圆的有关性质练习及答案(供参考)

24．1圆的有关性质24．1.1圆1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周___，__另一个端点A___所形成的图形叫做圆．这个固定的端点O叫做__圆心___，线段OA叫做__半径___．2．连接圆上任意两点间的线段叫做__弦___．圆上任意两点间的部分叫做__弧___．直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦．3．在同圆或等圆中，能够__互相重合___的弧叫等弧．4．确定一个圆有两个要素，一是__圆心___，二是__半径___，圆心确定__位置___，半径确定__大小___．知识点1：圆的有关概念1．以已知点O为圆心，已知长为a的线段为半径作圆，可以作( A)A．1个B．2个C．3个D．无数个2．下列命题中正确的有( A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，图中弦的条数为( B)A．1条B．2条C．3条D．4条4．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为( A)A．1条B．2条C．3条D．无数条5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆．解：在，圆心是线段BD的中点．图略知识点2：圆中的半径相等6．如图，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为( C)A．38°B．52°C．76°D．104°,第6题图),第7题图) 7．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝( D)A．45°B．60°C．90°D．30°8．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.解：由ASA证△BEO≌△CFO，∴OE＝OF，又∵OC＝OB，∴OC＋OE＝OB＋OF，即CE＝BF9．如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB＝∠COD.求证：∠C＝∠D.解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOC＝∠COD＋∠AOC，即∠AOD＝∠BOC，又OA＝OB，OC＝OD，∴△AOD≌△BOC，∴∠C＝∠D10．M，N是⊙O上的两点，已知OM＝3 cm，那么一定有( D)A．MN＞6 cm B．MN＝6 cmC．MN＜6 cm D．MN≤6 cm11．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是( B)A．a＞b＞c B．a＝b＝cC．c＞a＞b D．b＞c＞a12．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为( C)A．50°B．60°C．70°D．80°,第12题图),第13题图) 13．如图是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是( D)14．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为__3或4___．15．如图，AB，CD为圆O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点．求证：四边形CEDF为平行四边形．解：∵AO＝BO，E，F分别是AO和BO的中点，∴EO＝FO，又CO＝DO，∴四边形CEDF为平行四边形16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，∴∠OBA ＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF17．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB ＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E ＝18°，∴∠OCE＝36°，∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°18．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．(1)求证：OC＝OF；(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．解：(1)连接OD，OE，则OD＝OE，又∠OCD＝∠OFE＝90°，CD＝EF，∴Rt△ODC ≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF(2)连接OH，∵CF＝EF＝2，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝12＋22＝5.设FG＝GH＝x，则(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(舍去)，∴S ＝12＝1正方形FGHK24．1.2 垂直于弦的直径1．圆是__轴对称___图形，任何一条__直径___所在的直线都是它的对称轴．2．(1)垂径定理：垂直于弦的直径__平分___弦，并且__平分___弦所对的两条弧； (2)推论：平分弦(非直径)的直径__垂直___于弦并且__平分___弦所对的两条弧．3．在圆中，弦长a ，半径R ，弦心距d ，它们之间的关系是__(12a)2＋d 2＝R 2___．知识点1：认识垂径定理 1．(2014·毕节)如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( B ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3,第1题图),第3题图),第4题图)2．CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，则BE 的长是( C )A ．8B ．2C ．2或8D ．3或73．(2014·北京)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A ＝22.5°，OC ＝4，则CD 的长为( C )A ．2 2B ．4C ．4 2D ．8 4．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为__24___． 知识点2：垂径定理的推论5．如图，一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O 是这条弧所在圆的圆心，点C 是AB ︵的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，AB ＝120 m ，CD ＝20 m ，则这段弯道的半径是( C )A ．200 mB ．200 3 mC ．100 mD ．100 3 m,第5题图) ,第6题图)6．如图，在⊙O 中，弦AB ，AC 互相垂直，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则四边形OEAD 为( C )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．梯形 知识点3：垂径定理的应用7．如图是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB 宽为8 cm ，水的最大深度为2 cm ，则输水管的半径为( C )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm,第7题图) ,第8题图)8．古题今解：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE ＝1寸，CD ＝10寸，则直径AB 的长为__26___寸．9．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD ⊥AB ，且CD 过圆心O ，∴AD ＝12AB ＝1米，∠CDA ＝90°.在Rt△OAD 中，设⊙O 的半径为R ，则OA ＝OC ＝R ，OD ＝5－R.由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝(5－R)2＋12，解得R ＝2.6，故圆拱形门所在圆的半径为2.6米10．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是( C )A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5,第10题图) ,第11题图)11．(2014·黄冈)如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB 于点E ，若∠BAD ＝30°，且BE ＝2，则CD ＝．12．已知点P 是半径为5的⊙O 内一点，OP ＝3，则过点P 的所有弦中，最长的弦长为__10___；最短的弦长为__8___．13．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为__(6，0)___．,第13题图) ,第14题图)14．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为__4___．15．如图，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工人师傅求出AB ︵所在⊙O 的半径r.解：由题意知OA ＝OE ＝r ，∵EF ＝1，∴OF ＝r －1.∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2，解得r ＝138，即圆O 的半径为138米16．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8 cm ，腰AB ＝5 cm ，求圆片的半径R.解：(1)分别作AB ，AC 的垂直平分线，其交点O 为所求圆的圆心，图略 (2)连接AO交BC 于E.∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝12BC ＝4.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3.连接OB ，在Rt △BEO 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，即R 2＝42＋(R －3)2，解得R ＝256，即所求圆片的半径为256cm17．已知⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则AB ，CD 之间的距离为( D )A ．17 cmB ．7 cmC ．12 cmD ．17 cm 或7 cm18．如图，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，BC ＝2 3. (1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．解：(1)连接AC ，∵CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴AF ＝BF ，∴AC ＝BC.延长AO 交⊙O 于G ，则AG 为⊙O 的直径，又AO ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∴AC ＝AB ，∴AB ＝BC ＝23 (2)由(1)知AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠OAF ＝30°，在Rt △OAF 中，AF ＝3，可求OA ＝2，即⊙O 的半径为224．1.3 弧、弦、圆心角1．圆既是轴对称图形，又是__中心___对称图形，__圆心___就是它的对称中心． 2．顶点在__圆心___的角叫圆心角．3．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的__弧___相等，且所对的弦也__相等___． 4．在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量是相等的，则它们所对应的其余各组量也分别__相等___．知识点1：认识圆心角1．如图，不是⊙O 的圆心角的是( D ) A ．∠AOB B ．∠AOD C ．∠BOD D ．∠ACD,第1题图) ,第3题图)2．已知圆O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝__60°___．3．(2014·菏泽)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为__50°___．知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 是( C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°,第4题图) ,第5题图)5．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D ) ①AB ︵＝CD ︵； ②BD ︵＝AC ︵；③AC ＝BD ； ④∠BOD ＝∠AOC. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为( C )A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°,第6题图) ,第7题图)7．如图，在同圆中，若∠AOB ＝2∠COD ，则AB ︵与2CD ︵的大小关系为( C ) A .AB ︵＞2CD ︵ B .AB ︵＜2CD ︵ C .AB ︵＝2CD ︵D ．不能确定8．如图，已知D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，C 为AB ︵的中点．试问CD 与CE 是否相等？说明你的理由．解：相等．理由：连接OC.∵D ，E 分别为⊙O 半径OA ，OB 的中点，∴OD ＝12AO ，OE ＝12BO.∵OA ＝OB ，∴OD ＝OE.∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.又∵OC＝OC ，∴△DCO ≌△ECO(SAS )，∴CD ＝CE9．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝__40°___．,第9题图) ,第10题图)10．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.在下列结论中：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE.正确的有__①②③___．11．如图，A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AB ︵＝2CD ︵，那么( C )A ．AB ＞2CD B ．AB ＝2CDC ．AB ＜2CDD ．AB 与2CD 大小不能确定12．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，且AC ＝BD ，求证：AB ＝CD.解：∵AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD13．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵.解：连接AF ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠GAE ＝∠B ，∠EAF＝∠AFB.又∵AB ＝AF ，∴∠B ＝∠AFB ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝EF ︵14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形(2)∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD)＝60°.∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形，∴∠ODB ＝60°，∴∠ODB ＝∠COD ＝60°，∴OC ∥BD15．如图，在△AOB 中，AO ＝AB ，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于D ，交AO 于点E ，AD ＝BO.试说明BD ︵＝DE ︵，并求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °.∵AD ＝BO ，又OB ＝OD ，∴OD ＝AD ，∴∠AOD ＝∠A ＝x °，∴∠ABO ＝∠ODB ＝∠AOD ＋∠A ＝2x °.∵AO ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ＝2x °，从而∠BOD＝2x °－x °＝x °，即∠BOD ＝∠AOD ，∴BD ︵＝DE ︵.由三角形的内角和为180°，得2x ＋2x ＋x ＝180，∴x ＝36，则∠A ＝36°16．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，AN ︵的度数为60°，点B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一个动点，求PA ＋PB 的最小值．解：作点B 关于MN 的对称点B′.因为圆是轴对称图形，所以点B′在圆上．连接AB′，与MN 的交点为P 点，此时PA ＋PB 最短，ABB ′⌒所对的圆心角为90°，连接OB′，则∠AOB′＝90°，∴AB ′＝AO 2＋OB′2＝2，∴PA ＋PB ＝AB ′＝2，即PA ＋PB 的最小值为224．1.4 圆周角1．顶点在__圆___上，并且两边和圆__相交___的角叫圆周角．2．在同圆或等圆中，__同弧___或__等弧___所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角___的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相等___．3．半圆或直径所对的圆周角是__直角___，90°的圆周角所对的弦是__直径___． 4．圆内接四边形对角__互补___，外角等于__内对角___.知识点1：认识圆周角1．下列图形中的角是圆周角的是( B )2．在⊙O 中，A ，B 是圆上任意两点，则AB ︵所对的圆心角有__1___个，AB ︵所对的圆周角有__无数___个，弦AB 所对的圆心角有__1___个，弦AB 所对的圆周角有__无数___个．知识点2：圆周角定理3．如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，ACB ︵为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( A ) A ．2∠C B ．4∠B C ．4∠A D ．∠B ＋∠C,第3题图) ,第4题图)4．(2014·重庆)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°知识点3：圆周角定理推论5．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，CD ⊥AB 于E ，若∠B ＝60°，则∠A ＝__30°___．7．如图，⊙O 的直径CD 垂直于AB ，∠AOC ＝48°，则∠BDC ＝__24°___．8．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.解：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠BDC ＝∠ADB ，∴DB 平分∠ADC知识点4：圆内接四边形的对角互补9．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( B )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°,第9题图) ,第10题图)10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D ＝__80°___，∠B ＝__100°___.11．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( B )A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°,第11题图) ,第12题图)12．(2014·丽水)如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD.已知DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的弦心距等于( D )A .412B .342C ．4D ．3 13．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，∠BAC ＝70°，则∠OCB ＝__20°___．,第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是AC ︵上任意一点(不与A ，C 重合)，∠ABC ＝55°，则∠POC 的取值范围是__0°＜∠POC ＜110°___．15．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA ＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为．16．如图，在△ABC 中，AB ＝为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.又∵AB ＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形 (2)连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12×2＝117．(2014·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB ︵上两点，AB ＝13，AC ＝5.(1)如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长；(2)如图②，若点P 是BC ︵的中点，求PA 的长．解：(1)连接PB.∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB ︵的中点，∴PA ＝PB ，∠APB ＝90°，可求PA ＝22AB ＝1322(2)连接BC ，OP 交于点D ，连接PB.∵P 是BC ︵的中点，∴OP ⊥BC ，BD＝CD.∵OA ＝OB ，∴OD ＝12AC ＝52.∵OP ＝12AB ＝132，∴PD ＝OP －OD ＝132－52＝4.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，由勾股定理可求BC ＝12，∴BD ＝12BC ＝6，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝42＋62＝213.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∴PA ＝AB 2－PB 2＝132－（213）2＝31318．已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D. (1)如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长； (2)如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝∠BDC ＝90°.在Rt △CAB 中，AC ＝BC 2－AB 2＝102－62＝8.∵AD 平分∠CAB ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD.在Rt △BDC 中，CD 2＋BD 2＝BC 2＝100，∴BD 2＝CD 2＝50，∴BD ＝CD ＝52 (2)连接OB ，OD.∵AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°，∴∠DAB ＝12∠CAB ＝30°，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝60°.又∵⊙O 中OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵⊙O 的直径为10，∴OB ＝5，∴BD ＝5。

人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示的圆规，点A 是铁尖的端点，点B 是铅笔芯尖的端点，已知点A 与点B 的距离是2 cm ，若铁尖的端点A 固定，将铅笔芯尖的端点B 绕点A 旋转一周，则作出的圆的直径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．4 cmD ．π cm2. 如图，AB是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵ C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形3. 如图，AB是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°4. 如图，OA是⊙O 的半径，B 为OA 上一点(不与点O ，A 重合)，过点B 作OA的垂线交⊙O 于点C .以OB ，BC 为边作矩形OBCD ，连接BD .若BD ＝10，BC ＝8，则AB 的长为( )A ．8B ．6C ．4D ．25. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝3∠COD (∠COD <60°)，则劣弧AB ，劣弧CD 的大小关系是( ) A.AB ︵＝3CD ︵B.AB ︵>3CD ︵C.AB ︵<3CD ︵D ．3AB ︵<CD ︵6. 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( )A. 5 B ．2 5 C ．3 D ．2 37. 如图，AB 是⊙O的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )A.7 B ．27 C ．6 D ．88. 如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B ，C ，连接AC ，BC.若∠ABC ＝54°，则∠1等于( )A ．36°B ．54°C ．72°D ．73°9. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°10. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5.若P 是⊙O上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )A ．5 B.5 32C ．5 2D ．5 3二、填空题（本大题共8道小题） 11. 2018·孝感 已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm.12. 2018·毕节如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ，则∠ACE 的度数为________．13. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(3，0)，⊙M 的半径为2，过点M 的直线与⊙M 的交点分别为A ，B ，则△AOB 的面积的最大值为________，此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于________°.14. 如图所示，OB ，OC是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.15. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.16. 如图所示，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB ＝23，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．17. 如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝________°.18. 如图所示，在半圆O 中，AB为直径，P 为AB ︵的中点，分别在AP ︵和PB ︵上取其中点A 1和B 1，再在P A ︵1和PB ︵1上分别取其中点A 2和B 2.若一直这样取下去，则∠A n OB n ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以BD 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F ；(2)若AC ＝4，EF ＝2 5，求CD 的长．20.如图，△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠C ＝∠D ＝90°.求证：A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上.21. (2019•包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，120ABC ∠=︒，弦AC =弦BM 平分ABC ∠交AC 于点D ，连接MA MC ，． (1)求⊙O 半径的长； (2)求证：AB BC BM +=．22. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为半圆ACB ︵上的动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，则点P 的位置有何规律？请证明你的结论．人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的． 故选B.3. 【答案】A[解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠EOD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°. 又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ，∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.4. 【答案】C5. 【答案】A[解析] 把∠AOB 三等分，得到的每一份角所对的弧都等于CD ︵，因此有AB ︵＝3CD ︵.6. 【答案】D[解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA .根据题意，得OD ＝12OA ＝1.再根据勾股定理，得AD ＝ 3.根据垂径定理，得AB ＝2 3.7. 【答案】B[解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.8. 【答案】C9. 【答案】B10. 【答案】D[解析] 如图，连接OB ，OA ，OP ，设OB 与AP 交于点D.由PB＝AB 可知PB ︵＝AB ︵，从而可知OB ⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB 为等边三角形，在Rt △OAD 中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD 的长，从而可求出AP 的长为5 3.故选D.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，如图①， ∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴EO ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点E 并反向延长交AB 于点F ，如图②，∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AF ＝8 cm ，CE ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴OF ＝6 cm ，OE ＝8 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝14 cm.∴AB 与CD 之间的距离为2 cm 或14 cm.12. 【答案】30°[解析] 如图，连接OC .∵AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠A ＝60°.∵CE ⊥OA ，∴∠AEC ＝90°， ∴∠ACE ＝90°－60°＝30°.13. 【答案】6 90 [解析] ∵AB 为⊙M 的直径，∴AB ＝4.当点O 到AB 的距离最大时，△AOB 的面积最大，此时AB ⊥x 轴于点M ， ∴△AOB 的面积的最大值为12×4×3＝6，∠AMO ＝90°. 即此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于90°.14. 【答案】50[解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.15. 【答案】65[解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.16. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.17. 【答案】40[解析] ∵∠BCD ＝180°－∠A ＝125°，∠CBF ＝∠A ＋∠E ＝85°，∴∠F ＝∠BCD －∠CBF ＝125°－85°＝40°.18. 【答案】(902n －1)[解析] 当n ＝1时，∠A 1OB 1＝90°；当n ＝2时，∠A 2OB 2＝90°2＝45……所以∠A n OB n ＝(902n －1)°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接DE. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DEB ＝90°，即DE ⊥AB. 又∵E 是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴∠1＝∠B. 又∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝2 5， ∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，∠C ＝90°， ∴BC ＝AB2－AC2＝8. 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x. 在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2， 解得x ＝3，即CD ＝3.20. 【答案】证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD.∵△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∴OC ，OD 分别为Rt △ABC 和Rt △ABD 斜边上的中线， ∴OC ＝OA ＝OB ，OD ＝OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．21. 【答案】(1)连接OA OC 、，过O 作OH AC ⊥于点H ，如图1，∵120ABC ∠=︒，∴18060AMC ABC ∠=-∠=︒︒，∴2120AOC AMC ∠=∠=︒， ∴1602AOH AOC ∠=∠=︒， ∵132AH AC ==， ∴2sin60AH OA ==︒， 故⊙O 的半径为2．(2)在BM 上截取BE BC =，连接CE ，如图2，∵120ABC ∠=︒，BM 平分ABC ∠，∴60ABM CBM ∠=∠=︒，∵60MBC BE BC ︒∠==，，∴EBC △是等边三角形，∴60CE CB BE BCE ==∠=︒，， ∴60BCD DCE ∠+∠=︒，∵60ACM ∠=︒，∴60ECM DCE ∠+∠=︒，∴ECM BCD ∠=∠，∴6060CAM CBM ACM ABM ∠︒=∠︒=∠=∠=，， ∴ACM △是等边三角形，∴AC CM =，∴ACB MCE △≌△，∴AB ME =，∵ME EB BM +=，∴AB BC BM +=．22. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m 解：P 为半圆ADB ︵的中点． 证明：如图，连接OP .∵∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，∴∠PCD ＝∠PCO . ∵OC ＝OP ，∴∠PCO ＝∠OPC ，∴∠PCD ＝∠OPC ，∴OP ∥CD .∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵，即P 为半圆ADB ︵的中点．。

人教版九年级数学中考圆的有关概念及性质专项练习基础达标一、选择题1.(2018广西贵港)如图,点A,B,C均在☉O上,若∠A=66°,则∠OCB的度数是()A.24°B.28°C.33°D.48°∠A=66°,∴∠COB=132°.∵CO=BO,∴∠OCB=∠OBC=1(180°-132°)=24°,2故选A.2.(2018江苏盐城)如图,AB为☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为() A.35° B.45°C.55°D.65°,∠ABC=∠ADC=35°,∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=90°-∠ABC=55°,故选C.3.(2018湖北襄阳)如图,点A,B,C,D都在半径为2的☉O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为()A.4B.2√2C.√3D.2√3OA⊥BC,∴CH=BH,AA⏜,⏜=AA∴∠AOB=2∠CDA=60°,∴BH=OB·sin∠AOB=√3,∴BC=2BH=2√3,故选D.二、填空题4.如图,☉O的直径AB过弦CD的中点E,若∠C=25°,则∠ADC=.∠C=25°,∴∠A=∠C=25°.∵☉O的直径AB过弦CD的中点E,∴AB⊥CD,∴∠AED=90°,∴∠D=90°-25°=65°.5.(2018江苏扬州)如图,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB=.√2AD,BD,OA,OB,∵☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,∵OA=OB=2,∴AB=2√2.三、解答题6.“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深1寸,锯道长一尺,问径几何?”这是《九章算术》中的问题,用现在的数学语言可以表述为:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.,连接OA,根据垂径定理,得AE=5寸.在Rt△AOE中,设OA=x寸,则OE=(x-1)寸,根据勾股定理有52+(x-1)2=x2,解得x=13,所以直径CD=26寸.7.(2018浙江湖州)如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC. (1)求证:AE=ED;⏜的长.(2)若AB=10,∠CBD=36°,求AAAB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED.OC⊥AD,∴AA⏜,⏜=AA∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,∴AA ⏜的长=72π×5180=2π.能力提升一、选择题1.(2018贵州安顺)已知☉O 的直径CD=10 cm,AB 是☉O 的弦,AB ⊥CD ,垂足为M ,且AB=8 cm,则AC 的长为( ) A.2√5 cm B.4√5 cmC.2√5 cm 或4√5 cmD.2√3 cm 或4√3 cmAC ,AO ,∵☉O 的直径CD=10cm,AB ⊥CD ,AB=8cm,∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,当C 点位置如图1所示时,∵OA=5cm,AM=4cm,CD ⊥AB , ∴OM=√AA 2-AA 2=√52-42=3cm, ∴CM=OC+OM=5+3=8cm,∴AC=√AA 2+AA 2=√42+82=4√5cm;当C 点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,∵OC=5cm,∴MC=5-3=2cm,在Rt △AMC 中,AC=√AA 2+AA 2=√42+22=2√5cm . 故选C.2.(2018湖北咸宁)如图,已知☉O 的半径为5,弦AB ,CD 所对的圆心角分别是∠AOB ,∠COD ,若∠AOB 与∠COD 互补,弦CD=6,则弦AB 的长为( ) A.6 B.8 C.5√2 D.5√3,延长AO交☉O于点E,连接BE,则∠AOB+∠BOE=180°,又∵∠AOB+∠COD=180°,∴∠BOE=∠COD,∴BE=CD=6,∵AE为☉O的直径,∴∠ABE=90°,∴AB=√AA2-AA2=√102-62=8,故选B.二、填空题3.(2018湖北孝感)已知☉O的半径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是cm.或14当弦AB和CD在圆心同侧时,如图1,∵AB=16cm,CD=12cm,∴AE=8cm,CF=6cm,∵OA=OC=10cm,∴EO=6cm,OF=8cm,∴EF=OF-OE=2cm.②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图2,∵AB=16cm,CD=12cm,∴AF=8cm,CE=6cm,∵OA=OC=10cm,∴OF=6cm,OE=8cm,∴EF=OF+OE=14cm.∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.三、解答题4.如图,有一座拱桥是圆弧形的,它的跨度为60 m,拱高18 m,当洪水泛滥到跨度只有30 m时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4 m,即PN=4 m时是否要采取紧急措施?.如图,设弧的圆心为O,由圆的对称性知点P,N,O共线,连接OA,OA',PO,设PO交AB于点M,该圆的半径为r,由题意得PM=18,AM=30,则(r-18)2+302=r2,解得r=34.当PN=4时,ON=30,所以A'N=16,则A'B'=32>30,故不需要采取紧急措施.5.(2018湖北宜昌)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形;(2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.AB是直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=CE,∵AE=EF,∴四边形ABFC是平行四边形,∵AC=AB,∴四边形ABFC是菱形.CD=x.连接BD.∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,∴AB2-AD2=CB2-CD2,∴(7+x)2-72=42-x2,解得x=1或x=-8(舍去)∴AC=8,BD=√82-72=√15,∴S菱形ABFC=8√15.∴S半圆=1·π·42=8π.2。

圆的有关性质——解答题1. 如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA ∥PE . （1）求证：AP ＝AO ；（2）若弦AB ＝12，求tan ∠OPB 的值；（3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .G FEOAB DC2.、如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上的一动点，连结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF . （1）当∠AOB ＝30°时，求弧AB 的长； （2）当DE ＝8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由.FE DCBA O xy3. 已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点A 、B 、G 重合），直线DE交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P .设⊙O 的半径为r .（1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r 2（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图2点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.4. 已知 △ABC ，分别以AC 和BC 为直径作半圆1O 、2,O P 是AB 的中点.（1）如图8，若△ABC 是等腰三角形，且AC =BC ，在,AC BC 上分别取点E 、F ，使12,AO E BO F ∠=∠则有结论①12,PO E FO P ≅②四边形12PO CO 是菱形.请给出结论②的证明；（2）如图9，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；（3）如图10，若PC 是1O 的切线，求证：2223AB BC AC =+5. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB=2，∠B=30°，C 是弦AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD.（1）弦长AB=________（结果保留根号）；图8O2O1PAD EFBDABCDEF P.OG （图1） .AB CDE.OG （图2）（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.6、已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.（1）如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；（2）如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.7、如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．MODACBN8、已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙0，⊙O经过B、D两点，过点B 作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．(1)求证：AE=CK；(2)如果AB=a，AD=13a (a为大于零的常数)，求BK的长；(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．9、已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧⌒AD上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．10、如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．（1）求线段OD的长；（2）若1tan2C∠=，求弦MN的长．（第9题图）EFGAOB CDKOABD CMN11、在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F 为弧AD 上一点，BC=AF ，延长DF 与BA 的延长线交于E ． ⑴求证△ABD 为等腰三角形． ⑵求证AC •AF=DF •FE12、如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O (0，0)，与x 轴相交于点A (5，0)，过点A 的直线AB 与y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．(1)已知AC ＝3，求点Ｂ的坐标； (4分)(2)若AC ＝a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数xky =的图象经过点1O ，求k 的值(用含a 的代数式表示)． (4分)13、已知：如图，∆ABC 错误！未找到引用源。

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第24章圆的有关性质》选择专题训练（附答案）1．如图，点A、B、D都在⊙O上，若∠ABD＝40°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．80°C．100°D．140°2．如图，已知OB，OD是⊙O的半径，BC、CD、DA是⊙O的弦，连接AB，若∠BOD＝100°，则∠BCD度数为（）A．100°B．120°C．130°D．140°3．在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（）A．140°B．100°C．80°D．40°4．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC＝125°，那么∠AOC等于（）A．125°B．120°C．110°D．130°5．如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝108°，则∠α＝（）A．72°B．108°C．120°D．144°6．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或77．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，AE＝1，则弦CD的长是（）A．5B．C．D．68．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．都不能9．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OA⊥BC于点E，若BC＝OB，则∠D的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°10．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．∠CAB＝50°，则∠D＝（）度．A．30B．40C．50D．6011．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD＝6，BE＝1，则AE＝（）A．5B．8C．9D．1012．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，则圆心O到弦AB的距离为（）A．1B．C．D．213．如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于点M，若AB＝24，CD＝26．则MD的长为（）A．5B．7C．8D．1014．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠AOB的度数是（）A．90°B．100°C．108°D．110°15．如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，D是（靠近C）弧CB的三等分点，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为（）A．B．2C．3D．216．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠A＝40°，则∠BOC是（）A．100°B．80°C．60°D．40°17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB＝40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°18．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠CAB＝50°，则∠D的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°19．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40°，则∠OBC的度数是（）A．30°B．50°C．60°D．80°20．⊙O中∠AOC＝80°，B为弧AC中点，AD∥BC，则∠COD度数为（）A．20°B．30°C．40°D．45°参考答案1．解：∵∠ABD＝40°，∴∠AOD＝2∠ABD＝2×40°＝80°，故选：B．2．解：∵∠BOD和∠BAD都对，∴∠BAD＝∠BOD＝×100°＝50°，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故选：C．3．解：设∠A的度数为2x，则∠B、∠C的度数分别为4x、7x，由题意得：2x+7x＝180°，解得：x＝20°，则∠B＝4x＝80°，故选：C．4．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∴∠D＝180°﹣125°＝55°，∴∠AOC＝2∠D＝110°．故选：C．5．解：作所对的圆周角∠ADB，如图，∵∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣108°＝72°，∵∠ADB＝∠AOB，∴∠α＝2×72°＝144°．故选：D．6．解：当油面没超过圆心O，油面宽CD为8cm时，过O作OG⊥AB于G，交CD于H，连接OA，OC，则OH⊥CD，∴AG＝AB＝3（cm），CG＝CD＝4（cm），∵截面⊙O半径为5cm，∴OA＝5cm，∴OG＝＝＝4（cm），OH＝＝＝3（cm），即弦AB的弦心距是4cm，弦CD的弦心距是3cm，则OG﹣OH＝4﹣3＝1（cm），即当油面没超过圆心O时，油上升了1cm；当油面超过圆心O时，同理得OH'＝3cm，则OG+OH'＝4+3＝7（cm），即油面AB上升了7cm；故选：D．7．解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BE＝5，AE＝1，∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，AB＝AE+BE＝6，∴OC＝OA＝3，∴OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△COE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，∴CD＝2CE＝2，故选：C．8．解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B．9．解：∵OA⊥BC，∴BE＝EC＝BC，＝，∵BC＝OB，∴＝，∴∠BOE＝60°，∴∠D＝∠BOE＝30°，故选：B．10．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝50°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝40°，∴∠D＝∠B＝40°，故选：B．11．解：连接OC，设⊙O的半径为R，则AO＝OB＝OC＝R，∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝6，∴CE＝DE＝3，∠CEO＝90°，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，即R2＝32+（R﹣1）2，解得：R＝5，即OB＝OA＝5，∵BE＝1，∴AE＝AO+OB﹣BE＝5+5﹣1＝9，故选：C．12．解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，∵OC⊥AB，OC过圆心O，AB＝2，∴AC＝BC＝，∠OCA＝90°，由勾股定理得：OC＝＝＝1，即圆心O到弦AB的距离为1，故选：A．13．解：连接OA，如图所示：∵CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB＝24，∴AM＝BM＝AB＝12，OA＝OD＝CD＝13，在Rt△OAM中，由勾股定理得：OM＝＝＝5，∴DM＝OD﹣OM＝13﹣5＝8，故选：C．14．解：∵∠ACB和∠AOB都对，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×54°＝108°．故选：C．15．解：如图，连接AD，P A，OD，DB．∵OC⊥AB，OA＝OB，∴P A＝PB，∠COB＝90°，∵＝2，∴∠DOB＝×90°＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD＝60°∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB•sin∠ABD＝2，∵PB+PD＝P A+PD≥AD，∴PD+PB≥2，∴PD+PB的最小值为2，故选：B．16．解：∵∠A和∠BOC都对，∴∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°．故选：B．17．解：∵BC∥OA，∠AOB＝40°，∴∠OBC＝∠AOB＝40°，∵OA＝OB，∠AOB＝40°，∴∠OBA＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝40°+70°＝110°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故选：C．18．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝50°，∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，∴∠D＝∠ABC＝40°，故选：C．19．解：∵∠A＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝＝50°．故选：B．20．解：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴，∵B为弧AC中点，∴＝，∴∠COD＝∠AOC＝40°．故选：C．。

1° ° D CB A O圆的有关性质【知识要点】 1．圆的定义：（1）动态定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

（2）静态定义：在平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r ）所有点的集合叫做圆：2.圆的相关概念弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆：3.垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

由此得到推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。

4.圆的轴对称性：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。

5..圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形6．圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

7．弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

8..圆周角定理及推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆 四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆 定理：圆内接四边形的对角互补【基础和能力训练】 一、选择题1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰2.（2014•毕节地区）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ） A 6 B 5 C 4 D 33. （ 2014•珠海）如图，线段AB 是⊙O 的直径， 弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠AOD 等于（ ） A 160° B 150° C 140° D 120°4.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为（ ） A 、50° B 、80° C 、100° D 、130°5.（2015上海）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A 、AD ＝BD ；B 、OD ＝CD ；C 、∠CAD ＝∠CBD ；D ∠OCA ＝∠OCB ．6． 如图：是小明完成的.作法是：取⊙O 的直径AB ，在⊙O 上任取一点C 引弦CD ⊥A B.当C 点在半圆上移动时(C 点不与A 、B 重合)，∠OCD 的平分线与⊙O 的交点P 必（ ） A 。

人教版九年级数学上册《圆的有关性质》能力测试题及参考答案一、选择题1.如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=8cm,则油面的深度为（）A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm第1题第2题第3题第4题2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O上的两点,连接AC,OD,CD,且AC//OD,若AB=6,∠ACD=15°,则AC的长为（）A.2√2B.4C.3√2D.3√33.如图,点A,B,C,D都在⊙O上,BD为⊙O的直径,若∠A=65°,则∠DBC的值是（）A.15°B.25°C.35°D.65°4.如图,AB为⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,若BD=BC,∠ABC=65°,则∠BOD 的度数（）A.65°B.60°C.50°D.25°5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD,∠BAC=28°,则∠D的度数是（）A.56°B.58°C.60°D.62°第5题第6题第7题第8题6.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD=84°,则∠C的度数为（）A.88°B.92°C.106°D.138°7.如图,在⊙O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=45°,∠APD=80°,则∠B的大小是（）.A.35°B.45°C.60°D.70°8.如图,点A,B,C是⊙O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交⊙O于点F,则∠BAF等于（）A.12.5°B.15°C.20°D.22.5°̂的中点,连接9.如图,在⊙O中,弦AB⊥CD,垂足为E,F为CBDAF,BF,AC,AF交CD于点M,过点F作FH⊥AC,垂足为G,交⊙O于点H.̂=DF̂②HC = BF③MF = FC④DF̂+AĤ= BF̂+AF̂.其中现有以下结论:①CF成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,点P在⊙O的直径AB上,作正方形PCDE和正方形PFGH,其中点D,G在直径所在的直线上,点C,E,F,H 都在⊙O 上.若两个正方形的面积之和为16,OP=√2,则DG 的长是（ ） A.6√2 B.2√14 C.7 D.4√3第10题 第11题 第12题 第13题11.如图,⊙O 经过菱形ABCD 的顶点A,B,C,顶点D 在⊙O 内,延长AD,CD 与⊙O 分别交于点E,F,连接 BE,BF.下列结论:①BE=BF ②AB ̂=AF ̂=EF ̂③∠ABC=90°+ 12∠EBF,其中正确的结论是（ ） A.①② B. ①③ C. ②③ D.①②③12.如图,△ABC 内接于⊙O,∠BAC=45°,AD ⊥BC,垂足为D,BD=6,DC=4,则AB 的长（ ）A.6√2B.10C.12D.6√513.如图,在半径为√13的⊙O 中,弦AB 与CD 交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD 的长（ ）A.2√6B.2√10C.2√11D.4√314.过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为（ ）A.(4,176) B .(4,3) C.(5,176) D .(5,3) 15.如图,△ABC 为等边三角形,AB=3.若P 为△ABC 内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB 长度的最小值为（ ）A.1.5B.√3C.√3D.216.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AB=4,∠AOC=120°,P 为⊙O 上的一动点,Q 为AP 的中点,连接CQ,则线段CQ 的最大值为（ ）A.3B.1+√6C.1+3√2D.1+√7二、填空题17.如图,在⊙O 的内接五边形ABCDE 中,∠CAD=35°,则∠B+∠E 的度数_______.18.如图,AB,CD 是⊙O 的直径,弦BE 与CD 交于点F,F 为BE 中点,AF//ED,若AF 的长为 2√3,则BC 的长为___.第17题 第18题 第19题19.如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD,垂足为E,AB̂=BF ̂,CE =1,AB=6,则弦AF 的长度为___. 20.如图,⊙E 与y 轴相交于A,B 两点(点A 在点B 的上方),与x 轴的正半轴相交于点C,且圆心E 的坐标为(m,0),半径为5;直线l 的函数表达式为y=34x+n,且经过点A 并与x 轴相交于点D(-/2,0).若以C为顶点的抛物线过点B,则该抛物线的函数表达式为___.第20题第21题第22题21.如图,AB是⊙O的弦,AB= 6√3,∠AOB=120°,C为⊙O上的一动点,D,E分别是AC,OB的中点,连接DE,则线段DE的取值范围是____.22.如图,等边△ABC的边长为3,F为BC上的动点,DF⊥AB于点D,EF⊥AC于点E,则DE长的最小值为____.三、解答题̂的中点,连结CD,CA,AD.23.如图 1,AB是⊙O的直径,点D为AB下方⊙O上一点,点C为ABD(1)求证:OC平分∠ACD.(2)如图 2,延长AC,DB相交于点E.①求证:OC//BE.②若CE = 4√5,BD =6,求⊙O的半径.24.如图,⊙O为Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,BC=4√3,AC=4,点D是⊙O上的动点,且点C,D 分别位于AB的两侧.(1)求⊙O的半径;(2)当CD=4√2时,求∠ACD的度数;(3)设AD的中点为M,在点D的运动过程中,线段CM是否存在最大值?若存在,求出CM的最大值;若不存在,请说明理由.25.如图,在△ACE 中,AC=CE,⊙O 经过点A,C 且与边AE,CE 分别交于点D,F,点B 是AĈ上一点,且DF̂=BC ̂,连接AB,BC,CD. (1)求证:△CDE ≌△ABC;(2)若AC 为⊙O 的直径,填空:①当∠E =______时,四边形ABCD 为正方形;②当∠E =____时,四边形OCFD 为菱形.26.已知⊙O 中,弦AB=AC,点P 是∠BAC 所对弧上一动点,连接PA,PB.(1)如图①,把△ABP 绕点A 逆时针旋转到△ACQ,连接PC,求证:∠ACP+∠ACQ=180°;(2)如图②,若∠BAC=60°,试探究PA,PB,PC 之间的关系.参考答案一、选择题1-5 ADBCD 6-10 DABCB 11-15 BDCAB 16 D二、填空题17. 215° 18.2√619.485 20.y=−116(x −8)221.3√3-3≤DE ≤3√3+322.94 三、解答题23.(1)提示：圆心角定理，垂径定理.(2)①略②半径长5.24(1)半径长4.(2)15°(3)2√ 3+225.(1)略(2)①45°②60°26.(1)略(2)①PA=PB+PC。

圆的性质练习题1. 以下哪个说法是关于圆心的？- (A) 圆心是圆的中点- (B) 圆心位于圆周上- (C) 圆心与半径相等- (D) 圆心可以位于圆外答案：(A) 圆心是圆的中点2. 在一个圆中，有两条相交的弦AB和CD，若弦AB的长度为12，弦CD的长度为16，那么弦AB的一半加上弦CD的一半等于多少？答案：弦AB的一半加上弦CD的一半等于143. 下列哪个选项不能确定一个圆？- (A) 圆心和半径- (B) 直径和半径- (C) 弦和半径- (D) 弧和半径答案：(C) 弦和半径4. 若一个圆的直径为10，那么它的半径是多少？答案：半径是55. 下列哪个说法是关于切线的？- (A) 切线与圆相切于圆的内部- (B) 切线与圆相切于圆的外部- (C) 切线与圆的切点位于圆的任意位置- (D) 切线与圆不可能相切答案：(B) 切线与圆相切于圆的外部6. 如果AB是一个圆的直径，CD是一个切线，且切点为E，那么角CED的度数是多少？答案：角CED的度数是90度7. 以下哪个选项不能作为一个圆的弧长？- (A) 3- (B) 3π- (C) π/2- (D) 2π答案：(C) π/28. 若一个圆的半径为8，那么它的周长是多少？答案：周长是16π9. 若一个圆的周长为12π，那么它的直径是多少？答案：直径是610. 以下哪个说法是关于圆的面积的？- (A) 圆的面积与周长成正比- (B) 圆的面积与半径的平方成正比- (C) 圆的面积与直径成正比- (D) 圆的面积与弧度成正比答案：(B) 圆的面积与半径的平方成正比以上是关于圆的性质的练习题，希望能帮助你巩固对圆的相关概念的理解。

请根据题目给出的选项选择正确答案，并核对答案的准确性。

2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练基础题1. (2023江西)如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6第1题图2. (2023广东省卷)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()第2题图A. 20°B. 40°C. 50°D. 80°3. (2023广元)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，A C.若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是()A. 56°B. 33°C. 28°D. 23°第3题图4. (2023山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC ＝40°，则∠DBC的度数为()第4题图A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°5. (2023安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝()A. 60°B. 54°C. 48°D. 36°第5题图6. (2023赤峰)如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC ＝2∠COD，则∠CBD的度数是()第6题图A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7. [新考法—数学文化](2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合下图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是() A. 674寸 B. 25寸C. 24寸D. 7寸第7题图8. (2023杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝()第8题图A. 23°B. 24°C. 25°D. 26°9. (2023广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为()第9题图A. 20 mB. 28 mC. 35 mD. 40 m10. (2023凉山州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝()A. 1B. 2C. 2 3D. 4第10题图11. 如图，点A，B，D在⊙O上，CD垂直平分AB于点C.现测得AB＝CD＝16，则圆形宣传图标的半径为()第11题图A. 12B. 10C. 8D. 612. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是________；⊙O内一点D的坐标为(－2，1)，当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是________．第12题图13. (2023武汉)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BA C.(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；(2)若AB＝4，BC＝5，求⊙O的半径．第13题图拔高题14. (2023吉林省卷)如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是()A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°第14题图15. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 为弧AB 的中点，连接DE 与AB 交于点F .若AB＝1，记△ADF 的面积为S 1，△AEF 的面积为S 2，则S 1S 2的值为________．第15题图16. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，且点A 的坐标为(－2，0)，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠OCD ＝75°，则AD 的长为________．第16题图参考答案与解析1. D 【解析】本题考查了确定圆的条件及圆的有关定义及性质．∵过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，∴要经过题中所给的3个点画圆，除选定直线l 外的点P 外，再在直线l 上的A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个即可画圆．∵从A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个点的方法可以是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种，∴最多可以画出圆的个数为6.2. B 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝50°，∴∠ACB ＝90°，∠B ＝180°－50°－90°＝40°.∵AC ＝AC ，∴∠D ＝∠B ＝40°.3. C 【解析】∵∠BOD ＝124°，∴∠AOD ＝180°－124°＝56°，∴∠ACD ＝12∠AOD ＝28°. 4. B 【解析】∵BD 经过圆心O ，∴∠BCD ＝90°.∵∠BDC ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝90°－∠BDC ＝50°.5. D 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠BAE ＝（5－2）×180°5＝108°，∠COD ＝360°5＝72°，∴∠BAE －∠COD ＝108°－72°＝36°. 6. A 【解析】∵∠BCD ＝105°，∴∠BAD ＝180°－105°＝75°，∴∠BOD ＝150°.∵∠BOC＝2∠COD ，∴∠COD ＝13 ∠BOD ＝50°，∴∠CBD ＝12∠COD ＝25°. 7. C 【解析】∵BD 是圆的直径，∴∠BCD ＝90°.∵BD ＝25，CD ＝7，∴在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BC ＝252－72 ＝24(寸).8. D 【解析】如解图，连接OC ，∵∠ABC ＝19°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝38°.∵半径OA ，OB 互相垂直，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°－38°＝52°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝26°.第8题解图9. B 【解析】如解图，在Rt △OAB 中，由勾股定理，得AO 2＋AB 2＝OB 2，即(R －7)2＋(372)2＝R 2，解得R ≈28(m).第9题解图10. B 【解析】如解图，连接OB ，设OA 交BC 于点E ，∵∠ADB ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵OA ⊥BC ，BC ＝23 ，∴BE ＝12 BC ＝3 .在Rt △BOE 中，sin ∠AOB ＝BE OB，∴sin 60°＝3OB ＝32，∴OB ＝2，∴OC ＝2.第10题解图11. B 【解析】如解图，连接OA ，设圆形宣传图标的半径为R ，∵CD 垂直平分AB ，AB＝CD ＝16，∴CD 过点O ，AC ＝BC ＝12 AB ＝12×16＝8，∠DCA ＝90°.∵AO ＝OD ＝R ，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理，得OC 2＋AC 2＝OA 2，即(16－R )2＋82＝R 2，解得R ＝10，即圆形宣传图标的半径为10.第11题解图 12. 552 ；552 －5 【解析】如解图，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BC ＝12 AB ＝32.由勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2 ＝552.当OD ⊥AB 时，点D 到AB 的距离最小，由勾股定理，得OD ＝22＋12 ＝5 ，∴点D 到AB 的距离的最小值为552 －5 .第12题解图13. (1)证明：由圆周角定理，得∠ACB ＝12 ∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC . ∵∠ACB ＝2∠BAC ，∴∠AOB ＝2∠BOC ；(2)解：如解图，过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，连接BD .则∠DOB ＝12∠AOB ，AE ＝BE . ∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠DOB ＝∠BOC .∴BD ＝BC .∵AB ＝4，BC ＝5 ，∴BE ＝2，DB ＝5 .在Rt △BDE 中，∵∠DEB ＝90°，∴DE ＝BD 2－BE 2 ＝1.在Rt △BOE 中，∵∠OEB ＝90°，∴OB 2＝(OB －1)2＋22，∴OB ＝52， 即⊙O 的半径是 52.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接BC ，∵∠BAC ＝70°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝140°.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝180°－140°2＝20°.∵点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，∴0°<∠OCP <20°.∵∠BPC ＝∠BOC ＋∠OCP ＝140°＋∠OCP ，∴140°<∠BPC <160°，故选D.第14题解图15. 2(2 ＋1) 【解析】如解图，连接OE 交AB 于点G ，连接AC .根据垂径定理的推论，得OE ⊥AB ，AG ＝BG .由题意可得，AC 为⊙O 的直径，AC ＝2 ，则圆的半径是22.根据正方形的性质，得∠OAF ＝45°，∴OG ＝12 ，EG ＝2－12.∵OE ∥AD ，∴△ADF ∽△GEF ，∴FE FD ＝EG DA ＝2－12 .∵△ADF 与△AEF 等高，∴S 1S 2 ＝S △ADF S △AEF＝DF EF ＝2(2 ＋1).第15题解图16. 23 【解析】如解图，连接OD ，BD .∵A (－2，0)，∴OA ＝OB ＝2，∴AB ＝4.∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝75°，∴∠DOC ＝180°－2×75°＝30°，∴∠DOB ＝90°－30°＝60°，∴∠DAB ＝12∠DOB ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ＝AB ·cos 30°＝23 .第16题解图。

专题24.1 圆的有关性质目录圆的认识 (1)圆的相关概念 (3)求相关角度 (4)求相关长度 (6)有关证明 (8)垂径定理的计算 (10)垂径定理的应用 (13)圆周角圆心角相关概念 (18)圆周角与圆心角求角度 (20)圆周角与圆心角求长度 (22)垂径定理的推论 (26)内接四边形 (28)证明综合....................................................................................................................................................31圆的认识【例1】下列结论正确的是（ ）A ．半径相等的两条弧是等弧B ．半圆是弧C ．半径是弦D ．弧是半圆【解答】解：A 、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；B 、半圆是弧，原结论正确；C 、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；【变式训练1】数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（ ）A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”【解答】解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．故选：C．【变式训练2】下列说法错误的是（ ）A．直径是圆中最长的弦B．半径相等的两个半圆是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半圆是圆中最长的弧【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，说法正确，不符合题意；B、半径相等的两个半圆是等弧，说法正确，不符合题意；C、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意；D、由于半圆小于优弧，所以半圆是圆中最长的弧说法错误，符合题意．【变式训练3】在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）A．无数个B．3个C．2个D．1个【解答】解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合，故选：A．圆的相关概念【例2】已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）A．3cm B．6cm C．1.5cm D【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．故选：B．【变式训练1】已知⊙O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为　6　厘米．【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O中最长的弦为12厘米，∴⊙O的直径是12厘米．∴⊙O的半径是6厘米．故答案为：【例3】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．【变式训练1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，正确的只有1个，故选：A．求相关角度【例4】如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）A．38°B．52°C．76°D．104°【解答】解：∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝52°，∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．故选：C．【变式训练1】如图，将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO的度数为（ ）A．150°B．120°C．100°D．60°【解答】解：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B＝60°，∴∠ACO＝180°﹣60°＝120°．故选：B．【例5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝65°，∵∠CDB＝∠DCE+∠A，∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．【变式训练1】如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O 于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．【解答】解：（1）连OB，如图，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠2＝∠E ，∴∠E ＝2∠A ，∴∠DOE ＝∠A +∠E ＝3∠A ＝60°．求相关长度【例6】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝若以点C 为圆心，CA 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则⊙C 的半径为（ ）A ．B ．8C ．6D ．5【解答】解：如图，连结CD ，∵CD 是直角三角形斜边上的中线，∴CD =12AB =12×10＝5故选：D ．【变式训练1】如图，AB 是⊙O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点（C 不与A 、B 重合），CH ⊥AB ，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若⊙O 的半径是3，则MH 长的最大值是（ ）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH=12 BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．【变式训练2】如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）A．6B．5C．4D．2【解答】解：如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，∴OC＝OA10，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C ．【变式训练3】如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，BC ＝4，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．3D 【解答】解：连接AM ，∵点B 和M 关于AP 对称，∴AB ＝AM ＝3，∴M 在以A 圆心，3为半径的圆上，∴当A ，M ，C 三点共线时，CM 最短，∵AC =5，AM ＝AB ＝3，∴CM ＝5﹣3＝2，故选：A ．有关证明【例7】已知，如图，在⊙O 中，C 、D 分别是半径OA 、BO 的中点，求证：AD ＝BC ．【解答】解：∵OA 、OB 是⊙O 的两条半径，∴AO ＝BO ，∵C、D分别是半径OA、BO的中点，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，AO=BO∠O=∠O，OD=OC∴△OCB≌△ODA（SAS），∴AD＝BC．【变式训练1】已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB 于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？【解答】解：AC与BD相等．理由如下：连接OC、OD，如图，∵OA＝OB，AE＝BF，∴OE＝OF，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°，在Rt△OEC和Rt△OFD中，OE=OFOC=OD，∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），∴∠COE＝∠DOF，∴AC=BD，∴AC＝BD．垂径定理的计算【例8】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的半径为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【解答】解：连接OC ，∵AB ⊥CD ，AB 过圆心O ，CD ＝8，∴CP ＝DP ＝4，设⊙O 的半径为R ，∵AP ＝8，∴OP ＝8﹣R ，在Rt △COP 中，由勾股定理得：CP 2+OP 2＝OC 2，即（8﹣R ）2+42＝R 2，解得：R ＝5，∴⊙O 的半径为5，故选：C．【变式训练1】如图，CD 是圆O 的弦，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝12，BE ＝3，则四边形ACBD 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，连接OC ，∵AB ＝12，BE ＝3，∴OB ＝OC ＝6，OE ＝3，∵AB ⊥CD ，在Rt △COE 中，EC =∴CD ＝2CE ＝∴四边形ACBD 的面积=12AB ⋅CD =12×12×=故选：A ．【变式训练2】如图，正方形ABCD 和正方形BEFG 的顶点分别在半圆O 的直径和圆周上，若BG ＝4，则半圆O 的半径是（ ）A．4+B．9C．D．【解答】解：连接OC，OF，设OB＝x，∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，在Rt△BCO中，OC=，在Rt△FEO中，OF=∵OF＝OC，∴5x2＝x2+8x+32，解得x＝4或x＝﹣2（舍去）当x＝4时，OC＝则半圆O的半径是故选：C．【变式训练3】已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）A ．1个B ．3个C ．6个D ．7个【解答】解：∵CD 是直径，∴OC ＝OD =12CD =12×10＝5，∵AB ⊥CD ，∴∠AMC ＝∠AMD ＝90°，∵AM ＝4.8，∴OM ==1.4，∴CM ＝5+1.4＝6.4，MD ＝5﹣1.4＝3.6，∴AC =8，AD ==6，∵AM ＝4.8，∴A 点到线段MD 的最小距离为4.8，最大距离为6，则A 点到线段MD 的整数距离有5，6，A 点到线段MC 的最小距离为4.8，最大距离为8，则A 点到线段MC 的整数距离有5，6，7，8，直径CD 上的点（包含端点）与A 点的距离为整数的点有6个，故选：C ．垂径定理的应用【例9】往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB ＝48cm ，水的最大深度为16cm ，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm ．A ．10B ．14C ．26D ．52【解答】解：如图所示：由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，∵AB＝48cm，∴BD=12AB=12×48＝24（cm），设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，所以2r＝52，故选：D．【变式训练1】一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（ ）A．12πcm B．2πcm C．πcm D．2cm【解答】解：连接OA，OB，如图，根据题意得：OA＝6cm，弦心距OC＝3cm，∴cos∠AOC=OCOA=36=12，∴∠AOC ＝60°，则∠AOB ＝120°，∴AC ＝，AB ＝2AC ＝，∴S 阴影＝S 扇形OAB ﹣S △OAB =120π×62360−12××3=cm 2）．设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为h （cm ），依题意得：62πℎ=，∴ℎ故选：B ．【变式训练2】往直径为78cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB ＝72cm ，则水的最大深度为（ ）A ．36cmB ．27cmC ．24cmD ．15cm【解答】解：连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C 交⊙O 于D ．∵OC ⊥AB ，∴AC ＝CB ＝36（cm ），∵OA ＝OB ＝39cm ，∴OC ==15（cm ），∴CD ＝39﹣15＝24（cm ），故选：C ．【变式训练3】如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm ，假设球的横截面与水面交于A ，B 两点，AB ＝8cm ．若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s ，则球体下落的平均速度为（ ）A．0.5cm/s B．0.75cm/s C．1cm/s D．2cm/s 【解答】解：设圆心为O，连接OB，则OB＝5，过点O作OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D，则BD=12AB=4cm，在Rt△BOD中，OD=3cm，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2cm，∴从目前所处位置到究全落入水中，球体下落的平均速度为2÷4＝0.5cm/s．故选：A．【例10】如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度AB为7.2m，拱顶高出水面（CD）2.4m，现有一艘宽EF为3m且船舱顶部为长方形并高出水面1.5m的货船要经过这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由．【解答】解：货船能顺利通过这座拱桥，理由如下：如图，连接ON、OA．∵OC⊥AB，AB＝7.2m，∴AD=12AB＝3.6（m），设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，解得：r＝3.∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面1.5m，∴CH＝2.4﹣1.5＝0.9（m），∴OH＝3.9﹣0.9＝3（m），在Rt△OHN中，HN2＝ON2﹣OH2＝3.92﹣32＝6.21（m2），∴HN=m），∴MN＝2HN＝m）＞3m，∴货船能顺利通过这座拱桥．【变式训练1】诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【解答】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD=12AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN=∴MN＝2EN＝＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．圆周角圆心角相关概念【例11】下列说法中，正确的个数为（ ）（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；（2）优弧一定比劣弧长；（3）弧相等则所对的圆心角相等；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；（3）弧相等则所对的圆心角相等．正确；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；故选：B．【变式训练1】下列说法正确的是（ ）A．同弧或等弧所对的圆心角相等B．所对圆心角相等的弧是等弧C．弧长相等的弧一定是等弧D．平分弦的直径必垂直于弦【解答】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，本选项符合题意；B、所对圆心角相等的弧是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；C、弧长相等的弧一定是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；D、平分弦的直径必垂直于弦，错误此弦不能是直径，本选项不符合题意．故选：A．【变式训练2】下列说法中，正确的是（ ）A．同心圆的周长相等B．面积相等的圆是等圆C．相等的圆心角所对的弧相等D．平分弧的弦一定经过圆心【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．B、正确，本选项符合题意．C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．故选：B．【变式训练3】下列说法中，正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径也平分弦所对的弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法错误；②平分弦（不是直径）的直径也平分弦所对的弧，本小题说法错误；③能够重合的两条弧是等弧，本小题说法错误；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧，本小题说法正确；故选：A．圆周角与圆心角求角度【例12】如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（ ）A．158°B．58°C．64°D．116°【解答】解：∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°，∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．故选：D．【变式训练1】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故选：A．【变式训练2】如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）A．25°B．50°C．65°D．75°【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC=23×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA=12（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．【变式训练3】如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）A．100°B．110°C．115°D．120°【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC=12×(360°−130°)=115°．故选：C．圆周角与圆心角求长度【例13】如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（ ）A．5B．6C．7D．8【解答】解：连接OF，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=AF，∵D为弧AC的中点，∴AD=DC，∴ADC=DAF，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为10，∴OF＝OA＝5，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF==4，∴DE＝EF＝4，∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，故选：D．【变式训练1】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）A．10B．13C．12D．11【解答】解：连接OF，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=AF，∵D为弧AC的中点，∴AD=DC，∴ADC=DAF，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为15，∴OF＝OA=15 2，∵AE＝3，∴OE＝OA﹣AE=9 2，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF==6，∴DE＝EF＝6，∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，故选：C．【变式训练2】如图，在半径为⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB＝CD＝8，则OP的长为（ ）A．B．C．4D．2【解答】解：连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，则∠OFP＝∠OEP＝∠CEO＝∠AFO＝90°，∵AB⊥CD，∴∠EPF＝90°，∴四边形OFPE是矩形，∴OE＝FP，EP＝OF，∵OF⊥AB，OF过O，AB＝8，∴AF＝BF＝4，由勾股定理得：OF==2，同理OE＝2，即FP＝OE＝2，在Rt△OFP中，由勾股定理得：OP==故选：B．【变式训练3】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ ）A．10B．13C．15D．16【解答】解：如图，连接OF．∵DE ⊥AB ，∴DE ＝EF ，AD =AF ，∵点D 是弧AC 的中点，∴AD =CD ，∴AC =DF ，∴AC ＝DF ＝12，∴EF =12DF ＝6，设OA ＝OF ＝x ，在Rt △OEF 中，则有x 2＝62+（x ﹣3）2，解得x =152，∴AB ＝2x ＝15，故选：C ．垂径定理的推论【例14】如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于M ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AM ＝BMB ．CM ＝DMC ．AC =BCD ．AD =BD【解答】解：∵弦AB ⊥CD ，CD 过圆心O ，∴AM ＝BM ，AC =BC ，AD =BD，即选项A、C、D都正确，当根据已知条件不能推出CM和DM一定相等，故选：B．【变式训练1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC D．AD=BD【解答】解：∵AB⊥CD，CD过圆心O，∴AE＝BE，AC=BC，AD=BD，不能推出OE＝DE，所以选项A、选项C、选项D都不符合题意，只有选项B符合题意；故选：B．【变式训练2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．不能推出CE＝DE的条件是（ ）A．AB⊥CD B．AC=AD C．BC=BD D．OE＝ED【解答】解：当AB⊥CD时，CE＝DE．故A正确；当BC=BD或AC=AD时，CE＝DE，故BC都正确；故选：D．【变式训练3】如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，下列结论：①AC=AD；②BC=BD；③EO＝EB；④EC＝ED．其中一定成立的是（ ）A ．①③B ．①④C ．①②④D ．①②③④【解答】解：∵AB 是直径，AB ⊥CD ，∴AC =AD ，BC =BD ，EC ＝DE ，故①②④正确．故选：C ．内接四边形【例15】如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接OA ，OC ．若∠ABC ＝108°，则∠AOC 的度数为（ ）A ．72°B ．108°C ．144°D ．150°【解答】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠D +∠ABC ＝180°，∵∠ABC ＝108°，∴∠D ＝72°，∴∠BOC ＝2∠D ＝144°，故选：C ．【变式训练1】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线BD 垂直平分半径OC ，若∠ABD ＝50°，则∠ADC的大小为（ ）A．130°B．120°C．110°D．100°【解答】解：设BD交OC于E，连接OD，OA，∵BD垂直平分OC，∴OE=12OC=12OD，∠OED＝90°，∴∠ODE＝30°，∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵∠ABD＝50°，∴∠AOD＝2∠ABD＝100°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD=12（180°﹣∠AOD）＝40°，∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝40°+60°＝100°，故选：D．【变式训练2】如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（ ）A．85°B．75°C．70°D．65°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝15°，∴∠CAB＝75°，∴∠BDC＝∠CAB＝75°，故选：B．【变式训练3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，P是AD上一点，则∠APD等于（ ）A．120°B．125°C．135°D．150°【解答】解：连接OC，AC．∵弦CD垂直平分OB，∴OE=12OB=12OC，∴∠OCD＝30°，∴∠COB＝60°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝30°，∴∠ACD＝60°．∴∠APD＝180°﹣60°＝120°，故选：A．证明综合【例16】如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且AC∥DF．（1）求证：CG＝AG；（2）若AB＝12，求∠CAO和GD的长．【解答】（1）证明：∵AC∥DF，∴∠CDF＝∠ACD，∵CF=CF，∴∠CAF＝∠CDF，∴∠ACD＝∠CAF，∴AG＝CG；（2）解：如图，连接CO，∵AB⊥CD，∴AC=AD，CE＝DE，∵∠DCA＝∠CAF，∴AD=CF，∴AC=AD=CF，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，∵DF是直径，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，∵CE⊥AO，∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，∴CE＝DE，∵AG2＝GE2+AE2，∴AG2＝（AG）2+9，∴AG＝∴GE=∴DG＝【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=BC，点D是BC的中点，连结OC，AD，交于点E，连结BE，BD．（1）求∠EBA的度数．（2）求证：AE=．（3）若DE＝1，求⊙O的面积．【解答】解：（1）连接AC，∵AC=BC，∴∠AOC＝∠BOC＝90°∴∠CAB＝45°，∵点D是BC的中点，∴CD=BD，∴∠CAD＝∠EAB＝22.5°；（2）由（1）知，OC垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠DEB＝2∠EAB＝45°，∵AB是直径，∴∠D＝90°，∴BD＝sin45°BE，∴BE=，∴AE=；（3）∵DE＝1∴BD＝DE＝1，∴AE＝BE=∴AD=+1，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝（2OA）2，）2+1＝4OA2，∴OA2∴圆的面积为πOA2=一．选择题（共8小题）1．下列说法正确的是( )A ．直径是圆中最长的弦，有4条B ．长度相等的弧是等弧C ．如果A e 的周长是B e 周长的4倍，那么A e 的面积是B e 面积的8倍D ．已知O e 的半径为8，A 为平面内的一点，且8OA =，那么点A 在O e 上【解答】解：A 、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；B 、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；C 、如果A e 的周长是B e 周长的4倍，那么A e 的面积是B e 面积的16倍，故该选项不符合题意；D 、已知O e 的半径为8，A 为平面内的一点，且8OA =，那么点A 在O e 上，故该选项符合题意．故选：D ．2．小明在半径为5的圆中测量弦AB 的长度，下列测量结果中一定是错误的是( )A ．4B ．5C ．10D ．11【解答】解：Q 半径为5的圆，直径为10，\在半径为5的圆中测量弦AB 的长度，AB 的取值范围是：010AB <…，\弦AB 的长度可以是4，5，10，不可能为11．故选：D ．3．如图，O e 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE OB =，已知72DOB Ð=°，则E Ð等于( )A ．36°B ．30°C ．18°D ．24°【解答】解：如图：CE OB CO ==，得1E Ð=Ð．由2Ð是EOC D 的外角，得212E E Ð=Ð+Ð=Ð．由OC OD =，得22D E Ð=Ð=Ð．由3Ð是三角形ODE D 的外角，得323E D E E E Ð=+Ð=Ð+Ð=Ð．由372Ð=°，得372E Ð=°．解得24E Ð=°．故选：D ．4．如图，O e 的直径12AB =，弦CD 垂直AB 于点P ．若2BP =，则CD 的长为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，连接OC ，12AB =Q ，6OC OB \==，2PB =Q ，4OP \=，在Rt OPC D 中，CP ==，CD AB ^Q ，CP DP \=，2CD PC\==．故选：C．5．已知Oe的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则Oe上到弦AB所在直线的距离为2的点有( )A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：过O点作OC AB^，交Oe于P，如图，3OC\=，而5OA=，2PC\=，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，\在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为2．故选：B．6．如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面2AB m=，拱高3CD m=，则该拱门的半径为( )A．53m B．2m C．83m D．3m【解答】解：如图，取圆心为O ，连接OA ，设O e 的半径为r m ，则OC OA r ==m ，Q 拱高3CD m =，(3)OD r m \=-，OD AB ^，2AB m =Q ，112AD BD AB m \===，222OA AD OD =+Q ，2221(3)r r \=+-，解得：53r =，\该拱门的半径为53m ，故选：A ．7．如图，在Rt ACB D 中60ACB Ð=°，以直角边AB 为直径的O e 交线段AC 于点E ，点M 是弧AE 的中点，OM 交AC 于点D ，O e 的半径是6，则MD 的长度为( )A B ．32C ．3D ．【解答】解：90ABC Ð=°Q ，60ACB Ð=°，30A \Ð=°，M Q 为弧AE 的中点，OM 过圆心O ，OM AD \^，90ADO \Ð=°，116322OD OA \==´=，633MD OM OD \=-=-=，故选：C ．8．如图，在O e 中，¶¶¶AB BCCD ==，连接AC ，CD ，则AC 与CD 的关系是( )A ．2AC CD =B ．2AC CD <C ．2AC CD >D ．无法比较【解答】解：如图，连接AB 、BC ，在O e 中，¶¶¶AB BCCD ==，AB BC CD \==，在ABC D 中，AB BC AC +>．2AC CD \<．故选：B ．二．填空题（共4小题）9．运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的环形周长的差等于125p 米，则跑道的宽度为 65　米．【解答】解：设运动场上的小环半径为r 米，大环半径半径为R 米，根据题意得：122()5R r p p -=，解得：65R r -=，即跑道的宽度为65米．故答案为：65．10．大圆的半径是R ，小圆的半径是大圆半径的一半，则大圆面积比小圆面积大 234R p ．【解答】解：由题意得，大圆面积为2R p ，小圆面积为21()24R R p p ×=，1344R R R p p p -=，\大圆面积比小圆面积大234R p ，故答案为：234R p ．11．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等分线”，“等分线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等分线段”（例如圆的直径就是圆的“等分线段” )．已知等边三角形的边长为4，则它的“等分线段”长度x 的取值范围是 x …【解答】解：如图，①等边三角形的高AD 是最长的“等分线段”，4AD ==；②当//EF BC 时，EF 为最短“等分线段”，此时，21()2EF BC =，即4EF =，解得EF =．所以，它的“等分线段”长x …故答案为：x …．12．如图，在平面直角坐标系中，放置半径为1的圆，圆心到两坐标轴的距离都等于半径，若该圆向x 轴正方向滚动2022圈（滚动时在x 轴上不滑动），此时该圆圆心的坐标为 (40441,1)p +　．【解答】解：如图，点(1,1)P ，点(1,0)A ，该圆向x 轴正方向滚动2022圈，点A 移动过的距离为2120224044p p ´´=，这点到原点O 的距离为40441p +，因此点P 的对应点的坐标为(40441,1)p +，故答案为：(40441,1)p +．三．解答题（共3小题）13．在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于(r r 为常数），到点O 的距离等于r 的所有点组成图形G ，ABC Ð的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ．求证：AD CD =．【解答】证明：根据题意作图如下：BD Q 是圆周角ABC 的角平分线，ABD CBD \Ð=Ð，\¶¶AD CD =，AD CD \=．14．如图，O e 的半径OC AB ^，D 为¶BC上一点，DE OC ^，DF AB ^，垂足分别为E 、F ，3EF =，求直径AB 的长．【解答】解：OC AB ^Q ，DE OC ^，DF AB ^，\四边形OFDE 是矩形，3OD EF \==，6AB \=．15．已知：如图，BD 、CE 是ABC D 的高，M 为BC 的中点．试说明点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一个圆上．【解答】证明：连接ME 、MD ，BD Q 、CE 分别是ABC D 的高，M 为BC 的中点，12ME MD MC MB BC \====，\点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一圆上．。

.圆的基本性质基础知识回放考点 1对称性圆既是① _____对称图形，又是______②对称图形。

任何一条直径所在的直线都是它的____③。

它的对称中心是 _____④。

同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点 2垂径定理定理：垂直于弦的直径平分⑤并且平分弦所对的两条___⑥。

常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于⑦，并且平分弦所对的两条_____⑧。

温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。

在这里总结一下：（ 1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（ 2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（ 3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（ 4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；考点 3圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑨，所对的弦也 _____⑩。

常用的还有：（ 1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角○，所对的弦___11○。

_____12（ 2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角○，所对的弧○____13______14。

方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。

温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。

否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。

以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。

九年级数学上册《第二十四章圆的有关性质》同步练习及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是（）A．4 B．5 C．6 D．72．下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．直径未必是弦3．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=25°，则∠BOC的度数是（）A．40°B．50°C．55°D．60°4．如图，⊙O的弦长为8cm，⊙O的半径为5cm，则弦AB的弦心距为（）A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm5．如图，在⊙O中，AB是弦∠E=30°，半径为4，OE=6.则AB的长（）A．√7B．√5C．2√7D．2√56．如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE=8，BG=2则⊙O的半径长是（）A．5 B．6.5 C．7.5 D．8⌢的三等分点∠COD=34°，则∠AOE的7．如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点D，C是BE度数是（）A．78°B．68°C．58°D．56°8．如图，在⊙O中AB=CD，若∠ABD=25°，则∠BED的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°二、填空题9．如图，点A、B、C在⊙O上，且AC∥OB，若∠BOC=42°，则∠AOC的度数为∘.10．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结BE.若AB=16，CD= 4，则BE的长为.11．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB=16米，拱高CD=4米，那么桥拱所在圆的半径OA=米．12．如图，在△ABC中∠ACB=90°，∠B=36°以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧DE所对的圆心角的度数．13．如图，点A，B，C在⊙O上∠ACB=35°，则∠OBA等于°.三、解答题14．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O.求证：∠A+∠C=180°.⌢=CD⌢．若∠A=50°，求∠B的度数．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径BC16．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB，若AB=4，CD=1求△BOD的面积．17．如图OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F.（1）求证：AC=BD；（2）若CD=8，EF=2求⊙O的半径.⌢的中点，OD与AC交于点E. 18．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为AC（1）证明：OD∥BC（2）若∠B＝70°求∠CAD的度数；（3）若AB＝4，AC＝3求DE的长.参考答案1．A2．B3．B4．C5．C6．A7．A8．C9．9610．1211．1012．18°13．5514．证明：如图，连接OD ，OB∵BD⌢=BD ⌢，BCD ⌢=BCD ⌢ ∴∠C =12∠BOD ，∠A =12(360°−∠BOD) ∴∠A +∠C =180°.15．解：如图，连接AC ．∵BC⌢=CD ⌢∴∠DAC=∠BAC．∵∠DAB=50°∴∠BAC=12∠DAB=25°．∵AB为直径∴∠ACB=90°．∴∠B=90°−∠BAC=65°．16．解：设OD=x，则OB=x．∵点C是AB的中点，OC过圆心O∴OC⊥AB．∵AB=4，CD=1∴BC=12AB=2OC=OD−CD=x−1．∵在Rt△BCO中OB2=OC2+BC2∴x2=(x−1)2+22．解得，x=52．∴OD=52．∴S△BOD=12⋅OD⋅BC=52．17．（1）证明：∵OA=OB，OE⊥AB，OE是半径∴AF=BF，CF=DF.∴AF−CF=BF−DF即AC=BD（2）解：如图，连结OC∵OE⊥AB，CD=8∴CF=DF=4，∠OFC=90°.∵EF=2∴42+(r−2)2=r2解得r=5.答：⊙O的半径为5.18．（1）证明：∵D为AC⌢的中点∴AD⌢=DC⌢∴OD⊥AC∵AB是直径∴∠ACB=90°，即BC⊥AC∴OD∥BC；（2）解：如图所示，连接OC∵D为AC⌢的中点∴OD⊥AC，AD⌢=DC⌢∴∠AOD=∠COD∵OD∥BC∵∠AOD=∠B=70°∴∠CAD=12∠COD=35°；（3）解：∵AB为直径∴∠ACB=90°∵AB＝4，AC＝3∴BC=√AB2−AC2=√42−32=√7，OA=OD=2 ∵D为AC⌢的中点∴AE=CE∵OA=OB∴OE=12BC=√72∴DE=OD−OE=2−√72.。

初中数学专题训练：圆的有关概念和性质（附参考答案）1．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10 cm，AB＝16 cm.若从目前太阳所处的位置到太阳完全跳出海平面的时间为16 min，则“图上”太阳升起的速度为( )A．1.0 cm/min B．0.8 cm/minC．1.2 cm/min D．1.4 cm/min2．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC⏜的度数是( )＝80°，则BDA．30°B．25°C．20°D．10°3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O 作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G.若DE＝3，EG＝2，则AB的长为( )A．4√3B．7C．8 D．4√54．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为( )C．105°D．110°5．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为( )A．2√3B．3√2C．2√5D．√5⏜的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB 6．如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为AB等于( )A．140°B．120°C．110°D．70°7．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠B＝20°，则∠CAD的度数是( )A．60°B．65°C．70°D．75°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)连接CP.若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为( )A．30°B．45°9．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是( )A．25°B．30°C．35°D．40°10．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A(2，0)，D(4，0)，以O为圆心，以OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是( )A．15°B．22.5°C．30°D．45°11．往水平放置的半径为13 cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示．若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为( )A．5 cm B．8 cmC．10 cm D．12 cm12．如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝( )A．23°B．24° C．25°D．26°13．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2√3，BC＝3，点P为△ABC 内一点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是( )A．3 B．3√3C．3√34D．3√3214．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为________．15．如图所示，点A，B，C是⊙O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO，CO，并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A＝60°，∠OCD＝40°，则∠ODC＝______°.16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝______．17．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示)让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB ，量得AB⏜的中心C 到AB 的距离CD ＝1.6 cm ，AB ＝6.4 cm ，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为_____cm.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝√33x ＋2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_______.19．如图，在⊙O 中，两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E .(1)M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求⊙O 的半径长； (2)点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF ⊥BD .20．如图，已知AC 为⊙O 的直径，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PD 经过⊙O 上的点B 且∠CBD ＝∠CAB ，连接OP 交AB 于点M .求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)AM 2＝OM ·PM .21．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心、3为半径的⊙O与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，P是边OA上的动点，则PC＋PD的最小值为_______.22．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC ＝∠ADB.(1)求证DB平分∠ADC，并求出∠BAD的大小；(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC＝AD，BF＝2，求此圆的半径长.参考答案1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．A7．C 8．D 9．A 10．C11．B 12．D 13．D17． 4 18．2√314．45°15．80 16．29419．(1)⊙O的半径长为3√5(2)证明略20．(1)证明略(2)证明略21．2√1022．(1)证明略∠BAD＝90°(2)圆的半径长为4。

圆的性质一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，则弧AB 的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．200°第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2．如图，AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠AOC ＝（ ）A ．80°B ．100°C ．120°D ．140°3．如图，AB 为⊙O 直径，点D 是AB 上方圆上异于A 、B 的一点，若∠BOC ＝130°，则∠D 的度数（ ）A ．50°B ．25°C ．70°D ．35°4．如图，AB 为⊙O 直径，点C ，D 在⊙O 上，AĈ=BC ̂，AD 与CO 交于点E ，∠DAB ＝30°，若AO =√3，则CE 的长为（ ）A ．1B ．√32C ．√3−1D ．2√3−25．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＝28°，则∠OAC 的大小是（ ）A ．42°B ．52°C ．62°D ．72°第5题图 第6题图 第7题图 第8题图6．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，∠OBA ＝26°，D 为⊙O 上一点，则∠ADC 的度数是（ ）A．52°B．64°C．37°D．32°7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D 的度数是（）A．56°B．58°C．60°D．62°8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．100°C．140°D．160°9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（）A．25°B．30°C．32.5°D．35°第9题图第10题图第11题图10．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB=√2，BC＝1，则⊙O的半径为（）A．√3B．√52C．√102D．√2+12二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AĈ的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝DC，∠DAC＝25°，则∠ABC＝°．第12题图第14题图第16题图是17题图13．若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是．14．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝26°，则∠BOC＝．15．在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=4√3cm，∠COD＝90°，则AB与CD之间的距离是cm．16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝15°，则∠BCD的度数为．17．如图，四边形BCDE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，满足AB⊥CD于点F，连接AE，BD．若∠ABC＝∠DBE，CF＝2AF＝4，则点E到线段AB的距离为．三．解答题一（共3小题，每小题6分，共18分）18．有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB＝18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD等于多少cm？̂=AD̂，AC交BD于点G．若∠COD 19．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝126°，求∠AGB的度数．20．如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，CÊ=2AÊ，DE∥AB交OC 于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．四．解答题二（共3小题，每小题8分，共24分）21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝35°，（1）求∠D的度数；（2）若∠ACD＝65°，求∠CEB的度数．22．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD、CD．（1）判断△BDE的形状，并说明理由；（2）若AB＝13，BC＝12，求BD的长．23．如图，AB，CD为⊙O直径，弦DE，BF分别交半径AO，CO于点G，H，且∠FBA＝∠EDC．（1）求证：DE＝BF．̂=EF̂=FĈ，且∠DOB＝∠EGO，求AĈ的度数．（2）若AE五．解答题二（共3小题，每小题10分，共20分）24．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．25．如图，四边形APBC内接于圆，∠APC＝60°，AB＝AC，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若AP＝3，BP＝2，求PC的长；（3）若∠P AC＝90°，AB＝2√3，求PD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：∵圆心角∠AOB＝100°，∴弧AB的度数为100°，故选：C．2．【解答】解：∵∠D＝40°，∴∠BOC＝2∠D＝80°，∴∠AOC＝100°．故选：B．3．【解答】解：∵∠BOC＝130°，∴∠AOC＝50°，∴∠D=12∠AOC=12×50°＝25°．故选：B．4．【解答】解：∵AĈ=BĈ，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵∠DAB＝30°，AO=√3，∴OE＝OA•tan30°=√3×√33=1，∵OA＝OC=√3，∴CE＝OC﹣OE=√3−1．故选：C．5．【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝28°，∴∠AOC＝56°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA=12×（180°﹣56°）＝62°．故选：C．6．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AĈ=BĈ，∠BOC+∠OBA＝90°，∴∠ADC=12∠BOC，∵∠OBA＝26°，∴∠BOC＝90°﹣26°＝64°，∴∠ADC=12×64°＝32°，故选：D．7．【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝28°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°，∴∠B＝∠D＝62°，故选：D．8．【解答】解：∵∠AOC＝160°，∴∠ADC=12∠AOC＝80°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，故选：B．9．【解答】解：连接BE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，故选：B．10．【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．∵∠AOC＝90°，∴∠ABC=12（360°﹣90°）＝135°，∴∠ABE＝45°，∵∠E＝90°，AB=√2，∴AE＝EB＝1，∵BC＝1，∴EC＝2，∴AC=√AE2+CE2=√22+12=√5，∴OA＝OC=√22AC=√102．故选：C．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．【解答】解：如图，连接OD ，交AC 于F ，∵D 是AC ̂的中点，∴OD ⊥AC ，AF ＝CF ，∴∠DFE ＝90°，∵OA ＝OB ，AF ＝CF ，∴OF =12BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，在△EFD 和△ECB 中，{∠DBE =∠BCE =90°∠DEF =∠BEC DE =BE，∴△EFD ≌△ECB （AAS ），∴DF ＝BC ，∴OF =12DF ，∵OD ＝3，∴OF ＝1，∴BC ＝2，∴AC =√AB 2−BC 2=√62−22=4√2．故答案为：4√2．12．【解答】解：∵AD ＝AC ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝25°，∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠ABC＝180°﹣∠D＝180°﹣130°＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补，难度不大．13．【解答】解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，∴劣弧所对圆心角的度数为360°×25=144°．故答案为：144°．14．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，∴BĈ=BD̂，∴∠BAC＝∠BAD＝26°，∴∠BOC＝2∠BAC＝52°，故答案为：52°．15．【解答】解：如图1，过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵OE过圆心，OE⊥AB，∴EB=12AB＝2√3cm，∵OA＝4cm，在Rt△AOE中，EO=√AO2−AE2=√16−12=2（cm），∵∠COD＝90°，∴∠COF＝45°，∵OF⊥CD，∴CF＝OF＝OC•sin45°＝4×√22=2√2（cm），如图1，若AB、CD位于圆心同侧，则AB与CD之间的距离为（2√2−2）cm，如图2，若AB、CD位于圆心异侧，则AB与CD之间的距离为（2√2+2）cm．综上所述，AB与CD之间的距离为（2√2+2）cm或（2√2−2）cm．故答案为：2√2−2或2√2+2．16．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠AED＝15°，∴∠ACD＝15°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，故答案为：105°．17．【解答】解：如图，连接OC，过点E作ER⊥AB于点R．设OA＝OC＝r．∵AB⊥CD，AB是直径，∴CF＝DF＝4，AĈ=AD̂，在Rt△OCF中，r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，∴AB＝10，∵∠ABC＝∠DBE，∴AĈ=DÊ=AD̂，∴CD̂=AE ̂， ∴CD ＝AE ＝8，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE =√AB 2−AE 2=√102−82=6，∵ER ⊥AB ，∴S △ABE =12•AB •ER =12•AE •BE ，∴ER =245，∴点E 到线段AB 的距离为245． 故答案为：245．三．解答题一（共3小题，每题6分，共18分）18．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝9cm ，∵OD 2＝AO 2﹣AD 2，∴OD 2＝152﹣92，∴OD ＝12cm ，∵CD ＝OC ﹣OD ，∴CD ＝15﹣12＝3（cm ），∴埋在墙体内的弓形高CD 等于3cm ．19．【解答】解：∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵AB̂=AD ̂， ∴∠B ＝∠D ＝45°，∵∠DAC =12∠COD =12×126°＝63°， ∴∠AGB ＝∠DAC +∠D ＝63°+45°＝108°．所以∠AGB 的度数为108°．20．【解答】（1）证明：连接OE 、CE ，如图，∵OC ⊥AB ，∴∠AOC ＝90°，∵CÊ=2AE ̂， ∴∠COE ＝2∠AOE ，∴∠COE ＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE=√22−12=√3，在Rt△EFD中，EF=√DE2+DF2=√(√3)2+32=2√3．四．解答题二（共3小题，每题8分，共24分）21．【解答】解：（1）连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠ABC＝∠D＝55°，∴∠D的度数为55°；（2）∵∠CEB是△ACE的一个外角，∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝100°，∴∠CEB的度数为100°．22．【解答】解：（1）△BDE是等腰直角三角形，理由：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CBD＝∠BAD，∵∠DBE＝∠CBD+∠EBC，∠BED＝∠BAD+∠ABE，∴∠DBE＝∠BED，∴BD＝DE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形；（2）连接OC，连接OD交BC于点F，∵∠CBD＝∠CAD，∠BCD＝∠BAD，∠BAD＝∠CAD，∴∠CBD＝∠BCD，∴BD＝DC，∵OB＝OC，∴OD是BC的垂直平分线，∴OF⊥BC，BF=12BC＝6，在Rt△OBF中，OB=12AB＝6.5，∴OF=√OB2−BF2=√6．52−62=2.5，∴DF＝OD﹣OF＝4，∴BD=√BF2+DF2=√62+42=2√13，∴BD的长为2√13．23．【解答】（1）证明：如图，连接AD，BD，∵∠AOD＝∠BOC，∴AD̂=BĈ，∵∠FBA＝∠EDC，∴AF̂=CÊ，∴AF̂−EF̂=CÊ−EF̂，即AÊ=CF̂，∴AD̂+AÊ=BĈ+CF̂，即DÊ=BF̂，∴DE＝BF；（2）解：如图，∵OB＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠DOB＝180°﹣2∠1，∵∠EGO＝∠EDB+∠ABD＝∠3+∠1+∠2＝∠3+2∠1，∠DOB＝∠EGO，∴180°﹣2∠1＝∠3+2∠1，∴∠3＝180°﹣4∠1，∵AÊ=EF̂=FĈ，∴∠3＝2∠ADE，∴∠ADE=12∠3，∵CD为⊙O直径，∴AD̂+AÊ+CÊ=180°，∴∠2+∠ADE+∠3＝90°，∴∠1+12×（180°﹣4∠1）+（180°﹣4∠1）＝90°，∴5∠1＝180°，∴∠1＝36°，∴∠DOB＝180°﹣36°×2＝108°，∴∠AOC＝108°，∴AĈ的度数为108°．五．解答题三（共2小题，每题10分，共20分）24．【解答】证明：∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，∴∠ADC＝∠ABC，（1）解：∵∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣42°＝48°；（2）解：连接EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，∴2∠A+∠AEB+∠AFD＝180°，即∠A＝90°−12（α+β）．25．【解答】（1）证明：∵∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形；（2）解：如图1中，在PC上截取PT，使得PT＝P A．∵∠APT＝60°，∴△APT是等边三角形，∴AP＝AT，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠P AT＝∠BAC＝60°，∴∠P AB＝∠TAC，∴△P AB≌△TAC（SAS），∴PB＝TC＝2，∵PT＝P A＝3，∴PC＝PT+CT＝3+2＝5；（3）解：在Rt△P AC中，∠APC＝60°，∠P AC＝90°，AC＝AB＝2√3，∴∠PCA＝30°，∴PC＝2P A．∵PC2＝P A2+AC2，∴P A＝2，PC＝4．同理，可求出CD＝4√3，AD＝6，∴PD＝AD﹣P A＝4．。

圆的概念和性质专项练习【例1】 判断题：（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√．【举一反三】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（ ）A ．''AB A B = B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【解析】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而''60AOB A OB ∠=∠=︒，所以AB 的度数＝''A B 的度数．所以答案是C ．【答案】C【例2】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>【解析】连结OM OD OA 、、由矩形对角线相等可知OM NH c OD EF b OA BC a ======，，， 又OM OD OA ==，ON MHG FE DC B A∴a b c ==． 选B ．【答案】B【举一反三】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．【解析】如图，连两条半径由已知小正方形半径为4cm ，设大正方形半径为2x则()222544x x =++，整理得2280x x --=解得1242x x ==-，(舍去) ∴大正方形半径为8cm则半圆的半径为．【答案】【例3】 如图①，，，，为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．【解析】略【答案】（1），，如图①(提示：答案不惟一，过与交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分)；1O 2O 3O 4O 1O 2O 3O 4O 5O 图1图1图2图21O 3O 31O O 42O O（2），，如图②（提示：答案不惟一，如，，，等均可）．二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例4】 如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．80︒【解析】略 【答案】A ．【举一反三】如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【解析】略 【答案】40︒．【例5】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．【解析】略 【答案】45︒【例6】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．5O O 4AO 3DO 2EO 1CO PO BA【解析】()117040152∠=︒-︒=︒【答案】略【举一反三】如图，量角器外缘边上有A P Q，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（）A．10︒B．20︒C．30︒D．40︒【解析】考察同弧所对圆心角是圆周角的2倍．答案选B．【答案】B【例7】如图，O⊙是ABC∆的外接圆，已知60B∠=︒，则CAO∠的度数是（）A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒【解析】略【答案】B【举一反三】如图，AB是O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC AD，，若35CAB∠=︒，则ADC∠的度数为．【解析】直径所对圆周角是90︒且同弧所对圆周角相等．所以得55︒．【答案】55︒【例8】如图所示的半圆中，AD是直径，且32AD AC==，，则sin B的值是________．【解析】略．DCAB【举一反三】如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【解析】略 【答案】1【例9】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218AB DE E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．【解析】连结OD∵AB 是直径，2AB DE =，∴12DE AB OD ==∴18DOE E ∠=∠=︒，∴36ODC DOE E ∠=∠+∠=︒∵OC OD =，∴36OCD ODC ∠=∠=︒， ∴54AOC OCD E ∠=∠+∠=︒．【答案】54︒．【举一反三】如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且A B O C =，求A ∠的度数．【解析】连结OB∵AB OC =，OBOC =，∴OB AB = 设A x ∠=，则BOA x ∠=． ∴2OBE BOA A x ∠=∠+∠=． ∵OE OB =，EEDD∴2OEA OBE x ∠=∠=．∴387EOD E A x ∠=∠+∠==︒ ∴29x =︒，即29A ∠=︒．【答案】29︒．【例10】 如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．【解析】()136018022mD E m ∠+∠=︒-=︒- 【答案】1802m ︒-【举一反三】如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且OC DC OF EF ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．【答案】40︒【例11】 如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为（ ）B.4C. D.5【解析】如右图所示连接OA 、OB ，因为45C ∠=︒，290AOB C ∠=∠=︒4AB =，所以半径为OA OB ==【答案】【举一反三】如图，ABC △的三个顶点都在O ⊙上，302cm C AB ∠=︒=，，则O ⊙的半径O PFEDCBA BABA为______cm ．【解析】连接OA ，OB∵30C ∠=︒，∴260O C ∠=∠=︒，又∵OA OB =，∴OAB ∆为等边三角形， ∴2OA AB ==，即O 的半径为2．【答案】2【举一反三】如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD 的长．【解析】延长AC 交BD 的延长线于E ，∵AB 是半圆的直径，AD 平分CAB ∠， 则可得10AE AB ==，BD ED =， ∴4CE AE AC =-=，∵90ACB ∠=︒，∴8BC =，在Rt BCE ∆中，BE =，∴BD DE ==，∴AD =．【答案】【例12】 如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【答案】（1）解：连接OB ，则OA OB =，∴35OBA OAB ∠=∠=︒．∴180110AOB OAB OBA ∠=︒-∠-∠=︒．∴1552C AOB β=∠=∠=︒．（2）答：α与β之间的关系是90αβ+=︒．证一：连接OB ，则OA OB =．OBA OAB α∴∠=∠=． ∴1802AOB α∠=︒-．∴11(1802)9022C AOB βαα=∠=∠=︒-=︒-．∴90αβ+=︒．证二：连接OB ，则OA OB =． ∴22AOB C β∠=∠=．过O 作OD AB ⊥于点D ，则OD 平分AOB ∠．∴12AOD AOB β∠=∠=．在Rt AOD △中，90OAD AOD ∠+∠=︒， ∴90αβ+=︒证三：延长AO 交O 于E ，连接BE ， 则E C β∠=∠=．∵AE 是O 的直径，∴90ABE ∠=︒． ∴90BAE E ∠+∠=︒，∴90αβ+=︒．【举一反三】如图，O ⊙与P ⊙相交于B 、C 两点，BC 是P ⊙的直径，且把O ⊙分成度数比为12∶的两条弧，A 是BmC 上的动点(不是B 、C 重合)，连结AB 、AC 分别交P ⊙于D 、E 两点．（1）当ABC ∆是钝角三角形时，判断PDE ∆的形状． （2）当ABC ∆是直角三角形时，判断PDE ∆的形状．（3）当ABC ∆是锐角三角形时，判断PDE ∆的形状．这种情况加以证明．【解析】三种情况下，PDE ∆的形状都是等边三角形．如图，连结CD ，显然30ACD ∠=︒，所以PDE ∆是等边三角形．【答案】PDE ∆是等边三角形【例13】 圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D （如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．【答案】作线段AB 、OB 及OC ．这时有BAD BOD ∠=∠，另一方面有12BAD BOC ∠=∠，ABC D OS 1S 2S 2S 1OD C B A所以12BOD BOC ∠=∠，即BOD DOC ∠=∠，而BO CO =，故OD BC ⊥．【举一反三】两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CD ⊥【答案】证法一：设直线CD 交大圆于F ，连接BA 并延长，则CAB CDB PDF ∠=∠=∠，∴12m DPO BE ∠，()12m PDF CAB AP AB ∠=∠=+．∴()119022m m DPO PDF BE AP AB PABE ∠+∠=++==︒，∴CD PE ⊥．证法二：如图，设CD 交圆O 于G 、F ，连接AB 、PG 、BG ， 则ACD ABD ∠=∠．APG ABG ∠=∠．∴ACD APG ABD ABGJ GBP ∠+∠=∠+∠=∠． 而PGF ACD APG ∠=∠+∠， ∴PGF GBP ∠=∠．∴PF PG =，∴PE CD ⊥．证法三：如图，设CD 交圆O 于G 、F ，连接BA 并延长．∵CDB CAB ∠=∠，又()12m CDB BG PF ∠=+．()()1122m CAB PA AG BG PG BG ∠++=+，∴PF PG =．∴PE CD ⊥．【例14】 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB ⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．PG FEDCBAE FCOD G BAPEPABG D OCF【答案】解法一：连结AF∵AB 是直径，∴90ACB AFB ∠=∠=︒，∵CD AB ⊥，∴2BC BD AB =⋅，90BDG ∠=︒∴BDG BFA ∆∆∽，∴BD BGBF BA=， ∴BG BF BD BA ⋅=⋅， ∴2BC BG BF =⋅．解法二：延长AG 交O ⊙于H ，∵AG BD ⊥，且BD 是直径，∴AB BH =， ∴BAG C ∠=∠，∵ABG CBA ∠=∠，∴ABG CBA ∆∆∽， ∴AB BG CB BA=，即2AB BG BC =⋅．【举一反三】如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． ⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【解析】⑴ ∵AB 是直径，且AB CD ⊥，∴AC AD =，∴AFC ACD ∠=∠，∵CAH FAC ∠=∠，∴ACH AFC ∆∆∽． ⑵ AH AF AE AB ⋅=⋅解法一：由⑴ACH AFC ∆∆∽可得：2AC AH AF =⋅， 连结BC ，∵C 在O ⊙上，∴90ACB ∠=︒， 又CD AB ⊥，∴2AC AE AB =⋅， ∴AH AF AE AB ⋅=⋅． 解法二：连结FB∵F 在O ⊙上，∴90AFB ∠=︒，又EAH FAB ∠=∠，∴AEH AFB ∆∆∽，∴AE AHAF AB=，即AH AF AE AB ⋅=⋅． ⑶ 12AEC S AE CE ∆=⋅，12BOD S BO DE ∆=⋅，∵:1:4AEC BOD S S ∆∆=，∴112142AEC BOD AE CE S AE S BO BO DE ∆∆⋅===⋅，∵4AB =，∴122OB AB ==， ∴1142AE OB ==，∴当12AE =时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=．【答案】见解析【例15】 如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．【解析】（1）如图，连接BC ，∵AB AC AE ==， ∴52∠=∠，236∠+∠=∠． 又45623∠+∠=∠=∠+∠， ∴43∠=∠．而143∠=∠+∠，∴124∠=∠．即2CAD DBE ∠=∠． （2）设BC 与AD 的交点为G ， ∵25∠=∠，BAG DAB ∠=∠，∴BAG DAB ∆∆∽，∴2AB AG AD =⋅． ∴222AD AB AD AG AD -=-⋅ ()AD AD AG =-AD DG =⋅．又∵5ADC ∠=∠，1DBG ∠=∠， ∴BDG ADC ∆∆∽． ∴DB DG AD DC=，AD DG BD DC ⋅=⋅． ∴22AD AB BD DC -=⋅．【举一反三】在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E分别在边BC 、AB 上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求B D E ∆的面积．【解析】如图，作ABC ∆外接圆的直径AF ，联结CF 、BF 、CH ． 因为BH AC ⊥，FC AC ⊥， 所以，BH FC ∥． 同理，CH FB ∥．E DC BAG654321A BCDE 图 12HOFE DCBA故四边形BHCF 是平行四边形．又因FO CO =，60AFC ABC ∠=∠=︒ 所以，FOC ∆是正三角形．于是，BD BH CF CO BO BE =====． 故BDE ∆也是正三角形．由已知1BO =，知BDE S ∆=。

中考数学分类（含答案）圆的有关性质一、选择题 1．（2010安徽省中中考） 如图，⊙O 过点B 、C 。

圆心O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC ＝900，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为………………（ ） A ）10B ）32C ）23D ）13【答案】C 2．（2010安徽蚌埠二中）以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后 与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且10=AB ，则CB 的 长为A ．54B ．34C ． 24D ．4【答案】A3．（2010安徽芜湖）如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为（）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】D 4．（2010甘肃兰州） 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ． 2个D ． 1个【答案】B5．（2010甘肃兰州）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为A．15︒B．28︒C．29︒D．34︒【答案】B6．（2010江苏南通）如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC 的长是A．1 BCD．2【答案】D7．（2010山东烟台）如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O 于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤,正确结论的个数是A、2B、3C、4D、5【答案】B8．（2010台湾）如图(二)，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD与AC交于E点，且OD⊥AC。

若OE=4，ED=2，则BC长度为何？(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。

圆的有关性质初三练习题1. 单选题：下列哪个选项是关于圆的有关性质的描述？a) 圆的面积等于πr²b) 圆的外切矩形的面积小于圆的面积c) 圆周长等于2πrd) 圆的直径等于圆的半径的两倍2. 填空题：已知圆的半径为5cm，求其直径长为______cm。

3. 判断题：若两个圆的半径相等，则它们的面积一定相等。

4. 多选题：下列哪些是圆的有关性质？a) 弧长公式：L = α/360° × 2πrb) 圆的切线与半径垂直c) 弦的长大于弧的长d) 圆心角等于弧所对的圆周角e) 圆的半径与直径满足关系式：d = 2r5. 解答题：已知圆的半径为8cm，求其面积和周长。

6. 判断题：如果两个圆的半径相等，则它们的直径也一定相等。

7. 单选题：下列哪个选项是圆的有关性质的描述？b) 弧长与圆心角的关系：L = rθc) 两条弧长相等的弧所对的圆心角一定相等d) 圆上的两点可以连成一条直线8. 填空题：确定圆心为O，半径为6cm的圆上，P点与Q点之间的弧长为12πcm，则圆心角∠POQ的度数为______。

9. 判断题：两条相交的弦一定相等。

10. 解答题：已知圆的周长为12πcm，求其半径和面积。

11. 单选题：下列哪个选项是关于两个相交圆的有关性质的描述？a) 两个相交圆一定有2个公共切线b) 两个相交圆的外切矩形的面积一定小于两个圆的面积之和c) 两个相交圆的内切矩形的面积一定大于两个圆的面积之和d) 两个相交圆的半径之和一定大于两个相交弦的长度之和12. 填空题：已知圆的周长为18πcm，则其直径长为______cm。

13. 判断题：两个相交圆的交点一定在两个圆的直径上。

14. 多选题：下列哪些是与圆的有关性质有关的计算公式？a) 圆的面积公式：S = πr²b) 圆的弧长公式：L = 2πrd) 圆心角的计算公式：α = L/re) 弧度制与角度制的换算公式：θ(度数) = θ(弧度) × 180°/π15. 解答题：已知圆的面积是16πcm²，求其半径和周长。