必修一《函数与方程》

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.1.1函数及其表示方法学习目标：（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。

【重点】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.【难点】1、求函数的定义域和值域回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。

【情境与问题】（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。

医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。

高中数学必修一函数与方程知识点总结函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

从本质上讲，函数与方程没是没有什么区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。

可以说，函数的研究离不开方程。

列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

典型例题1：很多时候，在高考数学学习中，如果我们能实现函数与方程的互相转化、接轨，就能达到解决问题的目的。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了联系和变化的辩证唯物主义观点。

一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。

对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。

另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

典型例题2：典型例题3：函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。

我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答。

函数与方程【学习目标】(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.【要点梳理】要点一：函数的零点 1.函数的零点（1）一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则a 叫做这个函数的零点. 要点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标； ③函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根．④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点）． 归纳：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． （2）二次函数的零点二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表.（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<． ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的． （2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系（1）设x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ＞0）的两实根，则x 1、x 2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：①当x 1＜x 2＜k 时，有0()02f k b k a ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪-<⎩；②当k ＜x 1＜x 2时，有0()02f k b k a⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪->⎩；③当x 1＜k ＜x 2时，()0f k <；④当x 1，x 2∈（k 1，k 2）时，有12120()0()02f k f k b k k a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩；⑤当x 1、x 2有且仅有一个在（k 1，k 2）时，有12()()0f k f k <．要点诠释：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布．（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2．①2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪>>⇔+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩；②2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪<<+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩；③1200cx x a<<⇔<； ④x 1=0，x 2＞0⇔c=0，且0b a <；x 1＜0，x 2=0⇔c=0，且0ba>． 要点三：二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==；③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==； ……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根．【经典例题】类型一、求函数的零点例1．已知函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-． （1）解方程(x+3)(x+1)(x ―2)=0；（2）画出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象（简图），并求出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点；（3）讨论函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-在零点两侧的函数值的正负． 【解析】（1）方程有三个根x 1=―3，x 2=―1，x 3=2．（2）函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象如右图，零点为―3，―1，2．（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x ―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x ―2=0，所以x=―3或x=―1或x=2；（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；（3）在x 轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x 轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．举一反三：【变式1】已知函数()()()1()f x x a x b a b =--+<，且m ，n 是方程()0f x =的两个根（m ＜n ），则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（ ）A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．m ＜a ＜n ＜bD ．a ＜m ＜b ＜n 【答案】 B【解析】由函数()()()1f x x a x b =--+，我们可以看到a 、b 为()()()g x x a x b =--的零点，且()()1f a f b ==0()()f n f m >==，如右图，则应有a ＜m ＜n ＜b ，故选B ．例2. 求下列函数的零点. (1)()32f x x =-； (2)()41f x x =-.【答案】（1）23；（2）-1，1． 【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根. (1)由()320f x x =-=得23x =，所以函数的零点是23； (2)由()()()()421111f x x x x x =-=++-，令()0f x =得x=1，-1，故函数的零点是-1，1. 【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式1】求函数：(1)223y x x =--+；(2)376y x x =-+的零点.【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2． 【解析】(1)由求根公式解得121, 3.x x ==- (2)方程3760x x -+=可化为()()()()()()()()()()322661611161161230x x x x x x x x x x x x x x x x --+=---=+---=-+-=--+= 由()()()1230x x x --+=知1233,1, 2.x x x =-==所以函数223y x x =--+的零点为-3，1；函数376y x x =-+的零点为-3，1，2.【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.类型二、函数零点的存在性定理例3．已知函数2()3xf x x =-，问：方程()0f x =在区间[]1,0-内有没有实数根？为什么？【答案】没有实数根【解析】先求出(1)f -及(0)f 的值，进而确定(1)f -和(0)f 的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定()f x 在[]1,0-上有实数根．122(1)3(1)03f --=--=-<，02(0)3010,f =-=>且函数2()3xf x x =-的图象是连续曲线，()f x ∴在区间[]1,0-内有实数根【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程()0f x =在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程()0f x =在区间[],a b 内有实数根，不一定有()()0f a f b ⋅<．举一反三：【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点： （1）[]2()318,1,8;f x x x x =--∈（2）[]3()1,1,2f x x x x =--∈-；【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在． 【解析】（1）(1)200,(8)220,f f =-<=>(1)(8)0f f ∴⋅<故2()318f x x x =--在[]1,8上存在零点．（2）(1)10,(2)50,f f -=-<=>(1)(2)0,f f ∴-⋅<故3()1f x x x =--在区间[]1,2-上存在零点．【课程：函数与方程377543 例3】【变式2】若函数3()31,[1,1]f x x x x =+-∈-，则下列判断正确的是（ ） A ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定有解 B ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定无解 C ．函数f （x ）是奇函数 D ．函数f （x ）是偶函数【答案】A类型三、一元二次方程根的分布例4． 已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0．（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求m 的取值范围．（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m 的取值范围．【答案】（1）5162m -<<-；（2）112m -<≤ 【解析】 （1）条件说明函数2221y x mx m =+++的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，(1)20(0)210(1)420(2)650f f m f m f m -=>⎧⎪=+<⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩，∴121256m Rm m m ∈⎧⎪⎪<-⎪⎪⎨<-⎪⎪⎪>-⎪⎩．∴5162m -<<-． （2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有(0)0(1)0001f f m >⎧⎪>⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎩．∴12121110m m m m m ⎧>-⎪⎪⎪>-⎨⎪≥≤-⎪⎪-<<⎩或．∴112m -<≤ 【点评】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．举一反三：【变式1】 关于x 的方程ax 2―2(a+1)x+a ―1=0，求a 为何值时：（1）方程有一根；（2）方程有一正一负根； （3）方程两根都大于1；（4）方程有一根大于1，一根小于1．【答案】（1）0a =或13a =-（2）01a <<（3）不存在实数a （4）0a > 【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x ―1=0，即12x =-，符合题意； 当0a ≠时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以1240a ∆=+=，解得13a =-．综上可知，当0a =或13a =-时，关于x 的方程ax 2―2(a+1)x+a ―1=0有一根．（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得10a a-<．又1240,a ∆=+>解得01a <<．（3）方程两根都大于1，图象大致如图 所以必须满足0,0,2(1)1,2(1)0.a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,2(1)1,2(1)0.a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩两不等式组均无解． 所以不存在实数a ，使方程两根都大于1．（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图 所以必须满足0,(1)0a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0a f <⎧⎨>⎩解得0a >．类型四、用二分法求函数的零点的近似值例5.求函数()32236f x x x x =+--的一个正数零点(精确到0.1). 【答案】1.7【解析】由于()()160,240f f =-<=>，可取区间[]1,2作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.【总结升华】应首先判断x 的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.举一反三：【课程：函数与方程377543 例4】【变式1】若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值 用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【变式2】用二分法求函数()25f x x =-的一个正零点（精确到0.01） 【答案】2.24【解析】⑴由()()21, 2.5 1.25f f =-=，()()2 2.50f f <可知函数的一个正零点在[]2,2.5区间中； ⑵取[]2,2.5的区间中点2.25；⑶计算()2.25 5.062550.0625f =-=；⑷由于()()2 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2,2.25 ⑸取[]2,2.25的区间中点2.125；⑹计算()2.125 4.49442550.505575f =-=-；⑺由于()()2.125 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.125,2.25； ⑻取[]2.125,2.25的区间中点2.1875；⑼计算()2.1875 4.785156350.248437f =-=-；⑽由于()()2.1875 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.1875,2.25； ⑾取[]2.1875,2.25的区间中点2.21375；⑿计算()2.21375 4.90068950.099311f =-=-；⒀由于()()2.21375 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.21375,2.25； ⒁取[]2.21375,2.25的区间中点2.231875⒂计算()2.231875 4.98126650.018734f =-=-；⒃由于()()2.231875 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.231875,2.25； ⒄取[]2.231875,2.25的区间中点2.2409375； ⒅计算()2.2409375 5.02208150.022081f =-=； ⒆由于()()2.231875 2.24093750f f <，⒇由于()()2.23640625 2.24093750f f <，则有零点的新区间为[]2.236406255,2.2409375；又因为零点要求精确到0.01，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数()25f x x =-的一个正零点为：2.24.类型五、用二分法解决实际问题例6.某电脑公司生产A 种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A 种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．（1）求2010年每台电脑的生产成本；（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）【答案】 （1）3200；（2）11% 【解析】 （1）设2010年每台电脑的生产成本为P 元，根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200（元）．故2010年每台电脑的生产成本为3200元．（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x ，根据题意，得5000(1－x)4=3200（0＜x ＜14精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使用 观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x 0．取区间（0.1，0.15）的中点x 1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x 0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x 2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x 0∈(0.1，0.1125)．同理可得，x 0∈(0.1，0.10625)，x 0∈(0.103125，0.10625)，x 0∈(0.104687，0.10625)，x 0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．举一反三：【变式1】 如右图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．（1）求出盒子的体积y （cm 3）以x （cm ）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；（2）如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少？（精确到0.1 cm ）【答案】（1）y=x(15－2x)2 0＜x ＜7.5 （2）0.8 cm 或4.7 cm【解析】（1）由题意，盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式y=x(15－2x)2，其定义域为01520x x >⎧⎨->⎩，即0＜x ＜7.5． （2）原问题可转化为当y=150时，求方程x(15―2x)2=150的近似解．设g(x)=x(15―2x)2―150，由于g(0)·g(1)＜0且g(4)·g(5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为 4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm 或4.7 cm ．。

高一必修一数学第三单元函数与方程练习
在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有惟一的零点x0,且在(1,x0)上f(x)&lt;0,在(x0,+∞)上f(x)&gt;0,故选B. 答案:B
二?填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式a?f(-2x)&gt;0的解集是________.
解析:由于f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,即方程
x2+ax+b=0的两个根是-2和3,因此 ,因此f(x)=x2-x-6,所以不等式a?f(-2x)&gt;0即-(4x2+2x-6)&gt;0,即
2x2+x-3&lt;0,解集为{x|-?
答案:{x|-?
8.(应用题,易)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量不同),现在只有一台天平,请问:你最多称________次就可以发现这枚假币?
答案:4
9.方程xlg(x+2)=1有________个不同的实数根.
解析:由题意知x≠0,∵xlg(x+2)=1,∴lg(x+2)= ,画出
y=lg(x+2),y= 的图象(图略),两个函数图象的交点个数即为方程根的个数,由图象知在第一象限和第三象限各有一个交点,故方程有2个不等实数根.
答案:2。

高中必修一数学教案《函数与方程、不等式之间的关系》教材分析函数是中学数学的核心概念，函数的零点是函数的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机地联系在一起。

本节课是在学生学习了函数的性质，数形结合的知识，了解方程的根与函数零点之间的关系的基础上，结合函数图象和性质，判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，以及函数与方程的综合应用，如知道零点求参数范围等问题。

学情分析学生在初中已经分别学习了一元二次函数的相关知识及其图象，同时也熟练地掌握了求解一元二次方程的方法，但是学生对它们以及不等式之间的关系还没有深刻的理解，在学生的头脑中，函数、方程、不等式都是模糊的。

通过这节课的学习，能让学生真正地体会数学内容之间的关联性和互化性，知道可以用函数解决相关的数学问题，重点提升学生数学抽象、直观想象和数学运算素养。

教学目标1、明确本节课的研究对象，从特殊函数入手，引导学生学会探究数学问题的方法，帮助学生理清函数与方程、不等式之间的关系。

2、掌握函数零点的概念和性质，熟练掌握应用函数解一元二次不等式和求零点的一元高次不等式的方法。

3、渗透数形结合、分类讨论、从特殊到一般、函数与方程等数学思想方法。

教学重点1、理解零点的概念与性质。

2、应用函数解不等式的步骤与方法。

教学难点函数与方程、不等式之间的关系。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、导入已知函数f（x）= x - 1，我们知道，这个函数的定义域为x∈R，而且可以求出，方程f（x）= 0的解集为 {1}，不等式f（x）＞0的解集为{1，+∞}，不等式f（x）＜0的解集为{-∞，1）。

在图3-2-1中作出函数f（x）= x-1的图象，总结上述方程，不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系。

二、新知由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合。

具体来说，假设函数f（x）的定义域为D，若A = {x∈D | f（x）＜0}B = {x∈D | f（x）= 0}C = {x∈D | f（x）＜0}显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D = A∪B∪C。

函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。

一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。

特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。

函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。