()()()2442sin sin 222222x x f x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22019=⨯1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：2019.【点睛】 本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题. 16．【分析】对平方可得再平方可得即可求解【详解】两边同时平方得：所以对两边同时平方得：则故答案为：【点睛】此题考查指数式的化简求值进行整体变形处理利用平方关系得出等量关系解析：12- 【分析】对1122x x -+=13x x -+=，再平方可得227x x -+=，即可求解. 【详解】 1122x x -+=125x x -++=，所以13x x -+= 对13x x -+=两边同时平方得：2229x x -++=，227x x -+= 则22167615352x x x x --+--==-+--. 故答案为：12-【点睛】此题考查指数式的化简求值，进行整体变形处理，利用平方关系得出等量关系. 17．【分析】设点则点B 的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B 的坐标为∵∴∵平行四边形OABC 的面积又平行四边形OABC 的面积为2 解析：3-【分析】设点(),t E t a ，则点B 的坐标为()2,2t t a，由题意得22t t a a =，则2t a =，再根据平行四边形的面积求得12t =，由此得4a =，得函数()f x 的解析式，从而得函数()f x 的的单调性与最值．【详解】解：设点(),t E t a ，则点B 的坐标为()2,2t t a，∵22t t a a =，∴2t a =，∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==，又平行四边形OABC 的面积为2，∴42t =，12t =，所以122a =，4a =， ∴()4f x x x =-在[]1,2为增函数， ∴函数()f x 的最小值为()4111f =-=3-， 故答案为：3-．【点睛】 本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题． 18．【分析】先由求得函数的定义域然后令由复合函数的单调性求解【详解】由解得或所以函数的定义域为或因为在上递减在递减所以函数的单调递增区间为故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数 解析：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【分析】先由22530x x -->，求得函数的定义域，然后令2253t x x =--，由复合函数的单调性求解.【详解】由22530x x -->，解得 12x <-或 3x >， 所以函数()213log 253y x x =--的定义域为{1|2x x <-或 }3x >， 因为2253t x x =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，13log y t =在()0,∞+递减， 所以函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 故答案为：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【点睛】 方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数y ＝f [g (x )]，先求定义域，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．19．【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解：正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应 解析：[)6,+∞由题设知3x y xy ++=，再由2220x xy y -+，得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，设x y a +=，由此可求出x y +的取值范围． 【详解】解：正数x ，y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，22log (3)log x y xy ∴++=，3x y xy ∴++=，又2220x xy y -+，所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +， 由3x y xy ++=得到2()34x y x y +++， 设x y a +=即2412a a +，解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞．根据定义域x ，y 均大于零，所以x y +取值范围是[)6,+∞．故答案为：[)6,+∞．【点睛】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．20．【分析】根据的值域为可知需在单调递增且即可【详解】由题意知的值域为故要使的值域为则必有为增函数且所以且解得故答案为：【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围属于中档题解析：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， 【分析】根据()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，可知()(12)3(1)f x a x a x =-+<需在(,1)-∞单调递增且(1)0f ≥即可.【详解】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，故要使()f x 的值域为R ，则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥，所以120a ->，且1a ≥-，解得112a -≤<. 故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围，属于中档题.三、解答题21．（1）1927-；（2）116. 【分析】（1）利用指数的运算法则化简求解；（2）利用对数的运算法则化简求解.【详解】（1）()3224031168281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()324343224()13⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 8194412727=-+-=-. （2）()2log 1483log 3log 3log 22++22311log 3log 3log 2123⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 235511log 3log 211666⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：指数对数的运算化简，一般先观察指数对数的形式，再利用合适的运算法则化简求解.22．（1）()3,3-；（2）()f x 为奇函数，证明见解析.【分析】（1）利用对数式的真数大于零求解出不等式的解集即为定义域；（2）先判断定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，分析()(),f x f x -之间的关系，由此判断出()f x 的奇偶性.【详解】（1）因为303x x+>-，所以()()330x x -+<， 所以{}33x x -<<，所以()f x 的定义域为()3,3-；（2）()f x 为奇函数，证明：因为()f x 的定义域为()3,3-关于原点对称，且()()1333lg lg lg 333x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭， 所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数.【点睛】思路点睛：判断函数()f x 的奇偶性的步骤如下：（1）先分析()f x 的定义域，若()f x 定义域不关于原点对称，则()f x 为非奇非偶函数，若()f x 的定义域关于原点对称，则转至（2）；（2）若()()f x f x =-，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数. 23．（1）定义域为(1,3)-,值域为(,2]-∞（2）递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3)【分析】（1）由2230x x -++>解得结果可得定义域，根据二次函数知识求出真数的值域，根据对数函数的单调性可求得()f x 的值域；（2）在定义域内求出真数的单调区间，根据底数大于1可得函数()f x 的单调区间.【详解】（1）由函数有意义可得2230x x -++>，即2230x x --<，解得13x，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-， 因为13x ，所以2223(1)4x x x -++=--+(0,4]∈，所以()(,2]f x ∈-∞，即函数()f x 的值域为(,2]-∞.（2）因为函数()f x 的定义域为(1,3)-，且函数2y x 2x 3=-++在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又对数函数的底数为21>，所以函数()f x 的递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3).【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：有分式时：分母不为0；有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0； 有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 24．（1）2；（2）3.【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则化简求解；（2）直接利用对数的运算法则和性质化简求解.【详解】（1）)02 ()13|2|ππ=+-+-42ππ=-+-=2（2）92log 2663log 4log 32++ 232log 26662log 2log 3log 23=+-+3log 266log 2log 33=++=6log (23)2123⨯+=+=.【点睛】(a n =是奇数||(a n =是偶数).使用上面的公式时，一定要注意n 的奇偶性，再化简.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x <【分析】（1）令0m n ==，代入等式，可求得()00=f ；（2）令n m =-，代入等式，结合()00=f ，可得到()()f m f m -=-，从而可知()y f x =是奇函数，然后用定义法可证明()f x 在(),-∞+∞上为增函数；（3）原不等式可化为()()422x x f f -<，结合函数()f x 的单调性，可得出422x x -<，解不等式即可.【详解】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f . （2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-，∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-，∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数．在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <， ∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112x x f f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x -<，即()()12022x x +<-， ∵210x +>，∴220x -<，解得1x <，故原不等式的解集为{}|1x x <.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.26．（1）2a =；（2）2m n m n++【分析】（1）根据对数运算求a 的值；（2）利用换底公式化简求值.【详解】(1)由已知得231a -=得：2a =(2)由(1)得()()lg 23f x x =-，则()()3lg3,5lg7f m f n ====， ∴21lg632lg3lg72log 63lg21lg3lg7m n m n ++===++ 【点睛】本题考查对数换底公式，考查基本分析求解能力，属基础题.。

一、选择题1．下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5+=+ B ．2221log 3log 32-= C ．222log 3log 5log (35)⋅=+D ．231log 3log 2=2．若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦3．函数()f x =的定义域是（ ） A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞4．已知函数()()2log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是（ ） A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．[)1,1-D ．(]3,1--5．已知函数()()3,<1log ,1aa x a x f x x x ⎧--=⎨≥⎩的值域．．是R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,+∞C ．()()0,11,3D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知：23log 2a =，42log 3b =，232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．若函数()()20.3log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32c =，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<8．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y 、5z的大小排序为 A ．235x y z<< B ．325y x z << C ．523z x y<< D ．532z y x<< 9．已知函数()a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（ ）． A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a b c >>D ．a c b <<12．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知a b c 、、是不为1的正数，且0lga lgb lgc ++=，则 111111lgb lgclgc lgalga lgbabc+++⨯⨯的值为_____14．已知函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________. 15．若3log 14a>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为________ 16．已知43==m n k ，且20+=≠m n mn ，则k =______.17．32a b-=________（其中0a >，0b >）18．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.19．已知3(1)4,1()1,1a a x a x f x og x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是__________.20．已知27abm ==，1112a b +=，则m =_______. 三、解答题21．已知函数()lg(2)lg(2).f x x x =++-（1）记函数()()103,f x g x x =+求函数()g x 的值域； （2）若对任意()0,2m ∈，[]0,1x ∈，都有2()lg 25<--+f x m m a 恒成立，求实数a的取值范围.22．已知函数()2221log 2m x f x x-=-（0m >且1m ≠） （1）求()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）若关于x 的方程()1log m f x x =+有解，求m 的取值范围. 23．（1）已知12x y +=，9xy =，且x y <，求11221122x y x y-+值；（2）求值：2(lg 2)lg5lg 20+⋅.24．化简下列各式：（1）22.531050.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg3111lg 0.36lg1624++⋅+ 25．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=. （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()(2)(2)g x f x f x =++-的奇偶性，并说明理由.26．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()2log g x x =.（1）若()22g mx x m ++的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）当[]1,1x ∈-时，函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值为1，求实数a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断． 【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+，A 错误；22221log 32log 3log 32-=-≠，B 错误；222log 3log 5log (35)⋅≠+，C 错误； 3233log 31log 3log 2log 2==，D 正确． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则．log log log ()a a a M N MN +=，log log n a a b n b =，一般log ()log log a a a M N M N +≠+．log ()log log a a a MN M N ≠⋅， 1log log n a a b b n≠． 2．A解析：A 【分析】转化为当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，根据图象列式可解得结果. 【详解】由题意知关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立， 所以当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，由图可知0111log 22a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a ≤<.故选：A 【点睛】关键点点睛：利用函数342xy =-的图象与函数log a y x =的图象求解是解题关键. 3．A解析：A 【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域. 【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x <<所以函数的定义域是()0,2. 故选：A . 【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.4．C解析：C 【分析】由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.对于函数()()2log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得31x -<<.所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[)1,1-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 5．A解析：A 【分析】当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，,从而可得答案. 【详解】由题意，()f x 的值域为R ，当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，， 所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32a ≤所以满足条件的a 的取值范围是：312a <≤， 故选：A ． 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 6．A解析：A 【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<，再由指数函数的性质可得102c <<，即可得解. 【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>，4212ln ln 2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<， a b ∴>22223231log log 410,239222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，b c a ∴<<， 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.7．A解析：A 【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a 的不等式组，求得a 的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案． 【详解】由5+4x-x 2＞0，可得-1＜x ＜5， 函数t=5+4x-x 2的增区间为（-1，2），要使f(x)＝log 0.3(5+4x−x 2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，则1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，即0≤a≤1． 而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1， ∴b ＜a ＜c ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．8．A解析：A 【解析】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k kk x y z ---=>=>=>，． 即10k -> 因为函数1kf x x -=（） 单调递增，∴235x y z<<.故选A.9．C解析：C 【分析】由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项． 【详解】由恬24a =，2a =，222log (1),10()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩，函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．10．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5， 由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.11．A解析：A 【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>>所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>= 所以b a c << 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.12．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ；又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为：【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题 解析：11000【分析】根据对数运算公式，可以将0lga lgb lgc ++=转化，得到a ，b ，c 的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决． 【详解】由0lga lgb lgc ++=， 可得1bc a =，1ab c=，1ac b =，111111111()()()lgb lgclgc lgalga lgblgb lgalgcabcac bc ab +++∴⨯⨯=．11110101011111010101000bac log log log bac ==⨯⨯= 故答案为：11000【点睛】本题考查对数的运算，对数恒等式，属于基础题．14．【解析】画出函数的图象如图所示：观察图象可知函数的零点依次是点的横坐标由图像可知故答案为点睛：函数的零点与方程根的分布问题解题时常用数形结合思想对于方程的根可分别画出与的图象则两个函数图象的交点的横解析：a b c << 【解析】画出函数3xy =，3log y x =，y x =-，2y =-的图象，如图所示：观察图象可知，函数()3xf x x =+，3()log 2g x x =+，3()logh x x x =+的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图像可知a b c <<. 故答案为a b c <<点睛：函数的零点与方程根的分布问题，解题时常用数形结合思想，对于方程()()0f x g x -=的根，可分别画出()f x 与()g x 的图象，则两个函数图象的交点的横坐标即为方程()()0f x g x -=的根.15．【分析】讨论和两种情况利用函数单调性解不等式得到答案【详解】当时满足不成立；当时综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式分类讨论是解题的关键解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，利用函数单调性解不等式得到答案. 【详解】3log 1log 4aa a >=，当1a >时，满足34a >，不成立；当01a <<时，34a >. 综上所述：3,14a ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 故答案为：3,14⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，分类讨论是解题的关键.16．【分析】根据对数和指数的关系将指数式化成对数式再根据对数的运算计算可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查对数和指数的关系对数的运算属于基础题 解析：36【分析】根据对数和指数的关系，将指数式化成对数式，再根据对数的运算计算可得. 【详解】 解：43m n k ==4log m k ∴=，3log =n k20m n mn +=≠211n m ∴+=，1log 4k m =，1log 3k n = 2log 3log 41k k ∴+= 2log 3log 41k k ∴+=()log 941k ∴⨯= 36k ∴=故答案为：36 【点睛】本题考查对数和指数的关系，对数的运算，属于基础题.17．【分析】根据指数幂的运算法则即可求解【详解】根据指数幂的运算法则可得故答案为：【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的无括号的弦做指数运算；（2）弦乘除后加减负指数幂化为正指数幂的倒 解析：a【分析】根据指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】212132()33113322a b aa a ba b----⨯===.故答案为：a . 【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的，无括号的弦做指数运算； （2）弦乘除后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来求解.18．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题 解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.19．【分析】由在R 上单调减确定a3a-1的范围再根据单调减确定在分界点x=1处两个值的大小从而解决问题【详解】因为是上的减函数所以解得故答案为：【点睛】本题考查分段函数单调性问题关键根据单调性确定在分段解析：3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由()f x 在R 上单调减，确定a ， 3a -1的范围，再根据单调减确定在分界点x =1处两个值的大小，从而解决问题. 【详解】因为3(1)4,1()1,1a a x a x f x og x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，所以10013(1)4log 10a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥=⎩，解得317a ≤<， 故答案为：3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查分段函数单调性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小，属于中档题.20．196【分析】将指数式化成对数式再根据对数的运算及对数的性质计算可得；【详解】解：∵∴∵∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查指数与对数的关系对数的运算及对数的性质的应用属于中档题解析：196 【分析】将指数式化成对数式，再根据对数的运算及对数的性质计算可得； 【详解】 解：∵27a bm ==，∴2log a m =，7log b m =，1log 2m a ∴=，1log 7m b=∵1112a b +=，∴1log 2log 7log 142m m m +==，∴14=，解得196m =故答案为：196 【点睛】本题考查指数与对数的关系，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）256,4⎛⎤- ⎥⎝⎦；94a > 【分析】（1）由()()103f x g x x =+化简得()234g x x x =-++，再结合函数定义域和二次函数增减性即可求解；（2）2()lg 25<--+f x m m a 恒成立，即2max ()lg 25f x m m a <--+，求得max()f x 再分离参数a ，得22a m m >-++，即()2max 2a m m >-++恒成立，求得()2max 2m m -++即可求解a 的取值范围. 【详解】（1）()()()()2()lg 2lg 2lg 4,2,2f x x x x x =++-=-∈-，则()()2()10343,2,2f x g x x x x x =+=-+∈-，()g x 对称轴为32x =，当32,2x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()g x 单增，当3,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()g x 单减，故()max 32524g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2x =-时，代入243x x -+得4466--=-，故()g x 的值域为256,4⎛⎤- ⎥⎝⎦； （2）对任意()0,2m ∈，[]0,1x ∈，都有2()lg 25<--+f x m m a 恒成立，即2max ()lg 25f x m m a <--+恒成立，当[]0,1x ∈时，()2()lg 4f x x=-单调递减，()()max02lg 2f x f ==，即22lg 2lg 25m m a <--+，化简得22a m m >-++恒成立，即()2max 2a m m >-++恒成立，当12m =时，()2max 11922424m m -++=-++=，即94a >【点睛】关键点睛：本题考查求复合函数的值域，由函数在定区间恒成立求参数取值范围，解题关键在于：（1）求复合函数值域除了正确化简表达式之外，还必须在定义域的基础之上求解对应最值；（2）恒成立问题求参数取值范围常采用分离参数法求解，关键在于能正确理解全称命题与存在命题的等价转化. 22．（1）()1log 1m x f x x+=-；（2）()f x 为奇函数，理由见解析；（3）3m ≥+. 【分析】（1）令21t x =-，采用换元法求解函数解析式；（2）先确定函数的定义域，再由函数奇偶性的定义判断即可； （3）由条件可转化为()11x m x x +=-在()0,1x ∈上有解问题即可.【详解】（1）令21t x =-，则21x t =+，则()()11log log 211m m t t f t t t++==-+-，所以()1log 1m x f x x+=-； （2）由101xx+>-得11x -<<， 又()()()11log log 11mm x xf x f x x x---===---+，所以()f x 为定义域上的奇函数；（3）由110x x -<<⎧⎨>⎩得01x <<，又1log 1log log 1mm m x x mx x +=+=-，11x mx x +=-在()0,1x ∈上有解， ()11x m x x +=-，令()11,2u x =+∈，2132323t m u u u u ==≥=+-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，当且仅当u =,所以3m ≥+.【点睛】 易错点睛：（1）判断函数的奇偶性一定不要忘记先判断定义域是否关于原点对称； （2）利用基本不等式求解范围，一定要注意满足“一正二定三相等”的条件. 23．（1）3-2）1. 【分析】（1）求出x y -的值，再化简11221122x y x y-+即得解；（2）利用对数的运算法则化简求解. 【详解】（1）因为222()()41249108x y x y xy -=+-=-⨯=，又x y <，所以x y -=-所以1111222221122()3x y x y x y x y--====--+. （2）原式22(lg 2)lg5(1lg 2)(lg 2)lg5lg 2lg5=+⋅+=+⋅+lg2(lg2lg5)lg5lg2lg51=++=+=.【点睛】关键点点睛：解答指数对数运算题的关键是通过观察式子的特点，再熟练利用指数对数的运算法则和性质求解. 24．（1）0；（2）1. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）根据指数幂的运算性质，可得原式22.5311536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭ 1521335233431102⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⨯⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦531022=--=. （2）由对数的运算性质，可得原式242lg 2lg32lg 2lg311231lg 0.6lg 21lg lg 22410++==⨯++++ 2lg 2lg 32lg 2lg 311lg 2lg 3lg10lg 22lg 2lg 3++===++-++. 【点睛】本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 25．（1）2()log f x x =（2）偶函数.见解析 【分析】（1）根据(4)(2)1f f -=，代入到函数的解析式中可求得2a =，可求得函数()f x 的解析式; （2）由函数()f x 的解析式，求得函数()g x 的解析式，先求得函数()g x 的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性. 【详解】（1）因为()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=，所以log 4log 21a a -=，即log 21a =.，解得2a =，所以2()log f x x =;（2）因为()log a f x x =，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-,由2020x x +>⎧⎨->⎩,得22x -<<,所以()g x 的定义域为()22-，， 又因为22()log (2)log (2)()g x x x g x -=-++=， 所以22()log (2)log (2)g x x x =++-为偶函数. 【点睛】本题考查对数函数的函数解析式的求解，函数的奇偶性的证明，属于基础题.26．（1）()1,+∞；（2）a =【分析】（1）由220mx x m ++>恒成立，得关于m 的不等式组，求解得答案；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()223y t a a =-+-，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数a 的值. 【详解】（1）()()2222log 2g mx x m mx x m ++=++， ∵()22g mx x m ++的定义域为R ，∴220mx x m ++>恒成立，当0m =时，不符合， 当0m ≠时，满足2440m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得1m ， ∴实数m 的取值范围为()1,+∞；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当[]1,1x ∈-时，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦化为()222233y t at t a a =-+=-+-，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ①当2a >时，可得当2t =时y 取最小值，且min 741y a =-=，解得32a =（舍去）； ②当122a ≤≤时，可得当t a =时y 取最小值，且2min 31y a =-=，解得a =a =③12a <时，可得当12t=时y取最小值，且min1314y a=-=，解得94a=（舍去），综上，a=【点睛】本题考查对数函数的定义域，考查不等式的恒成立问题，考查二次函数的最值，属于中档题.。

一、选择题1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C．y =1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =2．已知函数()()2log 2xf x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为 （ ） A ．{}|0m m =B ．{}0|m m ≤C ．{}|0m m ≥D ．{}|1m m =3．设0.60.6a =， 1.20.6b =，0.61.2c =中，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ． a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<4．函数()f x =的定义域是（ ） A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞5．已知：23log 2a =，42log 3b =，232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且当(1x ∈，3]时，4()log f x x =，则(2021)f =（ ）A ．12B ．0C ．4log 3D ．17．若函数()()20.3log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32c =，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<8．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<9．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，设()41331=log ,log 3,92a f b f c f log ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．若函数112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．m 1≥D ．01m <≤11．函数()22x xxf x -=+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()1+∞， B ．()01，C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ； ②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③若1log 12a>，则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭，； ④若22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，则0x y +<. 14．已知0a >，函数()y f x =，其中21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()y f x =在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，则a 的取值范围为_______．15．若函数()22log 3y x ax a =-+在[2,)+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是____________．16．设函数2()ln(1)f x x x =+，若()23(21)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为_____.17．设函数123910()lg 10x x x x x af x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时()f x 有意义,则a 的取值范围是________.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩则方程1()2f x =的所有实根之和为________. 19．给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．20．已知函数()f x 满足()()1f x f x =-+，当()0,1x ∈时，函数()3xf x =，则13log 19f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 三、解答题21．（1）设0,0,m n x >>=化简A = （2）求值：1log log m m b a a b ⋅；（3）设 2()2log (19),f x x x =+≤≤ 求()22()()g x f x f x =+的最大值与最小值.22．已知函数()11x af x e =++为奇函数. （1）求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数； （2）求不等式()()2230f tf t +-≤的解集.23．已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠），满足(2)(1)6f f +=； （1）求()f x 的解析式；（2）若方程()(2),[0,1]m f x f x x =-∈有解，求m 的取值范围；（3）已知()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，函数()()()f x g x h x =+；若存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤，求a 的取值范围．24．（1）求满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合；（2）求函数235()log (45)f x x x =--的单调递减区间. 25．已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中0a <. （1）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[]2,3上有解，求k的取值范围.26．已知命题:p 关于x 的不等式()10,1xa a a >>≠的解集是{}0x x <，命题:q 函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ，如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题.求实数a的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数；C ．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.2．A解析：A 【分析】若定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，可得0m ≥，若值域为实数集R ，令2x t m =+，则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+，可得0m ≤，再求交集即可. 【详解】若()()2log 2xf x m =+定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，即2x m >-对于x ∈R 恒成立， 因为20x >，所以20x -<，所以0m ≥， 令2x t m =+，则2log y t =若()()2log 2xf x m =+值域为实数集R ，则2x t m =+的值域包括()0,∞+， 因为t m >，所以0m ≤， 所以0m =， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.3．C解析：C 【分析】根据指数函数，幂函数的单调性即可判断． 【详解】因为指数函数0.6xy =是单调减函数，0.6 1.2<，所以0.6 1.20.60.6>，即a b >； 因为幂函数0.6y x=在()0,∞+上是增函数，0.6 1.2<，所以0.60.61.20.6>，即c a >．综上，b a c <<． 故选：C ． 【点睛】熟练掌握指数函数，幂函数的单调性是解题关键．4．A解析：A 【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域. 【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x <<所以函数的定义域是()0,2. 故选：A . 【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.5．A解析：A 【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<，再由指数函数的性质可得102c <<，即可得解. 【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>，4212ln ln 2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<， a b ∴>22223231log log 410,239222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，b c a ∴<<， 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.6．A解析：A 【分析】根据题意，由(3)()f x f x +=可得()f x 是周期为3的周期函数，则有(2021)f f =（2），结合函数的解析式计算可得答案. 【详解】根据题意，定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=，则()f x 是周期为3的周期函数，则(2021)(23673)(2)f f f =+⨯=，又由当(1x ∈，3]时，4()log f x x =，则f （2）41log 22==， 故1(2021)2f =， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据函数的周期性将(2021)f 化为(2)f ，再利用函数解析式求值是解题关键.7．A解析：A【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a 的不等式组，求得a 的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案． 【详解】由5+4x-x 2＞0，可得-1＜x ＜5， 函数t=5+4x-x 2的增区间为（-1，2），要使f(x)＝log 0.3(5+4x−x 2)在区间（a-1，a+1）上单调递减， 则1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1， ∴b ＜a ＜c ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．8．A解析：A 【分析】由551112,2332log -<<<，8152log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】52112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，12881582log log >=，a b c ∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.9．B解析：B 【分析】由()()11f x f x -=+可得函数()f x 关于直线1x =对称，根据对数的运算法则，结合函数的对称性，变形41log 2、13log 3、39log 到区间[)1,+∞内，由函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，即可得结果. 【详解】根据题意，函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则函数()f x 关于直线1x =对称，又由当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，则函数在[)1,+∞上单调递增， 又由()44115log log 2222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()13log 313b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()()3log 92c f f ==，则有c a b <<，故选B.【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性（对称性）与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．10．B解析：B 【分析】11()+2x y m -=与x 有公共点，转化为11()2xy -=与y m =-有公共点，结合函数图象，可得结果. 【详解】11()+2x y m -=与x 有公共点，即11()2x y -=与y m =-有公共点，11()2xy -=图象如图可知0110m m <-≤⇒-≤< 故选：B 【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.11．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ； 3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.12．D解析：D 【分析】由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围． 【详解】 解：函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．二、填空题13．①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确；②则解析：①③④ 【分析】由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．①，令1x =代入判断，②利用函数的定义求出()f x 的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由它的单调性判断．【详解】①令1x =，则(1)4f =，即()f x 图象过点(1,4)，①正确； ②13x <<，则012x <-<，∴()f x 的定义域是(0,2)，②错；③1log 1log 2a a a ，∴0112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，∴112a <<．③正确；④由22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，得ln 2ln()2x y x y --<--，又1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭是(0,)+∞上的增函数， ∴由ln 2ln()2x y x y --<--，得x y <-，即0x y +<，④正确．故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象恒过定点(0,1)； （2）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象恒过定点(1,0)， 解题时注意整体思想的应用．14．【分析】由函数单调性可得在区间上的最大值最小值则可得对任意恒成立利用二次函数的性质即可求出【详解】因为在区间内单调递减所以函数在区间上的最大值与最小值分别为则得整理得对任意恒成立令则的图象是开口向上解析：23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】由函数单调性可得()f x 在区间[1]t t ，+上的最大值()f t ，最小值(1)f t +，则可得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用二次函数的性质即可求出.【详解】因为()f x 在区间[1]t t ，+内单调递减， 所以函数()f x 在区间[1]t t ，+上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +， 则2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 得1121a a tt ⎛⎫+≤+⎪+⎝⎭，整理得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．令2()(1)1h t at a t =++-，则()h t 的图象是开口向上，对称轴为11022t a=--<的抛物线，所以()h t 在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数，2(1)10at a t ++-≥等价于102h ⎛⎫≥⎪⎝⎭， 即211(1)1022a a ⎛⎫⨯++⨯-≥ ⎪⎝⎭，解得23a ≥，所以a 的取值范围为23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 故答案为：23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】关键点睛：由单调性判断出最大值和最小值，从而转化为2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，根据二次函数性质求解. 15．【分析】利用复合函数单调性的判断方法分内层和外层分别判断解出的取值范围【详解】由题意得设根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数且所以所以故答案为:【点睛】本题考查复合函数单调性的应用考查 解析：(4,4]-【分析】利用复合函数单调性的判断方法,分内层和外层分别判断,解出a 的取值范围. 【详解】由题意得，设2()3g x x ax a =-+，根据对数函数及复合函数单调性可知：()g x 在[)2,+∞上是单调增函数，且(2)0g >，所以2240aa ⎧≤⎪⎨⎪+>⎩，所以44a -<≤． 故答案为: (4,4]- 【点睛】本题考查复合函数单调性的应用,考查对数函数的性质,考查学生运算求解能力,属于中档题.16．【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为解析：1(1,)3-【分析】根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增，不等式化为()23(12)f a f a <-，转化为关于自变量的不等式，即可求解. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()))ln10f x f x x x +-=+==，()f x ∴是奇函数，设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数，()f x 在[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数，()f x 在0x =处连续的，所以()f x 在R 上单调递增，()23(21)0f a f a +-<，化为()23(12)f a f a <-，等价于2312a a <-，即213210,13a a a +-<-<<， 所以实数a 的取值范围为1(1,)3-. 故答案为: 1(1,)3- 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.17．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析：[ 4.5,)-+∞【分析】由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞，10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，分离变量a 后利用函数的单调性求得981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上的范围，即可得解. 【详解】根据题意对任意的(,1]x ∈-∞，123910010x x x x x a+++++>恒成立，即10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，则981101010x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为函数981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数，所以111981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：[ 4.5,)-+∞【点睛】本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础题.18．【分析】画出分段函数的图像根据图像结合解析式进行求解【详解】根据分段函数的解析式以及函数为奇函数作图如下：由图容易知因为在区间上关于对称且在区间上关于对称故其与直线的所有交点的横坐标之和为0故所有根1【分析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解. 【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称， 且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称， 故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根， 此时()21log 12x +=，解得21x =. 21. 【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.19．①③【分析】A 即为函数的定义域B 即为函数的值域求出每个函数的定义域及值域直接判断即可【详解】对①A ＝(﹣∞0)∪(0+∞)B ＝(﹣∞0)∪(0+∞)显然对于∀x ∈A ∃y ∈B 使得x+y ＝0成立即具有性解析：①③ 【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可． 【详解】对①，A ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝ (0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝ (0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ； 故答案为：①③． 【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．20．【分析】由满足得到函数是以2为周期的周期函数结合对数的运算性质即可求解【详解】由题意函数满足化简可得所以函数是以2为周期的周期函数又由时函数且则故答案为：【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解 解析：2719-【分析】由()f x 满足()()1f x f x =-+，得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 满足()()1f x f x =-+，化简可得()()2f x f x =+， 所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由()0,1x ∈时，函数()3xf x =，且()()1f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log )19f f f f =-=-+= 327log 193392727(log 1)(log )3191919f f =-+=-=-=-.故答案为：2719- 【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期； 解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）1；（3）最大值222log 36log 36++（），最小值6. 【分析】（1）先求24x -，对m ，n 讨论，求出A ；（2）利用log =m a a m ，分别对1log log m m b a a b 、化简、求值；（3）把()g x 化简为222()=log 6log 6g x x x ++，换元后利用()233y t =+-在()20log 3，2上的单调性求出最大值和最小值.【详解】（1）因为22244x -=-=，所以2,m n A m n m n-==+--故，当0m n ≥>时，m nA n-=， 当0m n <<时，n mA m-= (2）()g log log log lo log log =,m m m m m m bb b a aa a m m a m •==∴，同理()l l og og m m b a b m -•= ∴()()log lo log l g g o log lo l g g 01log o log log ===1=a a m m m b b m mm m m m m b a bba a mammm b-••⎡⎤-••⎢⎥⎣⎦⋅⨯即1log log m m b a a b ⋅=1(3)()()2222222()2log 2log =log6log 6g x x xx x =+++++由21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩解得13x ≤≤ 令2log t x =，213,0log 3x t ≤≤∴≤≤∴()233y t =+-在()20log 3，上单增， ∴当t =0时，min 6,y =当2log 3t =时，2max 22log 36log 36y ++=（） ∴()g x 的最大值222log 36log 36++（），最小值6. 【点睛】指对数混合运算技巧：(1)指数的运算一般把各个部分都化成幂的结构，利用幂的运算性质； (2)对数的运算一般把各个部分都化成幂的同底结构，利用对数的运算性质. 22．（1）2a =-；证明见解析；（2）[]3,1-. 【分析】（1）根据()f x 为奇函数求得a 的值.利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上是增函数； （2）利用()f x 的奇偶性和单调性化简不等式()()222320f t t f t-+-≤，结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】（1）由已知()()f x f x -=-， ∴1111x x a a e e -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭，∴22011x x x ae a a e e ++=+=++， 解得2a =-. ∴2()11xf x e -=++. 证明：12,x x R ∀∈，且12x x <，则()()()()()211212122221111x x x x x x e e f x f x e e e e -----=-=++++， ∵12x x <，∴12x x e e <，∴210x x e e ->，又110x e +>，210x e +>， ∴()()()()()2112122011x x x x e e f x f x ee ---=<++，∴()()12f x f x <， 故函数()f x 在R 上是增函数. （2）∵()2(23)0f t f t +-≤，∴()2(23)f tf t ≤--，而()f x 为奇函数， ∴()2(32)f tf t ≤-，∵()f x 为R 上单调递增函数， ∴223t t ≤-+， ∴2230t t +-≤， ∴31t -≤≤，∴原不等式的解集为[]3,1-. 【点睛】关键点点睛：根据奇函数的定义求出a ，利用定义证明函数为增函数，可将()2(23)0f t f t +-≤转化，脱去“f ”，建立不等式求解，考查了转化思想，属于中档题.23．（1）()2x f x =；（2）[2,0]-；（3）17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【分析】（1）根据(2)(1)6f f +=求解出a 的值，即可求解出()f x 的解析式；（2）采用换元法构造函数2(),[1,2]F t t t t =-∈，将m 的取值范围与()F t 的最值联系在一起，由此求解出结果；（3）先根据函数的奇偶性求解出()(),h x g x 的解析式，然后采用分离参数法得到1222222x x x x a --⎡⎤≤--+⎢⎥-⎣⎦，采用换元法求解出1222222xx x x --⎡⎤--+⎢⎥-⎣⎦的最大值，从而求解出a 的取值范围.【详解】（1）因为(2)(1)6f f +=，所以260,2a a a +-==或3a =-（舍去），所以()2x f x =；（2）由（1）知，()2x f x =，所以()222222x x x xm =-=-，令2,[1,2]xt t =∈，令2(),[1,2]F t t t t =-∈，所以()F t 的对称轴为12t =，且()F t 为开口向下的二次函数，所以()F t 在[]1,2上单调递减，所以()()ma min x (2)2,(1)0F t F F t F -====，所以m 的取值范围为[2,0]-； （3）因为()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，所以()(),()()g x g x h x h x -=--=．由题()()()f x g x h x =+知，2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+-⎩，即2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+⎩解得2222(),()22x x x xh x g x --+-==将上式代入2()(2)0ag x h x +≤，得()()221222202x xxx a ---++≤，易知()22222212211222222222222xx xxx x x x x x x x a -------++⎡⎤≤-⋅=-⋅=--+⎢⎥---⎣⎦． 令12,[1,2]2x xt x =-∈，则315,24t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，122a t t ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭， 因为存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤，所以max12132173222122a t t ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫≤-+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭所以a 的取值范围是17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【点睛】方法点睛：不等式在指定区间上有解或恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的关系. 24．（1）32x x⎧⎨⎩或}1x <- （2）(5,)+∞【分析】（1）先使得()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,再由3x y =的单调性求解即可；（2）先求定义域,再根据复合函数单调性的“同增异减”原则求解即可.【详解】解:（1）因为221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭,且()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()222133x x --->,因为3xy =在R 上单调递增,所以()2221xx -->-,解得32x >或1x <-, 则满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合为32x x ⎧⎨⎩或}1x <-（2）由题,2450x x -->,解得5x >或1x <-,则定义域为()(),15,-∞-+∞,设245u x x =--,35log y u =,因为35log y u =单调递减,若求()f x 的递减区间,则求245u x x =--的递增区间,因为245u x x =--的对称轴为2x =,所以在()5,+∞上单调递增, 所以函数()f x 的单调减区间为()5,+∞ 【点睛】本题考查解指数不等式,考查复合函数的单调区间. 25．（1）[)1,-+∞；（2）[]1,1-. 【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出a 的值，求出1122()log (1)log (1)f x x x +-=+，根据函数的单调性求出m 的范围即可； （2）问题转化为211k x x =-+-在[]2,3上有解，即2()11g x x x =-+-在[]2,3上递减，根据函数的单调性求出()g x 的值域，从而求出k 的范围即可． 【详解】（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-， 即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----，解得1a =-或1a =（舍），()()()()111122221log 1log log 1log 11xf x x x x x ++-=+-=+-，当1x >时，()12log 11x +<-，∵当()1,x ∈+∞时，()()12log 1f x x m +-<恒成立，∴1m ≥-，即m 的取值范围为[)1,-+∞；（2）由（1）知，()()12log f x x k =+即()()11221log log 1x f x x k x +==+-， 即11x x k x +=+-，即211k x x =-+-在[]2,3上有解， ()211g x x x =-+-在[]2,3上单调递减， minmax()(3)1,()(2)1g x g g x g ，∴()g x 的值域为[]1,1-，∴[]1,1k ∈-. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，如果是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集．26．[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【分析】先根据命题p 、q 为真命题时求出对应的实数a 的取值范围，再由题中复合命题的真假判断出p 、q 中一真一假，然后分“p 真q 假”和“p 假q 真”两种情况讨论，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题知:p 关于x 的不等式1x a >（0a >且1a ≠）的解集是{}0x x <，所以：01a <<.:q函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ，等价于x R ∀∈，210ax +>.（i ）当0a =时，不等式10+>在R 上不恒成立；（ii ）当0a ≠时，0240a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >.即1:2q a >.如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 真q 假，或p 假q 真，若p 真q 假，则0112a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩，可得102a <≤；若p 假q 真，则0112a a a ≤≥⎧⎪⎨>⎪⎩或，可得1a ≥. 解得102a <≤或1a ≥. 所以，实数a 的取值范围是[)10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数，考查指数函数的单调性以及对数型复合函数的定义域问题，考查运算求解能力，属于中等题.。

第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)=√2x-1的定义域是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)解析:要使f(x)=√2x-1有意义,需2x-1≥0,故x∈[0,+∞).答案:B2若a>1,b<-1,则函数y=a x+b的图像必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:y=a x+b(a>1,b<-1)的图像如图.故选B.答案:B3设集合M={y |y =(12)x,x ∈[0,+∞)},N={y|y=log 2x ,x ∈(0,1]},则集合M ∪N 等于( )A.(-∞,0)∪[1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,0)∪(0,1) 答案:C4下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=√1+x 2 B.y=x+1x C.y=2x +12xD.y=x+e x解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y=√1+x 2,y=2x +12x 为偶函数,y=x+1x 为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D. 答案:D5函数y=log 2(1-x )的图像是( )解析:∵1-x>0,∴x<1.这样可排除选项A,D .∵y=log 2(1-x )在定义域上是减函数, ∴B 选项正确. 答案:B6log 89log 23的值为( )A.23B.32C.2D.3解析:log 89log 23=lg9lg8·lg2lg3=2lg33lg2·lg2lg3=23. 答案:A7设函数f (x )={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1, x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A.3B.6C.9D.12解析:∵f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212-1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f (log 212)=9.答案:C8已知函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1)-f (x 2)=1,则f (x 12)-f (x 22)等于( )A.2B.1C.12D.log a 2解析:f (x 12)-f (x 22)=log a x 12-log a x 22=2log a x 1-2log a x 2=2[f (x 1)-f (x 2)]=2. 答案:A9某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比前一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是()A.1.14aB.1.15aC.1.16aD.(1+1.15)a答案:B10给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y);f(x+y)=f(x)f(y);f(x+y)=f(x)+f(y).下列函数中其中不满足任何一个等式的是()A.f(x)=3xB.f(x)=log2xC.f(x)=xα(α≠1)D.f(x)=kx(k≠0)解析:利用指数函数和对数函数的运算性质可知,选项A满足第二个关系式;选项B满足第一个关系式;选项D满足第三个关系式.答案:C11函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为()A.14B.12C.2D.4解析:函数f(x)=a x+log a(x+1),令y1=a x,y2=log a(x+1),显然在[0,1]上,y1=a x与y2=log a(x+1)同增或同减.因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0)=a+log a2+1+0=a,解得a=12.答案:B12设偶函数f (x )=log a |x+b|在(0,+∞)上具有单调性,则f (b-2)与f (a+1)的大小关系为( )A.f (b-2)=f (a+1)B.f (b-2)>f (a+1)C.f (b-2)<f (a+1)D.不能确定 解析:∵函数f (x )是偶函数,∴b=0,此时f (x )=log a |x|.当a>1时,函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上是增加的,∴f (a+1)>f (2)=f (b-2);当0<a<1时,函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上是减少的,∴f (a+1)>f (2)=f (b-2). 综上可知,f (b-2)<f (a+1). 答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上) 13lg 52+2lg 2-(12)-1= .解析:根据对数的运算法则知,lg 52+2lg 2-(12)-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1. 答案:-114若函数f (x )=x ln(x+√a +x 2)为偶函数,则a= . 解析:∵f (x )是偶函数,∴f (-1)=f (1).又f (-1)=-ln(-1+√a +1)=ln√a+1+1a ,f (1)=ln(1+√a +1),因此ln(√a +1+1)-ln a=ln(√a +1+1), 于是ln a=0,∴a=1. 答案:115若a=log 43,则2a +2-a = .解析:由a=log 43,知2a +2-a=2log 43+2-log 43=2log 2√3+2log 2√33=√3+√33=4√33. 答案:4√3316设函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1x 2…x 2 018)=8,则f (x 12)+f (x 22)+…+f (x 2 0182)的值等于 . 答案:16三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10分)化简求值:(1)2(√23×√3)6+(√2√2)43-4(1649)-12−√24×80.25+(-2 016)0;(2)lg5·lg8 000+(lg2√3)2lg600-12lg0.36.解(1)原式=2(213×312)6+(212×214)43-4×74−214×234+1=2×22×33+2-7-2+1=210.(2)∵lg 5·lg 8 000+(lg 2√3)2=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)=3, lg 600-12lg 0.36=(lg 6+2)-lg √36100=lg 6+2-lg 610=3,∴原式=33=1.18(12分)已知函数f (x )=14x -1-a.(1)求函数f (x )的定义域; (2)若f (x )为奇函数,求a 的值. 解(1)∵4x -1≠0,∴4x ≠1.∴x ≠0.∴f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ). ∴14-x -1-a=-14x -1+a. ∴2a=4x1-4x +14x -1=1-4x4x -1=-1. ∴a=-12.19(12分)(1)已知x+x -1=3(x>0),求x 32+x -32的值; (2)已知log 4(3x-1)=log 4(x-1)+log 4(3+x ),求实数x 的值. 解(1)∵(x 12+x -12)2=x+x -1+2=5,∴x 12+x -12=√5.∴x 32+x -32=(x 12+x -12)(x+x -1-1) =√5(3-1)=2√5.(2)∵log 4(3x-1)=log 4(x-1)+log 4(3+x ),∴log 4(3x-1)=log 4[(x-1)(3+x )]. ∴3x-1=(x-1)(3+x ),且x>1.∴x=2.20(12分)已知函数f (x )={(12)x -1,x >1,x 2,x ≤1.(1)画出函数f (x )的图像,并根据图像写出该函数的递减区间; (2)求不等式f (x )>14的解集. 解(1)作函数f (x )的图像如下,函数的递减区间为(-∞,0],[1,+∞). (2)令f (x )=14,解得x=±12或x=3, 结合图像可知,f (x )>14的解集为 {x |x <-12或12<x <3}.21(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图). (1)分别写出这两种产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?其最大收益是多少万元?解(1)设投资债券等稳健型产品的收益f (x )(万元)与投资额x (万元)的函数关系为f (x )=k 1x (k 1≠0,x ≥0),投资股票等风险型产品的收益g (x )(万元)与投资额x (万元)的函数关系为g (x )=k 2√x (k 2≠0,x ≥0),则f (1)=0.125=k 1,g (1)=0.5=k 2, 则k 1=0.125=18,k 2=0.5=12, 故f (x )=18x (x ≥0),g (x )=12√x (x ≥0).(2)设投资债券类产品x 万元,则投资股票类产品(20-x )万元,依题意得,获得的总收益y=f (x )+g (20-x )=x8+12√20-x (0≤x ≤20).令t=√20-x (0≤t ≤2√5),则y=20-t 28+12t=-18(t-2)2+3,当t=2时,y max =3,故当x=16万元时,y max =3万元.所以投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时,能使投资获得最大收益3万元.22(12分)已知函数f (x )=a x -1a x +1(a>1). (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明:f (x )是R 上的增函数. (1)解函数的定义域为R ,f (-x )+f (x )=a -x -1a -x +1+a x -1a x +1 =1-a x1+a x +a x -1a x +1=0,∴函数f (x )为奇函数. (2)解∵f (x )=a x -1a x +1=1-2a x +1(a>1),设t=a x,则t>0,y=1-2t+1的值域为(-1,1), ∴该函数的值域为(-1,1).(3)证明任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a x1-1a x1+1−a x2-1a x2+1=2(a x1-a x2)(a x1+1)(a x2+1).∵a>1,x1,x2∈R,且x1<x2,∴a x1−a x2<0,a x1+1>0,a x2+1>0.∴2(a x1-a x2)(a x1+1)(a x2+1)<0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).∴f(x)是R上的增函数.。

【关键字】高中2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数章末检测北师大版必修1班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数y＝的值域是( )A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案：A解析：由题意得0<≤0＝1.2．已知函数f(x)＝ln |x－1|，则f(x)( )A．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是增函数B．在区间(－∞，1)上是增函数，在区间(1，＋∞)上是减函数C．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是减函数D．在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数答案：D解析：∵|x－1|在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，y＝ln x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数．3．若函数f(x)＝，则f[f(－3)]＝( )A．2 B．3C．4 D．5答案：B解析：f(－3)＝(－3)2－1＝8，所以f[f(－3)]＝f(8)＝log28＝3.4．不等式x>x－1的解集是( )A．(－1，＋∞) B.C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)答案：C解析：2x<x－1，x<－1.5．已知a＝log20.6，b＝20.2，c＝log2，则( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案：D解析：∵a＝log20.6<0，b＝20.2>1，c＝log2＝，∴a<c<b.6．函数f(x)＝的定义域是( )A. B.C. D.答案：A解析：log0.5(3－4x)≥0,0<3－4x≤1，≤x<.7．函数y＝是奇函数，则实数a＝( )A．1 B．0C．－1 D．任意实数答案：A解析：f(0)＝(1－a)＝0，∴a＝1.16.如右图，开始时，桶1中有a L 水，t min 后剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a e －nt，那么桶2中水就是y 2＝a －a e －nt，假设过5 min 时，桶1和桶2的水相等，则再过________ min 桶1中的水只有a8L.答案：10解析：由题意，5 min 后，y 1＝a e －5n，y 2＝a －a e－5n，y 1＝y 2，∴n ＝15ln2.设再过t min桶1中的水只有a8L ，则y 1＝a e－n (5＋t )＝a8，解得t ＝10. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(1)计算：3－63＋41－34＋80.25×42＋125÷425.(2)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18.解：(1)原式＝－6＋(3－1)＋(23)14×214＋53224-＝－6＋3－1＋2＋5＝ 3.(2)解法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.解法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.18．(12分)现有命题P 和Q 如下． P ：函数y ＝c x 在R 上单调递减．Q ：函数f (x )＝ln(2x 2＋4x ＋1c)的值域为R .如果P 和Q 中有且只有一个命题是真命题，求非负实数c 的取值范围．解：函数y ＝c x在R 上单调递减⇔0<c <1.函数f (x )＝ln(2x 2＋4x ＋1c )的值域为R ⇔Δ＝42－4×2·1c ≥0，所以1c≤2，又c >0，所以c ≥12.根据题设可知，命题P 和Q 有且仅有一个正确．(1)如果P 正确，Q 不正确，则0<c <12；(2)如果Q 正确，P 不正确，则c ≥1.所以，正数c 的取值范围为(0，12)∪[1，＋∞)．19．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a x ，a ∈R . (1)求函数的定义域；(2)是否存在实数a ，使得f (x )为偶函数．解：(1)由2x－1≠0，得x ≠0，即函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)在定义域内任取x ，由f (x )－f (－x )＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋a (－x )＝0. 所以2a ＝－12－x －1－12x －1＝1，解得a ＝12.存在实数a ＝12，使得f (x )－f (－x )＝0成立，即使得f (x )为偶函数．20．(12分)已知函数f (x )＝log 2(1－x )，g (x )＝log 2(x ＋1)，设F (x )＝f (x )－g (x )． (1)判断函数F (x )的奇偶性； (2)证明函数F (x )是减函数．解：(1)F (x )＝f (x )－g (x )＝log 2(1－x )－log 2(x ＋1)＝log 21－x1＋x.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，得－1<x <1.∴函数F (x )的定义域为(－1,1)．∴函数F (x )的定义域关于原点对称，又∵F (－x )＝log 21＋x 1－x ＝－log 21－x1＋x＝－F (x )．∴函数F (x )为奇函数．(2)由(1)知函数F (x )的定义域为(－1,1)，任取－1<x 1<x 2<1，则log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2＝log 21－x 11＋x 21＋x 11－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2－x 1x 21＋x 1－x 2－x 1x 2. 又(1－x 1＋x 2－x 1x 2)－(1＋x 1－x 2－x 1x 2)＝2(x 2－x 1)>0，所以1－x 1＋x 2－x 1x 21＋x 1－x 2－x 1x 2>1，所以log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2>0，即log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1>log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2，所以函数F (x )是减函数．21．(12分)求函数y ＝(12)212x x ＋－的值域和单调区间．解：令t ＝1＋2x －x 2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t，而t ＝－(x －1)2＋2≤2，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.即所求的函数的值域是[14，＋∞)．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12212x x ＋－在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．22．(12分)已知函数f (x )＝log a 1－m x －2x －3(a >0，a ≠1)，对定义域内的任意x 都有f (2－x )＋f (2＋x )＝0成立．(1)求实数m 的值；(2)若当x ∈(b ，a )时，f (x )的取值范围恰为(1，＋∞)，求实数a ，b 的值．解：(1)由f (x )＝log a 1－m x －2x －3及f (2－x )＋f (2＋x )＝0对定义域内任意x 都成立，可得：log a 1－m [2－x －2]2－x －3＋log a 1－m [2＋x －2]2＋x －3＝0.解得m ＝±1.当m ＝1时，函数f (x )无意义，所以，只有m ＝－1.(2)m ＝－1时，f (x )＝log a 1－m x －2x －3＝log a x －1x －3(a >0，a ≠1)，其定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．所以，(b ，a )⊆(－∞，1)或(b ，a )⊆(3，＋∞)． ①若(b ，a )⊆(3，＋∞)，则3≤b <a . 为研究x ∈(b ，a )时f (x )的值域，可考虑f (x )＝log a x －1x －3在(3，＋∞)上的单调性．下证f (x )在(3，＋∞)上单调递减． 任取x 1，x 2∈(3，＋∞)，且x 1<x 2，则 x 1－1x 1－3－x 2－1x 2－3＝2x 2－x 1x 1－3x 2－3>0. 又a >1，所以log a x 1－1x 1－3>log a x 2－1x 2－3，即f (x 1)>f (x 2)．所以当(b ，a )⊆(3，＋∞)时，f (x )在(3，＋∞)上单调递减．由题：当x ∈(b ，a )时，f (x )的取值范围恰为(1，＋∞)，所以，必有b ＝3且f (a )＝1，解得a ＝2＋3(因为a >3，所以舍去a ＝2－3)．②若(b ，a )⊆(－∞，1)，则b <a ≤1.又由于a >0，a ≠1，所以0<a <1. 此时，同上可证f (x )在(－∞，1)上单调递增(证明过程略)．所以，f (x )在(b ，a )上的取值范围为(f (b )，f (a ))，而f (a )为常数，故f (x )的取值范围不可能恰为(1，＋∞)．所以，在这种情况下，a ，b 无解．综上，符合题意的实数a ，b 的值为a ＝2＋3，b ＝3.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

一、选择题1．下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5+=+ B ．2221log 3log 32-=C ．222log 3log 5log (35)⋅=+D ．231log 3log 2=2．若()()22ln 1f x x x e =+≤≤(e 为自然对数的底数)，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ） A ．6B ．13C ．22D ．333．已知()f x ，()g x 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2xf xg x +=，若对于任意的[]1,2x ∈，都有()()20f x a g x a -⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．317,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．155,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．若函数()()20.3log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32c =，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<5．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c6．已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A ．52a -B ．2a -C ．23(1)a a -+D ．231a a --7．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．[]1,2D ．(]0,2 8．已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．若函数112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．m 1≥D ．01m <≤10．函数()22x xxf x -=+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．11．函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()1+∞， B ．()01，C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 12．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知0a >，函数()y f x =，其中21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()y f x =在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，则a 的取值范围为_______．14．已知a b c 、、是不为1的正数，且0lga lgb lgc ++=，则 111111lgb lgclgc lgalga lgba b c+++⨯⨯的值为_____ 15．已知()(3),1log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是_________．16．函数21x x +)是_________（奇、偶）函数. 17．设函数2()ln(1)f x x x =+，若()23(21)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为_____.18．给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．19．对于函数()f x 定义域中任意的1x 、()212x x x ≠，有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x +=⋅；②()()()1212f x x f x f x ⋅=+；③()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭． 当()2xf x =时；上述结论正确的是__________．（写出所有正确的序号）20．给出下列四个命题：①函数f （x ）＝log a （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；②已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），则f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |；③若log a12＜1，则a 的取值范围是（0，12）∪（2，+∞）；④若2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）（x ＞0，y ＜0），则x +y ＜0.其中所有正确命题的序号是_____.三、解答题21．已知函数()11xaf x e =++为奇函数. （1）求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数；（2）求不等式()()2230f tf t +-≤的解集.22．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）求不等式()1f x >的解集.23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数． （3）若()11f =，解不等式()422xxf -<．24．已知函数121()log 21axf x x -=-，a 常数.（1）若2a =-，求证()f x 为奇函数，并指出()f x 的单调区间；（2）若对于35,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式1221log (21)log (21)4xx m x ⎛⎫+->-- ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.25．已知命题:p 关于x 的不等式()10,1xa a a >>≠的解集是{}0x x <，命题:q函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ，如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题.求实数a的取值范围.26．已知函数214()log (238)f x mx x m =-+.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1[,2]2上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断． 【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+，A 错误；22221log 32log 3log 32-=-≠，B 错误；222log 3log 5log (35)⋅≠+，C 错误； 3233log 31log 3log 2log 2==，D 正确． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则．log log log ()a a a M N MN +=，log log n a a b n b =，一般log ()log log a a a M N M N +≠+．log ()log log a a a MN M N ≠⋅， 1log log n a a b b n≠． 2．B解析：B 【分析】先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上的最大值即可. 【详解】由21x e ≤≤及()2f x知221x e ≤≤，故定义域为[]1,e ，又()()()()()222222ln 2ln ln 6ln 61y f x f x x x x x x e =+=+++=++≤≤⎡⎤⎣⎦令[]ln 0,1t x =∈，则266y t t =++，易见y 在[]0,1t ∈上单调递增， 故当1t =时，即x e =时，max 16613y =++=. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.3．B解析：B 【分析】利用奇偶性求出()222x x f x -+=，()222x x g x --=，讨论()22x x h x -=+和()g x 的单调性求最值可得()()h x g x >恒成立，则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】()()2x f x g x +=，()()2x f x g x --+-=∴，()f x 是偶函数，()g x 分是奇函数，()()2x f x g x -=∴-，可得()222x xf x -+=，()222x xg x --=，则不等式为()()1222202x xx x a a --⎡⎤+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦，令()22xxh x -=+，令2x t =，由对勾函数的性质可得1y t t=+在[]2,4单调递增， 则()22xxh x -=+在[]1,2单调递增，则()()()()min max 5171,224h x h h x h ====， 对于()222x x g x --=，因为2xy =单调递增，2x y -=-单调递增，()g x ∴在[]1,2单调递增，()()()()min max 3151,248g x g g x g ∴====， ()()h x g x ∴>恒成立，则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()g x a h x ≤≤，()()max min g x a h x ∴≤≤，即15582a ≤≤. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.4．A解析：A 【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a 的不等式组，求得a 的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案． 【详解】由5+4x-x 2＞0，可得-1＜x ＜5， 函数t=5+4x-x 2的增区间为（-1，2），要使f(x)＝log 0.3(5+4x−x 2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，则1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，即0≤a≤1． 而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1， ∴b ＜a ＜c ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．5．B解析：B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.6．B解析：B 【解析】试题分析：33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点：指数对数的计算7．A解析：A 【分析】根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性，把不等式212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+转化为2log 1a ≤进行求解即可.【详解】当0x <时，0x ->，则2()2()f x x x f x -=-=， 当0x >时，0x -<，则2()2()-=+=f x x x f x ， ∴函数()f x 为偶函数，∴222122(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.又当0x ≥时，函数()f x 单调递增，∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤，则2log 1a ≤， ∴21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.解析：C【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可．【详解】解：243,1log2,1ax ax xf xx a x⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x≠，都有()()1212f x f xx x--＜成立，所以分段函数是减函数，所以：0121442aaa a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C．【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．9．B解析：B【分析】11()+2xy m-=与x有公共点，转化为11()2xy-=与y m=-有公共点，结合函数图象，可得结果.【详解】11()+2xy m-=与x有公共点，即11()2xy-=与y m=-有公共点，11()2xy-=图象如图可知0110m m<-≤⇒-≤<故选：B【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ； 3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.11．D解析：D 【分析】由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围． 【详解】 解：函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．12．D解析：D 【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案. 【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ； 当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.二、填空题13．【分析】由函数单调性可得在区间上的最大值最小值则可得对任意恒成立利用二次函数的性质即可求出【详解】因为在区间内单调递减所以函数在区间上的最大值与最小值分别为则得整理得对任意恒成立令则的图象是开口向上解析：23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】由函数单调性可得()f x 在区间[1]t t ，+上的最大值()f t ，最小值(1)f t +，则可得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用二次函数的性质即可求出. 【详解】因为()f x 在区间[1]t t ，+内单调递减， 所以函数()f x 在区间[1]t t ，+上的最大值与最小值分别为()f t ，(1)f t +， 则2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 得1121a a tt ⎛⎫+≤+⎪+⎝⎭，整理得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．令2()(1)1h t at a t =++-，则()h t 的图象是开口向上，对称轴为11022t a=--<的抛物线，所以()h t 在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数，2(1)10at a t ++-≥等价于102h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 即211(1)1022a a ⎛⎫⨯++⨯-≥ ⎪⎝⎭，解得23a ≥，所以a 的取值范围为23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 故答案为：23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】关键点睛：由单调性判断出最大值和最小值，从而转化为2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，根据二次函数性质求解. 14．【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为：【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题 解析：11000【分析】根据对数运算公式，可以将0lga lgb lgc ++=转化，得到a ，b ，c 的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决． 【详解】由0lga lgb lgc ++=， 可得1bc a =，1ab c=，1ac b =，111111111()()()lgb lgclgc lgalga lgblgb lgalgcabcac bc ab +++∴⨯⨯=．11110101011111010101000bac log log log bac ==⨯⨯= 故答案为：11000【点睛】本题考查对数的运算，对数恒等式，属于基础题．15．【分析】分类讨论和结合已知和对数函数及一次函数的单调性得a 的不等式组求解即可【详解】解：若当时当时此时的值域不为R 不符合题意；若当时当时要使函数的值域为R 需使解得综上所述故答案为：【点睛】本题考查分解析：31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】分类讨论01a <<和1a >，结合已知和对数函数及一次函数的单调性，得a 的不等式组求解即可． 【详解】 解：若01a <<， 当1≥x 时，log 0a x ≤，当1x <时，()3332a x a a a a --<--=-，此时f x （）的值域不为R ，不符合题意；若1a >，当1≥x 时，log 0a x ≥，当1x <时，要使函数f x （）的值域为R ，需使30log 13a a a a ->⎧⎨≤--⎩，解得332a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，312a ∴<≤， 综上所述，312a <≤， 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查分段函数的值域及对数函数的性质，考查分类讨论思想与数学运算能力，是中档题.16．奇【解析】又所以函数f(x)是奇函数点睛:判断函数的奇偶性其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等解析：奇 【解析】210x x x x x x R +->=-≥∴∈又()()))lglglg10f x f x x x -+=+==所以函数f(x) 是奇函数.点睛: 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．17．【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为解析：1(1,)3-【分析】根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增，不等式化为()23(12)f a fa <-，转化为关于自变量的不等式，即可求解. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()))ln10f x f x x x +-=+==，()f x ∴是奇函数，设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数，()f x 在[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数， ()f x 在0x =处连续的，所以()f x 在R 上单调递增，()23(21)0f a f a +-<，化为()23(12)f a f a <-，等价于2312a a <-，即213210,13a a a +-<-<<， 所以实数a 的取值范围为1(1,)3-. 故答案为: 1(1,)3- 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.18．①③【分析】A 即为函数的定义域B 即为函数的值域求出每个函数的定义域及值域直接判断即可【详解】对①A ＝(﹣∞0)∪(0+∞)B ＝(﹣∞0)∪(0+∞)显然对于∀x ∈A ∃y ∈B 使得x+y ＝0成立即具有性解析：①③ 【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可． 【详解】对①，A ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝ (0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝ (0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ； 故答案为：①③． 【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．19．①④【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④【详解】对于①：因为所以故①正确；对于②：取所以所以不恒成立故②错误；对解析：①④ 【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④.【详解】对于①：因为()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++=⋅=⋅=，所以()()()1212f x x f x f x +=⋅，故①正确；对于②：取121,2x x ==，所以()()()()121224,246f x x f f x f x ⋅==+=+=，所以()()()1212f x x f x f x ⋅=+不恒成立，故②错误；对于③：因为()2xf x =是R 上的增函数，所以()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，故③错误；对于④：因为()()121212122222,=222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭，且121212*********22222222422220242x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅-⋅--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故④正确， 所以正确的有：①④， 故答案为：①④. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数. 20．②④【分析】根据对数函数的图像与性质以及函数的单调性和奇偶性逐个分析判断即可得解【详解】对于①由2x ﹣1＝1得x ＝1∴函数f （x ）＝loga （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1﹣1）故①错误；对于②函数解析：②④ 【分析】根据对数函数的图像与性质，以及函数的单调性和奇偶性，逐个分析判断即可得解. 【详解】对于①，由2x ﹣1＝1，得x ＝1，∴函数f （x ）＝log a （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故①错误；对于②，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），设x ＞0，则﹣x ＜0， ∴f （x ）＝f （﹣x ）＝﹣x （﹣x +1）＝x （x ﹣1），则f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |，故②正确； 对于③，由log a12＜1，得log a 12＜log a a ，当a ＞1时，不等式成立， 当0＜a ＜1时，解得012a <<. 则a 的取值范围是（0，12）∪（1，+∞），故③错误； 对于④，由2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）（x ＞0，y ＜0）， 得2﹣x ﹣lnx ＞2y ﹣ln （﹣y ），∵函数f （x ）＝2﹣x ﹣ln x 为定义域内的减函数， ∴x ＜﹣y ，即x +y ＜0，故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查了对数函数的运算以及对数函数的性质，考查了函数奇偶性和单调性的应用，考查了转化思想，属于中档题.本题涉及的方法有一下几个： （1）根据奇偶性求解析式，注意范围的设定； （2）构造函数，利用函数的单调性，确定大小关系.三、解答题21．（1）2a =-；证明见解析；（2）[]3,1-. 【分析】（1）根据()f x 为奇函数求得a 的值.利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上是增函数； （2）利用()f x 的奇偶性和单调性化简不等式()()222320f t t f t-+-≤，结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】（1）由已知()()f x f x -=-， ∴1111x x a a e e -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭， ∴22011x x x ae a a e e ++=+=++， 解得2a =-. ∴2()11x f x e -=++. 证明：12,x x R ∀∈，且12x x <，则()()()()()211212122221111x x x x x x e e f x f x e e e e -----=-=++++，∵12x x <，∴12x x e e <，∴210x x e e ->，又110x e +>，210x e +>， ∴()()()()()2112122011x x x x e e f x f x ee ---=<++，∴()()12f x f x <， 故函数()f x 在R 上是增函数. （2）∵()2(23)0f t f t +-≤，∴()2(23)f tf t ≤--，而()f x 为奇函数， ∴()2(32)f tf t ≤-，∵()f x 为R 上单调递增函数， ∴223t t ≤-+， ∴2230t t +-≤， ∴31t -≤≤，∴原不等式的解集为[]3,1-. 【点睛】关键点点睛：根据奇函数的定义求出a ，利用定义证明函数为增函数，可将()2(23)0f t f t +-≤转化，脱去“f ”，建立不等式求解，考查了转化思想，属于中档题.22．（1）()2,2-．（2）见解析;(3)18,211⎛⎫⎪⎝⎭． 【详解】试题分析：(1)根据对数函数的定义,列出关于自变量x 的不等式组,求出()f x 的定义域; (2)由函数奇偶性的定义,判定()f x 在定义域上的奇偶性;(3)化简()f x ,根据对数函数的单调性以及定义域,求出不等式()f x >1的解集. 试题（1）要使函数()f x 有意义．则20{20x x +>->，解得22x -<<.故所求函数()f x 的定义域为()2,2-．（2）由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，设()2,2x ∀∈-，则()2,2x -∈-． 且()()()()lg 2lg 2f x x x f x -=-+-+=-， 故()f x 为奇函数． （3）因为()f x 在定义域()2,2-内是增函数， 因为()1f x >，所以2102x x+>-，解得1811x >．所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫⎪⎝⎭． 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x < 【分析】（1）令0m n ==，代入等式，可求得()00=f ；（2）令n m =-，代入等式，结合()00=f ，可得到()()f m f m -=-，从而可知()y f x =是奇函数，然后用定义法可证明()f x 在(),-∞+∞上为增函数；（3）原不等式可化为()()422x xf f -<，结合函数()f x 的单调性，可得出422x x -<，解不等式即可.【详解】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f . （2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-， ∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-， ∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数． 在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <， ∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112xxf f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x-<，即()()12022x x+<-，∵210x +>，∴220x -<，解得1x <， 故原不等式的解集为{}|1x x <. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.24．（1）证明见解析；单调增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）98m <-. 【分析】（1）2a =-时，1221()log 21x f x x +=-，求其定义域，计算()()0f x f x 即可.（2）将不等式整理为21211log 214xx m x +⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，12211()log 214xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，只需要min ()g x m >.利用()g x 单调性即可求出min 39()28g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而可得98m <-.【详解】（1）证明：当2a =-时，1221()log 21x f x x +=-. ()f x 的定义域为11,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当11,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时， 11222121()()log log 2121x x f x f x x x -++-+=+---11222121log log 102121x x x x -++⎛⎫=⋅== ⎪---⎝⎭.∴()()0f x f x +-=， ∴()f x 是奇函数，1221()log 21x f x x +=-是由2121x t x +=-和12log y t=复合而成，12log y t =单调递减，2121221212121x x t x x x +-+===+---在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，所以1221()log 21x f x x +=-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由1221log (21)log (21)4xx m x ⎛⎫+->-- ⎪⎝⎭，得21211log 214xx m x +⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，令12211()log 214xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，若使题中不等式恒成立，只需要min ()g x m >.由（1）知()f x 在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以12211()log 214xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以min 39()28g x g ⎛⎫==-⎪⎝⎭. 所以m 的取值范围是98m <-. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的单调性求最值，考查了恒成立问题，属于中档题.25．[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【分析】先根据命题p 、q 为真命题时求出对应的实数a 的取值范围，再由题中复合命题的真假判断出p 、q 中一真一假，然后分“p 真q 假”和“p 假q 真”两种情况讨论，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题知:p 关于x 的不等式1x a >（0a >且1a ≠）的解集是{}0x x <，所以：01a <<.:q函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ，等价于x R ∀∈，210ax +>.（i ）当0a =时，不等式10+>在R 上不恒成立； （ii ）当0a ≠时，0240a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >.即1:2q a >. 如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 真q 假，或p 假q 真，若p 真q 假，则0112a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩，可得102a <≤； 若p 假q 真，则0112a a a ≤≥⎧⎪⎨>⎪⎩或，可得1a ≥. 解得102a <≤或1a ≥. 所以，实数a 的取值范围是[)10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数，考查指数函数的单调性以及对数型复合函数的定义域问题，考查运算求解能力，属于中等题.26．（Ⅰ）114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（Ⅰ）把1m =代入，可得()122()log 238f x x x =-+，令2238y x x =-+，求出其在1[,2]2上的值域，利用对数函数的单调性即可求解. （Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，()122()log 238f x x x =-+，此时函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （Ⅱ）因为函数14log y x =在(0,)+∞上单调递减，故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.。

一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ） A ．111c a b=+ B ．221c a b=+ C ．122c a b=+ D ．212c a b=+ 2．下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5+=+ B ．2221log 3log 32-=C ．222log 3log 5log (35)⋅=+D ．231log 3log 2=3．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(50)11()t f t e --=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（ ）(参考数据： 1.13e ≈) A ．38 B ．40C ．45D ．474．若x ，y ，z 是正实数，满足2x =3y =5z ，试比较3x ，4y ，6z 大小（ ）A ．3x >4y >6zB ．3x >6z >4yC ．4y >6z >3xD ．6z >4y >3x5．已知()()514,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）.A ．()0,1B ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,19⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知()f x ，()g x 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2xf xg x +=，若对于任意的[]1,2x ∈，都有()()20f x a g x a -⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．317,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．155,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设0.34()5a =，0.254b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，125log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．b c a >>9．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ） A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦10．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b11．函数213()log 4f x x =-的单调减区间是（ ）A ．(]()2,02,-+∞B ．(]2,0-和(2,)+∞ C ．(),20,2[)-∞-D ．(,2)-∞-和[0,2)12．物理学规定音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：010lgII η=(其中0I 是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB 与60dB 之间，则60dB 声音的声波强度1I 是40dB 声音的声波强度2I 的（ ）A ．32倍B ．3210倍C ．100倍D ．3lg2倍 二、填空题13．若函数()2log 12a a f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()0,1a a >≠没有最小值，则实数a 的取值范围是______.14．给出下列四个命题：①函数f （x ）＝log a （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；②已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），则f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |；③若log a12＜1，则a 的取值范围是（0，12）∪（2，+∞）；④若2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）（x ＞0，y ＜0），则x +y ＜0.其中所有正确命题的序号是_____. 15．已知12512.51000x y ==，则11x y＝_____.16．已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则ab =___________. 17．已知函数f （x ）＝[log a （x +2）]+3的图象恒过定点（m ，n ），且函数g （x ）＝mx 2﹣2bx +n 在[1，+∞）上单调递减，则实数b 的取值范围是________.18．设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是_____. 19．7log 31lg 25lg 272++=________. 20．设函数()f x 满足()22221x f x ax a =-+-，且()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-，则实数a 的取值范围为______.三、解答题21．已知函数2()46f x ax x =-+．（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间(1,3)上单调递增，求实数a 的取值范围． 22．设函数()()1xxf x a k a -=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，且()312f =. （1）求k ，a 的值；（2）求函数()f x 在[)1,+∞上的值域； （3）设()()222xx g x a a m f x -=+-⋅，若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值；（4）对于（3）中函数()g x ，如果()0g x >在[)1,+∞上恒成立，求m 的取值范围. 23．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.24．已知12324xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，121log ,264B y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭． （1）求AB ；（2）若{}11C x m x m =-≤≤+，若C A ⊆，求m 的取值范围．25．已知函数1()log a f x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 其中实数0a >且1a ≠. （1）当3a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）若()f x 在区间[1,3]上单调递增，求a 的取值范围；26．已知函数214()log (238)f x mx x m =-+. （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1[,2]2上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ， 则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==， 同理1log 4k b =，1log 6k c=， 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b=+． 故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．D解析：D 【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断． 【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+，A 错误；22221log 32log 3log 32-=-≠，B 错误； 222log 3log 5log (35)⋅≠+，C 错误；3233log 31log 3log 2log 2==，D 正确． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则．log log log ()a a a M N MN +=，log log n a a b n b =，一般log ()log log a a a M N M N +≠+．log ()log log a a a MN M N ≠⋅， 1log log n a a b b n≠． 3．B解析：B 【分析】 根据()0.1f t =列式求解即可得答案.【详解】 解：因为()0.1f t =，0.22(50)11()t f t e --=+，所以0.22(50)()0.111t f t e--==+，即0.22(50)011t e --=+，所以0.22(50)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()21.12.29e e =≈，所以0.222().250t e e --=，所以()0.2250 2.2t --=，解得40t =. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=，再结合已知 1.13e ≈得()21.12.29e e =≈，进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案，是基础题.4．B解析：B 【分析】令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg3t y =，lg lg5tz =，利用作差法能求出结果. 【详解】∵x 、y 、z 均为正数，且235x y z ==， 令235x y z t ===，则1t >，故2lg log lg 2t x t ==，3lg log lg 3t y t ==，5lg log lg 5tz t ==， ∴()3lg lg5lg 4lg 2lg 3630lg 2lg5lg 2lg5t t t x z -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭，即36x z >； ()2lg lg 27lg 253lg 2lg 6420lg5lg3lg3lg5t t t z y -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭，即64z y >， 即364x z y >>成立，故选：B. 【点睛】 关键点点睛：（1）将指数式转化为对数式； （2）利用作差法比较大小.5．C解析：C 【分析】由51001514log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩解得结果即可得解. 【详解】 因为()()514,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，所以51001514log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得1195a ≤<.故选：C 【点睛】易错点点睛：容易忽视两段交界点处函数值的大小关系.6．A解析：A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ，该函数的定义域为R ，()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，函数()22=-xf x x 为偶函数，排除B 、D 选项；又()010f =>，排除C 选项.故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．B解析：B 【分析】利用奇偶性求出()222x x f x -+=，()222x x g x --=，讨论()22x xh x -=+和()g x 的单调性求最值可得()()h x g x >恒成立，则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】()()2x f x g x +=，()()2x f x g x --+-=∴，()f x 是偶函数，()g x 分是奇函数，()()2x f x g x -=∴-，可得()222x xf x -+=，()222x xg x --=，则不等式为()()1222202x xx x a a --⎡⎤+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦，令()22xxh x -=+，令2x t =，由对勾函数的性质可得1y t t=+在[]2,4单调递增， 则()22xxh x -=+在[]1,2单调递增，则()()()()min max 5171,224h x h h x h ====， 对于()222x xg x --=，因为2x y =单调递增，2x y -=-单调递增，()g x ∴在[]1,2单调递增，()()()()min max 3151,248g x g g x g ∴====， ()()h x g x ∴>恒成立，则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()g x a h x ≤≤，()()max min g x a h x ∴≤≤，即15582a ≤≤. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.8．A解析：A 【分析】根据指数函数、对数函数的 性质结合中间值0和1比较． 【详解】由指数函数性质得0.34015⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0.2514⎛⎫> ⎪⎝⎭，由对数函数性质得125log 04<， ∴b a c >>． 故选：A ． 【点睛】本题考查比较幂与对数的，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键．解题方法是借助中间值比较大小．9．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减， 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题10．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.11．B解析：B 【分析】先分析函数的定义域，然后根据定义域以及复合函数的单调性判断方法确定出()f x 的单调递减区间. 【详解】因为240x ->，所以定义域为()()(),22,22,-∞--+∞，令()24u x x =-，13log y u =在()0,∞+上单调递减， 当(),2x ∈-∞-时，()u x 单调递减，所以()f x 单调递增； 当(]2,0x ∈-时，()u x 单调递增，所以()f x 单调递减； 当()0,2x ∈时，()u x 单调递减，所以()f x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()u x 单调递增，所以()f x 单调递减； 综上可知：()f x 的单调递减区间为(]2,0-和()2,+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调区间的求解，难度一般.分析复合函数的单调性，注意利用判断的口诀“同增异减”，当内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数，当内外层函数单调性相反时，整个函数为减函数.12．C解析：C 【分析】 先根据010lg II η=得10010I I η=，再将60dB 和40dB 代入得计算12I I 即可得答案.【详解】解：因为音量大小与强度为I 的声波的关系为010lgII η=，所以10010I I η=，所以606101001010I I I ==，404102001010I I I ==，所以6014201010010I I I I ==， 故选：C. 【点睛】本题以物理知识为背景，考查指对数的互化，运算等，是中档题.二、填空题13．【分析】讨论和两种情况结合对数函数的单调性可判断求解【详解】当时在单调递减没有最大值没有最小值符合题意；当时在单调递增则可得当有解时没有最小值解得综上的取值范围为故答案为：【点睛】关键点睛：结合对数 解析：(0,1)[4,)∞⋃+【分析】讨论01a <<和1a >两种情况结合对数函数的单调性可判断求解. 【详解】当01a <<时，log ay x =在(0,)+∞单调递减，212a y x x =-+没有最大值，()2log 12a a f x x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭没有最小值，符合题意；当1a >时，log ay x =在(0,)+∞单调递增，则可得当2102ax x -+≤有解时，()2log 12a a f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭没有最小值，2402a ⎛⎫∴∆=--≥ ⎪⎝⎭，解得4a ≥，综上，a 的取值范围为(0,1)[4,)∞⋃+.故答案为：(0,1)[4,)∞⋃+. 【点睛】关键点睛：结合对数函数的单调性进行讨论求解，将题目转化为2102ax x -+≤有解进行求解.14．②④【分析】根据对数函数的图像与性质以及函数的单调性和奇偶性逐个分析判断即可得解【详解】对于①由2x ﹣1＝1得x ＝1∴函数f （x ）＝loga （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1﹣1）故①错误；对于②函数解析：②④ 【分析】根据对数函数的图像与性质，以及函数的单调性和奇偶性，逐个分析判断即可得解. 【详解】对于①，由2x ﹣1＝1，得x ＝1，∴函数f （x ）＝log a （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故①错误；对于②，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），设x ＞0，则﹣x ＜0， ∴f （x ）＝f （﹣x ）＝﹣x （﹣x +1）＝x （x ﹣1）， 则f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |，故②正确； 对于③，由log a12＜1，得log a 12＜log a a ，当a ＞1时，不等式成立， 当0＜a ＜1时，解得012a <<. 则a 的取值范围是（0，12）∪（1，+∞），故③错误； 对于④，由2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）（x ＞0，y ＜0），得2﹣x ﹣lnx ＞2y ﹣ln （﹣y ），∵函数f （x ）＝2﹣x ﹣ln x 为定义域内的减函数， ∴x ＜﹣y ，即x +y ＜0，故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查了对数函数的运算以及对数函数的性质，考查了函数奇偶性和单调性的应用，考查了转化思想，属于中档题.本题涉及的方法有一下几个： （1）根据奇偶性求解析式，注意范围的设定； （2）构造函数，利用函数的单调性，确定大小关系.15．【分析】根据指数与对数之间的关系求出利用对数的换底公式即可求得答案【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系掌握对数换底公式:是解本题的关键属于基础题解析：13【分析】根据指数与对数之间的关系,求出,x y ,利用对数的换底公式,即可求得答案. 【详解】∵12512.51000x y ==， ∴12512.51000100011log 1000,log 1000log 125log 12.5x y ====，∴1000100011log 125,log 12.5x y==，∴1000111log 103x y -==. 故答案为：13. 【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系.掌握对数换底公式:log log log c a c bb a=是解本题的关键.属于基础题.16．9【分析】由对数的运算性质解并整理得由可求出的值【详解】解：整理得解得或因为所以则即因为所以所以解得或因为所以所以所以故答案为：9【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算解题的关键是由得出再解析：9 【分析】由对数的运算性质解10log log 3a b b a +=并整理得3a b =，由b a a b =可求出,a b 的值. 【详解】解：110log log log log 3a b b b b a a a +=+=，整理得()23log 10log 30b b a a -+=， 解得log 3b a =或13，因为1a b >>，所以log 1b a >，则log 3b a =，即3a b =， 因为b a a b =，所以33b b b b =，所以33b b =，解得b =0，因为1b >，所以b =所以3a ==，所以9ab ==. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算，解题的关键是由10log log 3a b b a +=得出3a b =，再根据指数运算求解.17．【分析】先求出m=-1n=3再利用二次函数的图像和性质分析得解【详解】因为函数f （x ）＝loga （x+2）+3的图象恒过定点所以m=-1n=3所以g （x ）＝-x2﹣2bx+3因为g （x ）＝-x2﹣2 解析：[)1,-+∞【分析】先求出m =-1,n =3.再利用二次函数的图像和性质分析得解. 【详解】因为函数f （x ）＝[log a （x +2）]+3的图象恒过定点(1,3)-， 所以m =-1,n =3，所以g （x ）＝-x 2﹣2bx +3，因为g （x ）＝-x 2﹣2bx +3在[1，+∞）上单调递减， 所以对称轴1x b =-≤， 解得1b ≥-， 故答案为：[)1,-+∞ 【点睛】关键点点睛：本题考查了对数型函数过定点，可求出,m n 的值，利用了二次函数的单调性与对称轴的关系求出b 的范围.18．【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解：正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应 解析：[)6,+∞【分析】由题设知3x y xy ++=，再由2220x xy y -+，得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy+，设x y a +=，由此可求出x y +的取值范围． 【详解】 解：正数x ，y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，22log (3)log x y xy ∴++=，3x y xy ∴++=，又2220x xy y -+，所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，由3x y xy ++=得到2()34x y x y +++，设x y a +=即2412a a +，解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞．根据定义域x ，y 均大于零，所以x y +取值范围是[)6,+∞． 故答案为：[)6,+∞． 【点睛】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．19．4【分析】结合对数的基本运算化简求值即可【详解】解：故答案为：4【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质熟记公式熟练运用对数的化简对数恒等式是最基本的要求属于基础题型解析：4 【分析】结合对数的基本运算化简求值即可. 【详解】 解：7log 3211lg 25lg 27lg 5lg 23lg 5lg 23lg103422++=++=++=+=. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质，熟记公式，熟练运用对数的化简、对数恒等式是最基本的要求，属于基础题型.20．【分析】利用换元法可得然后采用等价转换的方法可得在的值域为最后根据二次函数的性质可得结果【详解】由令所以则令由在上的值域为等价为在的值域为的对称轴为且所以可得或所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数解析：⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【分析】利用换元法，可得()2221g x x ax a =-+-，然后采用等价转换的方法，可得()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-，最后根据二次函数的性质，可得结果.【详解】由()22221x f x ax a =-+-令22,log xt x t ==，所以()()2222log 2log 1f t t a t a =-+-则令()2221g x x ax a =-+-由()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0- 等价为()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-()g x 的对称轴为x a =，且()()1,10g a g a =--= 所以()()22122222a a a a a a -+-+≤≤-+1a ≤≤或2a ≤≤所以a ⎤⎡∈⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为：⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查函数值域的应用，难点在于使用等价转换思想，使问题化繁为简，属中档题.三、解答题21．（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,+∞. 【分析】（1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围. 【详解】（1）因为()22log 46y ax x =-+的值域为R ，所以246y ax x =-+的值域包含()0,∞+，当0a =时，246y ax x =-+即46y x =-+，此时46y x =-+的值域为R ，满足； 当0a ≠时，则有016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩，所以203a <≤，综上可知：20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）当1a >时，log a y x =在()0+∞，上单调递增，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递增，所以()2110a f ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，所以2a ≥，当01a <<时，log a y x =在()0+∞，上单调递减，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递减，所以()2330a f ⎧≥⎪⎨⎪>⎩，此时a 无解，综上可知：[)2,a ∈+∞.【点睛】思路点睛：形如()()()2lg 0f x ax bx ca =++≠的函数，若函数的定义域为R ，则有00a >⎧⎨∆<⎩；若函数的值域为R ，则有00a >⎧⎨∆≥⎩. 22．（1）2a =，2k =；（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）2m =；（4）17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由奇函数性质求得k ，由3(1)2f =可求得a ； （2）利用函数的单调性得值域；（3）换元，设22x x t -=-，则3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()g x 转化为()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，由二次函数的性质求得最小值，再由最小值为2-可得m ， （4）在（3）基础上，由()k t 的最小值大于0可得m 的取值范围．【详解】解：（1）∵函数()()1xxf x a k a -=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，即()110k --=，2k =， ∵()312f =.∴132a a -=，2a =， ∴2a =，2k =，（2）1()2222x x xx f x -=-=-是增函数，∴1≥x 时，13()222f x ≥-=，即值域中3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； （3）()()2222222xx x x g x m --=+--，设22x x t -=-，[)1,x ∈+∞，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∴()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， ∵若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，∴()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭的最小值为2-，∴23222m m ⎧≥⎪⎨⎪-+=-⎩或3293224m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩ 即2m =，或2512m =(舍去)， 故2m =；（4）()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵()0g x >在[)1,+∞上恒成立，∴()0k t >在3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立， ∴23220m m ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或3293204m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩， 解不等式得出x ∈∅或1712m <， ∴m 的取值范围为17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查指数函数的性质，考查奇偶性，由奇偶性同函数解析式，由单调性是函数的值域，在求函数()g x 的最值问题，不等式恒成立问题时，解题方法是换元法，即设22x x t -=-，把指数函数转化为二次函数，然后利用二次函数性质求解． 23．（1）2a =；(1,3)-；（2）2.【分析】（1）由函数值求得a ，由对数的真数大于0可得定义域；（2）函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值． 【详解】 解：（1）(1)2f =，log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==，解得2(0,1)a a a =>≠，由1030x x +>⎧⎨->⎩，得(1,3)x ∈-.∴函数()f x 的定义域为()13-，.（2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦∴当[0,1]x ∈时，()f x 是增函数；当3[1,]2x ∈时，()f x 是减函数.所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）24．（1）[1,5]A B ⋂=-；（2）(],3-∞. 【分析】（1）根据指数运算解不等式求出集合A ，利用对数的运算求出集合B ，由此能求出A B ；（2）由{}11C x m x m =-≤≤+和C A ⊆，对C 是否为空集分类讨论，列出不等式组，由此能求出m 的取值范围． 【详解】 解：（1）1{|232}{|25}4xA x x x ==-， 12{|log B y y x==，12}{|16}64x x x =-， [1,5]A B ∴=-.（2）{}11C x m x m =-≤≤+且C A ⊆，若,11,0C m m m =∅->+<若C ≠∅，则111512m m m m -≤+⎧⎪+⎨⎪--⎩，解得03m ≤≤，m ∴的取值范围是(],3-∞.【点睛】本题考查交集的运算以及根据集合间的包含关系求参数的取值范围，还涉及指对数的运算，属于基础题．25．(1) 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2) 103a << 【分析】(1)代入3a =,根据对数函数的单调性求解即可.(2)先根据区间[1,3]结合定义域可求得a 的大致范围,从而确定log a y x =的单调性,再根据复合函数的单调性确定a 的取值范围即可. 【详解】(1) 当3a =时, 31()log 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,故()0f x >即31log 30x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即131x ->,14x >,解得104x <<.故()0f x >解集为10,4⎛⎫⎪⎝⎭.(2)由定义域可知,10a x->,即1a x >在区间[1,3]上恒成立,故103a <<,所以log a y x =为减函数.又1y a x =-在区间[1,3]上为减函数,故1()log a f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[1,3]上为增函数.满足题意.故103a << 【点睛】本题主要考查了对数函数的不等式求解以及对数型复合函数的单调性求解参数的问题.属于中档题.26．（Ⅰ）114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（Ⅰ）把1m =代入，可得()122()log 238f x x x =-+，令2238y x x =-+，求出其在1[,2]2上的值域，利用对数函数的单调性即可求解. （Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，()122()log 238f x x x =-+， 此时函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （Ⅱ）因为函数14log y x =在(0,)+∞上单调递减， 故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.。

一、选择题1．若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦2．若函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a的取值范围为（ ） A ．[]3,2-- B ．[)3,2--C ．(],2-∞-D ．(),2-∞-3．函数()f x =的定义域是（ ） A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞4．若()()22ln 1f x x x e =+≤≤(e 为自然对数的底数)，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ） A ．6B ．13C ．22D ．335．已知函数3()22xf x =+，则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．212 B ．214C ．7D ．1526．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为（参考数据：lg 20.3≈， 3.96109120≈）（ ） A ．7596B ．9119C ．11584D ．144697．若函数()()20.3log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32c =，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<8．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y 、5z的大小排序为A ．235x y z<<B ．325y x z<<C ．523z x y <<D ．532z y x<<9．函数y =）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 10．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数11．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦12．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是________.14．已知函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数，则m 的取值范围是__.15．已知1122x x-+=22165x x x x --+-=+-______.16．已知函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是_______． 17．给出下列命题：①函数2x y =与2log y x =互为反函数，其图象关于直线y x =对称； ②已知函数2(1)21f x x x -=-+，则(5)26f =；③当0a >且1a ≠时，函数()log (2)3a f x x =--的图像必过定点(3,3)-； ④用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1；⑤函数2()2x f x x =-的零点有2个. 其中所有正确命题．．．．的序号是______18．已知12512.51000x y ==，则11xy＝_____.19．已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1xf x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.20．设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是_____.三、解答题21．设131()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值．（2）若[2,4]x ∀∈，不等式1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数22()log (23).f x x x =-++（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）写出函数()f x 的单调增区间和减区间（不要求证明）.23．已知函数()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩（Ⅰ）求()()()1ff f -的值；（Ⅱ）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求x 的取值范围． 24．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）求不等式()1f x >的解集. 25．计算下列各式的值：（1）01143410.027162567-⎛⎫-+-⎪⎝⎭（2）3ln 2145log 2lg 4lg 82e +++ 26．（1）计算00.520.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知11223x x-+=，求12222x x x x --+++-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】转化为当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，根据图象列式可解得结果. 【详解】由题意知关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立， 所以当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，由图可知0111log 22a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a ≤<.故选：A 【点睛】关键点点睛：利用函数342xy =-的图象与函数log a y x =的图象求解是解题关键. 2．A解析：A 【分析】判断复合函数的单调性，首先要分清楚内外层函数，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求即可. 【详解】由题意知，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数， 由()()23log 5f x x ax a =+++可知，此复合函数外层函数为：()3log f x x =，在定义域上为增函数， 内层函数为()25h x x ax a =+++，要使()f x 在区间(),1-∞上是递减函数， 根据复合函数“同增异减”原则，内层函数为()h x 在区间(),1-∞上必须是递减函数， 同时须保证最大值()10h ≥，所以()1210a h ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩，解得32a --≤≤. 故选：A. 【点睛】易错点睛：判断复合函数的单调性，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求.3．A解析：A 【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域. 【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x <<所以函数的定义域是()0,2. 故选：A . 【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.4．B解析：B 【分析】先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上的最大值即可. 【详解】由21x e ≤≤及()2f x知221x e ≤≤，故定义域为[]1,e ，又()()()()()222222ln 2ln ln 6ln 61y f x f x x x x x x e =+=+++=++≤≤⎡⎤⎣⎦令[]ln 0,1t x =∈，则266y t t =++，易见y 在[]0,1t ∈上单调递增， 故当1t =时，即x e =时，max 16613y =++=. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.5．B解析：B 【分析】先利用解析式计算3()(2)2f x f x +-=，再计算和式即可得到结果. 【详解】 因为3()22x f x =+， 所以2332(2)22224xx x f x -⋅-==+⋅+，()3323()(2)222222x x x f x f x ⋅+-=+=++. 故1113573321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算3()(2)2f x f x +-=，再配对求和即解决问题. 6．B解析：B 【分析】根据题设条件列出方程，计算即可. 【详解】由题可知 ()()()22log 119991+20%log 1W W λ+⨯=+，即()221.2log 2000log 1λ⨯=+，所以()lg 1lg 20001.2lg 2lg 2λ+⨯=，即()()lg 1 1.2lg2000 1.23lg2 3.96λ+=⨯=⨯+≈，所以 3.961109120λ+≈≈，所以9119λ≈. 故选：B 【点睛】本题主要考查对属于对数函数，考查学生的运算能力.7．A解析：A 【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a 的不等式组，求得a 的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案． 【详解】由5+4x-x 2＞0，可得-1＜x ＜5， 函数t=5+4x-x 2的增区间为（-1，2），要使f(x)＝log 0.3(5+4x−x 2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，则1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，即0≤a≤1． 而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1， ∴b ＜a ＜c ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．8．A解析：A 【解析】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k k k x y z---=>=>=>，． 即10k -> 因为函数1kf x x -=（） 单调递增，∴235x y z<<.故选A.9．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C10．C解析：C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .11．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减， 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题12．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】由函数的定义域是即结合函数的解析式列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数有意义则满足解得解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解以及对数函数 解析：(0,1)【分析】由函数()f x 的定义域是[1,1]-，即11x -≤≤，结合函数的解析式(21)()ln(1)f xg x x -=-，列出不等式组12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域是[1,1]-，即11x -≤≤，则函数(21)()ln(1)f x g x x -=-有意义，则满足12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩ ，解得0110x x x ≤≤⎧⎪<⎨⎪≠⎩，解得01x <<，即函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是(0,1).故答案为：(0,1). 【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解，以及对数函数的性质的应用，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】根据对数部分函数为单调递增所以整个函数为递增函数两段函数各自递增且左段的右端点小于等于右段的左端点即可求得的取值范围【详解】函数在上是单调函数因为当时为增函数所以整个函数在上是单调递增函数因 解析：[5,4]--【分析】根据对数部分函数为单调递增,所以整个函数为递增函数.两段函数各自递增,且左段的右端点小于等于右段的左端点,即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数因为当1x >时, 2()log (6)f x x m =+为增函数,所以整个函数在(,)-∞+∞上是单调递增函数因而满足60x m +>对1x >恒成立,则6m ≥-. 当1x ≤时,2()23f x x mx =---为增函数,则14m-≥ 即2614(1)log (6)m mf m ≥-⎧⎪⎪-≥⎨⎪≤+⎪⎩,即2645log (6)0m m m m ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+++≥⎩因为2()5log (6)g x x x =+++在(6,)-+∞为增函数,且(5)0g -=, 所以5m ≥-.综上可知54m -≤≤-,即[5,4]m ∈-- 故答案为:[5,4]-- 【点睛】本题考查了分段函数的单调性判断,根据函数单调性求参数的取值范围,属于中档题.15．【分析】对平方可得再平方可得即可求解【详解】两边同时平方得：所以对两边同时平方得：则故答案为：【点睛】此题考查指数式的化简求值进行整体变形处理利用平方关系得出等量关系解析：12-【分析】对1122x x -+=13x x -+=，再平方可得227x x -+=，即可求解. 【详解】1122x x-+=125x x -++=，所以13x x -+=对13x x -+=两边同时平方得：2229x x -++=，227x x -+=则22167615352x x x x --+--==-+--. 故答案为：12- 【点睛】此题考查指数式的化简求值，进行整体变形处理，利用平方关系得出等量关系.16．【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足（1）当时函数单调递增；则（2）当时函数单调递增；则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析：23a <≤【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】 函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增 则需满足（1）当2x <时，函数()f x 单调递增；则2a > （2）当2x ≥时，函数()f x 单调递增；则1a >(3)函数()f x 在两段分界处2x =，满足()21221a a --⨯+≤，即3a ≤所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤故答案为：23a <≤ 【点睛】关键点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，解答本题的关键是分段函数在上单调递增，从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势，即函数()f x 在[)2+∞，上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21221a a --⨯+≤，这是容易忽略的地方，属于中档题.17．①③【分析】①求解出的反函数再根据反函数的特点进行判断；②采用换元法求解出的解析式由此计算出的值并进行判断；③分析当对数式的真数为时此时的值由此确定出函数所过定点并进行判断；④根据每经过一次操作区间解析：①③ 【分析】①求解出2x y =的反函数，再根据反函数的特点进行判断；②采用换元法求解出()f x 的解析式，由此计算出()5f 的值并进行判断；③分析当对数式的真数为1时，此时,x y 的值，由此确定出函数所过定点并进行判断； ④根据每经过一次操作区间长度变为原来的一半，由此列出关于次数的不等式，求解出次数的范围并进行判断；⑤根据()()2,4f f 的值以及零点的存在性定理进行判断. 【详解】①令2y x =，所以2log y x =，所以函数2x y =与2log y x =互为反函数，则图象关于y x =对称，故正确；②令1x t -=，则1x t =+，所以()()()221211f t t t t =+-++=，所以()2f x x =，所以()525f =，故错误；③令21x -=，所以3x =，所以()3log 133a f =-=-，所以()f x 过定点()3,3-，故正确；④因为区间()2,3的长度为1，经过n 次操作过后区间长度变为12n ，所以10.12n≤，所以4n ≥，故错误；⑤因为()()22422220,4240f f =-==-=，且()()()21011210,020102f f --=--=-<=-=>，所以()f x 在()1,0-上有零点，所以()f x 的零点至少有3个，故错误； 故答案为：①③. 【点睛】 结论点睛：（1）同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于y x =对称；（2）形如()()()log 0,1a f x g x b a a =+>≠的图象过定点问题，可考虑令()1g x =，由此求解出x 的值，从而对应的()f x 的值可求，则定点坐标可求；（3）利用二分法求解函数零点的近似值时，每进行一次操作，区间长度会变为原来的一半.18．【分析】根据指数与对数之间的关系求出利用对数的换底公式即可求得答案【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系掌握对数换底公式:是解本题的关键属于基础题解析：13【分析】根据指数与对数之间的关系,求出,x y ,利用对数的换底公式,即可求得答案. 【详解】∵12512.51000x y ==， ∴12512.51000100011log 1000,log 1000log 125log 12.5x y ====，∴1000100011log 125,log 12.5x y==， ∴1000111log 103x y -==. 故答案为：13. 【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系.掌握对数换底公式:log log log c a c bb a=是解本题的关键.属于基础题.19．【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知：因为对一切故关于对称；又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为：【点睛】本题考查利用函数周期 解析：31e e --【分析】根据题意，求得()f x 的周期性，则()2019f 可求，再结合函数解析式，求得函数值即可. 【详解】由题可知：因为对一切x R ∈，()()11f x f x +=-， 故()f x 关于1x =对称； 又因为()f x 是奇函数，则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-，故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=， 故函数()f x 是周期为4的函数. 则()()()201911f f f =-=-，又当[]0,1x ∈，()1xf x e =-，故()()201911f f e =-=-，则()()()()()320191131eff f e f e f e e-=-=--=--=-.故答案为：31e e --. 【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期.20．【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解：正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应 解析：[)6,+∞【分析】由题设知3x y xy ++=，再由2220x xy y -+，得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，设x y a +=，由此可求出x y +的取值范围．【详解】 解：正数x ，y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，22log (3)log x y xy ∴++=，3x y xy ∴++=，又2220x xy y -+，所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，由3x y xy ++=得到2()34x y x y +++，设x y a +=即2412a a +，解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞．根据定义域x ，y 均大于零，所以x y +取值范围是[)6,+∞． 故答案为：[)6,+∞． 【点睛】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．三、解答题21．（1）1a =-；（2）89m <. 【分析】（1）由奇函数的性质()()0f x f x ，代入运算后可得1a =±，代入验证即可得解；（2）转化条件为131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，结合函数的单调性求得()min g x 即可得解.【详解】（1）因为131()log 1axf x x -=-为奇函数， 则1113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()21231log 01ax x-==-， 则()22111ax x -=-，所以21a =即1a =±， 当1a =时，()11331()log log 11xf x x -==--，不合题意； 当1a =-时，131()log 1x f x x +=-，由101xx +>-可得1x >或1x <-，满足题意； 故1a =-；（2）由1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭可得131log 113xx x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-，则131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，因为函数12111x y x x +==+--在[2,4]上单调递减， 所以函数131log 1xy x +=-在[2,4]上单调递增， 所以()g x 在[2,4]上单调递增，所以()()1min 32log 182993g x g -===+，所以89m <. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.22．（1）定义域为(1,3)-,值域为(,2]-∞（2）递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3) 【分析】（1）由2230x x -++>解得结果可得定义域，根据二次函数知识求出真数的值域，根据对数函数的单调性可求得()f x 的值域；（2）在定义域内求出真数的单调区间，根据底数大于1可得函数()f x 的单调区间. 【详解】（1）由函数有意义可得2230x x -++>，即2230x x --<， 解得13x ，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-， 因为13x，所以2223(1)4x x x -++=--+(0,4]∈，所以()(,2]f x ∈-∞，即函数()f x 的值域为(,2]-∞.（2）因为函数()f x 的定义域为(1,3)-，且函数2y x 2x 3=-++在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又对数函数的底数为21>，所以函数()f x 的递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3). 【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 有分式时：分母不为0；有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0； 有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0； 有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 23．（Ⅰ）2；（Ⅱ）图象见解析，单调递增区间为(),-∞+∞；（Ⅲ）14x >-． 【分析】（Ⅰ）依次求出()1f -，()()1ff -，()()()1f f f -即可（Ⅱ）根据函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出单调区间； （Ⅲ）分段讨论可解出不等式. 【详解】解：（Ⅰ）()1110f -=-+=，所以()()1011ff -=+=， 所以()()()1122f f f -==；（Ⅱ）函数图象如下：由图可知，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间； （Ⅲ）①当0x ≤时，102x -≤， 所以()1f x x =+，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()132122f x f x x ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭，解得14x >-， 所以014x -<≤； ②当102x <≤时，102x -<， 所以()2xf x =，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()112122xf x f x x ⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭显然成立， 所以102x <≤符合题意； ③当12x >时，102x ->， 所以()2xf x =，12122x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1212212x xf x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭显然成立，所以12x >符合题意， 综上所述：x 的取值范围为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是分段讨论x 的取值范围，根据不同范围函数的解析式求解.24．（1）()2,2-．（2）见解析;(3)18,211⎛⎫⎪⎝⎭． 【详解】试题分析：(1)根据对数函数的定义,列出关于自变量x 的不等式组,求出()f x 的定义域; (2)由函数奇偶性的定义,判定()f x 在定义域上的奇偶性;(3)化简()f x ,根据对数函数的单调性以及定义域,求出不等式()f x >1的解集. 试题（1）要使函数()f x 有意义．则20{20x x +>->，解得22x -<<.故所求函数()f x 的定义域为()2,2-．（2）由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，设()2,2x ∀∈-，则()2,2x -∈-． 且()()()()lg 2lg 2f x x x f x -=-+-+=-， 故()f x 为奇函数． （3）因为()f x 在定义域()2,2-内是增函数， 因为()1f x >，所以2102x x+>-，解得1811x >． 所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫⎪⎝⎭． 25．（1）53-；（2）172. 【分析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误. 【详解】（1）原式()()1134340.321-⎡⎤=-+⎣⎦150.32143-=-+-=-.（2）原式32ln 2322log 2515lg 4lg lg 1621828log 4e ⎛⎫=+++=-+⨯+ ⎪⎝⎭172=. 【点晴】本题主要考查函数的定义域、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域） 26．（1）1615；（2）15． 【分析】（1）利用幂的运算法则计算；（2）已知式平方得1x x -+，再平方可得22x x -+，然后代入求值． 【详解】（1）原式112219112111441004310-⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1615= （2）∵11223x x-+=，∴21112227x x x x --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，()2221249247x x x x--+=+-=-=，故122272124725x x x x --+++==+--． 【点睛】本题考查幂的运算法则，整数指数幂中多项的乘法公式在分数指数幂中仍然适用．。

一、选择题1．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[0,2]C ．[1,3]D ．[0,3]2．函数()f x =的定义域是（ ） A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞3．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）.A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)4．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.35．已知函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12-B ．-1C ．-5D ．126．已知实数1212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3b =，4log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<7．设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤D ．222a c +<8．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．[]1,2D ．(]0,2 9．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．已知函数()()213log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x 、21,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，都满足不等式()()21210f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭12．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()1122,121,1x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则关于x 的不等式()()10f x f x -+≤的解集为___________________．14．函数21x x +)是_________（奇、偶）函数. 15．72log 2338log272lg 5lg 47-+++=______.16．函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______．17．对于函数()f x 定义域中任意的1x 、()212x x x ≠，有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x +=⋅；②()()()1212f x x f x f x ⋅=+； ③()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． 当()2xf x =时；上述结论正确的是__________．（写出所有正确的序号）18．有以下结论：①将函数xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象； ②函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称③对于函数()xf x a =(a >0,且1a ≠)，一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭④函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方.其中正确结论的序号为_________.19．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________.20．设实数x 满足01x <<，且2log 4log 1x x -=，则x =______.三、解答题21．已知函数1()log 1a mxf x x -=-（0a >且1a ≠）是奇函数． （1）求实数m 的值；（2）若关于x 的方程2()6(1)50f x kx x a -+--=对(1,)x ∈+∞恒有解，求k 的取值范围．22．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时，()232f x ax ax =-+，（a R ∈）.（1）求()f x 的函数解析式：（2）当1a =时，求满足不等式()21log f x >的实数x 的取值范围. 23．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.24．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数． （3）若()11f =，解不等式()422xxf -<．25．已知222log ()log log x y x y +=+，则x y +的取值范围是__________.26．已知函数1()log a f x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 其中实数0a >且1a ≠. （1）当3a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）若()f x 在区间[1,3]上单调递增，求a 的取值范围；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 且()116416f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，()10f =， 结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈，所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解.2．A解析：A 【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域. 【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x <<所以函数的定义域是()0,2. 故选：A . 【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.3．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-， 故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.4．B解析：B 【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x-=， 所以()1110%2x-=，所以0.91log 2x =，所以109log 2x =， 所以lg 2lg10lg9x =-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010120.4771x =-⨯，所以 6.6x ≈，故选：B. 【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路： （1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.5．A解析：A 【分析】根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得选项.【详解】因为函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2253log log 2122f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，23log 2531222222f f ⎡⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.6．D解析：D 【分析】本题首先可根据2log 3b =以及2log c =得出b c >，然后根据1a <以及1c >得出c a >，即可得出结果.【详解】 因为2log 3b =，42log 7log 7c ，函数2log y x =在()0,∞+上是增函数，所以b c >，因为01211122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，44log 7log 41c ， 所以c a >， 综上所述，a c b <<， 故选：D. 【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.7．D解析：D 【分析】运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21xf x =-的图象，由数形结合可得0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．【详解】()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 作出()21xf x =-的图象如图所示，由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立， 则有0c <且0a >， 故必有21c <且21a >，又()()0f c f a ->，即为()12210c a--->，∴222a c +<． 故选：D ． 【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．8．A解析：A 【分析】根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性，把不等式212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+转化为2log 1a ≤进行求解即可.【详解】当0x <时，0x ->，则2()2()f x x x f x -=-=， 当0x >时，0x -<，则2()2()-=+=f x x x f x ， ∴函数()f x 为偶函数，∴222122(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.又当0x ≥时，函数()f x 单调递增，∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤，则2log 1a ≤， ∴21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.9．C解析：C【分析】偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,化简1333(log 5)(log 5)(log 5)f f f =-=，利用中间量比较大小得解. 【详解】∵偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增1333(log 5)(log 5)(log 5)c f f f ∴==-=，∵1333170()1log log 542<<<<，133317(()(log )(log 5)42)f f f << ∴a b c <<. 故选：C 【分析】本题考查函数奇偶性、单调性及对数式大小比较，属于基础题.10．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<. 因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】由题意可知，函数()()213log f x x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，利用复合函数的单调性可知，内层函数2u x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，且0>u 对任意的1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭恒成立，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】 因为()()21210f x f x x x ->-，所以()()213f x log x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，令2u x ax a =--，而13log y u =是减函数，所以2u x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，且20u x ax a =-->在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立，所以212211022aa a ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪----≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得112a -≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，解题时还应注意真数要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】对自变量分情况讨论即然后对各种情况分别解不等式最后取并集；【详解】当时所以由此时不等式恒成立；当时则由则此时不等式恒成立；当时符合题意；当时解得∴综上可得不等式的解集为故答案为：【点睛】关键解析：7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】对自变量分情况讨论，即1x ≤，12x <≤，23x <<，3x ≥，然后对各种情况分别解不等式，最后取并集； 【详解】当1x ≤时，10x -≤，121x -≤，121x -≥，所以()11220x x f x --=-≤由2122x -≤，222x -≥，()221220x xf x ---=-<， 此时不等式()()10f x f x +-≤恒成立；当12x <≤时，()212110f x x x x =--=--=-<，011x <-≤，则()22122x xf x ---=-，由221x -≤，221x -≥，则()10f x -≤此时不等式()()10f x f x +-≤恒成立；当23x <<时，()()12131f x f x x x +-=--+--213110x x =--+--=-<， 符合题意；当3x ≥时，()()12131270f x f x x x x +-=--+--=-≤，解得72x ≤， ∴732x ≤<． 综上可得，不等式()()10f x f x +-<的解集为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【点睛】关键点睛：本题考查分别函数解不等式的问题，涉及分类讨论思想的应用，解答本题的关键是对自变量x 的范围进行分类，即1x ≤，12x <≤，23x <<，3x ≥，从而得出()f x 和()1f x -的表达式，从而求解不等式，属于中档题.14．奇【解析】又所以函数f(x)是奇函数点睛:判断函数的奇偶性其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等解析：奇 【解析】210x x x x x x R +->=-≥∴∈又()()))lglglg10f x f x x x -+=+==所以函数f(x) 是奇函数.点睛: 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．15．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值解析：32【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得. 【详解】72log 2338log 2lg 5lg 47-+++()732log 232332log 32lg52lg 27=-++++34222=-+++32= 故答案为：32【点睛】此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值.16．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析：()1,1-【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解：()()12log 13y x x =-+则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()21314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈-，则12logy t =因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；12log y t =在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为：()1,1- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.17．①④【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④【详解】对于①：因为所以故①正确；对于②：取所以所以不恒成立故②错误；对解析：①④ 【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④. 【详解】对于①：因为()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++=⋅=⋅=，所以()()()1212f x x f x f x +=⋅，故①正确；对于②：取121,2x x ==，所以()()()()121224,246f x x f f x f x ⋅==+=+=，所以()()()1212f x x f x f x ⋅=+不恒成立，故②错误；对于③：因为()2xf x =是R 上的增函数，所以()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，故③错误；对于④：因为()()121212122222,=222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭，且121212*********22222222422220242x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅-⋅--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故④正确， 所以正确的有：①④，故答案为：①④. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数.18．②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项；②根据指对函数的对称性直接判断；③根据指数函数的图象特点判断选项；④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析：②③④ 【分析】①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求22x x -+的范围，再和0比较大小. 【详解】①根据平移规律可知xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称，正确；③如下图，设1a >，122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标，()()122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标，由图象可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，同理，当01a <<时，结论一样，故③正确；④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=，所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量x 来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭和()()122f x f x +的意义，再结合图象判断正误. 19．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析：[3【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围. 【详解】 函数()22log 1af x x =+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()222002111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021222422242222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++， 设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a ≤<. 故答案为：)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.20．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应 解析：14【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为222log 1log x x -=，解方程求得2log 2x =-或2log 1x =，进而结合x 的范围求得结果.【详解】22log 42log 2log x x x ==2222log 4log log 1log x x x x∴-=-= 即()222log log 20x x +-=，解得：2log 2x =-或2log 1x = 14x ∴=或2x = 01x << 14x ∴=故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.三、解答题21．（1）1m =-；（2）(0,7)． 【分析】（1）由函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，可得()2210m x -=，从而求出m 的值.(2)由（1）即将原问题化为2610kx x --=对(1,)x ∈+∞恒有解，即216k x x=+，令1t x =，则26k t t =+，(0,1)t ∈有解，从而得出答案. 【详解】 解：（1）因为函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即11log log 11a a mx mxx x +-=---- 化简得()2210m x-=，所以1m =±，当1m =时1101mx x +=-<--不成立，当1m =-时1111mx x x x +-=--+，经验证成立 所以1m =-．（2）由（1）知函数1()log 1ax f x x +=-，则方程可化为： 216(1)501x kx x x +-+--=-，即2610kx x --=对(1,)x ∈+∞恒有解 所以分离参数得216k x x=+，令1t x =，则26k t t =+，(0,1)t ∈有解 而2067t t <+<，故k 的取值范围为(0,7)． 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数为奇函数求参数和不等式有解求参数的范围，解答本题的关键是将问题转化为2610kx x --=对(1,)x ∈+∞恒有解，分离参数即216k x x=+在(1,)x ∈+∞恒有解，属于中档题.22．（1）()2232,032,0ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩；（2）()()()()3,21,00,12,3---.【分析】（1）根据已知和函数的奇偶性可得0x <的解析式从而求得()f x ； （2）当1a =时，分别解每一段小于1的不等式，最后求两段的并集可得答案. 【详解】（1）设0x <，0x ->，()232f x ax ax -=++，又∵()f x 为偶函数，()()f x f x -=，∴()232f x ax ax =++. 综上：()2232,032,0ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩. （2）当1a =时，可知：0x >，()2232log 1x x -<+，原不等式等价于22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得()()0,12,3x ∈，同理可知：0x <，()2232log 1x x +<+，原不等式等价于22320322x x x x ⎧++>⎨++<⎩，解得()()1,03,2x ∈---，综上：实数x 的取值范围为()()()()3,21,00,12,3---.【点睛】求分段函数的解析式，要根据函数的奇偶性、对称性、周期性等结合已知条件进行求解，要注意定义域.23．（1）2a =；(1,3)-；（2）2. 【分析】（1）由函数值求得a ，由对数的真数大于0可得定义域；（2）函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值． 【详解】 解：（1）(1)2f =，log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==，解得2(0,1)a a a =>≠， 由1030x x +>⎧⎨->⎩，得(1,3)x ∈-.∴函数()f x 的定义域为()13-，.（2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦∴当[0,1]x ∈时，()f x 是增函数；当3[1,]2x ∈时，()f x 是减函数.所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x < 【分析】（1）令0m n ==，代入等式，可求得()00=f ；（2）令n m =-，代入等式，结合()00=f ，可得到()()f m f m -=-，从而可知()y f x =是奇函数，然后用定义法可证明()f x 在(),-∞+∞上为增函数；（3）原不等式可化为()()422x xf f -<，结合函数()f x 的单调性，可得出422x x -<，解不等式即可. 【详解】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f . （2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-，∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-， ∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数． 在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <， ∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112xxf f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422xx-<，即()()12022xx+<-，∵210x +>，∴220x -<，解得1x <， 故原不等式的解集为{}|1x x <. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.25．[4,)+∞【分析】利用对数式的运算性质把给出的等式变形，去掉对数符号后利用基本不等式转化为关于(x +y )的二次不等式，求解后即可得到x +y 的取值范围. 【详解】222log ()log log x y x y +=+，x y xy ∴+=，0,0x y >>，2()2x y x y xy +∴+=≤，当且仅当2x y ==时，等号成立。

一、选择题1．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1,3]D ．[0,3] 2．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac > C ．1ac =D ．01ac <<3．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．设log a m 和log b m 是方程2420x x -+=的两个根，则log a bm 的值为（ ）ABC ．D ．±5．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现． 比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（ ） A ．134217728B ．268435356C ．536870912D ．5137658026．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞ 7．函数()22x xxf x -=+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()y f x =与x y e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b10．函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()1+∞， B ．()01， C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 11．函数32ln ||()x x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．72log 2338log272lg 5lg 47-+++=______.14．函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______． 15．已知函数()4sin 22xx f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.16．已知11225x x-+=22165x x x x --+-=+-______.17．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数1,0(),0x x e x f x e m x -⎧->=⎨+<⎩是奇函数，则实数m 的值为______．18．若幂函数()2()57m f x m m x =-+在R 上为增函数则1log 2log 272lg5lg4mm m+-=_____．19．已知函数2()log x f x =，实数,a b 满足0a b <<，且()()f a f b =，若()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则1b a+=________. 20．设实数x 满足01x <<，且2log 4log 1x x -=，则x =______.三、解答题21．如图，过函数()log c f x x =(1)c >的图像上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M (,0)a ，(,0)N b (1)b a >>，线段BN 与函数()log m g x x =，(1)m c >>的图像交于点C ，且AC 与x 轴平行.（1）当2,4,3a b c ===时，求实数m 的值； （2）当2b a =时，求2m cb a-的最小值； （3）已知()x h x a =，()xx b ϕ=，若1x ，2x 为区间(),a b 内任意两个变量，且12x x <，求证：[][]21()()h f x f x ϕ<. 22．已知函数122()log 2xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域，并判断其奇偶性；（2）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性定义证明． 23．化简下列各式：（1）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg3111lg 0.36lg1624++⋅+ 24．已知函数()22x x f x k -=+. （1）若()f x 为偶函数，求实数k 的值；（2）若()4f x 在2[log x m ∈，2log (2)](m m +为大于0的常数)上恒成立，求实数k 的最小值.25．求函数()log 23=-2-3y x x 的定义域、值域和单调区间.26．（1）0160.25371.586-⨯-+-⎫⎛ ⎪⎝⎭（2）1324lg lg82493-+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 且()116416f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，()10f =， 结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈，所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解.2．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.3．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))222()ln1ln11f x x x x x x x=+==-+++，其中21y x x +单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出()2()ln 1f x x x =+在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.4．D解析：D 【分析】利用换底公式先求解出+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果，然后利用换底公式将log a bm 变形为1log log m m a b-，根据+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果求解出log log m m a b -的结果，则log a bm 的值可求.【详解】因为log log 4log log 2a ba b m m m m +=⎧⎨⋅=⎩，所以114log log 112log log m m m m a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ，所以log +log 4log log 1log log 2m m m m m m a b a b a b ⎧=⎪⋅⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，所以log +log 21log log 2m m m m a b a b =⎧⎪⎨⋅=⎪⎩， 又因为11log log log log a m m bmm aa b b==-，且()()22log log =log log lo +42g log m m m m m m a b a b b a -⋅=-，所以log log m m a b -=所以log 2a bm ==±，故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是在于换底公式的运用，将log a bm 变形为1log log m m a b-，再根据方程根之间的关系求解出结果.5．C解析：C 【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912， 所以有：16384×32768＝536870912, 故选C. 【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.6．C解析：C 【分析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23<a ， 综上023a <<． 故选：C ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．7．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ； 3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.8．D解析：D 【分析】根据指数函数与对数函数的关系，以及函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，求得()ln g x x =-，再由()1g a =，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =与xy e =互为反函数，所以()ln f x x =，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，所以()ln g x x =-， 又由()1g a =，即ln 1a -=，解得 1a e= 故选D. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数()g x 的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．D解析：D 【分析】由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围． 【详解】 解：函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．11．A解析：A 【分析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项． 【详解】解：函数的定义域为{0}xx ≠∣， 因为3322()ln ||ln ||()()()x x x x f x f x x x-----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x xf x x x x-==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．12．A解析：A 【分析】由对数函数，对a 分类，01a <<和1a >，在对数函数图象确定的情况下，研究二次函数的图象是否相符．方法是排除法． 【详解】由题意，若01a <<，则log a y x =在()0+∞，上单调递减， 又由函数()21y a x x =--开口向下，其图象的对称轴()121x a =-在y 轴左侧，排除C ，D.若1a >，则log a y x =在()0+∞，上是增函数， 函数()21y a x x =--图象开口向上，且对称轴()121x a =-在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 故选：A ． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可按照其中一个函数的图象分类确定另一个函数图象，排除错误选项即可得．二、填空题13．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值解析：32【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得. 【详解】72log 2338log 2lg 5lg 47-+++()732log 232332log 32lg52lg 27=-++++34222=-+++32=故答案为：32【点睛】此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值.14．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析：()1,1-【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解：()()12log 13y x x =-+则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()21314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈-，则12logy t =因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；12log y t =在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为：()1,1- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.15．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题解析：2019 【分析】观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解.【详解】因为()()()2442sin sin 222222x x f x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22019=⨯1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.16．【分析】对平方可得再平方可得即可求解【详解】两边同时平方得：所以对两边同时平方得：则故答案为：【点睛】此题考查指数式的化简求值进行整体变形处理利用平方关系得出等量关系解析：12-【分析】对1122x x -+=13x x -+=，再平方可得227x x -+=，即可求解. 【详解】1122x x-+=125x x -++=，所以13x x -+= 对13x x -+=两边同时平方得：2229x x -++=，227x x -+=则22167615352x x x x --+--==-+--. 故答案为：12- 【点睛】此题考查指数式的化简求值，进行整体变形处理，利用平方关系得出等量关系.17．【分析】由奇函数定义求解【详解】设则∴此时时为奇函数故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性对于分段函数一般需要分类求解象这种由奇函数求参数可设求得参数值然后再验证这个参数值对也适用即可本题解析：1-． 【分析】由奇函数定义求解． 【详解】设0x >，则()1x f x e -=-，()xf x em --=+，∴10x x e m e --++-=，1m =-．此时，0x <时，()1,x f x e =-()1()xf x e f x -=-=-，()f x 为奇函数．故答案为：1-． 【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性，对于分段函数，一般需要分类求解．象这种由奇函数求参数，可设0x >，求得参数值，然后再验证这个参数值对0x <也适用即可．本题也可以由特殊值如(1)(1)f f -=-求出参数，然后检验即可．18．3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去）故答案为：3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键解析：3 【分析】利用幂函数的定义与性质求得3m =，将3m =代入，利用对数的运算法则化简得解. 【详解】()()257m f x m m x =-+在R 上为增函数，25710m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3,2m m ==(舍去）， 1log2log 2lg 5lg 4mm m∴+-=31log 23l l og 3g1003+=故答案为：3. 【点睛】正确理解幂函数的定义求得m 的值和熟练运用对数恒等式是关键.19．4【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：4【点睛】解析：4 【分析】先画出函数图像并判断01a b <<<，再根据范围和函数单调性判断2x a =时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01a b <<<，所以201a a <<<．结合函数图象，易知当2=x a 时()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f aa ==又01a <<，所以12a =， 再结合()()f a f b =，可得2b =，所以2241b a+=+=. 故答案为：4 【点睛】关键点睛：解题关键在于，作出对数函数2()log x f x =的图象，得到01a b <<<，进而求解，属于中档题20．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应解析：14【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为222log 1log x x -=，解方程求得2log 2x =-或2log 1x =，进而结合x 的范围求得结果.【详解】22log 42log 2log x x x ==2222log 4log log 1log x x x x∴-=-= 即()222log log 20x x +-=，解得：2log 2x =-或2log 1x = 14x ∴=或2x = 01x << 14x ∴=故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.三、解答题21．（1）9；（2）1-；（3）证明见解析. 【分析】（1）将2a =，4b =，3c =代入，然后分别得出点A ，C 的坐标，使点A 与点C 的纵坐标相等求解m 的值；（2）用含a ，b 的式子表示出点A ，B ，C 的坐标，再利用AC 与x 轴平行得到m 与a ，b ，c 的关系式，代入2m cb a-中，运用函数知识处理最值即可； （3）当12a x x b <<<，且1c >时可推出12log log log log c c c c a x x b <<<，则有2log log c c x b a a <，1log logcc a x b b <成立，又log log log log c c c c b a a b =即log log log log c c b a c c a b =，则可证明出log log c c b a a b =，则可证明出21log log c c x x a b <，即[][]21()()h f x f x ϕ<成立.【详解】解：（1）由题意得A 3(2,log 2)，B 3(4,log 4) ，C (4,log 4)m ， 因为AC 与x 轴平行，所以3log 4log 2m = 所以9m =.（2）由题意得A (,log )c a a ，B (,log )c b b ，C (,log )m b b 因为AC 与x 轴平行，所以log log m c b a =， 因为2b a =，所以2m c =.所以22222(1)1m c c c cb a a a a-=-=--,所以1c a =时，达到最小值1-，（3）证明：因为12a x x b <<<，且1c >， 所以12log log log log c c c c a x x b <<<， 又因为1a >，1b >， 所以2log log c c x b a a <，1log logcc a x b b <，又因为log log log log c c c c b a a b =， 所以log log log log c c ba c c ab =，所以log logc c b a a b =，所以21log log c c x x a b <，即21[()][()]h f x f x ϕ<.22．（1）定义域为(2,2)-，奇函数（2）函数()f x 在(2,2)-上为增函数，证明见解析 【分析】（1）根据真数大于0可得定义域，根据奇函数的定义可得函数为奇函数；（2）设1222x x -<<<，根据对数函数的单调性可得12()()f x f x <，再根据定义可证函数()f x 在(2,2)-上为增函数. 【详解】（1）由函数有意义得202xx->+，解得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-，因为1112222()log log ()22x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭，所以函数为奇函数. （2）因为124()log 12f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数， 证明：设1222x x -<<<， 则120224x x <+<+<，则1244122x x >>++，则124411022x x -+>-+>++， 因为1012<<，所以12()()f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数，【点睛】思路点睛：判断函数的奇偶性的思路： ①求出定义域，并判断其是否关于原点对称；②若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=-，则函数为奇函数；若()()f x f x -=，则函数为偶函数.23．（1）0；（2）1. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）根据指数幂的运算性质，可得原式22.5311536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭ 1521335233431102⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⨯⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦531022=--=. （2）由对数的运算性质，可得原式242lg 2lg32lg 2lg311231lg 0.6lg 21lg lg 22410++==⨯++++ 2lg 2lg 32lg 2lg 311lg 2lg 3lg10lg 22lg 2lg 3++===++-++. 【点睛】本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.24．（1）1k =；（2）当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+. 【分析】（1）根据函数是偶函数，利用偶函数的定义求解. （2）将()4f x ，转化为2(2)42x x k-+⨯，令2[x t m =∈，2]m +，构造函数2()4g t t t =-+，利用二次函数的性质求得其最大值即可..【详解】 （1）()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=-， 2?22?2x x x x k k --∴+=+，即(1)(22)0xxk ---=，对任意的x 恒成立，1k ∴=.（2）由()4f x ，可得2?24x x k -+，即2(2)42x x k -+⨯，令2[xt m =∈，2]m +，2()4g t t t ∴=-+，当02m <<时，对称轴2[t m =∈，2]m +， 则()max g t g =（2）4244=-+⨯=， 当2m 时，对称轴2t m =，则2()()4max g t g m m m ==-+，故当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的和不等式恒成立的问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 25．定义域为(,1)(3,)-∞-+∞，函数值域为R ，减区间是(,1)-∞-，增区间是(3,)+∞．【分析】结合对数函数性质求解． 【详解】由2230x x -->得1x <-或3x >，∴定义域为(,1)(3,)-∞-+∞．由2230x x -->得y R ∈，函数值域为R ，223y x x =--在(,1)-∞-上递减，在(3,)+∞上递增，∴()log 23=-2-3y x x 的减区间是(,1)-∞-，增区间是(3,)+∞． 【点睛】本题考查对数型复合函数的性质，掌握对数函数的性质是解题关键． 26．（1）110；（2）13lg5lg 222-【分析】（1）利用指数幂的运算法则即得解；（2）利用对数的运算法则即得解.【详解】（1）原式1111323334422 ()12223()33⨯=⨯+⨯+⨯-2108110 =+=（2）原式153222124lg lg2lg(57) 273=-+⨯11(5lg22lg7)4lg2(lg5+2lg7)22=--+11(5lg22lg7)4lg2(lg5+2lg7)22=--+31lg2lg522=-+【点睛】本题考查了指数与对数运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.。