已知抛物线顶点坐标

初中抛物线公式大全抛物线是我们在初中数学学习中经常接触到的一个重要的图形，而抛物线的公式也是我们需要掌握的基本知识之一。

在本文中，我们将全面介绍初中抛物线公式的相关知识，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。

首先，我们来看一下抛物线的定义。

抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。

在直角坐标系中，抛物线的一般方程可以表示为，y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

在这个一般方程中，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在x轴上的截距，c决定了抛物线在y轴上的截距。

接下来，我们将介绍抛物线的顶点坐标和焦点坐标的计算方法。

对于一般方程y=ax^2+bx+c，抛物线的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, c-b^2/4a)来计算得到。

而焦点坐标则可以通过公式(-b/2a, c-b^2+1/4a)来计算得到。

这些公式的推导过程可能比较复杂，但是掌握了这些公式，我们就可以轻松地求得抛物线的顶点和焦点坐标。

除了一般方程外，我们还需要了解抛物线的标准方程和顶点对称方程。

抛物线的标准方程为y=ax^2，其中a为常数且a≠0。

而顶点对称方程则为(x-h)^2=4a(y-k)，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。

这些不同形式的方程可以帮助我们更灵活地应用抛物线的知识，解决各种与抛物线相关的问题。

此外，我们还需要了解抛物线的焦距和离心率的计算方法。

对于抛物线y^2=4ax，焦距可以通过公式f=2a来计算得到，而离心率可以通过公式e=1来计算得到。

这些参数的计算可以帮助我们更好地理解抛物线的形状特点，为后续的学习和应用打下基础。

最后，我们需要掌握抛物线与直线的位置关系和抛物线的平移、旋转和缩放等变换。

抛物线与直线的位置关系可以通过判别式来确定，而抛物线的平移、旋转和缩放等变换可以通过对应的公式和方法来实现。

这些内容对于我们深入理解抛物线的性质和特点非常重要，也为我们进一步学习抛物线的应用奠定了基础。

抛物线的最大值和最小值计算方法在数学中，抛物线是一种常见的曲线形状，通常表示为二次方程y=ax2+bx+c，其中a、b和c为常数，且a eq0。

抛物线在二维平面上呈现出开口朝上或朝下的形态，其最大值或最小值可以通过一些简单的方法或公式来计算。

寻找抛物线的最大值和最小值假设给定的抛物线为y=ax2+bx+c，我们可以通过以下步骤来寻找其最大值或最小值：1.计算顶点坐标：抛物线的顶点坐标(ℎ,k)公式为 $h = -\\frac{b}{2a}$ 和 $k = c-\\frac{b^2}{4a}$。

这里ℎ代表顶点的横坐标，k代表顶点的纵坐标。

2.最大值或最小值判断：–当a>0时，抛物线开口朝上，顶点为最小值。

–当a<0时，抛物线开口朝下，顶点为最大值。

3.最大值和最小值的计算：–当抛物线开口朝上，最小值为点(ℎ,k)的纵坐标k。

–当抛物线开口朝下，最大值为点(ℎ,k)的纵坐标k。

示例问题求解假设有抛物线y=2x2−4x+3，求其最大值和最小值。

1.计算顶点坐标：根据公式，$h = -\\frac{-4}{2 \\cdot 2} = 1$ 和 $k =3 - \\frac{(-4)^2}{4 \\cdot 2} = 1$。

因此，顶点坐标为(1,1)。

2.最小值判断：由于a=2>0，所以抛物线开口朝上，顶点(1,1)为最小值。

3.最小值计算：最小值为顶点(1,1)的纵坐标k，所以最小值为1。

因此，抛物线y=2x2−4x+3的最小值为1。

总结通过计算抛物线的顶点坐标，我们可以确定其最大值或最小值。

根据抛物线开口的方向（朝上或朝下），我们可以判断出顶点是最小值还是最大值。

最小值或最大值的计算可以简单地取顶点的纵坐标。

这些方法可以帮助我们更好地理解和解决抛物线相关的问题。

求抛物线顶点的公式抛物线是数学中常见的曲线形式，它由一组二次方程定义。

在许多实际问题中，我们需要知道抛物线的顶点坐标，这对于分析和解决问题非常重要。

本文将介绍如何求解抛物线的顶点，并给出相应的公式。

让我们来看一个一般的抛物线方程：y = ax^2 + bx + c。

其中，a、b和c是常数，x和y分别表示抛物线上的点的横坐标和纵坐标。

要求解抛物线的顶点，我们需要找到抛物线的最高点。

由于抛物线是一个开口朝上或朝下的曲线，它的顶点必然位于抛物线的对称轴上。

对称轴可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)。

通过将这个x值代入原方程，我们可以求得对应的y值。

这个y值就是抛物线的顶点的纵坐标。

举个例子来说明：假设我们有一个抛物线方程为y = 2x^2 - 4x + 1。

我们可以通过以下步骤求解它的顶点：1. 计算对称轴的横坐标：x = -(-4) / (2 * 2) = 1。

2. 将x = 1代入方程，求得对应的y值：y = 2 * 1^2 - 4 * 1 + 1 = -1。

3. 因此，这个抛物线的顶点坐标为(1, -1)。

这就是求解抛物线顶点的公式。

我们可以总结为以下步骤：1. 计算对称轴的横坐标：x = -b / (2a)。

2. 将对称轴的横坐标代入原方程，求得对应的纵坐标：y = ax^2 + bx + c。

需要注意的是，当抛物线开口朝下时，顶点的纵坐标是抛物线的最大值；当抛物线开口朝上时，顶点的纵坐标是抛物线的最小值。

除了顶点，我们还可以通过顶点求得抛物线的焦点和直径。

焦点是位于对称轴上与顶点等距离的点，它的纵坐标可以通过以下公式求得：y = c - (b^2 - 1) / (4a)。

直径是焦点与顶点之间的距离的两倍。

总结起来，抛物线顶点的公式为：1. 对称轴的横坐标：x = -b / (2a)。

2. 顶点的纵坐标：y = ax^2 + bx + c。

3. 焦点的纵坐标：y = c - (b^2 - 1) / (4a)。

顶点式：y=a(x-h)²+k抛物线的顶点P（h，k）。

顶点坐标：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）其顶点坐标为[-b/2a，（4ac-b²）/4a]。

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。

它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。

抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

抛物线的解析式的三种形式抛物线的解析式有三种形式：①一般式：（a≠0）；②顶点式：，（h，k）是顶点坐标；③交点式：（a≠0），其中x1，x2是方程的两个实根。

在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。

利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。

例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。

（试用两种不同的方法）分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。

解法一：设二次函数的解析式为：因为二次函数图像过点（1，0）所以所以所以函数解析式为。

分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。

解法二：设二次函数的解析式为：，因为二次函数图像过点（－2，3）所以所以函数解析式为。

点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。

但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。

两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。

当然此题也可使用一般式，但不如这两种方法简单。

例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。

分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。

在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长，条件似乎不是特别充分。

仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。

解：∵当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4∴函数图像与x轴交于（－3，0），（1，0）两点。

一元二次方程抛物线的顶点坐标公式
一元二次方程抛物线的顶点坐标公式指的是在标准形式下的一
元二次方程，其顶点坐标可以通过以下公式计算：
顶点坐标为 (h, k) ，其中 h = - b / (2a) ， k = f(h) = a(h^2) + b(h) + c
其中，a、b、c 分别代表标准形式下的一元二次方程的系数，即：ax^2 + bx + c = 0。

此公式的原理是通过将一元二次方程转化为顶点式，即 x = h 时，y 取得最小值 k，然后求出 h 和 k 的值。

这个过程可以通过配方法、求根公式或完全平方式实现。

对于一元二次方程的抛物线，其顶点是其最高/最低点，因此顶
点坐标的计算对于确定其形状、方向和交点等都非常重要。

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抛物线的知识点高二抛物线的知识点抛物线是一种经典的曲线形状，它在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

本文将介绍抛物线的基本定义、性质和公式，以及一些与抛物线相关的重要知识点。

一、抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。

定义中的焦点和准线的位置关系决定了抛物线的形状。

当焦点位于准线之上时，抛物线开口朝上；当焦点位于准线之下时，抛物线开口朝下。

二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线具有轴对称性，即关于准线对称。

2. 焦点和准线的距离相等性：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

3. 点的坐标：设焦点为F，准线为x轴，抛物线上任意一点P的坐标为（x，y），则有y² = 2px，其中p是焦距。

4. 切线与焦准关系：抛物线上任意一点P处的切线与焦准线之间的夹角等于切线和准线之间的夹角。

三、抛物线的公式1. 基本形式：对于抛物线的基本形式y²= 2px，焦点在原点处，准线为x轴。

2. 平移形式：对于平移后的抛物线，坐标平移量为(a, b)，则公式变为（y - b）² = 2p（x - a）。

3. 顶点形式：对于抛物线的顶点形式，坐标顶点为(h, k)，则公式变为（y - k）² = 2p（x - h）。

4. 标准方程与顶点形式的关系：标准方程y² = 2px可通过平移得到顶点形式（y - k）² = 2p（x - h）。

五、与抛物线相关的重要知识点1. 抛物线的焦距：焦距p是决定抛物线形状的重要参数，它决定了抛物线的开口大小。

2. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程是用参数t表示抛物线上的点坐标，参数方程为x = 2at，y = at²。

3. 抛物线的平移与旋转：抛物线可以通过平移和旋转的方式进行变换，改变其位置和方向。

4. 抛物线的应用：抛物线在物理学中有广泛应用，例如在抛物运动、射击问题和天体运动等方面。

1. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则／...已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则／OM／=解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+p /2 =3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴y02=8∴|OM|= √4+8 =2 √32. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值由于点M（-3，m）在y轴的左侧，所以可以知道抛物线的开口向左，设方程为y^2=-2px,焦点为(-p/2,0),准线为x=p/2由抛物线定义可知，M到准线的距离也是5所以p/2-(-3)=5p=4方程为y^2=-8x令x=-3,得m^2=24,所以m=+/-2根号63. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点p（-5，m)到焦点F的距离为6，则该抛物线的方程是？抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴∴抛物线方程可写作：y^2 = 2px焦点坐标为F（p/2，0）抛物线上的点p（-5，m)到焦点F的距离为6即：根号{ [ p/2 - (-5) ]^2 + (0 - m)^2 ] = 6p = -10 ± 2根号(36-m^2)∴y = -4 [ 5+根号(36-m^2) ] x或y = -4 [ 5-根号(36-m^2) ] x4. 过抛物线焦点弦长公式就是定义转化.抛物线是:y^2=2px则为p+x1+x2抛物线是:x^2=2py则为p+y1+y2抛物线是:y^2=-2px则为p-x1-x2抛物线是:x^2=-2py则为p-y1-y25. 抛物线过焦点的弦长公式证明抛物线过焦点的弦长公式证明过程焦点弦公式2p/sina^2证明：设抛物线为y^2=2px(p>0),过焦点F(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于A（x1,y1),B(x2,y2)联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2由抛物线定义，AF=A到准线x=-p/2的距离=x1+p/2, BF=x2+p/2所以AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a 6. 从抛物线y^=4X图象上的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则三角形MPF...从抛物线y^=4X图象上的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则三角形MPF的内切圆的面积为（）A3B（30一10厂5）兀C12D（15-5厂5）兀/2抛物线y^2=4X焦点F(1,0),准线l:x=-1根据抛物线定义|PM|=|PF|=5，令P(m,n),那么m+1=5,m=4∴n^2=4m=16,|n|=4不妨取n=4,P(4,4),M(-1,4)那么|MF|=√[(1+1)^2+4^2]=2√5MF中点N(0,2),|PN|=2√5设三角形MPF的内切圆半径为r则1/2(|PM|+|PF|+|MF|)*r=1/2*|MF|*|PN|∴r=|MF|*|PN|/(|PM|+|PF|+|MF|)=（2√5*2√5）/(5+5+2√5)=10/(5+√5)=(5-√5)/2∴内切圆的面积为πr^2=(5-√5)^2π/4=(30-10√5)π/4=(15-5√5)π/2选D向左转|向右转7. 线y^2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为设P(y0^2/4,y0)则|PM|=y0^2/4+1=5所以|y0|=4所以△MPF的面积=10。

类型四抛物线形问题【典例1】已知平面直角坐标系xOy （如图1），直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B .（1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求ABP ∠sin 的值；（3）设点Q 在直线m x y +=上，且在第一象限内，直线m x y +=与y 轴的交点为点D ，如果DOB AQO ∠=∠，求点Q 的坐标.【答案】：（1）1-=n （2）1010sin =∠ABP （3）（4,8）【解析】：（1） ∵直线m x y +=的经过点)0,4(-A∴04=+-m∴4=m∵直线m x y +=的经过点)3,(n B ∴34=+n∴1-=n（2）由可知点B 的坐标为)3,1(-∵抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ∴⎩⎨⎧=+-=+-310416c b c b∴6=b ， 8=c∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862++=x x y∴抛物线862++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P∴23=AB ,2=AP ,52=PB图1∴222PB BP AB =+ ∴︒=∠90PAB∴PB AP ABP =∠sin ∴1010sin =∠ABP（3）过点Q 作x QH ⊥轴，垂足为点H ，则QH ∥y 轴 ∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠∴△OBD ∽△QBO ∴OBDBQB OB = ∵直线4+=x y 与y 轴的交点为点D ∴点D 的坐标为)4,0(,4=OD又10=OB ，2=DB∴25=QB ，24=DQ∵23=AB∴28=AQ ,24=DQ ∵QH ∥y 轴 ∴AQADQH OD = ∴28244=QH ∴8=QH即点Q 的纵坐标是8又点Q 在直线4+=x y 上 点Q 的坐标为)8,4(【典例2】如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．备用图第2题图【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）)518,56(1-P 或)2,2(2-P 【解析】：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 【典例3】已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C ． （1）求抛物线的解析式；（2）联结AC 、BC 、AB ，求BAC ∠的正切值；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G ，当点G在点A 的上方，且APG △与ABC △相似时，求点P 的坐标．【答案】：（1）解得12523a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩（2）13BC tan BAC AC ===∠ （3）点P 的坐标为(11,36)或1744(,)39【解析】：（1）设所求二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，将A （0,3）、B （4，）、C （3,0）代入，得 1641,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得12523a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩所以，这个二次函数的【解析】式为215322y x x =-+ （2）∵A （0,3）、B （4，）、C （3,0）∴AC =BC =AB =∴222AC BC AB +=∴90ACB =︒∠ ∴21332BC tan BAC AC ===∠ （3）过点P 作PH y ⊥轴，垂足为H设P 215(,3)22x x x -+，则H 215(0,3)22x x -+ ∵A （0,3） ∴21522AH x x =-，PH x = ∵90ACB APG ==︒∠∠∴当△APG 与△ABC 相似时，存在以下两种可能：①PAG CAB =∠∠ 则13tan PAG tan CAB ==∠∠ 即13PH AH = ∴2115322x x x =- 解得11x = ∴点P 的坐标为(11,36)②PAG ABC =∠∠ 则3tan PAG tan ABC ==∠∠即3PH AH = ∴231522x x x =- 解得173x = ∴点P 的坐标为1744(,)39【典例4】平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （3,0），与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标； （2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA =EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线图4上，∠MEQ =∠NEB ，求点Q 的坐标．【答案】：（1）P 的坐标是（2，-1）（2）m=2（3）5t =，点E 的坐标为（5，8） 【解析】：（1）∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （1，0）和B （3，0），∴10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得：4b =-，3c =．∴这条抛物线的表达式是243y x x =-+顶点P 的坐标是（2，-1）．（2）抛物线243y x x =-+的对称轴是直线2x =，设点E 的坐标是（2，m ）．根据题意得：=，解得：m=2， ∴点E 的坐标为（2，2）．（3）解法一：设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+，记MN 与x 轴相交于点F ．作QD ⊥MN ，垂足为D ，则2DQ t =-，2243241DE t t t t =-+-=-+ ∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF ，∴△QDE ∽△BFE ，∴DQ DEBF EF=，∴224112t t t --+=， 解得11t =（不合题意，舍去），25t =．∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．解法二：记MN 与x 轴相交于点F ．联结AE ，延长AE 交抛物线于点Q ，∵AE=BE ， EF ⊥AB ，∴∠AEF=∠NEB ， 又∵∠AEF=∠MEQ ，∴∠QEM=∠NEB ，点Q 是所求的点，设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+， 作QH ⊥x 轴，垂足为H ，则QH =243t t -+，OH =t ，AH =t -1， ∵EF ⊥x 轴，∴EF ∥QH ，∴EF AFQH AH=，∴221431t t t =-+-， 解得11t =（不合题意，舍去），25t =． ∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．【典例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知点B （8,0）和点C （9，3-）．抛物线c ax ax y +-=82（a ，c 是常数，a ≠0）经过点B 、C ，且与x 轴的另一交点为A ．对称轴上有一点M ，满足MA =MC ．（1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形ABCM 的面积；（3） 如果坐标系内有一点D ，满足四边形ABCD且AD //BC ，求点D 的坐标． 【答案】：（1）抛物线的表达式：x x y 38312+-=（2）3（3） 点D 的坐标)539,513(-【解析】：（1）由题意得：抛物线对称轴aax 28-=，即4=x ． 点B （8,0）关于对称轴的对称点为点A （0,0）∴0=c ，将C （9，-3）代入ax ax y 82-=，得31-=a∴抛物线的表达式：x x y 38312+-=（2）∵点M 在对称轴上，∴可设M （4，y ） 又∵MA =MC ，即22MCMA =∴2222)3(54++=+y y , 解得y =-3, ∴M （4，-3） ∵MC //AB 且MC ≠AB , ∴四边形ABCM 为梯形，,AB =8,MC =5,AB 边上的高h = y M = 3 ∴2393)58(21)(21=⨯+⨯=⨯+=MH MC AB S(3) 将点B （8,0）和点C （9，﹣3）代入b kx y BC += 可得⎩⎨⎧-=+=+3908b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=243b k 由题意得，∵AD //BC , 3-=BC k ∴3-=AD k ，xy AD 3-=又∵AD 过（0,0），DC =AB =8，设D (x ,-3x ) 2228)33()9(=+-+-x x , 解得11=x (不合题意，舍去)， 5132=x ∴5393-=-=x y ∴点D 的坐标)539,513(-．【典例6】如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于 点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB ；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 为 底的等腰三角形，求Q 点的坐标．【答案】：（1）顶点坐标D （－1，4）．（2）DAB ACB ∠=∠（3）点Q的坐标是⎝⎭，⎝⎭【解析】：（1）把B （1，0）和C （0，3）代入22y ax x c =-+中，得9603a c c ++=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩．∴抛物线的解析式是：223y x x =--+． ∴顶点坐标D （－1，4）．（2）令0y =，则2230x x --+=，13x =-，21x =，∴A （－3，0）∴3OA OC ==，∴∠CAO =∠OCA ．在Rt BOC ∆中，1tan 3OB OCB OC ∠==．∵AC =DC =AD =， ∴2220AC DC +=，220AD =；∴222AC DC AD +=，ACD ∆是直角三角形且90ACD ∠=，∴1tan 3DC DAC AC ∠==，又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC =∠OCB ． ∴DAC CAO BCO OCA ∠+∠=∠+∠， 即DAB ACB ∠=∠．（3）令(Q x ，)y 且满足223y x x =--+，(3A -,0)，(1D -，4）∵ADQ ∆是以AD 为底的等腰三角形，∴22QD QA =，即2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-，（第6题图）化简得：220x y -+=． 由222023x y y x x -+=⎧⎨=--+⎩， 解得11341411418x y ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，22341411418x y ⎧--=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．∴点Q 的坐标是3411141,48⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭，3411141,48⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【典例7】如图7，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，并与抛物线21742y x bx =-++的对称轴交于点()2,2C ，抛物线的顶点是点D ．（1）求k 和b 的值；（2）点G 是y 轴上一点，且以点B 、C 、G 为顶点的三角形与△BCD 相似，求点G 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E ：它关于直线AB 的对称点F 恰好在y 轴上．如果存在，直接写出点E 的坐标，如果不存在，试说明理由．【答案】：（1）b=1（2）点G 有两个，其坐标分别是()0,1和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）点E 的坐标是91,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】：（1） 由直线3y kx =+经过点()2,2C ，可得12k =-.由抛物线21742y x bx =-++的对称轴是直线2x =，可得1b =. （2） ∵直线132y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴点A 的坐标是()6,0，点B 的坐标是()0,3.图7xy 11 O∵抛物线的顶点是点D ，∴点D 的坐标是92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵点G 是y 轴上一点，∴设点G 的坐标是()0,m . ∵△BCG 与△BCD 相似，又由题意知，GBC BCD ∠=∠， ∴△BCG 与△BCD 相似有两种可能情况： ①如果BG BC CB CD ＝52，解得1m ＝，∴点G 的坐标是()0,1. ②如果BG BC CD CB ＝，那么352m -，解得12m ＝，∴点G 的坐标是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上所述，符合要求的点G 有两个，其坐标分别是()0,1和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）点E 的坐标是91,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【典例8】已知：如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处． （1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标． ．【答案】：（1）抛物线的解析式为243=-+y x x（2）12（3）有152F （,0），252F （-,0），3F ）），4F （）．【解析】：（1）∵顶点C 在直线2x =上，∴22=-=b x a ，∴4=-b a ． 将A （3，0）代入23y ax bx =++，得933=0++a b ，解得1=a ，4=-b ．∴抛物线的解析式为243=-+y x x ．（2）过点C 作CM ⊥x 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．∵243=-+y x x =()221=--x ，∴C （2，1-）∵1==CM MA ，∴∠MAC =45°，∴∠ODA =45°，∴3==OD OA ．∵抛物线243=-+y x x 与y 轴交于点B ，∴B （0，3），∴6=BD ．∵抛物线在平移的过程中，线段BC 所扫过的面积为平行四边形BCDE 的面积， ∴12262122==⨯⨯⋅=⨯=BCDE BCD S S BD CN ． （3）联结CE .∵四边形BCDE 是平行四边形，∴点O 是对角线CE 与BD 的交点，即 OE OC ==（i ）当CE 为矩形的一边时，过点C 作1CF CE ⊥，交x 轴于点1F ，设点1F a （,0），在1Rt OCF 中，22211=OF OC CF +， 即 22(2)5a a =-+，解得 52a =，∴点152F （,0） 同理，得点252F （-,0） （ii ）当CE 为矩形的对角线时，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧分别交x 轴于点3F 、4F ，可得 34=OF OF OC ==3F ）、4F （）综上所述：满足条件的点有152F （,0），252F （-,0），3F ）），4F （）．。