求n阶矩阵的随机一致性指标

的计量模型， 为下一步的实证分析奠定基础。 参考文献：
【１】韩廷春 金融发展与经济增长： 基于中国的实证分析 经济科学 ２００１ ３ 【２】戈德史密斯 金融结构与金融发展 上海三联出版社 １９９０ 年版 【３】肖 经济发展中的金融深化 上海三联出版社 １９８８ 年版 【４】麦金农 经济发展中的货币与资本上海三联出版社 １９８８ 年版 【５】张军洲 中国区域金融分析 中国经济出版社 ２０００ 年版
【６】周立 中国各地区金融发展与经济增长 清华大学出版社 ２００３ 年版 【７】陈茹 欠发达地区金 融发展与经 济 增 长 的 实 证 研 究 ： 基 于 面 板 数 据 模 型 的 ＧＭＭ 估计结果 贵州财经学院学报 ２００７ ３ 【８】王文博 计量经济学 西安交通大学出版社 ２００４ 年出版
注： 本文为教育部人文社科研究项目（ ０５ＪＤ７９０１３５）《西部 地 区 金 融 发 展 与 经 济 增 长 研 究》的 阶 段 性 成 果
成一个递阶层次， 同一层中各元素相互独立， 从而形成了由一 应对判断矩阵作适当修正。
个 总 目 标 层 和 若 干 个 子 准 则 层 组 成 的 递 进 的“ 金 字 塔 ”型 层 次
５．计算各层 指标 的 组 合权 重 。将 满足 一 致 性检 验 的 相同 模
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
４．计算主成分 Ｚ１， Ｚ２， ．．．， Ｚｍ， Ｚｉ＝ ＹＣ（ｉ ｉ＝ １， ２， ．．．， ｍ）
（ ９）
５． 计算主成分 Ｚｉ 的贡献率
（ １０）
６． 计算前 ｐ 个主成分的累计贡献率
（ １１）
７． 给定 Ｖ＜ １， 当 ｖｐ 达到 Ｖ 值 时 ， 则取 前 ｐ 个 主成 分 Ｚ１， Ｚ２， ． ．．， Ｚｐ 为 所需 。

%四十二维矩阵的计算
clear
clc
A=[1 6 3 6
1/6 1 1/2 1
1/3 2 1 1
1/6 1 1 1];
B1=xlsread('德育分.xls');
B2=xlsread('智育分.xls');
B3=xlsread('体育分.xls');
else
fprintf('组合一致性比率CR=%f,未通过一致性检验!\n',CRn);
end
[MAX,CHOICE] = max(E); %最佳选择
disp('最佳选择工作为：'); disp(CHOICE)
disp('方案层组合权向量');disp(E);
CI = CIm * WA;
RI = R * WБайду номын сангаас;
CR = CI / RI; %组合一致性比率CR
if CR < 0.10
fprintf('组合一致性比率CR=%f,通过一致性检验!\n',CRn);
[WA,LA] = eigen(A); %求A的特征向量WA和特征根LA
CIn = (LA - n) / (n - 1);
CRn = CIn / RI(n); %A的一致性比率CRn
if CRn < 0.10
fprintf('A 的CR=%f,通过一致性检验!\n',CRn);
else
fprintf('A 的CR=%f,未通过一致性检验!\n',CRn);
end
for k = 1:n %求B的特征向量WK和特征根LK

function [w,CR]=mycom(A,m,RI)[x,lumda]=eig(A);r=abs(sum(lumda));n=find(r==max(r));max_lumda_A=lumda(n,n);max_x_A=x(:,n);w=A/sum(A);CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI;end本matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行一致性检验。

其中A为判断矩阵，不同的标度和评定A将不同。

m为A的维数RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据m的不同值不同。

当CR<0.1时符合一致性检验，判断矩阵构造合理。

下面是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。

一.层次分析法的含义层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。

它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。

由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。

它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。

二.层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。

（1）层次分析法的原理层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。

这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。

层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。

成对比较矩阵是表达本层全部原因针对上一层某一种 原因旳相对主要性旳比较。判断矩阵旳元素aij用 Saaty旳1—9标度措施给出。
心理学家以为成对比较旳原因不宜超出9个，即 每层不要超出9个原因。
成对比较阵和权向量
比较尺度aij
Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值
1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
上述两相邻判断旳中值
原因i与j比较旳判断aij，则原因j与i比较旳判断aji=1/aij
对于 n 个元素 A1, …, An 来说，经过两两比 较，得到成对比较（判断）矩阵 A = (aij)nn：
其中判断矩阵具有如下性质： （1）aij > 0； （2）aij = 1/aji； （3）aii = 1。 我们称 A 为正旳互反矩阵。
3.一种好旳层次构造对于处理问题是极为 主要旳。层次构造建立在决策者对所面临 旳问题具有全方面进一步旳认识基础上， 假如在层次旳划分和拟定层次之间旳支配 关系上举棋不定，最佳重新分析问题，搞 清问题各部分相互之间旳关系，以确保建 立一种合理旳层次构造。
例1. 选择旅游地
目的层
怎样在3个目旳地中按照景色、 费用、居住条件等原因选择.
例2 旅游
假期旅游，是去风光秀丽旳苏州，还是 去凉爽宜人旳北戴河，或者是去山水甲天下 旳桂林？一般会根据景色、费用、食宿条件、 旅途等原因选择去哪个地方。
例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企
业等单位能够去选择，一般根据工作环境、 工资待遇、发展前途、住房条件等原因择业。
例4 科研课题旳选择 因为经费等原因，有时不能同步开展几
因为λ(A旳特征根) 连续旳依赖于aij ，则λ比n 大旳越 多，A 旳不一致性越严重。引起旳判断误差越大。 因而能够用 λ-n 数值旳大小来衡量 A 旳不一致程度。

数学建模实验报告之计算n阶矩阵的随机⼀致性指标RI 东南⼤学《数学实验》报告学号09008226 姓名毕斌成绩实验内容：计算随机⼀致性指标RI⼀实验⽬的计算n=2~30时的n阶矩阵的随机⼀致性指标RI⼆预备知识(1)熟悉随机⼀致性指标的含义及计算⽅法(2)熟悉eig、rand等Matlab命令三实验内容与要求⽤MATLAB编制程序，（要求采⽤和法计算最⼤特征值），分别计算n=2~30时的n阶矩阵的随机⼀致性指标RI。

RI=zeros(1,30); %定义结果输出格式并初始化，RI(1)直接赋值为0 for n=2:30 %循环计算阶数2到30的随机正互反矩阵的RI %n=20; %起初以20阶矩阵为例测试times=10000; %10000个⼦样，应该够多了吧enum=[9 8 7 6 5 4 3 2 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9]; %矩阵元素从enum中取得lamda = zeros(1, times); %最⼤特征值向量初始化A=ones(n,n); %初始化相应阶数的矩阵for num=1:times %循环for i=1:n %把矩阵A赋值为正互反矩阵for j=i+1:nA(i,j)=enum(ceil(17*rand(1))); %矩阵的上半部分从enum中随机取值A(j,i)=1/A(i,j); %矩阵的下半部分与上半部分成倒数A(i,i)=1; %矩阵对⾓线为1 endendV=eig(A); %求得A的特征向量lamda(num)=max(V); %以最⼤特征值给lamda向量赋值endk=sum(lamda)/times; %最⼤特征值的平均值RI(n)=(k-n)/(n-1); %得出对应的RI(n) endRI %最后输出RI向量，即1－30阶矩阵的平均随机⼀致性指标四实验⼼得由于⼀开始对matlab命令的不熟悉，⾛了很多弯路，后来反复查阅matlab Help⾥的信息，并⾃学matlab命令，终于摸索出了⼀些经验，⾃以为很完满的解决了问题。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------AHP模型和DEA模型综合评价模型之 AHP 模型和 DEA 模型一、 AHP 模型（层次分析模型） 1、基本概述层次分析是一种多层次权重解析方法。

AHP 是分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工具 2、模型建立的基本步骤第一步：建立层次结构模型。

在深入分析面临的问题之后，当问题中所包含的因素划分为不同层次（如目标层、准则层、指标层、方案层、措施层等）时，用框图形式说明层次的梯阶结构与因素的从属关系。

当某个层次包括的因素较多时，可将该层次进一步划分为若干子层次。

第二步：构造判断矩阵。

判断矩阵元素的值反映了人们对各因素相对重要程度的认识，一般采用数字 1~9 及其倒数的标度方法。

当相互比较因素的重要性能够用具有实际意义的比值说明时，判断矩阵相应的值则可以取这个比值。

第三步：层次单排序及其一致性检验。

通过判断矩阵 A 的特征根的求解（ W W Amax = ）得到特征向量 W ，经过归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相1 / 9对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。

为进行层次单排序（或判断矩阵）的一致性检验，需要计算的一致性指标为 1max=nnCI， n 为判断矩阵的阶数。

对于 1~9 阶判断矩阵，平均随机一致性指标 RI 的值如表 1 所示：表 1 1-9 阶矩阵的平均随机一致性指标阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 当随机一致性比率 10 . 0 =RICICR 时，认为层次单排序的结果有满意的一致性，否则需要调整判断矩阵的元素取值。

AHP法的随机一致性（RC）指标在层次分析（AHP）法中，为了对判断矩阵的数值进行一致性检验，需要根据矩阵的阶次（n）计算判断一致率（consistency ratio, CR）。

为此，数学家引入了随机一致性（random consistency, RC）指标。

随机一致性指标又称随机指数（random index, RI）。

目前，国内流行的教科书中大多沿用了Saaty早年提供的检验标准（表1）。

在2008年的一项研究中，Saaty基于5万次随机试验得到更为精确的RC数值（表2）。

RC值是就统计平均意义而言的，故称平均一致性。

表1 不同阶次的随机矩阵及其平均一致性指标RC值（旧指标）n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 RC 0.0 0.0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49资料来源：Saaty T L, Alexander J M. 1981. Thinking with Models: Mathematical Models in the Physical, Biological, and Social Sciences. Oxford or New York: Pergamon Press: 151表2 不同阶次的随机矩阵及其平均一致性指标RC值（新指标）n 1 2 3 4 5 6 7 8 RC 0.00 0.00 0.52 0.89 1.11 1.25 1.35 1.40续表2 n 9 10 11 12 13 14 15 …RC 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 …资料来源：Saaty T L. 2008. Relative measurement and its generalization in decision making: Why pairwise comparisons are central in mathematics for the measurement of intangible factors—The Analytic Hierarchy/Network Process. Review of the Royal Spanish Academy of Sciences A: Mathematics, 102 (2):251–318。

配电网可靠性评估及分析冯金帅　刘　杰（国网山东省电力公司临沂供电公司）摘　要：电力相关企业正在逐渐把建设重点放到建设配电网方面，而配电网规划对于电网安全、可靠、经济运行有着不可忽视的作用。

因此需要对配电网的可靠性开展深入研究和分析，作为评估程序的重要构成部分，建立一个相对完善并且可行性较高的评估指标系统，配电网规划成效分析则可以为其提供依据。

并且，它的真实性与数据有效性对配电系统评估也具有重大意义。

关键词：配电网；指标体系；评估分析；可靠性0　引言配电网络规划也就是在完善的规划下对于目标区域组织负荷预测和当前阶段网络架构的研究，在符合负荷标准和安全稳定性的基础上，对于目标区域电力网络在目前架构前提下进行合理布局规划，进而使其满足可靠性、稳定性、经济性要求。

完善的电网规划可以有效降低公司的运营成本，满足公司竞争需求，同样有助于减少财政基建投资压力，为保障经济发展提供坚实的基础保障［1］。

配电网的设计方案的成功与否和落实程度都会对日后配电服务网络体系的负荷程度、经济发展度发挥关键性影响，配电网络的超前或滞后建设都会在一定程度上对电网整体的发展产生负面影响［2］。

对于配电网络规划方案而言，首要评估其是否满足发展需求，是否满足可靠性要求，这对于配电网络的长远发展是十分关键的［3］。

1　配电网的规划可靠性分析（1）可靠性分析方法配电网络的主要功能是销售、分配电力能源给目标客户，和目标用户的日常生活工作有十分紧密的联系，电力网络的波动会对终端客户的经济利益产生重要影响。

因而精确的分析配电网络体系的稳定性对于保障民生质量、促进经济稳定健康发展有十分关键的作用，此外配电网络体系的稳定性评估是电网建设和持续发展的重要基础保障条件。

当前阶段，配电网络体系的稳定性评估重点使用的研究方法主要有蒙特卡洛抽样法和解析法两类［4-5］。

（2）配电网评价方法1）鱼骨图分析法也叫作因果研究法，这一研究法的主要原理是寻求问题自身的特征和相关作用要素，此后利用专项的逻辑研究来建立层级明确、调理明细的程序图。

0.550 0.564 , max 4.117, CI 0.039, RI 0.90, CR 0.043 W 0.118 0.263
对于判断矩阵B3，其计算结果为：
0.406 0.406 , max 4, CI 0, RI 0.90, CR 0 W 0.094 0.094
①计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi
M i aij
j 1 n
②计算Mi的n次方根 Wi
Wi
③对向量 W W ,W ,
1 2
n
T
Mi
,Wn
正规化（归一化处理）
Wi
Wi
W
j 1
n
j
则 即为所求的特征向量。 ④计算判断矩阵的最大特征根
max
1-9标度方法
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 重要性等级 i，j两元素同等重要 i元素比j元素稍重要 i元素比j元素明显重要 i元素比j元素强烈重要 i元素比j元素极端重要 i元素比j元素稍不重要 i元素比j元素明显不重要 i元素比j元素强烈不重要 i元素比j元素极端不重要 Cij赋值 1 3 5 7 9 1/3 1/5 1/7 1/9
B3 1/3 3 1
1 1/ 5 1/ 3 A 5 1 3 3 1/ 3 1
同样，可得：
1 2 3 4 1/ 3 1 3 2 B1 1/ 5 1/ 3 1 1/ 2 1/ 4 1/ 2 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 2 1/ 3
7 5 1 3 3 1 1 1 1 3 3 3 B 3 1/ 3 1/ 3 1 1 1

i 1
n
i
n

1. 建立层次结构模型 2. 构造判断(成对比较)矩阵 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 层次总排序及其一致性检验
1

建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则） 和决策对象按它们之间的相互关系分为最 高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。
最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为目标层，低 层为因素层。
判断矩阵一致性检验的步骤如下：
(1) 计算一致性指标 C.I.：
C.I.
max n
n 1
其中 n 为判断矩阵的阶数；
(2) 查找平均随机一致性指标 R.I.：
平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复 进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。 龚木森、许树柏1986年得出的1—15阶判断矩阵重复 计算1000次的平均随机一致性指标如下：
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是 定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而 Saaty等人提出构造：成对比较矩阵A = (aij)n×n，即： 1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比 较。 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同 的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。 成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个 因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用 Saaty的1—9标度方法给出。
在正互反矩阵A中，若 a ik a kj a ij ,(A 的元素具有 传递性)则称A为一致阵。 定理：n 阶正互反阵A的最大特征根λmax ≥n, 当且仅当 λ =n时A为一致阵
一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和 一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多 样性所决定的。但在构造两两判断矩阵时，要求判 断大体上一致，出现甲比乙极端重要，乙比丙极端 重要，而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常 识的。一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导 致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏离一致性时， 用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其 可靠程度也值得怀疑。因而必须对判断矩阵的一致 性进行检验。

n
i n max
i2
上述结论告诉我们，当判断矩阵不能保证具有完全 一致性时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化， 这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的 一致性程度。因此，在层次分析法中引入判断矩阵 最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度 量判断矩阵偏离一致性的指标，即用：
123456789
0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均 随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率CR，当 CR=CI/RI<0.10时，可以认为判断矩阵具有满意的一 致性，否则需要调整判断矩阵。
0.491 0.232
W 0.092 , max 5.126, CI 0.032, RI 1.12, CR 0.028
0.138 0.046
对于判断矩阵B2，其计算结果为：
0.550
W

0.564 0.118
,
max

CI max n
n 1
检查决策者思维的一致性。CI值越大，表明判断矩 阵偏离完全一致性的程度越大；CI值越小（接近于 0），表明判断矩阵的一致性越好。
当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0； 当判断矩阵具有满意一致性时，需引入判断矩阵的平均
随机一致性指标RI值。对于1-9阶判断矩阵，RI值如下：
C2
0.232
C3
0.092
C4
0.138
C5
0.046
B2 0.637
0 0.055 0.564 0.118 0.263
B3 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094

[V,D]=eig(a);
tbmax=max(D(:));
L=tbmax;
CI=(L-n)/(n-1);
end
CR=CI/0.58;
clear
forn=3
a=[1 1/5 1/3;5 1 3;3 1/3 1];
[V,D]=eig(a);
tbmax=max(D(:));
L=tbmax;
CI=(L-n)/(n-1);
1.6157 1.6245 1.6334 1.6410 1.6480 1.6542 1.6581 14 1.6710 1.6754 1.6779 1.6825 1.6836
（2）建立一个AHP模型，并将结果填入下表
AHP模型
模型解释
现有一学生考虑出国读研，目前可供选择的学校有：学校甲、学校乙，学校丙。
选择最佳的学校为的是获得更好的学习机会，目的都是相同的，因此可以利用层次分析法来建立模型。
准侧：C1学费C2学校实力
C3地理位置
目标层合理选择国外大学
准则层学费学校实力地理位置
方案层学校甲学校乙学校丙
判断矩阵表：
Z C1 C2 C3
C1 1 1/9 1/4
C2 9 1 9
C3 4 1/91
最大特征值为：3.0385
Columns 1 through 8
0 0 0.5246 0.8676 1.0795 1.2227 1.3232 1.3927
Columns 9 through 16
1.4436 1.4853 1.5158 1.5401 1.5610 1.5775 1.5919 1.6067
Columns 17 through 24
fori=1:n
forj=i:n

判断矩阵的最大特征值项目六 矩阵的特征值与特征向量实验1求矩阵的特征值与特征向量实验目的学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量能利用软件计算 方阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形 .求方阵的特征值与特征向量.(1) 求矩阵A 的特征值.输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}MatrixForm[A]Eigenvalues[A]则输岀A 的特征值{-1,1,1}(2) 求矩阵A 的特征向量.输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}MatrixForm[A]Eigenvectors[A]{{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}}即A 的特征向量为 1,0.0 1⑶利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量.输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}MatrixForm[A]Eigensystem[A]例1.1 (教材例1.1)求矩阵A 21 .的特征值与特值向量则输出则输岀矩阵A的特征值及其对应的特征向量2 3 4例1.2求矩阵A 3 4 5的特征值与特征向量4 5 6输入A=Table[i+j,{i,3},{j,3}]MatrixForm[A](1)计算矩阵A 的全部(准确解)特征值，输入Eigenvalues[A]则输出{0, 6 ■. 42 , 6 ..42 }(2) 计算矩阵A 的全部(数值解)特征值,输入Eigenvalues[N[A]]则输出{12.4807,-0.480741,-1.3483 10 16}(3) 计算矩阵A 的全部(准确解)特征向量，输入Eigenvectors[A]//MatrixForm则输出2 120 3 42-------- 1 23 4 4220 3 42----- -- 123 4 42(4) 计算矩阵A 的全部(数值解)特征向量，输入Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm则输出0.430362 0.566542 0.7027220.80506 0.11119 0.5826790.408248 0.816497 0.408248(5) 同时计算矩阵A 的全部(准确解)特征值和特征向量，输入OutputForm[Eigensystem[A]]则输岀所求结果(6) 计算同时矩阵A 的零空间，输入NullSpace[A]1 172 42 234 42 17 2 42 23 4 42仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3则输出{{1,21}}(7)调入程序包vvLinearAlgebra'Orthogonalization'后，还可以做以下的运算GramSchmidt[]:用Gram-Schmidt过程将向量组单位正交化；Normalize]]:将向量组单位化；Projection[vect1,vect2]:求从向量组 vectl 到 vect2 的正交映射. 输入vvLinearAlgebra 'Orthogonalization 'GramSchmidt[Eigenvectors[N[A]]]//MatrixForm则输出0.430362 0.566542 0.7027220.80506 0.11119 0.5826790.408248 0.816497 0.4082481 2 3例1.3 求方阵M 2 1 3的特征值和特征向量3 3 6输入Clear[M];M={{1,2,3,},{2,1,3}{3,3,6}};Eigenvalues[M]Eigenvectors[M]Eigensystem[M]则分别输出{-1,0,9}{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}}{{-1,0,9},{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}}}1/3 1/3 1/2例1.4 （教材例1.2）求矩阵A 1/5 1 1/3的特征值和特征向量的近似值6 1 2输入A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}};Eigensystem[A]仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4则屏幕输岀的结果很复杂，原因是矩阵A的特征值中有复数且其精确解太复杂.此时，可采用近似形式输入矩阵 A,则输岀结果也采用近似形式来表达 .输入A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}};Eigensystem[A]则输出{{-0.748989+1.27186i,-0.748989-1.27186i,0.831311},{{0.179905+0.192168i,0.116133+0.062477l,0.955675+0.i},{0.179905-0.192168i,0.116133-0.062477i,0.955675+0.i},{-0.0872248,-0.866789,-0.490987}}}从中可以看到A有两个复特征值与一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的；属于实特征值的特征向量是实的.3 0 0例1.5 （教材例1.3）已知2是方阵A 1 t 3的特征值，求t .1 2 3输入Clear[A,q];A={{2-3,0,0},{-1,2-t,-3},{-1,-2,2-3}};q=Det[A]Solve[q==0,t]则输出{{t 8}}即当t 8时,2是方阵A的特征值.2 12例1.6 (教材例1.4)已知x (1,1, 1)是方阵A5 a 3 的一个特征向量，求参数1 b 2a,b及特征向量x所属的特征值.设所求特征值为t,输入Clear[A,B,v,a,b,t];A={{t-2,1,-2},{-5,t-a,-3},{1,-b,t+2}};v={1,1,-1};B=A.v;Solve[{B[[1]]==0,B[[2]]==0,B[[3]]==0},{a,b,t}]则输出仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5{{a -3, b 0, t -1}}即a 3,b 0时,向量x (1,1, 1)是方阵A的属于特征值-1和特征向量.矩阵的相似变换4 1 1例1.7 (教材例1.5)设矩阵A 2 2 2，求一可逆矩阵P ,使P 1AP为对角矩阵.2 2 2方法1输入Clear[A,P];A={{4,1,1},{2,2,2},{2,2,2}};Eigenvalues[A]P=Eigenvectors[A]//Transpose则输出{0,2,6}{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}}0 1 1 0 1 1即矩阵A的特征值为0,2,6特征向量为 1 , 1与1 矩阵P 1 1 11 1 1 1 1 1可验证P 1AP为对角阵，事实上，输入Inverse[P ]. A.P则输出{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}因此，矩阵A在相似变换矩阵P的作用下，可化作对角阵.方法2 直接使用JordanDecomposition命令,输入jor=JordanDecomposition[A]则输出{{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}},{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}}可取岀第一个矩阵S和第二个矩阵，事实上，输入jor[【1]]jor[【2]]则输出{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}}{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}输岀结果与方法1的得到的结果完全相同. 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢61 0例1.8 方阵A 是否与对角阵相似？2 1输入Clear[A];A={{1,0},{2,1}};Eigensystem[A]输岀为{{1,1},{{0,1}{0,0}}}于是,1是二重特征值，但是只有向量{0,1}是特征向量，因此,矩阵A不与对角阵相似2 0 0 1 0 0 例1.9 （教材例1.6）已知方阵A 2x2与B 0 2 0相似，求x, y .3 11 0 0 y注意矩阵B是对角矩阵，特征值是1,2, y.又矩阵A是分块下三角矩阵，-2是矩阵A的特征值矩阵A与B相似，则y 2,且-1,2也是矩阵A的特征值.输入Clear[c,v];v={{4,0,0},{-2,2-x,-2},{-3,-1,1}};Solve[Det[v]==0,x]则输出{{x 0}}所以，在题设条件,x 0, y 2.输入0 1 1 01 0 1 0 1,求一个正交阵P,使P 1AP为对角阵1 1 0 00 0 0 2例1.10 对实对称矩阵AvvLinearAlgebra'OrthogonalizationClear[A,P]A={{0,1,1,0 },{1,0,1,0},{1,1,0,0},{0,0,0,2}};Eigenvalues[A]Eigenvectors[A]仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7输岀的特征值与特征向量为{-1,-122}{{-1,0,1,0},{-1,1,0,0},{0,0,0,1},{1,1,1,0}} 再输入P=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose输岀为已经正交化和单位化的特征向量并且经转置后的矩阵P 丄。

比 未 能 穷 尽 的 不 足 ，对 判 断 矩 阵 做 一 致 性 检 验 ，成 为 不 可 或 缺 的 环 节 [6]。
在 对 判 断 矩 阵 进 行 一 致 性 检 验 时 ，要 使 用 平 均 随 机 一 致 性 指标（RI）参与计算[7]。一般而言，对于低阶判断矩阵（阶数 N! 15），其 平 均 随 机 一 致 性 指 标 可 以 查 表 得 到 ；但 对 于 高 阶 判 断 矩 阵（阶数 N>15），平均随机一致性指标的值就无法直接获取了[8]。 该 文 提 出 的 算 法 ，正 是 解 决 了 两 两 比 较 判 断 矩 阵 中 高 阶 平 均 随 机 一 致 性 指 标（RI）的 计 算 问 题 。
1 引言
层 次 分 析 法（Anaiytic Hierarchy Process，简 称 AHP）是 20 世 纪 70 年 代 由 Thomas Saaty 提 出 的 一 种 定 性 问 题 定 量 化 的 行之有效的方法[3]。AHP 的应用范围十分广泛，涉及军事指挥、 经 济 分 析 和 计 划 、行 为 科 学 、管 理 信 息 系 统 、运 筹 学 方 法 评 价 和 教育等许多领域。
（2 Computer Dep.，USTC，Hefei 230027）
Abstract： To anaiyze and soive probiems with Anaiytic Hierarchy Process needs a check on the consistency of a matrix coming from a two -two comparison [1].Usuaiiy peopie can hardiy get the vaiue of High -Ranked R.I.immediateiy through consuiting reiated tabies，and as a resuit，it hinders a mass of appiications of Anaiytic Hierarchy Process[2].0n the basis of a thorough anaiysis of Anaiytic Hierarchy Process，the aigorithm to caicuiate out the vaiue of High-Ranked R I according to the definition of R I is offered in the paper.The program of the aigorithm under windows using deiphi 6.0 is provided as weii.The aigorithm has been successfuiiy appiied to a project of the inteiiigent decision system in the knowiedge innovation of Chinese Academy of Sciences.

实验报告（一）课程名称数学建模实验项目Matlab基本操作及其实际应用实验环境PC机、Matlab学院/班级学号/姓名指导教师实验日期成绩一、实验名称：随机一致性指标求解二、实验目的：1）掌握用matlab求解随机一致性指标的方法2）加深对随机一致性指标概念的理解三、实验内容：用matlab或C++编写程序分别计算n=3-30时的n阶矩阵的随机一致性检验指标的值RI。

//本组实验随机数产生正互反矩阵,这个数目必须取的相当大（超过1000000，所以此程序跑起来比较费时），才比较接近标准答案#include<iostream>#include<cmath>#include<ctime>#include<cstdlib>#include<iomanip>using namespace std;int getNameta(double a[],int n); //获取当前随机正互反矩阵的最大λvoid createMatrix(double a[],int n); //建立随机正互反矩阵int getMax(double b[],int n); //获取b矩阵中的最大值void Mifa(double a[],double b[],int n); //幂法过程void main(){int n; //矩阵阶数int m = 3000; //建立的随机正互反矩阵个数int all = 0; //所有最大λ的和int tem = 0;int ri = 0; //最终的RI（为了计算方便，将实际的RI扩大了100倍进行计算了）cout << "Please enter the size of the matrix:" << endl;cout << "n = " ;cin >> n;if(n > 2&& n <= 30){for(int i =0;i<m;i++){double *a = new double[n*n]; //声明n*n的随机正互反矩阵for(int j =0;j<n*n;j++){a[j] = 1;}createMatrix(a,n); //建立n*n的随机正互反矩阵all += getNameta(a,n); //获得最大λ}tem = all/m;//计算得RIri = (tem - n*100);ri = ri/(n-1); //计算得到的RI （乘以100后的结果）int baiwei = ri/100;int shiwei = (ri-100*baiwei)/10;int gewei = ri-100*baiwei-10*shiwei;cout << "The RI of the " << n <<" size matrix is " << baiwei << "." << shiwei << gewei<< endl;}else if(n ==1){cout << "The RI of the " << n <<" size matrix is " << 0 << endl;}elsecout << "The size of n you input is wrong" << endl;}void createMatrix(double a[],int n){doublesample[17]={1.0,2.0,3.0,4.0,5.0,6.0,7.0,8.0,9.0,1.0/2.0,1.0/3.0,1.0/4.0,1.0/ 5.0,1.0/6.0,1.0/7.0,1.0/8.0,1.0/9.0};for(int i=0;i<n;i++)for(int j=i;j<n;j++){int t;t = rand()%17;if( j == i){a[n*i+j]=1.0;}else{a[n*i+j] = sample[t];a[n*j+i] = 1.0/sample[t];}}}int getNameta(double a[],int n){int tem=0;double *b=new double[n];for(int i=0;i<n;i++){b[i]=1.0/n;}Mifa(a,b,n);int max=getMax(b,n);while(tem != max){tem = max;for(int d = 0;d<n;d++){b[d] = b[d]*100/max;}Mifa(a,b,n);max = getMax(b,n);}int nameta;nameta = tem;return nameta;}void Mifa(double a[],double b[],int n) {double *c = new double[n];for(int r = 0;r<n;r++){c[r] = 0.0;}for(int i =0;i<n;i++)for(int j = 0 ;j<n;j++){c[i] += a[n*i+j]*b[j];}for(int k =0;k<n;k++){b[k] = c[k];}}int getMax(double b[],int n){int a = 0;for(int i = 0;i<n;i++){if(100*b[i]>a)a = 100*b[i];}int tem;tem = a;return tem;}实验结果：四、实验心得：本实验使用的是C++编制程序，令我更好的理解随机一致性指标RI，进一步掌握了随机一致性指标求解方法以及随机一致性检验的方法。

λ max=5.1141 CI=(λ max-n)/(n-1)=(5.1141-5)/(5-1)= 0.1141/4=0.0285 RI（5）=1.12 CR=CI/RI=0.0285/1.12=0.0255<0.10 因此，通过一致性检验。 ③求得权重 权重即为最大特征根对应的特征向量W=[0.3697,0.0906, 0.0595,0.3697,0.8455]进行归一化后的结果， w=W./sum(W) =[0.2131,0.0522,0.0343,0.2131,0.4873]
准确计量的场合。

应用层次分析法时，首先要把问题层次化。根据问题的性质和 要达到的目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互 关联影响及其隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层 次的分析结构模型。并最终把系统分析归结为最底层，相对于最高 层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。在排 序计算中，每一层次的因素相对上一层次某一因素的单排序问题又 可简化为一系列成对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层 次分析法引入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后， 即可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计算出 某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。在计算出某一
二、ANP（网络分析法）
AHP是基于以下几个假设进行决策的，而这几个假设与某些实际 决策问题有背离： （1）将决策系统分为若干层次，上层元素对下层元素起支配作用， 同一层元素之间是相互独立的，但实际上，一般各层内部的元 素之间都存在依存关系，同时下层对上层也有反支配（反馈） 的作用； （2）决策问题可分为多个层次，上层元素对下层元素起控制，同 一层次的元素间相互独立，不存在内部的相互依赖性。而实际 决策问题中某些指标往往存在相互影响； （3）各个层次间只是存在相邻两个层次间自上向下的影响作用， 没有考虑下层对上层的反作用。非相邻层次间的相互影响也没 有考虑。而在实际决策中下层元素对上层元素有反作用（反 馈）。 ANP则取消了这些假定，在理论上允许决策者考虑复杂动态系统中 各要素的相互作用，从而更符合决策问题的实际情况。

判断矩阵元素aij的标度方法
标度 1 3 含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5 7
9 2， 4， 6， 8
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 上述两相邻判断的中值
例 2
旅游
假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是
去凉爽宜人的北戴河，或者是去山水甲天下
的桂林？通常会依据景色、费用、食宿条件、 旅途等因素选择去哪个地方。
例 3
择业
面临毕业，可能有高校、科研单位、企
业等单位可以去选择，一般依据工作环境、
工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。
例 4
科研课题的选择
例1. 选择旅游地
目标层
如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
例2
大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择” 时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。 就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的， 例如： ①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适 合发挥自己的专长）； ②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
比较同一层次中每个因素关于上一层次 的同一个因素的相对重要性
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是 定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而 Saaty等人提出构造：成对比较矩阵A = (aij)nn，即： 1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比 较。 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同 的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。 成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个 因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用 Saaty的1—9标度方法给出。