北师大版-陕西省榆林育才中学选修1学案 2.3.2双曲线的简单性质

§双曲线的简单性质教材版本：北师大版（选修2-1）教材分析：双曲线是圆锥曲线之一，圆锥曲线是选修内容，但是高考必考内容，同时又是高考的热点问题。

双曲线的简单性质是北师大版选修2-1第三章第三节第二课时。

本节课是学生在已掌握椭圆及椭圆的简单性质和双曲线的定义及标准方程之后，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程和图形研究其简单性质。

双曲线的简单性质是教学大纲要求学生必须掌握的知识点；又是深入研究双曲线，并能灵活运用它解题的基础。

通过本节课的学习进一步使学生理解、掌握解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素养。

双曲线特有的性质--渐近线，课本上是小体字并带有星号部分。

本节课就没有证明，只是通过“动画”，让学生直观感受，需要学习渐近线的必要性。

学情分析：必修2中学生已经学习了《解析几何初步》，已有些研究解析几何的经验了。

本章学生首先系统地学习了椭圆的概念及标准方程和性质，学生以这些知识为基础，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程研究其简单性质，相对来说比较轻松。

在课堂中，可以充分以学生为主体，通过与椭圆的类比，启发学生自己找出双曲线的简单性质。

三维目标：1、知识与技能（1）结合图形利用双曲线标准方程了解双曲线的简单性质。

（2）能由双曲线标准方程求出双曲线的顶点坐标、实、虚轴长，渐近线方程和离心率。

（3）能由双曲线的简单性质得出相应的双曲线方程。

（4）理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律。

2、过程与方法利用研究椭圆的简单性质方法类比获得双曲线的简单性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力和分析、归纳、研究问题能力，以及类比的学习方法。

3、情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，增强学生数学交流能力，提高学生的合作精神。

教学重点：双曲线的简单性质的探究及其应用。

教学难点：双曲线的简单性质的灵活应用。

教学方法：启发诱导，自主探究，类比分析法．即结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，学生类比椭圆自主地去探求出双曲线的简单性质，适当借助多媒体等教学辅助手段。

3．2 双曲线的简单性质2006年，我国流行一首校园歌曲，这就是著名的《悲伤的双曲线》，歌词就是一首优美的数学诗：“如果我是双曲线，你就是那渐近线．如果我是反比例函数，你就是那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同一个平面．然而我们又无缘，漫漫长路无交点．为何看不见，等式成立要条件．难道正如书上说的，无限接近不能达到．为何看不见，明月也有阴晴圆缺，此事古难全，但愿千里共婵娟．”为什么双曲线会如此悲伤呢？通过下面问题你就会明白．(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线是什么？ (2)双曲线的两支与渐近线有何特点？ 【提示】 (1)y ＝±ba x . (2)无限接近但不能接触．近线方程、离心率．【思路探究】化为标准方程→求a、b――→据c2＝a2＋b2求c→讨论性质【自主解答】将方程x2－3y2＝12化为标准方程x212－y24＝1，∴a2＝12，b2＝4，∴a＝23，b＝2，c＝a2＋b2＝16＝4.∴双曲线的实轴长为2a＝43，虚轴长为2b＝4.焦点F1(－4，0)，F2(4，0)，顶点A 1(－23，0)，A 2(23，0)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝233.1. 本题易出现“c 2＝a 2－b 2＝12－4＝8，c ＝22，忽视双曲线中c 2＝a 2＋b 2”的错误．2. 已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a 、b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．把双曲线方程改为x 2－3y 2＋12＝0，再求实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．【解】 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.焦点F 1(0，－4)，F 2(0，4)，顶点A 1(0，－2)，A 2(0，2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.求与双曲线x 9－y 16＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)的双曲线方程．【思路探究】 设出双曲线的标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值，从而确定双曲线的方程．【自主解答】 法一 设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，（－3）2a 2－（23）2b 2＝1，。

双曲线的几何性质教学设计证明：设M〔0,0〕为第一象限双曲线上任一点，那么设M〔0,0〕到直线的距离为d假设M向远处运动，那么0 随着增大，d 就减少，于是 M 就无限接近直线〔设计意图：难点应该详细讲，详略得当，学生更容易接受〕3焦点到渐近线的距离是多少〔根据点F〔c,0〕到直线=b/a的距离是b。

图中会找到4个直角三角形，边长分别是a,b,c提示：我们已经学习了椭圆中可以找到的a,b,c线段2渐近线方程为＝±，且经过点A2，－3．解1依题意可知，双曲线的焦点在轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝12法一∵双曲线的渐近线方程为＝±，假设焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1a>0，b>0，那么＝①∵A2，－3在双曲线上，∴－＝1②由①②联立，无解．假设焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1a>0，b>0，那么＝③∵A2，－3在双曲线上，∴－＝1④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32∴所求双曲线的标准方程为－＝1法二由双曲线的渐近线方程为＝±，可设双曲线方程为－2＝λλ≠0，∵A2，－3在双曲线上，∴－－32＝λ，即λ＝－8∴所求双曲线的标准方程为－＝1规律方法由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了防止讨论，也可设双曲线方程为m2－n2＝1 mn>0，从而直接求得．假设双曲线的渐近线方程为＝±，还可以将方程设为－＝λλ≠0，防止讨论焦点的位置．〔设计意图：渐近线较难，逆向训练来加强对这个知识点的重视和理解〕四、课堂练习求双曲线2－32＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．解将方程2－32＋12＝0化为标准方程－＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4。

3.2 双曲线的简单性质双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的简单性质：1．对称性双曲线是以______和______为对称轴的轴对称图形，也是以______为对称点的中心对称图形，这个对称中心称为______________．2．范围双曲线都在两条平行直线______和______的两侧，所以双曲线上点的横坐标满足________或________，而纵坐标满足____________．3．顶点双曲线与其________的交点A 1______，A 2________叫作双曲线的顶点，显然，两顶点是双曲线两支上的点中距离______的两点．两个顶点之间的线段A 1A 2叫作双曲线的______，其长度为______，则a 叫作双曲线的________．设B 1________，B 2________为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫作双曲线的______，且其长度为______，则b 叫作双曲线的__________．4．离心率我们把ca ＝e 叫作双曲线的离心率，因为c ＞a ＞0，所以________，它用来表示双曲线开口的程度，离心率越大，开口越____．5．渐近线我们把直线y ＝b a x 和y ＝－ba x 叫作双曲线的渐近线，由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与渐近线__________，但永远不会相交．预习交流1双曲线的焦点与实轴、虚轴之间有什么关系？ 预习交流2函数y ＝1x的图像叫什么？它的图像有渐近线吗？答案：1．x 轴 y 轴 原点 双曲线的中心 2．x ＝a x ＝－a x ≤－a x ≥a y ∈R3.对称轴 (－a ,0) (a ,0) 最近 实轴 2a 实半轴长 (0，－b ) (0，b ) 虚轴 2b 虚半轴长4．e ＞1 大 5．无限逼近 预习交流1：提示：双曲线只有两个顶点，与焦点共线，所以双曲线的焦点总在实轴上． 预习交流2：提示：其图像也叫双曲线，它以坐标轴为渐近线．一、根据双曲线方程研究几何性质求双曲线4y 2－9x 2＝－4的实半轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 思路分析：将方程化为标准形式，判明焦点所在的坐标轴，从而得到几何量a ，b ，c 的值，然后利用相应定义、公式写出几何性质．1．以双曲线y 2－x23＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝2C ．(x －2)2＋y 2＝2D ．x 2＋(y －2)2＝42．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x已知双曲线方程研究其几何性质时，首先要把方程化为标准形式，确定焦点所在的坐标轴，找准a 和b ，再写出其相关性质．其中在求渐近线方程时，只需把双曲线标准方程右边的1换为0后化简即可．二、根据双曲线几何性质求其方程已知双曲线离心率e ＝53，焦点在坐标轴上，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线的标准方程．思路分析：先考虑焦点的位置，由于双曲线的离心率不能反映焦点所在的位置，所以需要分类讨论，可以利用待定系数法，将条件转化为方程(组)，求解标准方程中的参数值．1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( )A ．x 216－y 248＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 216－y 248＝1或x 29－y 227＝1D ．以上都不对2．焦点在x 轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为π3，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率．利用性质求双曲线方程时，常用直接法或待定系数法，策略仍是先定位、再定量．在双曲线性质中，只有焦点、顶点能确定焦点位置，其他性质如渐近线等均不能，求解时注意分类讨论，或选择恰当的方程形式，如方程的一般式．三、与双曲线的离心率有关的问题已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率．思路分析：要求双曲线的离心率需找出a 与c 的关系，而本题已知渐近线方程，需确定双曲线的焦点位置，因而需要分类讨论．1．(2012福建高考，文5)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )．A ．31414B ．324C ．32D ．432．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且||PF 1＝4||PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A ．43B ．53C ．2D ．73求双曲线离心率的方法有：(1)求a ，c 的值，由公式e ＝ca求得；(2)建立关于a ，b ，c 的方程，据b 2＝c 2－a 2替换b ，构造ca ＝e ，解方程得e ；(3)根据渐近线方程，可求出b a 或a b 的值(分类讨论焦点在哪个坐标轴上)，再根据ba ＝c 2－a 2a ＝e 2－1解方程求得．答案：活动与探究1：解：将方程化为标准形式：x 249－y 2＝1，所以：实半轴长a ＝49＝23，虚轴长2b ＝2，于是有c ＝a 2＋b 2＝133，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫±133，0，离心率e ＝c a ＝132，渐近线方程为y＝±b a x ，即y ＝±32x .迁移与应用：1．D 解析：双曲线y 2－x 23＝1的焦点为(0，±2)，e ＝2，故选D. 2．C 解析：由已知得到b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝2，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .活动与探究2：解：(1)当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由离心率e ＝53，得c a ＝53，由焦点在圆x 2＋y 2＝100上，知c ＝10， ∴a ＝6.又∵b 2＝c 2－a 2＝64，∴所求双曲线方程为x 236－y 264＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝53，a 2＋b 2＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝64，b 2＝36，∴所求双曲线方程为y 264－x 236＝1.综上，所求双曲线的标准方程为x 236－y 264＝1或y 264－x 236＝1.迁移与应用：1．C 解析：当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x227＝1.2．解：由已知可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴两条渐近线方程为y ＝±ba。

3.2双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等(重点).2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题(重、难点).3.能区别椭圆与双曲线的性质(重点).知识点一双曲线的简单性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴和虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴；线段B1B2叫作双曲线的虚轴渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)(1)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A.2B.2 2C.4D.4 2解析双曲线的标准方程为x24－y28＝1，所以a2＝4，所以2a＝4.答案 C(2)已知双曲线的焦点为(－4，0)，(4，0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为________.解析 因为e ＝ca ＝2，c ＝4，所以a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12，且焦点在x 轴上，故标准方程为x 24－y 212＝1. 答案 x 24－y 212＝1知识点二 双曲线的渐近线和离心率(1)根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程，简单且实用的方法是如果两条渐近线的方程为x a ±y b ＝0，那么双曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋y b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a －y b ＝m (m ≠0). (2)共渐近线y ＝±b a x 的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；λ＜0时，焦点在y 轴上. 【预习评价】(1)椭圆与双曲线的离心率都是e ，其范围一样吗？ (2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？提示 (1)不一样.椭圆的离心率0<e <1，而双曲线的离心率e >1.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y ＝±b a x 的双曲线可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，λ∈R )，当λ>0时，焦点在x 轴上，当λ<0时，焦点在y 轴上.题型一 已知双曲线的标准方程求其简单性质【例1】 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13.因此顶点为A 1(－3，0)，A 2(3，0)， 焦点为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .规律方法 讨论双曲线的简单性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.【训练1】 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.解 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0，4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0，2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.题型二 根据双曲线的简单性质求标准方程 【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135； (2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3).解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① ∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.② 联立①②，无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④ 联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)， ∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.规律方法 由双曲线的简单性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x 时，可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). 【训练2】 根据条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线x29－y216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2).解(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，由题意可知（－3）29－（23）216＝λ，解得λ＝14.∴所求双曲线的标准方程为x294－y24＝1.(2)设所求双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1(16－k>0，4＋k>0)，∵双曲线过点(32，2)，∴（32）216－k－44＋k＝1，解得k＝4或k＝－14(舍去).∴所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1.【探究1】直线l在双曲线x23－y22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 的方程.解设直线l的方程为y＝2x＋m，由⎩⎨⎧y＝2x＋m，x23－y22＝1，得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2). 又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)，∴|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝5[3625m 2－4×310(m 2＋2)]. ∵|AB |＝4，∴365m 2－6(m 2＋2)＝16. ∴3m 2＝70，m ＝±2103.由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±2103代入上式， 得Δ>0，∴m 的值为±2103. ∴所求直线l 的方程为y ＝2x ±2103.【探究2】 设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A.B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值. 解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a >0)， 得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）>0，∴0<a <2且a ≠1.故a 的取值范围是(0，1)∪(1，2). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 依题意得P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1). 由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0， 所以x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a >0，解得a ＝1713.【探究3】 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，且过点P (6，1).(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围. 解 (1)由e ＝233可得c 2a 2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x 23b 2－y 2b 2＝1, 将点P (6，1)代入双曲线C 的方程，可解得b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立直线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0，⇒(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝72k 2－4（1－3k 2）×（－9）＞0，1－3k 2≠0，解得－1＜k ＜1且k ≠±33，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.规律方法 直线与双曲线位置关系的处理方法把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式. (1)Δ＞0时，直线与双曲线有两个不同的公共点. (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点. (3)Δ＜0时，直线与双曲线没有公共点.当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.特别提醒 利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.课堂达标1.双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A.2 3B.2C. 3D.1解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4，0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到3x －y ＝0的距离为432＝2 3. 答案 A2.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A.－14B.－4C.4D.14解析由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－x2－1m＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－1m＝b2＝4，∴m＝－1 4.答案 A3.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为________.解析双曲线C的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0，点P(2，1)在渐近线上，∴4a2－1b2＝0，即a2＝4b2，又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20.答案x220－y25＝14.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.解析设双曲线的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，因为c>b，所以只有∠B1F1B2＝60°，∴tan 30°＝bc，∴c＝3b，又a2＝c2－b2＝2b2，∴e＝ca ＝3b2b＝62.答案6 25.双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，与圆x2＋y2＝5交于点P(2，－1)，如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴的一个端点的连线，求双曲线的方程.解 因为双曲线的中心在原点，实轴在x 轴上， 所以双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0). 因为点P (2，－1)在双曲线上，所以4a 2－1b 2＝1 ①.又因为圆x 2＋y 2＝5在点P 处的切线平行于双曲线左顶点(－a ，0)与虚轴的一个端点(0，b )的连线，而圆的切线斜率k 切与k OP 的乘积为－1， 所以k 切＝2，即ba ＝2，所以b ＝2a ②. 解①②得a 2＝154，b 2＝15.所以双曲线方程为4x 215－y 215＝1.课堂小结1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.。

3.3 双曲线的简单性质1．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点) 知识点一双曲线的简单性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形几何范围对称性顶点实虚轴离心率考点一双曲线的简单性质的应用例1(1)(广东高考)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等(2)已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 为双曲线上任意一点，设点A 的坐标为(3,0)，求|PA |的最小值为________．(3)双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________．【名师指津】1．由双曲线方程探究简单性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数，a ，b ，c 值的关键．2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系． 考点二 利用双曲线的性质求双曲线的标准方程 例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)顶点在x 轴上，焦距为10，离心率是54；(2)焦点在y 轴上，一条渐近线为y ＝34x ，实轴长为12；(3)离心率e ＝2，且过点(－5,3)．【名师指津】1．求双曲线方程，关键是求a ，b 的值，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ.练习1．将本例(2)中“焦点在y 轴上”去掉，其他不变．考点三双曲线的离心率例3 (1)(全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B ．62 C.52D ．1 (2)(重庆高考)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．15 C ．4 D ．17【名师指津】1．解决本题的关键是探寻a 与c 的关系．2．求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca；二是依据条件提供的信息建立关于参数a ，b ，c 的等式，进而转化为关于离心率e 的方程，再解出e 的值．练习2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A.53 B ．43 C.54 D ．32 例4求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .(2)经过点M (－3,23)，且与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线．【名师指津】求解双曲线标准方程的难点是设双曲线方程，常用的技巧如下：①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ＞0，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若λ＜0，则表示焦点在y 轴上的双曲线． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0， b ＞0)有相等离心率的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ＞0)． ③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a2＜λ＜b 2)．④已知渐近线方程y ＝±b a x ，双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，通过求λ确定双曲线方程，而无需考虑其实、虚轴的位置．练习3．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( )A.54 B ．52 C.53或54 D ．52或153 思考问题1 何为双曲线的“虚轴”？ 问题2 如何确定双曲线的形状？问题3 如何用几何图形解释c 2＝a 2＋b 2？a ，b ，c 在双曲线中分别表示哪些线段的长？ 问题4 双曲线的渐近线具有什么特点？问题5 双曲线的渐近线与双曲线的标准方程有什么关系？ 课堂练习1．双曲线y 24－x 29＝1的顶点坐标为( )A ．(0,2)(0，－2)B ．(3,0)(－3,0)C ．(0,2)(0，－2)(3,0)(－3,0)D ．(0,2)(3,0)2．如图，双曲线C ：x 29－y 210＝1的左焦点为F 1，双曲线上的点P 1与P 2关于y 轴对称，则|P 2F 1|－|P 1F 1|的值是( ) A ．3 B ．6 C ．4 D ．83．(全国卷)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14 B ．13 C.24 D ．234．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为________。

3.2 双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a ，b ，c ，e 间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．知识点一 双曲线的简单性质思考 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的哪些性质？ 梳理知识点二 双曲线的离心率思考1 如何求双曲线的渐近线方程？思考2椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？梳理双曲线的焦距与实轴长的比ca，叫作双曲线的，其取值范围是________．e越大，双曲线的张口________．知识点三双曲线的相关概念1．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.类型一由双曲线方程研究其性质例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．反思与感悟由双曲线的方程研究其性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质．跟踪训练1求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．类型二由双曲线的简单性质求标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤 ①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴； ②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数； ④求出a ，b ，写出方程．(2)①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)；②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103； (3)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．类型三 与双曲线有关的离心率问题命题角度1 求双曲线离心率的值例3 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94 D ．3 引申探究例3条件“|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ”改为“若PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°”，结果如何？反思与感悟 求双曲线离心率的常见方法 (1)依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca.(2)依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化为离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后，利用e ＝1＋(ba)2求解．跟踪训练3 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c .求双曲线的离心率．命题角度2 求双曲线离心率的取值范围例4 设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B ，求双曲线C 的离心率的取值范围．反思与感悟 求离心率的取值范围技巧 (1)根据条件建立a ，b ，c 的不等式．(2)通过解不等式得c a 或ba的取值范围，求得离心率的取值范围．跟踪训练4 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左，右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(2＋1，＋∞) C ．(1，2＋1)D ．(1，3)1．双曲线x 215－y 2＝1与椭圆x 225＋y 29＝1的( )A ．焦点相同B ．顶点相同C ．实轴与长轴相同D ．短轴与虚轴相同2．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．13．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A.32B ．2C.52D ．34．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．答案精析问题导学 知识点一思考 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．梳理 x ≥a 或x ≤－a y ≥a 或y ≤－a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 知识点二思考1 将方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的“1”换成“0”，即由x 2a 2－y 2b 2＝0得x a ±yb ＝0，如图，作直线x a ±y b ＝0，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫作双曲线的渐近线．思考2 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于b a 的值，设e ＝c a ，则ba ＝c 2－a 2a＝e 2－1.当e 的值逐渐增大时，ba 的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．梳理 离心率 (1，＋∞) 越大 题型探究例1 解 将9y 2－4x 2＝－36变形为 x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)； 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)； 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4； 离心率e ＝c a ＝133；渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .跟踪训练1 解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .例2 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)．将点(2，－2)代入双曲线方程， 得λ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.跟踪训练2 解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12， 故所求双曲线的标准方程为 y 225－x 2144＝1. (2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .∴设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1①或y 29k －x 2k ＝1.②将(3,92)代入①，得k ＝－161，与k >0矛盾，无解； 将(3,92)代入②，得k ＝9. 故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.(3)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① ∵A (2，－3)在双曲线上， ∴4a 2－9b 2＝1.② 联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.例3 B [考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式等号左右两边平方后相减， 得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24.又已知|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)． ∴该双曲线的离心率e ＝c a＝ 1＋(b a)2＝1＋(43)2＝53.]引申探究 解 作出满足题意的几何图形(如图)，利用PF 1⊥PF 2及∠PF 1F 2＝30°，求出a ，c 的关系式． 设点P 在双曲线右支上． ∵PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝2c ， 且∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c . 又点P 在双曲线的右支上， ∴|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.跟踪训练3 解 依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ， 得ab a 2＋b 2＝34c ， 即ab ＝34c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0， ∴3⎝⎛⎭⎫b 2a 22－10×b2a 2＋3＝0， 解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3.又∵0<a <b ，∴b 2a 2＝3.∴e ＝1＋b 2a2＝2. 例4 解 由C 与l 相交于两个不同点，知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实根，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a＝ 1a 2＋1， 所以e >62且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围为 (62，2)∪(2，＋∞)． 跟踪训练4 B [由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形， 又直线AB 与x 轴垂直，所以|AF 2|＝|BF 2|，故∠AF 2B 为钝角．所以有b 2a>2c ，即2ac <c 2－a 2， 解得e ∈(1＋2，＋∞)．故选B.]当堂训练1．A 2.A 3.B 4.D 5.y ＝±22x。

高中数学北师大版选修2-1第三章《3.2双曲线的简单性质》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
双曲线的范围、对称性(对称轴、对称中心)、顶点(截距)、实轴、虚轴的概念及双曲线的渐近线与离心率.
2学情分析
通过对椭圆的几何性质和双曲线及其标准方程的学习,学生初步掌握了圆锥曲线的学习方法,可以对比学习、自主学习,本节课,可以让学生主动参与探究学习
3重点难点
教学重点:双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.
教学难点:双曲线的渐近线
4教学过程
4.1第一学时
新设计
Ⅰ.课题导入
[师]前面我们学习了椭圆的简单性质:范围、对称性、顶点、离心率,请同学们回忆一下,对于椭圆 (a>b>0)其几何性质的具体内容及其研究方法.
再请同学们回忆一下双曲线的标准方程
Ⅱ.讲授新课
[师]哪位同学对照椭圆的简单几何性质的顺序,来谈一下双曲线 (a>0,b>0)的几何性质,并
谈谈这个性质的讨论方法.
[生甲]范围,|x|≥a,
即x≥a,x≤-a
讨论方法是由标准方程可知与一个非负数的差等于1,所以≥1,由此推得x的范围.y除受到式子本身的制约外,没有任何限制,说明双曲线位于x≥a与x≤-a的区域内.
[师]好,请另一位同学接着说.。