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第三章_静态电磁场及其边值问题的解(课后题)

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谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第3章 静态电磁场及其边值问题的解【圣才出品】

谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第3章 静态电磁场及其边值问题的解【圣才出品】

第3章　静态电磁场及其边值问题的解（一）思考题3.1 电位是如何定义的？中的负号的意义是什么？答：由静电场基本方程▽×E＝0和矢量恒等式可知，电场强度E 可表示为标量函数φ的梯度，即式中的标量函数φ称为静电场的电位函数，简称电位；式中负号表示场强方向与该点电位梯度的方向相反。

3.2“如果空间某一点的电位为零，则该点的电场强度也为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。

因为电场强度大小是该点电位的变化率。

3.3“如果空间某一点的电场强度为零，则该点的电位为零”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确。

此时该点电位可能是任一个不为零的常数。

3.4 求解电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程时，边界条件有何意义？答：边界条件起到给方程定解的作用。

3.5 电容是如何定义的？写出计算电容的基本步骤。

答：两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即其基本计算步骤：①根据导体的几何形状，选取合适坐标系；②假定两导体上分别带电荷＋q和－q；③根据假定电荷求出E；④由求得电位差；⑤求出比值3.6 多导体系统的部分电容是如何定义的？试以考虑地面影响时的平行双导线为例，说明部分电容与等效电容的含义。

答：多导体系统的部分电容是指多导体系统中一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。

计及大地影响的平行双线传输线，如图3-1-1所示，它有三个部分电容C11、C12和C22，导线1、2间的等效电容为；导线1和大地间的等效电容为；导线2和大地间的等效电容为图3-1-13.7 计算静电场能量的公式和之间有何联系？在什么条件下二者是一致的？答：表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式，虽然只有ρ≠0的区域才对积分有贡献，但不能认为静电场能量只存在于有电荷区域，它只适用静电场。

表示静电场能量存在于整个电场区域，所有E≠0区域对积分都有贡献，既适用于静电场，也用于时变电磁场，当电荷分布在有限区域内，闭合面S无限扩大时，有限区内的电荷可近似为点电荷时，二者是一致的。

电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件

电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件

解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性

3 静态电磁场及其边值问题全

3 静态电磁场及其边值问题全
2
边界条件
en E1 E2 0或者


en D1 D2 S 或者


3.1.2 电位函数
一、电位函数与电位差 电位函数 E 0 E 可由一标量函数表示。 ( ) 0 引入电位函数 ：E 关于电位函数的讨论


r
aU aU E dr 2 dr r r r
19
小结：求空间电场分布的方法
1、场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。 2、应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。 3、间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值 问题的求解。
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向； 在直角坐标系中
E ex ey ez x y z
3
电位差（电压）
电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。 电位差的计算：
el l el 为 增加最快的方向 E el d E dl l B A AB B A Edl E dl
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。 设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：
E
Q 4 0 r 2

er
Q 1 Q U E dr ( ) Q 4 0 aU a 4 0 r a 4 0 a aU E 2 er r
13
例题3.1.3两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a 处，在两板之间x=b处有一面密度为SO的均匀电荷分 布。求两导体平板之间的电位和电场。 解：两板之间除x=b外电位函数方程：

电磁场理论(柯亨玉)答案第三章静态电磁场.pdf

电磁场理论(柯亨玉)答案第三章静态电磁场.pdf

由B A
得： Az Ay 0 y z
Ax Az 0 z x
Ay x
Ax y
B0
可得一解为： Az Ay 0
还可得另一解为： Ax Az 0
还存在其它解。 两者之差的旋度：
Ax B0 y Ay B0 x
eˆx eˆy eˆz
( Ayeˆy Axeˆx ) (B0 xeˆy B0 yeˆx )
磁失势的引入及方程的推导过程我们以图解的方式表示其中引入的条件是无传导电流的单连通区域如电流是环形分布的磁标势适合的区域只能是挖去环形电流所围成的壳形之后剩下的区域
第三章 静态电磁场
1. 静电场中，电位函数满足的方程及其边界条件 电位函数的引入及其方程的推导过程。我们以图解的方式表示
D
E
x
0 y z
B0 y B0 x 0
3-10. 证明：设线圈中的电流分别为 I1, I 2
线圈 1 对线圈 2 的作用力为
f12
0 4
I
2
dl2
(I1
dl1r12 )
L1 L2
r132
0 I1I2
dl2
(dl1r12 )
4
L1 L2
r132
0 I1I 2
[(dl2 r12 )dl1 (dl1 dl2 )r12 ]
设介质被抽出的一段长为 x ， C 便等于无介质部分的电容 C1 与有介质部分的电容
C2 的迭加，即
C
C1
C2
2 0 x ln(b a)
2 (L x) ln(b a)
2 [L ln(b a)
(
0
)x]
则 W V2 C 2
V2 2
2 [L ( ln(b a)

静态电磁场及其边值问题的解chap3

静态电磁场及其边值问题的解chap3

ϕ ( P) = ∫
∞
P
v v E ⋅d l
（以无限远处为零电位做参考，任意点P的电位表示） 以无限远处为零电位做参考，任意点P的电位表示）
2、静电位的微分方程
v E = −∇ϕ ⇒ D = ε E = −ε∇ϕ
∇ ⋅ D = ρ ⇒ ∇⋅ ( −ε∇ϕ ) = ρ ⇒ ∇⋅ ( ∇ϕ ) = − ρ ⇒ ∇2ϕ = − ρ
ρS = 0
∂ϕ1 ∂ϕ2 ε1 =ε2 ∂n ∂n
导体
∂ϕ ε =−ρS ∂n
【例3.1.1】 求电偶极子 p = qdl 的电位 ϕ ( r ) 3.1.1】
当
z
+q d
r+ r− = r
P ( r,θ ,ϕ )
r >> d 1 1 1 ≈ + 2 d cosθ r+ r r
因此
ϕ=
θ
−q
解：取如图所示坐标系，场点 P ( r,θ ,ϕ ) 取如图所示坐标系， 的电位等于两个点电荷电位的叠加
a a
Cl =
ρl
U
=
D−a ln a
πε 0
≈
πε 0
ln( D / a)
ρl 1 ρl D − a 1 ( + )dx = ln 2πε 0 x D − x πε 0 a
F /m
【例3.1.5】同轴线的内导体的半径为a，外导 3.1.5】同轴线的内导体的半径为a 体的半径为b 体的半径为b，内外导体间填充介电常数为 ε 的均匀电介质，试求同轴线单位长度的电容。 的均匀电介质，试求同轴线单位长度的电容。
电 位 的 泊 松 方 程
ε
ε
若空间电荷分布为零， 若空间电荷分布为零，则有 ∇2ϕ = 0

《电磁场与电磁波》习题参考答案

《电磁场与电磁波》习题参考答案

况下，电场和磁场可以独立进行分析。（ √ ）
12、静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（ × ）
13、静电场是有源无旋场，恒定磁场是有旋无源场。（ √ ） 14、位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。（
×）
15、法拉第电磁感应定律反映了变化的磁场可以产生变化的电场。（ √ ） 16、物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不
D.有限差分法
6、对于静电场问题，仅满足给定的泊松方程和边界条件，
而形式上不同的两个解是不等价的。（ × ）
7、研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物 质内发生的静电现象。（ √ ）
8、泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ × ）
9、静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方 程的解都是唯一的。（ √ ）
是（ D ）。
A．镜像电荷是否对称
B．电位所满足的方程是否未改变
C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C
5、静电场边值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯
方程的求解，若边界形状为圆柱体，则宜适用( B )。
A.直角坐标中的分离变量法
B.圆柱坐标中的分离变量法
C.球坐标中的分离变量法
两个基本方程：
3、写出麦克斯韦方程组，并简述其物理意义。
答：麦克斯韦方程组的积分形式：
麦克斯韦方程组的微分形式：
每个方程的物理意义： (a) 安培环路定理，其物理意义为分布电流和时变电场均为磁
场的源。 (b) 法拉第电磁感应定律，表示时变磁场产生时变电场，即动
磁生电。 (c) 磁场高斯定理，表明磁场的无散性和磁通连续性。 (d)高斯定理，表示电荷为激发电场的源。

《电磁场与电磁波》习题参考答案

《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。

2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。

3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。

4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。

（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。

（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。

（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。

（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。

（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。

第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。

2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。

3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。

4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。

5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。

6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。

7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。

8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。

静态电磁场及其边值问题的解


E dl
A
P
定义点A电位： A
E dl
A
(P 为参考点，P 0 )
说明：
① 电位有明确的物理意义；
② 电位差与参考点的选择无关；
③ 同一问题中只能有一个参考点；
④ 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，
应使电位表达式最简单：
电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，
, )

C



C

p cos 4 0r 2
中，p、0 为常数
故 等位面方程：r C1 cos (可画出 r 对 的曲线) ，而
dr Er

rd
E

r sind
E
dr
2 cos

rd sin

dr r

2d (sin sin
)
r

C2 sin2

第19页
[例] 求如图所示同轴电容器的电场和单位长度电容。
解：问题的边界条件是：
① a ， a ； b ， b
② 介质分界面上: E1t E2t，D1n D2n
用高斯定律试探解： E 1 , D 1


设
C
E1 E2 e
，C为常数，则
4 0r1r2 4 0r 2
定义电偶极矩矢量：
p qd
(单位 C m )


p cos 4 0r 2

p er
4 0r 2

p r
4 0r 3
p
4 0
1 r
第17页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解

电磁场与波第3章 静态电磁场及其边值问题的解

第3章
静态电磁场及其边值 问题的解
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 当场源不随时间变化时，激发不随时间变化的静态场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
3.1 静电场分析
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
基本方程

D d S
S

dV
V

E d l 0
M P
E d l
rQ rPΒιβλιοθήκη Q ME d l
l
2 0 rQ rP

Q M
r r
2
d r
rQ
M
l
2 0

1 r
dr
l
2 0
ln
如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 如果选择rQ=1，得 P

O
rP
P
l
2 0
ln
1 rP
，显然这种形式最简单。
,
D2
S 0b 0
最后得
1 ( x ) 2 ( x) 0a S 0b 0a
S 0 (a b)
(0 ≤ x ≤ b ) (b ≤ x ≤ a )
所以 D1 0
C 2 a D2 0 C1b D1 C 2 b D2 C 2 C1
d 1 ( x )
2
dx
2
2
0,
(0 x b)
y
S0
d 2 ( x) dx
2
1 ( x ) 2 ( x)
0,
(b x a )
o
b
a
x
方程的解为 1 ( x ) C1 x D1

第三章静态电磁场及其边值问题


q 在闭合面内 q 在闭合面外
D0
（高斯定理的微分形式）
二、电场的旋度
在点电荷 q 的电场中，任取一条曲线 l ，积分
q E d l 4 0 l
e r dl q 2 R 4 0 l
dR q 2 R 4 0 RA
RB
1 1 R R A B
◇ 电位满足的边界条件
1 d 2 d r 2 r dr dr
r a
U 0
因此
C2 0
C1 aU
r
2
直接积分

aU r
E r er
aU er 2 r r
电位的边界条件：
3.1.19
若分界面上不存在面自 由电荷，即 s 0，则
e n E 1 E 2 0 1E 1n 2E 2 n
或
此时电位移矢量连续
3.1.2
电位函数
1.电位和电位差 由 E 0 E ， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数
直 角 坐 标 系
E x x E e x ey ez E x y z y y E z ◇ E在任意方向上的分量 z El l ◇ 若选取 P( xP , yP , zP ) 为电位参（即 P 0 ◇ 由此可求得电位的微分 则任意点 A( x, y, z ) 的电位为 d El dl E dl
利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解
1 r r ' G r, r ' d ' G r, r ' ' r ' r ' ' G r, r ' dS 0 S
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b b
2
ql
则同轴线单位长度的静 电储能为： We ql 2 1 1 1 ql b ql 2 E dV ( ) 2 d ln 2 V 2 a 2 2 2 a 2C
b 2 2
• 3.13 在一块厚度为d的导电板上，由两个半径分别为 r1和r2的圆弧和夹角为α的两半径割出的一块扇形体。 试求(1)沿厚度方向的电阻（2）两圆弧之间的电阻 （3）沿α方向的电阻。设导电板的电导率为σ
d
ql
a x
ql ( y y0 ) 2 1 3.1 (0, y ) 2 (0, y ), ( ) x x x 0 0
由条件1、 2，可以取位函数的通解 为
1 ( x, y ) An e
n 1

nx / a
ny sin ( ), ( x 0) a
即 : 4 ( x a) 2 y 2 z 2 ( x a) 2 y 2 z 2 5 5 故得： ( x a) 2 y 2 z 2 ( a) 2 3 3 5 4 零电位面方程是一个以 点（ a,0,0）为球心，以 a为半径的球面 3 3


2 d 1 x 2 解：两极板之间的电位 满足泊松方程 ＝－ ,即 2 － 0 dx 0 d
同轴线中单位长度储存 的磁场能量为
2 2 2
( a b)
1 a B0 1 b B1 1 b B2 Wm 2d d d 2 0 0 2 a 1 2 a 2 1 a 1 0 I 2 1 1 1 b 1 2 I ( ) 2d ( ) d 2 2 0 0 2a 2 1 2 a ( 1 2 )
μ2 μ1
a
b
0 I 2 2B0 2 a
0 I B0 ( a) 2 2a 当a b区域内，有 ( H1 H 2 ) I B1 B2 1 2 I 即（ ） I , 故B e 1 2 ( 1 2 )
z I O μ1＝μ0 μ2＝μ x
则磁化体电流的密度 1 d ( 0 ) I 1 d 1 J m M ez ( M ) ez ( ) 0 d 20 d
在磁介质表面，磁化电 流的面密度为 ( 0 ) I J mS M ez e z 0 20
2 ( x, y ) Bn e
n 1
nx / a
ny sin ( ), ( x 0) a
ny ny 由条件3有： An sin ( ) Bn sin ( ) An Bn a a n 1 n 1 ql ( y d ) n ny n ny An sin ( ) Bn sin ( ) a a a a 0 n 1 n 1
2
0 I 2 1 2 I 2 b ln 16 2 ( 1 2 ) a
1 2 (2)由Wm LI ，得到单位长度的自感 为 2 2Wm 0 1 2 b L 2 ln I 8 ( 1 2 ) a
3.22一个点电荷 q放在60o的接地导体角域内的点 (1,1,0)处，如图所示。 求：（ 1 ）所有镜像电荷的位置 和大小（ 2）P(2,1,0)处的电位
• 3.19 同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是 半径为b的薄圆柱面，其厚度可以忽略不计。内、 外导体之间填充有磁导率分别为μ1、 μ2两种不同的 磁介质，设同轴线中通过的电流为I。试求（1）同 轴线中单位长度所储存的磁场能量（2）单位长度 的自感
解：同轴线的内外导体 之间的磁场沿 方向，在两种 磁介质的分界面上磁场 只有法向分量。根据边 界条件 可知，两种磁介质中的 磁感应强度 B1 B2 B e B (1)由安培环路定理，当 a
r2 r1
I2 E2 rd
J2
I2 r2 E2 dr ln d r1
故得到两圆弧面之间的 电阻为 U2 1 r2 R2 ln I 2 d r1
(3)设沿方向的两电极的电压为 U 3，则有 U 3 E3rd
0

U3 由于E3大小与无关，故得E3 e r U 3 J 3 E3 e r I 3 J 3 e dS
ny 将上式两边同乘以 sin( )，并从0到a对y积分，有 a 2ql a 2ql ny nd An Bn ( y d ) sin( )dy sin( ) n 0 0 a n 0 a
nd 解得An Bn sin( ) n 0 a ql 故： 1 nd nx / a ny 1 ( x, y ) sin( )e sin ( ), ( x 0) 0 n 1 n a a ql
ql • 3.8证明：同轴线单位长度的静电储能 We 2C
证明：由高斯定理可以 求出同轴线内、外导体 间的电场强度为 ql E( ) 2 内外导体间的电压为 ql b U Ed d ln a a 2 2 a ql 2 则同轴线单位长度的电 容为C U ln(b a)
ψ=U0
d3 故U 0 － Ad 6 0 d U d 得A d 6 0
0 0 0
0
d
x3 U d ( )x 6 0 d d 6 0
0 0 0
2 x U 0 0d 0 E ex ex ( ) x d 6 0 2 0 d
0
• 3.7 无限大导体平板分别置于x=0,x=d处，板间充满 电荷，体电荷密度为ρ，极板的电位分别是0和U0， 求两极板之间的电位和电场强度。
x3 解此方程，得 － Ax B 6 0 d 在x 0处， 0，故B 0 在x d处， U 0
0
ψ=0 ρ(x)
解：（ 1 ）设沿厚度方向的两电 极的电压为U1，则有 U1 U1 E1 J1 E1Байду номын сангаас d d U1 2 2 I1 J1S1 (r2 r1 ) d 2 故得到沿厚度方向的电 阻为 U1 2d R1 I1 (r22 r12 )
d
(2)设内外两圆弧面电极之 间的电流为I 2 , 则 I2 I2 J2 S 2 rd U2
q’5
(2)点P(2,1,0)处的电位 q4 q2 q3 q5 1 q q1 (2,1,0) ( ) 4 0 R R1 R2 R3 R4 R5 0.321 q 2.89109 qV 4 0
3.30两块平行无限大接地导 体板，两板之间有一与 z轴平行的 线电荷ql，其位置为 (0，d )。求板间的电位分布。 解：由于在(0, d )处有一与z轴平行的线电荷 ql，以x 0为界将 场空间分割为x 0, x 0两个区域。这两个区域 中的电位1、
q’2
60 O
q
(2,1,0) x
q’3 q’4
' o x 2 cos 285 0.366 4 ' q4 q , ' o y 2 sin 285 1.366 4 ' o x 2 cos 315 1 5 ' q5 q, ' o y 2 sin 315 1 5
2都满足拉普拉斯方程。 而在x 0的分界面上, 可利用函数 将线电荷表示成电荷面 密度 S ( y ) ql ( y y0 )
电位的边界条件为： 1.1 ( x,0) 1 ( x, a) 0
y
2 ( x,0) 2 ( x, a) 0 2.1 ( x, y ) 0, ( x ) 2 ( x, y ) 0, ( x )
第三章 静态电磁场及其边值问 题的解
课后练习题
• 3.2 一个点电荷q1=q位于点P1(-a,0,0)，另一点电荷 q2=－2q位于点P2(a,0,0)，求空间的零电位面。
解：两个点电荷在空间 产生的电位 1 q 2q ( x, y , z ) 2 2 2 2 2 2 4 0 ( x a ) y z ( x a) y z q 2q 令 ( x, y, z ) 0，则有 ＝0 2 2 2 2 2 2 ( x a) y z ( x a) y z
0 ( , ) E0 x C E0 cos C 感应电荷的电位 in (r , )应与 0 ( , )一样按cos变化，
且在无限远处为 0。
E0 y a O x
由于导体是等位体，所 以 ( , )满足的边界条件为 1. (a, ) C 2. ( , ) E0 cos C ( ) 由此可设 ( , )＝ E0 cos A1 1 cos C 由条件 (a, ) C，有 E0 cos A1 1 cos C C得A1 a 2 E0 故圆柱外的电位为 ( , )＝( a ) E0 cos C

1 nd nx / a ny 2 ( x, y ) sin( )e sin ( ), ( x 0) 0 n 1 n a a ql

3.31在均匀电场中垂直于电 场方向放置一根半径为 a的 无限长导体圆柱。求导 体圆柱外的电位和电场 强度， 并求导体圆柱表面的感 应电荷密度。 解：圆柱外的电场是外 电场与感应电荷产生电 场的叠 加，同时由于导体圆柱 为无限长，电位与变量 z无关。 在圆柱坐标系中，外电 场的电位为
S3
dU3 dU3 r2 dr ln r r r1 故得到沿方向的电阻为 U3 R3 I 3 d ln(r2 r1 )
r2
1
• 3.15无限长直线电流I垂直于两种磁介质的分界面， 试求（1）两种磁介质中的磁感应强度（2）磁化 电流的分布