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常见的几种分布函数概率论中，分布函数（distribution function）是描述随机变量取值的概率分布的函数。
常见的几种分布函数包括离散型分布函数、连续型分布函数以及混合分布函数。
1. 离散型分布函数离散型分布函数是指随机变量在有限或可数个点上取值的分布函数。
离散型分布函数的特点是其概率质量函数只在有限或可数个点上取值，或者说离散型分布函数所描述的随机变量的取值是离散的。
比较常见的离散型分布函数有：- 二项分布函数：二项分布函数是描述n个独立的、相同概率的随机试验中成功的次数的分布函数。
- 泊松分布函数：泊松分布函数是描述一定时间间隔内一个随机事件发生次数的分布函数。
- 几何分布函数：几何分布函数是描述进行一系列独立的、相同概率的实验，成功的次数需要进行多次才能得到的情况的分布函数。
2. 连续型分布函数连续型分布函数是指随机变量的取值范围为连续区间的分布函数。
连续型分布函数所描述的随机变量的取值是连续的。
比较常见的连续型分布函数有：- 正态分布函数：正态分布函数又称高斯分布函数，是一种描述随机变量分布最为常用的分布函数之一。
- 均匀分布函数：均匀分布函数是描述随机变量在一定区间内取值时等概率分布的分布函数。
- 指数分布函数：指数分布函数是描述随机变量取值时间间隔的分布函数。
3. 混合分布函数混合分布函数是指一个随机变量可以同时满足两种或两种以上的分布函数时的情况。
比较常见的混合分布函数有：- 混合正态分布函数：混合正态分布函数是指由多个正态分布函数混合而成的分布函数。
- 混合伯努利分布函数：混合伯努利分布函数是指由多个伯努利分布函数混合而成的分布函数。
总之，分布函数是描述随机变量的 one-stop-shop，而离散型、连续型和混合型都是这一目的下的不同实现方式。
不同的分布函数有不同的特点和应用场景，选择合适的分布函数是进行概率论研究和应用的前提。
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量概述:在概率论和数理统计中，期望和方差是两个重要的统计量。
它们用于描述随机变量的集中程度和离散程度。
本文将介绍期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望和方差公式:离散型随机变量是指在有限或可数的样本空间内取值的随机变量。
对于一个离散型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:期望是用来衡量随机变量取值的中心位置，常表示为E(X)。
对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中，x表示随机变量X取到的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率。
2. 方差公式:方差是用来衡量随机变量取值的离散程度，常表示为Var(X)或σ²。
方差的计算公式为：Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]其中，x表示随机变量X的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率，E(X)表示X的期望。
二、连续型随机变量的期望和方差公式:连续型随机变量是指取值在某一连续区间内的随机变量。
对于一个连续型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:连续型随机变量的期望的计算公式为：E(X) = ∫[x * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
2. 方差公式:连续型随机变量的方差的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，E(X)表示X的期望。
总结:本文介绍了期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∑[x * P(X = x)]，方差的计算公式为Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∫[x * f(x)] dx，方差的计算公式为Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx。
概率统计中的离散型随机变量与连续型随机变量概率统计是数学的一个分支，用于研究随机现象的规律性和不确定性。
在概率统计中，随机变量是一个非常重要的概念。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。
本文将介绍这两种类型的随机变量以及它们的特点和应用。
一、离散型随机变量离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。
它的特点是在定义域内的每个值都有一定的概率与之对应。
离散型随机变量的概率可以通过概率分布函数来描述。
概率分布函数是一个将随机变量的取值映射到概率的函数。
离散型随机变量常见的例子有抛硬币的结果、掷骰子的点数、抽奖的中奖号码等。
这些随机变量的取值都是有限个或可列个，每个取值的概率可以通过实验或统计数据得到。
离散型随机变量的期望值和方差是衡量其分布特征的重要指标。
期望值表示随机变量的平均取值，方差表示随机变量取值的离散程度。
通过计算期望值和方差，可以更好地理解和描述离散型随机变量的分布特征。
离散型随机变量在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在市场调研中，我们可以将消费者的购买行为看作是一个离散型随机变量，通过统计分析不同购买决策的概率分布，可以了解不同消费者的购买偏好和市场需求。
二、连续型随机变量连续型随机变量是指在一定范围内可以取任意实数值的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值是连续的，无法一一列举出来。
连续型随机变量的概率可以通过概率密度函数来描述。
概率密度函数是一个描述随机变量概率分布的函数，它可以表示在某个取值范围内随机变量出现的概率密度。
与离散型随机变量的概率分布函数不同，连续型随机变量的概率密度函数在定义域内的每个点上的函数值并不表示该点的概率，而是表示该点附近的概率密度。
连续型随机变量常见的例子有身高、体重、温度等物理量。
这些随机变量的取值可以是任意的实数，通过概率密度函数可以描述它们的概率分布情况。
与离散型随机变量类似，连续型随机变量也有期望值和方差这两个重要指标。
常用离散型随机变量的分布函数(1) 离散型随机变量[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。
其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下：[2] 性质： ❶0i p ≥ ❷11n i i p==∑❸分布函数()i i x x F x p ==∑ ❹1{}()()i i i P Xx F x F x -==-(2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：()()xF x f x d x-∞=⎰ 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。
[2] 连续型随机变量的密度函数的性质❶()0f x ≥❷()1f x dx +∞-∞=⎰❸{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞-∞<≤=-=⎰❹若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '=(3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别：[1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是(),-∞+∞，对于任何x ，000{}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。
[2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1.[3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0.[4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间取值的概率与区间端点无关，即：{}{}{}{}()()()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx<<=≤≤=<≤=≤<=-=⎰即：{}{}()P X b P X b F x <=≤=(4) 常用的离散型随机变量的分布函数：[1] 0-1分布： 如果离散型随机变量X1{}k k P X k p q -==（ K=0、1） ()01p ≤≤ ()1q p =-称X 服从参数为p 的0-1分布。
随机变量的基本概念随机变量是概率论中的一个重要概念，它是描述随机现象结果的数学变量。
在概率论和数理统计中，随机变量是对随机试验结果的数值描述，它的取值不是确定的，而是依赖于随机试验的结果。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的，它们在不同的概率分布下具有不同的特性。
本文将介绍随机变量的基本概念，包括随机变量的定义、分类、性质以及常见的概率分布。
一、随机变量的定义随机变量是对随机试验结果的数值描述，它的取值不是确定的，而是依赖于随机试验的结果。
随机变量通常用大写字母表示，如X、Y 等。
在数学上，随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两种类型。
1. 离散随机变量：如果随机变量只能取有限个或可数个数值，称为离散随机变量。
离散随机变量的取值是可以数清楚的，例如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。
2. 连续随机变量：如果随机变量在某一区间内可以取无穷多个数值，称为连续随机变量。
连续随机变量的取值是连续的，例如人的身高、温度等。
二、随机变量的分类根据随机变量的取值类型和分布特点，可以将随机变量分为不同的类型，常见的随机变量包括离散型随机变量、连续型随机变量和混合型随机变量。
1. 离散型随机变量：离散型随机变量的取值是有限个或可数个，通常用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）描述其分布特征。
常见的离散型随机变量包括伯努利随机变量、二项随机变量、泊松随机变量等。
2. 连续型随机变量：连续型随机变量的取值是连续的，通常用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）描述其分布特征。
常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
3. 混合型随机变量：混合型随机变量是离散型随机变量和连续型随机变量的组合，其取值既可以是离散的，也可以是连续的。
混合型随机变量的分布特征由概率质量函数和概率密度函数共同描述。
三、随机变量的性质随机变量具有一些重要的性质，包括期望、方差、协方差等，这些性质可以帮助我们更好地理解随机变量的特征和分布规律。
常用离散型随机变量的分布函数
(1) 离散型随机变量
[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无
穷可列个，则称X 为离散型随机变量。
其相应的概率
()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布
[2] 性质： ❶
0i p ≥ ❷11n i i p
==∑
❸分布函数()i i x x F x p ==
∑ ❹1{}()()i i i P X
x F x F x -==-
(2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非
负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：
()()x
F x f x dx -∞=
⎰
则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函
数或者密度函数。
[2] 连续型随机变量的密度函数的性质
❶()0f x ≥
❷
()1f x dx +∞
-∞=⎰
❸{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞
-∞<≤=-=
⎰
❹若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '=
(3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别：
[1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是
(),-∞+∞，对于任何x ，000
{}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间
断点，其图形呈阶梯形。
[2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随
机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1.
[3]
连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间
取值的概率与区间端点无关，即：
{}{}
{}{}
()()
()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx
<<=≤≤=<≤=≤<=-=⎰
即：{}{}()P X b P X b F x <=≤=
(4) 常用的离散型随机变量的分布函数：
[1] 0-1分布：
如果离散型随机变量X
1{}k k P X k p q -== （ K=0、1） ()01p ≤≤ 称X 服从参数为p 的0-1分布。
[2] 二项分布：
如果离散型随机变量X 的概率分布为：
{}k k n k n P X k C p q -==
()01k n =、
…… ()01p ≤≤ ()1q p =-
称X 服从参数为n 、p 的二项分布，简记为~(,)X B n p
{注：进行一次实验，若实验的成功率为p ，则在一次实验中成功的次数X 服从参数为p 的0-1分布}
{二项分布描述n 重伯努利实验，若每次试验的成功率为p ，则进行n 次独立重复试验，则成功的总次数X 服从参数为n 、p 的二项分布}
{如果X 服从二项分布~(,)X B n p ，则Y=n-X 服从二项分布~(,1)X B n p -}
[3] 超几何分布：
如果离散型随机变量X 的概率分布为： 1
212{}m n m N N n N N C C P X m C -+==
()01m n =、
…… 称X 服从参数为n, 1N 、2N 的超几何分布，其中n, 1N 、2N 都为正整数，且n ≤1N +2N
{当2n N >时，去正概率的X 值不是从0开始，而是从2n N -开始；当1n N >时，去正概率的X 值最大不是n,而是1N }
[4] 泊松分布（Poisson ）
如果随机变量X 的概率分布为： {}!k
P X k e k λλ-==
()01k n =、
…… 则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，简记为~()X P λ.
[5] 总结：在离散型的几个常用分布中，二项分布与其他几个分布关
系最为密切：
1) 参数为p 的0-1分布，就是参数为n 、p 的二项分布
(,)B n p 当n=1时的特例；
(5) 常用连续型随机变量的分布函数
[1] 均匀分布：
若连续型随机变量X 的概率密度为：
1()0
a x
b f x b a ≤≤=-其他 则称X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，其分布函数为：
0()1
x a x a F x a x b b a x b <-=≤≤-> 在[,]a b 上服从均匀分布的随机变量X 在[,]a b 内任一子区间上取值的概率只依赖于该子区间的长度，而与其在[,]a b 内的位置无关。
即：若[,][,]c d a b ∈，则：
{}d c P c X d b a
-≤≤=- [2] 指数分布：
如果连续型随机变量的概率密度为： 0
()00x x e f x x λλ->=≤则称X 服从参数为λ的指数分布，其
中0λ>，相应的分布函数为：
01()00
x x e F x x λ-≥-=< ① 指数分布常用作一些电子元器件的使用寿命。
② 指数分布具有无记忆性。
[3] 正态分布：
A. 正态分布的概率密度为：
22
()2()x f x e μσ--=
(.)x ∈-∞+∞
其中μ和σ均为常数，且0σ>，简记为：2~(,)X N μσ
B. 特别地，当0μ=、1σ=时，称X 服从标准正态分布，记作
~(0,1)
X N，其概率密度为：
2
2
()
x
x e
ϕ-
=其分布函数用()x
Φ表示。
C.标准正态分布~(0,1)
X N的分布函数()x
Φ与概率密度()x
ϕ的性质。
a)()()
x x
ϕϕ
-=即()x
ϕ是一个偶函数。
b)lim()0
x
x
ϕ
→∞
=即x轴是()x
ϕ的水平渐近线。
c)分布函数()()
x
F x
μ
σ
-
=Φ；概率密度
1
()()
x
f x
μ
ϕ
σσ
-
=。
d)若~(0,1)
X N，当C>0时，
{}2()1
P X c c
≤=Φ-
✂若随机变量X服从正态分布2
~(,)
X Nμσ，
则
xμ
σ
-
服从标准正态分布~(0,1)
x
N
μ
σ
-
，且
~(0,1)
x
N
μ
σ
-
✂如果2
~(,)
X Nμσ，当0
a≠时，aX b
+服
从正态分布22
(,)
N a b a
μσ
+。
特别地，如果a=1,则
2
~(,)
X b N b
μσ
++。
✂如果2
111
~(,)
X Nμσ,2
222
~(,)
X Nμσ,
且
1
X、
2
X相互独立，则
2222
112211221122
~(,)
a X a X N a a a a
μμσσ
+++
(6)随机变量的函数分布的求法
设X 是一个随机变量，()y g x =是一个实函数，则()Y g X =也是一个随机变量，所谓求随机变量的函数分布问题，就是已知X 的分布及函数()y g x =，求随机变量()Y g X =的概率分布或者概率密度乃至分布函数。
[1] 离散型随机变量的函数分布的求法 如果随机变量的函数()Y g X =是离散型（无论X 是不是离散型的）的，求Y 的分布只要逐点分析出Y 的全部可能取值及取各可能值的相应概率即可。
[2] 连续型函数的分布的求法 1. 分布函数法： 如果随机变量的函数()Y g X =是连续型的，最基本的方法是分布函数法，即先求出Y 的分布函数()()(())()Y g x y F y P g x y f x dx ≤=≤=⎰，然后通过分布函数求出Y 的概率密度，其中()f x 是随机变量X 的概率密度。
2. 公式法 如果X 是连续型的随机变量，()y g x =是x 的单调可到函数，其导数不为0，则Y 的概率密度()Y f y 可直接由X 的密度()X f y 求出： ()[()]()0X Y h y f h y f y '= ()y Z g ∈其他
其中()x h y =是函数()y g x =的反函数，()Z g 是()y g x =的值域。
3. 方法总结： 确定分布中位置参数的解题方法是建立所 求参数为未知量的方程或者方程组，从中解出所求参数，建立分布中未知参数方程的主要方法有： 1) 分布函数()F x 性质、离散型分布律{}i p 性质、连续型概率密度()f x 性质。
2) ()0F -∞=、()1F +∞=、()()F x F x =+。
3) 在()F x 的连续点，(0)()(0)F x F x F x -==+ 4) 11n i i p ==∑、01i p ≤≤。
5) ()1f x dx +∞-∞=⎰、()0f x ≥。
6) 特殊分布函数。
