北师大版2021年中考数学总复习《三角形的证明》(含答案)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、等腰三角形周长为17cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的腰长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．5cm 或6cmD ．5cm2、如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 是等腰三角形；②DE ＝BD +CE ；③若∠A ＝50°，则∠BFC ＝115°；④DF ＝EF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、如图，AD 是△AAA 的角平分线，作AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于点F ，连接AF ．下列结论：①AF DF =；②::ABD ACD SS AB AC =；③BAF ACF ∠=∠；④BF AC ⊥．其中命题一定成立的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个AB）为半径作弧，两弧相交4、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12于点M和点M，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若AC＝6，AB＝8，BC＝4，则△BEC 的周长（）A．10 B．12 C．8 D．145、如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，E是AC中点，连接BE，CD⊥BE于点F，CD＝BE．若AD则BD的长为（）A．2 B．C．D．6、有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角互余；③等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴；④等腰三角形两腰上的中线相等．其中正确的说法有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．47、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8、如图，在△AAA 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，则ABD △的周长为13cm ，则△AAA 的周长是（ ）A ．16cmB ．17cmC ．18cmD ．19cm9、如图，△ABC 中，90C ∠=︒，∠CAB 的角平分线AD 交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，2cm DE =，且4cm DB =，则BC 的长是（ ）A ．6cmB ．4cmC ．10cmD ．以上都不对10、如图，在△AAA 中，∠AAA =90°，∠AAA =30°，AA =6√3，D 为AB 上一动点（不与点A 重合），△AAA 为等边三角形，过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段BG 长的最小值是（ ）A ．2√3B ．6C ．3√3D ．9第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将宽为2cm 的纸条沿BC 折叠，45CAB ∠=︒，则折叠后重叠部分的面积为____．（根号保留）2、在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(0，3)、(4，0)、(0，0)，AB =5，点P 为x 轴上一点，若使得△ABP 为等腰三角形，那么点P 的坐标除点(78，0)外，还可以是_____．3、如图，在△AAA 中，AC 的垂直平分线交AC 于点E ，交BC 于点D ，ABD △的周长为13cm ，4.5cm AE =，则△AAA 的周长______cm ．4、如图，在△ABC 中，点D 在AB 的延长线上，∠CAB 平分线与CB 的垂直平分线交于点E ，连接BE ．若∠ACB ＝28°，∠EBC ＝25°，则∠EBD 的度数为 _____°．5、如图，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，12AB =，15BC =，△AAA 的面积是36，则DE 的长是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，直线AB //CD ，现想在直线AB 、CD 之间作一条直线l 平行于直线AB 、CD ，并且使直线l 上的点到直线AB 、CD 之间的距离相等．小明做了如下操作：分别作∠BEF 、∠DFE 的平分线交于点G ，过点G 作直线AB 、CD 的平行线，过点G 分别作直线AB 、CD 、EF 的垂线，垂足分别为M 、N 、H ，此时直线l 上的点到直线AB 、CD 的距离相等．（1）试说明：GM GN GH ==；（2）若120FEB ∠=︒，EG =4，直线l 交EF 于点k ．试问EGF ∠的度数为 ，EKG △是 三角形；EKG △周长为 ；（3）若点P 是射线EB 上的一个动点（不包括端点）．如图2，连接PF ，将△EPF 折叠，顶点E 落在点Q 处，若∠PEF=58°，点Q 刚好落在其中的一条平行线上，试求EFP ∠的度数．2、如图1，AAAA 中，AA ⊥AA 于A ，且AA :AA :AA =2:3:4；（1）试说明AAAA 是等腰三角形；（2）已知A AAAA =40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t (秒)．①若AAAA 的边与BC 平行，求t 的值；②在点N运动的过程中，ADN能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．3、如图，把长方形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC沿AC翻折，点B落在点D，CD交x轴于点E，已知CB＝8，AB＝4（1）求AC所在直线的函数关系式；（2）求点E的坐标和△ACE的面积；（3）坐标轴上是否存在点P（不与A、C、E重合），使得△CEP的面积与△ACE的面积相等，若存在请直接写出点P的坐标．4、数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．下面是小路设计的尺规作图过程．作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．根据小路设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)（2）完成下面的证明：证明：连接BD，BC，∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴DA＝，( )（填推理的依据）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠，( )（填推理的依据）∴∠ACB＝2∠A．5、如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上．（1）求证：∠EAC＝∠BAD；（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数．-参考答案-一、单选题1、C【分析】分为两种情况：5cm是等腰三角形的腰或5cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【详解】若5cm为等腰三角形的腰长，则底边长为17﹣5﹣5＝7（cm），5+5＞7，符合三角形的三边关系；若5cm为等腰三角形的底边，则腰长为（17﹣5）÷2＝6（cm），此时三角形的三边长分别为6cm，6cm，5cm，符合三角形的三边关系；∴该等腰三角形的腰长为5cm或6cm，故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．2、C【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答．【详解】解：∵BF是∠AB的角平分线，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；故①正确；同理，EF＝CE，∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴11,22FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，∴∠FBC+∠FCB＝12（∠ABC+∠ACB）＝65°，∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，但△ABC不一定是等腰三角形，∴DF不一定等于EF，故④错误．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的性质等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键．3、C【分析】根据垂直平分线的性质和线段垂直平分线的性质即可判断①②；根据∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF，即可判断③；根据∠BAF不一定为90°，则∠ACF不一定为90°，即可判断④．【详解】解：∵EF是线段AD的垂直平分线，∴AF=DF，故①正确；∴∠ADF=∠DAF，过点D分别作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，∴DH=DG，∠BAD=∠CAD∵1=2ABDS AB DH⋅△，1=2ACDS AC DG⋅△，∴12=12ABDACDAB DHS ABS ACAC DG⋅=⋅△△，故②正确；∵∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF，∴∠BAF=∠ACF，故③正确；∵∠BAF不一定为90°，∴∠ACF不一定为90°，∴AF与BC不一定垂直，故④错误，故选C．【点睛】本题主要考擦了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．4、A【分析】由垂直平分线的性质得AE BE =，故BEC △的周长为BE EC BC AC BC ++=+，计算即可得出答案．【详解】由题可知：MN 为AB 的垂直平分线，AE BE ∴=，6AC =，6AC AE EC BE EC ∴=+=+=，6410BEC C BE EC BC ∴=++=+=．故选：A ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．5、B【分析】过点C 作CN ⊥AB 于点N ，连接ED ，EN ，利用SAS 证明△DCE ≌△BEN ，可得ED ＝NB ，∠CED ＝∠ENB ＝135°，得△ADE 是等腰直角三角形，可得AD ＝DN ＝BN ，进而可得结果．【详解】解：如图，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，连接EN ，∴∠CNA ＝90°，∵∠BAC ＝45°，∴∠NCA ＝∠A ＝45°，∴AN ＝CN ，∵点E 是AC 的中点，∴∠ANE ＝∠CNE ＝45°，∠CEN ＝∠AEN ＝90°，∴∠CEF +∠FEN ＝90°，∵CD ⊥BE ，∴∠CFE ＝90°，∴∠CEF +∠FCE ＝90°，∴∠DCE ＝∠BEN ，在△DCE 和△BEN 中，CE EN DCE BEN CD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DCE ≌△BEN （SAS ），∴ED ＝NB ，∠CED ＝∠ENB ＝135°，∴∠AED ＝45°＝∠A ＝∠ACN ，∴AD ＝DE ，∵AE ＝CE ，∴AE =EN ，∴AD ＝DN ，∴AD＝DN＝BN，∴BD＝2AD＝故选B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形求解．6、B【分析】根据轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质判断即可．【详解】解：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确；②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与底角互余，原说法错误；③等腰三角形的顶角平分线在它的对称轴上，原说法错误；④等腰三角形两腰上的中线相等，说法正确．综上，正确的有①④，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质是解题的关键．7、B【分析】根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得到答案．【详解】如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线∵AD=CD=BD∴∠A=∠DCA，∠B=∠DCB∵∠A+∠ACB+∠B=180°∴ ∠A+∠DCA+∠DCB+∠B=180即2∠A+2∠B=180°∴∠A+∠B=90°∴∠ACB=90°∴△ABC是直角三角形故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练运用这两个知识是关键．8、D【分析】根据题意，得AB+BD+AD= AB+BD+DC=AB+BC=13，AC=2AE=6，从而得到AB+AC+BC=19．【详解】AE ，∵DE是AC的垂直平分线，3cm∴AE =EC =3，AD =DC ，AC =2AE =6，∵ABD △的周长为13cm ，∴AB +BD +AD = AB +BD +DC =AB +BC =13（cm ），∴AB +AC +BC =19（cm ）．故选D ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线性质，等量代换，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．9、A【分析】由角平分线的性质得CD =DE =2，等量代换后求出BC 的长．【详解】解：∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，∠C =90°，∴CD =DE =2，又∵4cm DB =，∴BC =BD +CD =4+2=6（cm ）；故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，熟练掌握角平分线的性质在实际问题中的应用，等量代换是解题关键．10、B【分析】连接DG ，AG ，设AG 交DE 于点H ，先判定AG 为线段DE 的垂直平分线，再判定()BAC BAG AAS '≅，然后由全等三角形的性质可得答案．解：如图，连接DG ，AG ，设AG 交DE 于点H ，DE DF ⊥，G 为EF 的中点，DG GE ∴=，∴点G 在线段DE 的垂直平分线上， AED 为等边三角形，AD AE ∴=，∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，AG ∴为线段DE 的垂直平分线，AG DE ∴⊥，1302DAG DAE ∠=∠=︒， ∴点G 在射线AH 上，当BG AH ⊥时，BG 的值最小，如图所示，设点G '为垂足，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，ACB AG B '∴∠=∠，CAB BAG '∠=∠，则在BAC 和BAG '△中，ACB AG B CAB BAG AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠='⎨'⎪⎩， ()BAC BAG AAS '∴≅．∵90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，=AC∴12BC AB =，222BC AB +=，∴222(2)BC BC +=，解得：6BC =，∴6BG BC '==故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．二、填空题1、2【分析】利用折叠的性质可得出△ABC 是等腰三角形，有AC =AB ；过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则得CG =2，且△CGA 为等腰直角三角形，从而可求得AC 的值，则可求得面积．【详解】如图，由折叠性质得：∠ECB =∠ACB∵DE ∥AB∴∠DCA =∠CAB =45°∵∠DCA +∠ACB +∠ECB =180° ∴1(180)67.52ACB DCA ∠=︒-∠=︒∵∠CAB +∠ACB +∠ABC =180°∴∠ABC =∠ACB =67.5°∴AB =AC即△ABC 是等腰三角形过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则CG =2，且∠ACG =∠CAB =45°∴△CGA 为等腰直角三角形∴AG =CG =2由勾股定理得：AC ==∴AB =∴重叠部分△ABC 的面积为2112)22AB CG ⨯=⨯=故答案为：2【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，判定△ABC 是等腰三角形是本题的关键．2、（1-，0）、（4-，0）、（9，0）【分析】先表示出PB =|a -4|，PB 2=a 2+9，AB =5，再分三种情况①当PB =AB 时．②当PA =PB 时，③当PA =AB 时，讨论计算即可．【详解】设P（a，0），∵A（0，3），B（4，0），∴PB=|a-4|，PA2=a2+9，AB=5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当PB=AB时，∴|a-4|=5，∴a=-1或9，∴P（-1，0）或（9，0），②当PA=PB时，∴（a-4）2=a2+9，∴a=78，∴P（78，0），③当PA=AB时，∴a2+9=25，∴a=4（舍）或a=-4，∴P（-4，0）．即：满足条件的点P的坐标为（-1，0）、（-4，0）、（9，0）．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，等腰三角形的性质，分类讨论和用方程思想解决问题是解本题的关键．3、22【分析】根据“AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D”可知DE是AC的垂直平分线，利用中垂线的性质可△的周长为AB+BD+AD= 13cm，可知AB+BC=12，再求AC=AE+CE=4.5+4.5=9cm，从而得DC=DA，由ABD可以得到△ABC的周长．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=CE=4.5cm∴AC=AE+CE=4.5+4.5=9cm，△的周长为AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，∵ABD∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=13+9=22cm．故答案为22．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，将△ABD 的周长转化为AB+BC是解题的关键．4、53【分析】过点E作EM⊥AC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，证明Rt△ECM≌Rt△EBN，进而可得结果．【详解】解答：解：如图，过点E作EM⊥AC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，连接E C，∵AE 是∠CAB 平分线，∴EM ＝EN ，∵E 是CB 的垂直平分线上的点，∴EC ＝EB ，∴∠ECB ＝∠EBC ＝25°，在Rt △ECM 和Rt △EBN 中，EC EB EM EN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ECM ≌Rt △EBN （HL ），∴∠EBN ＝∠ECM ＝∠ACB +∠ECB ＝28°+25°＝53°．故答案为：53．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．5、83##【分析】根据角平分线性质，得出DE =DF ，利用S △ABC =S △ABD +S △BCD 得出()11215362DE +⋅=，求解即可． 【详解】解：∵BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF BC ⊥，∴DE =DF ，S △ABC =S △ABD +S △BCD =()()11111215362222AB DE BC DF AB BC DE DE ⋅+⋅=+⋅=+⋅=， 解得728273DE ==． 故答案为83．【点睛】本题考查角平分线性质，三角形面积，一元一次方程，掌握角平分线性质，三角形面积，一元一次方程，关键是利用S △ABC =S △ABD +S △BCD 列出方程．三、解答题1、（1）证明见详解；（2）90︒；等边，12；（3）满足条件的EFP ∠的值为32︒或61︒．【分析】（1）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，即可证明；（2）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得60EFD ∠=︒，根据角平分线的性质及各角之间的关系，可得90EGF ∠=︒；再由平行直线的性质可得60EGK BEG ∠=∠=︒，得出AAAA 是等边三角形，根据周长的公式即可得出三角形周长；（3）分两种情况讨论：①当点Q 落在AB 上时，根据折叠的性质可得：90EPF QPF ∠=∠=︒，结合图形即可得出EFP ∠；②当点Q 落在CD 上时，根据平行线及角平分线的性质即可得出EFP ∠．【详解】解：（1）∵EG 平分BEF ∠，GM BE ⊥，GH EF ⊥，∴GM GH =，∵FG 平分DEF ∠，GN FD ⊥，GH EF ⊥，∴GN GH =，∴GM GH GN ==；（2）∵AB CD ∥，∴180FEB EFD ∠+∠=︒，∵120FEB ∠=︒，∴60EFD ∠=︒，∵EG 平分BEF ∠，FG 平分DEF ∠，∴60FEG BEG ∠=︒=∠，30EFG ∠=︒，∴90EGF ∠=︒；∵直线l AB ∥，∴60EGK BEG ∠=∠=︒，∴AAAA 是等边三角形，∵4EG =，∴AAAA 的周长为12，故答案为：90︒；等边，12；（3）①当点Q 落在AB 上时，如图所示：∵将AAAA 折叠，顶点E 落在点Q 处，∴90EPF QPF ∠=∠=︒，∵58PEF ∠=︒，∴9032EFP PEF ∠=︒-∠=︒；②当点Q 落在CD 上时，如图所示：∵AB CD ∥，∴180PEF EFQ ∠+∠=︒，∵58PEF ∠=︒，∴122EFQ ∠=︒，∵EFP QFP ∠=∠， ∴1612EFP EFQ ∠=∠=︒，综上可得，满足条件的EFP ∠的值为32︒或61︒．【点睛】题目主要考查角平分线及平行线的性质，图形折叠的性质，理解题意，熟练掌握角平分线及平行线的性质是解题关键．2、（1）证明见解析；（2）①t 值为5或6；②点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【分析】（1）设BD ＝2x ，AD ＝3x ，CD ＝4x ，则AB ＝5x ，由勾股定理求出AC ，即可得出结论；（2）①由△ABC 的面积求出BD 、AD 、CD 、AC ；再分当MN ∥BC 时，AM ＝AN 和当DN ∥BC 时，AD ＝AN 两种情况得出方程，解方程即可；②分三种情况：AD =AN ；DA =DN ；和ND =NA ，三种情况讨论即可【详解】解：（1）设BD ＝2x ，AD ＝3x ，CD ＝4x ，则AB ＝5x ，在Rt△ACD中，AC5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；×5x×4x＝40cm2，而x＞0，（2）①S△ABC＝12∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．当MN∥BC时，AM＝AN，即10−t＝t，此时t＝5，当DN∥BC时，AD＝AN，此时t＝6，综上所述，若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6；②ΔADN能成为等腰三角形，分三种情况：（ⅰ）若AD=AN=6，如图：则t=6=6s；1（ⅱ）若DA=DN，如图：过点D 作DH AC ⊥于点H ，则AH =NH ， 由1122ACD S AD CD AC DH =⋅=⋅，得11681022DH ⨯⨯=⨯⨯， 解得245DH =，在Rt ADH 中，185AH ===， 3625AN AH ∴==， 3615AN t s ∴==； （ⅲ）若ND =NA ，如图：过点N 作NQ AB ⊥于点Q ，则AQ =DQ =3，142NQ CD ==，5AN ∴==，51AN t s ∴==； 综上，点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想．3、（1）y ＝142x -+；（2）E (3，0)，10；（3）P 1(-2，0)，P 2(0，323)，P 3(0，-83)． 【分析】（1）先求出A 、C 的坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先证明CE ＝AE ；设CE ＝AE ＝x ，则OE ＝8－x ，在直角△OCE 中，OC 2＋OE 2＝CE 2，则()22248-x x +=，求出x 得到OE 的长即可求解； （3）分P 在x 轴上和y 轴上两种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）∵OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ＝8，AB ＝4．∴A (8，0)、C (0，4)，设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b ，∴804k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴AC 所在直线的函数关系式为y ＝142x -+；（2）∵长方形OABC 中，BC ∥OA ，∴∠BCA ＝∠CAO ，又∵∠BCA ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠CAO ，∴CE ＝AE ；设CE ＝AE ＝x ，则OE ＝8－x ，在直角△OCE 中，OC 2＋OE 2＝CE 2，则()2224+8-x =x ，解得：x ＝5；则OE ＝8－5＝3，则E (3，0)，∴S △ACE ＝12×5×4＝10；（3）如图3-1所示，当P 在x 轴上时，∵A AAAA =A AAAA ， ∴1102PE OC ⋅=，∴5PE =，∵E 点坐标为（3，0），∴P 点坐标为（-2，0）或（8，0）（舍去，与A 点重合）如图3-2所示，当P在y轴上时，同理可得1102PC OE⋅=，∴203 PC=，∵C点坐标为（0，4），∴P点坐标为（0，83-）或（0，323）；综上所述，坐标轴上是在点P（-2，0）或（0，323）或（0，83-）使得△CEP的面积与△ACE的面积相等．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，三角形面积，坐标与图形，勾股定理与折叠，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于鞥个熟练掌握相关知识进行求解．4、（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC；等边对等角．【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可．（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可．【详解】解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；(2)解：证明：连接BD，BC，∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）∴∠ACB＝2∠A．【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质，是解决该题的关键．5、（1）见解析；（2）42°【分析】（1）利用边边边证得△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，即可求证；（2）根据等腰三角形的性质，可得∠AEC＝∠C＝69°，再由△ABC≌△ADE，可得∠AED＝∠C＝69°，即可求解．【详解】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE．∴∠BAC＝∠DAE．∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE．即∠EAC＝∠BAD；（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，∴∠AEC＝∠C＝12×(180°－∠EAC)＝12×(180°－42°)＝69°．∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝69°，∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质定理是解题的关键．。

八年级下册第1章三角形的证明单元检测题及答案(北师大版) （本试卷满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC 交BC于点D，则BD的长为（）A.157B.125C.207D.2153. 如图，在△ABC中，，点D在AC边上，且，则∠A的度数为（）A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°4.（2015•湖北荆门中考）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A.8或10B.8C.10D.6或125.如图，已知，，，下列结论：①；②；③；④△≌△．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm，则最长边AB的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm7.如图，已知，，下列条件能使△≌△的是（）A. B. C. D.三个答案都是8.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（）5 D.1A.5B.2C.410.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB 于点E，如果cm，那么△的周长是（）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm第二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O 重合，则∠OEC的度数是.12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是______三角形.13.（2015•四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.14.如图，在△ABC中，，AM平分∠，cm，则点M到AB的距离是_________.15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则_________，_________.16.在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是.17.如图，已知的垂直平分线交于点，则.18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度.三、解答题（共46分）19.（6分）如图，在△ABC中，，是上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠的平分线于点D，求证：.20.（6分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数.探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探PA的长.21.（6分）如图所示，在四边形中，平分∠.求证：.22.（6分）如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若2，求BE的长.23.（6分）如图所示，在Rt△ABC中，，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．第24题图24.（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD＝CE.25.（8分）已知：如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点.求证：△是等腰三角形．第一章三角形的证明检测题参考答案1.B 解析：只有②④正确.2.A 解析：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4， ∴222234 5BC AB AC =+=+=，∴BC 边上的高=123455⨯÷=.∵ AD 平分∠BAC ，∴点D 到AB ，AC 的距离相等，设为h ， 则111123452225ABC S h h ∆=⨯+⨯=⨯⨯，解得127h =，1121123 2725ABD S BD ∆=⨯⨯=⨯，解得157BD =．故选A ．3.B 解析：因为，所以.因为，所以.又因为，所以，所以所以4.C 解析：当等腰三角形的腰长是2，底边长是4时，等腰三角形的三边长是2，2，4，根据三角形的三边关系，不能构成三角形，所以不合题意，舍去；当等腰三角形的腰长是4，底边长是2时，等腰三角形的三边长是4，4，2，根据三角形的三边关系，能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋4＋2=10.5.C 解析：因为，所以△≌△（），所以，所以，即故③正确.又因为，所以△≌△（ASA），所以，故①正确.由△≌△，知，又因为，所以△≌△，故④正确.由于条件不足，无法证得②故正确的结论有：①③④.6.D 解析：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以△ABC为直角三角形，且∠C为直角.又因为最短边cm，则最长边cm.7.D 解析：添加A 选项中条件可用“AAS ”判定两个三角形全等； 添加B 选项中条件可用“SAS ”判定两个三角形全等； 添加C 选项中条件可用“HL ”判定两个三角形全等.故选D ． 8.D 解析：在△ABC 中，∵∠A=36°，AB=AC ， ∴△ABC 是等腰三角形，∠ABC=∠C=72°. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠A=∠ABD ，∠CDB=∠A+∠ABD ＝36°+36°=72°， ∴∠C ＝∠CDB ，∴△ABD ，△CBD 都是等腰三角形. ∴BC=BD.∵BE=BC ，∴BD=BE ， ∴△EBD 是等腰三角形， ∴∠BED ＝=＝72°.在△AED 中，∵∠A=36°，∠BED ＝∠A+∠ADE ，∴∠ADE ＝∠BED-∠A ＝72°-36°＝36°，∴∠ADE=∠A =36°，∴△AED 是等腰三角形.∴图中共有5个等腰三角形.9.B 解析：设此直角三角形为△ABC ，其中因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以又因为直角三角形的周长是624+，所以62=+b a .两边平方，得24)(2=+b a ，即24222=++ab b a . 由勾股定理知16222==+c b a ， 所以4=ab ，所以221=ab .10.D 解析：因为垂直平分，所以.所以△的周长（cm）.11.100°解析:如图所示，由AB=AC，AO平分∠BAC，得AO所在直线是线段BC的垂直平分线，连接OB，则OB=OA=OC，所以∠OAB=∠OBA=×50°=25°，得∠BOA=∠COA=1802525130,︒-︒-︒=︒∠BOC=360°-∠BOA-∠COA=100°.︒-︒=40°.所以∠OBC=∠OCB=1801002由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.12.直角解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.13.15 解析：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.因为AB＝AC，所以∠ABC＝（180°－50°）÷2＝65°.因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB，所以∠DBE＝∠A＝50°.所以∠DBC＝65°－50°＝15°.14.20 cm 解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案.51∶3 解析：因为，F是AB的中点，所以.15.2在Rt △中，因为，所以.又，所.16.4∶3 解析：如图所示，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， 垂足分别为点M 和点N. ∵AD 平分∠BAC ，∴DM ＝DN. ∵AB ×DM ， AC ×DN ， ∴.第16题答图17.60︒解析:∵∠BAC=120︒，AB=AC ，∴∠B=∠C=180********.22BAC ︒-∠︒-︒==︒ ∵AC 的垂直平分线交BC 于点D ，∴ AD=CD. ∴30,C DAC ∠=∠=︒∴303060.ADB C DAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒18. 85 解析:∵∠BDM=180°-∠ADF -∠FDE =180°-100°-30°=50°，∴∠BMD=180°-∠BDM -∠B =180°-50°-45°=85°. 19.证明：∵，∴∥，∴.又∵为∠的平分线，∴，∴，∴.20. 解：应用：若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC.∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴∴∴与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC.若PA＝PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，∴∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°.探究：若PB＝PC，设PA＝x，则x2+32=(4-x)2，∴x ＝，即PA＝.若PA＝PC，则PA＝2.若PA＝PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，这种情况不可能.故PA＝2或.21.证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，过点D作于点F.因为BD平分∠ABC，所以.在Rt△EAD和Rt△FCD中，所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.所以∠=∠.因为∠∠80°，所以∠.22.解：因为△ABD和△CDE都是等边三角形，所以，∠∠60°.所以∠∠∠∠，即∠∠.在△和△中，因为所以△≌△，所以.又，所以.在等腰直角△中，2，故.23.解：，BE⊥EC.证明：∵，点D是AC的中点，∴.∵∠∠45°，∴∠∠135°.∵，∴△EAB≌△EDC.∴∠∠.∴∠∠90°.∴⊥.24.证明：∵AE∥BD，∴∠EAC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠EAC＝∠B.又∵∠BAD＝∠ACE＝90°，∴△ABD≌△CAE（ASA）.∴AD＝CE.25.证明：∵，∴∠∠．∵于点，∴∠∠．∴∠∠∠∠．∴∠∠．∵∠∠，∴∠∠．∴△是等腰三角形.。

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K b 1.c o MA．6B．7C．8D．95．(2021•恩施州)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB ,垂足为F ,DE =DG ,△ADG 和△AED的面积分别为50和39 ,那么△EDF的面积为()A．11 B．C．7D．6．(2021•广州)在Rt△ABC中,∠C =90° ,AC =9 ,BC =12 ,那么点C到AB的距离是()A．B．C．D．7．(2007•芜湖)如图,在△ABC中AD⊥BC ,CE⊥AB ,垂足分别为D、E ,AD、CE交于点H ,EH =EB =3 ,AE =4 ,那么CH的长是()A．1B．2C．3D．48．(2021•泰安)如图,点O是矩形ABCD的中|心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B 恰好与点O重合,假设BC =3 ,那么折痕CE的长为()A．B．C．D．69．(2021•深圳)如图,：∠MON =30° ,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,假设OA1=1 ,那么△A6B6A7的边长为()A．6B．12 C．32 D．64二．填空题(共8小题)10．(2021•怀化)如图,在△ABC中,AB =AC ,∠BAC的角平分线交BC边于点D ,AB =5 ,BC =6 ,那么AD =_________．11．(2021•衡阳)如下列图,在△ABC中,∠B =90° ,AB =3 ,AC =5 ,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE ,那么△ABE的周长为_________．12．(2021•滨州)如图,等边△ABC的边长为6 ,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点,假设AE =2 ,EM +CM的最|小值为_________．13．(2021•泰安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB =90° ,AB的垂直平分线DE交AC于E ,交BC的延长线于F ,假设∠F =30° ,DE =1 ,那么BE的长是_________．15．(2005•绵阳)如图,在△ABC中,BC =5cm ,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB ,PE∥AC ,那么△PDE的周长是_________cm．16．(2021•陕西)如图,梯形ABCD中,AB∥DC ,∠ADC +∠BCD =90° ,且DC =2AB ,分别以DA ,AB ,BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1 ,S2 ,S3 ,那么S1 ,S2 ,S3之间的关系是_________．17．(2005•十堰)如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,那么第n个三角形的面积为_________．三．解答题(共5小题)18．(2021•温州)如图,在△ABC中,∠C =90° ,AD平分∠CAB ,交CB于点D ,过点D作DE⊥AB于点E．(1 )求证：△ACD≌△AED；(2 )假设∠B =30° ,CD =1 ,求BD的长．19．(2021•沈阳)如图,△ABC中,AB =BC ,BE⊥AC于点E ,AD⊥BC于点D ,∠BAD =45° ,AD与BE交于点F ,连接CF．(1 )求证：BF =2AE；(2 )假设CD =,求AD的长．20．(2021•铜仁地区)如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC =90° ,∠DAE =90° ,B ,C ,D在同一条直线上．求证：BD =CE．21．(2007•福州)如图,直线AC∥BD ,连接AB ,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个局部,规定：线上各点不属于任何局部．当动点P落在某个局部时,连接PA ,PB ,构成∠PAC ,∠APB ,∠PBD三个角．(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)(1 )当动点P落在第①局部时,求证：∠APB =∠PAC +∠PBD；(2 )当动点P落在第②局部时,∠APB =∠PAC +∠PBD是否成立? (直接答复成立或不成立)(3 )当动点P落在第③局部时,全面探究∠PAC ,∠APB ,∠PBD之间的关系,并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．22．(2021•抚顺)在Rt△ABC中,∠ACB =90° ,∠A =30° ,点D是AB的中点,DE⊥BC ,垂足为点E ,连接CD．(1 )如图1 ,DE与BC的数量关系是_________；(2 )如图2 ,假设P是线段CB上一动点(点P不与点B、C重合) ,连接DP ,将线段DP绕点D逆时针旋转60° ,得到线段DF ,连接BF ,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论；(3 )假设点P是线段CB延长线上一动点,按照(2 )中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．参考答案与试题解析一．选择题(共9小题)1．(2021•郴州)如图,在Rt△ACB中,∠ACB =90° ,∠A =25° ,D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,那么∠ADB′等于()A．25°B．30°C．35°D．40°解答：解：∵在Rt△ACB中,∠ACB =90° ,∠A =25° ,∴∠B =90°﹣25°=65° ,∵△CDB′由△CDB反折而成,∴∠CB′D =∠B =65° ,∵∠CB′D是△AB′D的外角,∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A =65°﹣25°=40°．应选D．2．(2021•潍坊)轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,那么C处与灯塔A的距离是()海里．A．25B．25C．50 D．25解答：解：根据题意,∠1 =∠2 =30° ,∵∠ACD =60° ,∴∠ACB =30°+60°=90° ,∴∠CBA =75°﹣30°=45° ,∴△ABC为等腰直角三角形,∵BC =50×0.5 =25 ,∴AC =BC =25 (海里)．应选D．3．(2021•贵阳)如图,△ABC中,∠C =90° ,AC =3 ,∠B =30° ,点P是BC边上的动点,那么AP长不可能是()A．B．C．D．7解答：解：根据垂线段最|短,可知AP的长不可小于3；∵△ABC中,∠C =90° ,AC =3 ,∠B =30° ,∴AB =6 ,∴AP的长不能大于6．应选D．4．(2021•铜仁地区)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E ,过点E作MN∥BC交AB于M ,交AC于N ,假设BM +CN =9 ,那么线段MN的长为()A．6 B．7C．8D．9考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E ,∠MBE =∠EBC ,∠ECN =∠ECB ,利用两直线平行,内错角相等,利用等量代换可∠MBE =∠MEB ,∠NEC =∠ECN ,然后即可求得结论．解答：解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E ,∴∠MBE =∠EBC ,∠ECN =∠ECB ,∵MN∥BC ,∴∠EBC =∠MEB ,∠NEC =∠ECB ,w W w . K b 1.c o M∴∠MBE =∠MEB ,∠NEC =∠ECN ,∴BM =ME ,EN =CN ,∴MN =ME +EN ,即MN =BM +CN．∵BM +CN =9∴MN =9 , 应选D．5．(2021•恩施州)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB ,垂足为F ,DE =DG ,△ADG 和△AED的面积分别为50和39 ,那么△EDF的面积为()A．11 B．C．7D．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：作DM =DE交AC于M ,作DN⊥AC ,利用角平分线的性质得到DN =DF ,将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．解答：解：作DM =DE交AC于M ,作DN⊥AC ,∵DE =DG ,DM =DE ,∴DM =DG ,∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB ,∴DF =DN ,在Rt△DEF和Rt△DMN中,,∴Rt△DEF≌Rt△DMN (HL ) ,∵△ADG和△AED的面积分别为50和39 ,∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39 =11 ,S△DNM=S△DEF=S△MDG=应选B．点评：此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质,解题的关键是正确地作出辅助线,将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．6．(2021•广州)在Rt△ABC中,∠C =90° ,AC =9 ,BC =12 ,那么点C到AB的距离是()A．B．C．D．解答：解：根据题意画出相应的图形,如下列图：在Rt△ABC中,AC =9 ,BC =12 ,根据勾股定理得：AB ==15 ,过C作CD⊥AB ,交AB于点D ,又S△ABC=AC•BC =AB•CD ,∴CD ===,那么点C到AB的距离是．应选A7．(2007•芜湖)如图,在△ABC中AD⊥BC ,CE⊥AB ,垂足分别为D、E ,AD、CE交于点H ,EH =EB =3 ,AE =4 ,那么CH的长是()A．1 B．2C．3D．4解答：解：在△ABC中,AD⊥BC ,CE⊥AB ,∴∠AEH =∠ADB =90°；∵∠EAH +∠AHE =90° ,∠DHC +∠BCH =90° ,∵∠EHA =∠DHC (对顶角相等) ,∴∠EAH =∠DCH (等量代换)；∵在△BCE和△HAE中,∴△AEH≌△CEB (AAS )；∴AE =CE；∵EH =EB =3 ,AE =4 ,∴CH =CE﹣EH =AE﹣EH =4﹣3 =1．应选A．8．(2021•泰安)如图,点O是矩形ABCD的中|心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B 恰好与点O重合,假设BC =3 ,那么折痕CE的长为()A．B．C．D．6解答：解：∵△CEO是△CEB翻折而成,∴BC =OC ,BE =OE ,∠B =∠COE =90° ,∴EO⊥AC ,∵O是矩形ABCD的中|心,∴OE是AC的垂直平分线,AC =2BC =2×3 =6 ,∴AE =CE ,在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2 ,即62=AB2+32 ,解得AB =3,在Rt△AOE中,设OE =x ,那么AE =3﹣x ,AE2=AO2+OE2 ,即(3﹣x )2=32+x2 ,解得x =,∴AE =EC =3﹣=2．应选A．9．(2021•深圳)如图,：∠MON =30° ,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,假设OA1=1 ,那么△A6B6A7的边长为()A．6B．12 C．32 D．64解答：解：∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1 ,∠3 =∠4 =∠12 =60° ,∴∠2 =120° ,∵∠MON =30° ,∴∠1 =180°﹣120°﹣30°=30° ,又∵∠3 =60° ,∴∠5 =180°﹣60°﹣30°=90° ,∵∠MON =∠1 =30° ,∴OA1=A1B1=1 ,∴A2B1=1 ,∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形,∴∠11 =∠10 =60° ,∠13 =60° ,∵∠4 =∠12 =60° ,∴A1B1∥A2B2∥A3B3 ,B1A2∥B2A3 ,∴∠1 =∠6 =∠7 =30° ,∠5 =∠8 =90° ,∴A2B2=2B1A2 ,B3A3=2B2A3 ,∴A3B3=4B1A2=4 ,A4B4=8B1A2=8 ,A5B5=16B1A2=16 ,以此类推：A6B6=32B1A2=32．应选：C．二．填空题(共8小题)10．(2021•怀化)如图,在△ABC中,AB =AC ,∠BAC的角平分线交BC边于点D ,AB =5 ,BC =6 ,那么AD =4．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．分析：首|先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一,求出DB =DC =CB ,AD⊥BC ,再利用勾股定理求出AD的长．解答：解：∵AB =AC ,AD是∠BAC的角平分线,∴DB =DC =CB =3 ,AD⊥BC ,在Rt△ABD中,∵AD2+BD2=AB2 ,∴AD ==4 ,故答案为：4．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用,做题的关键是根据等腰三角形的性质证出△ADB是直角三角形．11．(2021•衡阳)如下列图,在△ABC中,∠B =90° ,AB =3 ,AC =5 ,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE ,那么△ABE的周长为7．考点：翻折变换(折叠问题)；勾股定理．专题：压轴题；探究型．分析：先根据勾股定理求出BC的长,再根据图形翻折变换的性质得出AE =CE ,进而求出△ABE的周长．解答：解：∵在△ABC中,∠B =90° ,AB =3 ,AC =5 ,∴BC ===4 ,∵△ADE是△CDE翻折而成,∴AE =CE ,∴AE +BE =BC =4 ,∴△ABE的周长=AB +BC =3 +4 =7．故答案为：7．点评：此题考查的是图形翻折变换的性质,即折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．12．(2021•滨州)如图,等边△ABC的边长为6 ,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点,假设AE =2 ,EM +CM的最|小值为．考点：轴对称-最|短路线问题；勾股定理．专题：压轴题；动点型．分析：要求EM +CM的最|小值,需考虑通过作辅助线转化EM ,CM的值,从而找出其最|小值求解．解答：解：连接BE ,与AD交于点M．那么BE就是EM +CM的最|小值．取CE中点F ,连接DF．∵等边△ABC的边长为6 ,AE =2 ,∴CE =AC﹣AE =6﹣2 =4 ,∴CF =EF =AE =2 ,又∵AD是BC边上的中线,∴DF是△BCE的中位线,∴BE =2DF ,BE∥DF ,又∵E为AF的中点,∴M为AD的中点,∴ME是△ADF的中位线,∴DF =2ME ,∴BE =2DF =4ME ,∴BM =BE﹣ME =4ME﹣ME =3ME ,∴BE =BM．在直角△BDM中,BD =BC =3 ,DM =AD =,∴BM ==,∴BE =．∵EM +CM =BE∴EM +CM的最|小值为．点评：考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．13．(2021•泰安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB =90° ,AB的垂直平分线DE交AC于E ,交BC的延长线于F ,假设∠F =30° ,DE =1 ,那么BE的长是2．w W w . K b 1.c o M 考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．专题：压轴题．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE =30° ,那么在直角△DBE中由"30度角所对的直角边是斜边的一半〞即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB =90° ,FD⊥AB ,∴∠ACB =∠FDB =90° ,∵∠F =30° ,∴∠A =∠F =30° (同角的余角相等)．又AB的垂直平分线DE交AC于E ,∴∠EBA =∠A =30° ,∴直角△DBE中,BE =2DE =2．故答案是：2．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA =30°．14．(2021•黔西南州)如图,△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG =CD ,DF =DE ,那么∠E =15度．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：根据等边三角形三个角相等,可知∠ACB =60° ,根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．解答：解：∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB =60° ,∠ACD =120° ,∵CG =CD ,∴∠CDG =30° ,∠FDE =150° ,∵DF =DE ,∴∠E =15°．故答案为：15．点评：此题考查了等边三角形的性质,互补两角和为180°以及等腰三角形的性质,难度适中．15．(2005•绵阳)如图,在△ABC中,BC =5cm ,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB ,PE∥AC ,那么△PDE的周长是5cm．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：压轴题．分析：分别利用角平分线的性质和平行线的判定,求得△DBP和△ECP为等腰三角形,由等腰三角形的性质得BD =PD ,CE =PE ,那么△PDE的周长就转化为BC边的长,即为5cm．解答：解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,∴∠ABP =∠PBD ,∠ACP =∠PCE ,∵PD∥AB ,PE∥AC ,∴∠ABP =∠BPD ,∠ACP =∠CPE ,∴∠PBD =∠BPD ,∠PCE =∠CPE ,∴BD =PD ,CE =PE ,∴△PDE的周长=PD +DE +PE =BD +DE +EC =BC =5cm．答：△PDE的周长是5cm．点评：此题主要考查了平行线的判定,角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．此题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．16．(2021•陕西)如图,梯形ABCD中,AB∥DC ,∠ADC +∠BCD =90° ,且DC =2AB ,分别以DA ,AB ,BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1 ,S2 ,S3 ,那么S1 ,S2 ,S3之间的关系是S2=S1+S3．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：过点A作AE∥BC交CD于点E ,得到平行四边形ABCE和Rt△ADE ,根据平行四边形的性质和勾股定理,不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边．解答：解：过点A作AE∥BC交CD于点E ,∵AB∥DC ,∴四边形AECB是平行四边形,∴AB =CE ,BC =AE ,∠BCD =∠AED ,∵∠ADC +∠BCD =90° ,DC =2AB ,∴AB =DE ,∠ADC +∠AED =90° ,∴∠DAE =90° ,那么AD2+AE2=DE2 ,∵S1=AD2 ,S2=AB2=DE2 ,S3=BC2=AE2∴S2=S1+S3．点评：此题的关键在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行四边形和直角三角形的问题,然后把三个正方形的边长整理到一个三角形中进行解题．17．(2005•十堰)如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,那么第n个三角形的面积为．考点：勾股定理．专题：规律型．分析：根据勾股定理,逐一进行计算,从中寻求规律,进行解答．解答：解：根据勾股定理：第|一个三角形中：OA12=1 +1 ,S1=1×1÷2；第二个三角形中：OA22=OA12+1 =1 +1 +1 ,S2=OA1×1÷2 =×1÷2；第三个三角形中：OA32=OA22+1 =1 +1 +1 +1 ,S3=OA2×1÷2=×1÷2；…第n个三角形中：S n=×1÷2 =．点评：此题主要考查了勾股定理的应用,要注意图中三角形的面积的变化规律．三．解答题(共5小题)18．(2021•温州)如图,在△ABC中,∠C =90° ,AD平分∠CAB ,交CB于点D ,过点D作DE⊥AB于点E．(1 )求证：△ACD≌△AED；(2 )假设∠B =30° ,CD =1 ,求BD的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析：(1 )根据角平分线性质求出CD =DE ,根据HL定理求出另三角形全等即可；(2 )求出∠DEB =90° ,DE =1 ,根据含30度角的直角三角形性质求出即可．解答：(1 )证明：∵AD平分∠CAB ,DE⊥AB ,∠C =90° ,∴CD =ED ,∠DEA =∠C =90° ,∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED (HL )；(2 )解：∵DC =DE =1 ,DE⊥AB ,∴∠DEB =90° ,∵∠B =30° ,∴BD =2DE =2．点评：此题考查了全等三角形的判定,角平分线性质,含30度角的直角三角形性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．19．(2021•沈阳)如图,△ABC中,AB =BC ,BE⊥AC于点E ,AD⊥BC于点D ,∠BAD =45° ,AD与BE交于点F ,连接CF．(1 )求证：BF =2AE；(2 )假设CD =,求AD的长．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：证明题；压轴题．分析：(1 )先判定出△ABD是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AD =BD ,再根据同角的余角相等求出∠CAD =∠CBE ,然后利用"角边角〞证明△ADC和△BDF全等,根据全等三角形对应边相等可得BF =AC ,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC =2AF ,从而得证；(2 )根据全等三角形对应边相等可得DF =CD ,然后利用勾股定理列式求出CF ,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF =CF ,然后根据AD =AF +DF代入数据即可得解．解答：(1 )证明：∵AD⊥BC ,∠BAD =45° ,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD =BD ,∵BE⊥AC ,AD⊥BC ,∴∠CAD +∠ACD =90° ,∠CBE +∠ACD =90° ,∴∠CAD =∠CBE ,在△ADC和△BDF中,,∴△ADC≌△BDF (ASA ) ,∴BF =AC ,∵AB =BC ,BE⊥AC ,∴AC =2AE ,∴BF =2AE；(2 )解：∵△ADC≌△BDF ,∴DF =CD =,在Rt△CDF中,CF ===2 ,∵BE⊥AC ,AE =EC ,∴AF =CF =2 ,∴AD =AF +DF =2 +．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,勾股定理的应用,以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质,熟记各性质并准确识图是解题的关键．20．(2007•福州)如图,直线AC∥BD ,连接AB ,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个局部,规定：线上各点不属于任何局部．当动点P落在某个局部时,连接PA ,PB ,构成∠PAC ,∠APB ,∠PBD三个角．(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)(1 )当动点P落在第①局部时,求证：∠APB =∠PAC +∠PBD；(2 )当动点P落在第②局部时,∠APB =∠PAC +∠PBD是否成立? (直接答复成立或不成立)(3 )当动点P落在第③局部时,全面探究∠PAC ,∠APB ,∠PBD之间的关系,并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．考点：平行线的性质；角平分线的性质．专题：动点型；探究型．分析：(1 )如图1 ,延长BP交直线AC于点E ,由AC∥BD ,可知∠PEA =∠PBD．由∠APB =∠PAE +∠PEA ,可知∠APB =∠PAC +∠PBD；(2 )过点P作AC的平行线,根据平行线的性质解答；(3 )根据P的不同位置,分三种情况讨论．解答：解：(1 )解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．∵AC∥BD ,∴∠PEA =∠PBD．∵∠APB =∠PAE +∠PEA ,∴∠APB =∠PAC +∠PBD；解法二：如图2过点P作FP∥AC ,∴∠PAC =∠APF．∵AC∥BD ,∴FP∥BD．∴∠FPB =∠PBD．∴∠APB =∠APF +∠FPB=∠PAC +∠PBD；解法三：如图3 ,∵AC∥BD ,∴∠CAB +∠ABD =180° ,∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD =180°．又∠APB +∠PBA +∠PAB =180° ,∴∠APB =∠PAC +∠PBD．(2 )不成立．(3 ) (a )当动点P在射线BA的右侧时,结论是∠PBD =∠PAC +∠APB．(b )当动点P在射线BA上,结论是∠PBD =∠PAC +∠APB．或∠PAC =∠PBD +∠APB或∠APB =0° ,∠PAC =∠PBD (任写一个即可)．(c )当动点P在射线BA的左侧时,结论是∠PAC =∠APB +∠PBD．选择(a )证明：如图4 ,连接PA ,连接PB交AC于M．∵AC∥BD ,∴∠PMC =∠PBD．又∵∠PMC =∠PAM +∠APM (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) ,∴∠PBD =∠PAC +∠APB．选择(b )证明：如图5∵点P在射线BA上,∴∠APB =0度．∵AC∥BD ,∴∠PBD =∠PAC．∴∠PBD =∠PAC +∠APB或∠PAC =∠PBD +∠APB或∠APB =0° ,∠PAC =∠PBD．选择(c )证明：如图6 ,连接PA ,连接PB交AC于F∵AC∥BD ,∴∠PFA =∠PBD．∵∠PAC =∠APF +∠PFA ,∴∠PAC =∠APB +∠PBD．点评：此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题,旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．认真做好(1 ) (2 )小题,可以为(3 )小题提供思路．21．(2021•抚顺)在Rt△ABC中,∠ACB =90° ,∠A =30° ,点D是AB的中点,DE⊥BC ,垂足为点E ,连接CD．(1 )如图1 ,DE与BC的数量关系是DE =BC；(2 )如图2 ,假设P是线段CB上一动点(点P不与点B、C重合) ,连接DP ,将线段DP绕点D逆时针旋转60° ,得到线段DF ,连接BF ,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论；(3 )假设点P是线段CB延长线上一动点,按照(2 )中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：(1 )由∠ACB =90° ,∠A =30°得到∠B =60° ,根据直角三角形斜边上中线性质得到DB =DC ,那么可判断△DCB为等边三角形,由于DE⊥BC ,DE =BC；(2 )根据旋转的性质得到∠PDF =60° ,DP =DF ,易得∠CDP =∠BDF ,那么可根据"SAS〞可判断△DCP≌△DBF ,那么CP =BF ,利用CP =BC﹣BP ,DE=BC可得到BF +BP =DE；(3 )与(2 )的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP =BF ,而CP =BC +BP ,那么BF﹣BP =BC ,所以BF﹣BP =DE．解答：解：(1 )∵∠ACB =90° ,∠A =30° ,∴∠B =60° ,∵点D是AB的中点,∴DB =DC ,∴△DCB为等边三角形,∵DE⊥BC ,∴DE =BC；故答案为DE =BC．(2 )BF +BP =DE．理由如下：∵线段DP绕点D逆时针旋转60° ,得到线段DF ,∴∠PDF =60° ,DP =DF ,而∠CDB =60° ,∴∠CDB﹣∠PDB =∠PDF﹣∠PDB ,∴∠CDP =∠BDF ,在△DCP和△DBF中,∴△DCP≌△DBF (SAS ) ,∴CP =BF ,而CP =BC﹣BP ,∴BF +BP =BC ,∵DE =BC ,∴BC =DE ,∴BF +BP =DE；(3 )如图,与(2 )一样可证明△DCP≌△DBF ,∴CP =BF ,而CP =BC +BP ,∴BF﹣BP =BC ,∴BF﹣BP =DE．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有"SSS〞、"SAS〞、"ASA〞、"AAS〞；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．22．(2021•铜仁地区)如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC =90° ,∠DAE =90° ,B ,C ,D在同一条直线上．求证：BD =CE．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：求出AD =AE ,AB =AC ,∠DAB =∠EAC ,根据SAS证出△ADB≌△AEC即可．解答：证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AD =AE ,AB =AC ,又∵∠EAC =90°+∠CAD ,∠DAB =90°+∠CAD ,∴∠DAB =∠EAC ,∵在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC (SAS ) ,∴BD =CE．点评：此题考查了等腰直角三角形性质,全等三角形的性质和判定的应用,关键是推出△ADB≌△AEC．本课教学反思本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写.过程教案法的理论根底是交际理论,认为写作的过程实质上是一种群体间的交际活动,而不是写作者的个人行为.它包括写前阶段,写作阶段和写后修改编辑阶段.在此过程中,教师是教练,及时给予学生指导,更正其错误,帮助学生完成写作各阶段任务.课堂是写作车间, 学生与教师, 学生与学生彼此交流, 提出反响或修改意见, 学生不断进行写作, 修改和再写作.在应用过程教案法对学生进行写作训练时, 学生从没有想法到有想法, 从不会构思到会构思, 从不会修改到会修改, 这一过程有利于培养学生的写作能力和自主学习能力.学生由于能得到教师的及时帮助和指导,所以,即使是英语根底薄弱的同学,也能在这样的环境下,写出较好的作文来,从而提高了学生写作兴趣,增强了写作的自信心.这个话题很容易引起学生的共鸣,比较贴近生活,能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时,应注意将本单元情感目标融入其中,即保持乐观积极的生活态度,同时要珍惜生活的点点滴滴.在教授语法时,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底.此教案设计为一个课时,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括,下一个课时那么对语法知识进行讲解.在此教案过程中,应注重培养学生的自学能力,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法,才能使学生的学习积极性进一步提高.再者,培养学生的学习兴趣,增强教案效果,才能防止在以后的学习中产生两极分化.在教案中任然存在的问题是,学生在"说〞英语这个环节还有待提高,大局部学生都不愿意开口朗读课文,所以复述课文便尚有难度,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究.。

《第1章三角形的证明》单元测试卷（一、单选题（共17小题，每题1分）1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°2．如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是（）A．35°B．65°C．55°D．25°3．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC 于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM 是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．50°D．60°5．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm8．在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2.5cm D．2cm9．如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，那么另一条直角边长是（）A．1cm B．2cm C．cm D．3cm 10．等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．1512．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A．59°B．60°C．56°D．22°13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB2+BC2+CA2的值为（）A．2 B．4 C．8 D．1614．如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（）A．1 B．C．D．215．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有（）A．AD与BD B．BD与BC C．AD与BC D．AD、BD与BC16．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC 于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．1317．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，D为AB的中点，则CD等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm二、填空题（共8小题）18．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= ．19．如图，△ABC中，∠C=90°，AC﹣BC=2，△ABC的面积为7，则AB= ．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则AC= ．21．如图：△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=3cm，则AD= cm．22．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD= ．24．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC 底角的度数为．25．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为．三、证明题26．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D．求证：CD=AB+BD．27．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE 三等分∠ACB．（1）求∠B的度数；（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB．四、解答题28．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm，求：（1）AD的长；（2）四边形ABCD的周长．29．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M 是线段BC的中点，连接DM，EM．（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．参考答案与试题解析一、单选题（共17小题，每题1分）1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°【考点】三角形的外角性质．【专题】探究型．【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．故选A．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．2．如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是（）A．35°B．65°C．55°D．25°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，则∠A度数可求．【解答】解：∵△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°∴∠A′=55°，∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，∴∠A=55°．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．3．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC 于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【专题】计算题．【分析】由∠C=90°，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD 平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，利用角平分线定理得到DC=DE，再利用HL证明三角形ACD与三角形AED全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，又AC=BC，可得BC=AE，然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC，由CD+DB=BC进行变形，再将BC换为AE，由AE+EB=AB，可得出三角形BDE的周长等于AB的长，由AB的长可得出周长．【解答】解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD=ED，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，又AC=BC，∴AC=AE=BC，又AB=6cm，∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm．故选A．【点评】此题考查了角平分线定理，垂直的定义，直角三角形证明全等的方法﹣HL，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握角平分线定理是解本题的关键．4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM 是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．50°D．60°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先证明∠ACN=∠ANC=2∠ACM，然后证明∠A=∠ACM即可解决问题．【解答】解：由题意知：∠ACM=∠NCM；又∵AN=AC，∴∠ACN=∠ANC=2∠ACM；∵CM是直角△ABC的斜边AB上的中线，∴CM=AM，∴∠A=∠ACM；由三角形的内角和定理知：∠A+2∠A+2∠A=180°，∴∠A=36°，故选：B．【点评】该命题考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．5．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°【考点】直角三角形的性质．【分析】由三角形内角和定理求得∠A=70°；由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°；然后根据四边形内角和是360度进行求解．【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，∴∠A=70°．∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是180°、四边形的内角和是360°．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】直角三角形的性质．【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴与∠A互余的角有2个，故选C．【点评】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．7．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．【分析】求出AE=BE，推出∠A=∠1=∠2=30°，求出DE=CE=3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠1=∠2，∵∠C=90°，∴∠A=∠1=∠2=30°，∵∠1=∠2，ED⊥AB，∠C=90°，∴CE=DE=3cm，在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，∴AE=2DE=6cm，故选C．【点评】本题考查了垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出∠A=30°和得出DE的长．8．在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2.5cm D．2cm【考点】含30度角的直角三角形．【分析】由题意可得，∠B是直角，AB=AC，直接代入即可求得AB的长．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∠C=30°，∴AB=AC=2.5．故选C．【点评】此题考查的是直角三角形的性质，30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半．9．如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，那么另一条直角边长是（）A．1cm B．2cm C．cm D．3cm【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据勾股定理和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求另一条直角边长．【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，∴该直角三角形的斜边是2cm，∴另一条直角边长是：=；故选C．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．10．等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC即可．【解答】解：①如图，∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD=AB，∴∠A=30°，②如图，∵CD是△ABC边BA 上的高，DC=AC，∴∠DAC=30°，∴∠BAC=180°﹣30°=150°，综上所述，这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论．11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．15【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据“BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点”得到FM=EM=BC，所以△EFM的周长便不难求出．【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴在Rt△BCE中，EM=BC=4，在Rt△BCF中，FM=BC=4，∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13．故选C．【点评】本题利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．12．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A．59°B．60°C．56°D．22°【考点】三角形内角和定理．【分析】根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵BE为△ABC的高，∴∠AEB=90°∵∠C=70°，∠ABC=48°，∴∠CAB=62°，∵AF是角平分线，∴∠1=∠CAB=31°，在△AEF中，∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°．∴∠3=∠EFA=59°，故选：A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB2+BC2+CA2的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】勾股定理．【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜边AB的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴CA2+BC2=AB2，又∵AB=2，∴CA2+BC2=AB2=4，则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．故选C．【点评】此题考查了勾股定理的知识，是一道基本题型，解题关键是熟练掌握勾股定理，难度一般．14．如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（）A．1 B．C．D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】利用翻折变换及勾股定理的性质．【解答】解：∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠CBD=60°．∵将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，∴∠A=∠DBE=∠EBC=30°．∵∠EBC=∠DBE，∠BCE=∠BDE=90°，BE=BE，∴△BCE≌△BDE．∴CE=DE．∵AC=6，∠A=30°，∴BC=AC×tan30°=2．∵∠CBE=30°．∴CE=2．即DE=2．故选D．【点评】考查了学生运用翻折变换及勾股定理等来综合解直角三角形的能力．15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有（）A．AD与BD B．BD与BC C．AD与BC D．AD、BD与BC【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，得CD=AB，又因为点D是AB的中点，故得与CD相等的线段．【解答】解：∵CD=AB，点D是AB的中点，∴AD=BD=AB，∴CD=AD=BD，故选A．【点评】本题利用了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．16．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC 于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，D为AB的中点，则CD等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】本题涉及到的知识点是“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，所以有CD=AB，故可直接求得结果．【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∴CD=AB=2.5cm．故选B．【点评】此题主要是考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、填空题（共8小题）18．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= 3 ．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，再由30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，∴CD=BD=6×=3．故答案为：3．【点评】本题利用了直角三角形的性质和角的平分线的性质求解．19．如图，△ABC中，∠C=90°，AC﹣BC=2，△ABC的面积为7，则AB= 6 ．【考点】勾股定理．【分析】先根据AC﹣BC=2得出（AC﹣BC）2=8，再根据△ABC 的面积等于7得出AC•BC的值，进而可得出结论．【解答】解：∵AC﹣BC=2，∴（AC﹣BC）2=8①．∵S△ABC=AC•BC=7，∴AC•BC=14②，把②代入①得，AC2+BC2=36，∴AB==6．故答案为：6．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则AC= 9 ．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据三角形内角和定理和角平分线定义求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°，求出AD=BD=6，CD=BD=3，即可求出答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠A=90°﹣60°=30°，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD=，∵AD=6，∴BD=6，∴CD=BD=3，∴AC=6+3=9，故答案为：9．【点评】本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是求出AD=BD和CD=BD，题目比较好，难度适中．21．如图：△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=3cm，则AD= 9 cm．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD=AB﹣BD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠A=30°，∵BD=3cm，∴BC=2BD=6cm，AB=2BC=12cm，∴AD=AB﹣BD=9cm．故答案是：9．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．22．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为（﹣3，2）．【考点】等腰直角三角形；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．【专题】数形结合．【分析】先根据AAS判定△ACD≌△BAO，得出CD=AO，AD=BO，再根据点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），求得CD和OD的长，得出点C的坐标．【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，则∠CDA=∠AOB=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，又∵∠AOB=90°，∴∠CAD+∠BAO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAD=∠ABO，在△ACD和△BAO中，，∴△ACD≌△BAO（AAS），∴CD=AO，AD=BO，又∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），∴CD=AO=2，AD=BO=1，∴DO=3，又∵点C在第三象限，∴点C的坐标为（﹣3，2）．故答案为：（﹣3，2）．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是根据全等三角形的性质，求得点C到坐标轴的距离．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD= 2 ．【考点】含30度角的直角三角形；角平分线的性质．【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2，故答案为2．【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出AD的长是解此题的关键．24．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC 底角的度数为15°或45°或75°．【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】分四种情况：①当AB=AC时，根据AD=BC，可得出底角为45度；②当AB=BC时，根据AD=BC，可得出底角为15度．③当AC=BC时，底角等于75°④点A是底角顶点，且AD 在△ABC外部时．【解答】解：分四种情况进行讨论：①当AB=AC时，∵AD⊥BC，∴BD=CD，∵AD=BC，∴AD=BD=CD，∴底角为45度；②当AB=BC时，∵AD=BC，∴AD=AB，∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠BCA=75°，∴底角为75度．③当AC=BC时，∵AD=BC，AC=BC，∴AD=AC，∴∠C=30°，∴∠BAC=∠ABC=（180°﹣30°）=75°；④点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，∵AD=BC，AC=BC，∴AD=AC，∴∠ACD=30°，∴∠BAC=∠ABC=×30°=15°，故答案为15°或45°或75°．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及等腰三角形的性质，注意分类讨论思想的运用．25．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为96 ．【考点】勾股定理．【分析】先根据比值设出直角三角形的两直角边，用勾股定理求出未知数x，即两条直角边，用面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为3x，4x（x＞0），根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，∴x=4或x=﹣4（舍），∴3x=12，4x=16∴直角三角形的两直角边分别为12，16，∴直角三角形的面积为×12×16=96，故答案为96．【点评】此题是勾股定理的应用，主要考查了勾股定理，三角形的面积计算方法，解本题的关键是用勾股定理求出直角边．三、证明题26．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D．求证：CD=AB+BD．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】在DC上取DE=BD，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=AE，根据等边对等角的性质可得∠B=∠AEB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C=∠CAE，再根据等角对等边的性质求出AE=CE，然后即可得证．【解答】证明：如图，在DC上取DE=BD，∵AD⊥BC，∴AB=AE，∴∠B=∠AEB，在△ACE中，∠AEB=∠C+∠CAE，又∵∠B=2∠C，∴2∠C=∠C+∠CAE，∴∠C=∠CAE，∴AE=CE，∴CD=CE+DE=AB+BD．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．27．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE 三等分∠ACB．（1）求∠B的度数；（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB．【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）利用直角△BCD的两个锐角互余的性质进行解答；（2）利用已知条件和（1）中的结论可以得到△ACE是等边三角形和△BCE为等腰三角形，利用等腰三角形的性质证得结论．【解答】（1）解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，则∠BCD=60°，又∵CD为高，∴∠B=90°﹣60°=30°30°；（2）证明：由（1）知，∠B=∠BCE=30°，则CE=BE，AC=AB．∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，又∵由（1）知，∠ACD=∠DCE=30°，∴∠ACE=∠A=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=EC=AB，∴AE=BE，即点E是AB的中点．∴CE是AB边上的中线，且CE=AB．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线．本题解题过程中利用了“等角对等边”以及等边三角形的判定与性质证得（2）的结论的．四、解答题28．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm，求：（1）AD的长；（2）四边形ABCD的周长．【考点】平行线的性质．【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠ADB=∠CBD；根据BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠DBC，于是得到∠ABD=∠ADB，所以可证AB=AD；（2）证出△BCD是直角三角形，利用30°的角所对的直角边是斜边的一半，即可求出BC的长．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AD=AB=4cm；（2）解：∵AD∥BC，∠A=120°，∠C=60°，∴∠ADC=120°，∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠ADB=30°，∠BDC=90°；∴AB=AD，BC=2CD；又AB=CD=4cm，∴AD=4，BC=8，∴AB+BC+CD+AD=4+8+4+4=20（cm），∴四边形ABCD的周长为20cm．【点评】本题考查了等腰梯形的性质的运用，角平分线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用及等腰梯形的周长．在解答中掌握等腰梯形的周长的算法是关键．29．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M 是线段BC的中点，连接DM，EM．（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BC=4，EM=BC=4，即可求出答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BM，EM=CM，推出∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，根据三角形内角和定理求出即可；（3）求出EM=EN，解直角三角形求出∠EMD度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，∵M是线段BC的中点，BC=8，∴DM=BC=4，EM=BC=4，∴△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=11；（2）证明：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵∠BDC=∠BEC=90°，M是线段BC的中点，∴DM=BM，EM=CM，∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠EMC+∠DMB=180°﹣120°=60°，∴∠DME=180°﹣120°=60°；（3）解：过M作MN⊥DE于N，∵DM=EM，∴EN=DN=DE，∠ENM=90°，∵EM=DM=BC，DN=EN=DE，BC2=2DE2，∴（2EM）2=2（2EN）2，∴EM=EN，∴sin∠EMN==，∴∠EMN=45°，同理∠DMN=45°，∴∠DME=90°，∴∠DMB+∠EMC=180°﹣90°=90°，∵∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠ABC+∠ACB=（180°﹣∠DMB+180°﹣∠EMC）=135°，∴∠BAC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=45°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。

第一章三角形的证明测试卷（源于中考经典）一．选择题（共9小题）1．（2013•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°2．（2012•潍坊）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．X k B 1 . c o mA．25B．25C．50 D．253．（2011•贵阳）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．74．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）w W w . K b 1.c o MA．6B．7C．8D．95．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7D．3.56．（2012•广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．7．（2007•芜湖）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE 交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．1B．2C．3D．48．（2011•泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．B．C．D．69．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12 C．32 D．64二．填空题（共8小题）10．（2011•怀化）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD= _________ ．新课标第一网11．（2011•衡阳）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为_________ ．12．（2010•滨州）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD 上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_________ ．13．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC 于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________ ．14．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= _________ 度．15．（2005•绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_________ cm．X K b1 .C om16．（2008•陕西）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是_________ ．17．（2005•十堰）如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为_________ ．三．解答题（共5小题）18．（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．19．（2013•沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．20．（2013•铜仁地区）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．X k B 1 . c o m21．（2007•福州）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．22．（2013•抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是_________ ；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．新- 课- 标- 第 -一 - 网新课标第一网第一章三角形的证明测试卷（源于中考的试题）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2013•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°解答：解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．故选D．X k B 1 . c o m2．（2012•潍坊）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A．25B．25C．50 D．25解答：解：根据题意，∠1=∠2=30°，∵∠ACD=60°，∴∠ACB=30°+60°=90°，∴∠CBA=75°﹣30°=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵BC=50×0.5=25，∴AC=BC=25（海里）．故选D．3．（2011•贵阳）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7解答：解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不能大于6．故选D．4．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6B．7C．8D．9考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．1518028分析：由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．解答：解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，w W w . K b 1.c o M ∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故选D．5．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7D．3.5考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．1518028专题：计算题；压轴题．分析：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．解答：解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵DE=DG，DM=DE，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，S△DNM=S△DEF =S△MDG ==5.5 故选B．新课标第一网点评：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．6．（2012•广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB==15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC=AC•BC=AB •CD ，∴CD===，则点C到AB 的距离是．故选A7．（2007•芜湖）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE 交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．1B．2C．3D．4解答：解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH=∠ADB=90°；∵∠EAH+∠AHE=90°，∠DHC+∠BCH=90°，∵∠EHA=∠DHC（对顶角相等），∴∠EAH=∠DCH（等量代换）；新|课 |标|第 |一| 网∵在△BCE和△HAE中，∴△AEH≌△CEB（AAS）；∴AE=CE；∵EH=EB=3，AE=4，∴CH=CE﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．故选A．8．（2011•泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．B．C．D．6解答：解：∵△CEO是△CEB翻折而成，∴BC=OC，BE=OE，∠B=∠COE=90°，∴EO⊥AC，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∴AE=CE，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=3，在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3﹣x，AE2=AO2+OE2，即（3﹣x）2=32+x2，解得x=，∴AE=EC=3﹣=2．故选A．9．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12 C．32 D．64解答：解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，w W .X k b 1. c O m ∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A6B6=32B1A2=32．故选：C．二．填空题（共8小题）10．（2011•怀化）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=4 ．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．1518028分析：首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC=CB，AD ⊥BC，再利用勾股定理求出AD的长．解答：解：∵AB=AC，AD是∠BAC 的角平分线，∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∵AD2+BD2=AB 2，∴AD==4，故答案为：4．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出△ADB是直角三角形．11．（2011•衡阳）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为7 ．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．1518028 专题：压轴题；探究型．分析：先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长．解答：解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC===4，∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE=CE，∴AE+BE=BC=4，∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．故答案为：7．http://w ww. xkb1 . com点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．12．（2010•滨州）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD 上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理．1518028专题：压轴题；动点型．分析：要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．解答：解：连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值．取CE中点F，连接DF．∵等边△ABC的边长为6，AE=2，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，∴CF=EF=AE=2，又∵AD是BC边上的中线，∴DF是△BCE的中位线，∴BE=2DF，BE∥DF，又∵E为AF的中点，∴M为AD的中点，∴ME是△ADF的中位线，∴DF=2ME，∴BE=2DF=4ME，∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME，∴BE=BM．在直角△BDM中，BD=BC=3，DM=AD=，∴BM==，∴BE=．∵EM+CM=BE∴EM+CM的最小值为．点评：考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．13．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2 ．w W w .K b 1.c o M考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．1518028 专题：压轴题．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE 中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．14．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．1518028 专题：压轴题．分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．15．（2005•绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 5 cm．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．1518028专题：压轴题．分析：分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC 边的长，即为5cm．解答：解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，∴BD=PD，CE=PE，∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．答：△PDE的周长是5cm．点评：此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．16．（2008•陕西）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是S2=S1+S3．考点：勾股定理．1518028专题：压轴题．分析：过点A作AE∥BC交CD于点E，得到平行四边形ABCE和Rt△ADE，根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边．解答：解：过点A作AE∥BC交CD于点E，∵AB∥DC，∴四边形AECB是平行四边形，∴AB=CE，BC=AE，∠BCD=∠AED，∵∠ADC+∠BCD=90°，DC=2AB，∴AB=DE，∠ADC+∠AED=90°，∴∠DAE=90°，那么AD2+AE2=DE2，∵S1=AD2，S2=AB2=DE2，S3=BC2=AE2∴S2=S1+S3．新课标第一网点评：本题的关键在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行四边形和直角三角形的问题，然后把三个正方形的边长整理到一个三角形中进行解题．17．（2005•十堰）如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为．考点：勾股定理．1518028专题：规律型．分析：根据勾股定理，逐一进行计算，从中寻求规律，进行解答．解答：解：根据勾股定理：第一个三角形中：OA12=1+1，S1=1×1÷2；第二个三角形中：OA22=OA12+1=1+1+1，S2=OA1×1÷2=×1÷2；第三个三角形中：OA32=OA22+1=1+1+1+1，S3=OA2×1÷2=×1÷2；…第n个三角形中：S n=×1÷2=．点本题主要考查了勾股定理的应用，要注意图中三角形的面积的变化规律．评：三．解答题（共5小题）18．（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．1518028分析：（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．解答：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．19．（2013•沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理．1518028专题：证明题；压轴题．分析：（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证；（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．解答：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF 中，，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC，∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE；（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=，在Rt△CDF中，CF===2，∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2，∴AD=AF+DF=2+．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．20．（2007•福州）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．考点：平行线的性质；角平分线的性质．1518028专题：动点型；探究型．分析：（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．解答：解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．∵∠APB=∠PAE+∠PEA，新|课 |标|第 |一| 网∴∠APB=∠PAC+∠PBD；解法二：如图2过点P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF．∵AC∥BD，∴FP∥BD．∴∠FPB=∠PBD．∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD；解法三：如图3，∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）当动点P在射线BA上，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M．∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠PBD=∠PAC+∠APB．选择（b）证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．点评：此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．认真做好（1）（2）小题，可以为（3）小题提供思路．21．（2013•抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC 的数量关系是DE=BC ；w W .X k b 1. c O m（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．1518028分析：（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE=BC；（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE；（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP=DE．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵点D是AB的中点，∴DB=DC，∴△DCB为等边三角形，∵DE⊥BC，∴DE=BC；故答案为DE=BC．（2）BF+BP=DE．理由如下：∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF，而∠CDB=60°，∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP=BF，而CP=BC﹣BP，http://w ww. xkb1 . com ∴BF+BP=BC，∵DE=BC，∴BC=DE，∴BF+BP=DE；（3）如图，与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，∴CP=BF，而CP=BC+BP，∴BF﹣BP=BC，∴BF﹣BP=DE．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．22．（2013•铜仁地区）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．1518028专题：证明题．分析：求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可．解答：证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AD=AE，AB=AC，又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE．点评：本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△ADB≌△AEC．新课标第一网。

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七年级下册《全等三角形》证明专题练习1、已知：AB=4,AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD2、已知:D是AB中点，∠ACB=90°,求证:12 CD AB=3、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，证21∠=∠4、已知：∠1=∠2,CD=DE,EF//AB，求证：EF=ACBACDF21EADB C5、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证:∠B=2∠C6、已知：AC 平分∠BAD,CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证:AE=AD+BE7、已知：AB=6，AC=2,D 是BC 中线,求AD 的取值范围。

8. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证:BC=AB+DC 。

9、已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC,求证：∠F=∠CDCBA FECDB ADB CA10、已知：AB=CD ，∠A=∠D,求证：∠B=∠C11、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE,求证：AC-AB=2BE12．如图,在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2,求证：AD ⊥BC ．13．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足,AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA14．如图，已知AD ∥BC ,∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．AB C DPEDCBA15．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线,且∠C =2∠B,求证：AB=AC+CD16．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． (1)求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变,上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．17．已知:如图，DC ∥AB ,且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证:△AED ≌△EBC ．（2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果,不要求证明）：OEDCBAD CBA18．如图,△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证:BD =2CE ．19、如图:DF=CE,AD=BC ，∠D=∠C 。

一、选择题1．如图，在ABC 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，将BCD △连续翻折两次，C 点的对应点E 点落在边AB 上，B 点的对应点F 点恰好落在边AC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．18,2A AD BD ∠=︒=B ．18,A AD BC BD ∠=︒=+ C ．20,2A AD BD ∠=︒= D ．20,A AD BC BD ∠=︒=+2．在ABC 中，已知::5:12:13AC BC AB =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ．若ABC 的面积为S ，则ACD △的面积为（ ）A ．14SB ．518SC ．625SD ．725S 3．已知如图，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，OC ，以下四个结论：①AD ＝BE ；②△CPQ 是等边三角形；③AD ⊥BC ；④OC 平分∠AOE ．其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．③④C ．①②③D ．①②④ 4．如图，在ABC 中，PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，且分别与AB 交于点M ，N 连接CM ，CN ．有下列四个结论：①P A B ∠=∠+∠；②ACB MCN P ∠=∠+∠；③ACB ∠与P ∠是互为补角；④MCN △的周长与AB 边长相等其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高线长为4，则底边长是（ ） A ．3 B ．20 C ．3或20 D ．20或80 6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ．若∠A ＝30°，AE ＝10，则CE 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 7．在下列命题中，真命题是（ ）A ．同位角相等B ．到线段距离相等的点在线段垂直平分线上C ．三角形的外角和是360°D ．角平分线上的点到角的两边相等8．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于G ，交BE 于H ．下列结论：①BE BCE S S =△A △；②2BAG ACF ∠=∠；③AFG AGF ∠=∠；④BH CH =．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①②③C ．②③④D ．①②③④ 9．如图，ABC 中，BAC 60∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分ADF ∠；④2AB AC AE +=．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③④C ．①②④D ．②④ 10．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，则下列结论错误．．的是（ ）A ．30CED ∠=︒B ．120∠=︒BDEC ．DE BD = D ．DE AB = 11．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm 12．如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边△ABD 与等边△ACE ，连接BE 交DC 于点F ，下列结论：①CD =BE ；②FA 平分∠DFE ；③∠BFC =120°；④AFE EFC S AF S FC∆∆=．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．如图，一副含30和45︒角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，6cm AC =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，连接BD ．则ABD △的面积最大值为_________2cm ．14．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，ABD △的周长为13cm ，则ABC 的周长为___________．15．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，有下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC 各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠︒；④()12AD AB AC BC =+-．其中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．16．如图，在第1个1A BC 中，30B ∠=︒，1A B CB =；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E △，按此做法继续下去，则第n 个三角形中以n A 为顶点的内角度数是________．17．三角形的三边长分别为2，5，3，则该三角形最长边上的中线长为_______ 18．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，△ABC 的面积为60，AB ＝16，BC ＝14，则DE 的长等于_____．19．如图所示，在ABC 中，AB AC =，BAD ∠=α，且AE AD =，则EDC ∠=______．20．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD △和ACD △的高．若83AB AC +=，24ABC S =，120EDF ∠=︒，则AD 的长为______．三、解答题21．如图，直线2y kx =-与x 轴，y 轴分别交于B 、C 两点，且1OB =．（1）求k 的值；（2）若点(,)A x y 是第一象限内的直线2y kx =-上一个动点，当点A 运动到什么位置时，AOB 的面积是1；（3）在（2）成立的情况下，在x 轴上是否存在一点P ，使POA 是等腰三角形?若存在，请直接写出满足条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，四边形ABCD ，BC ∥AD ，P 为CD 上一点，PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ， （1）若∠BAD=80°，求∠ABP 的度数；（2）求证：BA=BC+AD ；（3）设BP=3a ，AP=4a ，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，求AE 的长（用含a 的代数式表示）23．如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在这条直线同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，连结AE 和CD ，交点为M ，AE 交BD 于点P ，CD 交BE 于点Q 连结PQ ．(1)求证：△ABE ≌△DBC ；(2)求∠AMC 的度数；(3)求证：△PBQ 是等边三角形24．如图．在△ABC 中，∠C =90 °，∠A =30°．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于D 、E ，交BC 的延长线于F ，连接EB ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB 平分∠ABC ．（3）求证：AE=EF．25．阅读下列材料，完成相应任务．三角形中边与角之间的不等关系学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？下面是奋进小组的证明过程．如图1，在△ABC中，已知AB＞AC＞BC．求证：∠C＞∠B＞∠A．证明：如图2，将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的点C′处，折痕AD交BC于点D．则∠A C′D=∠C．∵∠A C′D=∠B+∠BDC′（依据1）∴∠A C′D＞∠B∴∠C＞∠B（依据2）如图3，将△ABC折叠，使边CB落在CA上，点B落在CA上的点B′处，折痕CE交AB于点E．则∠CB′E=∠B．∵∠CB′E=∠A+∠AEB′∴∠CB′E＞∠A∴∠B＞∠A∴∠C＞∠B＞∠A．归纳总结：利用轴对称的性质可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题是常用的方法．类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题．如图1，已知△ABC中，∠C＞∠B＞∠A．求证：AB＞AC＞BC．下面是智慧小组的证明过程（不完整）．证明：如图2，在∠BCA的内部，作∠BCF=∠B，CF交AB于点F．则CF =BF （依据3）在△ACF 中，AF +CF ＞AC ，∴AF +BF ＞AC ，∴AB ＞AC ；…任务一：①上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？依据1： ；依据2： ；依据3： ．②上述材料中不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决，这里主要体现的数学思想是_____________；（填正确选项的代码） A ． 转化思想 B ． 方程思想 C ． 数形结合思想任务二：请将智慧小组的证明过程补充完整，并在备用图中作出辅助线．任务三：根据上述材料得出的结论，判断下列说法，正确的有__________（将正确的代码填在横线处）．①在△ABC 中，AB ＞BC ，则∠A ＞∠B ；②在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，∠C =89°，则△ABC 是锐角三角形；③Rt △ABC 中，∠B =90°，则最长边是AC ；④在△ABC 中，∠A =55°，∠B =70°，则AB =BC ．26．如图，已知点D 、E 是△ABC 内两点，且∠BAE ＝∠CAD ，AB ＝AC ，AD ＝AE ．（1）求证：ABD ACE △≌△．（2）延长BD 、CE 交于点F ，若86BAC ∠=︒，20ABD ∠=︒，求BFC ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设∠ABC=∠C=2x ，根据折叠的性质得到∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°BD=DF ，BC=BE=EF ，在△BDC 中利用内角和定理列出方程，求出x 值，可得∠A ，再证明AF=EF ，从而可得AD=BC+BD ．【详解】解：∵AB=AC ，BD 平分∠ABC ，设∠ABC=∠C=2x ，则∠A=180°-4x ，∴∠ABD=∠CBD=x ，第一次折叠，可得：∠BED=∠C=2x ，∠BDE=∠BDC ，第二次折叠，可得：∠BDE=∠FDE ，∠EFD=∠ABD=x ，∠BED=∠FED=∠C=2x ，∵∠BDE+∠BDC+∠FDE=180°，∴∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°，∴x+2x+60°=180°，∴x=40°，即∠ABC=∠ACB=80°，∴∠A=20°，∴∠EFD=∠EDB=40°，∴∠AEF=∠EFD-∠A=20°，∴AF=EF=BE=BC ，∴AD=AF+FD=BC+BD ，故选D ．【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理可得ABC 为直角三角形，再根据AAS 得出ACD AED ≅，从而得出ACD △的面积=AED 的面积和BE 的长，继而得出AED 的面积和BED 的面积比，即可得出答案【详解】解：∵::5:12:13AC BC AB =，设AC=5k ，BC=12k ，AB=13k ，∴AC 2+BC 2=AB 2∴ABC 为直角三角形，∠C=90°，∵AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，∴∠CAD=∠BAD ，∠C=∠AED =90°，∵AD=AD ，∴ACD AED ≅， ∴△△S S =ACD AED ，AE=AC=5k ，∴BE=13k-5k=8k ，∵AED 和BED 同高， ∴8:5△BE △S :S =D AED ，∵ABC 的面积为S ， ∴518△S =ACD S ． 故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质与判定，根据同高得出8:5△BE △S :S =D AED 是解题的关键．3．D解析：D【分析】先由SAS 判定△ACD ≌△BCE ，证得①正确；再由ASA 证△ACP ≌△BCQ ，得到CP ＝CQ ，②正确，同理证得CM ＝CN ，得到④正确；易得③不正确．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 均是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°，∴∠ACB +∠BCD ＝∠BCD +∠ECD ，∠BCD ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ，故①正确；∠CAD ＝∠CBE ，∵∠BCA ＝∠BCD ＝60°，AC ＝BC ，∴△ACP ≌△BCQ （ASA ），∴CP ＝CQ ，又∵∠PCQ ＝60°，∴△CPQ 是等边三角形，故②正确；过C 作CM ⊥BE 于M ，CN ⊥AD 于N ，∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC ，∵CD ＝CE ，∠CND ＝∠CMA ＝90°，∴△CDN ≌△CEM （AAS ），∴CM ＝CN ，∵CM ⊥BE ，CN ⊥AD ，∴OC 平分∠AOE ，故④正确；当AC ＝CE 时，AP 平分∠BAC ，则∠PAC ＝30°，此时∠APC ＝180°﹣30°﹣60°＝90°，则AD ⊥BC ，故③不正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．4．D解析：D【分析】根据四边形内角和等于360°，即可得出③正确，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质可得结论①②正确；根据线段的垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，即可判定④正确．【详解】解：∵PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，∴90CDP ∠=︒，90CEP ∠=︒，又∵360P AC DP B C CE P ∠∠+∠=∠++︒，∴180P ACB ∠=︒∠+，故结论③正确；又∵180AC A B B ∠+︒∠+∠=， ∴P A B ∠=∠+∠，故结论①正确； 直线PD 是AC 的垂直平分线，AM CM ∴=，∴A ACM ∠=∠同理，NB NC =，B BCN ∠=∠，∵AC MC ACB M N N BC ∠∠+∠∠=+，∴M ACB N A C B ∠∠∠=+∠+，∴ACB MCN P ∠=∠+∠，故结论②正确； AMN △的周长为MC MN NC =++，∴AMN 的周长=AM MN NB AB ++=，故结论④正确；综上所述，①②③④正确，共4个．故选D ．本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．D解析：D【分析】需分等腰三角形的顶角是钝角和等腰三角形的顶角是锐角两种情况解答即可．【详解】解：如图：（1）当顶角是钝角时，在Rt△ACO中，由勾股定理可得AO2=AC2-OC2=52-42=9∴AO=3，即OB=AB+AO=5+3=8在Rt△BCO中，由勾股定理可得BC2=OB2+OC2=82+42=80,则BC=80；（2）顶角是锐角时在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=AC2-DC2=52-42=9，∴AD=3，DB=AB-AD=5-3-2在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=22+42=20,则BC=20；综上，该等腰三角形的底的长度为20或80．故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和分情况讨论思想是解答本题的关键．6．A解析：A【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质求出DE＝5，再根据角平分线的性质求出CE＝DE＝5即可．【详解】解：∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，在Rt△ADE中，∠A＝30°，AE＝10，∴DE＝1AE＝5，2∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝5，故选：A．本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7．C解析：C【分析】直接利用同位角的定义及线段垂直平分线的判定、多边形的外角和、角平分线的性质等知识分别判断得出答案．【详解】解：A.同位角相等，错误，是假命题；B.不是到线段距离相等的点在线段垂直平分线上，而是到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是假命题；C.三角形的外角和是360°，是真命题；D.角平分线上的点到角的两边的距离相等，不是角平分线上的点到角的两边相等，是假命题．故选：C．【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．8．B解析：B【分析】根据中线的性质即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠BAD＝∠ACB，再用角平分线的定义推出②；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠DAC，再用外角的性质可判断③；根据等腰三角形的判定判断④．【详解】解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠BAG＝2∠ACF，故②正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．9．C解析：C【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD，DF=12AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．【详解】解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD ． 同理：DF=12AD ． ∴DE+DF=AD ．∴②正确．③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=120°．∴∠ABC=60°．∵∠ABC 是否等于60°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故③错误．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．10．D解析：D【分析】因为△ABC 是等边三角形，又BD 是AC 上的中线，所以有∠ADB ＝∠CDB ＝90°，且∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∠ACB ＝∠CDE ＋∠DEC ＝60°，又CD ＝CE ，可得∠CDE ＝∠CED ＝30°，所以就有∠CBD ＝∠DEC ，即DE ＝BD ，∠BDE ＝∠CDB ＋∠CDE ＝120°.由此得出答案解决问题．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB ＝60°，∵BD 是AC 上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D．【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．11．A解析：A【分析】作MN⊥AD于N，如图，先利用四边形内角和计算出∠DAB＝60°，再根据角平分线的性质得到MC＝MN，接着证明MN＝MB，然后根据角平分线的性质的逆定理判断AM平分∠DAB，从而得到∠MAB的度数，进而即可求解．【详解】解：作MN⊥AD于N，如图，∵∠B＝∠C＝90°，∠ADC＝120°，∴∠DAB＝60°，∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，MN⊥AD，∴MC＝MN，∵M点为BC的中点，∴MC＝MB=12BC=12×20=10cm，∴MN＝MB，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了角平分线的性质定理的逆定理，以及直角三角形的性质，添加辅助线，是解题的关键． 12．A解析：A【分析】过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，证明△ADC ≌△ABE ，可判断①，再证明AM =AN ，结合AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，可判断②，证明∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，结合三角形的外角的性质可判断③，证明∠FAN =∠FCH =30°， 利用含30的直角三角形的性质与勾股定理可得： 33,,22AN AF HC FC == 再利用三角形的面积公式可判断④．【详解】解：过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴AD =AB ，AE =AC ，∠DAB =∠EAC =60°，∴∠DAC =∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴CD =BE ，∠AEB =∠ACD ，故①正确∵△ADC ≌△ABE ，∴AM =AN ．∵AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，∴AF 平分∠DFE ，故②正确．∵∠AEB =∠ACD ，∴∠AEC +∠ACE =120°=∠AEB +∠BEC +∠ACE ，∴∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，∴∠BFC =∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，故③正确，∴∠DFE =120°，∴∠DFA=∠EFA=60°=∠CFE．∵AN⊥BE，CH⊥EF，∴∠FAN=∠FCH=30°，∴2,,2,, AF FN AN FC FH HC======∴,,22AN AF HC FC==∴12.12AEFEFCEF AN AFS AN AFS CH FCEF CH⨯⨯====⨯⨯故④正确．故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题13．cm2【分析】过点作于点作于点连接由直角三角形的性质可得cmcmcm由可证△△可得由三角形面积公式可求则时有最大值【详解】解：cmcmcmcm当点从点滑动到点时得△过点作于点作于点连接且且△△当时有解析：cm2【分析】过点D作D N AC'⊥于点N，作D M BC'⊥于点M，连接BD'，AD'，由直角三角形的性质可得BC=，AB=，ED DF==cm，由“AAS”可证△D NE''≅△D MF''，可得D N D M''=，由三角形面积公式可求111222AD BS BC AC AC D N BC D M'''=⨯+⨯⨯-⨯⨯△，则E D AC''⊥时，AD BS'△有最大值．【详解】解：6AC=cm，30A∠=︒，45DEF∠=︒，BC∴==cm，AB=，ED DF==cm，当点E从点A滑动到点C时，得△E D F'''，过点D作D N AC'⊥于点N，作D M BC'⊥于点M，连接BD'，AD'，90MD N'∴∠=︒，且90E D F'''∠=︒，E D NF D M''''∴∠=∠，且90D NE D MF''''∠=∠=︒，E D D F''''=，∴△D NE''≅△()D MF AAS''，D N D M''∴=，AD B ABC AD C BD C S S S S '''=+-△△△△当E D AC ''⊥时，AD B S '△有最大值，1111123(623)2222AD B S BC AC AC D N BC D M D N ''''∴=⨯+⨯⨯-⨯⨯=-⨯△ AD B S '∴△最大值1123(623)32(1239236)2=-⨯=cm 2． 故答案为：(1239236)cm 2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定AD B S '△有最大值时的图形位置是本题的关键．14．【分析】由已知条件利用线段的垂直平分线的性质得到AD ＝CDAC ＝2AE 结合周长进行线段的等量代换可得答案【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线∴AD ＝CDAC ＝2AE ＝6cm 又∵ABD 的周长＝AB+B解析：19cm【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD ＝CD ，AC ＝2AE ，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，∴AD ＝CD ，AC ＝2AE ＝6cm ，又∵ABD 的周长＝AB +BD +AD ＝13cm ，∴AB +BD +CD ＝13cm ，即AB +BC ＝13cm ， ∴ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝13+6＝19cm ．故答案为：19cm ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．15．①②③④【分析】由在△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O 根据角平分线的定义与三角形内角和定理即可求得③正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+解析：①②③④【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③1902BOC A∠=+∠︒正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④根据求得答案，即可得到④正确．【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°12-∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．∴AM=AD，BM=BN，CD=CN，∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC-BC）故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．16．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1∠EA3A2及∠FA4A3的度数找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数【详解析：1175 2n-⎛⎫⨯︒ ⎪⎝⎭【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以A n 为顶点的底角度数．【详解】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C=1802B︒-∠=75°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×75°；同理可得，∠EA3A2=（12）2×75°，∠FA4A3=（12）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（12）n-1×75°．故答案为：（12）n-1×75°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．17．【分析】根据勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得解；【详解】由题知∴三角形是直角三角形3是斜边长∴最长边上的中线长为；故答案是【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定解析：3 2【分析】根据勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得解；【详解】由题知222 293+==，∴三角形是直角三角形，3是斜边长，∴最长边上的中线长为32； 故答案是32． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理逆定理和直角三角形的形状，准确分析计算是解题的关键． 18．【分析】过点D 作DF ⊥BC 垂足为F 根据角平分线的性质得到FD=DE 再利用面积求DE 即可【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 垂足为F ∵BD 是△ABC 的角平分线DE ⊥ABDF ⊥BC ∴FD=DEDE=4故答案为解析：【分析】过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，根据角平分线的性质得到FD=DE ，再利用面积求DE 即可．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，∵BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴FD=DE ，182ABD SAB DE DE =⋅=， 172CBDS BC DF DE =⋅=， ABC ABD DBC S S S =+△△△，8760DE DE +=，DE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查是角平分线的性质，解题关键是熟知角平分线性质，作垂线，利用面积求DE ． 19．【分析】根据等边对等角和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论【详解】解：根据题意：在△ABC 中AB=AC∴∠B=∠C∵AE=AD∴∠ADE=∠AED∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC化简可得解析：1 2α【分析】根据等边对等角，和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论．【详解】解：根据题意：在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC，化简可得：∠α=2∠EDC，∴∠EDC=12α，故答案为：12α．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角定理，关键是熟悉三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的知识点．20．【分析】先证明△ADE≌△ADF可得：DE＝DF∠ADE＝∠ADF＝=×120°=60°再利用面积法求出DE的值再根据直角三角形的性质即可解决问题【详解】解：∵DEDF分别是△ABD和△ACD的高∴解析：【分析】先证明△ADE≌△ADF，可得：DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝12EDF∠=12×120°=60°，再利用面积法求出DE的值，再根据直角三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE＝∠DAF，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝12EDF∠=12×120°=60°，∴S△ABC＝12•AB•DE＋12•AC•DF＝12•DE（AB＋AC）＝24，∵AB AC+=∴DE＝∵∠ADE＝∠ADF＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AD＝2DE＝故答案是：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．三、解答题21．（1）k=2；（2）当点A在（2，2）时，AOB的面积是1；（3）满足条件的所有P点的坐标为P1（-0），P2（0），P3（4，0），P4（2，0）．【分析】（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；利用三角形的面积求出点A坐标；（3）设出点P（m，0），表示出AP，OP，计算出OA，分三种情况讨论计算即可得出点P 坐标．【详解】解：（1）∵OB=1，∴B（1，0），∵点B在直线y=kx-2上，∴k-2=0，∴k=2；（2）由（1）知，k=2，∴直线BC解析式为y=2x-2，∵点A（x，y）是第一象限内的直线y=2x-2上的一个动点，∴y=2x-2（x＞1），∴S=S△AOB=12×OB×|y A|=12×1×|2x-2|=x-1，∵△AOB的面积是1；∴x=2，∴A（2，2），∴当点A在（2，2）时，AOB的面积是1；（3）设点P（m，0），∵A（2，2），∴OA=，∴OP=|m|，AP=2(2)4m -+，①当OA=OP 时，∴22=|m|，∴m=±22，∴P 1（22-，0），P 2（22，0），②当OA=AP 时， ∴22=2(2)4m -+，∴m=0或m=4，当m=0时，点P 与点O 重合，不能组成三角形，舍去，∴P 3（4，0），③当OP=AP 时，∴|m|=2(2)4m -+，∴m=2，∴P 4（2，0），即：满足条件的所有P 点的坐标为P 1（22-，0），P 2（20），P 3（4，0），P 4（2，0）．【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出点A 的坐标．22．（1）∠ABP=50°；（2）见解析；（3）①EA=52a 或EA=3910a 【分析】（1）由PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ，∠BAD=80°，在Rt APB ∆中即可求得．（2）延长BP 交AD 延长线于H ，可得AB=AH ，可证△BCP ≌△HDP ，可得BC=DH ，从而结论可证．（3）过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，可能有两种情况，延长BP 交AE 延长线于H ，每种情况都可依据角平分线的性质，过P 点分别做PI 和PG 垂直于AB 和AH ，则PI=PG ；然后通过解直角三角形即可求解．【详解】解：（1）∵PA 平分∠BAD 且∠BAD=80°，∴∠BAP=∠DAP=40°；又∵∠BPA=90°∴∠ABP+∠BAP=90°，故∠ABP=50°．（2）延长BP交AD延长线于H，∵PA平分∠BAD，∴∠BAP=∠DAP而∠BPA=90°=∠HPA，∴∠ABP=∠AHP，∴AB=AH；∵AP⊥BH，∴BP=PH；∵BC//AH，∴∠PBC=∠H；而∠BPC=∠HPD；∴△BCP≌△HDP（ASA）；∴BC=DH，故AB=AH=AD+DH=AD+BC．（3）①延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；易得△BFP≌△HEP，∴ BP=HP=3a，FP=EP=12 EF；在直角三角形ABP中，BP2+AP2=AB2；∴ AB=5a，EP=52a；∵在直角三角形ABP中AB PI BP AP⋅=⋅，∴ PI=125a=PG；在直角三角形EPG中，GP2+EG2=EP2，∴ EG=710a；在直角三角形HPG中，GP2+HG2=HP2，∴ GH=95a；∴ EH=52a；∴ EA=AH-EH=52a．②延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，由①得GH=95a，EG=710a；∴ EH=1110a；∴ EA=3910a．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线．23．(1)见解析；(2) 120°；(3) 见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；（2）由全等三角形的性质可得∠BAE=∠BDC，由三角形外角的性质和三角形内角和可求AMC的度数；（3）由“ASA”可证△ABP≌△DBQ，可得BP=BQ，即可证△PBQ是等边三角形．【详解】解：（1）∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，在△ABE 和△DBC 中，AB DB ABE DBC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DBC （SAS ），（2）∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE=∠BDC ，∵∠BDC+∠ACD=∠ABD=60°∴∠BAE+∠ACD=60°∴∠AMC=180°-∠BAE-∠ACD=120°（3）在△ABP 和△DBQ 中，60BAE BDC AB DBABP DBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ABP ≌△DBQ （ASA ），∴BP=BQ ，且∠PBQ=60°∴△BPQ 为等边三角形，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．24．见解析【分析】（1）先作线段AB 的垂直平分线DE ，再延长BC 即可；（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60︒，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE ，得到答案； （3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC ，证得BE=EF ，又因为AE= BE ，利用等量代换即可求得答案．【详解】（1）如图，即为所求；（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴AE=BE∵∠A=30︒，∠ACB=90︒∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒∴∠EBC=∠ABE∴EB平分∠ABC．（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒∴∠EFB=∠EBC∴BE=EF又∵AE= BE∴AE=EF【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．25．任务一：①依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；②A；任务二：见解析；任务三：②③④【分析】任务一：①根据三角形的外角性质、等量代换以及三角形中等角对等边性质即可写出依据；②根据分析过程渗透的思想为转化的思想方法；任务二：仿照推导AB＞AC的方法证明AC＞BC即可证明结论正确；任务三：根据结论“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等边对等角”进行判断即可解答．【详解】解：任务一：①根据推导过程可知：依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等量代换；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；②根据推导过程体现了转化的数学思想方法，故选：A；任务二：智慧小组的证明过程补充如下：证明：如图2，在∠BCA的内部，作∠BCF=∠B，CF交AB于点F．则CF=BF，（等边对等角）在△ACF中，AF+CF＞AC，∴AF+BF＞AC，∴AB＞AC；同理，如图，在∠ABC的内部，作∠ABG=∠A，BG交AC于点G，如图，则AG=BG在△BCG中，BG+CG＞BC，∴BG+CG＞BC，∴AC＞BC∴AB＞AC＞BC．任务三：①∵AB＞BC，∴∠C＞∠A，错误；②∵在△ABC中，AB＞BC＞AC，∠C=89°，∴∠C＞∠A＞∠B，又∠C=89°＜90°，∴△ABC是锐角三角形，正确；③∵Rt△ABC中，∠B=90°，则最长边是斜边AC，正确；④∵在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣55°﹣70°=55°，∴∠A=∠C∴AB=BC，正确，故答案为：②③④．。

1 / 18 八年级(下）第1章《三角形的证明》单元检测卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是△ABC（ ）的交点． A．三条高B．三条角平分线 C．三边的垂直平分线D．三条中线 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则等腰三角形的底角为（ ） A．67°B．67.5° C．22.5°D．67.5°或22.5° 3．若（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ） A．14B．16C．13D．14或16 4．如图，∠A＝36°，∠C＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（ ）

A．6个B．5个C．4个D．3个 5．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB＝6，则EC的长为（ ） 2 / 18

A．3B．4.5C．1.5D．7.5 6．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）

A．65°B．60°C．55°D．45° 7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝（ ）

A．36°B．54°C．18°D．64° 8．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（ ） 3 / 18

A．B．2C．3D．2 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（ ）

A．72°B．108°C．126°D．144° 10．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC＝（ ）

A．45°B．60°C．67.5°D．75° 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝128°．则∠B＝度． 12．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝度． 4 / 18

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．10 B．15 C．17 D．192、如图，在△AAA中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，△AAA的周长△的周长为16，则AE的长为（）．为26，ABDA．10 B．8 C．6 D．53、下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（）A．5，9，12 B．7，12，13 C．30，40，50 D．3，4，64、如图，在△AAA 中，AB AC =，120A ∠=︒，6BC =cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm5、如图，在△AAA 中，DE 是AB 的垂直平分线，△AAA 的周长为24cm ，BCD △的周长为16cm ，则BE 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm6、如图，在△AAA 中，∠AAA =90°，∠AAA =2∠A ，BE 平分∠AAA ，交AA 于点A ，AD BE ⊥于点A ，有下列结论：①AC BE AE -=；②点A 在线段AA 的垂直平分线上；③DAE C ∠=∠；④4BC AD =．其中，正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角互余；③等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴；④等腰三角形两腰上的中线相等．其中正确的说法有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．48、如图，在△AAA 中，105A ∠=︒，AC 的垂直平分线MN 交BC 于点N ，且AB BN BC +=，则B 的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°9、有两边相等的三角形的两边长为4cm ，5cm ，则它的周长为（ ）A ．8cmB ．14cmC ．13cmD ．14cm 或13cm10、如图，等腰△AAA 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD DC ⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP OC =，则下列结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③POC △是等边三角形；④AB OA AP =+．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点P 是等边△ABC 内的一点，PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，若点P ′是△ABC 外的一点，且△P ′AB ≌△PAC ，则∠APB 的度数为___．2、如图，△AAA 是等腰直角三角形，AB 是斜边，以BC 为一边在右侧作等边三角形BCD ，连接AD 与BC 交于点E ，则BED ∠的度数为______度．3、如图：△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长为_____．4、同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，则12AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为 _____．5、在等腰△ABC 中，∠A ＝40°，则∠B ＝_____°．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 给出如下定义：点P 到图形A 1上各点的最短距离为A 1，点P 到图形A 2上各点的最短距离为A 2，若12d d =，就称点P 是图形A 1和图形A 2的一个“等距点”． 已知点A (6,0)，A (0,6)．（1）在点A (−6,0)，A (3,0)，A (0,3)中，______是点A 和点O 的“等距点”；（2）在点A (−2,−1)，A (2,2)，A (3,6)中，______是线段OA 和OB 的“等距点”；（3）点A (A ,0)为x 轴上一点，点P 既是点A 和点C 的“等距点”，又是线段OA 和OB 的“等距点”．①当8m =时，是否存在满足条件的点P ，如果存在请求出满足条件的点P 的坐标，如果不存在请说明理由；②若点P 在△AAA 内，请直接写出满足条件的m 的取值范围．2、如图所示，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a 、b 满足√A +A +(A −4)2=0，C 的坐标为（﹣1，0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交OB 于点P ． （1）如图1，写出a 、b 的值，证明△AOP ≌△BOC ；（2）如图2，连接OH ，求证：∠OHP ＝45°；（3）如图3，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，求证：S △BDM ﹣S △ADN ＝4．3、如图，在Rt △AAA 中，∠A =90°，AA =4，AA =2．（1）△AAA 的面积等于_______；（2）A 为线段AA 上一点，过点A 作AA ⊥AA ，垂足为A ．当AA =AA 时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PQ ，并简要说明点A 和点A 的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）．4、如图，△AAA 和△AAA 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是这两个等腰三角形的底边．求证AA =AA ．5、设两个点A 、B 的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，则线段AB 的长度为：AB =A 、B 两点的坐标是()0,3-，()1,4-，则A 、B 两点之间的距离AB =（1）若()1,2A ，(),6B x ，且5AB =，求x 的值；（2）已知△ABC ，点A 为()1,5-、点B 为()5,2-、点C 为()3,1-，求△ABC 的面积；（3+-参考答案-一、单选题1、C【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．2、D【分析】根据线段垂直平分线的性质可得即可得到结论．【详解】解：∵AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∴AD=CD，12 AE AC∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+BC=16，∵△ABC的周长=AC+BC+AB=26，∴AC=△ABC的周长-△ACE的周长=26-16=10，∴152AE AC==，故答案为：D．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．3、C【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可．【详解】解：A、∵52+92≠122，∴该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；B、∵72+122≠132，∴该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；C、∵302+402=502，∴该组线段符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故符合题意；D、∵32+42≠62，∴该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4、C【分析】此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN 为等边三角形即可．【详解】解：连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAM＋∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝NC，∵BC＝6cm，∴MN＝2cm．故答案为2cm．故选：C．【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．5、B【分析】由题意易得BD =AD ，12BE AE AB ==，然后根据三角形周长可得8cm AB =，进而问题可求解． 【详解】 解：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BD =AD ，12BE AE AB ==， ∵ABC 的周长为24cm ，BCD △的周长为16cm ，∴24cm,16cm ABC BDCC AB AC BC C BD DC BC AD DC BC AC BC =++==++=++=+=， ∴24168cm AB =-=，∴4cm BE =；故选B ．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．6、D【分析】首先求出∠C =30°，∠ABC =60°，再根据角平分线的定义，直角三角形30°角的性质，线段的垂直平分线的定义一一判断即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =2∠C ，∴∠C =30°，∠ABC =60°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠EBC =30°，∴∠EBC =∠C ，∴EB=EC，∴AC-BE=AC-EC=AE，故①正确，∵EB=EC，∴点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确，∵AD⊥BE，∴∠BAD=60°，∵∠BAE=90°，∴∠EAD=30°，∴∠EAD=∠C，故④正确，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴AB=2AD，∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴BC=2AB=4AD，故③正确，故选：D．【点睛】本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的定义，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7、B【分析】根据轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质判断即可．【详解】解：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确；②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与底角互余，原说法错误；③等腰三角形的顶角平分线在它的对称轴上，原说法错误；④等腰三角形两腰上的中线相等，说法正确．综上，正确的有①④，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质是解题的关键．8、B【分析】连接AN，根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NC，得到∠NAC＝∠C，根据三角形内角和定理列式计算，得到答案．【详解】解：连接AN，∵NM是AC的垂直平分线，∴NA＝NC，∴∠NAC＝∠C，∴∠ANB＝2∠C，∵AB+BN＝BC，NC+BN＝BC，∴AB＝NC，∴AB＝AN，∴∠B＝∠ANB＝2∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠C+∠BAC＝180°，即2∠C+∠C+105°＝180°，解得，∠C＝25°，∴∠B＝50°故选：B．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9、D【分析】有两边相等的三角形，是等腰三角形，两边分别为5cm和4cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：当4为底时，其它两边都为5，4、5、5可以构成三角形，周长为14cm；当4为腰时，其它两边为4和5，4、4、5可以构成三角形，周长为13cm．综上所述，该等腰三角形的周长是13cm或14cm．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．10、A【分析】①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【详解】解：①如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO +∠DCO ＝30°，∴∠OPC +∠OCP ＝120°，∴∠POC ＝180°﹣（∠OPC +∠OCP ）＝60°，∵OP ＝OC ，∴△OPC 是等边三角形，故③正确；④如图2，在AC 上截取AE ＝PA ，∵∠PAE ＝180°﹣∠BAC ＝60°，∴△APE 是等边三角形，∴∠PEA ＝∠APE ＝60°，PE ＝PA ，∴∠APO +∠OPE ＝60°，∵∠OPE +∠CPE ＝∠CPO ＝60°，∴∠APO ＝∠CPE ，∵OP ＝CP ，在△OPA 和△CPE 中，PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OPA ≌△CPE （SAS ），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP，∴AB＝AO+AP，故④正确；正确的结论有：①③④，故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．二、填空题1、150°【分析】如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：连接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB ＝90°+60°＝150°．故答案为：150°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．2、75【分析】由题意，ACD △是等腰三角形，然后求出CAE ∠的度数，再根据三角形的外角性质，即可求出BED ∠的度数．【详解】解：∵ABC 是等腰直角三角形，∴AC =BC ，∠ABC =∠BAC =45°，∠ACB =90°，∵△BCD 是等边三角形，∴BC =CD ，∠BCD =60°，∴AC =CD ，∠ACD =90°+60°=150°，∴ACD △是等腰三角形， ∴1(180150)152CAE CDE ∠=∠=⨯︒-︒=︒，∴451530BAE ∠=︒-︒=︒，∴304575BED BAE ABE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；故答案为：75．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出15CAE CDE ∠=∠=︒．3、19cm【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD ＝CD ，AC ＝2AE ＝6cm ，由△ABD 的周长＝AB +BD +AD ＝13cm ，得到AB +BC ＝13cm ，由此即可得到答案．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD ＝CD ，AC ＝2AE ＝6cm ，又∵△ABD 的周长＝AB +BD +AD ＝13cm ，∴AB +BD +CD ＝13cm ，即AB +BC ＝13cm ，∴△ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝13+6＝19cm ．故答案为：19cm ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．4 【分析】如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，先求出AB ==3BC ，由D 是BC 的中点，可以得到1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，即可得到1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，BG ==，由此即可求出AE 的长；如图2所示，同理可得1324DG BD ==，BG ==1122EG EF BE ==，则32BE BG GE BG =+==，AE AB BE =-=。