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对一道课本习题的研究通过多年的教学，我发现教材中有许多极有价值的题目.对于这类题目，我们不能就题论题，或者仅仅满足于能正确解答题目，而应引导学生认真挖掘题目的内涵，不断地完善学生的知识结构和认知结构，激发学生对教材研究的兴趣，培养学生的探究能力、创新能力.高中数学新教材第二册（上）p96练习4：△abc的一边的两顶点是b（0，6）、c（0，-6），另两边的斜率的积是-49，求顶点a的轨迹.这道题的答案是：轨迹方程为x281+y236=1（x≠0），轨迹是一个椭圆（除短轴端点外）.我把这道题当做作业布置给学生，学生只是满足于把题目解答出来，而且绝大多数学生都能正确解答本题.但是，在学了椭圆和双曲线之后的一节习题课中，我要求学生研究这道题.下面是这一道课本习题的教学实录.师：今天这节课，老师想请同学们研究一道课本题（p96练习4）. 开始，许多学生都认真研究他们的解答，看看是否做错，很快他们发现他们没有做错，他们说：“老师，我们没有做错，你要我们研究什么？”师：是的，这道题你们是没有做错，但老师就是要你们研究这道题.经过热烈的讨论，有学生说：“老师，我想看看它的逆命题是否正确？”师：很好，大家不妨以这位同学的想法为例做一些研究.很快有学生写出了它的逆命题：已知椭圆方程为x281+y236=1（x≠0），短轴的两个端点为b、c，若点a是椭圆上任意一点（异于b、c），求点a与b、点a与c的连线的斜率的积.经过计算得到答案正好是-49.这时一些学生脸上露出成功的喜悦，并感叹：“原来这个命题的逆命题也成立！”师：很好，同学们经过研究，发现了这个命题及它的逆命题都是正确的，但这仅仅是研究的开始，请同学们继续研究.于是，学生再次进入思维、探索的高潮，所有学生都在进行积极的探索.有的学生想研究它的否命题、逆否命题，但很快发现研究这四种命题的关系没有什么价值；有的学生研究椭圆的方程x281+y236=1（x≠0）中的数值与-49的关系；有的学生写出了p96练习4的一般形式：△abc一边的两顶点b（0，m）、c（0，-m），另两边的斜率之积是常数-p，求顶点a的轨迹；还有的学生得出了更一般的命题：与两定点的连线的斜率之积是定值的点的轨迹是椭圆……教师在教室巡视，不时给学生一些提示和点拨，经过学生的研究和讨论，得到了如下命题：平面内的一个动点m（x，y）到两定点a1（-a，0），a2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1<e2-1此时，同学们十分高兴，个个脸上都露出了成功的喜悦.师：你们真了不起，通过研究你们发现了这样漂亮的命题，真是太棒了.但是，谁能使这个命题更加完美呢？学生再一次进入思维、探索的高潮.有的学生想到了教材p108习题1：△abc一边的两个端点是b（0，6）、c（0，-6），另两边的斜率的积是49，求顶点a的轨迹.[答案：双曲线x281+y236=1（x≠0）]；有些学生则直接对命题中的常数的取值范围进行研究，他们觉得这个常数的改变会引起曲线的形状的改变……（下课铃响了.）师：同学们，这节课你们通过对一道课本题的研究，发现了一个重要的命题：平面内的一个动点m（x，y）到两定点a1（-a，0），a2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1<e2-11.这里面蕴含了什么哲学原理？2.请大家给出一个统一的圆锥曲线的定义.综上可知，一道优秀的习题、一种较好的解法及得出的优美结论，可激发学生的兴趣，发展学生的智力，提高学生的能力.作为教师，我们应该培养学生探索研究的能力，让学生逐步形成良好的思维习惯.</e2-1</e2-1（责任编辑黄春香）。
教材点击２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀一道教材习题引发的深度学习◉湖北省武汉市杨园学校㊀熊㊀利１深度学习深度学习是课程改革以来对课程理解和课堂实践的深化,它既是一种理念也是一种实践指导策略．深度学习是指在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题,全身心积极参与,体验成功,获得发展的有意义的学习过程．数学学习过程是学生围绕学习内容展开的活动过程,初中数学深度学习的特点是学生能够全身心投入具有挑战性的富有思维含量的学习活动．笔者在一节习题课中设计了三个具有挑战性的学习活动:一是发现习题的多个不同的证明方法;二是通过不同证明方法的对比,发现并确认题中多余的条件;三是将多余条件结论化,进而探求习题的结构．三个学习活动衔接自然,过程流畅,思维含量一个比一个高,逐步将课堂学习活动推向高潮．整节课学生自主㊁自发地参与到课堂学习活动中来,不断体验到发现和证明出结论带来的快乐,这也正是深度学习理念指导下的课堂实践的最好展现．２教学纪实２．１展示习题,指明目标教师:很多时候我们只顾埋头做题,一题做完紧接下一题,很少停下脚步去深入研究一道题,今天老师带领大家对课本上一道习题进行深入探究,希望大家从中能有所收获．(展示习题)本节课我们只研究这一道题,请大家开动脑筋积极思考．图１题目㊀(人民教育出版社八年级数学上册第２５页习题第１０题)如图１,六边形A B C D E F 的内角都相等,øD A B ＝６０ʎ,A B 与D E有怎样的位置关系?B C 与E F 有这种位置关系吗?这些结论是怎样得出的?教师:做完的同学写一下过程,然后再看看整道题,你有没有什么发现?没做出来的同学,尽可能地算出图中所有的角,并给出证明．过程回顾:首先指明这节课的目标是对一道题进行深入研究．让学生用不同的方法解答,激发学生的探究欲,同时,希望学生通过各种不同方法的对比,发现 øD A B ＝６０ʎ是多余条件,让接下来的学习过程衔接更自然．２．２一题多解,拓宽思路教师:老师已经看到了不同的证明方法,大家开动脑筋,用尽可能多的方法来证明你的结论．教师:会做这道题的同学请举手．好,有超过一半的同学举手了．请一位同学说一下你的证明过程．学生１:A B ʊD E ,且B C ʊE F ．证明:由øD A B ＝６０ʎ,得øF A D ＝øD A B ＝６０ʎ．由øE ＋øF ＋øF A D ＋øE D A ＝３６０ʎ,且øE ＝øF ＝１２０ʎ,可知øE D A ＝６０ʎ,所以øE D A ＝øD A B ,故A B ʊD E ．又øF ＋øF A D ＝øB ＋øD A B ＝１８０ʎ,所以E F ʊA D ,B C ʊA D ,于是B C ʊE F ．教师:对于D E ʊA B ,同学们还有其他证明方法吗?学生２:如图２,过点F 作F H ʊE D ．由ø１＋øE ＝１８０ʎ,得ø１＝６０ʎ,则ø２＝１２０ʎ－ø１＝６０ʎ,所以ø２＋øF A B ＝１８０ʎ,所以F H ʊA B ．故D E ʊA B ．图２㊀㊀图３学生３:如图３,延长E F ,和B A 的延长线交于点H ．由ø１＝１８０ʎ－øE F A ＝６０ʎ,ø２＝１８０ʎ－øF A B ＝６０ʎ,又øH ＋ø１＋ø２＝１８０ʎ,得øH ＝６０ʎ,所以øE ＋øH ＝１８０ʎ,故D E ʊA B ．图４学生４:如图４,连接A E ．由ø１＋ø２＋øF ＋ø３＋ø４＝３６０ʎ,ø１＋øF ＋ø３＝１８０ʎ,可知ø２＋ø４＝１８０ʎ,所以D E ʊA B ．教师:对于D E ʊA B ,同学们给出了四种不同的证明方法,大家再观察一下,看你有没有什么发现?学生５:除了第一种方法,其余三种都作了辅助线．学生６:后三种方法都没有用到 øD A B ＝６０ʎ这个条件．８２０２３年１２月下半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀教师:这两个同学的证明方法都很好!请问条件 øD A B ＝６０ʎ能否去掉?过程回顾:让学生尽情展示,在一个个证明方法中逐渐打开思路,过程自然流畅,学生都沉浸在思维的海洋里．２．３导向深入,抓住关键学生７:从做题过程来看,条件 øD A B ＝６０ʎ可以去掉．D A 这条线段也可以去掉．教师:那为什么题目要多给条件呢?(学生７沉默不语,课堂陷入沉默．)教师:此题是 １１．３多边形及其内角和 的一道习题,主要考查灵活运用多边形内角和公式解决问题的能力．题目多给条件,一是为了让大家往计算角这个方向思考,二是给大家留出探索发现的空间,这也是此题放在 拓广探索 栏目中的原因．教师:经过大家的思考探索,可以把题目简化为 凸六边形A B C D E F 的内角都相等,求证:D E ʊA B ．学生８:老师,我又发现了新的证明方法．不用 øD A B ＝６０ʎ 这个条件,连D A 就可以证明．教师:好的,你先不说过程,让大家思考一下,这样可不可以证明?图５学生８:如图５,因为ø２＋ø３＋øE ＋øF ＝３６０ʎ,所以ø２＋ø３＝１２０ʎ．又ø１＋ø２＝１２０ʎ,所以ø１＝ø３．故D E ʊA B ．教师:非常好,过程清楚,思路明确．要证明平行,但没有截线,连D A 后就有了截线,产生内错角,证内错角相等．大家回顾一下,以上几种证明方法有没有共同点?解答这题的关键是什么?学生９:课本原题除学生１的证法外,其余证明方法都作了辅助线,作辅助线后才产生了截线,所以这道题的关键是要有截线．教师:学生９总结得很好．大家能否归纳一下作截线的方法学生１０:作截线有三种方式,即连接㊁延长和作平行线．过程回顾:通过教师的引导㊁学生的积极参与,证明思路越来越清晰,最后点出了证明平行的关键是找截线,并归纳了作截线的三种方法．２．４抛出问题,探索结构教师:既然条件 øD A B ＝６０ʎ是多余的,老师有一个想法,能否把它放到结论中,也就是由每个内角都相等能否得到øD A B ＝６０ʎ．题目改编如下:如图６,六边形A B C D E F 的内角都相等,øD A B是否等于６０ʎ给出你的判断并说明理由．教师:要解决上面这个问题,我们先解决另外一个问题,题中的六边形是否是正六边形?图６(课堂陷入沉默,一分钟后有学生举手．)学生１１:不一定是正六边形,可以将B C 边向上平移,如图７,如果原图是正六边形,则平移后的图形就不是．教师:学生１１举出的反例很图７好地解释了原图不一定是正六边形,通过平移边,在不改变角度大小的情况下,改变了边长．下面回到øD A B 是否等于６０ʎ这个问题上来,大家还同意øD A B ＝６０ʎ吗?学生１２:不一定是６０ʎ,将B A向上平移,øD A B 的度数会变小．教师:你是如何判断øD A B 变小的?学生１２沉默,学生１３举手．图８学生１３:如图８,由A B ʊG H ,得øD A B ＝ø２．又ø２＞ø１,所以øD A B ＞ø１．故向上平移øD A B 会变小．教师:非常好!通过两位同学的分析,我们可以看到øD A B 的度数不是一个确定的值,那 六个内角都相等 这个条件能确定什么?不能确定什么?学生１４:可以确定D E ʊA B ,不能确定øD A B ．学生１５:还可以确定E F ʊB C ,还有C D ʊA F ．教师:也就是可以确定六边形正对着的三组边平行,但不能确定六边形的边长,如果大家能够看到这一层,那这个图形在你眼里就是可以变化的,很多问题就可迎刃而解．过程回顾:通过将多余的条件结论化,来探索试题的结构,将此题的研究进一步推向深入．抛出问题 六个角相等的六边形是否为正六边形 ,为问题的解决指明了方向．３教学感悟课本的一道普通习题,如果不去深入研究,可能十分钟就讲完了,但沉下心来研究一番,结果发现它是一座思维的宝库．笔者并不想直接将这里的宝藏呈现给学生,而是一步步引领学生看到发现宝藏的过程,在这个过程中,让学生逐步体会到解完题后,我们还能怎样去思考,教会学生思考问题的方法,一同经历一堂思维的盛宴．教师能设计出具有挑战性㊁富有思维含量的学习活动是学生在课堂上开展深度学习的必要条件．这就需要教师多研究试题,而研究试题中最有意义的事情是研究教材习题．只有教师的深度学习和研究才有可能促成学生深度学习的产生．Z９。
关于初中数学例题变式教学的实践与认识摘要：随着新课改的深入实施，教师的工作任务有所变化，从帮助学生“掌握理论知识”向“促进学生全面发展”转变。
在初中教育课程中，数学学科具有不可代替的地位，它承担着培养学生创造、发散等学习思维能力的重任。
因此，教师要时刻谨记“素质教育核心理念”，不断创新教学观念、教学方法。
如何在数学教学活动中有效培养学生的学习思维、能力？教师首先需要选择合适的教学方法，例如“例题变式教学法”。
关键词：初中数学；例题变式；教学实践引言：与传统的“灌输式教学法”相比，“例题变式教学法”更考验学生的逆向思维、发散思维等能力。
“例题变式教学法”就是指通过一道经典的课本例题进行变形，以此令学生的数学思维能力得到锻炼。
在此之间，教师要时刻谨记“一题多变”原则，这是保证“例题变式教学法”取得良好效果的重要前提。
一、坚持一题多变原则，锻炼学生学习思维数学学科主要以数学概念、结论为基础，然后通过经典例题去展现对应的知识点。
由此可见，“例题”在数学学科中具有非常重要的意义。
一般来说，教师在教学过程中都会以课本例题为基础，然后以此展开教学。
为了可以让学生灵活运用所学知识、掌握更多解题技巧，所以教师在讲解课本例题之时，要时刻谨记“一题多变原则”。
“一题多变原则”也就是依托书本例题进行变形，通过改变题目的条件、结论等内容，将其转变成全新的题型，但又与书本例题有千丝万缕的关系。
借此方式，学生可以认识更多题型、解题技巧，这无疑有利于帮助他们夯实所学知识，并且令他们的学习思维、能力得到锻炼。
以教材第87页例题4为例，首先，教师先帮助学生掌握这道习题，并且引申其中所涉及到的知识点，例如“角平分线的性质”等等。
随后，教师便可以围绕这道习题进行变形。
从课本例题到变式1，主要减少了两个已知条件：直径AB、弦AC的长度。
同时，还改变了需要求解的结论；从课本例题到变式2，只是变化了需要求解的结论。
虽然这两道变式例题只是减少或者增加了一两个条件，但整道题目却发生了巨大的变化。
对一道课本习题的变式、推广与思考波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这个题目就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域。
”题目：已知ABC ∆两个顶点()()0,6,0,6B A -，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于94-，求顶点C 的轨迹方程。
（北师大版数学选修2-1第三章§1椭圆习题3-1A 组第8题） 一、动手实践，掌握方法解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()6,66,621-≠≠-=+=x x x yk x y k ， 根据题意，9421-=⋅k k ，所以 943622-=-x y ，化简，得()6,61163622-≠≠=+x x y x 所以顶点C 的轨迹是椭圆，去掉左右顶点。
评析：（1）典型的用直接法求动点的轨迹方程，注意6,6-≠≠x x ，一方面它保证了直线BC AC ,的斜率的存在性，另一方面符合C 为ABC ∆的一个顶点，C B A ,,不能共线。
（2）题目的几何条件包括“两个定点、一个动点、一个定值，两条直线的斜率，一个等量关系”。
（3）轨迹是椭圆，去掉左右顶点。
二、引进参数，化静为动变式1、已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之积等于()0≠m m ，试讨论动点C 的轨迹。
分析：首先确定动点C 的轨迹方程，然后依据方程判定它的轨迹。
解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是ax yk a x y k -=+=21,，()a x +-≠，根据题意，m kk =⋅21，所以m a x y =-222，化简，得动点C 的轨迹方程12222=-may a x ，所以 1、当0 m 时，动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，去掉它的两个顶点； 2、当0 m 时（1）若1-=m ，则动点C 的轨迹方程为222a y x =+，所以它的轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆，去掉与x 轴的两个交点；（2）当01 m -时，22ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，去掉左右顶点；（3）当1- m 时，22ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆去掉左右顶点。
评析：引进参数，化静为动，培养学生分类讨论的数学思想，发展学生的数学思维能力。
注意到变式1并没有改变题目中的几何关系，但是参数值及它的的符号决定了轨迹的不同形式——圆、椭圆、双曲线，这也从一个侧面说明三种曲线之间有着内在的联系，可以想象当参数m 由()+∞→≠→-→∞-001变化时，动点c 的轨迹由焦点在y 轴上的椭圆，变为圆，再变为焦点在x 轴上椭圆，然后蜕变为焦点在x 轴上的双曲线，这确实是一个神奇的过程。
三、变换条件，探究结果波利亚曾指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。
”在解题教学活动过程中要学会采“蘑菇”，善于引导学生对一个好问题进行变式改造，如改变题目的条件、结论、图形、叙述方式等，进而对问题进行更深层次的探索，这样灵活的运用变式教学，既可以免于搞题海战术，减轻学生负担，做到深入浅出，以点带面，以少胜多，又能较好的培养学生的思维能力，克服思维定势，提高学生的解题能力及应变能力，而且能激发学生学习数学的兴趣，提高学习积极性。
[]1变式2、已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之商等于常数()0≠m m ，试探求动点C 的轨迹。
解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是ax y k a x y k -=+=21,，()a x +-≠，根据题意,m kk=21所以m a x a x =+-，整理，得a mm x -+=11因为,0≠m 所以a x ≠，又111-=-+mm 无实数解，所以a x -≠，故动点C 的轨迹方程是a mm x -+=11()0≠m 。
1、当1=m 时，a mm -+11无意义，动点C 的轨迹不存在，即21k k =不可能成立；2、当0≠m 且1≠m 时，动点C 的轨迹是一条平行于y 轴的直线。
变式3已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之差等于常数m ，试探求动点C 的轨迹。
解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()a x a x ax yk a x y k -≠≠-=+=,,21 不妨假设m k k =-21，所以m ax ay=--222 1、若,0=m 则0=y ，所以动点C 的轨迹方程是x 轴上去掉两个点B A ,; 2、当0≠m 时，整理，得⎪⎭⎫⎝⎛--=222ma y m a x ，所以动点C 的轨迹是焦点在y 轴上的抛物线，去掉B A ,两个点。
评析：将原来题目中的斜率之积为常数，变换为斜率之商、斜率之差等于常数，引导学生思考交流、合作探究，学会运用运动变化的观点，辩证的思维方式认识问题、分析问题，能够深入问题的内部，抓住问题的本质，从而有效提升学生的数学素养。
四、前后互易，探究必要性变式4、已知ABC ∆两个顶点()()0,6,0,6B A -，顶点C 的轨迹方程是()6,61163622-≠≠=+x x y x ，探究：边BC AC ,所在直线的斜率之积是否为定值？解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()6,66,621-≠≠-=+=x x x y k x y k ，那么()9436369436222221-=--=-=⋅x x x y k k ，所以边BC AC ,所在直线的斜率之积为定值，等于94-。
评析：1、结合变式4可知，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于94-是顶点C 的轨迹是椭圆()6,61163622-≠≠=+x x y x 的充要条件。
2、联想：已知B A ,分别是椭圆()012222 b a by a x =+的左右顶点，点C 是椭圆上异于B A ,两点的任意一个点，直线BC AC ,的斜率分别是21,k k ，则2221ab k k -=⋅。
变式5、已知ABC ∆的顶点()0,6-A ,顶点C 的轨迹方程是()6,61163622-≠≠=+x x y x ,且边BC AC ,所在直线的斜率之积等于94-，探究：顶点B 是定点吗？解析：设()n m B ,，()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率()m x x mx ny k x y k ≠-≠--=+=,6,621， 根据题意946-=--⋅+m x n y x y ，整理，可得()m ny x m y x 249649422=--++又顶点C 的轨迹方程是1449422=+y x ，所以方程()14424964-=--m ny x m 对()[]4,4,6,6-∈-∈y x 恒成立，所以0,6==n m ，即顶点B 是定点()0,6。
评析：在解题教学活动中进行探究式教学有助于培养学生思维的深刻性，引导学生透过现象看本质，洞察数学对象的本质及联系。
很多数学问题，条件关系比较隐蔽，如果只看问题的表面，是无从下手的。
因此在解题教学活动中，要进行由表及里探索，抓住问题的本质和规律。
[]1 五、引入直线，追踪高考变式6、已知ABC ∆两个顶点()()0,6,0,6B A -，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于94-， （1）求顶点C 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 与曲线E 仅有一个公共点D ，求原点()0,0与直线l 的距离的取值范围。
解析：（2）()I 若直线l 与曲线E 相切于点D ，设直线l 的方程为：m kx y +=，代入E 的方程：1449422=+y x ，消去y ，得()014491894222=-+++m mkx x k ，由0=∆，得163622+=k m ①又原点()0,0与直线l 的距离12036112222+-=+=+=k k m k m d 根据题意，,02≥k 所以36120162+≤k ，所以64 d ≤，即点()0,0与直线l 的距离的取值范围是[)6,4 ()II 若直线l 过点A 或点B ,根据对称性，仅考虑直线l 过点A ，设其方程为()6+=x k y ，根据题意0≠k且原点()0,0到直线l 的距离13636136162222+-=+=+=k k k k k d ，因为0≠k ，所以3613602 +k ，60 d ， 即原点()0,0与直线l 的距离的取值范围是()6,0。
综上所述，点()0,0与直线l 的距离的取值范围是[)6,4或()6,0。
变式7、将椭圆1163622=+y x 进行均匀压缩，使得长轴变为原来的66倍，离心率变为原来的10103，得到椭圆E '。
直线l :y ＝－x +3与椭圆E '有且只有一个公共点T . （I ）求椭圆E '的标准方程及点T 的坐标；（II ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ,与椭圆E '交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得PB PA PT ⋅=λ2，并求λ的值.解析：容易求得椭圆E '的方程为22163x y+=，点T 坐标为（2,1）.()II 由已知可设直线l '的方程为()021≠+=m m x y由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=321x y m x y ，可得321,322my m x +=-= 所以P 点坐标为2298,321,322m PT m m =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-① 设点()()2211,,,y x B y x A由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+m x y y x 2113622，可得()01244322=-++m mx x ② 方程②的判别式()22916m -=∆，由0 ∆，得-223223m 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123mPA x ==--，同理223m PB x =--，结合①、②可得 12522(2)(2)433m m PB PB x x ⋅=----21212522(2)(2)()433m m x x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅.评析：解析几何综合题，一般涉及直线与圆锥曲线的位置关系，对应的题型有定值（定点）问题，最值（参数范围）问题，在解决这类问题的过程中，注意数形结合、回归定义、等价转化、设而不求、巧设坐标、引入向量等数学思想方法的灵活运用，它可以降低思维量，减少运算量。
