七年级数学乘法公式

数学中常⽤的乘法公式有哪些及如何推倒出来？我是中考数学当百荟，我来回答。

对初中⽣⽽⾔，乘法公式分两类：平⽅公式和⽴⽅公式。

其中常⽤的是平⽅公式，现⾏《课标》中已经把⽴⽅公式不做要求了。

平⽅公式包括：平⽅差公式和完全平⽅公式，⽴⽅公式包括：完全⽴⽅公式、⽴⽅和、⽴⽅差公式等。

它们的推导主要有两种⽅式：代数法和⼏何法，两种⽅式相互印证，体现数形结合的思想。

代数⽅法，主要运⽤整体思想和分配律，⼏何⽅法，主要运⽤图形的等（⾯）积变换。

01--乘法公式平⽅公式平⽅差(a-b)(a+b)=a²-b²完全平⽅公式(a-b)²=a²+b²-2ab(a+b)²=a²+b²+2ab⽴⽅公式⽴⽅差(a-b)(a²+b²+ab)=a^3-b^3⽴⽅和(a+b)(a²+b²-ab)=a^3+b^3完全⽴⽅公式(a-b)^3=a^3-3a²b+3ab²-b^3(a+b)^3=a^3+3a²b+3ab²+b^302--乘法公式的推导乘法公式是初中阶段务必掌握的基础内容，也是重点。

对初学者⽽⾔，乘法公式太多了，容易犯死记硬背的⼤忌。

死记硬背绝对是最后的选择，除⾮不能理解，学习没有章法（可想⽽知，死记硬背者，在公式运⽤阶段的那种痛苦和不堪状）。

因⽽学习乘法公式必须弄清楚公式的来龙去脉，掌握公式的推导，推导包括代数法和⼏何法。

理解了，你就会发现其中的规律，理解了，你就会巧妙记忆，将公式归类，在此基础上，你就会发现原来公式并不需要那么多，4个够了，甚⾄1个（分配律）⾜矣!乘法公式的代数法推导，主要依据初中七年级所学的多项式乘法法则，追根溯源，初中所学的多项式的乘法法则，是⼩学所学乘法对加法分配律⽽来。

乘法公式的⼏何法解释除了印证代数法推导的合理解释外，更重要的是其中涉及的数学思想：数形结合。

解：n(n+2)+1=(n+1)2
•（你能用“数形结合”的数学思想来说明这一规律吗？）Biblioteka • • • • • • •
18、先阅读后解题 若m2+2m+n2-6n+10=0,求m和n的值 解：把等式的左边分解因式：m2+2m+1+n2-6n+9=0 即(m+1)2+(n-3)2=0,因为(m+1)2≥0，（n-3)2≥0 所以m+1=0,n-3=0,即m=-1,n=3 利用以上解法，解下列问题： 17 2 2 已知x +y -x+4y+ 4 =0,求x和y的值。 解：x2-x+
第九章 从面积到乘法公式
复习课
你知道吗？
• 1、单项式乘单项式：①系数与系数相乘；②相同 字母相乘；③单独字母照抄。 • 2、单项式乘多项式：用单项式去乘以多项式的每 一项，再把所得积相加。 • 3、多项式乘多项式：用其中一个多项的每一项去 乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
你知道吗？
• 15、一个长方形的面积是60cm2，分别以它的长和宽为边 长的两个正方形的面积和是136cm2。求长方形的周长。 解：设长方形的长为a，宽为b 则，ab=60,a2+b2=136
而(a+b)2=a2+2ab+b2=136+60=256
因此，a+b=16
所以，周长为2(a+b)=32
• 16、请阅读以下材料： • 现定义某种运算“★”，对于任意两个数a,b都有a★b=a2-ab+b2. 例如：3★4＝32－3×4＋42＝9－12＋16＝13。 • 请按上面的定义的运算解答下面的问题： (a+1)2-(a+1)(a+2)+(a+2)2=a2+3a+3 • (1)(a+1)★(a+2)=_________________________________ (a+b)2-(a+b)(a-b)+(a-b)2=a2+3b2 • (2)(a+b)★(a-b)=__________________________________ • 17、观察下列算式： • 1×3＋1＝4＝22 • 2×4＋1＝9＝32 • 3×5＋1＝16＝42 • 4×6＋1＝25＝52 • …… • 请将你找出的规律用公式表示出来。

学习目标
（1）会利用合并同类项的方法解一元一次方程，体 会等式变形中的化归思想.
（2）能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步 体会方程模型思想的作用及应用价值.
推进新课 知识点1 合并同类项
数学小资料
约公元820年 , 中亚细亚数学家阿尔-花拉子米 写了一本代数书 , 重点论述怎样解方程.这本书的 拉丁文译本取名为【対消与还原]. 〞対消”与〞 还原”是什么意思呢 ？
探究新知
〔1〕(x+1)(x2+1)(x-1); 〔2〕(x+y+1)(x+y-1).
你能用简单的方法计算上面的式子吗？
(x + y + 1)(x + y-1) =[(x + y) + 1][(x + y)-1] = (x + y)2-1 = x2 + 2xy + y2-1
把 x+y 看做一个整体
运用乘法公式计算 : ( a + b + c )2 . 解: ( a + b + c )2
= [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2c(a + b) + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 遇到多项式的乘法时 , 我们要先观察式子的特征 , 看 能否运用乘法公式 , 以到达简化运算的目的.
第一个数为x , 第二个数为 x
9
方程 x xx1701
3
93

(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b 2－9a 2.
(3)
3 4
a
1 3
b
3 4
a
1 3
b
3 4
a
2
1 3
2
b
9 16
a2
1 9
b2 .
(4)
a2
1 2
b2
a2
1 2
b2
a2
2
1 2
b2
2
a4
1 4
b4 .
2 解下列方程：
(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1 ； (2)2(x＋3)(3－x )＋2x＋2x 2＝20. 解：(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，
(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
解：(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n 2－1(n 为正整数)．
4 运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).
解：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1 ＝256－1 ＝255.
所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
5 已知2a 2＋3a－6＝0，求式子3a (2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
解：原式＝6a 2＋3a－4a 2＋1＝2a 2＋3a＋1， 因为2a 2＋3a－6＝0，所以2a 2＋3a＝6.
所以原式＝7.
6 探究活动： (1)如图①，可以求出阴影
(2)395×405.
解：(1)998×1 002＝(1 000－2)×(1 000＋2)＝1 0002－22

3.计算： （1）202×198；
（2）49.8×50.2.
答案：（1）39996；（2）2499.96.
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。
2.2.2 完全平方公式
思考
计算下列各式，你能发现什么规律： ( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， ( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22， ( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32， ( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42. 我们用多项式乘法来推导一般情况： ( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
（2）1982.
解：（1）1042=( 100+4 )2 （2）1982=( 200-2 )2
= 1002+2×100×4+42
= 2002-2×200×2+22
= 10000+800+16
= 40000-800+16
= 10816.
= 39204.
练习
1.运用完全平方公式计算： （1）( -2a+3 )2； （3）( -x2-4y )2；

《数学》( 苏科版 标题 .七年级 下册 ) 第九章 从面积到乘法公式
标题
授课人：高邮市南海中学
俞永毅
数学——来源于生活 如图，一块边长为a米的正方形试验田， 因需要将其边长增加 b 米。 形成四块实验田，以种植不 b 同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田 的总面积, 并进行比较. a 探索: 你发现了什么?
错
熟练运用——掌握公式
用完全平方公式计算：
1. （-3a+2）2 2. （2m-3n）2 3. （-2x- y）2
学以致用——简化计算
用完全平方公式计算： (1)1022
=(100+2)2 =1002+2×100×2+22
=10000+400+4
(2)9972
=(1000-3)2
=10404
=10002-2×1000×3+32 =1000000-6000+9 =994009
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的 两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
转化思想在数学中有广泛的运用
乘法公式给我们的运算带来了方便.
作业 ：课本P 69. 4(1～4)，6，7(1～2)

mqv60hnp
有些过意不去地说：“可要辛苦娃娃们了！”耿直说：“还有送俺们回来的大白骡！”耿兰笑着说：“二哥啊，看你，怎么又把人和骡 子说一块儿去了！”大家都会心地笑了„„15第百二七回 全盘考虑巧筹划|（耿老爹想着种水稻，拟将大任交耿正；建筑图纸既已定， 明儿吉日就动工。）在家门口送走了义子李尚武后，耿老爹一家人返回堂屋。耿老爹坐在那个大大的餐桌边上招呼妻子和儿女们：“来 来来，都坐下！”耿兰说：“俺想叫姐姐教俺打算盘呢！”耿老爹说：“打算盘以后再教，现在咱得商讨一下接下来要办的几件大事儿 了！”耿直还没有从尚武离去的伤感中恢复过来，一句话也不说，默默地坐下了。耿老爹先问耿正和耿英：“这些天儿，你俩联系土木 工匠和预备石料、木料和砖瓦等各种建筑物材的事儿进展得如何了？还有建筑图纸，正儿，你可跟工匠头儿们商量过了？”耿正说：“ 土木工匠都已经联系好了，石料和木料也都有专人负责给咱们提供。至于建筑图纸，俺倒是已经找那几个土木工匠头儿们仔仔细细地推 敲过几次了，但还拿不准是不是可以就这样确定了。”耿英说：“砖瓦也没有问题，俺已经和咱们镇上的那几家窑主都说好了，他们现 在还没有卖出去的，和以后半年内新出窑的砖瓦全部都给咱们留着。他们都给俺打了保票啦，说是绝对不会影响咱们的修建进度！”耿 老爹听了很满意，轻咳一声清清嗓子说：“爹是这样想的，俺先一边育秧，一边简单地初编一部适合于一年级小学童采用的教材，无非 就是简单的认字、儿歌和加减计算什么的。然后哇，正儿你和英子、小直子，你们商量着再在这个基础上做一些增增减减，进行修改完 善也就可以了。另外啊，俺也考虑过了，咱们的小学堂确定为五年制比较合适。至于二、三、四、五年级都开些什么课程，咱们最好也 能早点儿确定下来。不过，适合采用什么样的教材眼下并不着急呢，咱们以后一边教着，一边再考虑着慢慢编写哇。”看耿正、耿英和 耿直都在认真听着，耿老爹接着说：“俺已经考虑过了，咱们就以朱熹的《小学集注》和《近思录》为编写基础，但也不完全拘泥于《 四书》、《五经》一类的东西。还有，这今后哇，俺想把主要精力放在试种水稻上，咱们家的学堂，包括下一步的新建和以后的管理， 就由正儿执掌起来哇！英子和小直子你俩要全力协助你们哥哥，谁也不许偷懒。兰兰就好好地做个小学生哇，争取早日学成了，也好为 咱们家的小学堂出点儿力！当然啦，如果遇到什么难以排解的事情，你们还是要和俺商量的，爹毕竟比你们多吃了二十多年的干饭哪！ ”兄妹四人或默默地听着，或轻轻点头。耿老爹想一想，又说：“还有戏台，也最好是能够同步盖起来。至于戏台以后怎么管理，都主 要做些什么，俺现在还没有想

个性化一对一教学辅导教案学科： 数学 学生姓名 年级 七 任课老师 授课时间 一、教学内容：乘法公式二、教学重、难点：难点是整体思想的应用，公式中符号的变化 三、教学过程： 一、复习:①(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ②(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ③(a-b)2=a 2-2ab+b 2 ④(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3⑤(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3⑥(a +b +c )2=[(a +b )+c ]2=(a +b )2+2(a +b )⋅c +c 2 =a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac即(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac二、典型例题例1、计算(-a 2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b-a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．1、2)2332(y x -2、22)2()2(a b b a -++3、2)72(y x -4、22)23()32(+-+x x例2、 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．练习、1、（2a-3b ）（2a+3b ） 2、（5ab －3x ）（－3x －5ab ）3、（－y 2+x ）（x+y 2）4、x （x+5）－（x －3）（x+3）5、（－1+a ）（－1－a ）（1+b 2）把公式本身适当变形后再用于解题。

这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a ba b ab a ba b a b a ba b a b ab+-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

图①，阴影部分的面积是 a2－ b2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b⁠2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2

初一数学]乘法公式精品文档-可编辑乘法公式二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等错误．需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．例１利用完全平方公式计算：１）（－3a－5）2；（２）（a－b＋c）2．分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．解：（１）（－3a－5）23a）2－2×（－3a）×5＋52精品文档-可编辑9a2＋3a＋25２）（a－b＋c）2a－b）＋c]2a－b）2＋2（a－b）c+c2a2－2ab＋b2＋2ac－2bc+c2a2＋b2+c2＋2ac－2ab－2bc．例２利用完整平方公式进行速算.1)112(2)992解:(1)112分析:将112变形为(1+1)2原式可1+1)2利用完全平方公式来速算.12+2×1×1+12121解:(2)992分析:将992变形为(1-1)2原式可1-1)2利用完整平方公式来速算.12-2×1×1+12981例３计算：22精品文档-可编辑１）992－98×1；（２）49×51－2499．解：（１）992－98×11－１）2－98×112－２×1＋１－981－2－98＋１１；２）49×51－24995－1）（5＋１）－249925－1－2499０．例４已知a＋b＝8，ab＝1，求a2＋b2，（a－b）2的值．分析：由前面的公式变形可以知道：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．解：由于a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝1所以22精品文档-可编辑a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝82－2×1＝44a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82－4×1＝24．三：练1．利用乘法公式进行计算：1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(2)(3x+2)2-(3x-5)2(3)(x-2y+1)(x+2y-1)4)(2x+3y)2(2x-3y)2(5)(2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)26)(x2+x+1)(x2-x+1)解：(1)原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1)x4-1)(x4+1)x8-1.2)解法1：原式=(9x2+12x+4)-(9x2-3x+25)9x2+12x+4-9x2+3x-2542x-21解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2)-(3x-5)]2222222佳构文档-可编辑6x-3)×742x-21.3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]x2-(2y-1)2x2-(4y2-4y+1)x2-4y2+4y-14)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]24x2-9y2)216x4-72x2y2+81y45)原式=[(2x+3)-(3x-2)]2x+5)2x2-1x+256)原式=[(x2+1)+x][(x2+1)-x]x2+1)2-x2x4+2x2+1)-x2x4+x2+12．：a+b=5,ab=3，求：(1)a-b)2；2)a2+b2；(( 佳构文档-可编辑解：(1)(a-b)2=(a+b)2-4ab52-4×3132)a2+b2=(a+b)2-2ab52-2×319.在线测试选择题1．在以下多项式的乘法中，能够用平方差公式计较的是（）222A、(x+1)(1+x)B、(a+b)(b-a)C、(-a+b)(a-b)D、(x2-y)(x+y2)2．下列各式计算正确的是（）A、(a+4)(a-4)=a2-4B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1D、(a+2)(a-4)=a2-8精品文档-可编辑3．(-x+2y)(-x-2y)的计较成效是（）2222A、x2-4y2B、4y2-x2C、x2+4y2D、-x2-4y24．(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的结果是（）。

符号表示：
(ab)n anbn，(其中n为正整数)， (abc)n anbncn (其中n为正整数)
练习：计算下列各式。
(2xyz)4，( 1 a2b)3，(2xy2 )3，(a3b2 )3 2
温故知新 4、同底数的幂相除
法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
数学符号表示：
（其中m、n为正整数）
名师归纳
幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、 积的乘方.这三种运算性质贯穿全章，是整式乘法 的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方 结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.
举一反三
1.下列计算不正确的是（ D ）
A.2a3 ·a=2a4
B. (－a3)2=a6
C. a4 ·a3=a7
D. a2 ·a4=a8
（其中m、n为正整数）
[(a m )n ] p a mnp （其中m、n、P为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
(a4 )4 a44 a8，[(b2 )3]4 b234 b24 (x2 )2n1 x4n2，(a4 )m (am )4 (a2m )2
温故知新 3、积的乘方
法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再 把所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。）
（一）整式的乘法
1、同底数的幂相乘 2、幂的乘方
3、积的乘方
4、同底数的幂相除
5、单项式乘以单项式 6、单项式乘以多项式
7、多项式乘以多项式 8、平方差公式
9、完全平方公式
（二）整式的除法
1、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式
温故知新 （一）整式的乘法
1、同底数的幂相乘 法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
名师归纳

新知探索
借助几何图形证明：
a
a
a-b
a-b
a
b
a-b
a2-b2
b
b
(a+b)(a-b)
两个相同的梯形的面积和_________;
a2-b2
大正方形面积与小正方形的面积差_______.
(a+b)(a-b)
新知归纳
平方差公式
(a+b)(a－b)= a2－b2
文字表述：
两数和与这两数差的积,等于 这两数的平方差.
你也没有吃亏，你看如何？” 张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了 ，回到家中，
他把这件事对邻居讲了，邻居一听，说：“张老汉你吃亏了！”，张老汉
非常吃惊.同学们，你知道为什么吗？
a米
2米
a米
a米
a2
(a-2)米
？
(a+2)(a-2)
新知探索
计算下列多项式的积
a2-2a+2a-4 a2－4
(1) (a+2)(a-2)=___________=______；
(2) (m+2n)(2n－m);
解:原式= (5x)2 - y2
原式=(2n+m)(2n－m)
=25x2 - y2
=(2n)2－m2
=4n2－m2
例题讲解
例1
用平方差公式计算：
(3) (3y-x)(-x-3y).
原式= (-x+3y)(-x-3y)
=(-x)2－(3y)2
= x2－9y2
完全平方公式、平方差
相同项
相反项
特征:
两个二项式
相乘
新知应用
(a+b)(a－b)= a2－b2

b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 7.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12.
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
＝(2016－2015)2＝1.
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2) 992. 992 = (100 –1)2
=13;1
=10404.
=9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式．

错
熟练运用——掌握公式
用完全平方公式计算：
1. （-3a+2）2 2. （2m-3n）2 3. （-2x- y）2
学以致用——简化计算
用完全平方公式计算： (1)1022
=(100+2)2 =1002+2×100×2+22
=10000+400+4
(2)9972
=(1000-3)2
=10404
=10002-2×1000×3+32 =1000000-6000+9 =994009
1、已知(a+b)2=7, 求：(1)a2+b2的值. (2)ab的值. 2、已知a-b=2,
(a-b)2=3,
ab=1,
a2+b2=(a-b)2+ 2ab (a+b)2=(a-b)2+ 4ab
求：(1)a2+b2的值. (2)(a+b)2的值.
乘法公式
{
(a+b)2= a2+2ab+b2 (a-b)２= a2-2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab＋b2
这个公式也称为完全平方公式
认识 完全平方公式 (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a−b)2 = a2−2ab+b2
结构特征: 左边是
（差） 两数和 的平方;
右边是 两数的平方和 加上（减去）这两数乘积的两倍. 语言表述: 两数和 （差）的平方 等于 这两数的平方和 （减去） 加上 这两数乘积的两倍.
《数学》( 苏科版 标题 .七年级 下册 ) 第九章 从面积到乘法公式
标题
授课人：高邮市南海中学

= a2+2ab +b2 -2ac -2bc +c2
= 4x2-25y2+30y-9.
= a2+b2+c2 +2ab -2bc -2ac.
例5 若式子 x2+(m+7)x+25 是完全平方式，则m的值是______．
解：∵
式子x2+(m+7)x+25
是完全平方式，
∴ x2+(m+7)x+25 = x2±10x+25=（x±5)2 ,
(1)用多项式乘法证明：
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
(a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
将(ɑ-b)2看成[ɑ+(-b)]2
转化
思想
[ɑ+(-b)]2
= ɑ2 +2ɑ(-b) +(-b)2
(2) 借助几何图形证明：
故选B.
2.已知 a,b 满足a2+b2-4a-6b+13=0,求(2a+b)(2a-b)-(b-2a)2的值.
解：(1) (2a+b)(2a-b)-(b-2a)2
= 4a2 - b2 - (b2 - 4ab + 4a2)
= 4a2 - b2 - b2 + 4ab - 4a2
= 4ab - 2b2 ,
注意
2.不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3.弄清完全平方公式和平方差
公式的不同点（从公式结构特

乘法公式、整式的除法【考向解读】一、考点突破本讲考点主要包括：平方差公式、完全平方公式，同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式。

通过多项式的乘法运算得到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；通过乘法公式的几何背景，培养运用数形结合思想和整体思想解决问题的能力。

平方差公式是中考命题中比较重要的考点之一，单独命题的题型多为填空题,选择题和简单的计算题，这一知识点也常融入其他知识命题;完全平方公式在中考中占有重要地位，它在数的运算，代数式的化简，方程,函数等方面都有极其广泛的应用。

整式的除法在中考中出现的频率比较高,题型多见选择题与填空题,有时也会出现化简求值题，因此运算必须熟练。

二、重点、难点提示重点：平方差公式、完全平方公式，整式的除法及零指数幂的运算。

难点：乘法公式中字母的广泛含义及整式除法法则的应用。

【重点点拨】知识脉络图【典例精析】能力提升类例1 计算：（1）（－2a－b）（b－2a）；（2）（2x＋y－z）2．一点通：第（1）题中的b－2a＝－2a＋b，把－2a看成平方差公式中的“a”即可；第（2）题有多种解法，可把2x看成完全平方公式中的“a”，把y－z看成公式中的“b”，也可把2x＋y看成公式中“a”，把z看成公式中的“b”。

答案：（1）（－2a－b）（b－2a）＝（－2a－b）（－2a＋b）＝（－2a）2－b2＝4a2－b2；（2）（2x＋y－z）2＝[（2x＋y）－z]2＝（2x＋y）2－2z（2x＋y）＋z2＝4x2＋4xy＋y2－4xz －2yz ＋z 2．点评：这两题都可以运用乘法公式计算，第（1）题先变形，再用平方差公式；第（2）题把三项和看成两项和，两次运用完全平方公式。

例2 计算：（1）[（－3xy ）2·x 3－2x 2·（3xy 2）3·12y ]÷（9x 4y 2）；（2）[（x ＋2y ）（x －2y ）＋4（x －y ）2]÷（6x ）．一点通：本题是整式的混合运算，解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的。

(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
计算(3)（-x-y)(-y+x) (4) (-2m-n)(n-2m)
解：(3)（-x-y)(-y+x) =(-y+ x)(-y-x)= (-y)²-x²= y²-x²
b a a b (a+b)(a-b)= a²-b²
(4） (-2m-n)(n-2m) =(-2m)²-n² =4m²-n²
注意
①利用平方差公式计算的关键是_准__确_确__定__a_和_b 完全相同的是a,互为相反的是b
②当a ,b是分数或负数或数与字母的乘积时,要把它们看成一个 整体用括号括起来，最后的结果又要__去_掉__括__号__,化__简_到__最__简_。
怎样确定a与b____________________________
③公式中的a,b可以是数，单项式，多项式。④公式还可以逆用。
应用： (x+a)(x+b)=x²+(a+b)+ab.
平方差公式：( a + b ) ( a – b ) = a ²- b²
口答 计算下列各题：
(1)（x +2 ) ( x –2 ) = x²– 4 = x²– 2² (2) (1 +3a ) ( 1 –3a)=1 – 9a²=1 – (3a)²
1
1、你能很快计算下列式子吗?(结果可用 幂的形式表示)
(2 1)(22 1)(24 1)(28 1) 1
利用平方差公式计算: (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216

浙教版七年级下册数学《乘法公式》导学案教案课堂教学实录教案浙教版七年级下册数学《乘法公式》导学案课件教案课堂教学实录5.4乘法公式（1）【教学目标】?知识目标：1、观察总结平方差公式的特点和结果。

并能判断多项式相乘是否能运用平方差公式计算。

2、掌握平方差公式，并能从广泛意义上理解公式中字母的含义。

3、会运用平方差公式进行多项式的乘法运算。

4、会用平方差公式进行简便计算。

?过程与方法：通过运用多项式乘以多项式法则，观察、猜想、验证、平方差公式应用的条件和结论，并初步学会运用平方差公式。

?情感态度与价值观：通过“合作学习”，使学生体验数学有关结论的形成过程，养成良好的数学学习思考的习惯。

【教学重点、难点】?重点：掌握平方差公式?难点：构造图形来解释平方差公式，需要较强的综合运用数学的能力，是本节的教学难点。

【教学准备】电脑、投影【教学过程】一、设情景，引出课题：昨天我们学习了多项式相乘的法则。

（学生回忆）。

今天老师在一本参考书上看到这样一些多项式相乘和相乘的结果，请同学们观察他们的特点，并猜想下面的多项式相乘的结果。

（1）（_+2）（_-2）=_２－４（２）（3-a）（3+a）=9-a２（3）（5m+2n）（5m-2n）=25m２-4n２小组合作：1、这些多项式相乘有特点吗？有什么特殊？2、他们的结果有什么特点？和等式左边的多项式有什么联系？3、运用你观察的结论，猜想下列多项式相乘的结果。

并用所学的知识进行验证。

（a）（a+2）（a-2）=（b）（3-_）（3+_）=（c）（2m+n）（2m-n）=（d）（a+b）（a-b）=二、交流对话，探索新知：1、请学习小组的代表根据所观察的结论进行总结：（1）等式的左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差。

（2）等式的右边是这两个数（字母）的平方差。

2、以（a+b）（a-b）为例，师生共同猜想结论，并共同验证：（a+b）（a-b）=a２-ab+ab-b２=a２-b２教师揭示，这就是代数中重要的乘法公式之一：平方差公式。