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第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
数学中的整数分拆在数学中，整数分拆是一个有趣且重要的概念。
它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。
本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。
一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
例如，对于整数4，可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。
整数分拆的方式可以具有不同的顺序，但只要拆分的数目相同，就属于同一种拆分方式。
通常，我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数，P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。
二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。
下面以组合数学为例，介绍一些具体的应用场景。
1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币，例如1元、2元、5元等，我们需要凑出一个特定金额的零钱。
这个问题可以转化为整数分拆的问题。
例如，我们要凑齐10元，可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。
2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和，并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。
例如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。
整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。
三、性质整数分拆具有很多有趣的性质，下面介绍其中的一些。
1. 奇偶性对于正整数n，其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。
当n为奇数时，P(n)为奇数；当n为偶数时，P(n)为偶数。
这个结论可以通过归纳法证明。
2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。
具体地，对于正整数m，其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。
例如，P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。
3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。
数的拆分和组合数字拆分和组合是数学中重要的概念和技巧。
通过拆分数字，我们可以将一个数分解成若干个较小的数字，而通过组合这些数字，我们可以得到新的数字。
在本文中，我们将探讨数字的拆分和组合，并介绍一些常用的方法和技巧。
一、数字的拆分数字的拆分是将一个数分解成若干个较小的数字的过程。
常用的拆分方法有以下几种：1. 因数分解：对于一个正整数n，可以将其分解成两个较小的正整数a和b的乘积，即n = a * b。
这种拆分方式利用了数的因数性质，可以将一个大数拆分成较小的因数，便于研究和计算。
2. 十进制拆分：将一个数拆分成各个位上的数字，并表示为每个位上数字的和。
例如，对于数字1234，可以拆分成1000 + 200 + 30 + 4的形式。
这种拆分方式在计算中常常用到，可以将复杂的计算问题简化为分步进行的计算。
3. 减法拆分：将一个数拆分成两个相差较小的数的差。
例如，对于数字10，可以拆分成5 + 5的形式。
这种拆分方式适用于求解差值或找到某个数的减法组合。
二、数字的组合数字的组合是将若干个较小的数字组合成一个新的数字的过程。
常用的组合方法有以下几种：1. 加法组合：将两个或多个数字相加，得到一个新的数字。
例如，将2和3相加，得到数字5。
这种组合方式在数的运算中应用广泛，可以用于求和、累加等情况。
2. 乘法组合：将两个或多个数字相乘，得到一个新的数字。
例如，将2和3相乘，得到数字6。
这种组合方式在数的运算和代数中常常用到，可以用于求积、计算面积等情况。
3. 十进制组合：将每个位上的数字按权相加，得到一个新的数字。
例如，1234可以表示为1 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 4的形式。
这种组合方式在计算中经常用到，可以将多个数字组合成一个整体进行计算。
三、数的拆分和组合的应用案例数的拆分和组合在实际问题中具有广泛的应用。
下面以几个典型的案例来说明：1. 分解质因数：通过因数分解的方法，将一个合数拆分成若干个质数的乘积。
2、整数的分拆教学目标:1、让学生经历整数分拆的过程，引导学生探索两个整数的和一定，相差越小，积越大的规律；两个整数的积一定，相差越小，和越小的规律。
2、让学生自主探究把一个整数分拆成几个数，乘积最大。
教学重点:1、掌握整数分拆的方法，把一个整数分拆成两个数的和，这两个数相差最小时，它们的积最大。
2、把一个整数分拆成两个数的积，这两个数相差最小时，它们的和最小。
教学难点：由一个数分拆成两个数扩展到一个数分拆成几个数，乘积最大。
一、情境体验张大爷今天买回了3只小羊羔，于是他准备在院子的角落里利用院子的两堵墙做一个饲养场，张大爷家里刚好有10 米长的竹篱笆，他想用这10米长的篱笆围成的饲养场面积最大，可以怎样围呢？师：围成的饲养场是什么形状呢？生：可能是长方形，也可以是正方形。
师：无论是长方形还是正方形，都有4条边，现在张大爷已经利用了院子的两堵墙，他还需要围几条边？生：只需要围一条长边和一条宽边。
师：要使得围成的饲养场面积最大，长边是几米，宽边是几米呢？生：10米长的竹篱笆围一条长边和一条宽边，有很多种情况。
师：为了解决这个问题，我们先观察下表，看看能发现什么。
生：表中的甲数可以看成是长边，乙数可以看成是宽边，积可以看成是饲养场的面积。
师：大家还能发现什么？生：面积最大的时候，长边和宽边相等。
二、思维探索（建立知识模型）例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？生：和为10的两个整数很多啊，两个整数相乘，积最大的是哪个呢？生：把和为10的两个整数分别列举出来，算出两个整数的积，再进行比较。
生：这和我们刚才的表是一样的，我发现当这两个数相等时，它们的乘积最大。
师：我们如何用算式来解答呢？生：10÷2=5 5×5=25小结：把一个整数分成2个加数，当2个加数相差最小时，它们的积最大。
三、思维拓展（知识模型的拓展）例2：一个周长为58米的长方形，这个长方形的面积最大是多少平方米？师：求长方形的面积，就得知道长和宽，我们能把58直接拆成长+宽吗？生：不能，58是两个长与两个宽的和。
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。
也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。
2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。
3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。
如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。
典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。
【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。
2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。
则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。
小学奥数解题技巧：整数拆分
小学奥数解题技巧：整数拆分
导语：整数拆分是小学奥数数论模块的重要知识点，小学奥数题所谓整数拆分就是把把一个自然数(0除外)拆成几个大于0的自然数相加的`形式。
下面小编为您收集整理了关于整数拆分的奥数解题技巧，希望对您有帮助!
一、概念：
把一个自然数(0除外)拆成几个大于0的自然数相加的形式。
二、类型----方法
1、基本型
2、造数型
3、求加数最多
方法：1+2+3+……接近结果但是不超过已知数为止，再补差
4、两数型
(1)和不变：差小积大，差大积小
(2)积不变：差大和大，差小和小
5、拆数型
积最大(1)允许相同：多3少2没有1
(2)不允许相同：从2连续拆分2+3+4+……刚好超过目标数为止
1)超几就去几
2)多1去2，差1补尾
三年级小学奥数题及解析：裂项与拆分
有40枚棋子分别放入8个盒子里，要使每个盒子里都有棋子，那么其中的一个盒子里，最多能有多少棋子?
考点：整数的裂项与拆分.
分析：要使每个盒子里都有棋子，那么每个盒子里面至少有1个球，即40=1+1+1+1+1+1+1+33，所以最多的盒子里面有33个球.
解答：解：因为要使每个盒子里都有棋子，那么每个盒子里面至少有1个球，而要使其中的一个盒子的球最多，则另外的7个盒子里
面的球分别为1，
即40=1+1+1+1+1+1+1+33，所以最多的盒子里面有33个球.
答：其中的一个盒子里，最多能有33枚棋子.
奥数题点评：关键是理解题意得出7个盒子里面的球分别为1，求出最多的盒子里面球的个数.。
整数分拆（严格地讲是自然数分拆）形式多样，解法也很多。
下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。
那么什么是“中间数”呢？其实这里的“中间数”也就是平均数。
有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。
由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。
下面利用这种方法解几道题：一、把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。
例1、把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么？分析与解：这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：2000÷25=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：80—12×2=56，最大的为：80+12×2=104，故所求的这25个数为：56、58、………、80、………、102、104。
例2、把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少？分析与解：我们仿照例1的办法先求中间数：105÷10=10.5，“10.5”这个数是小数，并不是自然数，很明显“10.5”不是所求的数中的一个，但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个，这样也就是10.5左边有5个数，右边也有5个数，距离10.5最近的分别是10、11，这10个数分别是：6、7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14、15。
二、把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。
例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？分析与解：此题看上去无从下手解答。
我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8（2×2×2）个连续自然数的和。
整数分拆（严格地讲是自然数分拆）形式多样，解法也很多。
下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。
那么什么是“中间数”呢？其实这里的“中间数”也就是平均数。
有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。
由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。
下面利用这种方法解几道题：一、把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。
例1、把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么？分析与解：这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：2000÷25=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：80—12×2=56，最大的为：80+12×2=104，故所求的这25个数为：56、58、………、80、………、102、104。
例2、把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少？分析与解：我们仿照例1的办法先求中间数：105÷10=10.5，“10.5”这个数是小数，并不是自然数，很明显“10.5”不是所求的数中的一个，但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个，这样也就是10.5左边有5个数，右边也有5个数，距离10.5最近的分别是10、11，这10个数分别是：6、7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14、15。
二、把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。
例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？分析与解：此题看上去无从下手解答。
我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8（2×2×2）个连续自然数的和。
第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例1 有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3 有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析 本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法。
2.6 正整数的分拆粗略地说，正整数的分拆就是将一个正整数分成几个正整数的和。
在本章的前几节中已经看到，某些重要和式的求和范围都与正整数的分拆有联系，在2.7节中我们将说明有一类分配问题就是“分拆问题”。
分拆问题也是组合论的重要内容之一，本节我们将介绍正整数的分拆的概念及其一些最基本的性质，在2.7节中再将本节的一些结果应用到一类分配问题。
定义2.6.1正整数n 的一个k 分拆是把n 表示成k 个正整数的和()121k n n n n k =+++≥L （2.6.1） 的一种表示法，其中()01i n i k >≤≤i n 叫做该分拆的分部量。
如果表达式（2.6.1）是无序的，也就是说，对诸i n 任意换位后的表示法都只视为一种表示法，这样的分拆叫做无序分拆，或简称为分拆。
反之，若表达式（2.6.1）是有序的，即表达式（2.6.1）右边的和不仅与各项的数值有关，而且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表示法，这样的分拆叫做有序分拆。
这时，i n 叫做该有序分拆的第i 个分部量。
n 的k 分拆的个数称为n 的k 分拆数，n 的所有分拆（k 取遍所有可能的值）的个数称为n 的分拆数。
例如：4211121112=++=++=++是4的所有3个有序3分拆。
在4的第一个有序3分拆中，第1个分部量为2，第2个和第3个分部量均匀为1。
而：4211=++ 是4的唯一一个3分拆。
2.6.1 有序分拆在这一小节中，我们介绍n 的有序分拆的计数公式，以及在几类限定条件下n 的有序分拆的计数公式。
定理2.6.1 正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
证明 正整数n 分成k 个分部量的一个有序分拆：12k n n n n =+++L ，等价于方程：12k x x x n +++=L 。
的正整数解()12,k n n n L ，由2.3节定理2.3.4的证明知，正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
由定理 2.3.4和定理 2.6.1，正整数n 的有序k 分拆数等于多重集合{}12,,,k M a a a =∞⋅∞⋅∞⋅L 的12,k a a a L 至少出现一次的n 组合数，均为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
定理2.6.2 （1）正整数n 的有序k 分拆，要求第i 个分部量大于等于i p ，其个数为：111k i i n k p k =⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭∑（2）正整数2n 分拆成k 个分部，各分部量都是正偶数的有序分拆个数为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
（3）正整数n 分成k 个分部，若n 与k 同为奇数或同为偶数，则n 的各分部量都是奇数的有序分拆数为：121n k k -⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭证明 （1）设：12k n n n n =+++L（2.6.2）是n 满足条件：()1i i n p i k ≥≤≤ （2.6.3） 的一个有序k 分拆。
令：()1i i i y n p i k =-≤≤且满足方程：()()()1211221k k k kii y y y n p n p n p n p =+++=-+-++-=-∑L L （2.6.4）即12,,,k y y y L 是方程（2.6.4）的一组非负整数解。
反之，若给定方程（2.6.4）的一组非负整数解12,,,k y y y L ，令()1i i i n y p i k =+≤≤，则构成n 的一个有序k 分拆（2.6.2），且满足条件（2.6.3）。
所以，n 的满足条件（2.6.3）的有序k 分拆与方程（2.6.4）的非负整数解之间构成一一对应。
由定理2.3.3的证明知，其个数为：111ki i n k p k =⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭∑（2）设2n 的一个有序k 分拆：122k n x x x =+++L 满足条件：i x 为偶数()1i k ≤≤ （2.6.5），令()12ii x y i k =≤≤，则有：12k n y y y =+++L 即12k y y y +++L 是n 的一个有序k 分拆。
反之，设12k y y y +++L 是n 的一个有序k 分拆，令 ()21i i x y i k =≤≤，则12k x x x +++L 是2n 的一个满足条件（2.6.5）的有序k 分拆。
所以，2n 满足条件（2.6.5）的有序k 分拆数等于n 的有序k 分拆数，为11n k -⎛⎫⎪-⎝⎭。
（3）n 的各分部量为奇数的分拆：12k n y y y =+++L与n k -的各分部量为偶数的分拆：12(1)(1)(1)k n k n n n -=-+-++-L()()11in i k -≤≤偶显然构成一一对应。
由（2）知，n 的各分部量为奇数的分拆数为：121n k k -⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭定理2.6.2给出了几种不同限定条件下的有序分拆数。
2.6.2无序分拆我们用(),B n k 来表示n 的k 分拆的个数，用()B n 表示n 的所有分拆的个数，则显然有 （1）()(),0B n k k n =>；（2）()()1,nk B n B n k ==∑n 的k 分拆中，各分部量的次序无关紧要，一般按递降顺序排列。
若：12k n n n n =+++L 则：12k n n n ≥≥≥L如果在n 的k 分拆中有i k 个分部量为()1i i k ≤≤，那么可以把该分拆记为：1212n n k k k n =⋅+⋅++⋅L 有时也记为：1212n kkkn n =L例如，()9,55,9B =的所有5分拆为：95111115414211114123133111233132211132221222214211=++++=⋅+⋅=++++=⋅+⋅+⋅=++++=⋅+⋅=++++=⋅+⋅+⋅=++++=⋅+⋅表2.6.1列出了当1,2,3,4,5n =时n 的所有k 分拆()1i k ≤≤。
定理 2.6.3 n 的k 分拆数(),B n k 满足递推关系：()()()(),,1,2,B n k k B n B n B n k +=+++L（2.6.6）()(),11,,1B n B n n ==（2.6.7）证明 由(),B n k 的定义易知等式（2.6.7）成立，下面证明递推关系（2.6.6）为此，我们考虑n 分成至多k 个分部的分拆，这样的分拆总数为()()(),1,2,B n B n B n k +++L n 的每个分成至多k 个分部的分拆可表示为：1200m n n n n =++++++L L 这个和式中包含k 项，并且：()1211m n n n m k ≥≥≥≥≤≤L我们将n 的这个m 分拆映射到n k +的k 分拆如下：()()()1211111m n k n n n +=+++++++++L L 该和式中包含k 项，并且：121112m n n n +≥+≥≥+≥L设上面确定的映射为f ，因为不同的n 分为至多k 个分部的分拆对应着n k +不同的k 分拆，所以f 是单射。
又因为每个n k +的k 分拆：12k n k l l l +=+++L在f 作用下的原像是每个()1i l i k ≤≤减去1，再保留不为零的那些项而得到的n 的一个分部数至多为k 的分拆，所以f 是满射。
因此，f 是一一映射，于是有：()()()(),,1,2,B n k k B n B n B n k +=+++L 定理2.6.3提供了对(),B n k 逐行递推的计算方法，见表2.6.2，例如：()()()()()()9,54,14,24,34,44,5121105B B B B B B =++++=++++=例1 正整数n 的2分折数为：(),22n B n ⎢⎥=⎢⎥⎣⎦其中，2n ⎢⎥⎢⎥⎣⎦表示小于等于2n的最大整数。
证明 设n 的2分拆为：()1212n n n n n =+≥因12n n ≥，所以2n 恰能取1，2，……，2n ⎢⎥⎢⎥⎣⎦中的任一个，故：(),22n B n ⎢⎥=⎢⎥⎣⎦2.6.3 分拆的Ferrers 图研究分拆数性质的一种简单有效的组合手段就是Ferrers 图，设n 的一个k 分拆为()1212k k n n n n n n n =+++≥≥≥L L（2.6.8）我们在一条水平直线上画1n 个点，在其下面一条直线上画2n 个点，且使这两条直线上的第一个点在同一条竖线上，其他点依次与上一行的点对齐；依此类推，最后在第k 条直线上画k n 个点，第一个点与前面各行的第一个点均在同一条竖线上，其他点依次与上面各行的点对齐，这样得到的点阵图叫做n 的k 分拆（2.6.8）的Ferrers 图例如，15的4分拆：155532=+++ （2.6.9） 的Ferrers 图如图2.6.1所示。
g g g g gg g g g g g g g g g图2.6.1反过来，对于n 的一个Ferrers 图，又可按上述规则对应于n 的唯一的一个分拆。
所以，n 的分拆同它的Ferrers 图之间是一一对应的。
把一个Ferrers 图的各行改成列，但其相对位置不变，这样又得到一个Ferrers 图，叫做原Ferrers 图的共轭图。
例如，图2.6.1对应的共轭图是图2.6.2。
g g g gg g g gg g g g g g g图2.6.2共轭Ferrers 图所对应的分拆叫做原分拆的共轭分拆。
例如，图2.6.2对应的分拆1544322=++++（2.6.10）是分拆（2.6.9）的共轭分拆。
若n 的一个分拆与其共轭分拆相同，则该分拆称为n 的自共轭分拆。
从分拆的Ferrers 图可以证明以下一些定理：定理2.6.4 n 的k 分拆的个数等于n 的最大分部量为k 的分拆数。
证明 上面定义的分拆的共轭运算是一个映射，它将n 的最大分部量为k 的分拆映射到n 的k 分拆。
例如，分拆（2.6.9）是15的最大分部量为5的分拆，其共轭分拆（2.6.10）是15的一个5分拆。
并且这个映射显然是一一的，所以两者相等。
定理2.6.5 n 的自共轭分拆的个数等于n 的各分部量都是奇数且两两不等的分拆的个数。
证明 为了证明这个性质，我们将借助于Ferrers 图建立一个n 的各分部量为奇数且两两不等的分拆到n 的自共轭分拆之间的一一对应。
设n 的一个分部量为奇数且两两不等的分拆为：()()()12212121k n n n n =++++++L（2.6.11）其中：120k n n n >>>≥L由n 的分拆（2.6.11），我们构造n 的一个自共轭分拆的Ferrers 图。
在第1行与第1列都画11n +个点，共有121n +个点；画完第1行和第1行后，在第2行与第2列再各画21n +个点，共221n +个点，此时，第2行与第2列中加上第1行与第1列已画的点，都已有21n +个点；……；在第k 行与第k 行再画1k n +个点，共21k n +个点。
