八年级数学下册第1章三角形的证明小结与复习课件新版北师大版

结与复习
主讲：
学习目标
知识目标
复习有关定理的探索与 证明，证明的思路与方 法，尺规作图等。
技能目标
进一步体会证明的必要 性，发展学生的初步演 绎推理能力；进一步掌 握综合证明方法。
素养目标
提高学生用规范的数学 语言表达论证过程的能 力。
教学重难点
教学重点
巩固练习
1. 如图，在△ABC中，AB=AC时，
A
(1)∵AD⊥BC，
∴∠ ____=B∠A_D____;_C_A_D_=_B_D__. CD (2) ∵AD是中线，
∴____⊥A_D___; ∠BC_____=BA∠D_____. CAD (3) ∵ AD是角平分线，
B
D
C
∴____ ⊥A_D___;_B_C___=B_D___. CD
证明三角形是等腰三角形，我们可以转化为证明两条边相等。
巩固练习
5. 已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为 N，M，且 OM = ON.
求证：PM = PN.
分析：要证两条线段相等，可以证明两个三角形全等
B N
证明：连接OP，
∵ AN⊥OB，BM⊥OA，
∴∠OMP =∠ONP=90°
知识梳理
尺规作图
应用举例
线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作 线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺
规作等腰三角形。
角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角 的平分线。
知识梳理
思想方法
逆向思维，转化思维，证明角相等、线段相等的新方法。 文字语言-符号语言-图形语言的互相转化. 数学建模，推理证明的重要性.
让学生领会几何证明题的分析方法和证明的表达书写过程。

4. 直角三角形有什么性质？它有什么判定条件？
定理 直角三角形的两个锐角互余.
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方.
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
定理 有两个角互余的三角形是直角三 角形.
定理 如果三角形两边的平方和等于第 三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
3. 如图，点 P，M，N 分别在等边三角形 ABC 的 各边上，且 MP⊥AB 于点 P，MN⊥BC 于点 M， PN⊥AC 于点 N. （2）若AB =12 cm，求 CM 的长.
四、直角三角形的性质与判定
4. 如图，已知 AB=5，BC=12，CD=13，DA=10， AB⊥BC，求四边形 ABCD 的面积.
5. 说说两个直角三角形全等的判定条件.
定理 斜边和一条直角边分别相等的两 个直角三角形全等.
6. 说说线段垂直平分线的性质及其逆定理. 定理 线段垂直平分线上的点到这条线
段两个端点的距离相等. 三角形三边的垂直平分线相交于一点，
并且这一点到三个顶点的距离相等.
定理 到一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上.
五、线段的垂直平分线
5. 如图，在△ABC 中，BC=9，AC=4，分别以点 A，B为圆心，以大于1/2AB 的长为半径画弧，两 弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 边于点 D，连接 AD，则△ACD 的周长为___1_3____.
六、角平分线的性质与判定
6. 如图，在四边形ABCD 中， AB=AD，CA 平分∠BCD， AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分 别为 E，F. 求证： ∠B=∠ADF.
第一章 三角形的证明章末复习

则 1 2 1 BAC.
2
∵ AB = AC， ∴ AE⊥BC.
A
∴∠2 +∠ACB = 90°.
12
∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠ACB = 90°.
D
∴∠2 =∠DBC. ∴∠BAC = 2∠DBC.
B
E
C
方法总结
等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们 是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的 特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛， 有一个角是 30° 的直角三角形的性质是证明线段之间 的倍份关系的重要手段.
结论 ，并将结论改成 条件 ，便可以得到原命题的逆 命题．
3. 逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它
也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫 做另一个的 逆 定理．
[注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆 定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．
什么是反证法？
反证法：先假设命题的结论不成立，然 后推导出与定义、基本事实或已知条件相矛盾 的结果，从而证明命题的结论一定成立.我们 把它叫做反证法.
考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定
例1 如图所示，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.
求证：∠BAC = 2∠DBC.
A
【分析】根据等腰三角形“三线合一”
的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，
来获取角的数量关系.
B
12
D
E
C
证明：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，
考点五 线段的垂直平分线
例5 如图，AD 是 BC 的垂直平分线，点 C 在 AE 的
垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？

过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上
的高．
(1)DE，DF，CG之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
(2)若点D在底边的延长线上，
(1)中的结论还成立吗？若不成立，
又存在怎样的关系？请说明理由．
图1－T－2
[解析] (1)连接AD，根据△ABC的面积＝△ABD的面积＋△ACD的面积进 行分析证明； (2)与(1)的思路类似，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系，即 △ABC的面积＝△ABD的面积－△ACD的面积或△ABC的面积＝△ACD的 面积－△ABD的面积．
例7 如图1－T－7，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是AC的 中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F. (1)求BD的长； (2)求证：BF＝EF； (3)求△BDE的面积．
图1－T－7
解：(1)∵BD 是等边三角形 ABC 的中线， ∴∠ABD＝∠CBD＝21∠ABC＝30°，BD⊥AC， ∴AD＝12AB＝3.在 Rt△ABD 中， 由勾股定理，得 BD＝ AB2－AD2＝3 3. (2)证明：由(1)知∠DBE＝30°.∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE， ∴∠E＝12∠ACB＝30°，∴∠DBE＝∠E，∴DB＝DE. ∵DF⊥BE，∴DF 为底边上的中线，∴BF＝EF.
(2)如图②，连接 AG，BG. 在 Rt△BFG 中，GF＝12 cm， BF＝8 cm，由勾股定理，得 GB＝ GF2＋BF2＝ 122＋82＝ 208(cm)． 在 Rt△AGB 中， GB＝ 208 cm，AB＝30 cm， 由勾股定理，得 AG＝ AB2＋GB2 ＝ 302＋（ 208）2 ＝2 277 cm.
解：如图． 发现：答案不唯一， 如QD＝AQ或∠QAD＝∠QDA等．