离散型随机变量及其分布范文

常见随机事件的概率与分布列示例1、耗用子弹数的分布列例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P 0.9 0.09 0.009 0.0001说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，541.09.01.0)5(+⨯==ξP ．当然，5=ξ还有一种算法：即0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ．2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率例 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．分析：发生事件A的次数()p n B ,~ξ，所以，),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p kn k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住np q )(+与np q )(-展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p 奇次，留下p 偶次的目的．3、根据分布列求随机变量组合的分布列例 已知随机变量ξ 的分布列为ξ－2 －1 0 1 2 3P121123 124 121 122 121 分别求出随机变量221,2ξ η ξ η ==的分布列． 解： 由于ξ η 211=对于不同的ξ 有不同的取值x y 21=，即2321,121,2121,021,2121,121665544332211========-==-==x y x y x y x y x y x y ，所以1η 的分布列为1η－121- 021 132 P121123 124 121 122 121 22ξ η =对于ξ 的不同取值－2，2及－1，1，2η分别取相同的值4与1，即2η 取4这个值的概率应是ξ 取－2与2值的概率121与122合并的结果，2η 取1这个值的概率就是ξ 取－1与1值的概率123与121合并的结果，故2η 的分布列为 2η0 1 4 9P124 124 123 121 说明：在得到的1η 或2η 的分布列中，1η 或2η 的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1．4、成功咨询人数的分布列例 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列．分析：3个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数ξ，故符合二项分布．解：由题：⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3~B ξ，所以3,2,1,0,4143)(33=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kk k ξ，分布列为ξ 0 1 2 3P641 649 6427 6427说明：次独立重复实验中，以事件发生的次数ξ为随机变量．5、盒中球上标数于5关系的概率分布列例 盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列．分析：要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率．解：分别用321,,x x x 表示题设中的三类情况的结果：1x 表示“小于5”的情况，2x 表示“等于5”的情况，3x 表示“大于5”的情况．设随机变量为ξ ，它可能取的值为ξ ,,,321x x x 取每个值的概率为P x P ==)(1ξ （取出的球号码小于5）＝105， P x P ==)(2ξ （取出的球号码等于5）＝101， P x P ==)(3ξ （取出的球号码大于5）＝104． 故ξ 的分布列为ξ1x 2x 3xP21101 52小结：分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的分布列是很重要的，但是我们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以利用11=∑=ni ip进行检验．6、求随机变量的分布列例 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列．分析：由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3，4，5，可以利用组合的方法计算其概率．解：随机变量ξ 的取值为3，4，5．当ξ ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有;101C C )3(3523===ξ P当ξ ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有;103C C )4(3523===ξ P当ξ ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有.53106C C )5(3523====ξ P因此，ξ 的分布列为ξ3 4 5P101103 106 说明：对于随机变量ξ 取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．7、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列例 一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．分析：取出不合格品数的可能值是0，1，2，3，从而确定确定随机变量的可能值．解：以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ 是一个随机变量，由题设ξ 可能取的数值是0，1，2，3．当ξ ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为;750.0123)0(===ξ P 当ξ ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为;204.0119123)1(≈⋅==ξ P 当ξ ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为;041.0119112123)2(≈⋅⋅==ξ P 当ξ ＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为.005.099101112123)3(≈⋅⋅⋅==ξ P 所以ξ 的分布列为ξ0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量ξ的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．8、关于取球的随机变量的值和概率例 袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率．分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成．解： 设集合},,{321x x x M =，其中1x 为“取到的球为红色的球”，2x 为“取到的球为白色的球”，3x 为“取到的球为黑色的球”． 我们规定：)3,2,1()(===i i x i ξ ξ ，即当i x x =时，i x =)(ξ，这样，我们确定)(x ξ 就是一个随机变量，它的自变是量x 取值不是一个实数，而是集合M 中的一个元素，即M x ∈，而随机变量ξ 本身的取值则为1，2，3三个实数，并且我们很容易求得ξ 分别取1，2，3三个值的概率，即.2163)3(,3162)2(,61)1(========ξ ξ ξ P P P说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果．。

例析离散型随机变量及其分布列离散型随机变量是统计学中的基本概念之一。

随机变量是指一个变量，它的取值不是确定的值，而是由概率去决定的。

大家在学习数学时，也学过离散分布的概念，也就是一些独立的事件发生的概率值。

离散型随机变量就是基于这一理念而设定的，其概率分布也称为概率质量函数。

本文将重点介绍离散型随机变量及其分布列。

一、离散型随机变量离散于连续是统计学中的两个重要概念。

离散型随机变量是离散概率分布中的一种，其特点是变量的取值组成是可数的，且变量取值之间存在间隔。

例如，某种产品按照生产数量的不同等级分为一定数量的等级，即可用离散型随机变量进行描述。

离散型随机变量通常会拥有概率质量函数，也称为离散分布列。

概率质量函数可以用来描述在不同取值时的概率大小。

二、离散型随机变量的概念离散型随机变量的概念众所周知，但是我们需要了解它的各个方面。

首先，离散型随机变量是指在概率控制下的变量，可以取一个离散集合中的任一数值。

该类型的随机变量通常有无穷多的可能取值。

因此，我们通过概率分布来描述其概率情况，即概率质量函数。

三、离散型随机变量的分布列离散型随机变量拥有其特有的概率分布，也称为概率质量函数。

该函数用于表示一个任意随机变量X可以取到x的概率。

这个函数通常用分布列表示。

分布列定义了一个数轴的形状，使得整个分布集的面积为1。

因此，在离散型随机变量的案例中，分布列指示每个可能的随机变量取值。

四、离散型随机变量的分布列的应用分布列通常用于分析离散型随机变量。

我们可以通过概率质量函数描述某些离散型随机变量的概率分布情况。

概率分布中的不同离散变量都有一个相应的概率，这些概率组成了分布列。

分布列通常给出一个随机变量采取所有不同取值的概率。

通过分析分布列，我们可以确定随机变量的概率分布，进而应用于具体的研究问题。

五、离散型随机变量的例子以下是两个离散型随机变量的例子：1. 投硬币游戏：将硬币投掷N次，并计算正面朝上的数量，这个随机变量就是离散型随机变量，可用二项分布描述其概率分布。

离散型随机变量及其分布列如果随机试验每一个可能结果e ，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.随机变量通常用X ，Y…表示。

如果随机变量X 的所有取值都可以逐个列举出来，则称X 为离散型随机变量。

一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为n x x x ，，，...21，其相应的概率为n p p p ，，，...21，记：)...2,1()(n i p x X P i i ，，===或把上式列成下表:上表或上式称为离散型随机变量X 的概率分布列(简称X 的分布列).离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)n i p i ，，，，...210=≥;(2)1...21=+++n p p p 【例题1】全班有40名学生，某次综合素质单项测评的成绩(满分5分)如下:现从该班中任选一名学生，用X 表示这名学生的单项测评成绩，求随机变量X 的分布列.【例题2】设随机变量X 的分布列为4,321)1()(，，，=+==k k k c k X P ，其中c 为常数，求2521(＜＜X P 的值。

【练习】1.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果:(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X;(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X;(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.2.用X表示某人进行10次射击击中目标的次数，分别说明下列随机事件的含义.(1){X=8};(2){1<X≤10};(3){X≥1};(4){X<1}3.离散型随机变量X的分布列如下表所示，求p的值4.将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~6.现从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码,(1)求X的分布列;(2)求X>4的概率.两点分布如果随机变量X 只取值0或1，且其概率分布是)1,0(1)0(,)1(∈-====p p X P p X P ，则称随机变量X 服从两点分布，记作：)1(~p B X ，两点分布又称0-1分布，是我们在现实生活中经常会遇到的一种分布，例如，检查产品是否合格，投篮是否命中，一粒种子是否发芽，等等，当只考虑成功与否时，都可以用服从两点分布的随机变量米描述。