高中数学指数函数与对数函数

2020-2021学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数

1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．

2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，

函数的单调性及图象特点．

3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．

4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．

5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题．

6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．

7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．

8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．

9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：

一、指数、对数函数的典型问题及求解策略

指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单

调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论．

1．求定义域

【典例1】1．（2020·河南高三其模拟）函数234ln x x y x

-++=的定义域是（ ） A ．（0，1）∪（1，4]

B ．（0，4]

C ．（0，1）

D ．（0，1）∪[4，+∞）

【答案】A 【解析】2234034ln ln 0,0

x x x x y x x x ⎧-++≥-++=∴⎨≠>⎩14(0,1)(1,4]0,1x x x x -≤≤⎧∴∴∈⋃⎨>≠⎩故选：A 2．（2020·湖南天心长郡中学高一月考）函数2()2log f x x x =-+的定义域是（ ）

A ．(0,2]

B ．[0,2)

C ．[0,2]

D ．(0,2) 【答案】A 【解析】由题意可得，020x x >⎧⎨-≥⎩

, 解得02x <≤.故选：A.

2．比较大小问题

比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．

【典例2】若0

B ．log x 3

C ．log 4x

D ．)41(x <)4

1(y

【答案】C

【解析】因为0

对于A ，函数y ＝3x 在R 上单调递增，故3x <3y ，错误．

对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：当0log y 3，错误．

对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x

对于D ，函数y ＝)41(x 在R 上单调递减，故)41(x >)4

1(y ，错误． 【典例3】比较三个数0.32，log 20.3,20.3的大小．

【解析】解法一：∵0<0.32<12＝1，log 20.320＝1，∴log 20.3<0.32<20.3. 解法二：作出函数y ＝x 2，y ＝log 2x ，y ＝2x 的大致图象，如图所示，画出直线x ＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log 20.3<0.32<20.3.

3．与指数、对数函数相关的单调性问题

【典例4】是否存在实数a ，使函数f （x ）＝log a （ax 2﹣x ）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．

【解析】设u （x ）＝ax 2﹣x ，显然二次函数u 的对称轴为x =12a ．

①当a ＞1时，要使函数f （x ）在[2，4]上为增函数，则u （x ）＝ax 2﹣x 在[2，4]上为增函数，

故应有 {12a ≤2u(2)=4a −2＞0，解得 a ＞12．综合可得，a ＞1． ②当0＜a ＜1 时，要使函数f （x ）在[2，4]上为增函数，

则u （x ）＝ax 2﹣x 在[2，4]上为减函数，

应有 {12a ≥4u(4)=16a −4＞0

，解得a ∈∅．

综上，a ＞1时，函数f （x ）＝log a （ax 2﹣x ）在区间[2，4]上为增函数．

二、函数的图象问题

对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象．

1．图象的变换

【典例5】为了得到函数y ＝lg 10

3+x 的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

【答案】C

【解析】∵y ＝lg 10

3+x ＝lg (x ＋3)－1，∴只需将y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y ＝lg

103+x 的图象． 2．根据函数解析式确定图象

【典例6】已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)，若f (4)g (4)<0，则y ＝f (x )，y ＝

g (x )在同一平面直角坐标系内的大致图象是( )