常用离散型和连续型随机变量
- 格式:doc
- 大小:318.50 KB
- 文档页数:7
常用离散型随机变量的分布函数
(1) 离散型随机变量
[1] 概念:设X 是一个随机变量,如果X 的取值是有限个或者无
穷可列个,则称X 为离散型随机变量。其相应的概率
()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布
[2] 性质: ❶
0i p ≥ ❷11n i i p
==∑
❸分布函数()i i x x F x p ==
∑ ❹1{}()()i i i P X
x F x F x -==-
(2) 连续型随机变量 [1] 概念:如果对于随机变量的分布函数()F x ,存在非
负的函数 ()f x ,使得对于任意实数x ,均有:
()()x
F x f x dx -∞=
⎰
则称X 为连续型随机变量,()f x 称为概率密度函
数或者密度函数。 [2] 连续型随机变量的密度函数的性质
❶()0f x ≥
❷
()1f x dx +∞
-∞=⎰
❸{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞
-∞<≤=-=
⎰
❹若()f x 在x 点连续,则()()F x f x '=
(3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别:
[1] 由连续型随机变量的定义,连续型随机变量的定义域是
(),-∞+∞,对于任何x ,000
{}()()0P X x F x F x ==--=;而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间
断点,其图形呈阶梯形。
[2] 概率密度()f x 一定非负,但是可以大于1,而离散型随
机变量的概率分布i p 不仅非负,而且一定不大于1.
[3]
连续型随机变量的分布函数是连续函数,因此X 取任何给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <,连续型随机变量X 在a 与b 之间
取值的概率与区间端点无关,即:
{}{}
{}{}
()()
()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx
<<=≤≤=<≤=≤<=-=⎰
即:{}{}()P X b P X b F x <=≤=
(4) 常用的离散型随机变量的分布函数:
[1] 0-1分布:
如果离散型随机变量X
1{}k k P X k p q -== ( K=0、1) ()01p ≤≤ 称X 服从参数为p 的0-1分布。
[2] 二项分布:
如果离散型随机变量X 的概率分布为:
{}k k n k n P X k C p q -==
()01k n =、
…… ()01p ≤≤ ()1q p =-
称X 服从参数为n 、p 的二项分布,简记为~(,)X B n p
{注:进行一次实验,若实验的成功率为p ,则在一次实验中成功的次数X 服从参数为p 的0-1分布}
{二项分布描述n 重伯努利实验,若每次试验的成功率为p ,则进行n 次独立重复试验,则成功的总次数X 服从参数为n 、p 的二项分布}
{如果X 服从二项分布~(,)X B n p ,则Y=n-X 服从二项分布~(,1)X B n p -}
[3] 超几何分布:
如果离散型随机变量X 的概率分布为: 1
212{}m n m N N n N N C C P X m C -+==
()01m n =、
…… 称X 服从参数为n, 1N 、2N 的超几何分布,其中n, 1N 、2N 都为正整数,且n ≤1N +2N
{当2n N >时,去正概率的X 值不是从0开始,而是从2n N -开始;当1n N >时,去正概率的X 值最大不是n,而是1N }
[4] 泊松分布(Poisson )
如果随机变量X 的概率分布为: {}!k
P X k e k λλ-==
()01k n =、
…… 则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,简记为~()X P λ.
[5] 总结:在离散型的几个常用分布中,二项分布与其他几个分布关
系最为密切:
1) 参数为p 的0-1分布,就是参数为n 、p 的二项分布
(,)B n p 当n=1时的特例;
(5) 常用连续型随机变量的分布函数
[1] 均匀分布:
若连续型随机变量X 的概率密度为:
1()0
a x
b f x b a ≤≤=-其他 则称X 服从区间[,]a b 上的均匀分布,其分布函数为:
0()1
x a x a F x a x b b a x b <-=≤≤-> 在[,]a b 上服从均匀分布的随机变量X 在[,]a b 内任一子区间上取值的概率只依赖于该子区间的长度,而与其在[,]a b 内的位置无关。即:若[,][,]c d a b ∈,则:
{}d c P c X d b a
-≤≤=- [2] 指数分布:
如果连续型随机变量的概率密度为: 0
()00x x e f x x λλ->=≤则称X 服从参数为λ的指数分布,其
中0λ>,相应的分布函数为:
01()00
x x e F x x λ-≥-=< ① 指数分布常用作一些电子元器件的使用寿命。 ② 指数分布具有无记忆性。
[3] 正态分布:
A. 正态分布的概率密度为:
22
()2()x f x e μσ--=
(.)x ∈-∞+∞
其中μ和σ均为常数,且0σ>,简记为:2~(,)X N μσ
B. 特别地,当0μ=、1σ=时,称X 服从标准正态分布,记作