整数的分拆

第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。

我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。

如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。

由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。

例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。

问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。

因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。

当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。

当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。

数学中的整数分拆在数学中，整数分拆是一个有趣且重要的概念。

它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。

整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。

本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。

一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。

例如，对于整数4，可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。

整数分拆的方式可以具有不同的顺序，但只要拆分的数目相同，就属于同一种拆分方式。

通常，我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数，P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。

二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。

下面以组合数学为例，介绍一些具体的应用场景。

1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币，例如1元、2元、5元等，我们需要凑出一个特定金额的零钱。

这个问题可以转化为整数分拆的问题。

例如，我们要凑齐10元，可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。

2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和，并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。

例如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。

整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。

三、性质整数分拆具有很多有趣的性质，下面介绍其中的一些。

1. 奇偶性对于正整数n，其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。

当n为奇数时，P(n)为奇数；当n为偶数时，P(n)为偶数。

这个结论可以通过归纳法证明。

2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。

具体地，对于正整数m，其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。

例如，P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。

3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。

小学五年级奥数题经典题：整数分拆整数分拆整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。

所谓整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。

整数分拆的要求通常是将一个自然数拆成两个(或两个以上)自然数的和，并使这些自然数的积(或最小);或拆成若干个连续自然数的和等等。

下面举例作出剖析。

例1 将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积，应该如何分拆?分析与解不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七种方法。

经计算，容易得知，将14分拆成7+ 7时，有积7×7=49。

例2 将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积，如何分拆?分析与解不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然数的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。

显见，将15分拆成7+8时，有积7×8=56。

注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有积m×m=m2;如果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+(m+1)时，有积m×(m+1)。

例3 将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积，如何分拆?分析与解显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小(比如是0或1)，这样得到的积才。

这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有积4×5×5=100。

例4 将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积，如何分拆?分析与解首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。

首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。

其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另一个自然数的和，这两个数的积一定比原数大。

比如5=2+3，但5比2×3=6小。

又因为4=2×2，所以，能够考虑将14分拆成若干个2或3了。

2、整数的分拆教学目标:1、让学生经历整数分拆的过程，引导学生探索两个整数的和一定，相差越小，积越大的规律；两个整数的积一定，相差越小，和越小的规律。

2、让学生自主探究把一个整数分拆成几个数，乘积最大。

教学重点:1、掌握整数分拆的方法，把一个整数分拆成两个数的和，这两个数相差最小时，它们的积最大。

2、把一个整数分拆成两个数的积，这两个数相差最小时，它们的和最小。

教学难点：由一个数分拆成两个数扩展到一个数分拆成几个数，乘积最大。

一、情境体验张大爷今天买回了3只小羊羔，于是他准备在院子的角落里利用院子的两堵墙做一个饲养场，张大爷家里刚好有10 米长的竹篱笆，他想用这10米长的篱笆围成的饲养场面积最大，可以怎样围呢？师：围成的饲养场是什么形状呢？生：可能是长方形，也可以是正方形。

师：无论是长方形还是正方形，都有4条边，现在张大爷已经利用了院子的两堵墙，他还需要围几条边？生：只需要围一条长边和一条宽边。

师：要使得围成的饲养场面积最大，长边是几米，宽边是几米呢？生：10米长的竹篱笆围一条长边和一条宽边，有很多种情况。

师：为了解决这个问题，我们先观察下表，看看能发现什么。

生：表中的甲数可以看成是长边，乙数可以看成是宽边，积可以看成是饲养场的面积。

师：大家还能发现什么？生：面积最大的时候，长边和宽边相等。

二、思维探索（建立知识模型）例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？生：和为10的两个整数很多啊，两个整数相乘，积最大的是哪个呢？生：把和为10的两个整数分别列举出来，算出两个整数的积，再进行比较。

生：这和我们刚才的表是一样的，我发现当这两个数相等时，它们的乘积最大。

师：我们如何用算式来解答呢？生：10÷2=5 5×5=25小结：把一个整数分成2个加数，当2个加数相差最小时，它们的积最大。

三、思维拓展（知识模型的拓展）例2：一个周长为58米的长方形，这个长方形的面积最大是多少平方米？师：求长方形的面积，就得知道长和宽，我们能把58直接拆成长+宽吗？生：不能，58是两个长与两个宽的和。

小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。

也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。

2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。

3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。

4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。

如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。

5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。

即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。

6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。

我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。

典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。

【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。

2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。

则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。

选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇
（最新版）
目录
1.整数分拆的定义和意义
2.整数分拆的方法和技巧
3.整数分拆的实际应用和强化练习
正文
一、整数分拆的定义和意义
整数分拆是奥数中的一个重要概念，它指的是将一个整数拆分成若干个整数的和，这些整数可以是正数、负数或零。

整数分拆在数学问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们简化问题，提高解题效率。

通过学习整数分拆，我们可以培养自己的逻辑思维能力和数学运算技巧。

二、整数分拆的方法和技巧
1.直接分拆法：根据题目要求，直接将整数拆分成若干个整数的和。

这种方法适用于较简单的问题，需要我们熟练掌握整数的加减法。

2.差分法：通过计算两个整数的差，然后逐步逼近目标整数。

这种方法适用于较难直接分拆的问题，需要我们具备较强的观察能力和计算能力。

3.代换法：将题目中的整数用变量表示，通过代数运算求解。

这种方法适用于含有较多未知数的问题，需要我们具备较强的代数运算能力。

4.构造法：通过构造特殊的数列或数组，找到整数的分拆方式。

这种方法适用于题目中存在一定规律性的问题，需要我们具备较强的创新思维和构造能力。

三、整数分拆的实际应用和强化练习
为了更好地掌握整数分拆的方法和技巧，我们需要进行大量的练习。

可以从简单的题目开始，逐步提高难度，巩固所学知识。

在实际应用中，我们要注意观察题目的特点，灵活运用各种方法，以求达到最佳的解题效果。

总之，整数分拆是奥数中一个重要的概念，通过学习整数分拆，我们可以提高自己的数学运算能力和解题技巧。

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆整数的分拆是数学中一个重要的概念，也是三年级奥数春季班的一部分内容。

所谓整数的分拆，就是把一个整数表示为若干个正整数的和的形式。

首先，我们来看一个例子。

假设我们要把整数5分拆成若干个正整数的和。

从1开始，我们可以找到一组分拆方式：5=1+1+1+1+1。

这就是把整数5分拆成5个1的和。

同样，我们还可以找到其他的分拆方式，如：5=2+2+1或者5=3+1+1。

这里需要注意的是，分拆的方式可以有很多种，但是分拆的正整数的个数是有限的。

那么如何确定一个整数的所有分拆方式呢？我们可以利用递归的方法来求解。

假设n是一个正整数，我们要求n的所有分拆方式。

如果n等于1，那么分拆方式只有一种，即n=1。

如果n大于1，那么我们可以将n分拆成两部分。

第一部分是一个正整数i，i可以从1取到n-1。

第二部分是n-i。

例如，当n=5时，我们可以将5分拆成1和4、2和3等。

然后，我们可以递归地求解这两部分的所有分拆方式，最后将它们合并在一起，就得到了n的所有分拆方式。

这个方法可以表示为如下的递归公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(1)其中f(n)表示n的分拆数。

接下来，我们来看一个具体的例子。

假设我们要求整数5的所有分拆方式。

根据递归公式，我们可以先求解f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，然后将它们相加，即f(5)=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)。

由于f(1)等于1，那么我们可以依次求解f(2)、f(3)、f(4)的值。

f(2)=f(1)+f(0)=1+1=2f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3f(4)=f(3)+f(2)+f(1)=3+2+1=6所以，f(5)=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=6+3+2+1=12。

这就是整数5的所有分拆方式的个数。

通过上面的例子，我们可以看出，求解整数的分拆方式主要是利用了递归的思想。

递归的过程就是不断地将原问题转化为更小的子问题，直到子问题的规模足够小，可以直接求解。

初中数学竞赛：整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。

我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。

如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。

由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。

例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。

问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。

因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。

当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。

当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。

整数的分拆与最值问题知识要点引言：整数的分拆，就是把一个正整数表示成若干个正整数的和的形式，每一种表示方法，就是正整数的一种分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其最著名的要推“哥德巴赫猜想”：所有大于2的偶数，都可以表示为两个素数之和。

1、引入：数：两个数的和为10，这两个数的乘积最大是几？最小是几？形：在周长一定的长方形中，以正方形的面积为最大。

问题：（1）把2006分拆成2个正整数之和，使这2个正整数的积有最大值；（2）把2006分拆成3个正整数之和，使这3个正整数的积有最大值、最小值；（3）把2006分拆成若干个互不相同的正整数的和，使这若干个正整数的积有最大值。

例题精讲例1 电视台要播放一部30集电视剧，如果要求每天播出的集数互不相等，该电视剧最多可以播几天？例2 有面值1角、2角、5角的硬币各4枚，用它们去支付2元3角。

问：有多少种不同的支付方法？例3 把37拆分成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的积中，哪个最小？例4 将一块长18厘米、宽6厘米的长方形铁皮剪裁、焊接做成一个无盖的长方体盒子，要使其容积尽可能大，应如何设计？请画出示意图并计算其容积。

例5 5个连续正整数，其中最大的一个是10，这5个数按任意次序写在一个圆周上，每相邻两个数相乘并将所得的积相加，那么所得的和最小值是多少？例6 ABCD 表示一个四位数，EFG 表示一个三位数，A B C D E F G 、、、、、、代表1—9中的不同数字。

已知1993ABCD EFG +=。

问ABCD EFG ⨯的最大值与最小值的差是多少？例7求满足下列条件的最小的正整数：它既可以表示为9个连续正整数的和，又可以表示为10个连续正整数的和，还可以表示为11个连续正整数的和。

例8 若干个同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些小盒子里然后外出，小明从每只盒子里取出一个球，然后把这些小球再放到小球最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。