抛物线顶点坐标的求法(公式法)
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顶点坐标公式二次函数表达式
一元二次函数是几何中最常见的函数形式,它的结构为y = ax² +bx +c。
其中a,b,c都是常数,x就是未知数。
一元二次函数的解法有多种,但最常用的方法就是顶点坐标公式。
顶点坐标公式法,又称为顶点坐标法,是一种常用的求解一元二次函数的方法,它可以用来求出一元二次函数的顶点,也就是函数图像的最高点或最低点的坐标。
该方法的求解公式为:顶点坐标(x,y)=(-b/2a,f(-b/2a)),其中a,b,c都是一元二次函数的常数,f(x)表示一元二次函数的函数值。
顶点坐标公式的运用非常简单,只要把一元二次函数的常数a,b,c带入上述公式中,就可以求出一元二次函数的顶点坐标,即函数图像的最高点或最低点。
一元二次函数中函数值的变化趋势,以及函数图像的转折点,都可以从顶点坐标公式中获得。
顶点坐标公式是一种非常有用的工具,它可以帮助我们更好地理解函数图像,分析函数的变化趋势,从而更好地掌握一元二次函数的知识。
它不仅可以帮助我们在几何中解决数学问题,还可以作为高等数学中一元二次函数的研究工具。
九年级数学课前预习任务单和课堂小练习及答案二次函数的图象和性质(6)——用公式法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标和对称轴课前预习任务单课 堂 小 练限时 10分钟 总分 100分 得分非线性循环练1. (10分)下列关于x 的方程:①ax 2+bx +c =0;②x 2+4x-3=0;③x 2-4+x 5=0;④3x =x 2中,一元二次方程有( A )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. (10分)如图X 22-19-1,抛物线的顶点P 的坐标是(1,-3),则此抛物线对应的二次函数有( B )图X22-19-1A . 最大值1B . 最小值-3C . 最大值-3D . 最小值13. (10分)已知关于x 的方程 x 2+3x +2=0的一个根是m ,那么3m 2+9m = -6 .4. (10分)抛物线y =x 2-2x +2的对称轴是 直线x =1 .5. (10分)解方程:(2x -1)2-9=0.解: x 1=-1,x 2=2.当堂高效测1. (10分)抛物线y =x 2-4x +9的对称轴为直线 x =2 .2. (10分)抛物线y =-2x 2-4x +8的开口 向下 ,顶点坐标是 (-1,10) .3. (10分)抛物线y =2x 2+bx +c 的顶点坐标是(-1,4),则b = 4 ,c = 6 .4. (20分)利用公式法求下列二次函数的对称轴、顶点坐标和最值.(1)y =x 2-2x -3;解:y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴抛物线的对称轴是直线x =1,顶点坐标是(1,-4),当x =1时,函数y 有最小值-4.(2)y =-x 2-2x +1.解:y =-x 2-2x +1=-(x +1)2+2, ∴抛物线的对称轴是直线x =-1,顶点坐标是(-1,2),当x =-1时,函数y 有最大值2.。
1、定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数。
自变量的取值范围是全体实数。
2、二次函数2ax y =的性质:(1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴; (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系:①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点。
(3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =)(0≠a 。
(P21-12)3、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线。
4、二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=,。
5、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ①2ax y =;②k ax y +=2;③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2;⑤c bx ax y ++=2。
6、抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点。
①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下;a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x 。
(P23-9,10) 7、顶点决定抛物线的位置。
几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同。
8、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线abx 2-=。
(P26-9)(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =。
抛物线顶点坐标的求法(公式法)
1、二次函数表达式的“一般形式”为 ; 李丹与王涓(2019届bobo )
2、二次函数表达式的“配方形式”为 ;
一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标
1、先把“一般形式”的二次函数
c
bx ax y 2++=(
a ≠)转化成“配方形式”
为 ,再依据由“配方式”看顶点坐标的方法,可知其顶点坐标
为 ,我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”; ①、求二次函数35x 2x y
2+=-的顶点坐标以及最值?
解:由顶点坐标公式得:==2a
b
x -
顶横
; ==4a
b 4a
c y 2-顶纵
;
∴ 顶点坐标为 ;
又∵ 抛物线开口向 ,有最 点,∴ y 有最 值; 即:当=x 时, = ;
②、求二次函数3112x 2x y
2--+=的顶点坐标,并对函数的增减性作出描述?
解:由顶点坐标公式得:==2a
b
x -
顶横 ; 把=顶横
x 代入函数表达式得:=顶纵y
= ; ∴ 顶点坐标为 ;
又∵ 抛物线开口向 ,所以,
在对称轴的左侧,即当自变量x 时,y 的值随x 的增大而 ; 在对称轴的右侧,即当自变量x 时,y 的值随x 的增大而 ;
③、求二次函数3112x 2x y
2--+=的顶点坐标、并在当4<5x ≤时,求函数y 的最值?
解:由顶点坐标公式得:==2a
b
x -
顶横 ; ∴ 可设抛物线的表达式为:(
)()k x
y
2+=,易求=k ;
∴ 原表达式化为配方式为 ,则顶点坐标为 ; 又=顶横
x ,不在“4<5x ≤”的范围内,∴ 函数y 的最值“不在”顶点处取,
由图形可知,当=x 时,=min y ;
变式:如果把“4<5x
≤”改为“5x 4≤≤”
,问y 有最大值吗?答: ; 点评:第①题是严格运用“顶点坐标”公式,分别求顶横x 和顶纵y (不妨命名为:全求分别法); 第②题是先求顶横x ,然后代入函数表达式,再求出顶纵y (不妨命名为:半求代入法); 第③题是先求顶横x ,然后“拼凑”出配方式,再求出k y =顶纵
(不妨命名为:半求拼凑法);
以上“三种”方法,请根据实际情况灵活选择,以便于计算作为“选择依据”!!!
二、怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标
1、基本事实依据:什么叫抛物线的对称轴?
答:第一种说法,经过抛物线的顶点,且垂直于 轴的直线,叫做抛物线的对称轴; 第二种说法,抛物线上任意一对“对称点”连线的 线,叫做抛物线的对称轴; 2、二次函数的表达式的“交点形式”为()()21x x x x a y
--=(0a ≠).
其中,“a 值”与“一般形式”c bx ax y 2++=(0a ≠)中“a 值”的相等,而“1x 、2x ”
分别代表抛物线c bx ax y 2++=(0a ≠)与x 轴的交点横坐标,即是说“1x 、2x ”是一元二次方
程0c bx ax
2
=++(0a ≠)的二根,所以抛物线的“交点形式”,也可称“二根形式”。
3、重要思路⇒:如果抛物线c bx ax y
2++=(0a ≠)与x 轴有两个交点,分别为A (1x ,0)、
B (2x ,0),那么线段AB 的“垂直平分线”必为抛物线的 ,这条对称轴的表达式为:
直线顶横也x 2
x x x 2
1=+=
(关于这一结论,可以通过举例,来加以理解!)。
知道了顶横x ,就可以根据表达式()()21x x x x a y
--=,利用“半求代入法”,求出“顶纵y ”,
岂不快哉!如此一来,也能“又快、有准”地写出“配方形式”()k h x a y
2
++=,岂不美哉!
①、求二次函数()()6x 1x 3y +=-的顶点坐标以及最值,并把解析式化为配方式.
解: 联立 得:()()06x 1x 3
=+-,解得:=1x ,=2x ;
∴ 抛物线的对称轴为:直线=x = ;
把=顶横
x 代入()()6x 1x 3y +=-,得=顶纵y = ;
∴ 顶点坐标为 ,∴当=x
时, = ;
则抛物线的配方形式为 ;
()()⎩⎨
⎧=+=0
y x 6x 1x 3y 轴:-
抛物线:
②、求抛物线16x 9x y 2--+=的顶点坐标,并在x 1≤-<4的范围内,求函数y 的最值?
③、某商场以每件20元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x (元)满足关系:2x 140m -=,
(1)、写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式;
(2)、如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?
4、提出问题⇒:如果抛物线c bx ax y 2++=(0a ≠)与x 轴“没有交点”,那么怎样由“交点式”
来求抛物线的顶点坐标呢?
思路:假设抛物线与平行于x 轴的“某条直线”: 如m y =有两个交点,
则联立 得:m c bx ax
2
=++,即:0m c bx ax 2=++-,设此方程的二根为1x 、2x ,
由韦达定理可知:a
b
a b x x 21
-原始原始-
==+,
而点A (1x ,m )、点B (2x ,m )必然是抛物线上的一对“对称点”, ⎩⎨
⎧=++=m
y x c bx ax y 2轴:抛物线:
∴ 对称轴为:直线顶横也-x 2a
b
2x x x 21==+=
然后把2a
b
x -
顶横
=代入抛物线表达式c bx ax y
2
++=可得:4a
b 4a
c y 2-顶纵
=
∴ 抛物线的顶点坐标为 ;
启示:无论抛物线与x 轴是否有公共点,其顶点横标,即对称轴直线“永远”为:2a
b
x -
顶横=,
再借“三法之一”就可求出顶点的纵坐标!!!
三、应用练习
1、函数7x 3x y 2+=--化为配方式为 ,可知顶点坐标为 ,
当=x
时,y 有最 值为 ;
2、抛物线()()5x 3x y
+=--先向右平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得新抛物线的表达式
为 ,新抛物线的顶点坐标为 ; 3、已知点A (6-,1y )、B (5-,2y )、C (1-,3y )
在抛物线()k ++=2
4x a y 上,且直线ax
y =经过第二、四象限,试比较1y 、2y 、3y 的大小关系 (用“<”来连接); 4、抛物线()()3x 6x 3y
--=的顶点坐标为 ,当自变量x 的取值范围满足:
x 2≤<5时,函数y 的取值范围满足: ;
5、已知抛物线c bx ax y
2++=的对称轴是直线2x -=,函数y 的取值范围是9y -≥,则抛物线
的开口向 ,若抛物线与y 轴的交点坐标是(
,
3)
,则抛物线的表达式为 ,它与x 轴的两个交点的坐标为 ; 6、已知抛物线c bx ax y
2++=与x x 2y 2+=的开口方向相反,开口大小程度一样,且它与直线
3y =的两个交点的横坐标分别为15和--,则抛物线的表达式为 ,
它与x 轴的两个交点的距离为 ;
7、如图,△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm ,BC=12cm ,点P 从点A 开始,沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动,点Q 从点B 开始,沿着BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动,如果P 、Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大?最大面积是多少?
B
Q
C
A。