二次函数抛物线顶点式顶点坐标顶点式y=a(x-h)^2+k

二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、函数定义与表达式1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）；2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）；3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）。

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。

二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。

二、函数图像的性质——抛物线1）开口方向——二次项系数a二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然a≠0.当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大。

顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a）总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。

|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。

y = 2x^2y = x^2y = (1/2)x^2y = -(1/2)x^2y = -x^2y = -2x^22）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴顶点式：x = h两根式：x = x1、x = x23）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

（“左同右异”）a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当x。

-b/2a时），y随着x的增大而增大；当a -b/2a时），y随着x的增大而增大；当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax = -Δ/4a；5）常数项c常数项c决定抛物线与y轴交点。

•二次函数的三种表达形式：•①一般式：•y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,] •把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c 的值。

②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。

有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

八年级数学公式：顶点坐标公式二次函数抛物线顶点式&顶点坐标顶点式：y=a(x-h)^2+k (a≠0，k为常数，x≠h)顶点坐标公式顶点坐标：(-b/2a),(4ac-b^2)/4a)二次函数y=ax2;，y=a(x-h)2;，y=a(x-h)2;+k，y=ax2;+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，仅仅位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c顶点坐标[0，0][h，0][h，k][-b/2a,(4ac-b2)/4a ]对称轴x=0x=hx=hx=-b/2a当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k 个单位，就能够得到y=a(x-h)2+k的图象;当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;所以，研究抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上"当a<0时,开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是[ -b/2a,(4ac-b2)/4a]3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小. 4.抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1|=.当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.5.抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=时，y最小(大)值=.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x2)(a≠0).7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1．（潮南区模拟）二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2的顶点的坐标是 ，对称轴是 ． 【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可． 【答案】（3，2），直线x=3． 【解析】二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2； 顶点坐标是（3，2），对称轴是直线x=3． 故答案为：（3，2），直线x=3．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键． 举一反三：【变式】（荆州）将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式. 【答案与解析】解：y=x 2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b ，c 的值. 【答案与解析】根据题意得，y=(x-4)2-2=x 2-8x+14, 所以【总结升华】把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线， 也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线.举一反三：【变式】二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x =的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．【答案】上；右.类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3.（安顺期末）二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点． （1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y 1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣，∴二次函数解析式为y 1=﹣（x ﹣2）2=﹣a 2+a ﹣1； 设直线AB 解析式为y=kx+b ， 把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y 1=y 2时，x=0或x=2，y 1＞y 2时，0＜x ＜2． 【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．4.如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式； （2）求△AOB 的面积；（3）若点P （m ，-m ）（m ≠0）为抛物线上一点，求与P 关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=-2ba）.【思路点拨】（1）已知抛物线的顶点为A （2，1），设抛物线为顶点式y=a(x-h)2+k ，把点O （0，0）代入即可求解析式；（2）由抛物线的对称轴为直线x=2，且经过原点O （0，0），根据对称性得出与x 轴的另一个交点B 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB 的面积； （3）将点P （m ，-m ）代入y=-14（x-2）2+1，得出-m=-14（m-2）2+1，解方程求出m 的值，得到P 点坐标，再根据对称性即可求出P 关于抛物线对称轴对称点Q 的坐标．【答案与解析】解：（1）设二次函数的解析式为y=a （x-2）2+1，将点O （0，0）的坐标代入得：4a+1=0，解得a=-14． 所以二次函数的解析式为y=-14（x-2）2+1； （2）∵抛物线y=-14（x-2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O （0，0）， ∴与x 轴的另一个交点B 的坐标为（4，0）， ∴S △A O B =12×4×1=2； （3）∵点P （m ，-m ）（m ≠0）为抛物线y=-14（x-2）2+1上一点， ∴-m=-14（m-2）2+1， 解得m 1=0（舍去），m 2=8， ∴P 点坐标为（8，-8），∵抛物线对称轴为直线x=2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）．如下图.【总结升华】考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的性质，难度适中．充分利用抛物线的对称性是解题的关键．。

二次函数顶点式与交点式推导二次函数可以用顶点式和交点式两种形式来表示。

首先我们来看顶点式的推导。

顶点式是指二次函数的标准形式为y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)表示顶点的坐标，a表示抛物线的开口方向和开口大小。

我们可以通过完全平方公式将一般式的二次函数转换为顶点式。

首先，我们将一般式的二次函数表示为y = ax^2 + bx + c。

然后，利用配方法将x^2项与常数项相结合，得到y = a(x^2 + (b/a)x) + c。

接下来，我们需要加上一个适当的常数使得括号内成为一个完全平方的形式。

这个常数是(b/2a)^2，所以我们加上并减去(b/2a)^2，得到y = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 (b/2a)^2) + c。

然后，我们将完全平方的三项式进行因式分解，得到y = a((x + b/2a)^2(b/2a)^2) + c。

最后，化简得到y = a(x + b/2a)^2 a(b/2a)^2 + c，化简得到y = a(x + b/2a)^2 (b^2-4ac)/4a。

这样我们就得到了二次函数的顶点式表示形式。

接下来我们来看交点式的推导。

二次函数的交点式表示为y = a(x-p)(x-q)，其中p和q分别是函数与x轴交点的横坐标。

我们可以通过将顶点式展开来得到交点式。

首先，将顶点式y = a(x-h)^2 + k展开得到y = a(x^2 2hx + h^2) + k。

然后，将这个式子进行展开得到y = ax^2 2ahx +ah^2 + k。

接下来，我们可以将这个式子进行因式分解，得到y = a(x^2 2hx + h^2) + k，再进行因式分解得到y = a(x-h)^2 + (k-ah^2)。

这样，我们就得到了二次函数的交点式表示形式。

总结来说，通过完全平方公式和因式分解，我们可以推导出二次函数的顶点式和交点式表示形式。

这两种形式可以相互转换，方便我们在不同的情况下使用。

二次函数的图像及性质知识点1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。

限制条件（1）自变量的最高次数是；（2）二次项系数。

2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。

（1）一般式：；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（，），对称轴是。

注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。

离开它用一般形式也可以。

※（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）此时抛物线的对称轴为直线x=221xx+。

注意：（1）当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为。

这个交点是抛物线的什么点？（2）是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？（3）利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。

实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。

▲三种二次函数的解析式的联系：针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k= 。

当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。

3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条线，它是一个对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的点。

不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。

（1）形状----开口大小。

由决定，越大，开口越。

（2）开口方向：由决定。

当a>0时，函数开口方向向；当a<0时，函数开口方向向；（3）对称轴：直线x= ；注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。

例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？▲（4）顶点坐标公式：（，）；利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。