数学八年级下华东师大版20.2矩形的判定课件

（第 1 题）
2. 如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，
BE⊥AE.求证： AB=DE.
证明：∵AB=AC,AD平分∠BAC ∴AD⊥BC, ∠1= ∠BAC /2 (等腰三角形三线合一） ∵ AE平分∠BAF ∴ ∠2= ∠BAF/2 ∵ ∠BAC + ∠BAF=1800 ∴ ∠1+ ∠2=(∠BAC + ∠BAF)/2=900 ∵ BE⊥AE ∴ ∠BDA= ∠DAE= ∠BEA=900 ∴四边形BDAE是矩形（有三个角是直角的四边形 是矩形）
华师大版 数学 八年级 下册
经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌 握矩形的判定定理．
能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
四边形
两组对边 分别平行
平行 四边形
一个角 是直角
矩形
∟
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质： 边：对边平行且相等. 角：对角相等； 邻角互补； 对角线：相等且互相平分.
O
B
C
∴∠BAD=∠CDA
∵AB∥CD
∴∠BAD +∠CDA=180°
∴∠BAD＝90°
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）
矩形判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.（对角线相等且互相平分的四边形 Nhomakorabea矩形.）
几何语言：
A
D
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD（或OA=OC=OB=OD）
例1 已知，如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、
BO、CO、DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH.求证四边形EFGH是矩形．

已知：平行四边形ABCD，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS） A
D
∴ ∠ABC=∠DCB
∵ AB//CD
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
B
C
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形.
12
F
（第 2 题）
∴ ∠1+ ∠2=(∠BAC + ∠BAF)/2=900
∵ BE⊥AE
∴ ∠BDA= ∠DAE= ∠BEA=900
∴四边形BDAE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
练习
3. 如图, 点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点, 矩形的两 条边长AB、BC分别为8和15, 求点P到矩形的两条对角 线AC和BD的距离之和．
证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD（矩形的对角相等）， AO＝BO＝CO＝DO（矩形的对角线互相平分）. ∵ E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点， ∴ OE＝OF＝OG＝OH， ∴ 四边形EFGH是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平 行四边形). ∵ EO＋OG＝FO＋OH， 即EG＝FH， ∴ 四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
已知: 如图, ABCD的四个内角的 平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：∵AB∥CD ∴∠ABC＋∠BCD=180° ∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD
G B C G C B11800900 2
∴∠BGC=90°同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形.(有三个角是直角的四边形是矩形)

说明：⑴所给四边形添加的条件不足三个的肯定不是矩形；
⑵所给四边形添加的条件是三个独立条件的，但若与定理不同， 则需利用定义和判定定理证明或举反例，才能下结论。
例1：已知M为 ABCD的AD边的中点，且MB＝MC。
求证： ABCD是矩形。
证明：∵ABCD是平行四边形
∴ ∠A＋ ∠D＝1800 AB＝DC
∴AO=BO
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行
已知:如图在 ABCD中,AE、 BF、CG、DH分别是它的四 个内角的平分线.
求证:四边形EFGH是矩形.
A
1 E
34
2
5
F 6
G
B
H
C
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC(平行四边形的对边平行) ∴ ∠DAB+ ∠ABC=1800 ∴ ∠1+ ∠2=900 ∴ ∠3=900 ∴ ∠4= 900 同理: ∠5= ∠6=900 ∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
平行四边形
一个角是直角
矩形
边
矩形的对边平行且相等
矩
形
的
角
矩形的四个角都是直角
性
质
对角线 矩形的两条对角线相等且互相平分
思
有一个角是直角的
考
四边形是矩形吗？
有两个角是直角的 四边形是矩形吗？
有三个角是直角的 四边形是矩形吗？
归纳：有三个角是直角的四边形是矩形。
个角是直角的平行四边形是矩 矩形判定定理：
形考：
(1)对角线相等的四边 形是矩形吗?
(2)需要添加什么条件才 能使对角线相等的四边 形是矩形吗?

一. 矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫矩形
二. 矩形的性质
对称性
矩形是
图形
A D C D O
边 角
对角线
四个角都是直角 互相平分且相等
B A
B
C
温故知新
如图，在矩形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O，∠AOB=60°， AB=5，则AD的长是（ ）
A. 5 2 B. 5 3 C. 5
A O
2.谁正确？
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。 一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习 用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门， 完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自 已的是矩形。 甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三 个角，发现它们都是直角，所以我这个四边形 门就是矩形。” 乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条 对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四 边形门就是矩形”。 根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是 矩形？
4.已知：矩形的对角线ABCD的对角线 AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别 在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH 求证：四边形EFGH是矩形 A 变式： 如E 、F、G、H分 别是AO、BO、CO、 DO的中点，四边 形EFGH还是矩形 Ｂ 吗？ Ｅ Ｏ Ｈ
Ｄ
Ｆ
Ｇ
Ｃ
5.已知：如图，平行四边形ABCD的四个 内角的平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形．
3.已知：平行
A
D
四边形ABCD的对角 O 线相交于点Ｏ。分 C B 别添加下列条件： (1)∠ABC＝90º (2)AC⊥BD (3)AB=BC (4)AC平分∠BAD(5)AO=DO 使得四边形ABCD为矩形的条件的序号 为 .