用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差

5.1 总体平均数与方差的估计1.理解并掌握总体平均数与方差的概念. 2.掌握总体平均数与方差的基本计算.（重点，难点） 一、情境导入要从两名田径运动员中选择一名代表我市参加省里的田径比赛.为了使选拔公平，每位运动员都进行了多次测试，结果两名运动员的测试结果的平均数是相同的.那么怎样确定派谁去参赛更好？ 二、合作探究 探究点一：样本平均数估计总体平均数 【类型一】利用样本平均数估算总体数量“立定跳远”是我市初中毕业生体育测试项目之一.测试时，记录下学生立定跳远的成绩，然后按照评分标准转化为相应的分数，满分10分.其中男生立定跳远的评分标准如下：（注：成绩栏里的每个范围，含最低值，不含最高值）某校九年级有480名男生参加立定跳远测试，现从中随机抽取10名男生测试成绩（单位：米）如下：1.962.38 2.56 2.04 2.342.17 2.602.26 1.87 2.32请完成下列问题：（1）求这10名男生立定跳远成绩的平均数；（2）如果将9分以上定为“优秀”，请你估计这480名男生中得优秀的人数.解析：（1）根据平均数的计算公式x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n 计算即可：（2）根据图表得出优秀的人数，再用优秀的人数除以抽查的总人数求出频率，最后乘以480，即可得出答案. 解：（1）根据题意得：x ＝110（1.96＋2.38＋2.56＋2.04＋2.34＋2.17＋2.60＋2.26＋1.87＋2.32）＝2.25（米）；（2）因为抽查的10名男生中得分（9分）（含9分）以上有6人，所以有480×610＝288人；答：该校480名男生中得到优秀的人数是288人.方法总结：此题考查了用样本估计总体和平均数，用到的知识点是平均数的计算公式x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，频率＝频数÷总数，用样本估计整体数量，用总体容量×样本的百分比即可.【类型二】利用样本平均数估算总体水平某农科所培育了两种玉米良种，在一样大小的甲、乙两块实验地里种植实验，一段时间后，从甲，乙两块实验地中各抽取10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm ）：甲：25，41，40，37，22，14，19，39，42，21；乙：27，16，44，27，44，16，40，40，分16，40.哪块实验地的玉米苗长得高一些？解析：对甲、乙两块实验地的玉米苗的平均株高进行比较后作出判断.解：x甲＝110（25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋42＋21）＝110×300＝30（cm），x乙＝110（27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40）＝110×310＝31（cm），∵x甲<x乙，∴乙实验地里的玉米苗长得较高.方法总结：本题考查学生对于样本平均数的理解和应用，用样本平均数去估计总体平均数，要注意所选取的样本应为简单随机样本.探究点二：样本方差估计总体方差小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定.根据图中信息，估计这两个人中新手是Ｗ.解析：从图中可以看出小李的成绩波动较大，估计小李是新手，故填小李.方法总结：此题考查学生对于样本方差概念的理解和解读图表的能力，要能够从图表提供的数据中发现规律.方差反映了数据的稳定程度，其值越小，数据越稳定.三、板书设计总体平均数与方差的估计错误!教学过程中，注重引导学生就生活实例展开联想，直观地感受数学与生活的紧密联系.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识并鼓励学生积极思考.通过引导学生学习新的数学方法，开拓思维，进一步提升学生认知能力.。

第2课时用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差教学目标【知识与技能】会用样本平均数、方差估计总体的平均数方差，并进行简单的分析.【过程与方法】经历用样本平均数、方差估计总体的平均数方差的过程，积累统计经验.【情感态度】培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义.【教学重点】会用样本平均数、方差估计总体的平均数方差，并进行简单的分析.【教学难点】理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断.教学过程一、创设情境，导入新课某园艺场采摘苹果，边采摘、边装箱，共装了2 000箱.苹果的市场收购价为4元/kg.现在要估计出这2 000箱苹果的销售收入，我们可以怎样去做？方法一：全面调查，就是一箱箱的称，再根据苹果的总质量估计这2 000箱苹果的销售收入.方法二：采取抽样的方法.该园艺场从中任意抽出了10箱苹果，称出它们的质量，算出平均质量，再估计2 000箱苹果的总质量，从而估计这2 000箱苹果的销售收入.你觉得哪一种方法最合适？【教学说明】教师出示一个实际问题让学生思考，比较两种调查方法，提出自己的观点，激发学生探究的兴趣.二、合作探究，探索新知1.上述问题中，如果10箱苹果的质量分别如下(单位：kg)16，15，16.5，16.5，15.5，14.5，14，14，14.5，15你能估计出2 000箱苹果的销售收入是多少吗？怎样计算？学生尝试解答：(1)算出它们的平均数：x＝15.15kg(2)把x作为每箱苹果的平均质量，由此估计出2 000箱苹果的销售收入为：4×15.15×2 000＝121 200(元)2.小结：现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数.但是要注意：用样本的平均数估计总体的平均数，如果样本容量太小，往往差异较大.【教学说明】学生通过解决问题，体会用样本平均数估计总体平均数的方法和过程，教师强调应该注意的问题.3.我们可以用样本的平均数估计总体的平均数，那么，怎样用样本的方差估计总体的方差呢？问题：甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的白糖，怎样比较这两种包装机那一台质量更好呢？4.学生尝试解答：从中各随机抽出10袋，测得实际质量如下(单位：g)甲：501 500 503 506 504 506 500 498 497 495乙：503 504 502 498 499 501 505 497 502 499(1)分别计算两个样本的平均数；(2)分别计算两个样本的方差；(3)哪台包装机包装的质量较稳定？解：(1)x甲＝(501＋500＋503＋506＋504＋506＋500＋498＋497＋495)÷10＝501，x乙＝(503＋504＋502＋498＋499＋501＋505＋497＋502＋499)÷10＝501；(2)s2甲＝110[(501－501)2＋(500－501)2＋…＋(495－501)2]＝12.6，s2乙＝110[(503－501)2＋(504－501)2＋…＋(499－501)2]＝6.4；(3)∵s2甲＝s2乙，∴乙包装机包装10袋糖果的质量比较稳定.5.小结：我们可以用样本的方差来估计总体的方差，从而估计总体数据的波动情况.【教学说明】教师引导学生解决实际问题，经历用样本方差估计总体方差的过程，对解题过程有一个清晰的认识.三、示例讲解，掌握新知【例】王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%.现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示.(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；(2)试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？【分析】(1)根据平均数的求法求出平均数，再用样本估计总体的方法求出产量总和即可解答.(2)要比较哪个山上的杨梅产量较稳定，只要求出两组数据的方差，再比较即可解答.解：(1)x甲＝40(千克)，x乙＝40(千克)，总产量为40×100×98%×2＝7 840(千克)；(2)s2甲＝14[(50－40)2＋(36－40)2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝38，s2乙＝14[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24，∵s2甲＞s2乙，∴乙山上的杨梅产量较稳定.【教学说明】教师要引导学生先观察图像获取相关的信息，然后结合问题尝试进行解答，教师对相关的方法进行总结.四、练习反馈，巩固提高为调查八年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成家庭作业所需时间(单位：min)分别为：60，55，75，55，55，43，65，40.(1)求这组数据的众数、中位数.(2)求这8名学生每天完成家庭作业的平均时间；如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业时间不能超过60分钟，问该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？解：(1)在这8个数据中，55出现了3次，出现的次数最多，即这组数据的众数是55；将这8个数据按从小到大的顺序排列为40，43，55，55，55，60，65，75，其中最中间的两个数据都是55，即这组数据的中位数是55.(2)这8个数据的平均数是56，所以这8名学生每天完成家庭作业的平均时间为56分钟.所以该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求.五、师生互动，课堂小结1.现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数.但是要注意：用样本的平均数估计总体的平均数，如果样本容量太小，往往差异较大.2.我们可以用样本的方差来估计总体的方差，从而估计总体数据的波动情况.课后作业完成同步练习册中本课时的练习.。

样本与总体小结与复习知识梳理1.样本、总体、样本容量⑴在统计里，我们把所要考察的全体对象叫做____.其中每一个考察象叫做____.⑵在总体中被抽出来的实际调查的对象组成总体的一个______,一个样本包含的个体的数量叫做这个样本的容量.2.普查与抽样调查:为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为______，从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查方式称为______调查. 普查是通过总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本的方式来收集数据的.温馨提示：（1）普查可以直接获得总体的情况，但有时总体个体数目较多，普查的工作量较大，无法对所有个体进行普查，有时受客观条件的限制，有时具有破坏性，不允许普查.（2）抽样调查只考察总体的一部分个体，因此它的优点是调查范围小，节省时间、人力、物力，但其调查结果没有普查结果准确，抽样时要注意样本的代表性和广泛性.3.简单的随机抽样要使样本具有代表性，不偏向总体中的某些个体，有一个对每个个体都公平的办法，那就是用_______的办法决定哪些个体进入样本,统计学家称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样.抽样之前，我们不能预测到哪些个体会被抽中，像这样不能够事先预测结果的特性叫做随机性.4.用样本估计总体在抽样调查中，当样本在总体中具有＿＿＿，样本容量又＿＿＿，也没有遗漏某一群体时，样本的平均数、方差和标准差与总体的平均数、方差和标准差可以很＿＿＿，此时，可以用样本平均数去估计＿＿＿，用样本的方差或标准差去估计＿＿＿.一般来说,用样本估计总体时,样本容量越大,样本对总体的估计也就越精确,相应地,搜集、整理、计算数据的工作量也就越大，因此，在实际工作中，样本容量既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价的大小.5.借助调查做决策通过选取恰当的统计图或统计量对数据进行分析，同样可以利用样本的平均数、方差或标准差对问题作出相应的决策.考点呈现考点1普查与抽查例1（2012年淄博市）要调查下面的问题，适合做全面调查的是（）A．某班同学“立定跳远”的成绩B．某水库中鱼的种类C．某綦江河水质情况D．某型号节能灯的使用寿命分析:本题考查了调查的方式，注意选择调查的方式必须切合实际，切实可行．调查方式有普查（全面调查）与抽样调查两种，根据每个选项中的实际问题所要调查对象的数目多少，工作量大小，以及是否受客观条件限制难以完成，或是否带有破坏性等诸多方面，进行全盘考虑，选择合适的调查方式即可．解：由于一个班级人数有限，每个同学的“立定跳远”成绩可以逐一测量得知，适合进行全面调查；要了解水库中鱼的种类及其綦江河水质情况，受客观条件的限制难以做到一一进行统计，工作量较大，进行普查没有必要；节能灯的使用寿命都具有破坏性，不适合进行普查．故选A．例2 (2012年包头市)下列调查中，调查方式选择正确的是( )A.为了了解1000个灯泡的使用寿命，选择全面调查 B ．为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查C ．为了了解生产的一批炮弹的杀伤半径，选择全面调查D ．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查分析:本题主要考查了调查方式的选用，理解两种调查方式的适用范围和特点是解决问题的关键．选项A 、C 、D 的调查都具有破坏性，所以只能用抽样调查，选项B 调查对象的范围太大，所以适合抽样调查，故方式正确的是B ，所以应选B ． 考点2 总体、个体、样本以及样本容量例3（2012年梅州市）某同学为了解梅州市火车站今年“五一”期间每天乘车人数，随机抽查了其中五天的乘车人数，所抽查的这五天中每天乘车人数是这个问题的（ ）A ．总体B ．个体C ．样本D ．以上都不对 分析:根据总体、个体、样本三个概念对各选项的对错进行判断.解:此问题中的总体是梅州市火车站今年“五一”期间每天乘车人数，A 错误；个体是“五一”期间乘车的每一个人，B 错误；样本是所抽查的这五天中每天乘车人数，C 正确，故选C.例4（2012年攀枝花）为了了解攀枝花市2012年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考数学成绩进行统计分析.在这个问题中，样本是指（ ）A. 150B. 被抽取的150名考生C.被抽取的150名考生的中考数学成绩D.攀枝花市2012年中考数学成绩 分析:根据从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，即可得出答案．解:了解攀枝花市2012年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考数学成绩进行统计分析．样本是，被抽取的150名考生的中考数学成绩，故选C ． 考点3 用样本估计总体例5（2012年泰安市）某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月约节水情况．见表：节水量（3m ）0,2 0,25 0.3 0.4 0.5家庭数（个） 2 4 6 7 1请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ）A ．130m 3B ．135m 3C ．6.5m 3D ．260m 3分析:先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，再乘以总数400得到结果．解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是（0.2×2+0.25×4+0.3×6+04×7+0.5×1）÷20=0.325（m 3），因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：400×0.325=130（m 3），故选A ．例6 （2012年苏州市）某初中学校共有学生720人，该校有关部门从全体学生中随机抽取了50人对其到校方式进行调查，并将调查结果制成了如图1所示的条形统计图，由此可以估计全校坐公交车到校的学生有 ________ 人.分析:关键是弄清每个图表所表示的意义．由统计图可得50人中坐公交车上学校的有15人，由此可以估算全校坐公交车到校的学生数.图1解：由统计图，得坐公交车上学的人数有15人，占50人中的百分比是15÷50＝30％，而720×30％＝216（人），所以可以估计全校坐公交车到校的学生有216人.评注:先求出所抽取的个体占样本的百分率，进而用来估算全体.求解时要能从统计图中准确地获取信息，并对数据进行整理，掌握相关统计量的计算方法.例7（2012年凉山州）吸烟有害健康，为配合“戒烟”运动，某校组织同学们在社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的随机问卷调查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图：根据统计图解答下列问题：⑴同学们一共调查了多少人？ ⑵将条形统计图补充完整.⑶若该社区有1万人，请你估计大约有多少人支持“警示戒烟”这种方式？⑷为了让更多的市民增强“戒烟”意识，同学们在社区做了两期“警示戒烟”的宣传.若每期宣传后，市民支持“警示戒烟”的平均增长率为20%，则两期宣传后支持“警示戒烟”的市民约有多少人？分析:⑴根据替代品戒烟50人占总体的10%，即可求得总人数；⑵根据求得的总人数，结合扇形统计图可以求得药物戒烟的人数，从而求得警示戒烟的人数，再根据各部分的人数除以总人数，即可求得各部分所占的百分比；⑶根据图中“强制戒烟”的百分比再进一步根据样本估计总体．⑷第一期宣传后支持“警示戒烟”的市民约有3500×（1+增长率），第二期宣传后支持“警示戒烟”的市民约有3500×（1+增长率）（1+增长率）.解：⑴50÷10%=500（人），故一共调查了500人． ⑵完整的统计图如图3所示：⑶10000×35%=3500（人）；⑷3500×（1+20%）2=5040（人）． 考点4 方案决策例8 （2012年宁波市）某学校要成立一支由6名女生组成的礼仪队，初三两个班各选6名女生，分别组成甲队和乙队参加选拔．每位女生的身高统计如图6，部分统计量如下表：警示戒烟 强制戒烟药物戒烟替代品戒烟 10%15%戒烟 戒烟 戒烟 戒烟戒烟方式图6(1)求乙队身高的平均数及身高不小于1.70米的频率；(2)如果选拔的标准是身高越整齐越好，那么甲、乙两队中哪一队将被录取？请说明理由． 分析:⑴乙队身高的平均数=乙队身高的总数÷6；求乙队身高不小于1.70米的频率，先找到乙队身高不小于1.70米的频数，再除以总人数.（2）根据整齐程度可知数学的稳定性，越整齐就越稳定.解：(1) 1(1.70 1.68 1.72 1.70 1.64 1.70) 1.696x =+++++=乙( 米)， ∴乙队身高的平均数为1.69米，身高不低于1.70米的频率为4263=．(3) ∵S S <乙甲，∴乙队的身高比较整齐，乙队将被录取． 误区点拨例1 估计观众收看2012年伦敦奥运会开幕式的收视率，选择哪种调查方式？错解:全面调查．分析:我国有13亿多人口，如果采有全面调查，工作量太大，几乎无法完成．所以不宜采用全面调查．正解:随机调查足够数量的对象，也就是抽样调查．例2 调查学生对评价教师情况，若选择抽样调查，样本怎样选择合理？ 错解:只调查尖子学生．分析:只调查尖子生不具有普遍性，也就是不具有代表性．像只调查课代表或只调查学习干部或只调查中等学生都是不具有代表性的．正解:随机利用学号抽查部分学生或在男生、女生中各抽取部分学生进行调查．例3 为了了解一批电视机的使用寿命，从中抽取了100台电视机进行试验，这个问题中的样本是（ ）A ．这批电视机的使用寿命B ．抽取的100台电视机C ．100D ．抽取的100台电视机的使用寿命 错解:选B ．分析:错解在没有理解调查的对象．本题调查的对象100台电视机的使用寿命．而不是调查100台电视机． 正解:选D ．例4 甲、乙两家汽车销售公司近几年的销售量的对比如下图所示，试问销售量增长较快的是哪个公司？年份年份甲公司乙公司错解：根据统计图的走势可知，销售量增长较快的是乙公司.剖析：两个统计图虽然描述的都是近年公司的汽车的销量情况，但是这两个统计图的纵轴与横轴的单位刻度都不一致.易给人造成错误的印象：乙公司的销售量较甲公司的销售量快，观察两个统计图可知，甲、乙两公司在2006年的销售量基本相同，而在2010年，甲公司的销量突破500多辆，乙公司仅是400辆，为此，不难判断哪家公司的增长快慢.正解：销售量增长较快的是甲公司.跟踪训练1.要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取40台电视机进行试验，在这个问题中，40是（）A.个体B.总体C.样本容量D.总体的一个样本2.以下问题，不适合用普查的是( )A．了解全班同学每周体育锻炼的时间B．制药厂每瓶农药的药效时间C．学校招聘老师，对应聘人员面试D．黄河三角洲中学调查全校753名学生的身高3.四名运动员参加了射击预选赛，他们成绩的平均环数x及其方差s2如下表所示：如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，那么应选（）A．甲B．乙 C．丙 D．丁4.（2012年资阳市）某果园有苹果树100棵，为了估计该果园的苹果总产量，小王先按长势把苹果树分成了A、B、C三个级别，其中A级30棵， B级60棵， C级10棵，然后从A、B、C三个级别的苹果树中分别随机抽取了3棵、6棵、1棵，测出其产量，制成了如下的统计表．小李看了这个统计表后马上正确估计出了该果园的苹果总产量，那么小李的估计值是千克．5.（2012年南通市）为了了解学生参加家务劳动的情况，某中学随机抽取部分同学，统计他们双休日两天劳动的时间，将统计的劳动时间（单位：分钟）分成5组：30≤x＜60，60≤x ＜90，90≤x＜120，120≤x＜150，150≤x＜180，绘制成频数分布直方图(如图5)．⑴这次抽样调查的样本容量是；⑵该中学共有1000名学生，估计双休日两天有多少名学生家务劳动的时间不少于90分钟？6.（2012年宁夏）商场对每个营业员在当月某种商品销售件数统计如下：解答下列问题 ⑴设营业员的月销售件数为x(单位:件),商场规定:当x ＜15时为不称职；当15≤x ＜20时为基本称职；当20≤x ＜25为称职；当x ≥25时为优秀.试求出优秀营业员人数所占百分比； ⑵为了调动营业员的工作积极性，商场决定制定月销售件数奖励标准，凡达到或超过这个标准的营业员将受到奖励.如果要使得所有优秀和称职的营业员中至少有一半能获奖，你认为这个奖励标准应定为多少件合适？并简述其理由.跟踪训练1. C2. B3. B4. 76005. ⑴5＋20＋35＋30＋10＝100；⑵100103035++＝0．75，所以1000×0．75＝750（人）.6. 解:(1)优秀营业员人数所占百分比 %10%100303=⨯. (2) 奖励标准应定为21件.中位数是一个位置代表值，它处于这组数据的中间位置，因此大于或等于中位数的数据至少有一半.所以奖励标准应定为21件.6090 120 150 180时间/分30图5图6。

20.2方差教学设计［课型］新授课［课时］“方差”共需2课时完成，我计划第1课时：讲授方差的定义及方差的统计意义；第2课时：讲授用样本平均数和方差估计总体平均数和方差.本课为第1课时教学目标和教学重难点：教学目标:在学生已有的认知基础上，依据新课程标准，结合新课改的要求，我从以下三个方面制定了本节课的教学目标。

1、知识与能力目标：(1)理解方差的意义，掌握如何刻画一组数据波动的大小；(2)掌握方差的计算公式，并且会用方差计算公式比较两组数据的波动大小来解决实际问题。

2、过程与方法目标：经历探索方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法以及区别，积累统计经验。

3、情感与价值观目标：培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义；培养学生探求知识的勇气和认真、耐心、细致的学习态度与学习习惯。

教学重点、难点:重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题,掌握其求法。

难点:理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。

教学程序设计一、创设情境，导入新课1.回忆旧知:我们在前面的课程中，已经学习了描述一组数据集中趋势的统计特征量，问：它们分别是什么？（平均数、众数、中位数）2.情境设计：【由“射击问题”引入：当平均数相同时，如何判断一组数据的波动大小的问题】显示打靶场面，提出问题: 为了从甲、乙两名射击选手中选拔一人参加射击比赛,两位射击选手在相同条件下射击 10次，成绩如下：甲： 7、7、8、9、8、9、10、 9、 9、 9乙： 8、9、7、8、10、7、9、10、7、10应该选谁参加比赛？请你设计一种简单易行的选拔方案。

学生回答：“可分别计算甲、乙两名选手射击成绩的平均数，谁的平均水平高，就选谁。

”分小组计算甲、乙的射击平均成绩，得出结论:平均成绩相同。

（思维第一次受阻）教师提问：“两人的平均成绩相同，难以取舍。

我们再来看他们的成绩各有什么特点？”学生：小组讨论，利用极差来判断，极差相等，也不能断定哪个稳定性好。