北师大版初二年级下册《三角形的证明》(培优)带答案

2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章三角形的证明培优达标卷一、单选题1．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．4，6，8B ．3，4，5C ．5，12，14D ．23，22，252．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．63．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm4．如图，△ABC 的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:55．在等边三角形ABC 中，D E ，分别是BC AC ，的中点，点P 是线段AD 上的一个动点， 当PC PE +的长最小时，P 点的位置在（ ）A ．A 点处B ．AD 的中点处C ．ABC ∆的重心处D ．D 点处6．如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB,若BE=2，则AE 的长为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．27．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM+CN=7，则MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知三条不同的射线OA 、OB 、OC 有下列条件：①∠AOC=∠BOC ②∠AOB=2∠AOC ③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC=12∠AOB ，其中能确定OC 平分∠AOB 的有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个 9．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④αCE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠的度数为（ ）A ．α3B ．α2C ．α302︒-D ．45α︒-11．如图，在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点F ，CD ⊥BD ，垂足为D ，交BA 的延长线于点E ，AH ⊥BC 交BD 于点M ，交BC 于点H ，下列选项不正确的是（ ）A ．∠E ＝67.5°B ．∠AMF ＝∠AFMC ．BF ＝2CD D ．BD ＝AB +AF12．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．72964二、填空题 13．一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则它的周长为______cm ．14．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____15．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．17．如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，Р是射线C 上一点，PD OA ⊥于点,6D DP =，若E 是射线OB 上一点，4,OE =则OPE 的面积是_______________________．18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =6，AD 平分∠BAC ，CD =2，DE ⊥AB 于E ，则ABD S 等于_____________．19．如图，在ABC ∆中，BD 、BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H ，下列结论：①∠DBE=∠F ；②2∠BEF=∠BAF+∠C ；③()12F BAC B ∠=∠-∠；④∠BGH=∠ABE+∠C ．其中正确的是_________ ．20．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第4个三角形中以A 4为顶点的底角度数是_____．第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是_____．三、解答题21．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且18a =，32b =，50c =．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果一个正方形的面积与ABC 的面积相等时，求这个正方形的边长．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC =，13AB =，点D 是Rt ABC ∆外一点，连接DC ，DB ，且4CD =，3BD =．（1）求证：90D ∠=︒（2）求：四边形ABDC 的面积．23．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=． 24．已知：如图，在ABC 中，AB AC >，45B ∠=，点D 是BC 边上一点，且AD AC =，过点C 作CF AD ⊥于点E ，与AB 交于点F（1） 若CAD α∠=，求：①BAC ∠的大小；②BCF ∠的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC FC =25．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且,//,AD AB AE BC BAD CAE =∠=∠，连接,DE 交AC 于点F ．（1）若65B ∠=︒，求C ∠的度数．（2）若AE AC =，则AD 平分BDE ∠是否成立？判断并说明理由．26．如图，AE 、BD 是ABM 的高，AE ，BD 交于点C ，且AE BE =．（1）求证；AME BCE ≌△△；（2）当BD 平分ABM ∠时，求证：2BC AD =；（3）求MDE ∠的度数．27．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________．28．（1）如图①，D 是等边ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边，在BC 上方作等边DCE ，连接AE ，你能发现AE 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AE 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）如图③，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边DCE 和等边DCE '，连接AE ，BE '，探究AE ，BE '与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论．参考答案1．DA. 4，6，8，468<<，∴2224+6=16+36=5264=8<，∴A 选项不能够作为直角三角形的三边长； B. 3，4，5，345<<，∴2223+4=3+4=75=5>，∴B 选项不能够作为直角三角形的三边长；C. 5，12，14， 51214<<，∴2225+12=25+144=169196=14<，∴C 选项不能够作为直角三角形的三边长；D. 23，22，25，222325<<，∴()()()22222+23=8+12=20=25， ∴D 选项不能够作为直角三角形的三边长，2．C连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==， 在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒，∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=， ∴8BE BC CE =-=；3．A解：作MN ⊥AD 于N ，如图，∵∠B ＝∠C ＝90°，∠ADC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥CD ，MN ⊥AD ，∴MC ＝MN ，∵M 点为BC 的中点，∴MC ＝MB=12BC=12×20=10cm ， ∴MN ＝MB ，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，4．C过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=6，BC=9，AC=12，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4，故选C.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．5．C解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，当PC PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上时，又∵BE为中线，∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的重心，6．B∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90o,又∵∠B=30°，BE=2,∴∠ECD=30°,CE=2,DE=12BE=1,又∵CE平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵在△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°，∴AE＝12CE＝1；7．B【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN，∵BM+CN=7，∴MN=7，8．D【解析】如图，根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；如图，此时，∠AOB=2∠BOC ，∠BOC=12∠AOB ，但OC 不是∠AOB 的平分线； 由于∠AOC+∠COB=∠AOB ，但是∠AOC 与∠COB 不一定相等，所以OC 不一定是∠AOB 的平分线. 所以只有①能说明OC 是∠AOB 的角平分线.9．C选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴= 10．B解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图， DAC α∠=，αDAB 902∠=︒-，αEAM 902∠∴=︒-， AE ∴平分MAD ∠，EM EN ∴=，CE 平分ACB ∠，EM EH ∴=，EN EH ∴=，DE ∴平分ADB ∠，11ADB 2∠∠∴=， 由三角形外角可得：1DEC 2∠∠∠=+，12ACB 2∠∠=，11DEC ACB 2∠∠∠∴=+， 而ADB DAC ACB ∠∠∠=+， 11DEC DAC α22∠∠∴==， 故选：B ．11．D【详解】解：∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ＝22.5°，∵BD ⊥CD ，∴∠E ＝67.5°，故选项A 正确，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABF+∠AFB ＝90°，∠CBF+∠BMH ＝90°，∴∠AFB ＝∠BMH ，∴∠AFM ＝∠BMH ＝∠AMF ，故选项B 正确，∵CD ⊥BD ，∴∠BDE ＝∠BAC ＝90°，∴∠E+∠EBD ＝90°，∠E+∠ACE ＝90°，∴∠EBD ＝∠ACE ，在△ABF 和△ACE 中，BAC CAE AB ACABF ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△ACE （ASA ），∴AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴AB+AF ＝AB+AE ＝BE ，∵Rt △BED 中，BE ＞BD ，∴AB+AF ＞BD ，故选项D 错误，在△EBD 和△CBD 中，EBD CBD BD BDBDC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EBD ≌△CBD （ASA ），∴BF ＝CE ＝2CD ，故选项C 正确，12．C【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =，∴21121A B A A ==，∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∴3323324A B B A OA ===，∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．13．17【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm ；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm ．故答案为：17．解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．15．32解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴3∠ABP+24°+60°＝180°，解得：∠ABP＝32°，16．8cm解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm17．12【详解】解：作PH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，∴PH=DP=6，∴△OPE的面积=12×OE×PH=12×4×6=12，故答案为：12．18．6解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，∴CD=DE=2，∵AB=6，∴16262ABDS=⨯⨯=．故答案为：6．19．①②③④①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C ，∴2∠BEF=∠BAF+∠C ，故②正确；③∠ABD=90°-∠BAC ，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC ， ∵∠CBD=90°-∠C ，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE ，由①得，∠DBE=∠F ，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE ，∴∠F=12（∠BAC ﹣∠C ），故③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE+∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD=∠FEB ，∴∠BGH=∠ABE+∠C ，故④正确．20．758 11()752n -⨯︒ 【详解】在1CBA 中，30B ∠=︒，1A B CB =， ∴1118030752BAC BCA ︒-︒∠=∠==︒， 又∵121A A A D =,1BA C ∠是12A A D 的外角． ∴21211117522DA A A DA BAC ∠=∠=∠=⨯︒． 同理可得：2323221111175()752222EA A A EA DA A ∠=∠=∠=⨯⨯︒=⨯︒， 34343321175()75228FA A A FA EA A ︒∠=∠=∠=⨯︒=， 综上可知规律：第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()752n -⨯︒ 故答案为758，11()752n -⨯︒． 21．解：（1）在ABC <<222250a b +=+=，2250c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴是直角三角形；（2）设这个正方形的边长为x ，∵一个正方形的面积与ABC 的面积相等，∴212x =，解得：x =±0x ，x ∴=答：这个正方形的边长为x =22．解：（1）在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC 2=AB 2-AC 2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD 2+BD 2=42+32=25，∵BC=5，即BC 2=25，∴CD 2+BD 2=BC 2，∴△DBC 是直角三角形，∴∠D=90°．（2）∵△DBC 是直角三角形，且∠D=90°， ∴1134622S ∆=⨯=⨯⨯=DBC BD DC ， ∵在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5， ∴115123022S ∆=⨯=⨯⨯=ABC BC AC ， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △DBC =30+6=36．23．．证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=12AG ， ∵AG=12AB ， ∴GH=14AB ． 24．（1）解：①AD AC =，CAD α∠=， 11(180)9022BCA ，②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图所示：90DAG ADG ∴∠+∠=︒，1122CAG DAG CAD ，CF AD ⊥于点E ，90DCE ADG ， 1122DCE DAG CAD ，即12BCF ； （2）证明：45B ∠=︒，AG BC ⊥，45BAG =∴∠︒，45BAC CAG ，45AFC DCE ，DCE DAG ，CAG DAG ∠=∠，BAC AFC ，AC FC ．25．解：（1）∵∠B=65°，AB=AD ，∴∠ADB=∠B=65°，∵∠B+∠BAD+∠BAD=180°，∴∠BAD=50°，∵∠CAE=∠BAD ，∴∠CAE=50°，∵AE ∥BC ，∴∠C=∠CAE=50°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，即∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，ABADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B=∠ADE ，∵∠B=∠ADB ，∴∠ADE=∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．26．（1）证明：∵AE 、BD 是ABM 的高，∴90ADB AEB AEM ∠=∠=∠=︒，∵ACD ECB ∠=∠，180MAE ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180CBE ECB CEB ∠+∠+∠=︒，∴MAE CBE ∠=∠，在AME △和BCE 中，MAE CBE AE BE AEM BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AME B ASA CE ≌．（2）∵BD 平分ABM ∠，BD 是高，∴ABD MBD ∠=∠，90ADB MDB ∠=∠=︒，∵在ABD △和MBD 中，ADB MDB BD BD ABD MBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD MBD ASA ≌△△， ∴12AD DM AM ==， ∵AME BCE ≌△△，∴AM BC =，∴2BC AD =．（3）∵45MDE ∠=︒，过点E 作EF ED ⊥交BC 于点F ，∵DEF AEB ∠=∠，∴DEA BEF ∠=∠；∵MAE CBE ∠=∠，且AE BE =，∴AED BEF △≌△；∴ED EF =，∴45EDF EFD ∠=∠=︒；∵90BDM ∠=︒，∴45MDE ∠=︒．27．证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ，5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =，1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．28．（1）AE=BD ．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ BC=AC ，∠BCA=60︒，DC=CE ，∠DCE=60︒，∴ ∠BCA −∠DCA=∠DCE −∠DCA ，即 ∠BCD=∠ACE ， 在△BCD 和△ACE 中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BCD ≌△ACE ，∴ AE=BD ；（2）AE=BD 仍然成立．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴CB=CA ，CD=CE ，∠BCA=∠DCE=60︒， ∴ ∠BCA+∠DCA=∠DCE+∠DCA ， ∴∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴ AE=BD ；（3） AE+BE ′=AB ．证明：由（1）知：△BCD ≌△ACE ， 则 BD=AE ，在△BCE ′和△ACD 中，BC AC BCE ACD E C DC =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BCE ′≌△ACD （SAS ），则 BE ′=AD ，又∵BD=AE ，∴ AE+BE ′=BD+AD=AB ，即 AE+BE ′＝AB ．。

北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题一（含答案）1．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，D 为BC 的中点，EF =3，BC =8，则△DEF 的周长是 （ ）A ．7B ．10C ．11D ．142．如下图，已知△ABC （AB<BC ），用尺规在BC 上确定一点P ，使PA+PB=BC 。

则下面四种不同方法作图中准确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知OC 平分∠AOB,CD//OB，若OD=3 cm ，则CD 等于：（ ）A ．1.5cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．已知,A,B,C ABC a ∠∠∠中的三边、b 、c 是三角形的三边长，由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（ ）A ．ABC ∠+∠=∠ B ．A B C ∠∠∠：： 1:2:3= C ．222a c b =-D ．a : b : c =4:5:65．一个等腰三角形的一个内角为500，那么这个等腰三角形的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A ．250 B ．400 C ．250 或400 D ．无法确定6．如图，∠POQ=30°，点A 在OP 边上，且OA=6，试在OQ 边上确定一点B ，使得△AOB 是等腰三角形，则满足条件的点B 个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，那么作法的合理顺序是（ ）①作射线OC ； ②在射线OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD =OE ；③分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径在∠AOB 内作弧，两弧交于点C ．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③①②8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（ ）A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个9．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 ．10．一个角的余角是30º，则这个角的大小是______.11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数是_____________．12．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________。

A．16cmB．13cmC．19cmD．10cm
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（ ）
A．BD=ADB．BD=CDC．∠B=∠CD．∠BAD=∠CAD
4．如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（ ）
11．到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个角为90°的平行四边形为矩形
解:由作法得EF垂直平分AC，则OA=OC，
而OD=OB，
所以四边形ABCD为平行四边形，
而∠ABC=90°，
所以四边形ABCD为矩形．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，试求EF的长．
20．尺规作图：如图，在△ABC中，AB=AC，试作出下列图形：（不写作法，保留作图痕迹）
（1）△ABC的角平分线AD；
（2）AC边的中点E．
21．为了应对人口老龄化问题，国家大力发展养老事业．某养老机构定制轮椅供行动不便的老人使用．图①是一种型号的手动轮椅实物图，图②为其侧面示意图，该轮椅前后长度为120cm，后轮半径为24cm，CB=CD=24cm，踏板CB与CD垂直，横档AD、踏板CB与地面所成的角分别为15°、30°．求：
14．如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是∠CAB的平分线,CM=1.5cm,若AB=6cm,则S△AMB=________cm2.
15．如图，等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=6，则EP+CP的最小值为_____．
16．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=50°，则∠BOD的度数是__________．

第一章 三角形的证明班级：___________________________姓名：___________________________作业导航1.等腰、等边、直角三角形的性质2.反证法一、填空题1.在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________.2.由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________，大角对_________.3.等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________.4.一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________.5.等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________.6.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________.7.如图1，D 在AC 上，且AB =BD =DC ，∠C =40°，则∠A =_________，∠ABD =_________.图1 图28.如图2，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AB 上，且AD =AC ，若∠A =40°，则 ∠ACD =_________，∠DCB =_________，若∠A =α，则∠BCD =_________，由此我们可得出∠BCD 与∠A 的关系是∠BCD =_________.9.△ABC 中，若∠A =∠B =21∠C ，则此三角形为_________三角形. 10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠CAB =60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离是3.8 cm ，则BC =_________ cm.11.△ABC 中，∠BAC =90°，∠B =60°，AD ⊥BC 于D ，AE 是斜边上的中线，若DB =4，则AB =_________，BC =_________.二、选择题12.给出下列命题，正确的有（ ）①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形A.1个B.2个C.3个D.4个13.若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是（ ）A.α＜45°B.α＜90°C.0°＜α＜90°D.90°＜α＜180°14.下列命题，正确的有（ ）①三角形的一条中线必平分该三角形的面积；②直角三角形中30°角所对的边等于另一边的一半；③有一边相等的两个等边三角形全等；④等腰三角形底边上的高把原三角形分成两个全等的三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个15.若三角形的一边等于另一边的一半，那么这边所对的角度为（ ）A.30°B.45°C.60°D.无法确定16.如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形17.△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线， 延长BA 到E 使DE =DC ， 连结EC ， 若 ∠E =51°，则∠B 等于（ ）A.60°B.52°C.51°D.78°18.在△ABC 中∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，CD ⊥AB 于D 点，AB =a ，则BD 的长为（ ）A.2aB.3aC.4aD.以上都不对19.在直角三角形中，一条边长为a ，另一条边长为2a ，那么它的三个内角的比为（ ）A.1∶2∶3B.2∶2∶1C.1∶1∶2D.以上都不对三、解答题20.如图3，在AB =AC 的△ABC 中，D 点在AC 边上，使BD =BC ，E 点在AB 边上，使AD =DE =EB ，求∠ED B.图321.如图4，AB =CD ，AD =BC ，EF 经过AC 的中点O ，分别交AB 和CD 于E 、F ，求证：OE =OF .图422.如图5，在△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC ，E 是垂足，ED 的延长线交CA 的延长线于点F ，求证：AD =AF .图523.你以前证过的结论，有的是否可以用反证法证明，试试看.参考答案三角形的证明一、1.70° 80° 2.大角 大边 3.17 cm 4.3条 5.27 +3 6.60° 7.80° 20° 8.70° 20° 2 21∠A 9.等腰直角 10.11.4 11.8 16 二、12.B 13.C 14.C 15.D 16.B 17.B 18.C 19.D三、20.解：设∠BDE =x ∵BE =DE ∴∠EBD =∠EDB =x则∠AED =∠EDB +∠EBD =2x又∵AD =DE ∴∠A =∠AED =2x又∠BDC =∠A +∠ABD =3x又∵BD =BC ，∴∠C =∠BDC =3x又∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C =3x根据三角形内角和定理3x +3x +2x =180°∴x =22.5°21.证明：在△ABC 和△CDA 中∵AB =CD ，BC =AD ，AC =AC∴△ABC ≌△CDA ，∴∠1=∠2在△AOE 和△COF 中∵∠1=∠2，OA =OC ，∠3=∠4∴△AOE ≌△COF ，∴OE =OF .22.证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴EF ⊥BC ，∴∠FEB =∠FEC =90°， ∴∠B +∠BDE =∠C +∠F =90°，∴∠BDE =∠F ，∵∠BDE =∠FDA∴∠F =∠FDA ，∴AD =AF .23.略。

北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明（含答案）一、选择题1.由线段a,b,c 组成的三角形,不是直角三角形的是( )A.a=3,b=4,c=5B.a=1,b=43,c=53 C.a=9,b=12,c=15 D.a=√3,b=2,c=√5 答案 D D 中,a 2+b 2=7,c 2=5,a 2+b 2≠c 2,故选D.2.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( )A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条直角边对应相等答案 D 当两直角边对应相等时,再由直角相等,根据SAS 可以判定两直角三角形全等.3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的( )A.三个内角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点答案 B 到三角形三个顶点距离相等的点在三角形三边的垂直平分线上.4.用反证法证明:“三角形中必有一个内角不小于60°”时,应当先假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角大于60°答案B反证法第一步是提出与结论相反的假设.5.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为()图1-5-1A.√6B.4C.2√3D.5答案B∵AD⊥BC,∠ABC=45°,∴∠BAD=90°-∠ABC=45°=∠ABC,∴BD=AD,又∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∠BEC=90°.∴∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°,∴∠CAD=∠CBE,∴△ADC≌△BDH.∴BH=AC=4.6.已知等腰直角三角形ABC,斜边AB的长为2,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则点C的坐标是()A.(0,1)B.(0,-1)C.(0,1)或(0,-1)D.(1,0)或(-1,0)答案C∵OC⊥AB,∠CAB=45°,∴∠ACO=45°.AB=1,∴C(0,1)或(0,-1).∴CO=AO=127.下列命题中的假命题是()A.等腰三角形的顶角一定是锐角B.等腰三角形的底角一定是锐角C.等腰三角形至少有两个角相等D.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合答案A等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角.8.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是()A.∠C=2∠AB.BD=BCC.△ABD是等腰三角形D.点D为线段AC的中点答案D∵A=36°,AB=AC,∴∠C=∠ABC=72°.∴∠C=2×36°=2∠A,A选项正确.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°.∴∠A=∠ABD=36°,∴△ABD是等腰三角形,C选项正确.又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴BD=BC,B选项正确,只有D选项结论错误.9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,BC=10,过A作DE∥BC交∠ABC的平分线BE于点E、交∠ACB的平分线CD于点D,则DE为()A.18B.16C.14D.8答案C在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,由勾股定理得AB=8,∵DE∥BC,∴∠D=∠DCB,∠E=∠EBC,∵CD平分∠ACB,BE平分∠ABC,∴∠ACD=∠DCB,∠ABE=∠EBC,∴∠D=∠ACD,∠E=∠ABE,∴AD=AC=6,AE=AB=8,∴DE=6+ 8=14,故选C.10.如图,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS,下面结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是()图1-5-4A.①②B.②③C.①③D.①②③答案A∵PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴∠BAP=∠CAP.又∵AQ=PQ,∴∠CAP=∠APQ.∴∠BAP=∠APQ.∴QP∥AR.在Rt△APR和Rt△APS中,{AP=AP,PR=PS,∴Rt△APR≌Rt△APS.∴AS=AR.故①②均正确.由已知条件不能得到△BRP≌△CSP.故选A.二、填空题11.等腰三角形两腰上的中线相等,这个命题的逆命题是,这个逆命题是命题.答案两边上的中线相等的三角形是等腰三角形;真12.等腰三角形的两边长分别是7和3,则它的周长是.答案17解析当7为腰长时,周长为7+7+3=17.当3为腰长时,∵3+3=6<7,∴不能构成三角形,故答案为17.13.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC是三角形.答案等边解析∵(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b,b=c,c=a,∴a=b=c.∴△ABC 是等边三角形.14.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.若BD∶DC=2∶1,BC=7.8cm,则D到AB 的距离为cm.答案 2.6解析∵AD平分∠BAC且∠C=90°,∴点D到AB的距离等于CD的长.∵BD∶DC=2∶1,BC=7.8×7.8=2.6 cm.故答案为2.6.cm,∴CD=1315.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点E,交AC于点D,且AC=16,△BCD的周长等于26,则BC的长为.答案10解析∵MN垂直平分AB,∴AD=BD.∴△BCD的周长=BD+DC+BC=AC+BC.∴16+BC=26.∴BC=10.16.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为.答案1+√3解析∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.又∵∠A=45°,∠B=30°,∴∠ACD=∠A=45°,BC=2CD=2.∴AD=CD=1,BD=√BC2-CD2=√22-12=√3.∴AB=AD+DB=1+√3.17.如图,D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,若∠ABC=60°,则∠ADC=.答案120°解析连接BD并延长.∵D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,∴AD=BD=CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠ABC=120°.又∵∠5=∠1+∠2,∠6=∠3+∠4,∴∠ADC=∠5+∠6=120°.18.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,若点P 在边AC 上移动,则BP 的最小值是 .答案245解析 过点A 作AE ⊥BC 于点E,因为AB=AC=5,所以BE=CE=12BC=3,所以AE=√AB 2-BE 2=√52-32=4,所以S △ABC =12BC ·AE=12.易知BP 的最小值是S △ABC 12AC =245. 三、解答题19.如图,在Rt △ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC 折叠,使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为MN,求BN 的长.答案 设BN=x,由题意可得DN=AN=9-x.∵D 是BC 的中点,∴BD=3.在Rt △NBD 中,x 2+32=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.20.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 、CE 三等分∠ACB,CD ⊥AB.求证:(1)AB=2BC;(2)CE=AE=BE.证明 (1)∵∠ACB=90°,CD 、CE 三等分∠ACB,∴∠1=∠2=∠3=30°,∴∠1+∠2=60°,∴∠A=30°.在Rt△ACB中,∵∠A=30°,∴AB=2BC.(2)由(1)知∠A=∠1=30°,∴CE=AE.又∵∠B=∠BCE=60°,∴△BCE为等边三角形,∴CE=BE.∴CE=AE=BE.21.如图,在△ABC中,AB=8,AC=4,G为BC的中点,DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D,DE⊥AB 于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF;(2)求AE的长.答案(1)证明:连接DB、DC,易知△BDE与△CDF均为直角三角形.∵DG垂直平分BC,∴DB=DC.∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AF,∴DE=DF(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),∴BE=CF.(2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,又∠DAE=∠DAF,AD=AD,∴△ADE≌△ADF.∴AE=AF=AC+CF.由(1)知BE=CF,∴AE=AC+BE=4+BE.∴AE=4+8-AE.∴AE=6.22.如图所示,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为v P=2 cm/s,v Q=1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?答案由题意可知AP=2t cm,BQ=t cm(0≤t≤3),则BP=AB-AP=(6-2t)cm.(1)若△PBQ为等边三角形,已知∠B=60°,需BP=BQ,即6-2t=t,解得t=2,即当t=2时,△PBQ 为等边三角形.(2)当PQ⊥BQ时,∵∠B=60°,∴∠BPQ=30°,∴BP=2BQ,即6-2t=2t,解得t=1.5;当PQ⊥BP时,同理可得BQ=2BP,即t=2(6-2t),解得t=2.4.综上可知,当t为1.5或2.4时,△PBQ为直角三角形.。

第一章 三角形的证明1 等腰三角形专题1 等腰三角形和等边三角形1. A 已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使CE =CD ．求证：BD =DE .2. B 如图，等边三角形ABC 内有一点P ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PD ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，D ，且AH ⊥BC 于H ，试用三角形面积公式证明：PE +PF +PD =AH .3. B 如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且BD =AE ，AD 与CE 交于点F ，求证：△ABD ≌△CAEBB4. A △ABC 中，∠B =∠C ，求证：AB =AC5. B 如图，AD 和BC 交于点O ，AB ∥DC ，OA =OB ，试说明△OCD 是等腰三角形.B6. B 如图，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD =3cm ，则CD 等于( )A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cm7. B 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论错误的是( )A ．BD 平分∠ABCB ．△BCD 的周长等于AB +BCC ．AD =BD =BCD ．点D 是线段AC 的中点8. A 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④9. B 如图，等边△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上两点，下列结论：①若AD =AE ，则△ADE 是等边三角形；②若DE ∥BC ，则△ADE 是等边三角形，其中正确的有( )A ．①B ．②C ．①②D ．都不对OBB10. B 如图，D ，E ，F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD =BE =CF ，求证：△DEF 是等边三角形.11. B 如图，D 为等边三角形ABC 内一点，将△BDC 绕着点C 旋转成△AEC ，则△CDE 是怎样的三角形？请说明理由.B1. A 如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．2. A 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．3. B 如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．4. A 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．1. B 两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由.2. C 如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个.A. 3B. 5C. 8D. 103. B 如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为.4. C 如图，△ABC中，∠ABC=46º，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=21º，试确定∠CAD的度数.5. C 一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36º，求原三角形最大内角的所有可能值.专题2 重要的30°1. A 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =12∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =12DB ．2. B 如图，在一场足球比赛中，球员A 欲传球给同伴B ，对方球员C 意图抢断传球，已知球速为16m/s ，球员速度为8m/s.当球由A 传出的同时，球员C 选择与AC 垂直的方向出击，恰好在点D 处将球成功抢断，则角α=．(球员反应速度、天气等其他因素均不予考虑)1. A 如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ． 求证：BD =2CD ．CB2. A 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．1. B 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为，ME的长为.专题3 反证法1. A 求证：一个三角形中至多有一个钝角．2. B 用反证法证明：若a ，b 是正整数，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除．1. C 已知：在同一平面内，直线m ⊥l ，直线n 与l 相交但不垂直，求证：直线m 、n 相交．1. C 设x ，y等腰三角形习题课1. B 已知如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C ，求证：AD =CD ．C B2. C 如图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点(M 与A 不重合)MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA ．3. C 如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB =15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ，···，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根．4. B 如图，△ABC 为等边三角形，∠BAD = ∠CBE =∠ACF ．(1)求∠EDF 的度数；(2)求证：△DEF 为等边三角形．BOB5. B 已知，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，请证明：AB =2BC .6. B 已知△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点.(1)若AD =BE =CF ．试证明△DEF 是等边三角形．(2)若△DEF 是等边三角形，那么AD =BE =CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明原因.7. B 如图，等边△ABC 与等边△DEC 共顶点于C 点．求证：AE =BD ．BB8. C 如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线与BC 交于点D ，交AB 于E ，DB =8，求AC 的长．9. C 如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB =105°，∠BOC =α．以OC 为边作等边△OCD ，连接AD ．(1)请证明：OB =AD ．(2)△AOD 能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．DBB10. C 等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是.2 直角三角形专题1 直角三角形1. A 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？2. B 如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？变式1：若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，则CD是△ACB的高吗？为什么？变式2：若∠ACD=∠B，CD⊥AB，则△ACB为________三角形．变式3：如图，若∠C=90°，∠AED=∠B，则△ADE是___________三角形．3. A 判断正误：这样描述勾股定理的逆定理正确吗？如果一个三角形斜边的平方等于直角边的平方和，那么这个三角形为直角三角形．4. A 分别以下列四组数为一个三角形的边长(1)1，2，3；(2)3，4，5；(3)5，12，13；(4)6，8，10．其中能组成直角三角形的有()A．4组B．3组C．2组D．1组5. B 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CF、EF D．GH、AB、CD6. A 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，则下列说法中错误的是( )．A ．如果∠C -∠B =∠A ，那么△ABC 是直角三角形，∠C =90°B ．如果a ：b ：c =3：4：5，则∠B =60°，∠A =30°C ．如果∠A ：∠B ：∠C =5：2：3，那么△ABC 是直角三角形D ．如果c 2-a 2=b 2，那么△ABC 是直角三角形7. B 如图所示，四边形ABCD 中，AB =3cm ，AD =4cm ，BC =13cm ，CD =12cm ，∠A =90°，求四边形ABCD 的面积．1. B 若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是_______．2. C 【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】(1)第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．如图1，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E =90°，根据__________，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．B(2)第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．如图2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．(3)第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．①在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)②∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若_________，则△ABC≌△DEF．3. C 下列4个判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例.(1)有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；(2)有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；(3)三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；(4)有一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等.专题2 逆命题和逆定理1. A 指出下列命题的题设和结论，并说出它的逆命题. 等边三角形的每个角都等于60°．2. A 指出下列命题的题设和结论，并说出它的逆命题.如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.3. A 在你学过的定理中，有哪些定理有逆定理？试举出几个例子说明.线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.4. A 在你学过的定理中，有哪些定理有逆定理？试举出几个例子说明. 1.同旁内角互补，两直线平行；2.有两个角相等的三角形是等腰三角形；3.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.专题3 斜边、直角边判定定理1. A 已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，过点A 作BC 边上的高AD ，求证：△ABD ≌△ACD ．2. A 已知：如图，点E 、F 在线段BD 上，AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，AD =CB ，DE =BF ，求证：AF =CE .3. A 已知：如图，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，要使△ABD ≌△ACD ，若根据“HL”判定，还需要加条件___________________，若加条件∠BAD =∠CAD ，则可用________________判定.CA4. A 如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，由点D 分别向AB 、AC 两边引垂线，并与AB 、AC 交于E 、F 两点，且BE =CF ，请判断AD 是否为∠BAC 的角平分线，并证明.3 线段的垂直平分线1. A 如图，点D 是△ABC 内一点，且AB =AC ，DB =CD ，求证：线段AD 在线段BC 的垂直平分线上.B2. B 求证：三角形的三条垂直平分线交于一点.3. A 如图，已知线段AB ，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点C 和点D ，作直线CD ，在CD 上取两点P 、M ，连接P A 、PB 、MA 、MB ，则下列结论一定正确的是( )A. P A =MAB. MA=PEC. PE =BED. P A =PB4. A 如图所示，A 、B 为2个村庄，现在政府想在河道l 上建一个供水站点C ，请你设计一个方案，使供水站到两村庄的距离相等，不写画法，但要保留作图痕迹 .B1. A 如图，AC=AD，BC=BD，则有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB2. A 如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．(1)若∠A=40°，求∠BCD的度数；(2)若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．3. C 小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．(1)小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？(2)设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．4. B △ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点P ，求证：点P 也在BC 的垂直平分线上.5. C △ABC 中，D 为BC 中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E ，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 于G ．求证：BF =CG ．6. C 如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A ．在AC ，BC 两边高线的交点处B ．在AC ，BC 两边中线的交点处C ．在AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．在∠A ，∠B 两内角平分线的交点处BB1. C 在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图1；(2)若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；(3)如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB、CE、ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.2. B 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC =90°，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE//AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．3. B 已知，如图△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．求证：∠EAF=∠ABD．4. C 已知△ABC内一点M满足∠BMC=100︒，线段BM的中垂线交边AB于点P，线段CM的中垂线交边AC于点Q，∠A=20︒，求证：P、M、Q三点共线．4 角平分线专题1 角平分线的性质和判定1. A 如图，在△ABC 中，D 为△ABC 边BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DE =DF ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是( )A ．AD 平分∠BACB ．ME ＝MFC ．AE ＝AFD ．BD ＝DC2. A 如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 交于点D ，且BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC ．3. A 如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 中点，且AE 平分∠DAB ．求证：BE 平分∠ABC ．BA4. A 已知：△ABC 中，PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB ．求证：AP 平分∠BAC ．5. A 如图所示，BD 平分∠ABC ，AB =BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，M 、N 为垂足.求证：PM =PN .6. A 已知，在四边形ABCD 中对角线AC 平分∠DAB ，且∠DAB =120°，∠B 和∠D 互补.求证：AB +AD =AC ．B1. B (1)如图，△ABC 中，PB 、PC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，求证：点P 在∠A 的角平分线上．(2)求证：三角形两外角平分线所在直线的交点，在第三个角内角平分线所在直线上．2. B 如图，已知△ABC 的周长是21，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD =4，△ABC 的面积是多少？BB3. A 如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是()A．P A=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP4. A 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．5. A 如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．(1)求证：∠3=∠B；(2)连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．6. B 如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．1. C 在△ABC中，如图，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等腰三角形ABD和ACE，AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE，CD与BE相交于点O.(1)求证：BE=CD；(2)若设∠BAD=α，∠AOE=β，则用α表示β为，并证明你的结论.专题2 角平分线的模型1. A 如图，在△ABC中，(1)PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2；(2)PB、P A为平分线，证明PC也是平分线；(3)PC、P A为平分线，证明PB也是平分线.2. B △ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度数．3. B 如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PB、P A交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC .其中正确的是( )A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③4. B 已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB＋CD.5. B 已知：如图，四边形ABCD中，∠B+ ∠D =180°，AC平分∠BAD.求证：BC=CD.6. B 在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于E ，求证：BE =1()2AC AB .7. B 已知，如图1，△ABC 中，AB =AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于点E 、F .①图中有几个等腰三角形，请说明EF 与BE 、CF 间有怎样的关系？②若AB ≠AC ，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们，另第①问中EF 与BE 、CF 的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？8. B 如图，正方形ABCD中，F为BC的中点，E为AB上的一点，且DF平分∠CDE，求证：DE=BC+EB .1. B 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB =60°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，则∠AEB=_______．2. C 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，求证：BD+BC=AD．3. C 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于点E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．三角形综合习题课1. A 如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是()A．BD=DC，AB=ACB．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CADD．∠B=∠C，BD=DC2. A 如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AB =DE ，BC =EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是( )A ．∠BCA =∠FB ．∠B =∠EC ．BC ∥EFD ．∠A =∠EDF3. A 如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 交于点D ，且AD 平分∠BAC ，则下列结论中不正确的是( )A ．△ADF ≌△ADEB ．△BDF ≌△CDEC ．△ABD ≌△ACDD ．BD =AD4. A 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ．求证：△BEC ≌△CDA ．AA1. B 如图，在四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是CD 的中点，且AE ⊥BC ，AF ⊥CD .(1)求证：AB =AD ；(2)请你探究∠EAF ，∠BAE ，∠DAF 之间有什么数量关系？并证明你的结论.2. B 两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题，试验与论证：设旋转角∠A 1A 0B 1=α(α<∠A 1A 0A 2)，3θ、4θ、5θ、6θ所表示的角如图所示.(1)用含α的式子表示角的度数：3θ= ，4θ= ，5θ= ，6θ= ；(2)连接A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n 边形A 0A 1A 2…A n －1与正n 边形A 0B 1B 2…B n －1重合(其中A 1与B 1重合)，现将正多边形A 0B 1B 2…B n －1绕顶点A 0逆时针旋转α(0°<α<180n︒)； (3)设n θ与上述“3θ、4θ… ”的意义一样，请直接写出n θ的度数； (4)试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由.3. B 如图△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a，AC=b，求AE，BE的长.4. B C是线段AB的中点，在CE上取两点D、E.(1)若AD = BE，求证：∠ADC=∠E；(2)若∠ADC=∠E，求证：AD = BE.A已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF.已知：如图，在△ABC中，AC≠AB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE 于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.5. B 在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.1. C 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D 为AB 左侧的一个动点，点E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？2. C 如图，已知AB =CD =AE =BC +DE =2，∠ABC =∠AED =90°，求五边形ABCDE 的面积．3. B 如图，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．4. C 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．5. C 如图，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．6. B 如图，ABC ∆中，2C B ∠=∠，AD BC ⊥．求证AC BD DC =-．7. C 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为( )A ．aB ．kC ．2k h D ．h8. C 如图，已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ．9. C 如图，求出图中∠DCA 的角度.期中期末串讲—三角形的证明1. B 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD，AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有( )A．3个B．4个C．5个D．6个2. A 下列条件中，不能得到等边三角形的是( )A．有两个内角是60°的三角形B．有两边相等且是轴对称图形的三角形C．三边都相等的三角形D．有一个角是60°且是轴对称图形的三角形3. B 如图，在纸片△ABC中，AC=6，∠A=30º，∠C=90º，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，求折痕DE的长．4. B 已知：△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P．求证：点P也落在∠A的平分线上．5. A 平面直角坐标系中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．(1)求出△ABC的面积．(2)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B2C3．(3)写出点A1，B2，C3的坐标．6. B 已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．7. A 根据下列已知条件, 不能唯一确定△ABC的大小和形状的是( )A．AB=3，BC= 4，AC=5B．AB= 4，BC=3，∠A=30ºC．∠A=60º，∠B= 45º，AB= 4D．∠C=90º，AB=6，AC=58. A 如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC．参考答案第一章三角形的证明1 等腰三角形专题1 等腰三角形和等边三角形1.证明：∵D是等边三角形ABC的AC边上的中点，∴BD平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠CBD=12∠ABC=30°，又∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，又∵∠BCD=∠CDE+∠E=2∠E，∴∠E=30°=∠CBD，∴BD=DE(等角对等边).2.证明：如图，连接P A，PB，PC，则S△ABC= S△P AB+S△PBC+S△P AC，∴S△ABC=S△P AB+S△PBC+S△P AC=12PE×AB+12PD×BC+12PF×AC，又∵AB=BC=AC，∴S△ABC=12(PE+PF+PD)×BC，又∵S△ABC=12AH×BC，∴PE+PF+PD=AH.3.证明：在△ABD和△CAE中，∵,,,DBA EA BD AEBA ACC ⎧⎪==∠=⎨∠⎪⎩∴△ABD ≌△CAE (SAS).4.证明：方法一：如图，作△ABC 中BC 边上的高线，垂足为D ， 在Rt △ADB 和Rt △ADC 中，∵,,,B C ADB AD AD AD C =⎧⎪⎨⎪=∠∠∠=⎩∠∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (AAS)∴AB =AC ．方法二：如图，作△ABC 中∠BAC 的角平分线AD ，在△ADB 和△ADC 中，∵,,,AD A BAD CAD B D C ∠∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△ADC (AAS)，∴AB =AC ．方法三：将△ABC 视为△ABC 和△ACB 两个三角形，在△ABC 和△ACB 中，∵,,,BC B C C B CB ∠∠∠=⎧∠==⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△ACB (ASA)，∴AB =AC ．5.证明：∵OA =OB ，∴∠A =∠B ，又∵AB ∥DC ，∴∠C =∠B ，∠D =∠A ，∴∠C =∠D ，∴OC =OD ，∴△OCD 是等腰三角形.6. A ．7. D ．8. D ．9. C ．10.证明：∵△ABC 是等边三角形，且AD =BE =CF ，∴AF =BD =CE ，在△ADF 、△BED 和△CFE 中，∵,,AD BE CF C AF BD B E A C ==∠∠∠=⎧==⎪=⎪⎨⎩，∴△ADF ≌△BED ≌△CFE (SAS)，∴DF =ED =FE ，∴△DEF 是等边三角形.11.△CDE 是等边三角形证明：∵△AEC 由△BDC 绕着点C 旋转而成， ∴△AEC ≌△BDC ，∴CD =CE ，∴△CDE 是等腰三角形，又∵∠BCD =∠ACE ，∴∠BCD +∠ACD =∠ACE +∠ACD ，即∠ACB =∠ECD ，∴∠ECD =60°，∴△CDE 是等边三角形.1.证明:∵AD =AE∴∠ADE =∠AED∴∠ADB =∠AEC∴△ABD 和△ACE 中，BD =CE ，∠ADB =∠AEC ，AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴∠B =∠C2.证明：∵AB=AC, ∠A=60°，∵△ABC为等边三角形，∵BD是中线，∵∵CBD=∵ABD=30°，∵CE=CD，∵∵E=∵CDE=12∵BCD，∵∵BCD=60°，∵∵E=30°，∵∵E=∵CBD，∵DB=DE．3.证明：∵∵EAC+∵ECA=90°，∵BCF+∵ECA=90°，∵∵ECA=∵BCF，∵△AEC和△CFB中，∵EAC=∵FCB，∵AEC=∵CFB=90°，AC=CB，∵△AEC∵△CFB（AAS），∵AE=CF，∵BF=CE，∵EF=AE+BF.4.证明：∵∵ABC为等边三角形，∵∵BAC=∵BCA =∵B =60°，AB=AC，∵CE平分∠ACD，∵∵ACE=∵ECD =60°，∵∵ABD和∵ACE中，AB=AC，∵B =∵ACE =60°，BD=CE，∵∵ABD∵∵ACE（SAS），∵AD=AE，∵BAD=∵CAE，∵∵BAC=∵DAE=60°，∵∵ADE为等边三角形.1.等腰直角三角形.证明：连接MA，∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°∵△EDA≌△CAB，∴DA=AB，ED=CA.∴△DAB是等腰直角三角形，∴∠MDA=∠MBA=45°又∵M为BD的中点，∴∠DAM=∠MAB=45°，AM⊥BD.∴△DAM与△MAB是等腰直角三角形.∴AM=MD=MB=12 BD.∴∠MDE=∠MAC=105°.∵DE=AC，∠MDE=∠MAC，MD=AM，∴△MDE≌△MAC.∴∠DME=∠AMC，ME=MC，又∵∠DMA=90°，∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°.∴△EMC是等腰直角三角形.2. C.3.1.5.4.67°.5.原三角形最大内角可能是72°，90°，108°，126°，132°.专题2 重要的30°1.证明：∵∠BAD=12∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC=DE(垂直平分线上的点到角两边的距离相等)，∴在△ADE和△BDE中，。

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（ ）A．等腰三角形三个内角的和等于180°B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，53．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°4．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（ ）A．B．2C．D．36．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（ ）A．74°B．69°C．65°D．60°7．下列命题正确的是（ ）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等8．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（ ）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm二、填空题9．如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝°．11．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是．12．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是°．13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．14．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，∠CBD＝40°，则∠A的度数为°．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是．16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是．17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝度．18．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是．三、解答题19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数；（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD，BC＝6，（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP 交于点H，求证：BQ⊥CP．23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．25．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．26．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．参考答案1．解：A、等腰三角形三个内角的和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；B、直角三角形两边的平方和等于第三边的平方，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．2．解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；故选：B．3．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．4．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．5．解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，∵DE∥AC，∠C＝90°，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴EG⊥BC，∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，∴四边形DGCH为矩形，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DF＝DM，DG＝DF，∴DH＝DG，∴四边形DGCH为正方形，在Rt△BDG和Rt△BDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），∴BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，∴AB＝10，设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，即14﹣2x＝10，解得：x＝2，∴CH＝CG＝2，BG＝6，∵DE∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴，即，∴EG＝4.5，∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，故选：A．6．解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．7．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．8．解：分情况考虑：①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．故选：A．9．解：∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．10．解：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠3＝∠2＝22.5°．故答案为：22.5°．11．解：∵A（8，0），∴OA＝8，设△AOP的边OA上的高是h，则×8×h＝16，解得：h＝4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，4+4+1+1＝10．故答案为：10．12．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20．13．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．14．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，故答案为：30．15．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，故答案为：16．17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．18．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．20．证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，又∵CE⊥AB，∴CF＝EF；（2）∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∵EF＝CF＝BF，∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，∴∠EFB＝45°．21．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．22．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．23．解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠C，∴∠APB＝60°，∴∠BAP＝90°，∴△APB是直角三角形；（2）当AQ＝QP时，∴∠QAP＝∠APQ＝30°，∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，∴∠BQP＝105°，当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，∵P不与B、C重合，∴不存在，综上所述：∠BQP＝105°或60°．24．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．25．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°26．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．。

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD=3，DE=5，则线段EC的长为（）A.3B.4C.2D.2.52、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，∠B的度数为（）A.20°或70°B.30°或60°C.25°或65°D.35°或65°3、下列命题中错误的有（）个（ 1 ）等腰三角形的两个底角相等（2）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（3）对角线相等的四边形为矩形（4）圆的切线垂直于半径（5）平分弦的直径垂直于弦A.1B.2C.3D.44、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）A.55°B.40°C.35°D.20°5、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，在中，，，点E在BC的延长线上，的平分线BD与的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是( )A. B. C. D.AC=AB7、如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D 点，OE∥AC交BC于E点，若BC=20cm，则△ODE的周长为（）A.16cmB.18cmC.20cmD.22cm8、等腰三角形一个为50°，则其余两角度数是（）A.50°，80°B.65°，65°C.50°，80°或65°，65° D.无法确定9、如图，在中，，则的度数为（）A. B. C. D.10、下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A.1个B.2个C.3个D.4个11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是（）A.2B.8C.2D.1012、等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )A.9cmB.12 cmC.12 cm或15 cmD.15 cm13、如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为( )A. B. C.8 D.914、已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm，则它的周长为A.13 cmB.17cmC.13cm或17cmD.10cm或13cm15、△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（）A.50°B.60°C.150°D.50°或130°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，若正方形ABCD的边长为1，且∠BFC＝90°，则AE的长为________17、如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N是斜边AB上方一点，连接BN，点D是BC的中点，DM垂直平分BN，交AB于点E，连接DN，交AB于点F，当△ANF为直角三角形时，线段AE的长为________．18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长度是________cm.19、如图，于，于，且.若，，则的大小为________度.20、如图，在中，点在上，，点在的延长线上，，连接，则的度数为________ ．21、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若∠B=30°，CD=1，则BD的长为________．22、如图，等腰△ABC的周长为27cm，底边BC=7cm，AB的垂直平分线DE交AB 于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为________cm ．cm23、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O恰好是AC的中点，则CD的长为________．24、如图， AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点D，若∠A=38°，则∠BDM=________度.25、如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有________处。

八年级数学下册《三角形的证明》练习题与答案(北师大版)一、选择题1.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是( )A.PQ＞5B.PQ≥5C.PQ＜5D.PQ≤52.如图，已知在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为( )A.31cmB.41cmC.51cmD.61cm3.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝( )A.10°B.15°C.20°D.25°4.若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为( )A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )A.20°B.35°C.40°D.70°6.等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于( )A.腰上的高B.腰上的中线C.底角的平分线D.顶角的平分线7.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是( )A.3cmB.4cmC.5cmD.7 cm8.如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ，若点P 的坐标为(6a ，2b －1)，则a 和b 的数量关系为( )A.6a －2b ＝1B.6a ＋2b ＝1C.6a －b ＝1D.6a ＋b ＝19.如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，适当长度(大于BC 长的一半)为半径作圆弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD.若AB ＝9，AC ＝4，则△ACD 的周长是( )A.12B.13C.17D.1810.如图，已知在直角坐标系中，点A 在y 轴上，BC ⊥x 轴于点C ，点A 关于直线OB 的对称点D 恰好在BC 上，点E 与点O 关于直线BC 对称，∠OBC ＝35°，则∠OED 的度数为( )A.10°B.20°C.30°D.35°11.如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP.下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝( )A. 6B. 3C. 2D. 1.5二、填空题13.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是.14.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE周长为14，BC＝6，则AB长为 .15.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．16.△ABC中其周长为7，AB＝3，当BC＝时，△ABC为等腰三角形.17.如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF过点D且EF∥BC，则△AEF 的周长是 cm.18.如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝.三、作图题19.如图：求作一点P，使PM＝PN，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等.四、解答题20.如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.21.如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，求∠B的度数.22.如图，在Rt△ABC的场地上，∠B＝90°，AB＝BC，∠CAB的平分线AE交BC于点E.甲、乙两人同时从A 处出发，以相同的速度分别沿AC和A→B→E线路前进，甲的目的地为C，乙的目的地为E.请你判断一下，甲、乙两人谁先到达各自的目的地？并说明理由.23.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.求证：∠B＝∠CAF.24.已知射线AP是△ABC的外角平分线，连结PB、PC.(1)如图1，若BP平分∠ABC，且∠ACB＝30°，直接写出∠APB＝ .(2)如图1，若P与A不重合，求证：AB＋AC＜PB＋PC.25.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变(填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数.若不可以，请说明理由.参考答案1.B2.C.3.C.4.A.5.B.6.A7.D.8.B9.B.10.B.11.D.12.D.13.答案为：4.14.答案为：8.15.答案为：100°.16.答案为：1或2.17.答案为：10.18.答案为：9.19.解：如图，点P即为所求.(1)作∠AOB 的平分线OC；(2)连结MN，并作MN 的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，则P点即为所求.20.证明：∵AB＝AC＝AD∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD∴∠ABC＝∠CBD+∠D∵AD∥BC∴∠CBD＝∠D∴∠ABC＝∠D+∠D＝2∠D又∵∠C＝∠ABC∴∠C＝2∠D.21.解：∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°∴∠CAD＝(180°﹣100°)÷2＝40°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝100°＝40°＋100°＝140°∵DC＝DB∴∠B＝(180°﹣140°)÷2＝20°.22.解：同时到达.理由如下：过点E作EF⊥AC于点F.∵AB ＝BC ，∠B ＝90°∴∠C ＝180°－∠B 2＝45°. ∵EF ⊥AC∴∠EFC ＝90°∴∠CEF ＝90°－∠C ＝45°＝∠C∴EF ＝CF.又∵AE 平分∠CAB∴EF ＝EB.易证得△AEF ≌△AEB得AF ＝AB可知AB ＋BE ＝AF ＋CF ＝AC故同时到达.23.证明：∵EF 垂直平分AD∴AF ＝DF ，∠ADF ＝∠DAF∵∠ADF ＝∠B ＋∠BAD ，∠DAF ＝∠CAF ＋∠CAD又∵AD 平分∠BAC∴∠BAD ＝∠CAD∴∠B ＝∠CAF.24.解：(1)∵∠DAC ＝∠ABC ＋∠ACB ，∠1＝∠2＋∠APB∵AE 平分∠DAC ，PB 平分∠ABC∴∠1＝12∠DAC ，∠2＝12∠ABC∴∠APB ＝∠1﹣∠2＝12∠DAC ﹣12ABC ＝12∠ACB ＝15°(2)在射线AD 上取一点H ，是的AH ＝AC ，连接PH.则△APH ≌△APC∴PC ＝PD在△BPH 中，PB ＋PH ＞BH∴PB ＋PC ＞AB ＋AC.25.解：(1)∠EDC ＝180°﹣∠ADB ﹣∠ADE ＝180°﹣115°﹣40°＝25°∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°，115°，小；(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE理由：∵∠C＝40°∴∠DEC＋∠EDC＝140°又∵∠ADE＝40°∴∠ADB＋∠EDC＝140°∴∠ADB＝∠DEC又∵AB＝DC＝2∴△ABD≌△DCE(AAS)(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形理由：∵∠BDA＝110°时∴∠ADC＝70°∵∠C＝40°∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C＋∠EDC＝30°＋40°＝70°∴∠DAC＝∠AED∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时∴∠ADC＝100°∵∠C＝40°∴∠DAC＝40°∴∠DAC＝∠ADE∴△ADE的形状是等腰三角形.。

2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优提升训练（附答案）1．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°2．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（）A．三角形的高线B．边的中垂线C．三角形的中线D．三角形的角平分线3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD4．如图，在△ABC中，E为边AC的中点，CD⊥AB于点D，AB＝2，BC＝1，DE＝，则∠CDE+∠BCD＝（）A．60°B．75°C．90°D．105°5．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（）A．7cm B．9cm C．7cm或12cm D．12cm6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC＝（）A．αB．αC．αD．α7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（）A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB8．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为．10．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动秒时，△DEB与△BCA全等．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．（1）求证：△BDF是等边三角形；（2）若移动点D使EF∥AB时，求AD的长．12．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求证：BC＝BE．13．如图，△ABC中AB＝AC，BD和CD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠ECA，BD 交AC于F，连接AD．（1）求证：AD平分∠GAC；（2）求证：AD∥BC．14．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．15．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．16．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC＝∠B．17．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE 交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．18．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的面积．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．21．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．参考答案1．解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAC＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAC＝∠ABE＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°如图2，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAE＝∠EBA＝50°，∴∠BAC＝130°∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝25°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°故选：C．2．解：三角形的中线平分三角形的面积，故选：C．3．解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD＝∠B，故正确；B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD∴∠AEF＝∠CHE，∴∠CEH＝∠CHE∴CH＝CE＝EF，故正确；C、∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE＝∠BAE，又∵∠ACB＝∠AFE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AEF，∴CE＝EF，∠CEA＝∠AEF，AC＝AF，故正确；D、点H不是CD的中点，故错误．故选：D．4．解：∵CD⊥AB，E为AC边的中点，∴AC＝2DE＝，∵AB＝2，AC＝1，∴BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝∠A＝30°，∴∠DCE＝60°，∵DE＝CE，∴∠CDE＝60°，∴∠CDE+∠BCD＝90°，故选：C．5．解：若腰长为7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，解得x＝17，此时三边长7cm、7cm、17cm，∵7+7＜17∴此三角形不成立；若底边长为7cm，设腰长为xcm，由题意得7+x+x＝31，解得x＝12，此时三边长7cm、12cm、12cm．答：该等腰三角形的腰长为12cm．故选：D．6．解：根据题意：在△ABC中，AB＝AC∴∠B＝∠C∵AE＝AD∴∠ADE＝∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC＝∠C+∠EDC化简可得：∠α＝2∠EDC∴∠EDC＝α．故选：A．7．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD，A正确，不符合题意；BD＝CD，B正确，不符合题意；∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∵∠EAD＝∠BAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝ED，C正确，不符合题意；DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意；故选：D．8．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．9．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．10．解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8﹣4＝4，∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12，∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，AE＝8+8＝16，点E的运动时间为16÷2＝8（秒），故答案为：0，2，6，8．11．（1）证明：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵DE⊥AB，∴∠EDB＝90°，∵∠EDF＝30°，∴∠FDB＝60°＝∠B，∴DF＝BF，∴△BDF是等边三角形；（2）解：∵EF∥AB，DE⊥AB，∴EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∵∠EDF＝30°，∴DF＝2EF，DE＝EF，设EF＝x，则DE＝x，DF＝2x，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵△BDF是等边三角形，∴DF＝BF＝BD＝2x，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣2x，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，∴AD＝DE，即2﹣2x＝•x，解得：x＝，∴AD＝2﹣2×＝．12．证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．13．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，∴DM＝DN＝DK，∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠GAD＝∠DAC，∴AD平分∠GAC．（2）证明：∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∠GAD＝∠DAC，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠GAD＝∠ABC，∴AD∥BC．14．证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝DE＝AC，∵F是BD的中点，∴EF⊥BD．15．解：（1）成立．理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝CE；（2）成立．理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF＝BF，由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴AE＝BC，∵BD＝BC，∴BD＝AE．16．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD ＝∠EDA，∴∠EAC＝∠B．17．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．（2）∵F是AC的中点，∴AF＝CF．∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE．由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG．∴AE＝GC＝8．∵GC＝2BG，∴BG＝4．∴BC＝12．∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．18．（1）证明：连接ME、MD，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵M是BC的中点，∴DM＝BC，同理可得EM＝BC，∴DM＝EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵BC＝10，ED＝6，∴DM＝BC＝5，DN＝DE＝3，由（1）可知∠MND＝90°，∴MN＝＝＝4，∴S△MDE＝DE•MN＝×6×4＝12．19．解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．20．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．21．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图（2），∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°．。