北京市海淀区19中2016-2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析

北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）． 已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题： （可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃） 1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．AB 1D A【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =， ∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CBAD【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________． 【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据． 已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100)②(85,85,100)③255x y z ++≥④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________． 【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意； 对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点． 1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底． 表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________． 【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++．【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________． 【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体， ∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像） 3．求直线1AB 与11AD C 所成的角． 【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ， ∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =， 设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则110AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-，∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅，∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小． 【答案】见解析．【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则1100AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，∴(1,1,1)m =-，∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-，∴cos ,m n <== 故二面角111B AD C --的大小为5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________． 【答案】2【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan 2AC C ∠所以14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ．（1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系）（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．A1A【答案】（1）(0,0,1)．（2）112．【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P 到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21113212V =⨯⨯=⎝⎭． A 1D 1C 1B 1CBAD三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________． 【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．2．直角坐标系，圆锥曲线C 的方程221y x n+=，O 为原点．（如图1）（1）为获得（如图1）中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（2）为获得（如图1）中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（3）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其离心率e = __________； （4）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其渐近线方程是__________； （5）为得到比（2）中开口更大同类曲线，写出一个新取值n =__________． 【答案】（1）1n =．（2）3-．（3）2．（4）y =．（5）4n =-． 【解析】（1）若用垂直于圆锥轴线的平面截得的圆锥曲线是圆，此时1n =．（2）用与圆锥轴线平行方向的平面截得的圆锥曲线是双曲线，此时0n <，故可取3n =-．（3）当3n =-时，圆锥曲线C 的方程为2213y x -=，此时1a =，b 2c =，故其离心率e 2ca==． （4）由（3）知，双曲线C的渐近线方程为：y =．（5）双曲线的离心率越大，开口越大，对于221y x n+=，要使离心率大于2，则3n <-，故可取4n =-．3．同2小题中曲线C 条件，且曲线C 为椭圆，设1F 、2F 为两个焦点，A 点在曲线C 上． （1）若焦点在y 轴上，可取n =__________； （2）描述3（1）中椭圆至少两个几何特征： ①__________；②__________．（3）若4n =，则12AF F △的周长为__________； （4）若2AO F △是以AO 为斜边的等腰直角三角形（如图2），则椭圆的离心率e =__________．【答案】（1）4．（2）①椭圆落在1x =±，2y =±围成的矩形中； ②图象关于x 轴，y 轴，原点对称． （3）4+ （4． 【解析】（1）若方程221y x n +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >，故可取4n =．（2）①对于椭圆2214y x +=的几何性质有：x 的取值范围是11x -≤≤，y 的取值范围是22x -≤≤，椭圆位于直线1x =±，2y =±围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于x 轴，y 轴，原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆2214y x +=的四个顶点分别是(1,0)-，(1,0)，(0,2)，(0,2)-，离心率e c a ==，长半轴长为2，短半轴长为1，焦距为等，任写两个几何特证即可．（3）若4n =，则椭圆C 的方程为2214y x +=， 此时2a =，1b =，c = 若A 在曲线C 上，则12||||24AF AF a +==，故12AF F △的周长为1212||||||224AF AF F F a c ++=+=+ （4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形，则2b C a=，即2b ac =，又222b a c =-，得220c ac a +-=，故2e e 10+-=，解得e =0e 1<<，故e =4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．同2小题中曲线C 条件，且5n =，直线l 过曲线C 的上焦点1F ，与椭圆交于点A 、B ． （1）下面的三个问题中，直线l 分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究． （三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分） ①直线斜率为1，求线段AB 的长． ②OA OB ⊥，求直线l 的方程．③当AOB △面积最大时，求直线l 的方程． 我选择问题__________，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．（3）在题4题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）． （在图34-中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．【答案】见解析．【解析】（1）①解：由题意可知直线l 的方程为2y x =+，椭圆C 的方程为2215y x +=， 由22215y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得26410x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：1223x x +=-，1216x x =-，∴线段||AB =．②解：易知直线l 的斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+， ∴2222121212122228520(2)(2)2()44555k k k y y kx kx k x x k x x k k k ---+=++=+++=++=+++， ∵DA OB ⊥，∴222121222215205190555k k x x y y k k k --+-++=+==+++，解得：k =， ∴直线l的方程为：2k =+． ③解：易知直线l 斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+，∴线段||AB =2215k k +=+，又原点D 到直线AB的距离d =∴AOB △的面积22111||225k S AB d k +=⋅=⨯=+==∵2216181k k +++≥，∵14S =≤221611k k +=+，即k =时，取等号， ∴AOB △l的方程为：2y =+． （2）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等． （3）设直线l 的斜率为k ，若椭圆C 的下顶点为D ， 求证：对于任意的k ∈R ，直线AD ，BD 的斜率之积为定值．四、本大题4小题，共计总分13分．（第2，3，4小题，每题3分，每1小题4分，合计13分）汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）． 定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线． 设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm ，灯深25cm （如图1）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C ，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x 轴建立平面直角坐标系（如图2）．.图1抛物线上点P 到焦点距离为5cm ，且在x 轴上方．研究以下问题： 1．求抛物线C 的标准方程和准线方程． 【答案】见解析．【解析】解：设抛物线C 的方程为：22y px =，由于灯口直径为20cm ，灯深25cm ，故点(25,10)在抛物线C 上， ∴100225p =⨯，解得：2p =，∴抛物线C 为标准方程为：24y x =，准线方程为1x =-．2．求P 点坐标． 【答案】见解析．【解析】解：设P 点坐标为00(,)x y ，0(0)y >，则204y x =， ∵点P 到焦点的距离为5， ∴015x +=，得04x =， ∴04y =， 故点P 的坐标为(4,4)．3．求抛物线在点P 处法线方程．【答案】见解析．【解析】解：设抛物线在P 点处的切线方程为：4(4)y k x -=-，则由2444(4)y x y x ⎧=⎨-=-⎩，消去x 得：2416160ky y k --+=， 164(1616)0k k ∆=--+=，即24410k k -+=，解得12k =， ∴抛物线在P 点处法线的斜率为2-，故抛物线在P 点处法线的方程为42(4)y x -=--，即2120x y +-=．4．为证明（检验）车灯的光学原理，从以下两个命题中选择其一进行研究：（只记一个分值） ①求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的光线经点P 反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．②求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．我选择问题__________，研究过程如下：【答案】见解析．【解析】①证明：设(1,0)F 关于法线2120x y +-=的对称点(,)m n ，则(,)m n 在反射光线上， 则1121212022n m m n ⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯+-=⎪⎩， 解得94m n =⎧⎨=⎩， ∴反射光线过点(9,4)，又∵点(4,4)P 在反射光线上，∴反射光线的方程为4y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源经点P 发射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．②证明：设00(,)M x y 为抛物线上，任意一点，则抛物线在M 处切线方程为：00()y y k x x -=-，由2004()y x y y k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得2004440ky y y kx -+-=， 00164(44)0k y kx ∆=--=，又2004y x =代入上式化简得20(2)0ky -=， ∴02k y =， ∴抛物线在00(,)M x y 处法线的斜率为02y -， 法线方程为000()2y y y x x -=--， 即2000024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 设(1,0)F 关于在点M 处的法线200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭的对称点F '为(,)m n ， 则020*********n m y y y n m y ⎧=⎪-⎪⎨⎛⎫+⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得：42002006828y y m y n y ⎧++=⎪+⎨⎪=⎩， ∴抛物线在点M 处反射光线过420002068,28y y y y ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭， 又∵反射光线过00(,)M x y ，∴反射光线所在直线方程为0y y =， 故由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射， 反射光线所在的直线平行于抛物线的对称轴．。

2016-2017学年度第一学期高二数学期中（文）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上．） 1．直线2y x =+的倾斜角是（ ）． A ．π6B ．π4C ．2π3D ．3π4【答案】B【解析】设倾斜角为α，直角的斜率为1， 所以：tan 1α=，所以π4α=， 故选B ．2．已知l 、m 、n 是空间中不同的三条直线，则下列结论中正确的是（ ）．A ．若m l ⊥，n l ⊥，则m n ⊥B ．若m l ⊥，n l ⊥，则m n ∥C ．若m l ⊥，n l ∥，则m n ⊥D ．若m l ⊥，n l ∥，则m n ∥【答案】C【解析】若m l ⊥，n l ⊥，则m 与n 相交、平行或异面， 所以A 和B 都错误；若m l ⊥，n l ∥，则m n ⊥， 故C 正确，D 错误． 综上，故选C ．3．如果直线1:260l ax y ++=与直线2:(1)30l x a y +-+=垂直，那么a 等于（ ）．A ．2B ．1-C ．2或1-D ．23【答案】D【解析】∵直线1:260l ax y ++=和直线2:(1)30l x a y +-+=垂直， ∴2(1)0a a +-=， 解得：23a =， 故选D ．4．若一个正三棱锥的正（主）视图如图所示，则其体积等于（ ）．211ABCD．【答案】C【解析】由正视图可知：正三棱锥的底面边长为2，高为2，所以正三棱锥的体积：2112233V Sh ==⨯=故选C ．5．已知两条平行线方程为3250x y --=与6430x y -+=，则它们间距离为（ ）．ABCD【答案】C【解析】将3250x y --=化为64100x y --=，则两平行线间的距离d ==， 故选C ．6．一条光线沿直线220x y -+=照射到y 轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）．A ．220x y +-=B ．220x y ++=C ．220x y ++=D ．220x y +-=【答案】A【解析】直线220x y -+=与x ，y 轴分别相交于点(1,0)P -，(0,2)Q ， 点P 关于y 轴的对称点(1,0)P '．∴光线沿直线220x y -+=照射到y 轴后反射， 则反射光线所在的直线即为P Q '所在的直线，直线方程为112x y+=， 即220x y +-=，故选A ．7．在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，点D 、E 分别是棱AB 、1BB 的中点，若1DE EC ⊥，则侧棱1AA 的长为（ ）．D E A B CC 1B 1A 1A ．1B ．2CD．【答案】B【解析】A 1D 1B 1C 1CBA ED取11A B 的中点1D ，连接1DD ，11C D ，1DC ， 设侧棱1AA 的长为2x ，则根据题意可得：22224142x x x ⎛+++=+ ⎝⎭， 解得1x =，22x =， 即12AA =， 故选B ．8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）．1AA ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】设正方体的棱长为3，计算得113PA PC PD ===，1PA PC PB ===PB 1PD =所以P 到各顶点的距离的不同取值有4个，故选B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中．） 9．经过点(1,1)A ，且与直线:3210l x y -+=平行的直线方程为__________． 【答案】3210x y --=【解析】设经过点(1,1)A ，且与直线:3210l x y -+=平行的直线方程为320x y c -+=， 把点(1,1)A 代入，得320c -+=， 解得：1c =-，故所求直线方程为：3210x y --=．10．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为__________．【解析】设圆锥的母线长为l ，∵2ππS r ==底，【注意有文字】∴π2πS rl ==侧，【注意有文字】 ∴2l =，∴圆锥的高h =∴圆锥的体积11π33V S h ==⨯底．【注意有文字】11．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个面的面积是__________．俯视图左视图主视图【答案】6【解析】DA B C345由三视图可知，该几何体如图所示，且5AB =，3BC =，4BD =，∴145102ABD S =⨯⨯=△，1357.52ABC S =⨯⨯=△，13462BCD S =⨯⨯=△，且AD，AC 5CD =， ∴ACD BCD S S >△△，故该三棱锥最小的一个面面积是6．12．在三棱台111ABC A B C -中，112A B AB =，点E 、F 分别是棱11B C 、11A B 的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面ACEF 平行的有__________． 【答案】11AC ，1BB【解析】C 1B 1A 1ABCEF∵点E 、F 分别是11B C ，11A B 的中点， ∴11EF A C ∥，又EF ⊂平面ACEF ，11AC ⊄平面ACEF ， ∴11AC ∥平面ACEF ，∵11AB A B ∥，112A B AB =，11112FB A B =， ∴1AB FB ∥，∴四边形1ABB F 是平行四边形，∴1AF BB ∥，又AF ⊂平面ACEF ，1BB ⊄平面ACEF ， ∴1BB ∥平面ACEF ．故在三棱台各棱所在直线中，与平面ACEF 平行的有：11AC ，1BB ．13．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大值时，m 的值为__________． 【答案】1-【解析】直线120mx y m -+-=可化为1(2)y m x -=-， 由点斜式方程可知直线恒过定点(2,1)，且斜率为m ，结合图象可知当PQ 与直线120mx y m -+-=垂直时，点到直线距离最大，此时，21132m -⋅=--， 解得：1m =-．14．若存在实数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对定义域内的任意x 均满足：[][]()()()()0f x k x b g x k x b -+-+≤，且存在1x 使得11()()0f x kx b -+=，存在2x 使得22()()0g x kx b -+=，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“分界线”．在下列说法中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）． ①任意两个一次函数最多存在一条“分界线”； ②“分界线”存在的两个函数的图象最多只有两个交点； ③2()2f x x x =-与2()4g x x =-+的“分界线”是2y x =-+；④2()f x x =与2()(1)g x x =--的“分界线”是0y =或12y x =-． 【答案】③【解析】①项，任意两个一次函数相交时，过交点的直线有无数条，故任意两个一次函数存在无数条分界线，故①错误；②项，当()(1)(1)1f x x x x =-++，()(1)(1)1g x x x x =--++时，满足1y =是()f x 和()g x 的分界线，此时()f x 与()g x 有3个交点，故②错误；③项，由2224x x x -=-+得220x x --=，解得：2x =或1x =-，此时，(1,3)A -，(2,0)B ，过AB 的直线为2y x =-+， 则2()2f x x x =-与2()4g x x =-+的“分界线”是2y x =-+， 故③正确；④项，作出()f x ，()g x 和0y =和12y x =-的图象，由图象知12y x =-与()f x 和()g x 没有交点，不满足条件11()()0f x kx b -+=和22()()0g x kx b -+=， 故④错误．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15．在平面直角坐标系xOy 中，ABC △的顶点坐标分别为(2,3)A ，(1,3)B -，(3,1)C --． （I ）求BC 边的中线所在直线的方程．（II ）求BC 边的高，并求这条高所在直线的方程． 【答案】见解析【解析】解（I ）由中点坐标公式可知，D 点坐标为(1,2)--， ∴BC 边中线所在的直线方程斜率为：3(2)52(1)3AD k --==--，∴BC 边中线所在直线方程为：52(1)3y x +=+，即5310x y --=．（II ）∵1(3)1312BC k ---==---，∴BC 边的高线所在直线的斜率2k =，∴BC 边的高所在直线方程为：32(2)y x -=-，即210x y --=．∵点(2,3)A 到:250BC x y ++=的距离d = ∴BCBC 边高所在直线方程为：210x y --=．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥．E 和F 分别是CD 和PC 的中点．D A BCEFP求证：（I ）PA ⊥底面ABCD ．（II ）平面BEF ⊥平面PCD ． 【答案】见解析【解析】（I ）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =， 且PA AD ⊥，PA ⊂平面PAD ， ∴PA ⊥底面ABCD ．（II ）证明：∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点，D A BCE F P∴AB DE ∥，∴ABED 为平行四边形， ∴AD BE ∥，又∵AB AD ⊥，∴BE CD ⊥，AD CD ⊥， 由（1）知，PA ⊥底面ABCD ， ∴CD PA ⊥， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD PD ⊥，∵E ，F 分别是CD 和PC 的中点， ∴PD EF ∥， ∴CD EF ⊥，∴CD ⊥平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．17．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==，60BAD ∠=︒． （I ）求证：11AC ⊥平面11B BDD ．（II ）在线段11AC 上是否存在一点P ，使得PA ∥平面1BC D ，如果存在，求11PA PC 的值，如果不存在，请说明理由．（III ）设点M 在1BC D △内（含边界），且11OM B D ⊥，求所有满足条件的点M 构成的图形，并求OM 的最小值．DABCOC 1D 1B 1A 1【答案】见解析【解析】A 1B 1D 1C 1OCBAD（I ）证明：∵1AA ⊥底面ABCD ， ∴1BB ⊥底面1111A B C D ， 又11AC ⊂平面1111A B C D ， ∴111BB AC ⊥， ∵1111A B C D 为菱形， ∴1111AC B D ⊥， 而1111BB B D B = ， ∴11AC ⊥平面11B BDD ．（II ）存在点P ，当P 是11AC 中点，即111PA PC =时，PA ∥平面1BC D ． 证明：连接AC ，交BD 于点E ，连接1C E ，则E 是AC 中点， ∵11AC AC ∥，且O ，E 分别是11AC ，AC 的中点， ∴1AOC E 是平行四边形， ∴1AO C E ∥，又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ， ∴AO ∥平面11BC D ，∴当点P 与点O 重合时，PA ∥平面11BC P ， 此时，111PA PC =． （III ）在1BC D △内，满足11OM B D ⊥的点构成的图形是线段1C E ，包括端点， 连接DE ，则BD OE ⊥， ∵11BD B D ∥，∴要使11OM B D ⊥，只需OM BD ⊥，从而需ME BD ⊥，又在1BC D △中，11C D C B =， 又E 为BD 中点， ∴1BD C E ⊥，故M 点一定在线段1C E 上， 当1OM C E ⊥时，OM 取最小值． 在直角三角形1OC E 中，1OE =，1OC =1C E =所以1min 1OC OE OM C E ⋅=。

海淀区高二年级第一学期期末练习数 学 （文科） 2017.1学校 班级 姓名 成绩 本试卷共100分.考试时间90分钟.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0=-y x 的斜率是（ ）A ． 1 B. 1- C.4π D. 43π 2.圆()1122=+-y x 的圆心和半径分别为（ ）A ．1),1,0( B. 1),1,0( - C. 1),0,1( - D. ()1,0,1 3.若两条直线02=-y x 与012=--y ax 互相垂直，则实数a 的值为（ ） A ．4- B. 1- C.1 D. 44.双曲线1922=-y x 的渐近线方程为（ ） A ．x y 3±= B. x y 31±= C. x y 3±= D. x y 33±= 5.已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下面四种说法中，正确的是（ ）A ．//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．//m l m n n l ⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．////m l l m ββ⎫⇒⎬⊥⎭D ．//m n m n γγ⎫⇒⊥⎬⊥⎭6.一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）A. 53B.103C. 203D. 2537.“直线l 的方程为(2),y k x =-”是“直线l 经过点)0,2(”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件8.椭圆的两个焦点分别为(,0)F 11- 和()F ,210 ，若该椭圆与直线30x y +-=有公共点，则其离心率的最大值为（ ）A.5B.61-C. 12D. 10二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9.抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为______.10. 已知命题p ：∀∈x R ，2210x x -+>，则p ⌝是_________．11.实数x ，y 满足10,1,1x y x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，若2m x y =-，则m 的最小值为______.12.如图，在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中， 点M 是侧棱1AA 的中点，点P 是侧面11B BCC 内的动点， 且//1P A 平面BCM ，则点P 的轨迹的长度为_______；13.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得2BD =，则三棱锥D ABC -的顶点D 到底面ABC 的距离为_________.14. 若曲线0),(=y x F 上的两点),(111y x P ，),(222y x P 满足2121y y x x ≥≤且，则称这两点为曲线0),(=y x F 上的一对“双胞点”.下列曲线中:①0)( 1162022>=+xy y x ； ②)0( 1162022>=-xy y x ； ③x y 42=； ④1=+y x . 存在“双胞点”的曲线序号是_____________.A 1B 1C 1ABCMP三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分10分）已知点)0,3(-A ，)0,1(B ，线段AB 是圆M 的直径. （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）过点（0,2）的直线l 与圆M 相交于E D ,两点，且32=DE ，求直线l 的方程.16.（本小题满分12分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，点M 为侧棱PA 的中点. （Ⅰ）求证：PC //平面BDM ； （Ⅱ）若PA PC ⊥，求证：PA ⊥平面BDM .ADPM17.（本小题满分10分）顶点在原点的抛物线C 关于x 轴对称，点)2,1(P 在此抛物线上. （Ⅰ）写出该抛物线C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）若直线y x =与抛物线C 交于B A ,两点，求∆ABP 的面积.18.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)1,0(D ，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1(0,)3M -的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，判断点D 与以AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.海淀区高二年级第一学期期末练习参考答案 2017.1数 学 ( 文科 )阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.A2.D3.B4.B5.D6.B7.C8.A 二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 2 10. 1x ∃>，2210x x -+≤ 11. 3-14. ①③④ 三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15. 解：（Ⅰ）已知点)0,3(-A ，)0,1(B ，线段AB 是圆M 的直径， 则圆心M的坐标为()0,1-.--------------------------2分 又因为2=AM ，--------------------------3分 所以圆M的方程为22(1)4x y ++=.-------------------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M 的圆心(1,0)M -，半径为2.O设N 为DE 中点，则MN l ⊥，1||||2DN EN ==⋅= -------------------------5分则||1MN ==.--------------------------6分当l 的斜率不存在时，l 的方程为0x =，此时||1MN =，符合题意； -------------------------7分当l 的斜率存在时，设l 的方程为2y kx =+，由题意得1=--------------------------8分解得34k =，--------------------------9分故直线l 的方程为324y x =+，即3480x y -+=. --------------------------10分综上，直线l 的方程为0x =或3480x y -+=. 16.解: 证明：（Ⅰ）如图,在正四棱锥P ABCD -中, 连接AC ,设O BD AC = ，连接MO . --------------------------1分因为ABCD 为正方形，则O 为AC 中点. 又因为M 为侧棱PA 的中点， 所以MO //PC . --------------------------3分又因为⊄PC 面BDM ， ⊂MO 面BDM ，所以PC //平面BDM . --------------------------5分（Ⅱ）连接PO ，在正四棱锥P ABCD -中，⊥PO 平面ABCD ， -----------------------6分 ⊂BD 平面ABCD ，所以BD PO ⊥. ---------------------- 7分 又因为AC BD ⊥， ---------------------- 8分 O PO AC = ，且⊂AC 平面PAC ，⊂PO 平面PAC ，.PAC BD 平面所以⊥ ---------------------- 9分 PAC PA 平面又因为⊂ ，所以PA BD ⊥. ----------------------10分 由（Ⅰ）得MO //PC ，又因为PA PC ⊥，则PA MO ⊥. ------------------11分 又O BD MO = ，且⊂MO 平面BDM ，⊂BD 平面BDM ， 所以PA ⊥平面BDM . ---------------------- 12分 17解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，且关于x 轴对称，可设抛物线方程为22y px =， ----------------------1分 由抛物线经过)2,1(P 可得2p =. ---------------------- 2分 所以抛物线方程为24y x =， ---------------------- 3分 准线方程为1x =-. ---------------------- 4分（Ⅱ）由24y xy x ⎧=⎨=⎩ ---------------------- 5分得00x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩---------------------- 7分O可得(0,0)A ，(4,4)B .（或：AB =） --------------------8分 所以12(24)(41)442222ABP S ∆⨯+-⨯=+-=. ---------------- 10分 ( 或：点P 到直线y x =的距离2d ==---------------- 9分1222ABP S ∆=⨯=. ---------------- 10分 ) 18．解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过)1,0(D可得1=b .---------------------- 1分因为一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，所以a =分所以椭圆C的方程为2212x y +=.---------------------- 4分（Ⅱ）以AB 为直径的圆经过点D ，理由如下： ----------------------5分当直线AB 与x 轴垂直时，显然D 在圆上； ----------------------6分当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为13y kx =-. ----------------------7分设1122(,),(,)A x y B x y ，由221,312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得229(21)12160k x kx +--=，显然>∆.---------------------- 8分121222416,3(21)9(21)kx x x x k k +==-++---------------------- 9分 )1,(11-=y x ,)1,(22-=y x .所以)1)(1(2121--+=⋅y y x x ---------------------- 10分 )34)(34(2121--+=kx kx x x916)(34)1(21212++-+=x x k x x k 916)12(3434)12(916)1(222++⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=k k k k k0= ---------------------- 11分所以DA DB ⊥，所以点D 在圆上. ---------------------- 12分 综上所述，点D 一定在以AB 为直径的圆上.。

2016-2017年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷及参考答案（文科）预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＞3}D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）已知向量=（﹣1，x），=（﹣2，4）．若∥，则x的值为（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）已知命题p：?x＞0，x+≥2命题q：若a＞b，则ac ＞bc．下列命题为真命题的是（）A．q B．￢p C．p∨q D．p∧q4．（5分）若角θ的终边过点P（3，﹣4），则tan（θ+π）=（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y=x a，y=log b x的图象如图所示，则（）A．b＞1＞a B．b＞a＞1 C．a＞1＞b D．a＞b＞16．（5分）设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“?＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）给定条件：①?x0∈R，f（﹣x0）=﹣f（x0）；②?x∈R，f（1﹣x）=f（1+x）的函数个数是下列三个函数：y=x3，y=|x﹣1|，y=cosπx中，同时满足条件①②的函数个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=，若方程f（x）=有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．﹣≤a＜ B．C．0≤a＜1 D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）计算lg2﹣lg+3lg5=．10．（5分）已知sinα=，则cos2α=．11．（5分）已知函数y=f（x）的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数y=f（x）在x=处取得极值．12．（5分）在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若=λ+μ，则λ﹣μ=．13．（5分）在△ABC中，cosA=，7a=3b，则B=．14．（5分）去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+φ）（a，b为常数，0＜φ＜）．其中三个月份的月平均气温如表所示：。

北京市第十九中学2016—2017学年度第一学期高二年级数学期中考试试卷（文科卷)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号写在括号里）1。

已知两条相交直线、、平面，则与的位置关系是（）．A. 平面B。

平面C. 平面D。

与平面相交，或平面【答案】D【解析】根据空间中直线与平面的位置关系的可得:与平面相交或平面．故选．2. 已知过点和的直线与直线平行，则的值为（)．A. B. C。

D。

【答案】B【解析】试题分析:两直线平行斜率相等，的斜率为-2，直线的斜率为，解方程得．考点:直线平行．3。

过点作圆的切线，则切线方程为（）．A. B。

C。

或D。

或【答案】C【解析】略4。

设、表示两条不同的直线,、表示不同的平面，则下列命题中不正确的是（）．A。

，，则 B. ,，则C。

，，则D。

,，则【答案】D【解析】A选项中命题是真命题，，,可以推出；B选项中命题是真命题,，，可得出；C选项中命题是真命题,，，，利用线面垂直的性质得到；D选项中命题是假命题,因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选：D．5. 已知，,则线段的垂直平分线的方程是( )．A。

B。

C。

D。

【答案】B【解析】线段的垂直平分线到点，的距离相等,即：．即：，化简得：．故本题正确答案为．6. 在中,，,，若使绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）．A。

B. C。

D.【答案】D【解析】将绕直线旋转一周，得到一个底面半径为，高为的一个圆锥，故所形成的几何体的体积,所以选项是正确的．7. 某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为的正方形,该正三棱柱的表面积是（)．A. B。

C. D。

【答案】C【解析】根据三视图，正三棱柱底面是边长为正三角形，高为．于是，表面积为．故本题正确答案为．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐,宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽。

绝密★启用前【全国百强校】北京市海淀区2017学年高二上学期期中考试数学（文）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为（）（A B ）1（C ）2（D ）42．过点(−1,−3)且平行于直线x −2y +3=0的直线方程为（）．A ．2x +y −1=0B ．x −2y −5=0C ．x −2y +7=0D ．2x +y −5=0 3．△ABC 的∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2+b 2+ 3ab =c 2，则∠C 的大小为（）．A ．150°B ．135°C ．120°D ．60°4．圆C 的方程为x 2+y 2+4x −2y +3=0，则其圆心坐标及半径分别为（）． A ．(2,1)， 2 B ．(−2,1)，2 C ．(2,1)，2 D ．(−2,1)， 25．已知两直线m ，n 及两个平面α，β，给出下列四个命题，正确的命题是（）． A ．若m ∥α，n ∥α则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β则m ⊥n C ．若α⊥β，m ∥β则m ⊥α D ．若α∥β，m ∥α则m ∥β6．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y = 3x ，它的焦距为8，则此双曲线的方程为（）． A ．x 2−y 23=1 B ．x 23−y 2=1 C ．x 24−y 212=1 D ．x 212−y 24=17．12,F F 是椭圆22197x y +=的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠01245AF F =，则 Δ12AF F 的面积为（）A ．7B ．74 C ．72 D 8．若抛物线y =ax 2−1上总存在两点关于直线x +y =0对称，则实数a 的取值范围是（）．A ． 0,14 B ． 14,34 C ． 14,+∞ D ． 34,+∞第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为10．等差数列a n满足a3=3，公差d=2，则其通项公式a n=____________，前n项和公式S n=___________．11．抛物线的焦点在直线x+4y−1=0上，则抛物线的标准方程为____________．12．圆锥的底面半径等于3cm，其轴截面的面积等于182，则此圆锥侧面展开图的圆心角等于__________．13．已知F1，F2是椭圆x2a+y2b=1在左，右焦点，P是椭圆上一点，若△PF1F2是等腰直角三角形，则椭圆的离心率等于__________．14．以下关于圆锥曲线的4个命题中：（1）方程2x2−5x+2=0的两实根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；（2）设A，B为平面内两个定点，若|PA|−|PB|=k(k>0)，则动点P的轨迹为双曲线的一支；（3）方程kx2+(4−k)y2=1表示椭圆，则k的取值范围是(0,4)；（4）双曲线x225−y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点．其中真命题的序号为___________（写出所有真命题的序号）．三、解答题15．求解下列各题（1）正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体对角线AC1的长等于5，则棱AA1的长等于3，求此四棱柱底面边长和表面积．（2）一个球被一个平面所截，截面的面积等于48π，且球心到截面的距离等于球半径243正视图侧视图俯视图…○…………线※※…○…………线的一半，求这个球的表面积和体积．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．2sin 2C =3cos C ． （1）求角C 的大小．（2）若a +b =2，求边C 的最小值．17．如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 是AB 的中.求证：（1）CD ⊥平面A 1ABB 1． （2）AC 1⊥BC ． （3）AC 1∥平面B 1CD ．18．已知两点A (2,0)，B (0,1)在椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上．（1）求椭圆C 的标准方程和焦点坐标．（2）若P (x ,y )是椭圆上的动点，Q (m ,0)是x 轴正半轴上的一个定点，求线段PQ 的长度|PQ |关于x 的函数表达式，并求|PQ |的最小值．19．设数列 a n 满足a n =3a n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)，且a 1=2． （1）求a 2，a 3，a 4的值．（2）证明：数列 a n +1 为等比数列，并求出数列 a n 的前n 项和T n ． （3）若数列b n =log 3(a n +1)，求数列 1bn b n +1的前n 项和S n ．20．已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P (−1,−1)，c 为椭圆的半焦距，且c = 2b ． （1）求椭圆C 的方程．（2）过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． ①若直线l 1的斜率为−1，求△PMN 的面积． ②若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．参考答案1．C【解析】试题分析：由已知2=p，故抛物线yx42=的焦点到准线的距离为2=p考点：抛物线的性质2．B【解析】由条件知直线的斜率为12，又过(−1,−3)，即y−(−3)=12x−(−1)，化简得到即x−2y−5=0．故选B．3．A【解析】由余弦定理得到cos∠C=a 2+b2+c22ab，根据条件又a2+b2−c2=−3ab，代入上式得到cos∠C=−32，又为三角形内角故C∈(0°,180°)，∴∠C=150°．故选A．4．D【解析】圆C:x2+y2+4x−2y+3=0，化为标准式得到(x+2)2+(y−1)2=2．由标准方程的定义得到，圆心为(−2,1)，半径为故选D．5．B【解析】A中，m与n可能相交，不一定是平行的故A错误．B中，两条线垂直于两个垂直的平面，则两条线应是垂直关系，故B正确．C中，m与α可能平行，故C错误．D中，m可能在β上，此时不满足m∥βD错误．故选B．6．C【解析】由题知2c=8，∴c=4．又y=3x=bax，∴b=3a，(a,b,c>0)．又a2+b2=c2，∴a2+3a2=16．得a=2，b=23．故双曲线方程为x24−y212=1．故选C ．点睛：根据双曲线的渐近线方程得到y = 3x =ba x ，再结合a 2+b 2=c 2，可以求得双曲线方程。

北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃）1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．A B 1D A 【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =，∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CB A D【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100) ②(85,85,100) ③255x y z ++≥ ④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点．1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________．【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++． 【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体，∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像）3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-， ∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．。

对外经贸大学附中2016-2017学年二年级第一学期期试卷理科数学一、选择题：（每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的选项，请把正确的选项填在题后的括号内．1. 圆的圆心坐标和半径分别是（）．A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】圆，故圆心为，半径为，故选．2. 命题，的否定为（）．A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】命题的否定，将“”变成“”，将“” 变成“”．故选．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“”是真命题，需要对集合中的每个元素，证明成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个，使成立即可，否则就是假命题.3. 若命题“且”为假，且“”为假，则（）．A.或为假 B. 为假 C. 为真 D. 为假【答案】D【解析】“”为假，则为真，又“且”为假，为真，故为假，故选．4. 下列命题中，正确的个数是（）．①梯形的四个顶点在一个平面内；②四条线段首尾相连构成平面图形；③一条直线和一个点确定一个平面；④两个不重合的平面若有公共点，则这些公共点都在一条直线上．A. B. C. D.【答案】B【解析】①中，梯形是平面图形，故①正确；②中，四条线段首尾相连构成空间四边形，②错误；③中，点在直线上时可确定无数个平面，③错误；④中，两个不重合的面要么平行，要么相交，④正确．故选．5. 直线与圆的位置关系是（）．A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定【答案】A【解析】圆心到直线的距离，，故直线与圆相切．故选．6. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（）．A. ，，则B. ，，，，则C. ，，则D. 当，且时，若，则【答案】C【解析】中，可能在面上，错误；中，，可能都平行于、相交的直线，错误；中，正确；中，直线和直线可能异面，错误．故选．7. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则俯视图不可以为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】中，该几何体是直三棱柱，∴有可能；中，该几何体是直四棱柱，∴有可能；中，其正视图的中间为虚线，∴不可能；中，该几何体是直四棱柱，∴有可能．故选．8. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆柱底面半径为，高为，则，∴，...........................9. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）．A. 与是异面直线B. 平面C. D. 平面【答案】C【解析】中，与在侧面，又不平行，故相交，错误；中，与面斜交，夹角为，错误；中，，是异面直线，且，，所以，故正确；中，与平面有公共点，所以与平面相交，错误．故选．10. 在正方体中，是正方体的底面（包括边界）内的一动点，（不与重合），是底面内一动点，线段与线段相交且互相平分，则使得四边形面积最大的点是（）．A. 个B. 个C. 个D. 无数个【答案】C【解析】∵线段与线段相交且互相平分，∴四边形是平行四边形，因的长为定值，为了使四边形面积最大，只须到的距离为最大即可，由正方体的特征可以知道，当点位于，，时，平行四边形面积相等，且最大，则使得四边形面积最大的点有个．故选．点睛:立体几何中最值问题,主要解决方法为立体问题平面化，即将空间线面关系转化到某个平面上线面关系，结合平面几何或解析几何知识进行转化解决.二、填空题：（每小题5分，共30分）把正确答案填写在题中的横线上．11. 已知直线，，平面，且，则是的__________条件．【答案】既不充分不必要【解析】当，时，或，当，时，与异面或平行，故“”是“”的即不充分不必要条件．12. 命题“若或，则”的否命题为__________．【答案】若或，则【解析】“否定题”是对条件与结论的分别否定．所以命题“若或，则”的否命题为: 若或，则点睛：命题的否定与否命题区别“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.13. 一个四棱锥的底面为矩形，其正视图和俯视图如图所示，则其体积是__________；侧俯视图的面积是__________．【答案】(1). (2).【解析】该四棱锥高为，底面积为，侧视图是直角三角形，且两直角边分别为和，由，得四棱锥体积是，侧视图面积是．点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．14. 点是圆的弦的中点，则直线的方程是__________．【答案】【解析】圆心，，则，则直线方程是，即．点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.15. 已知圆的方程，点，则圆上所有点中到点的最远距离是__________．【答案】【解析】圆，设圆心为，，半径为，最远距离．点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．16. 已知点是直线上一动点，，是圆的两条切线，，为切点，若四边形的最小面积为则此时线段的长为__________；实数的值是__________．【答案】(1). (2). 或【解析】圆的圆心，半径是，易知，∵四边形的最小面积是，∴的最小值，（是切线长）∴最小值，故最小值，∴或，∵，∴或．三、解答题（共40分）要求写出必要的文字说明、重要演算步骤，有数值计算的要明确写出数值和单位，只有最终结果的不得分．17. 如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，求证：（I）平面．（II）平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析:（1）取中点，则可得四边形是矩形，即有，再根据线面平行判定定理得结论（2）由正三角形性质得，即有，再由垂直于平面得，即有，因此面，即得，又由等腰三角形性质得，所以根据线面垂直判定定理得面，即证得结论（I）取中点，连接，可得，，又平面，平面，∴，，∴，，∵平面，∴四边形是矩形，，面，面，∴平面．（II）中，，，是中点，∴，∵是正三角形，∴，∴，又，∴面，，∴面，∴．18. 已知圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限，圆被轴截得的弦长为．（I）求圆的方程．（II）过点作圆的切线，求切线的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】试题分析:（1）先设圆心及半径，根据垂径定理可得，个圆过点A得，解方程组可得，（2）设切线点斜式方程，根据圆心到直线距离等于半径列方程，解得斜率，最后验证斜率不存在时是否满足条件（I）设圆心，半径为，则，解得或，又，∴，，圆方程为．（II）当切线与轴垂直时，切线为，当切线与轴不垂直时，设切线：，即，代入圆方程得，由，得，切线方程为，综上可知：切线方程为或．19. 正方体的棱长为，是与的交点，为的中点．（I）求证：直线平面．（II）求证：平面．（III）二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析:（1）先根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）由侧棱垂直底面得，由正方形性质得，因此可由线面垂直判定定理得平面，同理可得，从而有面．（3）利于空间向量求二面角：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，通过解方程组得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据法向量夹角与二面角关系确定所求值（I）连接，在中，∵为的中点，为的中点，∴，又∵面，∴直线平面．（II）在正方体中，∵平面，平面，∴，∵，且，∴，∴，同理，∵，∴面．（III）以为原点，建立空间坐标系，则，，，．易知面的一法向量为，设面的一法向量为中，∵，，，，，，∴，设二面角为，则，故二面角的余弦值为．20. 如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，平面平面，且，，点是中点．（I）证明：平面．（II）若，求直线与平面所成角的正弦值．（III）判断线段上是否存在一点，使平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析（2）（3）（I）∵，是中点，∴，又∵，∴，∵面面，面面，面，∴面．（II）易知，，两两垂直，以为原点建立空间坐标系则，，，∵，∴，，所以，，，设面的法向量为，由，，得，令，得，因为与平面所成角的正弦值是，所以直线与平面所成角正弦值为．（III）存在在上，且，使平面，证明：如图，过点作，且交于点，连接，因为，所以，又∵，是中点，∴，又∵，四边形是正方形，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵面，面，∴平面．点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.。

C
A
B
【答案】 p q 【解析】“ m 、 n 均为非零实数”，即“ m 0 ， n 0 ”， 又命题 p : “ m 0 ”，命题 q 为：“ n 0 ”，故用字母符号表述命题：“ m 、 n 均为非零实数” 为： p q ．
3．已知增函数 y f (x) ，命题 t : “ x > y ， f (x) f ( y) > 0 ”， t 是：__________． 【答案】 x > y ， f (x) f ( y) ≤ 0 【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题 r : “ x > y ， f (x) f ( y) > 0 ”，
∴
AE

1
( AB1

AD1 )

1
(a

b)

1
a

1
b
．
2
2
22
-2-
（
2
）
AC1

AE

EC1

AE

1 2
A1C1

AE

1 2
AC

1 2
a

1 2
b

1 2
c
4．求二面角 B1 AD1 C1 的大小． 【答案】见解析．
-3-
【解析】解：设平面 AB1D1 的一个法向量为 m (x, y, z) ，

则

AB1
AD1
m m

0 0
，即
x

y

z z

2016-2017学年度第一学期高二数学期中（文）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上．）1．直线2y x =+的倾斜角是（ ）．A ．π6B ．π4C ．2π3D ．3π4【答案】B 【解析】设倾斜角为α，直角的斜率为1，所以：tan 1α=，所以π4α=， 故选B ．2．已知l 、m 、n 是空间中不同的三条直线，则下列结论中正确的是（ ）． A ．若m l ⊥，n l ⊥，则m n ⊥B ．若m l ⊥，n l ⊥，则m n ∥C ．若m l ⊥，n l ∥，则m n ⊥D ．若m l ⊥，n l ∥，则m n ∥ 【答案】C【解析】若m l ⊥，n l ⊥，则m 与n 相交、平行或异面，所以A 和B 都错误；若m l ⊥，n l ∥，则m n ⊥，故C 正确，D 错误．综上，故选C ．3．如果直线1:260l ax y ++=与直线2:(1)30l x a y +-+=垂直，那么a 等于（ ）． A ．2 B ．1- C ．2或1- D ．23【答案】D【解析】∵直线1:260l ax y ++=和直线2:(1)30l x a y +-+=垂直，∴2(1)0a a +-=， 解得：23a =， 故选D ．4．若一个正三棱锥的正（主）视图如图所示，则其体积等于（ ）． 211 ABCD．【答案】C【解析】由正视图可知：正三棱锥的底面边长为2，高为2，所以正三棱锥的体积：211223343V Sh ==⨯⨯=， 故选C ．5．已知两条平行线方程为3250x y --=与6430x y -+=，则它们间距离为（ ）． ABCD【答案】C【解析】将3250x y --=化为64100x y --=，则两平行线间的距离d ， 故选C ．6．一条光线沿直线220x y -+=照射到y 轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）． A ．220x y +-= B ．220x y ++= C ．220x y ++= D ．220x y +-=【答案】A【解析】直线220x y -+=与x ，y 轴分别相交于点(1,0)P -，(0,2)Q ，点P 关于y 轴的对称点(1,0)P '．∴光线沿直线220x y -+=照射到y 轴后反射，则反射光线所在的直线即为P Q '所在的直线， 直线方程为112x y +=， 即220x y +-=， 故选A ．7．在正三棱柱111ABC ABC -中，2AB =，点D 、E 分别是棱AB 、1BB 的中点，若1DE EC ⊥，则侧棱1AA 的长为（ ）．DEABC C 1B 1A 1 A ．1B ．2 CD．【答案】B【解析】A 1D 1B 1C 1C BAED取11A B 的中点1D ，连接1DD ，11C D ，1DC ，设侧棱1AA 的长为2x ，则根据题意可得：222241422x x x ⎛+++=+⨯ ⎝⎭， 解得1x =，22x =，即12AA =，故选B ．8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）．1AA ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】设正方体的棱长为3，计算得113PA PC PD ===，1PA PC PB ==PB 1PD =所以P 到各顶点的距离的不同取值有4个，故选B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中．） 9．经过点(1,1)A ，且与直线:3210l x y -+=平行的直线方程为__________．【答案】3210x y --=【解析】设经过点(1,1)A ，且与直线:3210l x y -+=平行的直线方程为320x y c -+=， 把点(1,1)A 代入，得320c -+=，解得：1c =-，故所求直线方程为：3210x y --=．10．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为__________．【解析】设圆锥的母线长为l ，∵2ππS r ==底，【注意有文字】∴π2πS rl ==侧，【注意有文字】∴2l =，∴圆锥的高h ，∴圆锥的体积11π33V S h ==⨯底．【注意有文字】11．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个面的面积是__________．俯视图左视图【答案】6 【解析】D ABC345由三视图可知，该几何体如图所示，且5AB =，3BC =，4BD =，∴145102ABD S =⨯⨯=△，1357.52ABC S =⨯⨯=△，13462BCD S =⨯⨯=△，且AD，AC 5CD =，∴ACD BCD S S >△△，故该三棱锥最小的一个面面积是6．12．在三棱台111ABC ABC -中，112A B AB =，点E 、F 分别是棱11B C 、11A B 的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面ACEF 平行的有__________．【答案】11AC ，1BB 【解析】C 1B 1A 1ABC EF∵点E 、F 分别是11B C ，11A B 的中点，∴11EF AC ∥，又EF ⊂平面ACEF ，11AC ⊄平面ACEF ，∴11AC ∥平面ACEF ， ∵11AB A B ∥，112AB AB =，11112FBA B =， ∴1AB FB ∥，∴四边形1ABB F 是平行四边形，∴1AF BB ∥，又AF ⊂平面ACEF ，1BB ⊄平面ACEF ，∴1BB ∥平面ACEF ．故在三棱台各棱所在直线中，与平面ACEF 平行的有：11AC ，1BB ．13．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大值时，m 的值为__________．【答案】1-【解析】直线120mx y m -+-=可化为1(2)y m x -=-，由点斜式方程可知直线恒过定点(2,1)，且斜率为m ，结合图象可知当PQ 与直线120mx y m -+-=垂直时，点到直线距离最大， 此时，21132m -⋅=--， 解得：1m =-．14．若存在实数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对定义域内的任意x 均满足：[][]()()()()0f x kx b g x kx b -+-+≤，且存在1x 使得11()()0f x kx b -+=，存在2x 使得22()()0g x kx b -+=，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“分界线”．在下列说法中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．①任意两个一次函数最多存在一条“分界线”；②“分界线”存在的两个函数的图象最多只有两个交点；③2()2f x x x =-与2()4g x x =-+的“分界线”是2y x =-+；④2()f x x =与2()(1)g x x =--的“分界线”是0y =或12y x =-． 【答案】③ 【解析】①项，任意两个一次函数相交时，过交点的直线有无数条，故任意两个一次函数存在无数条分界线，故①错误；②项，当()(1)(1)1f x x x x =-++，()(1)(1)1g x x x x =--++时，满足1y =是()f x 和()g x 的分界线，此时()f x 与()g x 有3个交点，故②错误；③项，由2224x x x -=-+得220x x --=，解得：2x =或1x =-，此时，(1,3)A -，(2,0)B ，过AB 的直线为2y x =-+，则2()2f x x x =-与2()4g x x =-+的“分界线”是2y x =-+，故③正确；④项，作出()f x ，()g x 和0y =和12y x =-的图象，由图象知12y x =-与()f x 和()g x 没有交点， 不满足条件11()()0f x kx b -+=和22()()0g x kx b -+=，故④错误．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15．在平面直角坐标系xOy 中，ABC △的顶点坐标分别为(2,3)A ，(1,3)B -，(3,1)C --． （I ）求BC 边的中线所在直线的方程．（II ）求BC 边的高，并求这条高所在直线的方程．【答案】见解析【解析】解（I ）由中点坐标公式可知，D 点坐标为(1,2)--，∴BC 边中线所在的直线方程斜率为：3(2)52(1)3AD k --==--， ∴BC 边中线所在直线方程为：52(1)3y x +=+，即5310x y --=．（II ）∵1(3)1312BC k ---==---， ∴BC 边的高线所在直线的斜率2k =，∴BC 边的高所在直线方程为：32(2)y x -=-，即210x y --=．∵点(2,3)A 到:250BC x y ++=的距离5d =， ∴BCBC 边高所在直线方程为：210x y --=．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥．E 和F 分别是CD 和PC 的中点．D ABCE F P求证：（I ）PA ⊥底面ABCD ．（II ）平面BEF ⊥平面PCD ．【答案】见解析【解析】（I ）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =， 且PA AD ⊥，PA ⊂平面PAD ，∴PA ⊥底面ABCD ．（II ）证明：∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点，DA B CEF P∴AB DE ∥，∴ABED 为平行四边形，∴AD BE ∥，又∵AB AD ⊥，∴BE CD ⊥，AD CD ⊥，由（1）知，PA ⊥底面ABCD ，∴CD PA ⊥，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD PD ⊥，∵E ，F 分别是CD 和PC 的中点，∴PD EF ∥，∴CD EF ⊥，∴CD ⊥平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．17．在四棱柱1111ABCD ABC D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==，60BAD ∠=︒．（I ）求证：11AC ⊥平面11B BDD ． （II ）在线段11AC 上是否存在一点P ，使得PA∥平面1BC D ，如果存在，求11PA PC 的值，如果不存在，请说明理由． （III ）设点M 在1BC D △内（含边界），且11OM B D ⊥，求所有满足条件的点M 构成的图形，并求OM 的最小值．DA BC O C 1D 1B 1A 1【答案】见解析 【解析】A 1B 1D 1C 1O CB A D（I ）证明：∵1AA ⊥底面ABCD ，∴1BB ⊥底面1111A B C D ，又11AC ⊂平面1111A B C D ，∴111BB AC ⊥，∵1111A B C D 为菱形，∴1111AC B D ⊥，而1111BB B D B = ，∴11AC ⊥平面11B BDD ．（II ）存在点P ，当P 是11AC 中点，即111PA PC =时，PA ∥平面1BC D ． 证明：连接AC ，交BD 于点E ，连接1C E ，则E 是AC 中点， ∵11AC AC ∥，且O ，E 分别是11AC ，AC 的中点， ∴1AOC E 是平行四边形，∴1AO C E ∥，又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ， ∴AO ∥平面11BC D ，∴当点P 与点O 重合时，PA ∥平面11BC P ， 此时，111PA PC =． （III ）在1BC D △内，满足11OM B D ⊥的点构成的图形是线段1C E ，包括端点， 连接DE ，则BD OE ⊥，∵11BD B D ∥，∴要使11OM B D ⊥，只需OM BD ⊥，从而需ME BD ⊥，又在1BC D △中，11C D C B =， 又E 为BD 中点， ∴1BD C E ⊥， 故M 点一定在线段1C E 上， 当1OM C E ⊥时，OM 取最小值． 在直角三角形1OC E 中，1OE =，1OC1C E =所以1min 17OC OE OM C E ⋅==。

16．已知椭圆
C：
x2 4
+
y2
= 1，
P (0,1)
，过
P
点斜率为
k
的直线与椭圆
C
交于另一点为
Q．
(1)若VPOQ 的面积为 8 ，求 k 的值； 17
(2)若直线 y = x + m 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且 PM = PN ，求 m 的值．
17．已知在多面体 ABCDE 中， DE ∥ AB ， AC ^ BC ， BC = 2AC = 4 ， AB = 2DE ，
在曲线 x + y = 1(0 < x < 1,0 < y <1) 上任取一点 (a,b) ，
答案第41 页，共22 页
则1 = a + b > a + b ，即点 (a, b) 在直线 x + y = 1的下方，如下图所示．
直线 x + y = 1交 x 轴于点 A(1,0) ，交 y 轴于点 B(0,1) ，
北京市海淀区首都师范大学附属中学 2023-2024 学年高二
上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知双曲线 C :
x2 a2
-
y2 b2
= 1 的渐近线经过点 (1, 2) ，则双曲线的离心率为（
B．(-¥,0) È (8,+¥)
C． (0, 4)
D． (0,8)
试卷第21 页，共33 页
二、填空题
9．已知焦点在 x 轴上的椭圆
x2 m
+

一、选择题1．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．(0分)[ID ：13000]“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．(0分)[ID ：12995]在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p << D ．321p p p <<4．(0分)[ID ：12988]甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 5．(0分)[ID ：12984]某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）A ．25B ．1225C ．1625D ．456．(0分)[ID ：12971]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ） A ．111B ．211C ．355D ．4557．(0分)[ID ：12969]某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．568．(0分)[ID ：12965]微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A ．1.19B ．1.23C ．1.26D ．1.319．(0分)[ID ：12950]下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．410．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．(0分)[ID ：12930]某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+，其中ˆ 2.4b=，a y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ） 广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）3461012A ．17B ．18C ．19D ．2012．(0分)[ID ：13016]同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ） A ．78B ．58C ．38D ．1813．(0分)[ID ：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．15814．(0分)[ID ：12972]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1615．(0分)[ID ：13023]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元二、填空题16．(0分)[ID ：13120]判断大小a =log 30.5，b =log 32，c =log 52，d =log 0.50.25，则a 、b 、c 、d 大小关系为_____________.17．(0分)[ID ：13119]下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.18．(0分)[ID ：13112]某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__ .19．(0分)[ID ：13107]连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______．20．(0分)[ID ：13081]执行如图所示的算法流程图，则输出x 的值为__________．21．(0分)[ID ：13073]某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________．22．(0分)[ID ：13051]执行如图所示的程序框图，如果输出3s =，则正整数M 为__________．23．(0分)[ID ：13049]执行如图所示的程序框图，如果输出1320s =，则正整数M 为__________．24．(0分)[ID ：13048]计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．25．(0分)[ID ：13046]某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是_______．三、解答题26．(0分)[ID ：13220]为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x （单位：亿元）与该地区粮食产量y （单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 补贴额x /亿元 9 10 12 11 8 粮食产量y /万亿2526313721（1）请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆybx a =+； （2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴7亿元，请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.参考公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.27．(0分)[ID：13207]如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题：（1）79.589.5这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均数?28．(0分)[ID：13185]现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试成绩预计同时有了大的提升：若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x，则甲（乙）的高三对应x .的考试成绩预计为4（1）试预测：高三6次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳定？（2）若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别由低到高进步的，定义y为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求y的平均值.29．(0分)[ID：13155]从某校期中考试数学试卷中，抽取样本，考察成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中各小组的长方形面积之比从左至右依次为1:3:6:4:2，第一组的频数是4.（1）求样本容量及各组对应的频率；（2）根据频率分布直方图估计成绩的平均分和中位数（结果保留两位小数）.30．(0分)[ID：13135]某校举行书法比赛，下图为甲乙两人近期8次参加比赛的成绩的茎叶图。

2016-2017北京海淀中关村中学高二上期中【理】一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号涂在答题卡上）1．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）． A ．AB α⊂B ．AB α⊄C ．线段AB 的长短而定D ．以上都不对 【答案】A【解析】∵线段AB 在平面α内， ∴直线AB 上所有的点都在平面α内，∴直线AB 与平面α的位置关系是：直线AB 在平面α内， 即AB α⊂， 故选A ．2．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论错误．．的是（ ）．DABC C 1D 1B 1A 1A ．BD ∥平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CB DD ．异面直线AD 与1CB 角为60︒【答案】D【解析】异面直线AD 与CB 所成的角为45︒， 所以结论错误，故选D ．3．ABC △的斜二侧直观图如下图所示，则ABC △的面积为（ ）．A ．1B ．2CD ．以上都不对【答案】B【解析】根据斜二测画法的原则可知：ABC △为直角三角形，底为2，高为2，所以面积是2，故选B ．4．下列说法正确的是（ ）． A ．a b ∥，b a αα⊂⇒∥B ．a b ⊥，b a αα⊂⇒⊥C ．a α⊥，b a b α⊥⇒∥D ．αβ⊥，a a βα⊂⇒⊥【答案】C【解析】由线面垂直的性质定理可知：a α⊥，b α⊥，则a b ∥，故选C ．5．已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的左视图可能是（ ）．俯视图主视图2211A ．1122 B ．32 C ．22D ．22【答案】B【解析】根据正视图和俯视图，作出该三棱锥的几何直观图，如图所示，223O DABC则侧视图为直角三角形，且底边边长为||AD ，高为||2OC =， 故选B ．6．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）．A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】C【解析】DACO折叠后的三棱锥如图，易知当平面ACD 垂直于平面ABC 时三棱锥的体积最大， 设AC 的中点为O ，则DBO ∠即为所求， 而DOB △是等腰直角三角形， 所以45DBO ∠=︒，故选C ．7．如下图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP的为（ ）．A BCOPA ．22OA OB OC ++ B ．32OA AB AC -- C ．23OA AB AC +-D ．32OA AB AC +-【答案】D【解析】以AP 为对角线，以AB ，AC 所在直线为邻边做平行四边形， 则32AP AB AC =- ， ∴32OP AP AO AB AC OA =-=-+ ， 故选D ．8．如下图在直三棱柱111ABC A B C -中，π2BAC ∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为（ ）．DGABC EFC 1B 1A 1A．⎫⎪⎭ B．⎣⎦ C．D．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,12G ⎛⎫⎪⎝⎭，(,0,0)F x ，(0,,0)D y ．∵GD EF ⊥，∴210x y +-=，∴DF∵01x <<，01y <<， ∴102y <<， ∴当25y =时，线段DF当0y =时，线段DF 长度的最大值是1，（因为不包括端点，故0y =不能取，即DF 长度不能等于1），故线段DF的长度的取值范围是：⎫⎪⎭， 故选A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中）9．已知αβ⊥，平面α与平面β的法向量分别为m ，n，且(1,2,5)m =- ，(3,6,)n z =- ，则z =__________．【答案】3【解析】∵αβ⊥，且平面α与平面β的法向量分别为m ，n ， ∴(1,2,5)(3,6,)31250m n z z ⋅=--=--+=，解得：3z =．10．已知正四棱锥V ABCD -的底面面积为16，一条侧棱长为，则它的斜高．．为__________． 【答案】6【解析】设VO 为正四棱锥V ABCD -的高，连接OB ，则VO OB ⊥，VDABCO∵底面正方形ABCD 的面积为16， ∴4BC =，OB =．又∵VB =∴6VO =，∴正四棱锥V ABCD -的高为6．11．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为__________．【解析】设圆锥的母线长为l ，∵2ππS r ==底，【注意有文字】∴π2πS rl ==侧，【注意有文字】 ∴2l =，∴圆锥的高h∴圆锥的体积11π33V S h ==⨯底．【注意有文字】12．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如下图所示，则其表面积等于__________．【答案】6+【解析】由题意知三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形， 侧棱长是1，且侧棱与底面垂直，∴三棱柱的表面积是：12232162⨯⨯⨯⨯=+．13．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =则该二面角的大小为__________．DA BC【答案】60︒【解析】E CBA D如图，过点B 作BE AC ∥，使得BE AC =， 连接CE ，DE ，则四边形ABEC 为平行四边形，∴6BE AC ==，BE AB ⊥，CE AB ∥，CE AB =， 而BD AB ⊥，∴DBE ∠即是二面角AB αβ--的平面角， ∵BE AC ∥，AC AB ⊥，BD AB ⊥，CE AB ∥， ∴BE CE ⊥，BD CE ⊥， ∴CE ⊥平面BDE ， ∴CE DE ⊥，在Rt CDE △中，4CE AB ==，CD =∴DE =在BDE △中，2221cos 22BE BD DE DBE BE BD +-∠===⋅， ∴60DBE ∠=︒，故该二面角的大小为60︒．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为S ，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．A 1①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足114C R =；④当314CQ <<时，S 为五边形；⑤当1CQ =时，S 【答案】①②④ 【解析】①项，12CQ =时，S 为APQD ， 而102CQ <<时，线段1DD 上同理，存在一点，与PQ 平行， 此时，S 为四边形，且是梯形，故命题①为真；M Q P D 1C 1A 1B 1CB AD②项，1AP D Q =，1AD PQ ∥，1APQD 是等腰梯形，故命题②为真；③项OQPD 1C 1A 1B 1C B AD当34CQ =时，如图所示，0AP DC = ， ∵点P 是BC 的中点，∴CO CD AB ==，∴1113C R C Q CO QC ==， ∴S 与11CD 的交点R 满足113C R =，故命题③为假．④项，如图所示，S 为五边形，故命题④为真；QP D 1C 1A 1B 1CB AD⑤项，如图所示，S2=， DAB C B 1A 1C 1D 1PQ故命题⑤为假．综上所述，命题正确的是：①②④．三、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）15．已知向量(2,1,2)a =-- ，(1,1,4)b =-．（I ）计算23a b -和23a b - ． （II ）求,a b ． 【答案】见解析【解析】解：（I ）232(2,1,2)3(1,1,4)(4,2,4)(3,3,12)(1,5,8)a b -=----=----=-．|23|a b -=（2）cos ,||||a b a b a b ⋅=== ， 又[],0,πa b ∈，故π,4a b = ．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，E 是侧棱PA 上的动点．A BCPE（I ）如果E 是PA 的中点，求证PC ∥平面BDE ．（II ）是否不论点E 在侧棱PA 的任何位置，都有BD CE ⊥？证明你的结论． 【答案】见解析【解析】OEPCBA（1）证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴O 是AC 的中点， 又∵E 是PA 的中点， ∴PC OE ∥，∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PC ∥平面BDE ．（2）不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥，证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD AC ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，且BP ⊂平面ABCD ， ∴BD PA ⊥，又∵AC PA A = ， ∴BD ⊥平面PAC ，∵不论点E 在何位置，都有CEC 平面PAC ，∴不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．D ABC EF P（1）求证：AB EF ∥．（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求①二面角E AF D --的锐二面角的余弦值．②在线段PC 上是否存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成角等于60︒，若存在，确定H 的位置，若不存在，说明理由． 【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB CD ∥，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD ，又∵AB ⊂平面ABEF ，且平面ABEF 平面PCD EF =， ∴AB EF ∥，（2）①取AD 的中点O ，连接PO ，OB ，BD ， ∵ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，PA PD AD ==， ∴ABD △，PAD △是等边三角形， ∴PO AD ⊥，OB AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，以OB ，OD ，OP 为坐标轴建立空间坐标系O xyz -，则：(0,1,0)A =-，(0,1,0)D，P，B，C，E ⎝⎭，10,2F ⎛ ⎝⎭．30,2AF ⎛= ⎝⎭，1,02EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则：00n AF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴302102y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令1x =得：(1,n = ；∵OB ⊥平面PAD ，∴OB = 为平面PAD 的一个法向量．∴cos ,||||OB n OB n OB n ⋅== 故二面角E AF D --． ②假设PC 上存在点H 便得直线BH 与平面AEF 所成角等于60︒， 则BH 与n 所成夹角为30︒，设(,2)(01)CH CP λλλ==- ≤≤，则：(,22)BH BC CH λ=+=- ，cos ,||||BH n BH n BH n ⋅== ， 化简得：2191260λλ--=，解得：λ=λ=， ∴线段PC 上存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成的角等于60︒．。

k 值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线 l 的斜率必存在，设过 P(1, 2) 的直线 MN 为 y 2 k(x 1) ，联立双
曲线： (2 k 2 )x2 2k(k 2)x (k 4 4k 6) 0
设
M
(x1 ,
y1 ),
N (x2 ,
y2
)
，则
x1
x2
2k (k 2
则△PF1F2 的面积为
.
18．已知曲线 C 的方程为 x2 4 y 4 ，则下列说法正确的是
．
①曲线 C 关于坐标原点对称； ②y 的取值范围是[1,1]；
③曲线 C 是一个椭圆； 面积．
E : x2 y2 1
④曲线 C 围成区域的面积小于椭圆 4
围成区域的
三、解答题，本题共 4 小题，共 40 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
，
由抛物线的性质可知：点 M (1, m) 到焦点的距离等于 M (1, m) 到准线的距离，
1 a 3 即 4 ，得a
8 ，抛物线方程为 y2
8x ，
-1-
则焦点坐标为 (2,0) ，焦点到 y 轴的距离为 2.
故选：C
5．D
b 2 【分析】由条件可得 a ，即可得离心率.
【详解】因为双曲线 C ：
故选：A. 8．D
【分析】直线 y kx 过原点，且与双曲线 x2 y2 1的两支各有一个交点，则直线 y kx 在
两条渐近线之间，数形结合即可得到答案. 【详解】由双曲线 x2 y2 1，得渐近线方程为 y x ， 由题意得，直线 y kx 应该在两条渐近线之间，如图得， k (1,1) . 故选：D.
D．3
x2 y2 12．已知椭圆 a2 b2

2016-2017学年度第一学期期中练习高二数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1. “”是“”的（）．A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，故“”是“”的充分不必要条件，故选．2. 命题“若，则”的逆否命题是（）．A. 若，则或B. 若，则C. 若或，则D. 若或，则【答案】D【解析】原命题“若则”的逆否命题为“若则”,所以命题“若，则”的逆否命题是若或，则故选．3. 如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中为线段上异于的点，为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是（）．A. B. 四边形是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台【答案】D【解析】第三个平面与两平行平面的交线相互平行,所以,,即四边形是矩形由题知是棱柱，而非棱台，选项错误．4. 若是两条异面直线、外的任意一点，则（）．A. 过点有且仅有一条直线与、都平行B. 过点有且仅有一条直线与、都垂直C. 过点有且仅有一条直线与、都相交D. 过点有且仅有一条直线与、都异面【答案】B【解析】项，设过点的直线为，若与，都平行，则，平行，与，异面矛盾，错；项，，只有唯一的公垂线，而过点与公垂线平行的直线只有条，对；项，如图所示，在正方体中，设为直线，为直线，若点在点，显然无法作出直线与两直线都相交，错；项，若在点，则直线及均与，异面，错．故选．5. ，表示两个不同的平面，直线，则“”是“”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，直线可能与平面只是相交，不一定垂直，∴“”条件无法推出“”，当时，∵，∴，∴“”条件可推出“”，∴“”是“”的必要不充分条件，故选．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6. 下列存在性命题为假命题的是（）．A. 存在这样的数列，既是等比数列，又是等差数列B. 存在这样的函数，在其定义域内，既是偶函数又是单调增函数C. 四棱柱中有的是平行六面体D. 空间内存在这样的两条直线，既不相交，也不平行【答案】B【解析】项，如常数列是等差数列又是等比数列；项，偶函数的图象关于轴对称，一定不是单调函数；项，如长方体即为四棱柱中的平行六面体；项，空间中的两条直线可能平行，重合，相交，故选．7. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，棱锥的底面积，两个相同的侧面积，另一个侧面积，全面积．故选．点睛:空间几何体表面积的求法(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8. 如图，正方体的棱长为，动点、在棱上，动点，分别在棱，上，若，，，，则四面体的体积（）．A. 与有关，与，无关B. 与有关，与，无关C. 与有关，与，无关D. 与，，都有关【答案】A【解析】由图可知，的面积为定值，当点在棱上变化时，其到平面的距离随之改变，由此导致四面体的体积改变，而，不会影响四面体体积的改变,所以选A．点睛:利用等积法不仅可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，而且可研究体积变化的规律，特别高定底面积变化或底面积定高变化或两者按规律对应变化．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9. 空间四边形中，、、、分别是、、、的中点．①若，则四边形是__________．②若，则四边形是__________．【答案】(1). ①菱形(2). ②长方形【解析】①∵在空间四边形中，，∴，，∴，即为菱形．②∵在空间四边形中，，∴，，，，∴是矩形．10. 如图所示，已知矩形所在的平面，图中互相垂直的平面有__________对．【答案】【解析】平面平面，平面平面，平面平面，共对平面互相垂直．11. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为__________．【答案】【解析】设球的半径为为，∴正方体棱长为，则，球的表面积，正方体的表面积，．12. 设方程有两个不相等的正根；方程无实根，则使为真，为假的实数的取值范围是__________．【答案】【解析】p:q:,即-2<m<3.由题意知p与q一真一假。

……………………3分 海淀区高二年级第一学期期中练习数学参考答案及评分标准 2009.11二、填空题（本大题共6小题, 每小题4分,共24分.）9. 19 10.56，甲 11. 61 12. 0.50.4y x =+ 13. 36 14. ① m km n =+ ，②n t = 三、解答题（本大题共4小题,共44分.）15．（本题满分10分）解：程序框图如下：16． （本题满分10分）解：（I ）由茎叶图可知:甲班同学身高中位数为169cm ，乙班同学身高中位数为171.5cm; 4分(II) 设至少有一名身高不低于179cm 的同学被抽中的事件为A ； ………5分从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：(181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176） (179，178）（178，173）(178, 176) (176，173）共10个基本事件，………7分 而事件A 含有7个基本事件， ………9分 所以 P (A )=0.7 ……10分17．（本题满分12分）解：（I ）由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名.故485325x ++++=，得5x =， …………………………………………1分……………………1分 ……………………2分……………………7分 ……………………10分6361875y +++=，得15y = . …………………………………………2分 频率分布直方图如下………………………………8分从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小 .（II ）485531051151251351451232525252525A x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 6153618115125135145133.875757575B x =⨯+⨯+⨯+⨯=， 2575123133.8131.1100100x =⨯+⨯= ……………………………………11分 A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1 . ……………………………………12分18．（本题满分12分）解: (I) A (-2, 3)、B (1,6),C (2331--,2339+) …… 2分 先计算可得E (-1,4)、F (0,5),再由正⊿FEG 顶点坐标关系式G (2)(3E F E F y y x x -++, 2)(3E F E F y y x x ++--). 计算得: G (213-,239-) . …… 4分 [注:] 进一步可得点G 关于初始点AB 的坐标关系为: G (6)(3)(3B A B A y y x x --+, 6)(3)(3B A B A y y x x ++-). (II) 由已知操作知a 1=5, a 2=17, a n +1=4(a n -1)+1=4a n -3.[或a n +1=3(a n -1)+a n =4a n -3]∴ a n +1-1=4(a n -1) 又a 1-1=4≠0 ∴ a n -1≠0, n ∈N *.∴ 111--+n n a a =4 ∴{a n -1}为等比数列, 且公比和首项均为 4. ……7分∴ a n -1= 4n ∴ a n =4n +1 , n ∈N * . …… 8分(III) 画出简图（见右图） …… 10分所画图形面积为222629321)(36))]S S ===--+-=正三角形故所画图形面积为.…… 12分O。

试卷类型 A2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题一．选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项只有一个正确。

1．下列求导运算正确的是（ ） A. 233'1x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B. ()21log 'ln2x x = C. ()33'3log x x e = D. ()2cos '2sin x x x x =-2．曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是（ ） A.74y x =+ B.72y x =+ C.2y x =- D.4y x =- 3．由“若b a>，则c b c a +>+”推理到“若b a >，则bc ac >”是（ ）A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.不是推理4．已知三棱锥O ABC -，点,M N 分别为,AB OC 的中点，且,,OA a OB b OC c === ，用a ， b ， c表示MN ，则MN等于( )A. ()12b c a +-B.()12a b c +- C. ()12a b c -+ D. ()12c a b -- 5．若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ） A ．-3 B ． -6 C ．-9 D ．-126．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．7．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+=( )A ．12B ．1C ．2D ．0 8．函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（ ） A ．5 B ．0 C ．6 D ．19.函数f （x ）在x=x 0处导数存在，若p ：f′（x 0）=0：q ：x=x 0是f （x ）的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 10．若2()2'(1)f x xf x =+，则'(0)f 等于 （ ） A. －2 B. －4 C. 2 D. 0 11．由曲线x y =，直线2-=x y 及y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．316 B ．310C ．4D ．6 12．函数()f x 在实数集R 上连续可导，且()()20f x f x '->在R 上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ） A. ()()221f f e >B. ()()221f f e <C. ()()321f e f -> D. ()()321f e f -<二．填空题。