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数学中的整数分拆在数学中，整数分拆是一个有趣且重要的概念。
它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。
本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。
一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
例如，对于整数4，可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。
整数分拆的方式可以具有不同的顺序，但只要拆分的数目相同，就属于同一种拆分方式。
通常，我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数，P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。
二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。
下面以组合数学为例，介绍一些具体的应用场景。
1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币，例如1元、2元、5元等，我们需要凑出一个特定金额的零钱。
这个问题可以转化为整数分拆的问题。
例如，我们要凑齐10元，可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。
2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和，并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。
例如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。
整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。
三、性质整数分拆具有很多有趣的性质，下面介绍其中的一些。
1. 奇偶性对于正整数n，其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。
当n为奇数时，P(n)为奇数；当n为偶数时，P(n)为偶数。
这个结论可以通过归纳法证明。
2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。
具体地，对于正整数m，其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。
例如，P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。
3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。
六年级奥数题目及解答：整数的分拆
整数的分拆是六年级奥数学习的难题，掌握最直接的方法就是多做多练，下面就是小编为大家整理的整数拆分的奥数习题，希望对大家有所帮助!
整数的分拆的奥数题目
有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和?
参考答案
根据分拆的项数分别讨论如下：
①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式;
②把6分拆成两个自然数之和有3种方式
6=5+1=4+2=3+3;
③把6分拆成3个自然数之和有3种方式
6=4+1+1=3+2+1=2+2+2;
④把6分拆成4个自然数之和有2种方式
6=3+1+1+1=2+2+1+1;
⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式
6=2+1+1+1+1;
⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式
6=1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有
1+3+3+2+1+1=11种不同的方法.
提示：本题是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.。
例1 ⼩兵和⼩军⽤玩具枪做打靶游戏，见下图所⽰.他们每⼈打了两发⼦弹.⼩兵共打中6环，⼩军共打中5环.⼜知没有哪两发⼦弹打到同⼀环带内，并且弹⽆虚发.你知道他俩打中的都是哪⼏环吗? 解：已知⼩兵两发⼦弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4;同理，要求⼩军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3. 由题意：没有哪两发⼦弹打到同⼀环带内并且弹⽆虚发，只可能是： ⼩兵打中的是1环和5环，⼩军打中的是2环和3环. 例2 某个外星⼈来到地球上，随⾝带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各⼀枚，如果他想买7分钱的⼀件商品，他应如何付款?买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢?他⼜将如何付款? 解：这道题⽬的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进⾏分拆. 7=1+2+4 9=1+8 10=2+8 13=1+4+8 14=2+4+8 15=1+2+4+8 外星⼈可按以上⽅式付款. 例3 有⼈以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够⽤“8”表⽰才好.现有200块糖要分发给⼀些⼈，请你帮助想⼀个吉利的分糖⽅案. 解：可以这样想：因为200的个位数是0，⼜知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8. 这样由8×5=40及200-40=160， 可知再由两个8作⼗位数字可得80×2=160即可. 最后得到下式：88+88+8+8+8=200. 例4 试将100以内的完全平⽅数分拆成从1开始的⼀串奇数之和. 解：1=1×1=12=1(特例) 4=2×2=22=1+3 9=3×3=32=1+3+5 16=4×4=42=1+3+5+7 25=5×5=52=1+3+5+7+9 36=6×6=62=1+3+5+7+9+11 49=7×7=72=1+3+5+7+9+11+13 64=8×8=82 =1+3+5+7+9+11+13+15 81=9×9=92 =1+3+5+7+9+11+13+15+17 100=10×10=102 =1+3+5+7+9+11+13+15+17+19. 观察上述各式，可得出如下猜想： ⼀个完全平⽅数可以写成从1开始的若⼲连续奇数之和，这个平⽅数就等于奇数个数的⾃乘积(平⽅). 检验：把11×11=121，和12×12=144，两个完全平⽅数分拆，看其是否符合上述猜想. 121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21 144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23 结论:上述猜想对121和144两个完全平⽅数是正确的. 例5 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的⾃然数之和，有多少种不同的写法? 解：将1～9的九个⾃然数从⼩到⼤排成⼀列： 1，2，3，4，5，6，7，8，9. 分析先看最⼩的1和的9相加之和为10不符合要求. 但⽤次⼤的2和的9相加，和为11符合要求，得11=2+9. 逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6. 可见共有4种不同的写法. 例6 将12分拆成三个不同的⾃然数相加之和，共有多少种不同的分拆⽅式，请把它们⼀⼀列出. 解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的⾃然数之和，三个数中最⼩的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12=1+2+9. 下⾯进⾏变化，如从9中取1加到2上， ⼜得12=1+3+8. 继续按类似⽅法变化，可得下列各式： 12=1+4+7=2+3+7， 12=1+5+6=2+4+6. 12=3+4+5. 共有7种不同的分拆⽅式. 例7 将21分拆成四个不同的⾃然数相加之和，但四个⾃然数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆⽅式，请你⼀⼀列出. 解：也可以先从的数9考虑选取，其次选8，算⼀算21-(9+8)=4，所以接着只能选3和1.这样就可以得出第⼀个分拆式：21=9+8+3+1， 以这个分拆式为基础按顺序进⾏调整，就可以得出所有的不同分拆⽅式： 21=7+6+5+3}以7开头的分拆⽅式有1种 ∴共有11种不同的分拆⽅式. 例8 从1～12这⼗⼆个⾃然数中选取，把26分拆成四个不同的⾃然数之和. 26=8+7+6+5}以8开头的分拆⽅式共1种不同的分拆⽅式总数为： 10+10+8+4+1=33种. 总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆⽅式，必须使分拆过程按⼀定的顺序进⾏.。
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆整数的分拆是数学中一个重要的概念，也是三年级奥数春季班的一部分内容。
所谓整数的分拆，就是把一个整数表示为若干个正整数的和的形式。
首先，我们来看一个例子。
假设我们要把整数5分拆成若干个正整数的和。
从1开始，我们可以找到一组分拆方式：5=1+1+1+1+1。
这就是把整数5分拆成5个1的和。
同样，我们还可以找到其他的分拆方式，如：5=2+2+1或者5=3+1+1。
这里需要注意的是，分拆的方式可以有很多种，但是分拆的正整数的个数是有限的。
那么如何确定一个整数的所有分拆方式呢？我们可以利用递归的方法来求解。
假设n是一个正整数，我们要求n的所有分拆方式。
如果n等于1，那么分拆方式只有一种，即n=1。
如果n大于1，那么我们可以将n分拆成两部分。
第一部分是一个正整数i，i可以从1取到n-1。
第二部分是n-i。
例如，当n=5时，我们可以将5分拆成1和4、2和3等。
然后，我们可以递归地求解这两部分的所有分拆方式，最后将它们合并在一起，就得到了n的所有分拆方式。
这个方法可以表示为如下的递归公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(1)其中f(n)表示n的分拆数。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设我们要求整数5的所有分拆方式。
根据递归公式，我们可以先求解f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，然后将它们相加，即f(5)=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)。
由于f(1)等于1，那么我们可以依次求解f(2)、f(3)、f(4)的值。
f(2)=f(1)+f(0)=1+1=2f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3f(4)=f(3)+f(2)+f(1)=3+2+1=6所以，f(5)=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=6+3+2+1=12。
这就是整数5的所有分拆方式的个数。
通过上面的例子，我们可以看出，求解整数的分拆方式主要是利用了递归的思想。
递归的过程就是不断地将原问题转化为更小的子问题，直到子问题的规模足够小，可以直接求解。
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇摘要：一、引言二、整数分拆的概念与意义1.整数分拆的含义2.整数分拆的作用三、整数分拆的方法与技巧1.基本分拆方法2.进阶分拆技巧四、整数分拆实战案例解析1.案例一1.题目分析2.解题过程3.思路总结2.案例二1.题目分析2.解题过程3.思路总结五、整数分拆强化训练1.训练一1.题目设置2.解题指导2.训练二1.题目设置2.解题指导六、总结与展望正文：【引言】随着春季学期的推进，我们来到了三年级奥数的第10讲——整数的分拆。
在这一讲中，我们将学习整数分拆的概念、方法、实战案例以及强化训练，帮助大家更好地掌握这一重要的数学技能。
【整数分拆的概念与意义】整数分拆，指的是将一个整数拆分成若干个较小的整数，这些较小整数的和等于原整数。
例如，将整数6分拆为1+2+3，或4+2。
那么，为什么要在奥数中学习整数分拆呢？1.整数分拆的含义：掌握整数分拆，有助于提高学生的数学思维能力，培养他们灵活运用知识解决问题的能力。
2.整数分拆的作用：在解决一些复杂数学问题时，整数分拆能够帮助我们化繁为简，找到解决问题的切入点。
【整数分拆的方法与技巧】接下来，我们来看看整数分拆有哪些基本方法和进阶技巧。
【整数分拆实战案例解析】为了让大家更好地理解整数分拆，我们选取两个实战案例进行解析。
【整数分拆强化训练】掌握整数分拆的方法和技巧后，我们来进行强化训练，以检验和提高大家的实战能力。
【总结与展望】通过本讲的学习，我们了解了整数分拆的概念、方法、实战案例以及强化训练。
希望大家能够学以致用，在实际问题中灵活运用整数分拆，提高自己的数学素养。
奥数知识点：整数的拆分1.某运输部门规定：办理托运，当一件物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费3元；为限制过重物品的托运，当一件物品的重量超过16千克时，除了付基础费和保险费外，超过部分每千克还需付3元超重费．在托运的50千克物品可拆分（按整数千克拆分）的情况下，使托运费用最省的拆分方案是_________.解：①整体托运50千克物品，所花运费：30+3+（50-16）×3=135（元）②把托运的50千克物品可拆分成两部分，16千克与34千克，则所花运费：16千克的运费：30+3=33（元）34千克所花运费：33+（34-16）×3=87（元）总共花运费为：33+87=120（元）③把托运的50千克物品可拆分成三部分，16千克，16千克与18千克，则所花运费：16千克的运费：30+3=33（元）18千克所花运费：33+（18-16）×3=39（元）总共花运费为：33+33+39=105（元）④把托运的50千克物品可拆分成四部分，16千克，16千克，16千克与2千克，则所花运费：16千克的运费：30+3=33（元）总共花运费为：33×4=132（元）综上：把托运的50千克物品可拆分成三部分，16千克，16千克与18千克时所花运费最少．2. 把10拆分成三个数的和（0除外）有_____种拆分方法．解：因为10=1+2+7=1+3+6=1+4+5，所以把10拆分成三个数的和（0除外）有3种拆分方法，故答案为：3．3. 将100拆分成若干个不同的非零自然数相加的形式，最多能拆分成多少个数之和？解：因为1+2+3+…+13=（1+13）×13÷2=91，和不能超过100，因此最多只能拆分为13个数．答：最多能拆分成13个数之和．4.正确书写离子方程式的关键是将有关物质拆分为离子，在水溶液中能拆分的O （aq）反应物质有______（用文字描述）；其余一概不拆分．试写出Na与H2的离子方程式_______．解：书写离子方程式时，在水溶液中能拆分的是易溶于水、易电离的物质，金属钠和水反应生成氢氧化钠和氢气，即2Na+2H2O═2Na++2OH-+H2↑，故答案为：易溶于水，易电离的；2Na+2H2O═2Na++2OH-+H2↑．5.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则记[A1，A2]是A的一组双子集拆分．规定：[A1，A 2]和[A2，A1]是A的同一组双子集拆分，已知集合A={1，2}，那么A的不同双子集拆分共有（）A．8组B．7组C．5组D．4组解：根据题意，集合A={1，2}，其子集是∅，{1}，{2}，{1，2}，设集合A1，A2满足A1∪A2=A，若A1=∅，则A2={1，2}，有1种情况，若A1={1}，则A2={1，2}或{2}，有2种情况，若A1={2}，则A2={1，2}或{1}，有2种情况，有一种情况是重复的，若A1={1，2}，则A2={1}或{2}或∅，有3种情况，但这三种情况都是重复的，共有1+1+2=4组；故选D．6.若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种拆分，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种拆分，则集合A={1，2}的不同拆分的种数是_____．解：∵A1∪A2=A，对A1分以下几种情况讨论：①若A1=∅，必有A2={1，2}，共1种拆分；②若A1={1}，则A2={2}或{1，2}，共2种拆分；同理A1={2}时，有2种拆分；③若A1={1，2}，则A2=∅、{1}、{2}、{1，2}，共4种拆分；∴共有1+2+2+4=9种不同的拆分．故答案为：9．7.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则记[A1，A2]是A的一组双子集拆分．规定：[A1，A 2]和[A2，A1]是A的同一组双子集拆分，已知集合A={1，2，3}，那么A的不同双子集拆分共有（）A．15组B．14组C．13组D．12组解：∵A={1，2，3}，根据规定知A的不同双子集拆分为：φ与A={1，2，3}一组，{1}分别与{1，2，3}，与{2，3}，共两组，同理{2}分别与{1，2，3}，与{1，3}两组，{3}分别与{1，2，3}，与{1，2}，共两组；{1，2}分别与{1，2，3}，与{2，3}，与{1，3}，与{3}，共四组，同理与{2，3}是一组双子集有四组，和{1，3}是一组双子集共四组，{1，2，3}与{1，2，3}一组；但有6组重合的，所以共有20-6=14组，∴A的不同双子集拆分共有14组，故选B．8. 有一类七位数，中间断开可以分成三位数和四位数，但无论拆分成前三位、后四位，还是前四位、后三位，每次拆分的两个数的和总是相等的．这类七位数中最小的是多少？解：设这个七位数是abcdefg，则根据题意得到abc+defg=abcd+efg，也就是100a+10b+c+1000d+100e+10f+g=1000a+100b+10c+d+100e+10f+g，因此得到100a+10b+c+1000d=1000a+100b+10c+d；a，b，c，d，e，f，g均是小于10的自然数，所以可以得到1000d=1000a，100a=100b，10b=10c，c=d，因此得到a=b=c=d；因此这类七位数的特点是前四位上的数字一样，与后四位数上的数字没有关系．（1111+111=111+11111）所以最小的是1111111．答：这类七位数中最小的是1111111．9. 将一个不能被3整除的自然数，拆分成若干个自然数的和．那么，在这若干个自然数中不能被3整除的数至少有_____个．解：不能被3整除的数至少有1个，否则每个数都能被3整除，其和必为3的倍数，与已知产生矛盾．故答案为：1．10. 整数除以整数，商一定是整数．_______．解：整数除以整数，商不一定是整数，如：2÷4=0.5；6÷9=23；商不是整数；故答案为：错误．。
2019-2020年二年级数学奥数讲座整数的分拆例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中6环，小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几环吗？解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3。
由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环。
例2 某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又将如何付款？解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆。
7=1+2+49=1+810=2+813=1+4+814=2+4+815=1+2+4+8外星人可按以上方式付款。
例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好。
现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案。
解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8。
这样由8×5=40及200-40=160，可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可。
最后得到下式：88+88+8+8+8=200。
例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和。
解：1=1×1=12=1（特例）4=2×2=22=1+39=3×3=32=1+3+516=4×4=42=1+3+5+725=5×5=52=1+3+5+7+936=6×6=62=1+3+5+7+9+1149=7×7=72=1+3+5+7+9+11+1364=8×8=82=1+3+5+7+9+11+13+1581=9×9=92=1+3+5+7+9+11+13+15+17100=10×10=102=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。
整数分拆与不定方程【内容概述】整数分拆：就是把一个自然数表示为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，及时自然数的一个分拆。
不定方程：含有未知数的等式叫做方程，对一个方程而言，若未知数的个数超过一个，统称为不定方程。
整数的分拆：例1 电视台要播出一部30集的电视连续剧，若要每天安排的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播出几天？例2 把12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？例3 试把1999分拆成8个自然数之和，使其乘积最大。
例4 把14分拆成若干个自然数之和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何分拆？这个最大的乘积应该是多少？例5 将35拆成若干个互不相等的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？例6 396拆成若干个连续自然数和的形式，试问有多少种不同的方法？例7 用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图的鸡圈，问鸡圈的长和宽分别是多少时（包括正方形），鸡圈的面积最大？例8 用6米长的篱笆材料靠墙修建如下图的鸡圈，问鸡圈的长和宽分别是多少时（包括正方形），鸡圈的面积最大？不定方程：例1 已知61375=+y x ，请你写出一组整数解。
例2 已知21346=+y x ，请你写出一组整数解。
例3 已知5494563=+y x ，请你写出一组整数解。
例4 求解不定方程5494563=+y x 的解（至少5组）。
运用：例5 中华牌2B 铅笔7角钱一支，2H 铅笔3角钱一支。
高莎莎用5元钱恰好可以买两种铅笔共多少支？例6 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，一天里共吃了722个馒头。
问：庙里至少有多少个和尚？练习：1.将2006分拆成8个自然数和的形式，使其乘积最大。
2.将1976分拆成若干个正整数之和，再将其相乘，试求所有这种乘积中的最大值。
3.将16分拆成若干个整数和的形式，再将其相乘，试求所有这种乘积中的最大值。
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
整数分拆
内容概述：
1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。
也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。
2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。
3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。
如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数
个奇约数。
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：
如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图
，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：
，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。
典型例题：
1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。
【分析与解】画出示意图
，翻转得到
，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。
2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。
则该电视连续剧最多可以播出几天?
【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：
30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8
即最多可以播出7天。
3．若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。
再把盒子重排了一下．小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多少只盒子?
【分析与解】设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球。
同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球。
类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数。
现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数?
因为42=6×7，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而
42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数；
又因为42=14×3，故可将42：13+14+15，一共有3个加数；
又因为42=21×2，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数。
所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子
4．机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色：
凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色(比如23可表示成两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色)．问：要染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少?请说明理由。
【分析与解】显然1要染黄色，2=1+1也要染黄色，
3=1+2，
4=1+3=2+2，
5=1+4=2+3，
6=1+5=2+4=3+3，
7=1+6=2+5=3+4，
8=1+7=2+6=3+5=4+4，
9=1+8=2+7=3+6=4+5，
10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，
11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6。
可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染成黄色。
下面统一观察其他自然数，说明其他自然数均要染成红色。
1)当n为大于等于10的偶数时，n=2k=4+2(k－2)。
由于n≥10，所以k≥15，k－2≥3，2(k－2)与4均为合数，且不相等。
于是，大于等于10的偶数都可以表示两个不同的合数之和，应染成红色。
2)当n为大于等于13的奇数时，n=2k+1=9+2(k－4)
由于n≥13，所以k≥6，k－4≥2，2(k－2)≥4与9均是合数，且不相等．也就是说，大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色。
所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k个染为红色的数是第(k+10)个自然数(k≥2)。
所以第2000个染红色的数是2000+10=2010．
5.在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法．例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法.
(1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数．
(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数．
【分析与解】关于某整数，它的“奇数的约数的个数减1”，就是用连续的整数的和的形式来表达种数。
根据（1）知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=2×2，最小的15(1、3、5、15)；
有连续的2、3、5个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5；
根据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的2,3、6、9、10、27个数相加：
364+365；242+243+244；119+120+...+124；77+78+79+...+85；36+37+...+45；14+15+ (40)
6.从整数1开始不改变顺序的相加，中途分为两组，使每组的和相等.如从1到3的话，1+2=3；从1到20的话：1+2+3+...+14=15+16+17+ (20)
请问：除上述两例外，能够列出这样的最短的整数算式是从1到几?
【分析与解】我们用这种阶梯图来表示连续的数相加，假设情况见下图，
我们通过图得知，c是公共部分，而b+c为原等式的右边，a +c为原等式的左边，所以有a=b，a 部分面积为
(可以看成从1一直加到A)，b部分面积为B×B(可以看作从1一直加到B再又加到1)；
有
=B×B
可以表示为奇数×相邻的偶数÷2=B×B；
其中A是连续两个数中较小的一个，B的平方等于连续两个数的乘积除以2．
因为相邻的两个数互质，所以，偶数÷2后与原相邻奇数也互质；
所以，奇数必定为完全平方数；偶数÷2也为完全平方数，这样：
①奇数为1，则偶数为2，除以2，为1，均为完全平方数。
A=l，
=1×2÷2=1，于是为A+B=2，A+2B=3；所以为l+2=3；
②奇数为9，则偶数为8，除以2，为4，均为完全平方数．A=8，
=8×9÷2=36，于是为A+B=8+6=14，A+2B=8+2×6=20；所以为1+2+3+...+14=15+16+17+ (20)
还可以偶数为10，除以2，为5，不是完全平方数，不满足。
③奇数为25，则偶数为24，除以2，为12，不是完全平方数，不满足；
还可以偶数为26，除以2，为13，不是完全平方数，不满足．
④奇数为49，则偶数为48，除以2，为24，不是完全平方数，不满足；
还可以偶数为50，除以2，为25，是完全平方数．A=49，
=49×50÷2=1225，于是为A+B=49+35=84，A+2B=49+2×35=119．所以等式为l+2+3+…+84=85+86+87+…+119(=3570)
所以所求的式子为1+2+3+…+84=85+86+87+…+119(=3570)。
