2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第九章 9 第8讲 曲线与方程 含解析

2019年4月[基础达标]1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12详细分析：选C.由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34.2．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△F AB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2yC ．x 2＝yD ．x 2＝22y 详细分析：选A.由题意得，F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫p ，－p 2，B (－p ，－p 2)，所以S △F AB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A.3．(2019·丽水调研)已知等边△ABF 的顶点F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，顶点B 在抛物线的准线l 上且AB ⊥l ，则点A 的位置( )A ．在C 开口内B ．在C 上 C ．在C 开口外D ．与p 值有关详细分析：选B.设B ⎝⎛⎭⎫－p 2，m ，由已知有AB 中点的横坐标为p2，则A ⎝⎛⎭⎫3p 2，m ，△ABF 是边长|AB |＝2p 的等边三角形，即|AF |＝⎝⎛⎭⎫3p 2－p 22＋m 2＝2p ，所以p 2＋m 2＝4p 2，所以m＝±3p ，所以A ⎝⎛⎭⎫3p2，±3p ，代入y 2＝2px 中，得点A 在抛物线C 上，故选B. 4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|2详细分析：选C.根据抛物线的定义知|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，所以|FP 1|＋|FP 3|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 3＋p 2＝(x 1＋x 3)＋p ＝2x 2＋p ＝2⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝2|FP 2|.5. 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8详细分析：选C.F (1，0)，直线AF ：y ＝3(x －1)，代入y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0， 解得x ＝3或x ＝13.由于点A 在x 轴上方且直线的斜率为3，所以其坐标为(3，23)．因为|AF |＝|AK |＝3＋1＝4，AF 的斜率为3，即倾斜角为60°，所以∠KAF ＝60°， 所以△AKF 为等边三角形， 所以△AKF 的面积为34×42＝4 3. 6．(2019·杭州市高考模拟)设倾斜角为α的直线l 经过抛物线Г：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线Г交于A ，B 两点，设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方．若|AF ||BF |＝m ，则cos α的值为( )A ．m －1m ＋1B ．m m ＋1C ．m －1mD ．2m m ＋1详细分析：选A.设抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为l ：x ＝－p2.如图所示，分别过点A ，B 作AM ⊥l ，BN ⊥l ，垂足分别为M ，N . 在三角形ABC 中，∠BAC 等于直线AB 的倾斜角α，由|AF ||BF |＝m ，|AF |＝m |BF |，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(m ＋1)|BF |， 根据抛物线的定义得：|AM |＝|AF |＝m |BF |，|BN |＝|BF |， 所以|AC |＝|AM |－|MC |＝m |BF |－|BF |＝(m －1)|BF |，在直角三角形ABC 中，cos α＝cos ∠BAC ＝|AC ||AB |＝（m －1）|BF |（m ＋1）|BF |＝m －1m ＋1，故选A.7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为________．详细分析：设M (x M ，y M )，由抛物线定义可得|MF |＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y M x M －p 2＝±3pp ＝±3.答案：±38．已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○·M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．详细分析：将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4. 答案：12或49．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________． 详细分析：由题意得抛物线与圆不相交， 且圆的圆心为A (3，0)， 则|PQ |≥|P A |－|AQ |＝|P A |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号， 所以当|P A |取得最小值时，|PQ |最小． 设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|P A |＝（x 0－3）2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝⎛⎭⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|P A |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1.答案：112－1 10．(2019·浙江省名校协作体高三联考)抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点(4，4)，焦点为F .(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程；(2)P 是抛物线上一动点，M 是PF 的中点，求M 的轨迹方程．解：(1)抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点(4，4)，设抛物线解+析式为y 2＝2px ，把(4，4)代入，得16＝2×4p ，所以p ＝2，所以抛物线标准方程为y 2＝4x ，焦点坐标为F (1，0)．(2)设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，F (1，0)，M 是PF 的中点，则x 0＋1＝2x ，0＋y 0＝2y ， 所以x 0＝2x －1，y 0＝2y ，因为P 是抛物线上一动点，所以y 20＝4x 0，所以(2y )2＝4(2x －1)，化简得y 2＝2x －1. 所以M 的轨迹方程为y 2＝2x －1.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k F A ＝43，因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.[能力提升]1．(2019·台州书生中学月考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线l 的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) A ．33B ．1C ．233D ．2详细分析：选A.过A 、B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，连接AF 、BF ，由抛物线的定义知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)，在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos 120°＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |.所以⎝⎛⎭⎫|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号，所以|MN ||AB |的最大值为33.2．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3C ．1728D ．10详细分析：选B.设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)， 则S △AFO ＝12×14x 1＝18x 1.由OA →·OB →＝2得x 1x 2－x 1x 2＝2， 即x 1x 2－x 1x 2－2＝0，解得x 1x 2＝4，所以(|OA →|·|OB →|)2＝(x 21＋x 1)(x 22＋x 2)＝x 21x 22＋x 1x 2·(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝20＋4(x 1＋x 2)， 因为cos ∠AOB ＝OA →·OB→|OA →||OB →|，所以sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB＝1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫OA →·OB →|OA →||OB →|2.所以S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB＝12|OA →||OB →|1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫OA →·OB →|OA →||OB →|2＝12 （|OA →||OB →|）2－（OA →·OB →）2 ＝1216＋4（x 1＋x 2）＝4＋（x 1＋x 2）＝x 1＋4＋4x 1＝x 1＋2x 1，所以S △ABO ＋S △AFO ＝98x 1＋2x 1≥298x 1·2x 1＝3，当98x 1＝2x 1，即x 1＝169时等号成立． 3．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b)，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝________．详细分析：依题知C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎫a2＋b ，b ，因为点C ，F 在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝p （a ＋2b ），两式相除得⎝⎛⎭⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a＝1－2(舍)．答案：1＋ 2 4．(2019·台州市高考模拟)如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线与抛物线及其准线分别交于A ，B ，C 三点，若FC →＝4FB →，则|AB →|＝________．详细分析：分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则DF ＝p ＝2，由抛物线的定义可知FB ＝BB 1，AF ＝AA 1，因为FC →＝4FB →，所以DF BB 1＝FC BC ＝43，所以FB ＝BB 1＝32.所以FC ＝4FB ＝6， 所以cos ∠DFC ＝DF FC ＝13，所以cos ∠A 1AC ＝AA 1AC ＝AF AF ＋6＝13，解得AF ＝3，所以AB ＝AF ＋BF ＝3＋32＝92.答案：925．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点． (1)当|PF |＝2时，求点P 的坐标；(2)求点P 到直线y ＝x －10的距离的最小值．解：(1)由抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点， 故设P ⎝⎛⎭⎫a ，a24(a ＞0)，因为|PF |＝2，结合抛物线的定义得a 24＋1＝2，所以a ＝2，所以点P 的坐标为(2，1)． (2)设点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫a ，a24(a ＞0)， 则点P 到直线y ＝x －10的距离为⎪⎪⎪⎪a －a 24－102＝⎪⎪⎪⎪a 24－a ＋102.因为a 24－a ＋10＝14(a －2)2＋9，所以当a ＝2时，a 24－a ＋10取得最小值9，故点P 到直线y ＝x －10的距离的最小值为922.6．(2019·杭州宁波二市三校联考)已知A ，B ，C 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上三个不同的点，且AB ⊥AC .(1)若A (1，2)，B (4，－4)，求点C 的坐标；(2)若抛物线上存在点D ，使得线段AD 总被直线BC 平分，求点A 的坐标． 解：(1)因为A (1，2)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .设C ⎝⎛⎭⎫t24，t ，则由k AB ·k AC ＝－1，即－4－24－1·t －2t 24－1＝－1，解得t ＝6，即C (9，6)． (2)设A (x 0，y 0)，B ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，C ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2，则y 20＝2px 0， 直线BC 的方程为y －y 1y 2－y 1＝x －y 212p y 222p －y 212p ，即(y 1＋y 2)y ＝2px ＋y 1y 2，由k AB ·k AC ＝y 1－y 0y 212p －y 202p ·y 2－y 0y 222p －y 202p ＝－1，得y 0(y 1＋y 2)＋y 1y 2＋y 20＝－4p 2，与直线BC 的方程联立，化简，得(y 1＋y 2)(y ＋y 0)＝2p (x －2p －x 0)， 故直线BC 恒过点E (x 0＋2p ，－y 0)．因此直线AE 的方程为y ＝－y 0p (x －x 0)＋y 0，代入抛物线的方程y 2＝2px (p ＞0)，得点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p （x 0＋p ）2y 20，－2p （x 0＋p ）y 0. 因为线段AD 总被直线BC 平分， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2（x 0＋2p ）＝x 0＋2p （x 0＋p ）2y 20，－2y 0＝y 0－2p （x 0＋p ）y 0，解得x 0＝p2，y 0＝±p ，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p2，±p .。

[基础题组练]1.将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC ︵长为2π3，A 1B 1︵长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．则异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选B.以O 为坐标原点建系如图，则A (0，1，0)，A 1(0，1，1)，B 1⎝⎛⎭⎫32，12，1，C⎝⎛⎭⎫32，－12，0. 所以AA 1→＝(0，0，1)，B 1C →＝(0，－1，－1)， 所以cos 〈AA 1→，B 1C →〉＝AA 1→·B 1C →|AA 1→||B 1C →|＝0×0＋0×（－1）＋1×（－1）1×02＋（－1）2＋（－1）2＝－22，所以〈AA 1→，B 1C →〉＝3π4，所以异面直线B 1C 与AA 1所成的角为π4.故选B.2．如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝13AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为( )A.33535B.277C.33D.24解析：选A.如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0，3，1)，D 1(0，0，1)，E (1，1，0)，C (0，3，0)，所以DC 1→＝(0，3，1)，D 1E →＝(1，1，－1)，D 1C →＝(0，3，－1)．设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E →＝0，n ·D 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝3y ，取y ＝1，得n ＝(2，1，3)．因为cos 〈DC 1→，n 〉＝DC 1→·n |DC 1→|·|n |＝（0，3，1）·（2，1，3）10×14＝33535，所以DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为33535，故选A.3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22解析：选B.以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0，1，0)， 所以A 1D →＝(0，1，－1)， A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D →＝0，n 1·A 1E →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．又平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.4．如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为________．解析：设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B 1(0，3，2)，F (1，0，1)， E ⎝⎛⎭⎫12，32，0，G (0，0，2)， B 1F →＝(1，－3，－1)，EF →＝⎝⎛⎭⎫12，－32，1，GF →＝(1，0，－1)．设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧EF →·n ＝0，GF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －32y ＋z ＝0，x －z ＝0，取x ＝1，则z ＝1，y ＝3，故n ＝(1，3，1)为平面GEF 的一个法向量， 所以|cos 〈n ，B 1F →〉|＝|1－3－1|5×5＝35，所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为35.答案：355．如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．解：(1)证明：如图，连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF . 在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1. 由∠ABC ＝120°， 可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ， 所以Rt △EAB ≌Rt △ECB ，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322. 从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ， 所以EG ⊥平面AFC . 因为EG ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面AFC .(2)如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →|为单位长度，建立空间直角坐标系G -xyz .由(1)可得A (0，－3，0)，E (1，0，2)， F ⎝⎛⎭⎫－1，0，22，C (0，3，0)， 所以AE →＝(1，3，2)，CF →＝⎝⎛⎭⎫－1，－3，22.故|cos 〈AE →，CF →〉|＝|AE →·CF →||AE →||CF →|＝33.所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33. 6．(2019·南宁模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝3，PM ＝2MD ，AN ＝2NB ，∠DAB ＝60°.(1)求证：直线AM ∥平面PNC ； (2)求二面角D -PC -N 的余弦值．解：(1)证明：如图，在PC 上取一点F ，使PF ＝2FC ，连接MF ，NF ，因为PM ＝2MD ，AN ＝2NB ，PF ＝2FC ，所以MF ∥DC ，MF ＝23DC ，AN ∥DC ，AN ＝23AB ＝23DC ，所以MF ∥AN ，MF ＝AN ， 所以四边形MFNA 为平行四边形． 所以AM ∥FN .又FN ⊂平面PNC ，AM ⊄平面PNC ， 所以直线AM ∥平面PNC .(2)取AB 中点E ，连接DE ，PE ，因为底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，所以∠AED ＝90°.因为AB ∥CD ，所以∠EDC ＝90°，即CD ⊥DE . 又PD ⊥平面ABCD ，所以CD ⊥PD . 又DE ∩PD ＝D ，所以直线CD ⊥平面PDE .故DP ，DE ，DC 两两相互垂直，以D 为原点，分别以DE ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则P (0，0，3)，N ⎝⎛⎭⎫332，12，0，C (0，3，0)，A (332，－32，0)，B ⎝⎛⎭⎫332，32，0，D (0，0，0)，PC →＝(0，3，－3)，NC →＝⎝⎛⎭⎫－332，52，0，易知平面PDC 的一个法向量m ＝(1，0，0)． 设平面PNC 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·NC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3y 1－3z 1＝0，－332x 1＋52y 1＝0， 取n ＝(5，33，33)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝579＝57979.故二面角D -PC -N 的余弦值为57979.7．如图(1)，在△MBC 中，MA 是BC 边上的高，MA ＝3，AC ＝4.如图(2)，将△MBC 沿MA 进行翻折，使得二面角B -MA -C 为90°，再过点B 作BD ∥AC ，连接AD ，CD ，MD ，且AD ＝23，∠CAD ＝30°.(1)求证：CD ⊥平面MAD ；(2)在线段MD 上取一点E 使ME →＝13MD →，求直线AE 与平面MBD 所成角的正弦值．解：(1)证明：在△ADC 中，AC ＝4，AD ＝23，∠CAD ＝30°，利用余弦定理可得CD ＝2，所以CD 2＋AD 2＝AC 2，所以∠ADC ＝90°，即CD ⊥AD .因为MA ⊥AB ，MA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，故MA ⊥平面ABDC .因为CD ⊂平面ABDC ，所以CD ⊥MA .又AD ∩MA ＝A ，所以CD ⊥平面MAD .(2)由题意可知，AM ，AB ，AC 两两垂直，∠BAD ＝60°.如图，以A 为坐标原点，AB ，AC ，AM 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (3，0，0)，D (3，3，0)，M (0，0，3)，MB →＝(3，0，－3)，BD →＝(0，3，0)．设E (x 0，y 0，z 0)，由ME →＝13MD →，得(x 0，y 0，z 0－3)＝13(3，3，－3)，得x 0＝33，y 0＝1，z 0＝2， 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫33，1，2.设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥MB →，n ⊥BD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·MB →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －3z ＝0，3y ＝0，令x ＝3，得其中一个法向量n ＝(3，0，1)． 设直线AE 与平面MBD 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，AE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AE →|n ||AE →|＝338. [综合题组练]1．(应用型)(2019·唐山模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若二面角P -AC -E 的余弦值为63，求直线P A 与平面EAC 所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥AC . 因为AB ＝2AD ＝2CD ， 所以AC ＝BC ＝2AD ＝2CD ， 所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC .又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC . 因为AC ⊂平面EAC ， 所以平面EAC ⊥平面PBC .(2)如图，以C 为原点，CB →，CA →，CP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设CB ＝2，CP ＝2a (a >0)．则C (0，0，0)，A (0，2，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2a )，则E (1，0，a )，CA →＝(0，2，0)，CP →＝(0，0，2a )，CE →＝(1，0，a )， 易知m ＝(1，0，0)为平面P AC 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面EAC 的法向量，则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，x ＋az ＝0，y ＝0，取x ＝a ， 则z ＝－1，n ＝(a ，0，－1)． 依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝aa 2＋1＝63，则a ＝ 2. 于是n ＝(2，0，－1)，P A →＝(0，2，－22)． 设直线P A 与平面EAC 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈P A →，n 〉|＝|P A →·n ||P A →||n |＝23，即直线P A与平面EAC所成角的正弦值为23.2．(应用型)(2019·昆明调研)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD.平面P AD⊥平面ABCD，P A＝PD，点E在PC上，DE⊥平面P AC.(1)证明：P A⊥平面PCD；(2)设AD＝2，若平面PBC与平面P AD所成的二面角为45°，求DE的长．解：(1)证明：由DE⊥平面P AC，得DE⊥P A，又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面P AD，所以CD⊥P A，又CD∩DE＝D，所以P A⊥平面PCD.(2)取AD的中点O，连接PO，因为P A＝PD，所以PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，如图，由(1)得P A⊥PD，由AD＝2得P A＝PD＝2，OP＝1，设CD＝a，则P(0，0，1)，D(0，1，0)，C(a，1，0)，B(2a，－1，0)，则BC→＝(－a，2，0)，PC→＝(a，1，－1)，设m＝(x，y，z)为平面PBC的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·PC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋2y ＝0，ax ＋y －z ＝0，令x ＝2，则y ＝a ，z ＝3a ，故m ＝(2，a ，3a )为平面PBC 的一个法向量， 由(1)知n ＝DC →＝(a ，0，0)为平面P AD 的一个法向量，由|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪m ·n |m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a a 10a 2＋4＝22，解得a ＝105，即CD ＝105， 所以在Rt △PCD 中，PC ＝2155，由等面积法可得DE ＝CD ·PD PC ＝33.3．(应用型)(2019·郑州第一次质量预测)如图，在三棱锥P -ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC .(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线P A 与平面ABC 所成的角为π4，求平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角．解：(1)证明：由题意知AC ＝26，BC ＝23，AB ＝6， 所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 所以∠ACB ＝π2，所以cos ∠ABC ＝236＝33.又易知BD ＝2，所以CD 2＝22＋(23)2－2×2×23cos ∠ABC ＝8， 所以CD ＝22，又AD ＝4， 所以CD 2＋AD 2＝AC 2，所以CD ⊥AB .因为平面P AB ⊥平面ABC ，交线为AB ，所以CD ⊥平面P AB ，所以CD ⊥PD ，因为PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，所以PD ⊥平面ABC .(2)由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直，所以可建立如图所示的直角坐标系D -xyz ，因为直线P A 与平面ABC 所成的角为π4，即 ∠P AD ＝π4，所以PD ＝AD ＝4， 则A (0，－4，0)，C (22，0，0)，B (0，2，0)，P (0，0，4)，所以CB →＝(－22，2，0)，AC →＝(22，4，0)，P A →＝(0，－4，－4)．因为AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，所以DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC ，所以DE ⊥BC ，又PD ⊥平面ABC ，所以PD ⊥BC ，因为PD ∩DE ＝D ，所以CB ⊥平面PDE ，所以CB →＝(－22，2，0)为平面PDE 的一个法向量．设平面P AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AC →，n ⊥P A →，所以⎩⎪⎨⎪⎧22x ＋4y ＝0，－4y －4z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1， 所以n ＝(2，－1，1)为平面P AC 的一个法向量．所以cos〈n，CB→〉＝－4－24×12＝－32，所以平面P AC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为32，故平面P AC与平面PDE所成的锐二面角为30°.。

§9.8 曲线与方程1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求动点的轨迹方程的基本步骤概念方法微思考1．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件吗？提示 是．如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，则曲线C 上的点的坐标满足f (x ，y )＝0，以f (x ，y )＝0的解为坐标的点也都在曲线C 上，故f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件． 2．方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线吗？ 提示 不是同一曲线．3．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹是什么图形？ 提示 依题意知，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线． 4．曲线的交点与方程组的关系是怎样的？ 提示 曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (3)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二 教材改编2．已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线答案 D解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线． 3．曲线C ：xy ＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为______． 答案 2解析 在曲线xy ＝2上任取一点(x 0，y 0)，则x 0y 0＝2， 该点到两坐标轴的距离之积为|x 0||y 0|＝|x 0y 0|＝2.4．若过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为__________．答案 x ＋y －1＝0解析 设M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM ，∵l 1⊥l 2. ∴|PM |＝|OM |，而|PM |＝(x －1)2＋(y －1)2，|OM |＝x 2＋y 2. ∴(x －1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2， 化简，得x ＋y －1＝0， 即为所求的轨迹方程． 题组三 易错自纠5．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．6．已知M (－1,0)，N (1,0)，|PM |－|PN |＝2，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线 D ．双曲线右支答案 C解析 由于|PM |－|PN |＝|MN |，所以D 不正确，应为以N 为端点，沿x 轴正向的一条射线． 7．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________． 答案 x 2＋y 2＝4(x ≠±2) 解析 连接OP ，则|OP |＝2，∴P 点的轨迹是去掉M ，N 两点的圆， ∴方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．题型一 定义法求轨迹方程例1 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝|MN |.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．思维升华 定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．跟踪训练1 在△ABC 中，|BC |＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD |－|CD |＝22，则顶点A 的轨迹方程为______________． 答案 x 22－y 22＝1(x >2)解析 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |， |AE |＝|AF |.所以|AB |－|AC |＝22<4，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，所以b ＝2， 所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．题型二 直接法求轨迹方程例2 (2016·全国Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ， 设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合， 此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．跟踪训练2 (2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|， 即(a －c )2＋b 2＝2c ， 整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋ca －1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12，所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c )，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，代入直线方程得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x>0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程例3 如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)， 代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． (4)检验：注意检验方程是否符合题意．跟踪训练3 (2018·包头调研)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对答案 C解析 由(x －y )2＋(xy －1)2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.故选C. 2．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足|OP →＋AP →|＝2，则P 点的轨迹方程是( ) A ．4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0 B ．4x 2＋4y 2－4x －8y －1＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0 答案 A解析 设P 点的坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，AP →＝(x －1，y －2)，OP →＋AP →＝(2x －1,2y －2)．所以(2x －1)2＋(2y －2)2＝4，整理得4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0.故选A.3．在平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴化简得x ＋2y －5＝0，表示一条直线．4．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)答案 A解析 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(a －x )，y －b ＝－2y ，即a ＝32x >0，b ＝3y >0.由题意得，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．故选A.5．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为( ) A ．C 3，C 1，C 2 B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1 D ．C 1，C 3，C 2答案 A解析 ①△ABC 的周长为10，即|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，又|BC |＝4，所以|AB |＋|AC |＝6>|BC |，此时动点A 的轨迹为椭圆，与C 3对应；②ABC 的面积为10，所以12|BC |·|y |＝10，即|y |＝5，与C 1对应；③因为∠A ＝90°，所以AB →·AC →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4＝0，与C 2对应．故选A. 6．(2018·抚顺模拟)如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支答案 C解析 可构造如图所示的圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．故选C.7．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________．答案 4π解析 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0.∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．即轨迹所包围的图形的面积等于4π.8．直线x a ＋y 2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是______________． 答案 x ＋y ＝1(x ≠0且x ≠1)解析 直线x a ＋y 2－a ＝1与x ，y 轴的交点为A (a,0)，B (0，2－a )，设AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a 2，消去a ，得x ＋y ＝1.因为a ≠0且a ≠2，所以x ≠0且x ≠1. 9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是______________．答案 x 24＋y 23＝1(y ≠0) 解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4>2，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．10.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是____________．答案 x 24a 2＋y 24b 2＝1 解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上，则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1. 11．已知定圆M ：(x －3)2＋y 2＝16和圆M 所在平面内一定点A ，点P 是圆M 上一动点，线段P A 的垂直平分线l 交直线PM 于点Q .(1)讨论Q 点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．(2)若定点A (5,0)，试求△QMA 的面积的最大值．解 (1)由题意知|QP |＝|QA |，①当A 在圆M 外时，|MA |>4，且||QA |－|QM ||＝|PM |＝4<|MA |，所以Q 点的轨迹是以M ，A 为焦点的双曲线，见图(1)．②当A 在圆M 内，且与M 不重合时，|MA |<4，且|QA |＋|QM |＝|MP |＝4>|MA |，所以Q 点的轨迹是以M ，A 为焦点的椭圆，见图(2)．③当A 在圆M 上时，l 过定点M ，l 与PM 的交点Q 就是点M ，所以点Q 的轨迹就是一个点，见图(3)．④当A 与M 重合时，l 与PM 的交点Q 就是PM 的中点，所以点Q 的轨迹就是圆，见图(4)． 综上所述，Q 点的轨迹可能是①②④⑥四种．(2)因为A (5,0)在圆M 内，由(1)知，点Q 的轨迹是以M ，A 为焦点的椭圆，且|MA |＝2＝2c ，|MP |＝4＝2a ，所以b ＝3，由椭圆的几何性质可知，Q 为短轴端点时，S △MQA 最大，所以S △MQA 的最大值为12·2c ·b ＝ 3. 12.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解 (1)设M (x ，y )，则D (x,0)，由DM →＝12DP →知，P (x,2y )， ∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 为椭圆． (2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1， 得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0，得k 2<15，∴0<x <83. ∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0<x <83.13．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y答案 B解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1. A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意； D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意． 14．设点P (x ，y )是曲线a |x |＋b |y |＝1(a >0，b >0)上的动点，且满足x 2＋y 2＋2y ＋1＋x 2＋y 2－2y ＋1≤22，则a ＋2b 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．(0,2] 答案 A解析 设F 1(0，－1)，F 2(0,1)， 则满足x 2＋(y ＋1)2＋x 2＋(y －1)2＝22的点P 的轨迹是以F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点的椭圆，其方程为x 21＋y 22＝1.曲线a |x |＋b |y |＝1(a >0，b >0)为如图所示的菱形ABCD ，C ⎝⎛⎭⎫1a ，0，D ⎝⎛⎭⎫0，1b . 由于x 2＋(y ＋1)2＋x 2＋(y －1)2≤22，所以菱形ABCD 在椭圆上或其内部，所以1a ≤1，1b ≤2，即a ≥1，b ≥22. 所以a ＋2b ≥1＋2×22＝2.故选A.15．已知过点A (－3,0)的直线与x ＝3相交于点C ，过点B (3，0)的直线与x ＝－3相交于点D ，若直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为______________．答案 x 29＋y 294＝1(y ≠0) 解析 设点M (x ，y )，C (3，m )，D (－3，n )，则直线CD 的方程为(m －n )x －6y ＋3(m ＋n )＝0，因为直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，所以3|m ＋n |(m －n )2＋36＝3，所以mn ＝9，又直线AC 与BD 的交点为M ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ y x ＋3＝y －m x －3，y x －3＝y －n x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6y x ＋3，n ＝－6y x －3，所以－36y 2x 2－9＝9， 所以点M 的轨迹方程为x 29＋y 294＝1(y ≠0)． 16．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离的积等于常数a 2(a 2>4)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是________．答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离的积是4，又a 2>4，所以曲线C 不过原点，即①错误；设动点P 在曲线C 上，因为F 1(－2,0)，F 2(2,0)关于原点对称，所以|PF 1|·|PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确； 因为12F PF S ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2 ≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2， 即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，即③正确．。

§圆的方程考情考向分析以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准式(－)＋(－)＝(>)圆心为(，)半径为一般式＋＋＋＋＝充要条件：＋－>圆心坐标：半径＝概念方法微思考．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：()根据题意，选择标准方程或一般方程．()根据条件列出关于，，或，，的方程组．()解出，，或，，代入标准方程或一般方程．．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(－)＋(－)＝，点(，)()点在圆上：(－)＋(－)＝；()点在圆外：(－)＋(－)>；()点在圆内：(－)＋(－)<.题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()方程(＋)＋(＋)＝(∈)表示圆心为(，)，半径为的圆．(×)()已知点(，)，(，)，则以为直径的圆的方程是(－)(－)＋(－)(－)＝.(√) ()方程＋＋＋＋＋＝表示圆的充要条件是＝≠，＝，＋－>.(√)()方程＋＋＝一定表示圆．(×)()若点(，)在圆＋＋＋＋＝外，则＋＋＋＋>.(√)题组二教材改编．[练习]圆＋－＋＝的圆心坐标是．答案(，－)解析由(－)＋(＋)＝，知圆心坐标为(，－)．．[习题()]已知圆经过()，()两点，圆心在轴上，则圆的标准方程为．答案(－)＋＝解析设圆心坐标为()，。