中考数学一轮复习矩形、菱形、正方形学案(无解答)1

【答案】寻找点 F 时，可以 B 为圆心，AE＝5 为半径 作圆交正方形的边于点 F.由题中射线 BM 交正方形的 一边于点 F 知有如下两种情形：
∴BM＝52或152.
1．(2018·湘潭)如图，已知点 E、F、G、H 分别是菱形
ABCD 各边的中点，则四边形 EFGH 是( B )
A．正方形
B．矩形
5．(2019·宁波)如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱 形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F、H 在菱形 ABCD 的对角 线 BD 上． (1)求证：BG＝DE； (2)若 E 为 AD 中点，FH＝2，求菱形 ABCD 的周长．
【答案】(1)证明：在矩形 EFGH 中，EH＝FG，EH∥FG. ∴∠GFH＝∠EHF. ∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE. 在菱形 ABCD 中，AD∥BC. ∴∠GBF＝∠EDH. ∴△BGF≌△DEH(AAS)， ∴BG＝DE.
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④
【答案】(1)①16 ②24 ③8 3 (2)D
【解后感悟】(1)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭 示图形的数量关系是解题关键；(2)结合图形，利用图形 条件、已知条件综合判定．
2．(2019·河北)如图，菱形 ABCD 中，∠D＝150°，
则∠1＝( D )
10 时，△DOE 的周长是 12.则正确结论的序号是①__②__③___⑤_．⑦
【解后感悟】(1)结合图形，利用图形条件、已知条件 综合判定；(2)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭 示图形的数量关系是解题关键．
1．(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有
的性质是( C )

2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形课时1 矩 形基础过关1. (2019重庆模拟)下列关于矩形对角线的说法中，正确的是( ) A. 对角线相互垂直B. 面积等于对角线乘积的一半C. 对角线平分一组对角D. 对角线相等2．(2019临沂)如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA .添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A. OM ＝12ACB. MB ＝MOC. BD ⊥ACD. ∠AMB ＝∠CND第2题图3．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC ′D ，C ′D 与AB 交于点E .若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A. 20°B. 30°C. 35°D. 55°第3题图4．(2019贵阳模拟)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交边BC于点E，若ED＝5，EC＝3，则矩形ABCD的周长为()A. 11B. 14C. 22D. 28第4题图5．如图，矩形ABCD中，A(－2，0)，B(2，0)，C(2，2)，将AB绕点A旋转，使点B落在边CD上的点E处，则点E的坐标为()A. (3，2)B. (23，2)C. (1，2)D. (23－2，2)第5题图6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E.已知∠EAD ＝3∠BAE，则∠EAO的度数为()A．22.5°B．67.5°C．45°D．60°第6题图7．(2020原创)如图，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E.若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为()A. 10B. 8＋2 5C. 8＋213D. 14第7题图8．(2018遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB、PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为()A. 10B. 12C. 16D. 18第8题图9．(2019徐州)如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若MN＝4，则AC的长为________．第9题图10．(人教八下P55练习2题)如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，△OAB是等边三角形，AB ＝4.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求四边形ABCD的面积．第10题图11．(2019怀化)已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF是矩形．第11题图12．(2019连云港)如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.(1)求证：△OEC为等腰三角形；(2)连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．第12题图能力提升1．(2019台州)如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2 cm，BC＝FG＝8 cm.把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于()A. 14 B.12 C.817 D.815第1题图2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为________．第2题图满分冲关1．(2019眉山模拟)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①CF＝3AF；②AB＝DF；③DF＝22BC；④S四边形CDEF＝52S△ABF.其中正确的结论有()第1题图A．1个B．2个C．3个D．4个【错误结论纠正】请将错误结论改正确．2．如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝30°，对角线AC，BD交于点O，∠BCD的平分线CE分别交AB，BD于点E，H，连接OE.(1)求∠BOE的度数；(2)若BC＝1，求△BCH的面积；(3)求S△CHO∶S△BHE的值．第2题图课时2菱形(建议时间：40分钟)基础过关1．(2019玉林)菱形不具备的性质是()A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形C. 对角线互相垂直D. 对角线一定相等2．(2019河北)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝()A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°第2题图3．(2019襄阳)如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是()A. 正方形B. 矩形C. 梯形D. 菱形第3题图4．(2019呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A. 2 2B. 2 5C. 4 2D. 2105．(2019宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A. AC⊥BDB. AB＝ADC. AC＝BDD. ∠ABD＝∠CBD第5题图6．(2019赤峰)如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE 的长是()A. 2.5B. 3C. 4D. 5第6题图7．(2019天津)如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于()第7题图A. 5B. 4 3C. 4 5D. 208．(2019永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为()第8题图A. 40B. 24C. 20D. 159．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处，且DC′过点P，折痕为DE，则∠CDE的大小为()A．30°B．40°C．45°D．60°第9题图10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，则AB＝______．第10题图11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，点E为AC上一点，若∠CBE＝20°，则∠AED＝________°.第11题图12．(2019广西北部湾经济区)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知BO ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则AH ＝________．第12题图13．(2019宿迁)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE ＝DF ＝32.(1)求证：四边形AECF 是菱形； (2)求线段EF 的长．第13题图14．(2020原创)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BD、BC于点E、F、G，连接ED、DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，求GC的长．第14题图15．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若EF＝8，AE＝5，求四边形AECF的面积．第15题图16．(2019北京)如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE ＝DF ，连接EF .(1)求证：AC ⊥EF ；(2)延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O .若BD ＝4，tan G ＝12，求AO 的长．第16题图能力提升1．如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E 、F 在BD 上．已知∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，则ABAE的值为( ) A. 6＋2B. 6－2C.6－22D.6＋22第1题图2．已知菱形ABCD ，E 、F 是动点，边长为4，BE ＝AF ，∠BAD ＝120°，则下列结论正确的个数为( ) ①△BEC ≌△AFC ；②△ECF 为等边三角形； ③∠AGE ＝∠AFC ；④若AF ＝1，则GF EG ＝14.A. 1B. 2C. 3D. 4第2题图【错误结论纠正】请将错误结论改正确．满分冲关(2019绵阳模拟)如图，点E 、F 、G 分别在菱形ABCD 的边AB 、BC 、AD 上，2AE ＝BE ，2CF ＝BF ，AG ＝13AD ，已知△EFG 的面积等于1，则菱形ABCD 的面积等于________．题图课时3正方形(建议时间：40分钟)基础过关1．正方形具有而菱形不一定具有的特征有()A. 对角线互相垂直B. 内角和为360°C. 对角线相等D. 对角线平分内角2．(2019河池)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4第2题图3．(2019毕节)如图，点E在正方形ABCD边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为()A. 3B. 3C. 5D. 5第3题图4．如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是()A．45°B．30°C．22.5°D．20°第4题图5．(2018梧州)如图，在正方形ABCD中，A，B，C三点的坐标分别是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)，将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是()A. (－6，2)B. (0，2)C. (2，0)D. (2，2)第5题图6．[人教八下P67第1(3)题改编]如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为()第6题图A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°7．(2019兰州)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝()第7题图A. 12B.22C. 3－1D. 2－18．(2019包头)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，点E ，F 分别在边BC 和CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝60°，则CF 的长是( )A. 3＋14B. 32C. 3－1D. 23第8题图9．(2019菏泽)如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF 的周长是________．第9题图10．(2019扬州)如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN .若AB ＝7，BE ＝5，则MN ＝________．第10题图11．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C 的坐标是________．第11题图12.(数学文化)(2019大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么(a－b)2的值是________．第12题图13．(2019黄冈)如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.第13题图1．(2018天津)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是()A. ABB. DEC. BDD. AF第1题图2．(2019绍兴)正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积()A. 先变大后变小B. 先变小后变大C. 一直变大D. 保持不变第2题图3．(2019乐山模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边BC，CD的延长线上的动点，且CE＝DF，连接AE、BF，交于点G，连接DG，则DG的最小值为________．第3题图(2019威海)如图，在正方形ABCD中，AB＝10 cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F.E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2 cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为y cm2，E点的运动时间为x秒．(1)求证：CE＝EF；(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)求△BEF面积的最大值．题图备用图参考答案课时1矩形基础过关1．D2．A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BM＝DN，∴OM＝ON，∴四边形AMCN 是平行四边形．当OM ＝12AC 时，MN ＝AC ，∴四边形AMCN 是矩形，故选A .3．A 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，CD ∥AB ，∴∠DBA ＝∠1＝35°，∴∠CBD ＝55°，由折叠性质可知∠C ′BD ＝∠CBD ＝55°，∴∠2＝∠C ′BD －∠DBA ＝20°.4．C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∵ED ＝5，EC ＝3，∴DC 2＝DE 2－CE 2＝25－9＝16，∴DC ＝4，AB ＝4，∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAE ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴BE ＝AB ＝4，∴矩形ABCD 的周长为2(4＋3＋4)＝22.5．D 【解析】∵矩形ABCD 中，A (－2，0)，B (2，0)，C (2，2)，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝2，∵将AB 绕点A 旋转，使点B 落在边CD 上的点E 处，∴AE ＝AB ＝4，∴DE ＝AE 2－AD 2＝23，∴点E 坐标为(23－2，2)．6．C 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD ＝90°，OA ＝OB ，∵∠EAD ＝3∠BAE ，∴4∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝22.5°，∵AE ⊥BD ，∴∠ABE ＝90°－∠BAE ＝67.5°，∴∠BAO ＝67.5°，∴∠EAO ＝∠BAO －∠BAE ＝67.5°－22.5°＝45°.7．C 【解析】∵点O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，OE ∥AB ，∴OE ＝12CD ＝12AB ＝3，点E 为AD 中点，在Rt △ABE 中，利用勾股定理求得BE ＝213.在Rt △ABC 中，利用勾股定理求得AC ＝10.∴BO ＝OC ＝12AC ＝5.△BOE 的周长为5＋3＋213＝8＋213.8．C 【解析】如解图，作PM ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ，则四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴S △ADC ＝S △ABC ，S △AMP ＝S △AEP ，S △PBE ＝S △PBN ，S △PFD ＝S △PDM ，S △PFC ＝S △PCN ，∴S 矩形DFPM ＝S 矩形BEPN ，∴S △DFP ＝S △PBE ＝12×2×8＝8，∴S 阴影＝8＋8＝16.第8题解图9．16 【解析】∵M 、N 分别为BC 、OC 的中点，∴MN 是△OBC 的中位线，∴OB ＝2MN ＝8，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ＝2OB ＝16.10．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，△AOB 是等边三角形， ∴OA ＝OB ＝OD ，且AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形；(2)解：∵AB＝4，在Rt△ABC中，由题意可知，AC＝8，则BC＝43，∴S四边形ABCD＝4×43＝16 3.11．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D.∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF(AAS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴AE∥CF.∴四边形AECF是平行四边形．∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形.12．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵△ABC平移得到△DEF，∴∠ABC＝∠DEF.∴∠DEF＝∠ACB.即△OEC为等腰三角形；(2)解：如解图，当E为BC中点时，四边形AECD为矩形．理由如下：∵AB＝AC，且E为BC的中点，∴AE ⊥BC ，BE ＝EC ， ∵△ABC 平移得到△DEF ， ∴BE ∥AD ，BE ＝AD ， ∴AD ∥EC ，AD ＝EC ， ∴四边形AECD 为平行四边形， 又∵AE ⊥BC ，∴四边形AECD 为矩形．第12题解图能力提升1．D 【解析】如解图，当B 、E 重合时，α最小，∵在△BMF 和△DMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BMF ＝∠DMC ，∠F ＝∠C ，BF ＝DC ，∴△BMF ≌△DMC (AAS)，∴BM ＝DM ，设FM ＝x ，则DM ＝BM ＝8－x ，在Rt △BFM 中，由勾股定理得22＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝154，∴tan α＝BF FM ＝2154＝815.第1题解图2．210－2 【解析】如解图，∵AE ⊥BE ，∴点E 在以AB 为直径的半圆⊙上，连接CO 交⊙O 于点E ′，∴当点E 落在OC 上时，即点E 在E ′处，线段CE 取得最小值，∵AB ＝4，∴OA ＝OB ＝OE ′＝2.∵BC＝6，∴OC ＝BC 2＋OB 2＝62＋22＝210，则CE ′＝OC －OE ′＝210－2.第2题解图满分冲关1．C 【解析】①∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AE BC ＝AF CF ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD ＝12BC ，∴AF CF ＝12，∴CF ＝2AF ，故①错误；②如解图①，过点D 作DM ∥BE 交AC 于点N ，交BC 于点M ，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12BC ，∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DM 垂直平分CF ，∴DF ＝DC ，∴AB ＝DF ，故②正确；③∵BE ⊥AC ，∠BAD ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC ，而∠BAE ＝∠ADC ＝90°，∴△BAE ∽△ADC ，∴ABAE ＝AD CD ，∴AE ×AD ＝AB ×CD ，∴12BC ×BC ＝AB 2，∴AB 2＝12BC 2，∴AB ＝22BC ，∵AB ＝DF ，∴DF ＝22BC ，故③正确；④如解图②，连接CE ，由△AEF ∽△CBF ，可得EF BF ＝AF CF ＝12，设△AEF 的面积为s ，则△ABF的面积为2s ，△CEF 的面积为2s ，∴△ACE 的面积为3s ，∵E 是AD 的中点，∴△CDE 的面积为3s ，∴四边形CDEF 的面积为5s ，∴S 四边形CDEF ＝52S △ABF ，故④正确．图①图②第1题解图2．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO ，∴∠DCE ＝∠BEC ， ∵CE 平分∠BCD ， ∴∠BCE ＝∠DCE ＝45°， ∴∠BCE ＝∠BEC ＝45°， ∴BE ＝BC ，∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ， ∴∠BOC ＝60°，∠OBA ＝30°， ∵∠BOC ＝60°，BO ＝CO ， ∴△BOC 是等边三角形， ∴BC ＝BO ＝BE ，且∠OBA ＝30°， ∴∠BOE ＝75°；(2)如解图①，过点H 作FH ⊥BC 于F ， ∵△BOC 是等边三角形， ∴∠FBH ＝60°，FH ⊥BC ， ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF ， ∵∠BCE ＝45°，FH ⊥BC ， ∴CF ＝FH ＝3BF ， ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1， ∴BF ＝3－12， ∴FH ＝3－32，∴S △BCH ＝12×BC ×FH ＝3－34；第2题解图①(3)如解图②，过点C作CN⊥BO于N，∵△BOC是等边三角形，∴∠FBH＝60°，FH⊥BC，∴BH＝2BF，FH＝3BF，∵∠BCE＝45°，FH⊥BC，∴CF＝FH＝3BF，∴BC＝3BF＋BF＝BO＝BE，∴OH＝OB－BH＝3BF－BF，∵∠CBN＝60°，CN⊥BO，∴CN＝32BC＝3＋32BF，∵S△CHO∶S△BHE＝12×OH×CN∶12×BE×BF，∴S△CHO∶S△BHE＝3－32.第2题解图②课时2 菱 形基础过关1．D 【解析】菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，其对角线互相垂直且平分，但不一定相等． 2．D 【解析】根据菱形的性质可知：∠DAB ＝180°－∠D ＝30°，∠1＝12∠DAB ＝15°.3．D4．C 【解析】∵菱形的对角线互相垂直且平分，∴另一条对角线长为2×32－1＝4 2.5．C 【解析】∵四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，当AB ＝AD 或AC ⊥BD 时，均可判定四边形ABCD 是菱形；当AC ＝BD 时，可判定四边形ABCD 是矩形；当∠ABD ＝∠CBD 时，由AD ∥BC 得∠CBD ＝∠ADB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．6．A 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝5，∠COD ＝90°.在Rt △COD 中，OE 是CD 边上的中线，∴OE ＝12CD ＝2.5.7．C 【解析】∵A (2，0)，B (0，1)，∴OA ＝2，OB ＝1，在Rt △AOB 中，由勾股定理得AB ＝22＋12＝5，∵四边形ABCD 为菱形，∴菱形ABCD 的周长为4AB ＝4 5.8．B 【解析】∵AB ＝AD ，点O 是BD 的中点，∴AC ⊥BD ，∠BAO ＝∠DAO ，∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ，∴AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形，∵AB ＝5，BO ＝12BD ＝4，∴AO ＝3，∴AC ＝6，∴四边形ABCD 的面积为12×6×8＝24.9．C 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB .∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形．∵P 为AB 中点，∴∠ADP ＝12∠ADB ＝30°.∵AB ∥CD ，∴∠ADC ＝120°.∴∠CDP ＝90°.由折叠的性质可知，∠CDE ＝∠C ′DE ＝12∠CDP ＝45°.第9题解图10．4 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∠ACD ＝30°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝2∠ACD ＝60°，AB ＝AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD ＝4.11．70 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠BAD ＝100°，∴∠ACD ＝12∠BCD ＝50°，在△BCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCE ＝∠DCE CE ＝CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠CDE ＝∠CBE ＝20°，∴∠AED ＝∠ACD＋∠CDE ＝70°.12.245 【解析】∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×AC ×8＝24，∴AC ＝6，∴OC ＝12AC ＝3，∴BC ＝42＋32＝5.∵BC ·AH ＝OB ·AC ，∴AH ＝245.13．(1)证明：在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∵BE ＝DF ，∴AE ＝CF ，AE ∥CF ， ∴四边形AECF 是平行四边形． 又∵BE ＝DF ＝32，AB ＝4，∴AE ＝AB －BE ＝52.在Rt △BCE 中，CE 2＝BE 2＋BC 2， ∴CE 2＝(32)2＋22，∴CE ＝52，∴CE ＝AE .∴平行四边形AECF 是菱形；(2)解：如解图，连接AC ，交EF 于点O ， ∵在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝2， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝2 5. ∵AC ·EF ·12＝AE ·BC ，∴25×EF ×12＝52×2，∴EF ＝ 5.第13题解图14．解：(1)四边形EBGD 是菱形． 理由：∵EG 垂直平分BD ， ∴EB ＝ED ，GB ＝GD ， ∴∠EBD ＝∠EDB ， ∵BD 平分∠ABC ， ∵∠EBD ＝∠DBC ， ∴∠EDF ＝∠GBF ， 在△EFD 和△GFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EDF ＝∠GBF DF ＝BF ∠EFD ＝∠GFB， ∴△EFD ≌△GFB (ASA)，∴ED ＝BG ，∴BE ＝ED ＝DG ＝GB ， ∴四边形EBGD 是菱形； (2)如解图，作DH ⊥BC 于H .∵四边形EBGD 为菱形，ED ＝DG ＝2，∠ABC ＝30°，∴∠DGH ＝30°， ∴DH ＝1，GH ＝3， ∵∠C ＝45°， ∴DH ＝CH ＝1， ∴GC ＝GH ＋CH ＝1＋ 3.第14题解图15．(1)证明：∵AB ∥DC ， ∴∠FCO ＝∠EAO . 在△CFO 和△AEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FCO ＝∠EAO OC ＝OA ∠FOC ＝∠EOA， ∴△CFO ≌△AEO (ASA)， ∴OF ＝OE ， 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形；(2)解：∵四边形AECF 是菱形，EF ＝8， ∴OE ＝12EF ＝12×8＝4，又∵在Rt △AEO 中，AE ＝5，∴由勾股定理得OA ＝AE 2－OE 2＝52－42＝3， ∴AC ＝2AO ＝2×3＝6，∴S 菱形AECF ＝12EF ·AC ＝12×8×6＝24.16．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ， ∴∠BAC ＝∠DAC . ∵AB ＝AD ，BE ＝DF ，∴AB －BE ＝AD －DF ，即AE ＝AF . ∴△AEF 是等腰三角形． 又∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴AC ⊥EF ；(2)解：由题意作图如解图， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ，OB ＝12BD ＝12×4＝2.∴∠G ＝∠AEG . 由(1)知EF ⊥AC . 又∵BD ⊥AC . ∴EF ∥BD .∴∠AEG ＝∠ABO . ∴∠G ＝∠ABO . ∵tan G ＝12，∴tan ∠ABO ＝AO OB ＝12.∴AO ＝OB ·tan ∠ABO ＝2×12＝1.第16题解图能力提升1．D 【解析】如解图，过点E 作EN ⊥AB 于点N ，连接AC ，∵四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E 、F 在BD 上，∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，∴∠ABD ＝30°，∠EAC ＝15°，∠BAC ＝60°，∠BAE ＝45°，设AN ＝x ，则NE ＝x ，AE ＝2x ，BN ＝NE tan 30°＝3x ，∴AB AE ＝x ＋3x2x＝6＋22.第1题解图2．C 【解析】在菱形ABCD 中，∵AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝∠DAC ＝60°.∴△BAC 为等边三角形．∴CB ＝CA ，∠CBA ＝∠CAD .又∵BE ＝AF ，∴△BEC ≌△AFC (SAS)．故①正确；由①得．CE ＝CF ，∠BCE ＝∠ACF .∴∠ECF ＝∠BCA ＝60°.∴△ECF 为等边三角形．故②正确；∴∠CFG ＝∠CAE ＝60°.∴∠CGF ＝∠AFC .又∵∠AGE ＝∠CGF ，∴∠AGE ＝∠AFC .故③正确；由③得：△AGE ∽△BEC 由△AGE ∽△BEC 可知：AE BC ＝AG BE ＝EG EC ＝34，∴EG ＝34EC ＝34EF .∴GF EG ＝13.故④错误．满分冲关92 【解析】如解图，在CD 上截取一点H ，使得CH ＝13CD ，连接AC 、BD 相交于点O ，BD 交EF 于点Q ，EG 交AC 于点P ，∵AE AB ＝AG AD ＝13，∴EG ∥BD ，同法可证：FH ∥BD ，∴EG ∥FH ，同法可证：EF ∥GH ，∴四边形EFHG 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥EG ，∴四边形EFHG 是矩形，易证点O 在线段FG 上，四边形EQOP 是矩形，∵S △EFG ＝1，∴S 矩形EQOP＝12，即OP ·OQ ＝12，∵OP ∶OA ＝BE ∶AB ＝2∶3，∴OA ＝32OP ，同法可证OB ＝3OQ ，∴S菱形ABCD＝12·AC ·BD ＝12×3OP ×6OQ ＝9OP ×OQ ＝92.解图课时3正方形基础过关1．C【解析】逐项分析如下：2.C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.∵BE＝CF，∠ABE＝∠BCF，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，∴∠BFC＝∠AEB.∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC＝∠AEB.∴与∠AEB相等的角有3个．3. B【解析】∵EC＝2，EB＝1，∠B＝90°，利用勾股定理可得BC＝3，则正方形ABCD的面积为(3)2＝3.4．C【解析】在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∵∠ABE ＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝22.5°.5．B【解析】根据正方形的性质结合题图可知，点D的坐标为(－3，2)，将正方形ABCD向右平移3个单位，根据平移的规律，可得平移后点D的坐标是(0，2)．6．C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠ABE＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°＋15°＝60°.7．D【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝∠DCM＝45°，BC＝CD＝ 2.∴AC＝BD＝2.∴OC ＝1.由折叠的性质知，DE＝CD＝2，CF＝EF，∴BE＝2－2，∠DFC＝90°，∴∠CDM＋∠DCE＝90°.又∠BCE＋∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠CDM.∴△BCE≌△CDM.∴BE＝CM＝2－ 2.∴OM＝OC－CM＝1－(2－2)＝2－1.8．C【解析】如解图，连接EF.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝1，∠ABE＝∠ADF＝90°，又∵AE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌△Rt △ADF (HL)．∴BE ＝DF ，∴EC ＝FC ，设EC ＝FC ＝x ，则BE ＝1－x ，∴AE ＝AF ＝1＋（1－x ）2＝x 2－2x ＋2.∵∠EAF ＝60°，AE ＝AF ，∴△EAF 为等边三角形，∴EF ＝AE ＝AF ＝x 2－2x ＋2.∴EF EC ＝x 2－2x ＋2x＝2，解得x 1＝3－1，x 2＝－3－1(舍去)．∴CF 的长为3－1.第8题解图9．85 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴CD ＝AD ，∠DAE ＝∠DCF ＝45°，BD ⊥AC .∵AE ＝CF , ∴△DAE ≌△DCF (SAS), ∴DE ＝DF ，同理可证：DE ＝BE ，BE ＝BF ，∴四边形BEDF 是菱形，∵AC ＝8，AO ＝OD ，AE ＝2，∴OE ＝2，OD ＝4，∴DE ＝OD 2＋OE 2＝42＋22＝2 5.∴四边形BEDF 的周长为4DE ＝8 5.第9题解图10.132 【解析】 如解图，连接FC ，则MN ＝12CF ，在Rt △CFG 中，FG ＝5，CG ＝5＋7＝12，∴CF＝52＋122＝13，∴MN ＝132.第10题解图11．(1，－1) 【解析】如解图，连接AC .∵四边形OABC 是正方形，∴点A 、C 关于x 轴对称，∴AC 所在直线为OB 的垂直平分线，即A 、C 的横坐标均为1，根据正方形对角线相等的性质，AC ＝BO ＝2，又∵A 、C 关于x 轴对称，∴A 点纵坐标为1，C 点纵坐标为－1，故C 点坐标(1，－1)，第11题解图12．1 【解析】设大正方形的边长为c ，∵大正方形的面积是13，∴c 2＝13，∴a 2＋b 2＝c 2＝13，∵直角三角形的面积是13－14＝3，又∵直角三角形的面积是12ab ＝3，∴ab ＝6，∴(a －b )2＝a 2＋b 2－2ab ＝13－2×6＝1.13．证明：∵BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，∴∠DGA ＝AFB ＝90°，∠ABF ＋∠F AB ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AB ＋∠DAG ＝90° ，AB ＝AD ， ∴∠DAG ＝∠ABF ，∠DGA ＝∠AFB . 在△DAG 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DGA ＝∠AFB ∠DAG ＝∠ABF ，AD ＝AB∴△DAG ≌△ABF (AAS)， ∴AF ＝DG , BF ＝AG ， ∴FG ＝AG －AF ＝BF －DG ， ∴BF －DG ＝FG .能力提升1．D 【解析】如解图，连接CE 交BD 于点P ，则P 即为所求点. ∵四边形ABCD 为正方形，BD 为对角线，∴点A 关于BD 的对称点为C ，AP ＋EP 的最小值为CE . 又∵AD ∥BC ，AE ＝CF ，∴四边形AECF 为平行四边形，∴AF ＝CE , ∴AP ＋EP 的最小值为AF .第1题解图2．D 【解析】如解图，连接DE ，∵在正方形ABCD 中，S △DEC ＝12AD ·CD ＝12S 正方形ABCD ，在矩形ECFG中，S △DEC ＝12EC ·GE ＝12S 矩形ECFG .而点E 从点A 移动到点B 的过程中，△DEC 的面积保持不变，∴矩形ECFG的面积保持不变．第2题解图3．6－25 【解析】如解图，延长AF 交DC 的延长线于点H .∵点E 是CD 的中点，∴CE ＝DE ＝12×4＝2，由勾股定理得AE ＝42＋22＝2 5.∵AF 平分∠BAE ，∴∠BAF ＝∠EAF .∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠H ，∴∠EAF ＝∠H ，∴EH ＝AE ，∴CH ＝25－2.∵AB ∥CD ，∴△HCF ∽△ABF ，∴CF BF ＝CH BA ，即CF BC －CF ＝CHBA ，∴CF4－CF＝25－24，解得CF ＝6－2 5.第3题解图4.5－1 【解析】在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠ABC ＝∠BCD BE ＝CF，∴△ABE ≌△BCF (SAS)，∴∠BAE ＝∠CBF ，∵∠CBF ＋∠ABF ＝90°，∴∠BAE ＋∠ABF＝90°，∴∠AGB＝90°，∴点G在以AB为直径的圆上，如解图，连接OG，当O、G、D在同一直线上时，DG有最小值，∵在正方形ABCD中，AD＝BC＝2，∴AO＝1＝OG，∴OD＝AD2＋AO2＝22＋12＝5，∴DG＝5－1.第4题解图满分冲关(1)证明：如解图，过点E分别作AB、BC的垂线，垂足分别为点G、H，则四边形GBHE为矩形．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC.∵BD是对角线，∴BD所在直线是正方形的对称轴，∴CE＝AE，EG＝EH，∴四边形GBHE为正方形．∵EF⊥AE，∴∠AEF＝∠GEH＝90°.∵∠AEG＋∠GEF＝90°，∠FEH＋∠GEF＝90°，∴∠AEG＝∠FEH.∵∠AGE＝∠FHE＝90°，∴△AGE≌△FHE(ASA)，∴AE＝EF，∴CE＝EF；解图(2)解：∵EF ＝EC ，EH ⊥BC ， ∴FH ＝HC .∵△EHB 是等腰直角三角形，BE ＝2x ， ∴EH ＝BH ＝2x ，∴HC ＝10－2x ， ∴FH ＝HC ＝10－2x ， ∴FB ＝10－22x ，∴y ＝12×(10－22x )×2x ＝－2x 2＋52x (0≤x ≤52)；(3)解：∵y ＝－2x 2＋52x ＝－2(x －524)＋254(0≤x ≤52)，a ＝－2＜0，∵x ＝524<52，∴当x ＝524时，y 有最大值，y 的最大值为0－（52）24×（－2）＝254，即△BEF 面积的最大值为254cm 2.。

A B C DEA′第28课时：矩形、菱形、正方形【知识梳理】1. 特殊的平行四边形的之间的关系2. 特殊的平行四边形的判别条件（1）矩形：①有一个角是 的平行四边形是矩形．②对角线 的平行四边形是矩形．③有三个角是 的四边形是矩形．（2）菱形：①一组 的平行四边形是菱形．②对角线 的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．（3）正方形：①有一个角是 的菱形是正方形．②对角线 的菱形是正方形．③有一组 的矩形是正方形．④对角线 的矩形是正方形．矩形 4．面积计算：（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：1212S l l =⋅（12l l 、是对角线）；（3）正方形：S=边长2【课前预习】1、如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′= ．2、如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，D E⊥AB，3sin 5A =，则这个菱形的面积= m 2． 3、如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为25和4，那么阴影部分面积为 . 4、正方形的对角线长为a ，则它的对角线的交点到各边的距离为（ ） A 、22 a B 、24 a C 、a2D 、2 2 a 【例题讲解】例1 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形. （若四边形ABCD 是矩形，则四边形EFGH 有什么变化？若四边形ABCD 是菱形呢……你能说明中点四边形的形状是由什么决定的么？） 正平行四边形矩形菱形方形B例2 如图，在平行四边形ABCD 中，∠D AB ＝60°，AB ＝2AD ，点 E 、F 分别是CD 的中点，过点A 作AG∥BD，交CB 的延长线于点G ． （1）求证：四边形DEBF 是菱形；（2）请判断四边形AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明．例3 如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG ，线段EB 和GD 相交于点H ． （1）求证：EB=GD ；（2）判断EB 与GD 的位置关系，并说明理由； （3）若AB=2，AG=2，求EB 的长．例4 如图，△ABC 中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长．解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)AB 、AC 为对称轴，画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，D 为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G点，证明四边形AEGF 是正方形；设AD=x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值．【巩固练习】 1、如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ． D ．2、如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上．小明认为：若MN = EF ，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF ．你认为（ ）A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对 3、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．4、四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．6、在□ABC D 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，BD 与AE 、AF 分别相交于G 、H ．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AH AG =，求证：四边形ABCD 是菱形．【课后作业】 班级 姓名OD CA BA DC B GEH F一、必做题1、如图，在△ABC 中，点E ，D ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE//CA ， DF//BA ．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A. 四边形AEDF 是平行四边形B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF 是矩形C. 如果AD 平分∠BAC，那么四边形AEDF 是菱形D. 如果AD⊥BC 是AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是正方形 2、下列命题正确的是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是菱形；B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 3、如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形4、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AD BC '=B ．EBD ED B ∠=∠C ．ABE CBD △∽△ D ．sin AE ABE ED∠=5、如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连DF ，∠CDF 等于 °.6、如图，矩形ABCD 中，AB=3,BC=5过对角线交点O 作OE⊥AC 交AD 于E 则AE 的长是 .7、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是 .8、如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP⊥CD 于点P ，则∠FPC= .9、如图，平行四边形 ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由．10、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC 的长；（2）求∠AOB 的度数；（3）以O B 、OC 为邻边作菱形OBEC ，求菱形OBEC 的面积．二、选做题第3题图第5题图 第6题图第8题图CD C 'A B E第4题图11、如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 度．12、如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．13、将五个边长都为2cm 的正方形按如图所示摆放，点A 、B 、C 、D 分别是正方形的中心，则途中四块阴影部分的面积和为__________cm 2．14、如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．15、如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF ． （1）求证：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE 的度数； （3）当APAB的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．16、学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长，其一个内角为60°．（1）若d ＝26（2）当d ＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？第11题图 第13题图 DA B C ml α 65°C 'B第12题图 第14题图。

第七节矩形、菱形课标呈现指引方向1．理解平行四边形、矩形、菱形的概念，以及它们之间的关系．2．探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点梳理夯实基础1．矩形：(1)矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：①角：它的四个角为_____；②对角线：它的对角线_____；③对称性：它是轴对称图形，它的对称轴是_____所在的直线．【答案】直角相等对边中点(2)矩形的判定判定1：_________的平行四边形是矩形（定义）；判定2：_________的平行四边形是矩形；判定3：_________的四边形是矩形.【答案】有一个角为直角两条对角线相等有三个角为直角注：(1)矩形被它的对角线分成四个______三角形和四个_____三角形；(2)矩形中常见题目是对角线相交成60°或120°角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题．【答案】等腰直角2．菱形：(1)菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：①边：它的四条边________；②对角线：它的对角线________，并且每一条对角线平分________；③对称性：它是轴对称图形，它的对称轴是________；④面积：它的面积除底乘以高外还有________．【答案】相等互相垂直每一组对角对角线所在的直线两对角线乘积的一半(2)菱形的判定判定1：________的平行四边形是菱形（定义）；判定2：________的平行四边形是菱形；判定3：________的四边形是菱形.【答案】一组邻边相等两对角线垂直四边相等注：(1)菱形被它的对角线分成四个全等的________三角形和两对全等的________三角形.(2)菱形中常见题目是内角为60°或120°角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题．【答案】直角等腰考点精析专项突破考点一矩形的性质【例1】（2016包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．过点A作AE⊥BD．垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=_______度．【答案】22.5解题点拨：首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB,∠OAE即可.考点二菱形的性质【例2】（2015通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2-7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为 ( )A．8 B．20 C．8或20 D．10【答案】B解题点拨：边AB的长是方程y2-7y+10=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长. 考点三矩形、菱形的综合【例3】（2016南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°．∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E．F．且∠EAF= 60°．(1)如图l，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；(2)如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；(3)如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．解题点拨：(1)结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可，证明△AEF是等边三角形．(2)欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．(3)过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH =CF·cos30°，因为CF= BE，只要求出BE即可解决问题．【答案】(1)解：结论AE=EF=AF.理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,∵△ABC,△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,∵∠EAF=60°,∴∠CAF=∠DAF=30°,∵AF⊥CD，∵AE=AF(菱形的高相等)，∴△AEF是等边三角形．∴AE=EF=AF．(2)证明：如图2中，连接AC,∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF,在△BAE和△CAF中，BAE CAF BA ACB ACF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAE≌△CAF.∴BE= CF.(3)解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH ⊥EC于点H, ∵∠EAB=15°,∠ABC=60°，∴∠AEB=45°,在RT△AGB中，∴∠ABC=60°,AB=4,∴BG=2,AG=23,在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°,∵AG=GE=23，∵EB=EG-BG=23-2,∴△AEB≌△AFC，∴AE=AF,EB=CF=23-2,在RT△CHF中，∵∠CFH=30°,CF=23-2,∴FH=CF．cos30°=(23-2)．32=3一3．∴点F到BC的距离为3-3．课堂训练当堂检测1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB= 30°，则∠AOB的大小为 ( )A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B2．（2015桂林）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是 ( )A．18 B．183 C．36 D．363【答案】B3．如图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若∠BCO=55°，则∠ADO=_______．【答案】35°4．（2015曲靖）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点0，且BE ∥AC ，CE ∥BD ．(1)求证：四边形OBEC 是矩形；(2)若菱形ABCD 的周长是10，tana=12，求四边形OBEC 的面积． (1)证明：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,∴AC ⊥BD,∵BE ∥AC,CE ∥BD,∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°,∴四边形OBEC 是矩形.(2)解：∵菱形ABCD 的周长是10，∴10∵tana=12， ∴设CO=x,则B0=2x,∵2x + 2(2x)=2(10)， 解得：2∴四边形OBEC 22．中考达标 模拟自测A 组 基础训练一、选择题1．（2016无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是 ( )A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．邻边互相垂直【答案】C2．如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM =CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠DAC= 28°，则∠OBC 的度数为 ( )A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°【答案】C3．（2016枣庄）如图，四边形ABCD 是菱形，AC=8，DB= 6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于 ( )A．245B.125C.5D.4【答案】 A4．（2015安徽）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 ( )A．5．5 C．5 D．6【答案】C二、填空题5．如图，菱形ABCD中，∠A= 60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为_____. 【答案】286．（2016成都）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为_______．【答案】37．（2016巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD．连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=______度．【答案】15三、解答题8．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC,∴∠DAE= ∠AEB．∵AE是角平分线，∴∠DAE= ∠BAE．∴∠BAE= ∠AEB，∴AB=BE，同理AB=AF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；(2)作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形．∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4,∠ABF= 30°,AP⊥BF.∴AP=12AB=2，∴3DH =5,∴tan∠ADP= PHDH=35.9．（2015乌鲁木齐）如图，平行四边形ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧），BE ∥DF.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若AB ⊥AC ，AB=4，BC=213，当四边形BEDF 为矩形时，求线段AE 的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠DAF=∠BCE ．又∵BE ∥DF ．∴∠BEC= ∠DFA ．在△BEC 与△DFA 中，BEC DFA BCE DAF BC AD ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEC ≌△DFA(AAS),:.BE=DF,又∵BE ∥DF ．∴四边形BEDF 为平行四边形：(2)连接BD ，BD 与AC 相交于点D ，如图：∵AB ⊥AC ，AB=4，BC=213，∴AC=6．∴A0=3．∴Rt △BAO 中，B0=5，∵四边形BEDF 是矩形．∴OE=OB=5．∴点E 在OA 的延长线上，且AE=2.B 组提高练习10．（2016舟山）如图，矩形ABCD 中，AD=2．AB=3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是 ( )A ．5 B. 136C.1D. 56 【答案】D（提示：过F 作FH ⊥AE 于h ，∵四边形ABCD 是矩形，∵AB=CD ，AB ∥CD ，∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∴AF=CE,∴DE=BF,∴AF=3- DE,∴AE=224DE +,∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°,∴∠AFH+ ∠HAF= ∠DAE+ ∠FAH=90°，∴∠DAE= ∠AFH ，∴△ADE ∽△AFH ，∴AE AF =AD FH ，∴AE =AF,∴ 224DE +=3—DE ．∴DE=56，故选D.) 11．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A= 60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A'C ．则A'C 长度的最小值是______．【答案】7-1（提示：如图所示：MC，MA’是定值，A’C长度的最小值时，即A’在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,CD=2，∠ADC=120°,∠FDA=60°,∠FMD=30°，FD=12, FM=DM·cos30°=32，MC=22FM CF=7，A’C=MC-MA’=7-1.12．(2016重庆一中)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任意一点．⑴如图⑴，若∠A＝45°，AB＝6，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长．⑵如图⑵，若2∠AEB＝180°－∠BED，∠ABE＝60°，求证：BC＝BE＋DE．⑶如图⑶，若点E在CB延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．【答案】⑴解：在菱形ABCD中,AB＝AD＝6,AB∥DE∴∠A＝∠ADE＝45°∴AD⊥BE∴∠AFB＝∠DFE＝90°∴∠A＝∠ABF＝∠FDE＝∠FED＝45°,AF＝BF,DF＝EF则△AFB,△DEF为等腰直角三角形∴AF＝22AB＝22×6＝ 3∴DF＝EF＝AD－AF＝6－ 3∴DE＝2DF＝23－6．⑵证明：延长BE至K,使EK＝ED,连接AK 在菱形ABCD中,AB＝BC＝AD∵2∠AEB＝180°－∠BED∴∠AEB ＋∠BED ＝180°－∠AEB∴∠AED ＝∠AEB ＋∠BED ＝180°－∠AEB ＝∠AEK 在△AEK 和△AED 中⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE∠AEK ＝∠AED EK ＝ED∴△AEK ≌△AED∴AK ＝AD ＝AB∵∠ABK ＝60°∴△ABK 为等边三角形．则BK ＝BE ＋KE ＝AB ＝BC ，即：BC ＝BE ＋DE .⑶∠BED ＋∠CDE ＝2∠ABD ．。