抛物线顶点坐标的求法配方法

§6.2二次函数的图像与性质⑸【课前自习】1. 根据y2 2.抛物线y ＝2(x ＋2)2＋1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线y ＝－2(x －2)2－1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线y ＝－12(x ＋1)2－3与抛物线 关于x 轴成轴对称；抛物线y ＝－12(x ＋1)2－3 与抛物线 关于y 轴成轴对称；抛物线y ＝－12(x ＋1)2－3与抛物线 关于原点对称.5. y ＝a (x ＋m )2＋n 被我们称为二次函数的 式.一、探索归纳：1.问题：你能直接说出函数y ＝x 2＋2x ＋2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ .2.你有办法解决问题①吗？y ＝x 2＋2x ＋2的对称轴是 ，顶点坐标是 .3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质.练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝x 2－2x －2 ②y ＝x 2＋3x ＋2 ③y ＝2x 2＋2x ＋2④y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)4.归纳：二次函数的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以被整理成顶点式： ，说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 .练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝2x 2－3x ＋4 ②y ＝－3x 2＋x ＋2 ③y ＝－x 2－2x二、典型例题：例1、用描点法画出y ＝12x 2＋2x －1的图像.⑴用 法求顶点坐标：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点.例2、已知抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上 ，求抛物线的顶点坐标.【课堂检测】1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝x 2－3x －1 ②y ＝x 2＋4x ＋22.用公式法把下列二次函数化成顶点式：①y ＝－2x 2＋3x －4 ②y ＝12x 2－x ＋23.用描点法画出y ＝x 2＋2x －3的图像. ⑴用 法求顶点坐标：⑵列表：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：①抛物线与y 轴交点坐标是 ；②抛物线与x 轴交点坐标是 ； ③当x ＝ 时，y ＝0； ④它的对称轴是 ；⑤当x 时，y 随x 的增大而减小.【课外作业】1. 抛物线y ＝3x 2＋2x 的图像开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x ＝ 时， y 有最 值是 .2. 函数y ＝－2x 2＋8x ＋8的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大.3. 用描点法画出y ＝－12x 2－x ＋32的图像.⑴用法求顶点坐标：⑵列表：⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：①抛物线与y轴交点坐标是；抛物线与x轴交点坐标是；②当x＝时，y＝0；③它的对称轴是；④当x时，y随x的增大而减小.§6.3二次函数与一元二次方程一、知识准备在同一坐标系中画出二次函数y＝x2－2x－3，y＝x2－6x＋9，y＝x2－2x＋3的图象并回答下列问题：⑴说出每个图象与x轴的交点坐标？⑵分析二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的坐标，与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有什么关系?【归纳】〖例题解析〗例1．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．〖当堂练习一〗1.不画图象，你能求出函数y＝x2＋x－6的图象与x轴的交点坐标吗？2.判断下列函数的图象与x轴是否有交点，并说明理由.（1）y＝x2－x（2）y＝－x2＋6x－9（3）y＝3x2＋6x＋113.抛物线y＝2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m＝．例2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x＝－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．〖当堂练习二〗4.抛物线y ＝3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无5.如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，点A 、B 均在抛物线上，且AB与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为（ ） A ．(2，3) B ．(3，2) C ．(3，3) D ．(4，3)6.二次函数y ＝kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围．7.抛物线y ＝x 2－2x －8的顶点坐标是________，与x 轴的交点坐标是________. 8.已知抛物线y ＝mx 2＋(3－2m )x ＋m －2(m ≠0)与x 轴有两个不同的交点．（1）求m 的取值范围；（2）判断点P (1，1)是否在抛物线上；【课后延伸】①已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .②已知抛物线y ＝12x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．求c 的取值范围 .③已知函数y ＝mx 2－6x ＋1（m 是常数）．⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．④若二次函数y ＝－x 2＋2x ＋k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋k ＝0的一个解x 1＝3，另一个解x 2＝ ．⑤二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．x 1＝ _________ ，x 2＝ _________ ； （2）写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集． _________ ；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． _________ ；（4）若方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． _________ ． ⑥阅读材料，解答问题．例．用图象法解一元二次不等式：x 2－2x －3＞0．解：设y ＝x 2－2x －3，则y 是x 的二次函数．∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上． 又∵当y ＝0时，x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3．∴由此得抛物线y ＝x 2－2x －3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，y ＞0．∴x 2－2x －3＞0的解集是：x ＜－1或x ＞3． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2－2x －3＜0的解集是 _________ ； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2－5x +6＜0．（画出大致图象）．⑦如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的一部分，对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为B (3，0)，则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是 _________ ．⑧已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A (4,0)、B (1,3) . （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ,n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.。

二次函数要点姓名：一．以下说明什么？1．抛物线过原点2．抛物线对称轴为y轴3．抛物线顶点在x轴上4．抛物线顶点在原点5．抛物线顶点在y轴上6。

抛物线与x轴交点的横坐标为x1，x2，则对称轴为，抛物线过（4，6），（2，6）两点，则说明抛物线对称轴为。

7．当x为何值时函数y有最大值或最小值8．说出y=ax2，y=ax2+c，y=a（x+m）2，y=a（x+m）2+k的顶点坐标，以上几种形式都可称为式9．求二次函数的最值就是求。

10。

函数y=ax2+bx+c的最小值是-1，说明什么？11．如何判断抛物线与x轴的交点的个数？如何求其坐标？12．如何判断函数与函数的交点个数？如何求其坐标？13．要使抛物线进行左、右平移必须在什么形式下进行？例把y=x2+4x向左平移2个单位把抛物线进行上、下平移必须在什么形式下进行？14．把抛物线的旋转1800，必须在式下，改变的值即可。

例把y=4x2+3和y=4x2+8x旋转1800得解析式为。

15．求抛物线的顶点坐标有几种方法，各为何法？16．求抛物线顶点的公式为。

17．函数有最大值或最小值由谁决定，何时有最大值，最小值？18．二次项系数a决定函数图象的，|a|越大，图象开口。

19．求抛物线与x轴两个交点间的距离如何求？例。

分别求二次函数（1）y=x2+4x-3 （2）y=x2+（a-2）x-2a20．如何求抛物线与y轴的交点坐标？21．二次函数对称轴只与哪些系数有关？例求二次函数y=2x2-4x-c的对称轴22．在二次函数中，何时出现一元二次方程，什么情况下提及△例抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点个数为。

23．函数y =ax2+bx+c y恒大于0，必须具备什么条件。

y恒小于0必须具备什么条件。

y恒大于等于0或恒小于等于0呢？24．抛物线与y轴交于正半轴，则c 0，交于负半轴则c 0。

二、二次函数必须掌握的题型及步骤（一）二次函数与坐标轴交点的求法1．求二次函数与x轴的交点坐标步骤：令y=0，求ax2+bx+c=0的两根x1、x2，则x1、x2即为二次函数与x轴的交点的横坐标2．求二次函数与y轴的交点坐标步骤：把x=0代入y=ax2+bx+c中，求得y 即为交点的纵坐标例抛物线y=2（x-1）2与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标。

二次函数一般式2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式 一．基础知识:1.（1）完全平方公式:222a ab b ±+=()2a ±—— （2）()226_____x x x ++=+ （3）()223______x x x -+=- （4）()222____x x x ++=+ （5）()224____x x x -+=-二、基础知识练习1.类型一:1,a b ==偶数例1.用配方法将抛物线261y x x =-+-化成顶点式,并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。

举一反三:用配方法将抛物线281y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式,并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。

类型二:1,a b ==奇数例2.求抛物线21y x x =++的顶点坐标。

举一反三:求抛物线232y x x =-+的顶点坐标。

类型三:1a ≠例3.求二次函数221210y x x =-+-的最大值举一反三:求二次函数23123y x x =--的最小值。

例4.求抛物线21232y x x =--+的顶点坐标。

举一反三:求抛物线23+12y x x =-+的顶点坐标。

三、过关练习:1.求抛物线243y x x =--的顶点坐标2.将抛物线22y x x =-化成()2y a x h k =-+的形式为（ ） A.()211y x =-+ B. ()211y x =-- C. ()214y x =++ D.()214y x =--3.已知抛物线228y x x =+。

（1）化成顶点式为_________(2)顶点坐标为_________(3)当x ________时,y 的最_______值__________;(4)当x________时,y 随x 的增大而增大。

4.二次函数2112y x x =---的图像可由抛物线212y x =-怎样平移得到？5.抛物线222y x x =-++。

抛物线顶点坐标求解常见方法总结一、背景介绍抛物线是一个常见的数学模型，它具有顶点，该顶点表示抛物线的最高或最低点。

求解抛物线的顶点坐标是解题过程中的关键步骤之一。

本文总结了常见的抛物线顶点坐标求解方法。

二、常见方法1. 平方配方法：对于标准形式的抛物线方程y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以使用平方配方法求解顶点坐标。

顶点的x坐标为 -b/2a，将x坐标代入方程得到顶点的y坐标。

2. 完全平方公式：对于顶点坐标为(h, k)的抛物线，可以根据顶点坐标的性质使用完全平方公式求解。

抛物线方程可以表示为 y =a(x-h)^2 + k，其中a为常数。

通过观察平方项可以得到顶点的坐标。

3. 求导法：对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，可以求导得到一次函数，一次函数的斜率表示抛物线的切线斜率。

顶点的x坐标为导数为0的点，将x坐标代入方程得到顶点的y坐标。

4. 配方法：对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，可以使用配方法求解顶点坐标。

将ax^2 + bx分解为a(x^2 + b/a x)，再加上c，得到a(x^2 + b/a x + b^2/4a^2) + c - b^2/4a = a(x + b/2a)^2+ c - b^2/4a。

从中可以得到顶点的x坐标和y坐标。

三、应用场景抛物线顶点坐标的求解在数学、物理等领域具有广泛应用。

例如，在物体抛射运动的问题中，抛物线顶点坐标可以表示物体的最高点，求解可用于判断射程、飞行时间等。

在工程建模中，抛物线顶点坐标求解可以用于确定最佳曲线的设计。

四、总结本文介绍了常见的抛物线顶点坐标求解方法，包括平方配方法、完全平方公式、求导法和配方法。

这些方法可根据具体问题的形式选择合适的方法进行求解。

抛物线顶点坐标的求解在多个领域具有实际应用，可以帮助解决各种与抛物线相关的问题。

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求抛物线顶点坐标第一种方法（配方法）一、基础知识梳理1、二次函数的表达式的一般形式是，当0b=，且0c =时，表达式化为，这是形式最简单的二次函数表达式；2、通过列表、、可知任何二次函数的图像都是线，抛物线一定有最高点（或最低点），这个点就是抛物线的，抛物线是对称图形；3、任何函数图像，在最高点的“一瞬间”，函数取得最值，而这个值就是这个“最高点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标），而函数取得这个“最值”所对应的自变量的值，就是这个“最高点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标）。

4、任何函数图像，在最低点的“一瞬间”，函数取得最值，而这个值就是这个“最低点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标），而函数取得这个“最值”所对应的自变量的值，就是这个“最低点”的坐标中的（选填：横坐标，或纵坐标）。

5、二次函数2ax y =的图像形状是，它的顶点坐标是，它的对称轴恰好是轴，即直线。

6、关于二次函数的“最值问题”，需由顶点坐标，再结合开口方向，来回答。

对于二次函数2ax y =的图像，其顶点坐标为。

①、当a ＞0时，抛物线开口向，图像有最点，∴ 函数y 有最值，又∵ 其顶点坐标为，∴ 当自变量=x时，因变量（选填：m ax y 或min y ）=；②、当a ＜0时，抛物线开口向，图像有最点，∴ 函数y 有最值，又∵ 其顶点坐标为，∴ 当自变量=x 时，因变量（选填：m ax y 或min y ）=；7、关于二次函数的“增减性问题”，需分为对称轴的左右两侧，再结合开口方向，依据数形结合来回答。

对于二次函数2ax y =的图像，其对称轴为直线。

①、当a ＞0时，抛物线开口向，在对称轴的左侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而；在对称轴的右侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而；②、当a ＜0时，抛物线开口向，在对称轴的左侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而；在对称轴的右侧，即当自变量x 时，因变量y 的值随x 的增大而；二、平移问题第一类：“点”的平移1、把A 点()32，先向上平移5个单位，再向左平移4个单位后，所得点B 坐标为； 2、把C 点()13－，－先向下平移5个单位，再向右平移4个单位后，所得点D 坐标为； 3、点E ()56－，－是由点F ()42，－先向（选填：左或右）平移个单位，再向（选填：上或下）平移个单位之后得到的；4、点G ()12－，是由点H ()43－，－先向（选填：上或下）平移个单位，再向（选填：左或右）平移个单位之后得到的；小结：对于“点”的平移，不讲口诀，自然思考即可！第二类：“解析式”的平移1、直线x 3y=向上平移6个单位后，所得新直线的表达式为； 2、直线x 3y=向下平移3个单位后，所得新直线的表达式为； 3、直线x 3y=向左平移2个单位后，所得新直线的表达式为； 4、直线x 3y =向右平移1个单位后，所得新直线的表达式为；5、抛物线2x 2y =向上平移6个单位后，所得新抛线的表达式为；6、抛物线2x 2y =向下平移3个单位后，所得新抛线的表达式为；7、抛物线2x 2y=向左平移2个单位后，所得新抛线的表达式为；8、抛物线2x 2y =向右平移1个单位后，所得新抛线的表达式为；小结：对于“解析式”的平移，善用口诀，上、下；左、右；三、对“抛物线平移过程，必然伴随顶点平移”的研究1、“旧”抛物线2x 3y－=，先向下平移2个单位，再向右平移4个单位后，所得“新”抛物线的表达式为；①、旧抛物线在平移的过程中，它的顶点也会作相应的平移吗？答：；②、旧抛物线的顶点P 的坐标为，当点P 先向下平移2个单位，再向右平移4个单位后，得到点Q 的坐标为，你觉得点Q 是新抛物线的顶点吗？答：；③、请观察新抛物线的表达式，与其顶点Q 的坐标，它们是有内在联系的！即：顶点的纵坐标，就是“配方形式”的表达式中“尾巴后面”的，而顶点的横坐标，则由“配方形式”的表达式中“括号里”的0=，求出x 的值，即为顶点的坐标。

抛物线的解析式的三种形式抛物线的解析式有三种形式：①一般式：(a≠0）；②顶点式:，(h,k）是顶点坐标；③交点式：（a≠0）,其中x1，x2是方程的两个实根.在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。

利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。

例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2,3），且过点(1，0)，求此二次函数的解析式.（试用两种不同的方法）分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点,可以选用顶点式.解法一：设二次函数的解析式为：因为二次函数图像过点（1,0）所以所以所以函数解析式为.分析：根据所给条件中顶点坐标可知,抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性,可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0)，可选用交点式。

解法二:设二次函数的解析式为：，因为二次函数图像过点（－2,3）所以所以函数解析式为。

点评:当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。

但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到,再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。

两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。

当然此题也可使用一般式,但不如这两种方法简单。

例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4,且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。

分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件.在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标(－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长,条件似乎不是特别充分。

仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴,再有“图像在x轴上截得线段长为4"，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0）,（1，0），从而可利用交点式解决问题。

解：∵当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4∴函数图像与x轴交于（－3，0)，(1，0）两点.∴设二次函数的解析式为∵二次函数过（－1，－4）∴∴a＝1∴点评：本题当然还可直接使用顶点坐标公式转化为关于a，b，c的两个等式,再利用“图像在x轴上截得线段长为4”转化为，组合成一个关于a，b,c的方程组来解.不过这种方法计算量大一些。