数学2.5《函数与方程》教案一(苏教版必修1)

函数与方程教案苏教版必修一、教学目标1. 理解函数与方程之间的关系，掌握函数的概念和性质。

2. 学会解一元一次方程、一元二次方程、不等式等基本数学问题。

3. 能够运用函数与方程的知识解决实际生活中的问题。

二、教学内容1. 函数的概念与性质函数的定义与表示方法函数的域与值域函数的单调性、奇偶性、周期性2. 一元一次方程与一元二次方程一元一次方程的解法一元二次方程的解法方程的根的判别式3. 不等式与不等式组不等式的性质一元一次不等式的解法一元二次不等式的解法4. 函数的图像与解析式函数图像的性质函数解析式的求法函数与方程的图像关系5. 函数与方程的应用函数与方程在实际生活中的应用函数与方程的数学建模函数与方程的综合练习三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和探究来理解函数与方程的概念和性质。

2. 利用数形结合的方法，通过绘制函数图像和解析式，帮助学生直观地理解函数与方程之间的关系。

3. 提供实际生活中的例子，让学生学会运用函数与方程的知识解决实际问题。

四、教学评估1. 课堂练习：每节课结束后，安排适量的练习题，巩固学生对函数与方程的理解和应用能力。

2. 课后作业：布置相关的作业题，要求学生在规定时间内完成，以检验学生对知识的掌握情况。

3. 单元测试：每个章节结束后，进行一次单元测试，全面评估学生对该章节知识的掌握程度。

五、教学资源1. 教材：苏教版必修数学教材2. 教辅资料：相关的函数与方程的辅导书籍和练习题库3. 教学软件：数学软件或教育平台，用于展示函数图像和解析式4. 实际案例：收集一些实际生活中的问题，用于教学中的应用举例六、教学内容6. 函数的性质探究函数的极值与最值函数的转折点与单调区间函数的凹凸性与拐点7. 方程的求解方法代数法求解方程图像法求解方程数值法求解方程8. 函数与方程的变换函数的平移与拉伸函数的旋转与翻转函数的复合与分解9. 函数与方程的应用案例经济增长模型药物浓度变化模型运动物体轨迹模型10. 函数与方程的综合练习综合性的函数与方程问题函数与方程的实际应用题函数与方程的数学竞赛题七、教学方法1. 采用案例教学法，通过分析实际案例，引导学生理解和掌握函数与方程的性质和应用。

函数与方程教案教案：函数与方程一、教学目标：1. 知识与能力：（1）理解函数和方程的概念；（2）掌握函数和方程的基本性质；（3）能够根据实际问题建立函数和方程模型。

2. 过程与方法：（1）讲授与实例演示相结合的教学方法；（2）引导学生独立思考和探究，培养解决实际问题的能力。

3. 情感态度价值观：培养学生对数学知识的兴趣和热爱，提高解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 函数的概念：（1）函数的定义；（2）函数的图象和性质；（3）函数的自变量和因变量。

2. 函数相关的概念：（1）定义域和值域；（2）函数的增减性和奇偶性；（3）函数的图象与方程。

3. 方程的概念：（1）方程的定义；（2）方程的解；（3）实际问题转化为方程。

4. 方程的解法：（1）等式的加减消元法；（2）等式的乘除消元法；（3）方程的解集。

三、教学过程：1. 导入新知识：通过实例引出函数和方程的概念，并让学生思考函数和方程的联系与区别。

2. 讲解函数的定义：（1）讲解函数的定义和符号表示；（2）通过实例演示函数的图象和性质。

3. 探究函数的相关概念：（1）讲解函数的定义域和值域的概念，并通过实例计算；（2）引导学生思考函数的增减性和奇偶性。

4. 引入方程的概念：（1）讲解方程的定义和解的概念；（2）通过实例演示方程的解法。

5. 培养实际问题转化为方程的能力：通过实际问题实例，让学生学会将问题转化为方程，并通过解方程得到答案。

6. 强化训练：设计一定数量的练习题，让学生巩固所学内容，并检查学生的掌握程度。

7. 总结归纳：对本节课所学的内容进行总结和归纳，帮助学生理清思路，掌握学习要点。

四、教学评价：1. 观察学生对函数和方程的理解程度；2. 检查学生在实际问题中能否正确转化为方程；3. 分析学生的解题思路和解题能力；4. 对学生的作业进行批改和评价。

五、教学资源：1. 教材和课件；2. 实物、图片等辅助教具；3. 习题集和参考答案。

2010年高中高一数学讲学稿课题：函数与方程 (1)学习目标：能利用二次函数的图象和判别式的符号，判断一元二次方程的根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系。

学习重点、难点：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法。

【自主学习】1．概念辨析（1）函数的零点对于函数y=f(x),把_____________的实数x 叫做函数y=f(x)的零点.（2）方程、函数、图象之间的关系函数y=f(x)的零点是方程 ____________ 的实数根，是函数y=f(x)的图象与 x 轴交点的__________（3）函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间[],a b上的图象是一条 _________ 的曲线，且_________，那么，函数y=f(x)在区间(),a b上_________，即存在c∈(),a b,使得f(c)=0，这个c 也就是f(x)=0的根.2．初步运用（1）函数f(x)=2x-2x-3的零点是________.(2)函数f(x)=x2+x+3的零点个数是___________.(3)二次函数y=f(x)的图象与x轴交点坐标是（-2，0），（1，0），则f(4) f(-1)与0的大小关系是______________.（4）函数y=-2x-6x+k的图象的顶点在x轴上，则k=__________.(5)若函数y=2x+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是____________.典例精析：例1求函数f(x)= 3x-4x的零点练习1 求函数f(x)=x3+2x2-3x的零点例2 判断方程3x-x2=0 当x∈(-∞,0)时实数根的个数。

练习2 求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数例3已知关x于的二次方程x2+2mx+2m+1=0,若方程有两根，其中有一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。

变式：关于x的方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有一根大于1，另一根小于1，求实数m的取值范围。

教学目标：1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．教学重点：用二分法求方程的近似解；教学难点：二分法原理的理解．教学方法：讲授法与合作交流相结合．教学过程：一、问题情境1．情境：（1）复习函数零点的定义以及函数零点存在的条件；（2）给出函数f (x)＝lg x＋x－3存在零点的区间；2．问题：如何求方程lg x＝3－x的近似解？二、学生活动用二分法探求一元二次方程x2－2x－1＝0区间(2，3)上的根的近似值．三、建构数学1．对于区间[a，b]上连续不断，且f(a) f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：（1）确定f(a) f(b)＜0，从而确定零点存在的区间(a，b)；（2）求区间(a，b)的中点x1，并计算f(x1)；（3）判断零点范围：若f(x1)＝0，则x1就是函数f(x)的零点；若f(a) f(x1)＜0，则零点x1∈(a，x1)，令b＝x1，否则令a＝x1；（4）判断精确度：若区间两个端点的近似值相同（符合精确度要求），这个近似值即为所求，否则重复(2)～(4)．四、数学运用例1 求方程x2－2x－1＝0在区间(－1，0)上的近似解(精确到0.1)．例2 借助计算器用二分法求方程lg x＝3－x的近似解(精确到0.1)变式训练：利用计算器求方程2x＋x＝4的近似解(精确到0.1)．练习1．确定下列函数f (x)的零点与方程的根存在的区间(k，k＋1)(k∈Z)：（1）函数f (x)＝x3－3x－3有零点的区间是．（2）方程5x2－7x－1＝0正根所在的区间是．（3）方程5x2－7x－1＝0负根所在的区间是．（4）函数f (x)＝lg x＋x－3有零点的区间是．2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是．3．已知方程x3－3x－3＝0在实数范围内有且只有一个根，用二分法求根的近似解(精确到0.1)．五、要点归纳与方法小结1．二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．六、作业课本P79－1，2，3．。

第29课时函数与方程教学目标：使学生掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系，能运用数形结合、等价转化等数学思想.教学重点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学难点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学过程：Ⅰ.复习引入初中二次函数的图象及有关的问题Ⅱ.讲授新课问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之间有怎样的关系？我的思路：（1）当△＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设x1＜x2）对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个不等实根x1、x2；（2）当△＝b2－4ac＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个相等实根x0；（3）当△＝b2－4ac＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）没有实根．［例1］已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的取值范围．解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识．∵A＝［1，4］，A∪B＝A，∴B⊆A．若B＝φ，即x2－2ax＋a＋2＞0恒成立，则△＝4a2－4（a＋2）＜0，∴－1＜a＜2；若B≠φ，解法一：△＝4a2－4（a＋2）≥0，∴a≥2或a≤－1．∵方程x2－2ax＋a＋2＝0的两根为x1，2＝a±a2―a―2．则B＝{x|a－a2―a―2≤x≤a＋a2―a―2}，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2―a ―2 ≥1a ＋a 2―a ―2 ≤4 解之得2≤a ≤187 ，综合可知a ∈（－1，187］． 解法二：f （x ）＝x 2－2ax ＋a ＋2，如图知 ⎩⎨⎧△＝4a 2－4（a ＋2）≥0f （1）＝3－a ≥0f （4）＝－7a ＋18≥01≤a ≤4解之得2≤a ≤187 ，综上可知a ∈（－1，187］． ［例2］已知x 的不等式4x －x 2 ＞ax 的解区间是（0，2），求a 的值．解析：本题主要考查含参数无理不等式的解法，运用逆向思维解决问题．解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数y 1＝4x －x 2 和y 2＝ax 的图象．如下图所示，欲使解区间恰为（0，2），则直线y ＝ax 必过点（2，2），则a ＝1．解法二：∵0＜x ＜2，当a ≥0时，则4x －x 2＞a 2x 2．∴0＜x ＜41＋a 2 ，则41＋a 2＝2，∴a ＝1． 当a ＜0时，原不等式的解为（0，4），与题意不符，∴a ＜0舍去．综上知a ＝1．［例3］已知函数f （x ）＝x 2＋2bx 十c （c ＜b ＜1），f （1）＝0，且方程f （x ）＋1＝0有实根，（1）证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；（2）若m 是方程f （x ）＋1＝0的一个实根，判断f （m －4）的正负，并说明理由． 解析：（1）由f （1）＝0，则有b ＝－c ＋12 ，又因为c ＜b ＜1，消去b 解之得－3＜c ＜－13； ① 又方程f （x ）＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故△＝4b 2－4（c ＋1）≥0，消去b 解之得c ≥3或c ≤－1； ② 由①②可知，－3＜c ≤－1且b ≥0．（2）f （x ）＝x 2＋2bx ＋c ＝（x －c ）（x －1），f （m ）＝－1＜0，∴c ＜m ＜1， 从而c －4＜m －4＜－3＜c ，∴f （m －4）＝（m －4－c ）（m －4－1）＞0，即f （m －4）的符号为正．Ⅲ.课后作业1．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是（－∞，－12 ）∪（13，＋∞），求ab 的值 解析：方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12 、13， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧．＝－，＝－－61261aa b ∴⎩⎨⎧．＝－，＝－212b a ∴ab ＝24． 2．方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，求实数a 的取值范围．解析：方法一：利用韦达定理，设方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为x 1、x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．，＞－＋－，＞－－00)1()1(0)1)(1(2121x x x x 解之得2≤a ＜52 ． 方法二：利用二次函数图象的特征，设f （x ）＝x 2－2ax ＋4，则⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．＞，＞，10)1(0a f 解之得2≤a ＜52 ． 3．已知不等式ax 2－5x ＋b ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}，求不等式6x 2－5x ＋a ＞0的解集．解析：由题意，方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根为－3、－2，由韦达定理得⎩⎨⎧，＝－，＝－61b a 则所求不等式为6x 2－5x －1＞0，解之得x ＜－16或x ＞1． 4．关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧05)52(20222＜＋＋＋，＞－－k k x x x 的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围． 解析：不等式组可化为⎩⎨⎧0))(52(12＜＋＋＜－或＞k x x x x ， ∵x ＝－2，（如下图）∴（2x ＋5）（x ＋k ）＜0必为－25＜x ＜－k ，－2＜－k ≤3，得－3≤k ＜2．。

函数与方程第1课时【教学目标】1．让学生理解一元二次方程的根与二次函数的零点的关系，由此体会可以利用二次函数的图象讨论一元二次方程的解的情况．2．让学生在利用二次函数的图象讨论一元二次方程的解的情况的过程中．体会数形结合这一重要的数学思想【学习指导】高中数学中，函数与方程的思想是体现得比较多的数学思想方法，在高考中也是屡考不爽，已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，常常需要通过抛物线去考查函数的零点、顶点和函数值的正负等等，这是数形结合这一重要的数学思想的最好体现．本节重点有两个：一是会用二次函数图象讨论二次方程及二次函数的有关问题，二是会用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题．难点是能否画出符合题意的二次函数的图象．【例题精析】例1．求证：⑴作出二次函数322-+=x x y 的图象，观察图象分别指出x 取何值时，y=0 ? y<0? y>0?⑵ 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）之间有怎样的关系？例2．⑴关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；⑵关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[)4,0内，求m 的取值范围；⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围；⑷关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围；例3．已知关于x 的方程02=++c bx ax ，其中0632=++c b a ．⑴ 当a=0时，求方程的根；⑵ 当a>0时，求证：方程有一根在0和1之间．例4．若4288(2)50x a x a +--+>对任意实数x 均成立，求实数a 的取值范围．【当堂反馈】1．函数f (x )=x 2+4x +4在区间[-4,-1]上( )．A 、没有零点B ．有无数个零点C ．有两个零点D ．有一个零点2． 方程ln x +2x =6在区间上的根必定属于区间( )A ．(-2,1)B ．5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知f （x ）＝（x －a ）（x －b ）－2（a ＜b ），并且α、β是方程f （x ）＝0的两个根（α＜β），则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是（ ）A ．α＜a ＜b ＜βB ．a ＜α＜β＜bC ．a ＜α＜b ＜βD ．α＜a ＜β＜b4．不等式（a －2）x 2＋2（a －2）x －4＜0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（－∞，2）B ．(]2,2-C ．（－2，2）D ．（－∞，2）5．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x |x 2－2ax ＋a ＋2≤0，a ∈R}，若A B ＝A ，求a 的取值范围．6．已知函数2=+-+的图像与x轴的交点在原点的右侧，试确定实()(3)1f x kx k x数k的取值范围．7．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞b＞c），f（1）＝0，()=+．g x ax b（1）求证：两函数f（x）、g（x）的图象交于不同两点A、B；（2）求线段AB在x轴上射影长的取值范围．。

函数的零点【学习内容分析】本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定.函数的零点是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x 的值;从方程的角度看,即为相应方程f(x)=0的实数根，从函数的图象来看,函数的零点就是函数f(x)与x 轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，函数与其它知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的结合在一起.本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的角度，从函数与其它知识联系的角度来引入较为适宜.【学习目标】（1）能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.（2）了解函数零点与相应方程根的联系，掌握零点存在的判定条件.（3）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法.【学习重难点】重点：零点的概念及零点存在性判定.难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.【学习方法】问题是课堂教学的灵魂，以问题为主线贯穿始终，以学生为主体，以教师为主导，以能力发展为目标，精心设计引导性问题，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，动画等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式.【学习过程】（一）问题情境（1）画出函数322--=x x y 的图象,并写出图象与x 轴交点的横坐标. 注：通过学生熟悉的函数图象入手，让学生体会函数322--=x x y 图象与x 轴交点的横坐标和对应方程根的关系,建立初步的数形结合思想（课件展示函数图象）（2）画出二次函数322+-=x x y 与122+-=x x y 的图象,并写出图象与x 轴交点的横坐标.说明：通过两个小题让学生认识到当二次函数的图象在x 轴上方时，与之对应的方程无解，当二次函数的图象恰好与x 轴相切时，与之对应的方程有相等的实数根，建立初步的函数与方程的思想.提出二次函数零点的概念（我们把使二次函数的值为0的实数x 称为二次函数的零点）.（二）合作探究探究二次函数2(0)y ax bx c a =++>的零点、二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与一元二次方程20ax bx c ++=的实数根之间的关系？ ac b 42-=∆Δ>0 Δ=0 Δ<0方程)0(02>=++a c bx ax 的根)0(2>++=a c bx ax y 的图象)0(2>++=a c bx ax y 的零点说明：小组合作探究，由学生回答，教师对答案给予鼓励性的评价.通过完成以上问题,让学生体会从具体函数与相应方程根的关系到一般函数与相应方程根的关系.如果学生有困难，教师可给予引导,结合二次函数的图象,推广到一般函数零点的定义.（三）意义建构函数零点的概念：我们把使函数()y f x =的值为0的实数x 称为函数()y f x =的零点（zeropoint ）.注：（1）零点不是点，而是一个实数.（2）等价关系函数y=f(x)的零点⇔方程f(x)=0实数根（数）⇔函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标（形）.有了上述的关系，就可用函数的观点看待方程，方程()0f x =的根即为函数()y f x =的零点，可以把解方程的问题转化为思考函数图象与x 轴交点的问题.这正是函数与方程思想的基础.（四）新知运用例1求下列函数的零点,并画出下列函数的简图.①21y x =- ②244y x x =-+ ③1y x= ④2log y x = （教师用展示台展示学生的作图，指出优缺点）通过画简图，了解图象的变化形式，要注意体现零点性质的应用，为下面学习根的存在条件奠定基础.例2 求证二次函数122--=x x y 有两个不同的零点.思路分析：可让学生充分讨论例2的解法，发展学生的发散性思维，第一，从数的角度，将函数问题转化方程问题，体现“函数与方程”思想.第二，从形的角度，利用几何画板演示，观察函数图象与x 轴交点的个数.证明：设12)(2--=x x x f ,则 f(1)=－2<0.因为它的图象是一条开口向上的抛物线（不间断），故图象一定穿过x 轴， 所以函数的图象与x 轴有两个不同的交点.因此，二次函数12)(2--=x x x f 有两个不同的零点. 从上面的解答知道，此函数有两个零点，分别是21,2121-=+=x x . 教师进一步给出以下两个问题引导学生给出函数零点存在性的判定方法（1）你能说明此函数在哪个区间上存在零点211+=x ,和212-=x 吗？（2）如何判断一个函数在区间(,)a b 上是否存在零点？让学生自己思考、发言得到结论，教师整理后得到函数零点的存在性定理. 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条不间断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.计算f(a)、f(b)f(a)f(b)<0 是 否函数在(a ，b)上存 在 零 点 函数在(a ，b)上 不一定存在零点教师给出这个结论，组织学生对下面问题进行讨论.通过问题讨论，升华对零点存在性判定的理解.（1）若f(a)·f(b)<0,函数y ＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？（2）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?（3）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？（4）在什么条件下，函数y ＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？（5）如果0x 是二次函数y ＝f(x)的零点，且b x a <<0，那么f(a)·f(b)<0一定成立吗？为了帮助大家更好体会该结论，我们把它设计成流程图说明：设置流程图，既直观、清晰，又为学生将来学习算法奠定基础.算法的特殊表示符号，学生不知道，师生共同完成即可.例3求证 函数32()1f x x x =++在区间(－2，－1)上存在零点.说明: 学生完成过程中，教师进行巡视，展台展示优秀作品及步骤有问题者，达到纠正错误及解题规范化的目的.（五）归纳总结说明:这个环节,学生主动总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识进行系统整理，为后面函数零点的应用奠定基础.（六）反馈练习(1)函数f(x)＝2x 2－5x ＋2的零点是 ；(2)二次函数y ＝2x 2＋px ＋15的一个零点是－3，则另一个零点是 ；(3)若函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围 ；(4)在二次函数c bx ax y ++=2中，ac<0,则其零点的个数为 ； 说明:本环节用时5分钟,考完后小组互换,立即批改.发现问题立即纠正,再通过课后作业加以巩固，对做的好的及时给予表扬.（七）作业布置 已知2()23f x x x a =---，问a 为何值时分别满足下列条件①有2个零点;②3个零点;③4个零点.【学习反思】前苏联数学家斯托利亚说过:“积极的教学应是数学活动(思维活动)的教学，而不是数学活动的结束—数学知识的教学.”反思“函数的零点”的课堂教学，本人觉得类似这样的数学概念、原理的教学，教学设计应特别重视“过程性”，教学过程应特别强调“参与性”，要让学生“参与”到教学过程中去.唯有学生的过程参与，才能较好地激发其主动性，确立其主体地位.吸引学生“参与”，关键招数之一是对教材进行“问题化”处理，用问题去引领学生探究.学生“参与”到教学过程中来，就是要参与知识建构、参与思维训练、参与方法提炼.本课中，围绕教学目标知识生成的过程，设计了若干问题，以问题为中心，以学生为主体，让他们亲身经历，体验函数的零点知识的建构过程，函数零点存在性结论的探求，体现了本节课设计的基本理念:过程性、问题性和主体性.。

函数与方程 学案重难点：理解根据二次函数的图象与x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概念，对“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解；通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识．考纲要求：①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．经典例题：研究方程|x2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数．当堂练习：1．如果抛物线f(x)= x2+bx+c 的图象与x 轴交于两点(-1,0)和(3,0),则f(x)>0的解集是（ ）A ． (-1,3)B ．[-1,3]C ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞D ． (,1][3,)-∞-⋃+∞2．已知f(x)=1-(x-a)(x-b)，并且m ，n 是方程f(x)=0的两根，则实数a,b,m,n 的大小关系可能是（ ）A ． m<a<b<nB ．a<m<n<bC ．a<m<b<nD ．m<a<n<b3．对于任意k ∈［－1,1］,函数f(x)=x2+(k －4)x －2k+4的值恒大于零，则x 的取值范围是A ．x<0B ．x>4C ．x<1或x>3D ．x<14． 设方程2x+2x=10的根为β,则β∈（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．如果把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似的看作直线的一段，设a ≤c ≤b ，那么f(c)的近似值可表示为（ ）A ．1[()()]2f a f b + B ． C.f(a)+[()()]c a f b f a b a --- D.f(a)－[()()]c af b f a b a ---6．关于x 的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m 的取值范围是 ．7． 当a 时，关于x 的一元二次方程 x2+4x+2a-12=0两个根在区间[-3,0]中．8．若关于x 的方程4x+a ·2x+4=0有实数解，则实数a 的取值范围是___________．9．设x1,x2 分别是log2x=4-x 和2x+x=4的实根,则x1+x2= ．10．已知32()f x x bx cx d =+++,在下列说法中：(1)若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内有且只有一根；(2) 若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至少有一根；(3) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内一定没有根；(4) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至多有一根； 其中正确的命题题号是 ．11．关于x 的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m 的取值范围．12．已知二次函数f(x)=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,*a N ∈．（1）求函数f(x)的图象与x 轴相交所截得的弦长；（2） 若a 依次取1,2,3,4,---,n,时, 函数f(x)的图象与x 轴相交所截得n 条弦长分别为123,,,,n l l l l 求123n l l l l ++++的值．13． 已知二次函数2()(),,,f x ax bx c g x bx a b c R =++=-∈和一次函数其中且满足,a b c >>(1)0f =．（1）证明：函数()()f x g x 与的图象交于不同的两点A ，B ；（2）若函数()()()[2,3]F x f x g x =-在上的最小值为9，最大值为21，试求b a ,的值；（3）求线段AB 在x 轴上的射影A1B1的长的取值范围．14．讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数．。

函数与方程教案一、引言函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是解决数学问题的基本工具。

在教学中，如何生动有效地向学生介绍函数与方程的概念，引导学生理解和掌握相关的知识和技能，是每位教师都需要思考和解决的问题。

本教案旨在通过设计合理的教学活动，帮助学生全面理解函数与方程的概念，提高他们解决实际问题的能力。

二、教学目标1. 知识目标- 掌握函数与方程的基本概念和相关术语。

- 了解函数与方程在数学和实际生活中的应用。

- 理解函数与方程之间的关系。

2. 能力目标- 能够识别并解释函数与方程的特征。

- 能够应用函数与方程解决实际问题。

- 能够运用函数与方程的知识进行分析和推理。

三、教学重点和难点1. 教学重点- 函数与方程的概念和特征。

- 函数与方程的应用。

2. 教学难点- 帮助学生理解函数与方程之间的关系。

- 引导学生解决实际问题时能够正确运用函数与方程的知识。

四、教学准备1. 教师准备- 准备教学课件和教具。

- 复习函数与方程的相关知识。

2. 学生准备- 准备教学所需的教材和笔记。

- 复习与函数与方程相关的知识。

五、教学过程本教案将采用探究式教学的方法，让学生通过实际操作和思考，主动发现函数与方程的规律和应用。

具体教学过程如下：1. 概念引入- 利用实例引导学生思考：什么是函数？什么是方程？它们有什么区别和联系？- 定义函数与方程的概念，并让学生进行归纳整理。

2. 特征分析- 设计一组数据，让学生观察并分析其中的规律。

- 引导学生发现函数和方程的特征，如自变量、因变量、线性函数、非线性函数等。

3. 应用探究- 提供一些实际问题，让学生运用函数与方程的知识解决。

- 引导学生分析问题的关键词，确定函数与方程的表达式，并进行计算。

4. 总结归纳- 引导学生总结函数与方程的定义、特征和应用。

- 提供一些练习题，巩固学生对函数与方程的理解。

六、教学评价1. 自我评价- 教师观察学生的参与程度和思维能力。

- 教师记录学生在课堂上的表现和反馈，并做好评价记录。

函数与方程教案苏教版必修一、教学目标1. 理解函数与方程的概念，掌握它们之间的关系。

2. 学会解一元一次方程、一元二次方程、不等式等简单方程。

3. 能够运用函数与方程的知识解决实际问题。

二、教学内容1. 函数与方程的定义2. 一元一次方程的解法3. 一元二次方程的解法4. 不等式的解法5. 函数与方程的应用三、教学重点与难点1. 重点：函数与方程的概念、解法及应用。

2. 难点：函数与方程之间的关系，解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数与方程的基本概念、解法及应用。

2. 利用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用函数与方程的知识解决问题。

3. 运用讨论法，让学生在课堂上互相交流、探讨，提高学生的合作能力。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数与方程的重要性。

2. 新课讲解：讲解函数与方程的定义，分析它们之间的关系。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用函数与方程的知识解决问题。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固函数与方程的知识。

六、教学评价1. 评价内容：学生对函数与方程的概念、解法及应用的掌握程度。

2. 评价方法：课堂提问、作业批改、课后访谈等。

3. 评价指标：（1）能够正确理解函数与方程的定义；（2）掌握一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法；（3）能够运用函数与方程的知识解决实际问题；七、教学反思1. 反思内容：教学方法、教学内容、教学过程等。

2. 反思方法：教师自我评价、学生反馈、同行评价等。

3. 反思措施：（1）根据学生反馈，调整教学方法，提高教学效果；（2）根据学生掌握情况，适当调整教学内容，加强难点讲解；（3）注重课堂互动，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。

八、教学资源1. 教材：苏教版必修《数学》2. 辅助资料：教学课件、练习题、案例分析资料等。

函数与方程教案苏教版必修一、教学目标：1. 理解函数与方程之间的关系，掌握函数的定义及性质。

2. 学会解一元一次方程、一元二次方程、不等式等基本方程。

3. 能够运用函数与方程解决实际问题，提高解决问题的能力。

二、教学内容：1. 函数的定义及性质2. 一元一次方程的解法3. 一元二次方程的解法4. 不等式的解法5. 函数与方程的实际应用三、教学重点与难点：1. 重点：函数的定义及性质，一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法。

2. 难点：函数与方程之间的联系及应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数与方程的基本概念、解法及实际应用。

2. 利用案例分析，让学生在实际问题中体会函数与方程的重要性。

3. 运用练习法，巩固所学知识，提高解题能力。

五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的实例，引导学生认识函数与方程的重要性。

2. 讲解函数的定义及性质：结合图形，讲解函数的定义，引导学生理解函数的性质。

3. 讲解一元一次方程的解法：引导学生掌握解一元一次方程的方法，如加减法、乘除法等。

4. 讲解一元二次方程的解法：引导学生掌握解一元二次方程的方法，如因式分解、公式法等。

5. 讲解不等式的解法：引导学生掌握解不等式的方法，如同解变形、图像法等。

6. 实践练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。

7. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用函数与方程解决问题。

六、教学评估：1. 通过课堂问答、练习批改等方式，了解学生对函数与方程基本概念的理解程度。

2. 评估学生在解决实际问题时的能力，检查他们能否灵活运用函数与方程知识。

3. 定期进行小型测验，检查学生的学习进度和掌握情况。

七、教学资源：1. 教材：苏教版《数学》必修教材。

2. 教辅：相关练习册、参考书。

3. 网络资源：数学教育网站、在线教学平台。

4. 图形计算器：用于展示函数图像和方程解的图形。

八、教学进度安排：1. 第一周：函数的定义及性质。

2. 第二周：一元一次方程的解法。

关系？结论：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x) 的图象与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点 ⑤ 练习：求下列函数的零点244y x x =-+；243y x x =-+ → 小结：二次函数零点情况2、教学零点存在性定理及应用：① 探究：作出243y x x =-+的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观察f(2)和f(0)的符号②观察下面函数()y f x =的图象，在区间[],a b 上______(有/无)零点；()f a ·()f b _____0（＜或＞），在区间[],b c 上______(有/无)零点；()f b ·()f c _____0（＜或＞），在区间[],c d 上______(有/无)零点；()f c ·()f d _____0（＜或＞)．③定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b ）内有零点，即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根.④ 应用：求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数。

（试讨论一些函数值→分别用代数法、几何法）⑤小结：函数零点的求法代数法：求方程()0f x =的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．⑥ 练习：求函数23x y =-的零点所在区间.3、小结：零点概念；零点、与x 轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理三、巩固练习：2. 求函数3222y x x x =--+的零点所在区间，并画出它的大致图象.3. 求下列函数的零点：（1）254y x x =--；（2）2(1)(31)y x x x =--+；（3）220y x x =-++；（4）22()(2)(32)f x x x x =--+.4．已知2()2(1)421f x m x mx m =+++-：（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m 的值．()0f b<，则令（或b）；否则重复步骤。

函数与方程 教学目标：（一）知识目标：1、掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系；2、理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系；3、掌握零点存在的判定条件，利用零点作函数的图像。

（二）能力目标：1、通过对二次函数与二次方程两者之间联系的理解，培养学生运用数形结合思想的能力；2、通过本节课的学习，培养学生的抽象概括能力。

（三）情感目标：1、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，激发学生学习的兴趣；2、通过对零点的概念的概括，让学生体会到成功的乐趣。

重点难点：重难点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题；零点的确定难点：培养学生的抽象概括能力教学方法：自主学习、思考、交流、讨论和概括教学过程：（一） 新课引入：1、 提出问题：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象有什么关系？2、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：①方程0322=--x x 与函数322--=x x y )0(>∆②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y )0(=∆③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y )0(<∆学生分别画出三个函数的图像：322--=x x y 122+-=x x y 322+-=x x y3、分析当)0(>a 时二次方程的实数根与二次函数图象和x 轴交点坐标之间的关系。

推广到一般的一元二次方程情形如何？ （二） 新课探究：1、函数零点的概念：使函数))((D x x f y ∈=的值为0的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈= 的零点（zeropoint ）。

2、提问：方程的根、函数的零点、函数的图像与x 轴交点横坐标之间的关系如何？结论：函数零点的意义：方程0)(=x f 的根⇔函数)(x f y =的零点，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、如何求函数)(x f y =的零点？①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察刚刚画出的二次函数32)(2--=x x x f 的图象：1）在区间]1,2[-上有零点___；=-)2(f _，=)1(f _,则)2(-f ·)1(f ___0（＜或＞＝）．2）在区间]4,2[上有零点___；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象1) 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）． 2)在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）． 3)在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）． 5、①由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？（怎样断定函数在某给定区间上是否存在零点？）②分析函数在区间端点上的函数值的符号情况 结论：零点存在定理：若函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条不间断的曲线，且0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间),(b a 上有零点。

2.5.1函数的零点教学目标：1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系．2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题．3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识．教学重点：函数零点存在性的判断．教学难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用．教学方法：在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务．尝试指导与自主学习相结合．教学过程：一、问题情境1．情境：在第2.3.1节中，我们利用对数求出了方程0.84x＝0.5的近似解；2．问题：利用函数的图象能求出方程0.84x＝0.5的近似解吗？二、学生活动1．如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点(－2，0)（1）k 0，b 0；（2）方程kx＋b＝0的解是；（3）不等式kx＋b＜0的解集；2．如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(－3，0)方向向下，试画出图象，并根据图象填空：（1）方程ax2＋bx＋c＝0的解是；（2）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 ；ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为 ． 三、建构数学1．函数y ＝f (x )零点的定义；2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象之间关系：3．函数零点存在的条件：函数y ＝f (x)在区间[a ，b]上不间断， 且f (a)•f (b)＜0，则函数y ＝f (x)在区间(a ，b)上有零点． 四、数学运用例1 函数y ＝f (x )(x [－5，3])的图象如图所示 ，根据图象，写出函数f (x )的零点及不等式f (x )＞0与f (x )＜0的解集．例2 求证：二次函数y ＝2x 2＋3x －7有两个不同的零点． 例3 判断函数f (x )＝x 2－2x －1在区间(2，3)上是否存在零点？ 例4 求证：函数f (x )＝x 3＋x 2＋1在区间(－2，－1)上存在零点． 练习：（1）函数f(x)＝2x2－5x ＋2的零点是_______ ．（2）若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是___________； （3）二次函数y ＝2x 2＋px ＋15的一个零点是－3，则另一个零点是 ； （4）已知函数f (x )＝x 3－3x ＋3在R 上有且只有一个零点，且该零点在区间[t ，t＋1]上，则实数t＝___ __．五、要点归纳与方法小结1．函数零点的概念、求法．2．函数与方程的相互转化，即转化思想；以及数形结合思想．六、作业课本P81－习题1，2．。

第三十二课时函数与方程小结与复习【学习导航】学习要求1．了解函数的零点与方程根的关系；2．根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；3．体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式．自学评价1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标．2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．【精典范例】例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点， （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的零点；（3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系．分析：可设函数解析式为2y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ．【解】（1）设函数解析式为2y ax bx c =++，听课随笔由85937c a b c a b c =-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得128a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2()28f x x x =+-． （2）令()0f x =得2x =或4-， ∴零点是122,4x x ==-． （3） (2)(4)0f f =，(1)(3)97630f f -=-⨯=-<，(5)(1)350f f -=-<，(3)(6)1120f f -=>．点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <．例2：利用计算器，求方程2670x x -+=的近似解（精确到0.1）．分析一：可先找出方程的根所在的一个区间，再用二分法求解． 解法一：设2()67f x x x =-+，通过观察函数的草图得：(1)20f =>，(2)10f =-<，∴方程2670x x -+=有一根在(1,2)内，设为1x ， ∵(1.5)0.250f =>，∴11.52x <<， 又∵ 1.52()(1.75)0.437502f f +==-<，∴11.5 1.75x <<，如此继续下去，得 1(1)0,(2)0(1,2)f f x ><⇒∈， 1(1.5)0,(2)0(1.5,2)f f x ><⇒∈， 1(1.5)0,(1.75)0(1.5,1.75)f f x ><⇒∈1(1.5)0,(1.625)0(1.5,1.625)f f x ><⇒∈(1.5625)0,(1.625)0f f <>1(1.5625,1.625)x ⇒∈∵1.5625,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程2670x x -+=的一个近似值都为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似值为4.4．点评：解题过程中要始终抓住重点：区间两端点的函数值必须异号． 分析二：还可以用方程近似解的另一种方法——“迭代法”来求解．解法二：将原方程写成276x x += ①取12x =代入等式右边得2111.8333336x =≈，再将2x 代入方程①右边，得3 1.72685x ≈，…… 1.58583，∴该方程的近似解如此循环计算数十次后，可得计算结果稳定在为1.58583，精确到0.1后为1.6．用同样的方法可以求出方程的另一个近似解为4.4．点评：“迭代法”也是一种常用的求近似解的方法．例3：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围． 分析：的交点为1(,0)3，符合题意； 【解】（1）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴（2）0k ≠时，(0)1f =，它与x 轴的两交点分别在原0k <时，()f x 的图象是开口向下的抛物线，点的两侧；必须2(3)40302k k k k⎧∆=--≥⎪⎨-->⎪⎩，0k >时，()f x 的图象是开口向上的抛物线，解得01k <≤综上可得k 的取值范围为(,1]-∞.追踪训练一1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x轴交点横坐标为 （ D ））A.1B.0C.2或0D. 2 2．已知01a <<则方程0log =+x a a x 的解的个数是（ A ）A.1B. 2C.3D. 不确定听课随笔3．直线23+=kx y 与曲线22y y x --+0=只有一个公共点，则k 的值为（ A A. 0，41,21- B. 0，41- C. 41,21- D. 0，41,21-4．函数265y x x =-+与x 根为 1或5 ．5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)113k ≥. 6．已知函数()2x f x a =-过点(1,0)()f x x =的解为 1.7- ．7．求方程22850x x -+=的近似解答案：3.2和0.88．判断方程2(22)25x a x a -+++2a >）在区间(1,3)内是否有解．答案：有解．。

2.5 函数与方程二、 预习指导1. 预习目标(1)学会用函数图象的交点解释方程的根的意义；能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系． (2)能够借助计算器用二分法求方程的近似解，理解这种方法的实质． (3)体验并理解函数与方程的相互转化，体会数形结合的思想方法．2. 预习提纲(1) 阅读教材§2.5.1和典型例题之例1、例2，初步理解零点的概念，学会用函数图象的交点解释方程的根的意义．(2)阅读典型例题之例3～例5及拓展视野部分，学习如何利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．(3)阅读教材§2.5.2和典型例题之例6～例8，学习如何借助计算器用二分法求方程的近似解，及如何应用零点的定义求参数的范围． (4) 尝试完成自我检测1～6. 3. 典型例题(1)零点的存在性问题例1 判断下列函数的零点个数：(1) 2(2)3y x x =-+；(2) 21()y x mx m R =-+∈．分析：利用函数的零点与方程根的联系，可以借助对应二次方程的判别式来判断二次函数零点的个数．解：(1) 考察二次方程2(2)30x x -+=，即22430x x -+=，16320∆=-<，所以方程无实根，该二次函数没有零点．(2) 考察二次方程210()x mx m R -+=∈，24m ∆=-，当22m m <->或时，0∆>，方程有两个不等实根，因此函数有两个零点；当2m =±时，0∆=，方程有两个相等实根，因此函数有一个零点；当22m -<<时，0∆<，方程无实根，因此函数没有零点.点评：判断二次函数在R 上的零点个数关键看二次方程的判别式∆的符号，当0∆>，0∆=，0∆<时分别对应于函数有两个零点，一个零点，无零点． 例2 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1) 2()318f x x x =--，[18]x ∈，；(2) 2()42f x x x =-+，[04]x ∈，；(3) 3()1f x x x =--，[12]x ∈-，；(4) 2()log (2)f x x x =+-，[13]x ∈，． 分析：利用零点存在性定理或函数图象进行判断．解：(1) 方法一：∵(1)200f =-<，(8)220f =>，∴(1)(8)0f f ⋅<，故2()318f x x x =--，[18]x ∈，存在零点． 方法二：解方程23180x x --=，得3x =-或6， ∴函数2()318f x x x =--，[18]x ∈，存在一个零点．(2)方法一：解方程2420x x -+=，得2x =2+∴函数2()42f x x x =-+，[04]x ∈，存在两个零点． 方法二：函数2()42f x x x =-+的图象是开口向上的抛物线(不间断曲线)，对称轴 为2x =，且(2)20f =-<，画出函数的图象，由图可知， 2()42f x x x =-+，[04]x ∈，存在两个零点．方法三：∵(0)20f =>，(2)20f =-<，(4)20f =>∴(0)(2)0f f ⋅<，且(2)(4)0f f ⋅<，故2()42f x x x =-+，在(02)，和(24)，上各有一个零点，从而在[04]，上共存在两个零点． (3) ∵(1)10f -=-<，(2)50f =>，∴(1)(2)0f f ⋅<，故3()1f x x x =--，[12]x ∈-，存在零点． (4)∵2(1)log 310f =->，2(3)log 530f =-<，∴(1)(3)0f f ⋅<，故2()log (2)f x x x =+-，[13]x ∈，存在零点． 点评：判断函数的零点存在性问题常用的方法有三种，一是利用零点存在性定理，二是直接解方程，三是利用函数图象(数形结合)． (2)二次函数的零点问题例3 已知函数2()221f x x mx m =+++有两个零点，其中一个在区间(1,0)-内，另一个在区间(1,2)内，求m 的取值范围.分析：由于函数()y f x =含有字母参数m ，且要求零点在两个具体的确定区间上，所以利用判别式或解方程的方法解题均不够理想，故利用图象法．根据题意画出示意图，分析区间端点处函数值的正负即可解决该题.解：由题意，画出示意图可得：(1)20,(0)210,(1)420,(2)650,f f m f m f m ⎧-=>⎪=+<⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩解得5162m -<<-.点评：对于不能直接解方程，或一下子不容易寻找到函数值异号的两端点时，可以利用函数的图象和性质寻找零点．例4 (1) 函数()22(3)214f x x m x m =++++有两个零点，且一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围.(2) 关于x 的方程22(3)2140mx m x m ++++=有两实根且一根大于4，一根小于4，求实数m 的取值范围.分析：利用根与系数的关系或利用函数图象、数形结合法解决.解：(1) 方法一：设方程22(3)2140x m x m ++++=的两根分别是12,x x ，依题意，只需满足()()12110x x --<，即()121210x x x x -++<，由根与系数的关系可得：(214)2(3)0m m +++<，即214m <-. 方法二：由于图象开口向上，故依题意，只需()10f <，即12(3)2140m m ++++<，即214m <-. (2) 令()22(3)214g x mx m x m =++++，依题意，0m =时显然不可能，0m ≠时，根据图象可得()()004040m m g g ><⎧⎧⎪⎪⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩或，解得19013m -<<. 点评：此类方程根的分布问题通常有两种解法：一是方程思想利用根与系数的关系，二是函数思想构造二次函数利用其图象分析，从而求解，本题⑵中没有用方程思想的原因是较为复杂，本题体现了函数与方程思想、数形结合思想的具体应用.例 5 已知a 是大于零的实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果方程()0f x =在区间(11)-，上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.解：方程2()2230f x ax x a =+--=在(11)-，上有两个不同的实数根，结合图象有，48(3)0(1)0(1)01112a a f f a ∆=++>⎧⎪->⎪⎪>⎨⎪⎪-<-<⎪⎩解得：5a >． 所以实数a 的取值范围是5a >.点评：利用函数图象、数形结合法时，常要同时考虑图象开口、判别式符号、区间两端点处的函数值符号及对称轴位置等四个方面． (3)用二分法求函数的零点近似值例6 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防汛指挥部的电话线路发生了故障.这是一条长10km 的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10km 长大约有200多根电线杆.想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？分析：对于生活中一些故障排查等问题，可以利用二分法的思想来处理，其过程比较省时． 解：可利用二分法的原理进行查找.设闸门和指挥部所在处为点A 、B ，他首先从中点C 处查，向两端测试，若AC 段正常，断定故障在BC 段，再到BC 中点D ，发现BD 正常，可见故障在CD ，再到CD 中点E 处查看，这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为一半，故经过7次查找，就可以将故障发生的范围缩小到50m-100m 左右，即在一两根电线杆附近.点评：数学源于生活，又应用于生活．二分法的原理在日常生活中应用比较广泛，只要用心观察就能体察到它的效用.例7 用二分法求方程32330x x +-=的一个近似解，精确到0.1．分析：求方程的近似解，即求相应函数的近似零点，可先确定零点所在的大致区间(从一个两端函数值异号的区间开始)，应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间.解：设3()233f x x x =+-，经计算，(0)30f =-<，(1)20f =>，所以函数()f x 在(01)，内存在零点，即方程32330x x +-=在(01)，内有解.取(01)，的中点0.5，经计算(0.5)0f <，又(1)0f >，所以方程32330x x +-=在(0.51)，内有解.如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：可以看出，方程的根落在区间(0.7343750.7421875)，内，所以0.7是方程32330x x +-=精确到0.1的一个近似解.点评：当区间两端点按精确要求所取近似值相等时，两端点的近似值就是方程的一个近似解. (4)函数零点的综合应用例8 若函数2()|4|f x x x a =-+有4个零点，求实数a 的取值范围．分析：构造两个函数2()|4|g x x x =-和()h x a =-，分别作出图象，利用数形结合法求解．解：函数2()|4|f x x x a =-+有4个零点，即方程2()|4|0f x x x a =-+=有四个根，即2|4|x x a -=-有四个根．令2()|4|g x x x =-，()h x a =-．作出()g x 的图象(如图所示)，由图可知，要使2|4|x x a -=-有四个根，即要使()g x 和()h x 的图象有四个交 点．故需满足04a <-<，即40a -<<．∴实数a 的取值范围为(40)-，． 点评：此类方程根的分布问题，通常有两种解法．一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解，二是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合法求解．此类题目也体现了函数与方程、数形结合的思想． 4. 自我检测(1)若方程240x mx ++=有两个不相等的实数根，则函数24y x mx =++的图象与x 轴的交点个数为 ．(2)方程325xx +=的根应为函数_____________与x 轴交点的横坐标.(3)在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为____________． (4)函数4()f x x x=-的零点为____________．(5)函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是( ) ． A ．()2,1-- B ．()1,0- C ．()0,1 D ．()1,2(6)已知函数2()(0)f x x x a a =++<在(0,1)上有零点，实数a 的取值范围是____________. 三、 课后巩固练习A 组1．已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：函数()f x 在区间________________________上有零点.2．若函数()f x 的图象是连续不断的，且f (0)>0，f (1)f (2)f (4)<0，则下列说法中一定正确的序号为______.①函数f (x)在区间(0，1)内有零点 ②函数f (x)在区间(1，2)内有零点 ③函数f (x)在区间(0，2)内有零点 ④函数f (x)在区间(0，4)内有零点 3．求下列函数的零点：(1)2()264f x x x =-+； (2)2()3||4f x x x =+-；(3)223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩； (4)2()34()f x x nx n R =-+∈ .4．(1)二次函数2()f x ax bx c =++中，0a c ⋅<，则函数的零点个数是____ __. (2)函数1()xf x e x=-的零点个数为___________. (3)方程12x x +=根的个数为_______.(4)函数()32441f x x x x =-+-的零点是_________.(5)若函数()()0f x ax b b =-≠有一个零点3,那么函数()23g x bx ax =+的零点是___________.5．若()f x 的图象关于y 轴对称，且()0f x =有三个零点，则这三个零点之和等于_____. 6．设二次函数2()f x ax bx c =++，若1212()()()f x f x x x =≠，则12()f x x +=_______.7．(1)函数()e 2xf x x =+-的零点所在的一个区间是( )．A ．(-2，-1)B ．(-1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)(2)若0x 是方程131()2xx =的解，则0x 属于区间( ) ．A ．2(,1)3B ．12(,)23C.．11(,)32 D ．1(0,)38．(1)如果关于x 的方程2410mx x ++=有两个实数根，则实数m 的取值范围 是 ．(2)若函数22()2(1)(2)f x x a x b =---+只有一个零点．则20073ab += ．(3)关于x 的方程22(1)(2)0x a x a +-+-=的一个根比1大，另一根比1小，求实数a 的取值范围．(4)关于x 的方程2350x x a -+=的一个根大于-2而小于0，另一个根大于1而小于3， 求实数a 取值范围．(5)若220x ax ++=的两根都小于-1，求实数a 的取值范围．(6)关于x 的方程2320x mx m -+=的两根均在[-1，1]之间，求实数m 的取值范围． 9．判断函数2()(21)3()f x ax a x a R =+--∈零点的个数．10．(1)关于x 的方程2(22)2x a -=+有实数根，则实数a 的取值范围为____________. (2)已知关于x 的方程11()21lg xa=-有正根，求实数a 的取值范围.B 组11．(1)方程2x=x 2的解的个数是____________．(2)若函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时，()f x x =，则3l o g ()0x f x -=的实根有____________个． 12．方程()2log 42xx +=的根的情况是________.①仅有一根 ②有两个正根③有一个正根和一个负根 ④有两个负根13．若12x x 、为方程1112()2xx -+=的两个实数解，则12x x +=____________．14．已知()()()2()f x x a x b a b =---<，它的两个零点是,()αβαβ<，则实数,,,a b αβ的大小关系为________.15．若方程310x x -+=在区间(1)a a +，(a ∈Z )上有一根，求a 的值.16．已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围.17．已知函数1)(2+-=bx ax x f ，(1)是否存在实数b a ,，使0)(>x f 的解集为(3，4)？若存在，求出实数b a ,的值；若不存在，说明理由．(2)若a 为整数，2+=a b ，且函数)(x f 在)1,2(--上恰有一个零点，求a 的值．C 组18．已知12x x 、分别是实系数一元二次方程20ax bx c ++=和20ax bx c -++=的一个根，且12120,0x x x x ≠≠≠，．求证：202a x bx c ++=方程有且仅有一个根介于12x x 和之间． 19．若关于x 的方程294380xxa a a ⋅+⋅+-=在[1,1]x ∈-上有解，求实数a 的取值范围 ． 20．已知函数2()1xx f x a x -=++()1a >， (1)证明：()f x 在()1,-+∞上为增函数； (2)证明：()0f x =没有负数根．四、 学习心得五、 拓展视野一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在区间()m n ，上的零点问题一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在区间()m n ，上的零点问题，又称为一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的实根分布问题，常利用函数的图象和性质，融合图象开口、判别式符号、区间两端点处的函数值符号及对称轴位置等四个方面的情况进行分析，数形结合加以解决．根据零点存在性定理，并结合一元二次函数函数图象(抛物线)的特点，可以得到以下结论：(1)2()(0)f x ax bx c a =++≠在区间()m n ， 上有且只有一个零点(,m n 不是()f x 的零点⇔()()0f m f n <(如下图所示)；(2) 2()(0)f x ax bx c a =++>在区间()m n ，上有两个不相等的零点 ⇔0()0()02f m f n b m n a ∆>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎪>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎨>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪<-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎩①②③④；说明：上面结论中的①、②、③、④四个条件缺一不可，若分别少了条件①、②、③、④结论不成立，其反例分别如下图：(3) 2()(0)f x ax bx c a =++<在区间()m n ，上有两个不相等的零点 ⇔0()0()02f m f n b m n a ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩； 说明：(2)、(3)可以统一为：2()(0)f x ax bx c a =++≠在区间()m n ，上有两个不相等的零点⇔0()0()02a f m a f n b m n a ∆>⎧⎪⋅>⎪⎪⋅>⎨⎪⎪<-<⎪⎩．例 (1) 已知关于x 的方程22(1)(2)0x m x m +-+-=有一根大于1，一根小于1-，则实数m 的取值范围为 ．(2) 若函数2()32f x mx x m =-+至少有一个正零点，则实数m 的取值范围是 ．(3) 若函数2()32f x mx x m=-+在[11]-，上有零点，则实数m 的取值范围是 _．分析:借助函数的图象，根据上面的有关结论加以解决．要注意区分不同类型．还要注意讨论二次项系数是否为零，否则会遗漏一次函数的情形．解：(1) 记22()(1)(2)f x x m x m =+-+-，方程()0f x =有一根大于1，一根小于1-⇔函数()f x 在区间(1)-∞-，和(1)+∞，上各有一个零点．结合 图象(如右图所示)，可得22(1)0(1)20f m m f m m ⎧-=-<⎨=+-<⎩，解得(20)m ∈-，.(2) 函数()f x 至少有一个值为正的零点⇔方程()0f x =至少有一个正实数解． 当0m =时，()30f x x =-=仅有一个实数解为0．∴0m =不合题意． 当0m ≠时，函数()f x 为一元二次函数．(0)20f m =≠．① 若方程()0f x =有且仅有一个正的实数解，则(0)0mf <，解得m 无解． ② 若方程()0f x =有两个正的实数解，则结合图象(如右图所示)，可得290(0)20302m f m m⎧⎪∆=-⎪=>⎨⎪⎪>⎩8≥，解得04m <≤．综上可得，当04m <≤时，函数()f x 至少有一个值为正的零点． (3) 函数()f x 在[11]-，上有零点⇔方程()0f x =在[11]-，上有实数解． 当0m =时，方程()30f x x =-=的解为0，在[11]-，上．∴0m =时，符合题意． 当0m ≠时，()f x 为一元二次函数，且(1)33f m -=+，(1)33f m =-．① 若(1)0f -=，得1m =-，此时方程()(1)(2)0f x x x =-++=有两根2-和1-，而1[11]-∈-，，2[11]-∉-，，∴1m =-时，()f x 在[11]-，上有零点1-． ② 若(1)0f =，得1m =，此时方程()(1)(2)0f x x x =--=有两根1和2，而1[11]∈-，，2[11]∉-，，∴1m =时，()f x 在[11]-，上有零点1． ③ 若(1)(1)0f f -⋅≠，即1m ≠±，则函数()f x 在(11)-，上有零点． ⇔(1)(1)0m f m f ⋅-⋅⋅<，或2903112(1)0(1)0m m m f m f ⎧∆=-⎪⎪-<<⎪⎨⎪⋅->⎪⋅>⎪⎩8≥ ⇔2(33)(33)0m m m +-<，或2903112(33)0(33)0m m m m m m ⎧∆=-⎪⎪-<<⎪⎨⎪+>⎪->⎪⎩8≥ ⇔10m -<<，或01m <<，或4433220110m m m m m m m ⎧-⎪⎪⎪><-⎨⎪><-⎪⎪><⎩≤≤，或，或，或 ⇔10m -<<，或01m <<，或m 无解．综上①②③得，当10m -<≤，或01m <≤时，函数2()32f x mx x m =-+在[11]-，上有零点． 综上可得，当11m -≤≤时，函数2()32f x mx x m =-+在[11]-，上有零点． 点评：(1) 一元二次方程的实根分布问题的解题步骤：① 看开口，求对称轴，画草图；②计算区间端点处的函数值()f m 和()f n ，并分别讨论()0f m =和()0f n =的情况；③ 当()()0f m f n ⋅≠时，结合图象，列出满足题意的不等式组，并解之．(2) 由于题⑵和题⑶中情况比较复杂，需要分类讨论加以解决，其实我们也可以按照“正难则反”的思维原则，先考察其反面情形，再取其补集．2.6 函数模型及其应用 述实际问题的价值，感受函数是描二、 预习指导1. 预习目标(1)结合大量的实例，体验一次函数、正(反)比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．(2)了解利用数学方法处理实际问题的一般步骤，能根据实际问题的情境建立函数模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的答案．(3)能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，培养自己数学地观察世界、感受世界，数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力．2. 预习提纲(1)阅读教材§2.6，了解利用数学方法处理实际问题的一般步骤．(2)阅读典型例题之例1～例7，体验函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用，学习如何根据实际问题的情境建立相应的函数模型，感受如何数学地分析问题、探索问题、解决问题．(3)阅读拓展视野部分及教材§2.6后的链接部分(数据拟合)与探究案例(钢琴与指数曲线)，进一步学习如何合理的选择函数模型，理解数据拟合是对事物发展规律进行估计的一种方法，学会根据条件借助现代计算工具解决一些简单的实际问题．(4)尝试完成自我检测1～5.3. 典型例题(1)一次函数模型的应用例1 某市一家报刊摊点，从报社进一种报纸的价格是每份0.20元，零售价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退给报社.在一个月(以30天计算)中，有20天每天可以售出400份报纸，其余10天每天只能售出250份 ，但每天从报社买进的份数必须相同.若摊主每天从报社买进x (250≤x ≤400)份，写出这个摊主这个月所获利润y(元)关于x 的函数表达式；这个摊主每天从报社进多少份该报纸，才能使每月所获利润最大？分析：由于一个月内有10天售出的份数与另外20天售出的份数不同，因而所获利润要分两段计算，而每天进多少份使利润最大则需结合函数的单调性分析．解：设每天从报社买进x (250400,x x N ≤≤∈)份，则每月共可销售2010250x +⨯份，每份可获利润0.10元；退回报社10(250)x -份，每份亏损0.15元，则依题意，得()0.10(2010250)0.1510(250)f x x x =+⨯-⨯-0.5625x =+[]250400x ∈，，函数()f x 在[]250,400上单调递增，400x =时，max ()825f x =(元)．答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元． 点评：解决实际问题的关键是仔细审题，弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题加以解决．(2)二次函数模型的应用例2 某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a 万元(a 为正常数)，现在决定从中分流x 万人去加强第三产业，分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x ﹪(0<x <100),而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a 万元，在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？分析：保证第二产业的产值不减少是约束条件，使该市第二、三产业的总产值增加最多是追求目标．解：分流出x 万人，为保证第二产业的产值不减少，必须满足()()10012%x a x -⋅⋅+100a ≥，因为a >0，x >0，可解得050x <≤．设该市第二、三产业的总产值增加()f x 万万元，则()()()10012% 1.2100f x x a x ax a =-⋅⋅++-＝()20.025560.5a x a --+，(]0,50x ∈且()f x 在(]0,50上单调递增，∴当x =50时，max ()60f x a =．答：在保证第二产值不减少的情况下，分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总 产值增加最多.点评：二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是一定要注意自变量的取值范围，利用二次函数配方法，通过对称轴与单调性求解是这一类函数的基本方法．(3)指数函数模型的应用例3 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？分析：按复利计算利息的储蓄，本质上是增长率问题．可以一期一期地推求．解：已知本金为a 元，1期后的本利和为：1(1)y a ar a r =+=+．2期后的本利和为：22(1)(1)(1)y a r a r r a r =+++=+．3期后的本利和为：33222(1)(1)y y y r y r a r =+=+=+．由此推导，得x 期后的本利和为：(1)x y a r =+．将1000a =， 2.25%r =，5x =代入上式，由计算器算得1117.68y =元．答：复利计算下本利和y 随存期x 变化的函数式为(1)x y a r =+，5期后的本利和是1117.68元．点评：复利计息问题的实质是指数函数模型应用，单利计息问题为定义在整数集上的一次函数模型，解题时要加以区分．(4)幂函数模型的应用例4 1999年10月12日为“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增加的紧迫任务摆在我们的面前．(1) 世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2) 我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？分析：增长率是指数函数与幂函数问题，利用已知条件，列出函数模型． 解：(1) 设每年人口平均增长率为x ，n 年前的人口数为y ，则()160n y x ⋅+=．由题意，当n=40时，y=30，即()4030160x ⋅+=，()4012x ∴+=，两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，则lg 2lg(1)0.00752340x +==，1 1.017x +≈,的x =1.7%． (2) 依题意，()1012.4811%y ≤+，得lg lg 12.4810lg 1.0y ≤+⨯ 1.1392=，13.78y ∴≤，故人口至多有13.78亿．答：每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.点评：此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型(1)xy N p =+(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型(1)n y a x =+(其中a 为基础数， x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意已知表格中给定的值对应求解．(5)对数函数模型例5 测量地震级别的里氏是地震强度(即地震释放的能量)的常用对数值，显然级别越高，地震强度也越高．如日本1923年地震是8.9级，旧金山1906年地震是8.3级，1989年地震是7.1级，试计算一下日本1923年地震强度是8.3级的几倍？是7.1级的几倍？(参考数据lg 20.3=)分析：根据题意知，地震级别的里氏与地震强度之间满足对数关系，可以根据地震级别求出地震强度，也可将地震强度的比转化为对数进行运算．解：用x 、y 、z 分别表示8.9级、8.3级、7.1级地震的地震强度，则题意知，lg 8.9x =，lg 8.3y =，lg 7.1z =．由于lglg lg 0.62lg 2lg 4x x y y =-===，∴4x y =．由于6lg lg lg 1.86lg 2lg 2lg 64x x y z =-====，∴64x z=． 答：日本1923年地震强度是8.3级的4倍，是7.1级的64倍．点评：地震级别每提高一点时，其强度就可能提高好多倍，其带来的灾害影响就会特别严重．(6)“(0)a y x a x=+>”型函数模型 例6 已知按A 设计方案，建造一栋房子的造价是由地面部分和基础部分两部分造价组成，若建造一栋面积为M 的房子，地面部分的造价1Q K ＝，基础部分的造价M K P 2=(其中21,K K 为正实数)，又知按A 设计方案建造一栋面积为16002m 的住房，共造价是176.8万元，且地面部分的造价是基础部分的36％．现要按A 设计方案，建造总面积为400002m 的住房若干栋，试问：建造多少栋可使其总造价最少？分析：根据题设条件，要先求出1K 、2K ，再建立总造价与栋数间的函数模型．解：由题意，面积为M 的一栋房子造价为1y K K =由12176.8K K ⋅＝，136%K K ⋅=解得1117160000K =，2134K =．设建造n 栋房子，可使总造价最低，则nM 40000=． ∴面积为M 的一栋房子造价为 11740000131600004y n =⨯=+，总造价W n y=⋅=．考察函数9()(0)f x x x x =+>的单调性可得， ()f x 在(03]，上单调递减，在[3)+∞，上单调递增，∴当3x =时，()f x 取得最小值(3)6f =．∴W n y=⋅=3=，即9n =时最小． 答：建造9栋可使其总造价最少．点评：对于形如(00)b y ax a b x=+>>，型的函数模型问题的解决常利用函数的单调性解决(在后续的学习中，也会采用基本不等式处理)，但要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(7)分段函数模型的应用例7 医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线(OA 为线段，AB 为某二次函数图象(抛物线)的一部分，O 为原点，B 为抛物线的顶点)．(1) 写出服药后y 与t 之间的函数关系式()y f t =；(2) 据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于49微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病的有效时间是多少？分析：图中的两段曲线分别是一次函数和二次函数的图象的一部分，可以用待定系数法分别求出．解：(1) ∵线段OA 为经过(00)O ，，(14)A ，，∴OA 段函数关系式4y t =，01t ≤≤．∵AB 段为二次函数图象(抛物线)的一部分，且(50)B ，为抛物线的顶点．∴可设对应的二次函数为2(5)y a t =-，又抛物线过(14)A ，，∴14a =．∴AB 段的函数关系式为21(5)4y t =-，15t <≤． ∴服药后y 与t 的函数关系式为2401()1(5)154t t y f t t t ⎧⎪==⎨-<⎪⎩，≤≤，≤． (2) 当01t ≤≤时，449t ≥，得119t ≤≤，当15t <≤时，214(5)49t -≥， 得191133t t ≥，或≤，有1113t <≤，11193t ∴≤≤，11132399∴-=. 答：服药一次治疗疾病有效的时间为329小时． 点评：分段函数是实际应用问题中经常遇到的一种函数，不同范围的自变量所遵循的规律不同，对应的函数解析式也就不一样，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律(函数解析式)分别找出来，再将其合到一起．求解时要注意各段自变量的范围，特别是端点值.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不漏不重．4. 自我检测(1)某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为2个)，则经过3个小时，该细菌由1个可繁殖成________个．(2)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：()3002tM t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t时，铯137的含量的变化率是2ln 10-(太贝克/年)，则()=60M ________．(3)小丽的家与学校的距离为0d 千米，她从家到学校先以匀速1v 跑步前进，后以匀速2v(21v v <)走完余下的路程，共用0t 小时，下列能大致表示小丽距学校的距离y (千米) 与离家时间t (小时)之间的关系的图象是 ．(填写对应图象的编号)(4)里氏震级M 的计算公式为：0l g l g M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍．三、 课后巩固练习：A 组1．已知某工厂生产某种产品产量y 与月份x 满足关系(0.5)x y a b =+，现已知该厂今年1 月，2月生产该产品分别为1万件，1.5万件，则该厂3月份产品的数量为______万件.2．某社区所属电脑中心向居民低价开放,设有如下两种月收费方案可供选择：若某居民每月上网时间为30小时,则从较为省钱的角度他应选择的方案是_________.3.中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税大幅度下降.若进口一辆汽 车2001年售价为30万元，七年后(2008年)售价为y 万元，每年下调率平均为%x ，那么y 和x 的函数关系为_______________.4.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元. 又已知总收入K 是单位产品数Q 的函数，()214020K Q Q Q =-，则总利润L (Q )的最大值 是________.5.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效应应该是产品的销售额 与广告费之间的差，如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查显 示：若付出100元的广告费，所得的销售额是1000元，为获得最大的广告效应，则该企业 应该投入的广告费为多少元？6.为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)。