下载文档原格式
极坐标与参数方程一、极坐标知识点1.极坐标系的概念（1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系•（2）极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为•有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）.一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示•如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的•2.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为4 45(, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方4 4 4 4 4 4 4 4程、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点 P(2,Q ), Q(2,-)之间的距离以及过它们的直线的极坐标方 程。
选修4-4 极坐标系与参数方程一、极坐标系与极坐标1、极坐标系的概念： 在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2、点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对___________叫做点M 的极坐标，记为___________.极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.3、若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
4、极坐标与直角坐标的互化：_________________________ , ________________________________________________ ,_______________________5、圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是________________；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程________________； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是______________；6、直线的极坐标方程在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线（ ）在极坐标系中，过点)0a )(b ,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是__________. 在极坐标系中，过点A(a,)b ，且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是________________二、参数方程1、参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。
坐标系与参数方程讲义高考目标：（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（2） 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.（3） 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.（4）了解参数方程，了解参数的意义.（5） 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.1、在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积2、已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为 参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.3、已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数)上，对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=，M 为PQ 的中点．（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．4、已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=。
（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
5、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。
坐标系与参数方程标准化讲义目录第一讲：极坐标第二讲：参数方程第三讲：高考对接备注：参考答案第一节 极坐标1．将直角坐标转化为极坐标．(3(5)(3(02)(02)(50)(05)---，，，，，，，，，，，，，A B C D P Q M N ．2．将极坐标转化为直角坐标．7537235,312(3)46436246⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，A B C D P Q M N ππππππππ．3．将下列直角坐标方程转化为极坐标方程．2222221234(1)5((16==+==+=-+=+-=，，，，，，x y x y y x y x y x y ，y 2 = 4x ，2214+=x y ．4．将极坐标方程转化为直角坐标方程．1cos 20sin cos 434⎛⎫⎛⎫==-===+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，ρθρθρθρθρθπππ．5．在极坐标系中，极坐标为26⎛⎫ ⎪⎝⎭，π的点到极点和极轴的距离分别为___________．6．已知曲线C 的极坐标方程为ρ(3cos θ - 4sin θ) = 1，则C 与极轴的交点到极点的距离是___________． 7．在极坐标系中，点26⎛⎫ ⎪⎝⎭，π到直线ρsin 16⎛⎫-= ⎪⎝⎭θπ的距离为_________．8．在极坐标系中，点23⎛⎫ ⎪⎝⎭，π到直线ρ(cos θθ) = 6的距离为_________．9．已知直线l 的极坐标方程为2sin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π，点A 的极坐标为74A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π，求点A 到直线l 的距离．10．在极坐标系中，圆ρ = 8sin θ上的点到直线3θ=π（ρ∈R ）距离的最大值是_________． 11．已知圆的极坐标方程为ρ = 4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为43⎛⎫ ⎪⎝⎭，π，则| CP | =___________．12．在极坐标系中，点23⎛⎫- ⎪⎝⎭，π到圆ρ = -2cos θ的圆心的距离为___________．13．在极坐标系中，O 是极点，设点16A ⎛⎫⎪⎝⎭，π，22⎛⎫ ⎪⎝⎭，B π，则△OAB 的面积是___________．14．在极坐标系中，已知两点23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π和56⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q π，则PQ 的中点M 的极坐标为__________．15．已知M 点的极坐标为26⎛⎫-- ⎪⎝⎭，π，则M 点关于直线2θ=π的对称点坐标为___________．16．在极坐标系(ρ，θ) ρ > 0，0≤θ≤2π中，曲线ρcos θ = -1与曲线ρ = 2sin θ的交点的极坐标为______． 17．在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ = cos θ和ρsin θ = 1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为___________．18．在极坐标系中，直线ρcos θ - sin θ) = 2与圆ρ = 4sin θ的交点的极坐标为___________．19．在极坐标系中，已知圆O ：ρ = cos θ + sin θ 和直线l ：ρsin 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭θπ．（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当(0)θ∈，π时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．20．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为22cos 24ρρθ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，π． （1）将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．21．在极坐标系中，直线sin 24ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π被圆ρ = 4截得的弦长为_________．22．在极坐标系中，直线ρ = cos θ sin θ - 1 = 0与圆ρ = 2cos θ交于A ，B 两点，则| AB |=_______． 23．（2018·江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 26ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．24．在极坐标系中，直线ρ(sin θ - cos θ) = a 与曲线ρ = 2cos θ - 4sin θ相交于A ，B 点，若||=AB a 的值为_________．25在O 为极点的极坐标系中，圆ρ = 4sin θ和直线ρsin θ = a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为_________．26．在极坐标系中，点A 在圆ρ2 - 2ρcos θ - 4ρsin θ + 4 = 0上，点P 的坐标为(1，0)，则| AP |的最小值为_________．27．在极坐标系中，已知点P 为圆07sin 22=-+θρρ上任意一点．求点P 到直线07sin cos =-+θρθρ的距离的最小值与最大值．28.在极坐标系中，P 是曲线θρsin 12=上的动点，Q 是曲线)6cos(12πθρ-=上的动点，试求|PQ |的最大值．29.在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 .第二节 参数方程1．点P (3，b )在曲线121x y t ⎧⎪=⎨=--⎪⎩（t 为参数）上，则b 的值为（ ）A ．-5B ．3C ．5或-3D ．-5或32．曲线2143x t y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数）与x 轴的交点坐标是（ ）A ．(1，4)B ．25016⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(1，-3)D ．25016⎛⎫± ⎪⎝⎭，3．将参数方程转化为普通方程．（1）4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）；（3）32cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）；（4）x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（5）5cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（6）3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（7）1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（8）21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（9）1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）；（10）51x ty =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）．(11)．参数方程135x q y q =+⎧⎨=+⎩（q 为参数）化为普通方程是（ ）A ．5x - 3y ＝1B ．5x - y ＝1C ．5x - y ＝2D ．x - 5y ＝2(12)．参数方程cos cos 21x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）表示的曲线是（ ）A ．直线B ．抛物线的一部分C ．圆的一部分D ．椭圆的一部分(11)．将331x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），化成普通方程为_______________．(12)．将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），化成普通方程为______________．(13)．已知曲线C 1：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），C 2：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．(14)．若直线l 1：122x t y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线l 2：12x sy s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k =_______．(15)．若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k =__________．(16).已知曲线C 的参数方程为13⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩x y t t （t 为参数，t > 0），求曲线C 的普通方程．4．将普通方程化为参数方程． （1）将22194x y +=化为参数方程；（2）已知圆方程222640x y x y ++++=，将它化为参数方程．（3）写出经过点)5,1(0M ，倾斜角是3/π的直线l 的参数方程5. 参数方程与简单的解析几何（1）圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．（2）将曲线C ：=cos ,=1sin x y θθ⎧⎨-+⎩(θ为参数)化为普通方程，如果曲线C 与直线0=++a y x 有公共点，求实数a 的取值范围． （3）点(x ，y )是曲线C ：=2cos ,=sin x y θθ-+⎧⎨⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则yx 的取值范围是__________．（4）若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是()A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定（5）已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心(6)已知A ，B 分别是椭圆22=1369x y +的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，则△ABC 的重心G 的轨迹的参数方程是__________．6. 参数方程求最值（1）．在平面直角坐标系xOy 中，设()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值（2）．设P 是椭圆2x 2 + 3y 2 = 12上的一个动点，求x + 2y 的最大值和最小值．（3）．已知实数x ，y 满足22(1)(2)25x y -+-=，求222x y x y ++，的最值．（4）.求椭圆22194x y +=上一点P 与定点(1，0)之间距离的最小值．（5）点M (x ，y )在椭圆22=1124x y +上，则点M 到直线x + y - 4 = 0的距离的最大值为__________，此时点M的坐标是__________．7. 参数方程t 的应用（1）若一直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝y 0－32t(t 为参数)，则此直线的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150° （2）已知：直线l 过点)0,2(P ，斜率为34，直线l 和抛物线x y 22=相交于B A ,两点，设线段AB 的中点为M ，求（1）M P ,两点间的距离（2）M 点的坐标（3）线段AB 的长AB（3）(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．（4）已知直线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为θρsin 4=，设曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．（5）求经过点(1，1)，倾斜角为135°的直线截椭圆1422=+y x 所得的弦长。
