鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题1(附答案)

C BA A CB AC B 5.5 确定圆的条件【基础练习】一、填空题：1. 经过一点可以作 个圆，经过两点可以作 个圆，经过不在同一条直线上的三个点 个圆；2. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，这个圆的圆心是三角形三条边的 的交点，叫做三角形的 ，它到三角形 的距离相等；3. 锐角三角形的外心位于 ，直角三角形的外心位于 ，钝角三角形的外心位于 .二、选择题：1. 下列说法正确的是（ ）；A. 三点确定一个圆B. 任何一个三角形有且只有一个外接圆C. 任何一个四边形都有一个外接圆D. 等腰三角形的外心一定在三角形内部2. 若等边三角形的边长为2 cm ，则其外接圆的半径等于（ ）； A. 33cm B. 332cm C. 23cm D. 3cm3. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 20 cm ，BC = 21 cm ，则它的外心与顶点C 的距离等于（ ）.A. 13 cmB. 13.5 cmC. 14 cmD. 14.5 cm三、解答题：1. 请画出下列各三角形的外接圆.2. 已知三角形的三边长分别为22cm ，23cm ，25cm ，求它的外接圆半径.【综合练习】如图3-22，已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ACB = 90°，弦CD 平分∠ACB ，交AB 于E ，连接AD 、BD .（1）写出图中所有的相似三角形；（2）求CD BC AC 的值； （3）若AD = 5 cm ，求⊙O 的直径.O图3-22DEB A C参考答案【基础练习】一、1. 无数，无数，只可以作一；2. 外接圆，垂直平分线，外心，三个顶点；3. 三角形内部，斜边的中点，三角形外部.二、1. B； 2. B； 3. D.三、1. 略. 2. 5cm.【综合练习】（1）△ACE∽△DBE∽△DCB，△BCE∽△DAE∽△DCA；（2）2；（3）52cm.。

24．1圆的有关性质24．1.1圆1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周___，__另一个端点A___所形成的图形叫做圆．这个固定的端点O叫做__圆心___，线段OA叫做__半径___．2．连接圆上任意两点间的线段叫做__弦___．圆上任意两点间的部分叫做__弧___．直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦．3．在同圆或等圆中，能够__互相重合___的弧叫等弧．4．确定一个圆有两个要素，一是__圆心___，二是__半径___，圆心确定__位置___，半径确定__大小___．知识点1：圆的有关概念1．以已知点O为圆心，已知长为a的线段为半径作圆，可以作( A)A．1个B．2个C．3个D．无数个2．下列命题中正确的有( A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，图中弦的条数为( B)A．1条B．2条C．3条D．4条4．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为( A)A．1条B．2条C．3条D．无数条5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆．解：在，圆心是线段BD的中点．图略知识点2：圆中的半径相等6．如图，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为( C)A．38°B．52°C．76°D．104°,第6题图),第7题图) 7．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝( D)A．45°B．60°C．90°D．30°8．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.解：由ASA证△BEO≌△CFO，∴OE＝OF，又∵OC＝OB，∴OC＋OE＝OB＋OF，即CE＝BF9．如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB＝∠COD.求证：∠C＝∠D.解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOC＝∠COD＋∠AOC，即∠AOD＝∠BOC，又OA＝OB，OC＝OD，∴△AOD≌△BOC，∴∠C＝∠D10．M，N是⊙O上的两点，已知OM＝3 cm，那么一定有( D)A．MN＞6 cm B．MN＝6 cmC．MN＜6 cm D．MN≤6 cm11．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是( B)A．a＞b＞c B．a＝b＝cC．c＞a＞b D．b＞c＞a12．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为( C)A．50°B．60°C．70°D．80°,第12题图),第13题图) 13．如图是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是( D)14．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为__3或4___．15．如图，AB，CD为圆O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点．求证：四边形CEDF为平行四边形．解：∵AO＝BO，E，F分别是AO和BO的中点，∴EO＝FO，又CO＝DO，∴四边形CEDF为平行四边形16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，∴∠OBA ＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF17．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB ＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E ＝18°，∴∠OCE＝36°，∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°18．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．(1)求证：OC＝OF；(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．解：(1)连接OD，OE，则OD＝OE，又∠OCD＝∠OFE＝90°，CD＝EF，∴Rt△ODC ≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF(2)连接OH，∵CF＝EF＝2，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝12＋22＝5.设FG＝GH＝x，则(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(舍去)，∴S ＝12＝1正方形FGHK24．1.2 垂直于弦的直径1．圆是__轴对称___图形，任何一条__直径___所在的直线都是它的对称轴．2．(1)垂径定理：垂直于弦的直径__平分___弦，并且__平分___弦所对的两条弧； (2)推论：平分弦(非直径)的直径__垂直___于弦并且__平分___弦所对的两条弧．3．在圆中，弦长a ，半径R ，弦心距d ，它们之间的关系是__(12a)2＋d 2＝R 2___．知识点1：认识垂径定理 1．(2014·毕节)如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( B ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3,第1题图),第3题图),第4题图)2．CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，则BE 的长是( C )A ．8B ．2C ．2或8D ．3或73．(2014·北京)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A ＝22.5°，OC ＝4，则CD 的长为( C )A ．2 2B ．4C ．4 2D ．8 4．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为__24___． 知识点2：垂径定理的推论5．如图，一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O 是这条弧所在圆的圆心，点C 是AB ︵的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，AB ＝120 m ，CD ＝20 m ，则这段弯道的半径是( C )A ．200 mB ．200 3 mC ．100 mD ．100 3 m,第5题图) ,第6题图)6．如图，在⊙O 中，弦AB ，AC 互相垂直，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则四边形OEAD 为( C )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．梯形 知识点3：垂径定理的应用7．如图是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB 宽为8 cm ，水的最大深度为2 cm ，则输水管的半径为( C )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm,第7题图) ,第8题图)8．古题今解：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE ＝1寸，CD ＝10寸，则直径AB 的长为__26___寸．9．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD ⊥AB ，且CD 过圆心O ，∴AD ＝12AB ＝1米，∠CDA ＝90°.在Rt△OAD 中，设⊙O 的半径为R ，则OA ＝OC ＝R ，OD ＝5－R.由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝(5－R)2＋12，解得R ＝2.6，故圆拱形门所在圆的半径为2.6米10．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是( C )A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5,第10题图) ,第11题图)11．(2014·黄冈)如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB 于点E ，若∠BAD ＝30°，且BE ＝2，则CD ＝．12．已知点P 是半径为5的⊙O 内一点，OP ＝3，则过点P 的所有弦中，最长的弦长为__10___；最短的弦长为__8___．13．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为__(6，0)___．,第13题图) ,第14题图)14．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为__4___．15．如图，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工人师傅求出AB ︵所在⊙O 的半径r.解：由题意知OA ＝OE ＝r ，∵EF ＝1，∴OF ＝r －1.∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2，解得r ＝138，即圆O 的半径为138米16．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8 cm ，腰AB ＝5 cm ，求圆片的半径R.解：(1)分别作AB ，AC 的垂直平分线，其交点O 为所求圆的圆心，图略 (2)连接AO交BC 于E.∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝12BC ＝4.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3.连接OB ，在Rt △BEO 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，即R 2＝42＋(R －3)2，解得R ＝256，即所求圆片的半径为256cm17．已知⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则AB ，CD 之间的距离为( D )A ．17 cmB ．7 cmC ．12 cmD ．17 cm 或7 cm18．如图，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，BC ＝2 3. (1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．解：(1)连接AC ，∵CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴AF ＝BF ，∴AC ＝BC.延长AO 交⊙O 于G ，则AG 为⊙O 的直径，又AO ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∴AC ＝AB ，∴AB ＝BC ＝23 (2)由(1)知AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠OAF ＝30°，在Rt △OAF 中，AF ＝3，可求OA ＝2，即⊙O 的半径为224．1.3 弧、弦、圆心角1．圆既是轴对称图形，又是__中心___对称图形，__圆心___就是它的对称中心． 2．顶点在__圆心___的角叫圆心角．3．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的__弧___相等，且所对的弦也__相等___． 4．在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量是相等的，则它们所对应的其余各组量也分别__相等___．知识点1：认识圆心角1．如图，不是⊙O 的圆心角的是( D ) A ．∠AOB B ．∠AOD C ．∠BOD D ．∠ACD,第1题图) ,第3题图)2．已知圆O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝__60°___．3．(2014·菏泽)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为__50°___．知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 是( C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°,第4题图) ,第5题图)5．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D ) ①AB ︵＝CD ︵； ②BD ︵＝AC ︵；③AC ＝BD ； ④∠BOD ＝∠AOC. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为( C )A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°,第6题图) ,第7题图)7．如图，在同圆中，若∠AOB ＝2∠COD ，则AB ︵与2CD ︵的大小关系为( C ) A .AB ︵＞2CD ︵ B .AB ︵＜2CD ︵ C .AB ︵＝2CD ︵D ．不能确定8．如图，已知D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，C 为AB ︵的中点．试问CD 与CE 是否相等？说明你的理由．解：相等．理由：连接OC.∵D ，E 分别为⊙O 半径OA ，OB 的中点，∴OD ＝12AO ，OE ＝12BO.∵OA ＝OB ，∴OD ＝OE.∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.又∵OC＝OC ，∴△DCO ≌△ECO(SAS )，∴CD ＝CE9．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝__40°___．,第9题图) ,第10题图)10．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.在下列结论中：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE.正确的有__①②③___．11．如图，A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AB ︵＝2CD ︵，那么( C )A ．AB ＞2CD B ．AB ＝2CDC ．AB ＜2CDD ．AB 与2CD 大小不能确定12．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，且AC ＝BD ，求证：AB ＝CD.解：∵AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD13．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵.解：连接AF ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠GAE ＝∠B ，∠EAF＝∠AFB.又∵AB ＝AF ，∴∠B ＝∠AFB ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝EF ︵14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形(2)∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD)＝60°.∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形，∴∠ODB ＝60°，∴∠ODB ＝∠COD ＝60°，∴OC ∥BD15．如图，在△AOB 中，AO ＝AB ，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于D ，交AO 于点E ，AD ＝BO.试说明BD ︵＝DE ︵，并求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °.∵AD ＝BO ，又OB ＝OD ，∴OD ＝AD ，∴∠AOD ＝∠A ＝x °，∴∠ABO ＝∠ODB ＝∠AOD ＋∠A ＝2x °.∵AO ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ＝2x °，从而∠BOD＝2x °－x °＝x °，即∠BOD ＝∠AOD ，∴BD ︵＝DE ︵.由三角形的内角和为180°，得2x ＋2x ＋x ＝180，∴x ＝36，则∠A ＝36°16．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，AN ︵的度数为60°，点B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一个动点，求PA ＋PB 的最小值．解：作点B 关于MN 的对称点B′.因为圆是轴对称图形，所以点B′在圆上．连接AB′，与MN 的交点为P 点，此时PA ＋PB 最短，ABB ′⌒所对的圆心角为90°，连接OB′，则∠AOB′＝90°，∴AB ′＝AO 2＋OB′2＝2，∴PA ＋PB ＝AB ′＝2，即PA ＋PB 的最小值为224．1.4 圆周角1．顶点在__圆___上，并且两边和圆__相交___的角叫圆周角．2．在同圆或等圆中，__同弧___或__等弧___所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角___的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相等___．3．半圆或直径所对的圆周角是__直角___，90°的圆周角所对的弦是__直径___． 4．圆内接四边形对角__互补___，外角等于__内对角___.知识点1：认识圆周角1．下列图形中的角是圆周角的是( B )2．在⊙O 中，A ，B 是圆上任意两点，则AB ︵所对的圆心角有__1___个，AB ︵所对的圆周角有__无数___个，弦AB 所对的圆心角有__1___个，弦AB 所对的圆周角有__无数___个．知识点2：圆周角定理3．如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，ACB ︵为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( A ) A ．2∠C B ．4∠B C ．4∠A D ．∠B ＋∠C,第3题图) ,第4题图)4．(2014·重庆)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°知识点3：圆周角定理推论5．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，CD ⊥AB 于E ，若∠B ＝60°，则∠A ＝__30°___．7．如图，⊙O 的直径CD 垂直于AB ，∠AOC ＝48°，则∠BDC ＝__24°___．8．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.解：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠BDC ＝∠ADB ，∴DB 平分∠ADC知识点4：圆内接四边形的对角互补9．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( B )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°,第9题图) ,第10题图)10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D ＝__80°___，∠B ＝__100°___.11．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( B )A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°,第11题图) ,第12题图)12．(2014·丽水)如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD.已知DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的弦心距等于( D )A .412B .342C ．4D ．3 13．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，∠BAC ＝70°，则∠OCB ＝__20°___．,第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是AC ︵上任意一点(不与A ，C 重合)，∠ABC ＝55°，则∠POC 的取值范围是__0°＜∠POC ＜110°___．15．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA ＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为．16．如图，在△ABC 中，AB ＝为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.又∵AB ＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形 (2)连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12×2＝117．(2014·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB ︵上两点，AB ＝13，AC ＝5.(1)如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长；(2)如图②，若点P 是BC ︵的中点，求PA 的长．解：(1)连接PB.∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB ︵的中点，∴PA ＝PB ，∠APB ＝90°，可求PA ＝22AB ＝1322(2)连接BC ，OP 交于点D ，连接PB.∵P 是BC ︵的中点，∴OP ⊥BC ，BD＝CD.∵OA ＝OB ，∴OD ＝12AC ＝52.∵OP ＝12AB ＝132，∴PD ＝OP －OD ＝132－52＝4.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，由勾股定理可求BC ＝12，∴BD ＝12BC ＝6，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝42＋62＝213.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∴PA ＝AB 2－PB 2＝132－（213）2＝31318．已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D. (1)如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长； (2)如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝∠BDC ＝90°.在Rt △CAB 中，AC ＝BC 2－AB 2＝102－62＝8.∵AD 平分∠CAB ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD.在Rt △BDC 中，CD 2＋BD 2＝BC 2＝100，∴BD 2＝CD 2＝50，∴BD ＝CD ＝52 (2)连接OB ，OD.∵AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°，∴∠DAB ＝12∠CAB ＝30°，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝60°.又∵⊙O 中OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵⊙O 的直径为10，∴OB ＝5，∴BD ＝5。

5.5 确定圆的条件一．选择题1．已知⊙O的半径为10cm，点P到圆心O的距离为8cm，则点P和圆的位置关系（）A．点在圆内B．点在圆外C．点在圆上D．无法判断2．已知⊙O的半径为10cm，点M到圆心O的距离为10cm，则该点M与⊙O的位置关系为（）A．点M在圆内B．点M在圆上C．点M在圆外D．无法判断3．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（）A．5cm或11cm B．2.5cmC．5.5cm D．2.5cm或5.5cm4．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定5．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P的⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外6．下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C．四边形都有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形7．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块8．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能9．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°10．如图，坐标平面上有A（0，a）、B（﹣9，0）、C（10，0）三点，其中a＞0．若∠BAC ＝95°，则△ABC的外心在第几象限？（）A．一B．二C．三D．四二．填空题11．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为．12．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．13．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为．三．解答题15．如图，⊙O是△BC的外接圆，AB长为4，AB＝AC，联结CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点．求：（1）边BC的长；（2）⊙O的半径．参考答案一．选择题1．解：∵点P到圆心的距离为8cm，小于⊙O的半径10cm，∴点P在⊙O内．故选：A．2．解：∵⊙O的半径为10cm，点M到圆心O的距离为10cm，∴d＝r，∴点M与⊙O的位置关系是：点M在圆上，故选：B．3．解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．故选：D．4．解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：B．5．解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），∴OP＝＝＜5，因而点P在⊙O内．故选：A．6．解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；D、圆有无数个内接三角形．故选：B．7．解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．故选：B．8．解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．9．解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，∴∠A＝40°，∠A′＝140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选：C．10．解：∵∠BAC＝95°，∴△ABC的外心在△ABC的外部，即在x轴的下方，∵外心在线段BC的垂直平分线上，即在直线x＝上，∴△ABC的外心在第四象限，故选：D．二．填空题11．解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为：5．12．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．故答案为：（2，0）13．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴解得：k＝﹣，b＝，∴直线AB的解析式为y＝﹣+，∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴5m+2n≠9，故答案为：5m+2n≠9．14．解：连接CD，如图所示：∵∠B＝∠DAC，∴，∴AC＝CD，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，AD＝4，∴AC＝CD＝AD＝×4＝2，故答案为：2．三．解答题15．解：（1）∵E点为的中点，CE为直径，∴CE⊥AB，∴AD＝BD，即CD垂直平分AB，∴CB＝CA＝4；（2）连接OB，如图，∵AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，BD＝AB＝2，∴OD＝BD＝，∴OB＝2OD＝，即⊙O的半径为．。

2019-2020学年度数学九年级下册第五章圆1 圆鲁教版练习题第八十一篇第1题【单选题】圆内最大的弦长为10cm，则圆的半径( )A、小于5cmB、大于5cmC、等于5cmD、不能确定【答案】：【解析】：第2题【单选题】车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征( )A、同弧所对的圆周角相等B、直径是圆中最大的弦C、圆上各点到圆心的距离相等D、圆是中心对称图形【答案】：【解析】：第3题【单选题】下列说法正确的是( )A、三点确定一个圆B、一个三角形只有一个外接圆C、和半径垂直的直线是圆的切线D、三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【答案】：【解析】：第4题【单选题】在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是( )A、在⊙O内B、在⊙O上C、在⊙O外D、不能确定【答案】：【解析】：第5题【单选题】⊙O的半径为1，同一平面内，若点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是( )A、点P在⊙O外B、点P在⊙O上C、点P在⊙O内D、无法确定【答案】：【解析】：第6题【单选题】有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( )A、4个B、3个C、2个D、1个【答案】：【解析】：第7题【单选题】若圆的半径为R，圆的面积为S，则S与R之间的关系式为( )A、S=2πRB、S=πR^2C、S=4πR^2D、S=有误【答案】：【解析】：第8题【单选题】如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是( )A、4B、5C、6D、10【答案】：【解析】：第9题【填空题】已知⊙O 的半径为5，点A在⊙O 外，那么线段OA的取值范围是______。

【答案】：【解析】：第10题【填空题】如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取7个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为______．【答案】：【解析】：第11题【填空题】已知⊙O的周长为12π，若点P到点O的距离为5，则点P在⊙O______A、的内部【答案】：【解析】：第12题【填空题】如图，AB是⊙O的直径，∠C=20°，则∠BOC的度数是______．【答案】：【解析】：第13题【解答题】如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′?OP=r^2 ，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．【答案】：【解析】：第14题【解答题】如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数．?【答案】：【解析】：第15题【综合题】如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：求证：CD是⊙O的切线；若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC的面积．【答案】：【解析】：。

鲁教版九年级下册5.1圆同步课时训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为P的坐标为（4，5），那么点P 与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．不能确定2．点P在半径为r的A外，则点P到圆心A的距离d与r的关系是（）A．d r B．d rC．d r D．d r3．已知O的半径为6，点A与圆心O的距离为5，则点A与O的位置关系是（）A．点A在O内B．点A在O上C．点A在O外D．点A不在O内4．已知O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与O的位置关系是（）A．点A在O上B．点A在O内C．点A在O外D．点A与圆心O 重合5．如图，抛物线y＝14x2－4 与x 轴交于A、B 两点，P 是以点C（0，3）为圆心，2 为半径的圆上的动点，Q是线段PA 的中点，连结OQ，则线段OQ的最大值是（）A．1.5 B．3 C．3.5 D．46．已知O的半径为5cm,P为O外一点，则OP的长可能是（）．A．6cm B．4cm C．3cm D．5cm7．如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且45∠=︒，DF AB⊥于点G，当点C在AB上运动时．设ACD⊥于点F，EG AB=，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是() =，DE yAF xA．B．C．D．8．已知O的半径是6cm，则O中最长的弦长是（）A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm9．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图象称为“果园”，已知点A，B，C，D分别是“果园”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，AB为半圆的直径，则这个“果园”被y轴截得的弦CD的长为（）A．8 B．5 C．D．510．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则2AP+BP的最小值为（）二、填空题11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，分别以A 、B 为圆心的两圆外切，如果点C 在圆A 内，那么圆A 的半径长r 的取值范围是__．12．已知⊙P 在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P （﹣3，4），则坐标原点O 与⊙P 的位置关系是__．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点A （﹣5，0）为圆心，13为半径作弧，交y 轴的正半轴于点B ，则点B 的坐标为_____．14．如图，Rt OAB △的直角边2OA =，1AB =，OA 在数轴上，在OB 上截取BC BA =，以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，交边OA 于点P ，则点P 对应的实数是________．15．如图，C 的半径为1，圆心坐标为()3,4C ，点()P m n ,是C 内或C 上的一个动点，则22m n +的最小值是__________．16．如图，已知矩形ABCD 中3AB =，4BC =，将三角板的直角顶点P 放在矩形内，移动三角板保持两直角边分别经过点B 、C ，则PD 的最小值为________．三、解答题17．如图，在Rt ABC △中，Rt ,2,ACB BC AC ∠=∠==D 是AC 边上的中点．有一动点P 由点A 以每秒1个单位的速度向终点B 运动，设运动时间为t 秒．（1）如图1，当ADP △是以点P 为直角顶点的直角三角形时，求t 的值；（2）如图2，过点A 作直线DP 的垂线AE ，点E 为垂足．①是否存在这样的t ，使得以,,A P E 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．②连结BE ，当点P 由点A 运动到点B 的过程中（不包括端点），请直接写出BE 的取值范围．18．已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx ﹣n 2+5＝0．（1）当m ＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n 的值；（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根．①求m 、n 满足的关系式；②在x 轴上取点H ，使得OH ＝|m |，过点H 作x 轴的垂线l ，在垂线l 上取点P ，使得PH ＝|n |，则点P 到点（3，4）的距离最小值是 ．19．如图， Rt △ABC 中，90C =∠，3BC =，4AC =，以B 为圆心，4为半径作圆弧交AC 边于点F ，交AB 于点E ．（1）求CF 的长；（2）联结CE ，求ACE ∠的正切值．20．已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于(4,0),(2,0)A B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式及C 点坐标；（2）点D 为第四象限抛物线上一点，设点D 的横坐标为m ，四边形ABCD 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求S 的最值；（3）点P 在抛物线的对称轴上，且45BPC ∠=，请直接写出点P 的坐标．参考答案1．A2．D3．A4．C5．C6．A7．A8．B9．C10．A11r ＜212．点O 在⊙P 上13．()0,12．14115．1616217．（1）32；（2）①存在，1或2或3；4BE <． 【详解】解：（1）Rt ACB ∠=∠，2BC =，AC =tanBC A AC ∴==， 30A ∴∠=︒，点D 是AC 边上的中点，AD CD ∴=DP AB ⊥，cosAP A AD ∴===， 32AP ∴=， 3()12AP t s ∴==； （2）①AE DP ⊥，90C AED ∴∠=∠=︒，如图3，当30BAC ADP ∠=∠=︒时，90E ∠=︒，30ADP ∠=︒，12AE AD ∴== 60APE ADP PAD ∠=∠+∠=︒，30PAE ∴∠=︒，2AP PE ∴=，AE ==， 1AP ∴=，1()1AP t s ∴==； 如图4，若30APD BAC =∠=︒∠时，2AP AE ∴=，60ADE APD PAD ∠=∠+∠=︒，30DAE ∴∠=︒，12DE AD ∴==，32AE ==，3AP ∴=，3()1AP t s ∴==； 如图5，若点E 与点D 重合时，2AP DP ∴=，AD1DP ，2AP =，2()1AP t s ∴==； 综上所述：t 的值为1或2或3；②90AED ∠=︒，∴点E 在以AD 为半径的圆上，如图6，取AD 的中点F ，连接BF ，过点F 作FH AB ⊥于H ，AF ∴=， 30BAC ∠=︒，12FH AF ∴==，34AH ==，24AB BC ==， 134AH ∴=，BF ∴=， 点E 在以AD 为半径的圆上，∴当点E 在线段BF 上时，BE 有最小值，BE ∴- 当点E 与点A 重合时，BE 有最大值为4，∴4BE <．18．（1）±；（2）①m 2+n 2＝5；②5【详解】解：（1）把m ＝1，x ＝1代入方程得1+2﹣n 2+5＝0，解得n ＝±，即n 的值为±； （2）①根据题意得△＝4m 2﹣4（﹣n 2+5）＝0，整理得m 2+n 2＝5；②∵OH ＝|m |，PH ＝|n |，∴OP即点P 在以O∴原点与点（3，4）的连线与⊙O 的交点P 使点P 到点（3，4）的距离最小，∵原点到点（3，45，∴点P 到点（3，4）的距离最小值是5故答案为519．（1）CF =（2）316tan ACE ∠=． 【详解】解：（1）连接BF ．∵以B 为圆心，4为半径作圆弧交AC 边于点F ，交AB 于点E ， ∴4BF BE ==．∵在Rt △BCF 中，90C =∠，3BC =,4BF =,∴CF ===（2）如图，过点E 作EG ⊥AC 垂足为G ．∵90ACB ∠=，∴EG ∥BC ．,AGE ACB ∴∽ ∴EG AE AG BC AB AC==． ∵5AB =,4BE =，∴1AE =． ∴1354EG AG ==． ∴35EG =，45AG =． ∴416455CG AC AG =-=-=． ∴33516165EG tan ACE CG ∠===． 20．（1）211(4)(2)422y x x x x =-+=--，C （0，-4）；（2）2(2)16S m =--+，最大值为16；（3）(1,1-或(1,1-【详解】解：（1）∵抛物线经过A （4，0），B （-2，0），∴抛物线的表达式为：211(4)(2)422y x x x x =-+=--， 令x=0，则y=-4，∴点C 的坐标为（0，-4）；（2）设点21(,4)2D m m m --， ()()221111111·24442162222222OBC OCD ODA D S S S S OB OC OC m AO y m m m m ∆∆∆⎡⎤⎛⎫=++=⨯⨯++⨯-=⨯⨯+⨯=⨯---=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当2m =时，S 的最大值为16；（3）45BPC ∠=︒，则BC 对应的圆心角为90︒，如图作圆R ，则90BRC ∠=︒， 圆R 交函数对称轴为点P ，过点R 作y 轴的平行线交过点C 与x 轴的平行线于点N 、交x 轴于点M ，设点(,)R m n ．90BMR MRB ∠+∠=︒，90MRB CRN ∠+∠=︒，CRN MBR ∴∠=∠，90BMR RNC ∠=∠=︒，BR RC =，()BMR RNC AAS ∴∆≅∆，CN RM ∴=，RN BM =，即24m n +=+，n m -=，解得：1m =，1n =-，即点(1,1)R -，即点R 在函数对称轴上，=则点P 的坐标为：(1,1-或(1,1-．。

最新精选鲁教版初中数学九年级下册第五章圆1 圆课后练习八十第1题【单选题】⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )A、5B、6C、7D、8【答案】：【解析】：第2题【单选题】已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．A、2B、4C、8D、16【答案】：【解析】：第3题【单选题】已知⊙O的半径r=5cm，点A到圆心O的距离为8cm，则点A和⊙O的位置关系为( )A、圆内B、圆外C、圆上D、无法确定【答案】：【解析】：第4题【单选题】下列说法正确的个数是( )①直径是圆的对称轴；②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④和圆有一个公共点的直线是圆的切线．A、1B、2C、3D、4【答案】：【解析】：第5题【单选题】下列说法中，正确的是( )A、长度相等的两条弧是等弧B、优弧一定大于劣弧C、任意三角形都一定有外接圆D、不同的圆中不可能有相等的弦【答案】：【解析】：第6题【填空题】圆是______图形，其对称轴是任意一条______的直线．【答案】：【解析】：第7题【填空题】如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B 在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是______．A、8＜r＜10【答案】：【解析】：第8题【填空题】如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为______．【答案】：【解析】：第9题【填空题】交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的______．【答案】：【解析】：第10题【填空题】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为______．A、7【答案】：【解析】：第11题【解答题】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以r＝3为半径作圆，判断A，B两点和⊙C 的位置关系．【答案】：【解析】：第12题【解答题】如图所示，已知⊙O和直线L，过圆心O作OP⊥L，P为垂足，A，B，C为直线L上三个点，且PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，若⊙O的半径为5cm，OP=4cm，判断A，B，C三点与⊙O的位置关系．【答案】：【解析】：第13题【解答题】在一个圆中任意画四条半径，可以把这个圆分成几个扇形?请你画图说明．【答案】：【解析】：第14题【解答题】如图，在A地往北60m的B处有一幢房，西80m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有古建筑．因施工需要在A处进行一次爆破，为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内?【答案】：【解析】：第15题【综合题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D；②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E．在（1）所作的图形中，解答下列问题．①点B与⊙O的位置关系是＿；（直接写出答案）②若DE＝2，AC＝8，求⊙O的半径．【答案】：无【解析】：。

鲁教版（五四制）九年级数学下册第五章圆必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）∥交O于点D，点C、D 1、如图，AB是O的直径，点C在O上，连接AC、BC，过点O作OD AC∠的度数是（）在AB的异侧．若24∠=︒，则BCDBA．66°B．67°C．57°D．48°2、如图，A，B，C为⊙O上三点，若∠ABC＝44°，则∠OAC的度数为（）A．46°B．44°C．40°D．50°3、如图，在O中，点A，B，C在圆上，45∠=︒，则AOB的形状是（）．ACBA．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4、如果一弧长是其所在圆周长的118，那么这条弧长所对的圆心角为（）A．15度B．16度C．20度D．24度5、如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝25°，则∠ABO的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．55°6、如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ADC＝40°，则∠P的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．50°7、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝24°，则∠B的度数为（）A ．66°B ．48°C ．33°D ．24°8、如图，点A 、B 、C 是O 上的点，且90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，ACB ∠的平分线交O 于D ，下列4个判断：①O 的半径为5；②CD 的长为BC 弦所在直线上存在3个不同的点E ，使得CDE △是等腰三角形；④在BC 弦所在直线上存在2个不同的点F ，使得CDF 是直角三角形；正确判断的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49、平面内，⊙O 的半径为3，若点P 在⊙O 外，则OP 的长可能为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110、如图，BC 为O 的直径，AB 交于O E 点，AC 交O 于D 点，AD CD =，70A ∠=︒，则∠BOE 的度数是（ ）．A．140°B．100°C．90°D．80°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝6，那么△ACD的面积是_______．2、如图，四边形ABCD内接于ΘO，DA=DC，若∠CBE=40°，则∠DAC的度数是________．3、一个扇形的弧长是10πcm，面积是75πcm2，则扇形的圆心角是 _____．4、如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比是1：2：3：4，则甲、乙、丙、丁四个扇形中圆心角度数最大的是___________度．5、如图，将半径为6cm的圆分别沿两条平行弦对折，使得两弧都经过圆心，则图中阴影部分的面积为______cm2．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，DE与⊙O相切于点D，过D点作DE⊥MN于点E．(1)求证：AD平分∠CAE；(2)若AE＝2，AD＝4，求⊙O的半径．2、在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点E是△ABC外一动点（点B，点E位于AC异侧），连接CE，AE．(1)如图1，点D是AB的中点，连接DC，DE，当△ADE为等边三角形时，求∠AEC的度数；(2)当∠AEC=135°时，①如图2，连接BE，用等式表示线段BE，CE，EA之间的数量关系，并证明；②如图3，点F为线段AB上一点，AF=1，BF=7，连接CF，EF，直接写出△CEF面积的最大值．3、如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是AmB上的一点．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；(3)在（2）的条件下，若OA＝18，求AmB的长．4、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．（1）弦AB 的长等于_____；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找出经过点A ，B 的圆的圆心O ，并简要说明点O 的位置是如何找到的（不要求证明）_____．5、如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，D 是AB 上的一点，以AD 为直径的⊙O 与BC 相切于点E ，连接AE ，DE ．(1)求证：AE 平分∠BAC ；(2)若30B ∠=︒，求CE DE的值．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】先求出CAO ∠，得出AOD ∠，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出OAD ∠，再由圆周角定理求出BCD ∠的度数即可．解：连接AD，如图所示：AC OD，//∴∠=∠，CAO AODAB是O的直径，∴∠=︒，ACB90∴∠CCC=90°−∠C=66°．∴∠=︒，AOD66=，OA ODOAD AOD∴∠=︒-∠÷=︒，(180)257∴∠=∠=︒；BCD OAD57故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容．2、A【解析】【分析】先利用圆周角定理求出AOC∠即可．∠的度数，然后再利用等腰三角形的性质求出OAC解：AC 所对的圆周角是ABC ∠，AC 所对的圆心角是AOC ∠，288AOC ABC ∴∠=∠=︒，OA OC =，46OAC OCA ∴∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．3、D【解析】【分析】根据圆周角定理可得290AOB ACB ∠=∠=︒，根据半径相等可得OA OB =，进而即可判断出AOB 的形状．【详解】解：∵AB AB =，45ACB ∠=︒，∴290AOB ACB ∠=∠=︒，OA OB =AOB ∴是等腰直角三角形故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理，理解圆周角定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4、C【解析】根据弧长公式和圆的周长公式的关系即可得出答案【详解】 解：∵一弧长是其所在圆周长的118， ∴1=2r 18018n r ππ⨯ ∴=20n∴这条弧长所对的圆心角为20故选：C【点睛】 本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式180n r l π=是解题的关键． 5、B【解析】【分析】根据圆周角和圆心角的关系，可以得到∠AOC 的度数，然后根据AB 为⊙O 的切线和直角三角形的两个锐角互余，即可求得∠ABO 的度数．【详解】解：∵∠ADC ＝25°，∴∠AOC ＝50°，∵AB 为⊙O 的切线，点A 为切点，∴∠OAB ＝90°，∴∠ABO ＝∠OAB ﹣∠AOC ＝90°﹣50°＝40°，故选：B ．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键．6、D【解析】【分析】根据圆周角和圆心角的关系，可以得到ADC ∠的度数，然后根据AP 为O 的切线和直角三角形的两个锐角互余，即可求得P ∠的度数．【详解】解：40ADC ∠=︒，40ABC ∴∠=︒， AB 为O 的切线，点A 为切点，90OAB ︒∴∠=， 90904050P ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想解答．7、A【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为90°得90C ∠=︒，由三角形的内角和为180°，即可求出B ．【详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴90C ∠=︒，∴180180249066B A C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：A ．【点睛】本题考查圆周角定理与三角形的内角和定理，掌握直径所对的圆周角为90°是解题的关键．8、C【解析】【分析】利用勾股定理求出AB 即可判断①正确；如图1中，过点D 作DM ⊥CA 交CA 的延长线于点M ，DN ⊥BC 于N ．证明四边形CMDN 是正方形，求出CM ，可得结论②正确；利用图形法，即可判断③错误；利用图形法即可判断④正确．【详解】解：如图1中，连接AB.∵∠ACB =90°，∴AB 是直径， ∴22226810AB AC BC ，∴⊙O 的半径为5．故①正确，如图1中，连接AD，BD，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC于N．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD BD，∴AD=BD，∵∠M=∠DNC=90°，CD=CD，∴△CDM≌△CDN（AAS），∴CM=CN．DM=DN，∵∠M=∠DNB=90°，DA=DB，∴Rt△DMA≌Rt△DNB（HL），∴AM=BN，∵∠M=∠MAN=∠DNC=90°，∴四边形CMDN是矩形，∵DM=DN，∴四边形CMDN是正方形，∴CD，∵AC+CB=CM-AM+CN+BN=2CM=14，∴CM=7，∴CD，故②正确，如图2中，满足条件的点E有4个，故③错误，如图3中，满足条件的点F有2个，故④正确，∴正确的结论是①②④，共3个故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9、A【解析】【分析】根据点与圆的位置关系得出OP＞3即可．【详解】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，∴OP＞3，故选：A．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解答的关键是熟知点与圆的位置关系：设平面内的点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则点在圆外⇔d＞r，点在圆上⇔d=r，点在圆内⇔d＜r．10、B【解析】【分析】首先连接BD，CE，OE，由BC为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BDC＝∠BEC＝90°，然后由线段垂直平分线的性质，可得AB＝BC，继而求得∠ABC的度数，则可求得∠BCE的度数．【详解】解：连接BD，CE，OE，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∴BD⊥CD，∵AD＝CD，∴AB＝CB，∵∠A＝70°，∠ACB＝70°，∴∠ABC＝180°−∠A−∠ACB＝40°，∴∠BCE＝90°−∠ABC＝50°，∴∠BOE＝2∠BCE＝100°．故选：B．【点睛】此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题1、21【解析】【分析】连接OD，作AG⊥CD于G，利用角平分线定义、直径所对的圆周角为直角与余角的性质推得∠ACD为45°，然后由等腰直角三角形的性质求出AG和CG的长，再利用垂径定理得出∠AOD＝90°，于是由等腰直角三角形的性质求出AD的长度，则由勾股定理可求GD的长度，进而求出CD的长，现知△ACD 的底和高，则其面积可求．【详解】解：如图，连接OD，BD，过点A作AG⊥CD于G，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠CAB＝90°，∴∠ACE＝∠ABC，∵OC＝OB，∵∠CBO＝∠BCO，∴∠ACE＝∠BCO，∵CD平分∠ECO，∴∠ECD＝∠OCD，∴∠ACE+∠ECD＝45°，∵AC＝6，∴AG＝CG＝∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∴AD＝BD，∴OD⊥OA，∴OA＝OD，∵AB ＝10，∴AD OA ＝，∴DG AG 2222523242，∴CD ＝CG +GD ＝＝∴△ACD 的面积＝12×CD ×AG ＝1221．故答案为：21．【点睛】本题考查角平分线定义，直径所对圆周角性质，等腰直角三角形性质，垂径定理，勾股定理三角形面积，掌握角平分线定义，直径所对圆周角性质，等腰直角三角形性质，垂径定理，勾股定理三角形面积是解题关键．2、70°【解析】【分析】根据邻补角互补求出ABC ∠，根据圆内接四边形的性质得出180D ABC ∠+∠=︒，求出D ∠，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出DAC ∠即可．【详解】解：40CBE ∠=︒，180140ABC CBE ∴∠=︒-∠=︒， 四边形ABCD 是O 的内接四边形，180D ABC ，40D ∴∠=︒，AD CD =，1(180)702DAC DCA D ∴∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：70︒．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理等知识点，解题的关键是能熟记圆内接四边形的对角互补．3、120°【解析】【分析】根据扇形面积公式求出圆的半径，再根据弧长公式求出圆心角度数即可．【详解】解：∵一个扇形的弧长是10πcm ，面积是75πcm 2， ∴110752r ππ⨯=，解得，15r =， ∴10180n rππ=， ∴1510180n ππ=，解得，120n =，故答案为：120°．【点睛】本题考查了扇形面积和弧长的计算，解题关键是熟记扇形面积公式和弧长公式．4、144【解析】【分析】先设甲、乙、丙、丁的圆心角分别为α、β、γ、δ，根据扇形面积得出α：β：γ：δ=1：2：3：4，利用周角360°分别求出α=303166︒=︒，β=2α=72°，γ=3α=108°，δ=4α=144°即可． 【详解】 解；设甲、乙、丙、丁的圆心角分别为α、β、γ、δ，∴S 甲=απr 2360，S 乙=βπr 2360，S 丙=γπr 2360，S 丁=δπr 2360， ∵S 甲：S 乙：S 丙：S 丁=1：2：3：4， ∴απr 2360：βπr 2360：γπr 2360：δπr 2360=1：2：3：4， ∴α：β：γ：δ=1：2：3：4，∴α=0303166︒=︒，β=2α=72°，γ=3α=108°，δ=4α=144°， 故甲、乙、丙、丁四个扇形中圆心角度数最大的是144°．故答案为：144．【点睛】本题考查扇形面积，圆心角，掌握扇形面积与圆心角的关系是解题关键．5、12π【解析】【分析】设该圆圆心为O ，并用大写字母表示出其它点，作OC AB ⊥于点C ．根据所作图形可知AC BC =，再根据题意可知11322OC OA OB cm ===，60AOC BOC ∠=∠=︒，即得出AOB ∠．结合勾股定理，在Rt OAC △中，可求出AC 的长，即可求出AB 的长，最后根据4()AOB AOB S S S S =--阴圆扇形，结合圆的面积公式、扇形的面积公式，三角形面积公式求出结果即可．【详解】如图，设该圆圆心为O ，其它点如图所示，并作OC AB ⊥于点C ．根据垂径定理可知，AC BC =．∵该圆分别沿两条平行弦对折，且两弧都经过圆心， ∴11163222OC OA OB cm ===⨯=， ∴30OAC OBC ∠=∠=︒，∴903060AOC BOC ∠=∠=︒-︒=︒，∴6060120AOB ∠=︒+︒=︒．∵在Rt OAC △中，AC ，∴BC AC ==，∴AB =．∴222120614()64(3)12)3602AOB AOB S S S S cm πππ⋅=--=⋅--⨯=阴圆扇形．故答案为：12π【点睛】本题考查不规则图形的面积计算，涉及垂径定理，含30角的直角三角形的性质，勾股定理，圆的面积公式，扇形的面积公式．正确的作出辅助线是解答本题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)4【解析】【分析】（1）由DE与圆O相切，利用切线的性质得到OD垂直于DE，再由DE垂直于MB，得到一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行，得到OD与MB平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换可得出∠DAE=∠OAD，即AD为∠CAE的平分线，得证；（2）过O作OF垂直于MB，显然得到四边形ODEF为矩形，利用矩形的对边相等得到OD=EF，OF=DE，设圆的半径为rcm，由DE的长得出OF的长，由EF-AE=OD-EF表示出AF的长，在直角三角形AOF 中，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到半径r的长．【小题1】解：证明：连接OD，∵DE切圆O于D，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，又∵DE⊥MB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE+∠DEB=180°，∴OD∥MB，∴∠ODA=∠DAE，又∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∴∠DAE=∠OAD，则AD为∠CAM的平分线；【小题2】过O作OF⊥AB，显然四边形ODEF为矩形，则OF=DE，OD=EF，设圆的半径OD=EF=OA=r，∵AE=2，AD=4，∠AED=90°，∴DE=∴OF=DE=AF=EF-AE=r-2，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：OA2=AF2+OF2，即r2=（r-2）2+（2，解得：r=4，故⊙O的半径为4．【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，利用了转化及方程的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．2、(1)∠AEC=135°；(2)①BE+EA，理由见解析；②4【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得∠CDA=90°，CD=DA，再由等边三角形的性质得DE=DA，∠DEA=∠EDA=60°，然后求出∠DEC=75°，即可求解；（2）①过点C作CH⊥CE交AE的延长线于点H，证△ACH≌△BCE（SAS），得BE=AH=HE+EACE+AE；②取AB的中点O，连接OC，由勾股定理得CF=5，再证A、B、C、E四点共圆，由圆周角定理得AB是圆的直径，AB的中点O是圆心，过点O作ON⊥CF于N，延长ON交圆O于点E，此时点E到CF的距离最大，△CEF面积的面积最大，然后由三角形面积求出ON=125，则EN=OE-ON=85，即可求解．(1)解：∵∠BCA=90°，BC=AC，点D是AB的中点，∴∠CDA=90°，CD=12AB=DA，∵△ADE是等边三角形，∴DE=DA，∠DEA=∠EDA=60°，∴DC=DE，∠CDE=∠CDA-∠EDA=90°-60°=30°，∴∠DEC=12（180°-∠CDE）=12×（180°-30°）=75°，∴∠AEC=∠DEC+∠DEA=75°+60°=135°；(2)解：①线段BE，CE，EA之间的数量关系为：BE+EA，理由如下：过点C作CH⊥CE交AE的延长线于点H，如图2所示：则∠CEH =180°-∠AEC =180°-135°=45°，∴△ECH 是等腰直角三角形，∴CH =CE ，HE，∵∠BCA =∠ECH =90°，∴∠ACH =∠BCE ，在△ACH 和△BCE 中，AC BC ACH BCE CH CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACH ≌△BCE （SAS ），∴BE =AH =HE +EA+AE ；②取AB 的中点O ，连接OC ，如图3所示：∵∠BCA =90°，BC =AC ，∴△ACB 是等腰直角三角形，∴∠ABC =45°，∵O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC =OA =12AB =12（AF +BF ）=12×（1+7）=4，∴OF=OA-AF=4-1=3，在Rt△COF中，由勾股定理得：CF=，∵CF是定值，∴点E到CF的距离最大时，△CEF面积的面积最大，∵∠AEC=135°，∴∠ABC+∠AEC=180°，∴A、B、C、E四点共圆，∵∠BCA=90°，∴AB是圆的直径，AB的中点O是圆心，过点O作ON⊥CF于N，延长ON交圆O于点E，此时点E到CF的距离最大，△CEF面积的面积最大，∵S△OCF=12OC•OF=12CF•ON，∴431255OC OFONCF⋅⨯===，∵OE=OC=4，∴EN=OE-ON=4-125=85，∴△CEF面积的面积最大值为：12CF•EN=12×5×85=4．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和圆周角定理，证明△ACH≌△BCE 是解题的关键．3、 (1)见解析(2)65°(3)23π【解析】【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠CPB＝∠PBC，等量代换得到∠APO＝∠CBP，根据三角形的内角和得到∠CBO＝90°，于是得到结论；（2）根据等腰三角形和直角三角形的性质得到∠ABO＝25°，∠APO＝65°，根据三角形外角的性质得到∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，根据圆周角定理即可得到结论；（3）根据弧长公式即可得到结论．(1)证明：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠PBC，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∵OC⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠OAP+∠APO＝90°，∴∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠CBO＝90°，∴BC是⊙O的切线；(2)解：∵∠BAO＝25°，∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，∴∠AQB＝12（∠AOP+∠POB）＝12×130°＝65°；(3)解：由（2）得，∠AQB＝65°，∴∠AOB＝130°，∴AmB的长＝AQB的长＝23018180π⋅⨯＝23π．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，弧长的计算，圆周角定理，熟练正确切线的判定和性质定理是解题的关键．4、90°的圆周角所对的弦是直径【解析】【分析】（1）由勾股定理即可得出答案；（2）取圆与网格线的交点D 、E ，连接DE 交AC 于O ，点O 即为经过出点A ，B 的圆的圆心；由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：（1）由勾股定理得：AB ；； （2）如图试所示：取圆与网格线的交点D 、E ，连接DE 交AC 于O ，点O 即为经过出点A ，B 的圆的圆心；理由如下：∵∠EAD ＝90°，∴DE 为圆O 的直径，∵经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上，∴DE 与AC 的交点即为点O ；故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径．【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．5、 (1)见解析(2)CE DE =【解析】【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到∠OEB=90°，进而得到OE//AC，根据平行线的性质得到∠OEA=∠EAC，根据等腰三角形的性质得到∠OEA=∠OAE，根据角平分线的定义证明结论；（2）根据圆周角定理得到∠AED=90°，证明△DAE∽△EAC，根据相似三角形的性质得到CE AE DE AD，根据余弦的定义计算，得到答案．(1)证明：连接OE，∵BC是⊙O的切线，∴OE⊥BC，即∠OEB=90°，∵∠C=90°，∴OE//AC，∴∠OEA=∠EAC，∵OE=OA，∴∠OEA=∠OAE，∴∠OAE=∠EAC，即AE平分∠BAC；(2)∵AD为⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠OAE =∠EAC ，∠C =90°，∴△DAE ∽△EAC ， ∴CE AE DE AD=， ∵∠C =90°，∠B =30°，∴∠BAC =90°-30°=60°，∴∠DAE =12∠BAC =30°，∵cos AE DAE AD ∠==cos30︒=∴CE AE DE AD == 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到OE ⊥BC 是解题的关键．。

鲁教版2019-2020九年级数学第五章第一单元圆的有关性质单元综合练习题（培优 含答案）1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC ＝5，CD ＝3，AB ＝ ，则⊙O 的直径等于（ ）A ．52B ．C ．D ．72．如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为3，AC ＝4，则sinB 的值是( )A ．B ．C ．D ．3．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，∠ABC =25°，则∠AOC 的度数是（ ）A.25°B.50°C.60°D.90°4．如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC=8，AH=6，⊙O 的半径OC=5，则AB 的值为（ ）A.5B.132C.7D.1525．如图,Rt △ABC 中,AB ⊥BC ,AB=6,BC=4.P 是△ABC 内部的一个动点,且满足∠P AB=∠PB C.则线段CP 长的最小值为（ ）A.32B.2C.13D.136．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，则下列说法中不正确的是（ ）A ．当a ﹤5时，点B 在⊙A 内 B ．当1﹤a ﹤5时，点B 在⊙A 内C ．当a ﹤－1时，点B 在⊙A 外D ．当a ﹥5时，点B 在⊙A 外7．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，若以点A 为圆心，以4为半径作⊙A ，则下列各点中在⊙A 外的是（ ）A.点AB.点BC.点CD.点D8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=45°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，若，则图中阴影部分的面积为（ ）A.π+1B.π+2C.2π+2D.4π+19．已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB 的长为6cm ，则弦AB 所对的圆周角的度数是_____． 10．如图，P 是⊙O 外一点，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠AOB=60°，PA 、PB 分别交ACB 于M 、N 两点，则∠APB 的范围是______．11．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为______．12．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图（从上向下垂直投影）如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是________cm．13．如图，在平面直角坐标系中，点P(3，4)，⊙P半径为2，A(2.6，0)，B(5.2，0)，点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为_____________.14．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高.小明的作法如下：（1）连接AD，BE，它们相交于点P；（2）连接CP并延长，交AB于点F.所以，线段AD，BE，CF就是所求的△ABC的三条高.请回答，小明的作图依据是________.15．已知AB、CD为⊙O的两条弦，圆心O到它们的距离分别为OM、O N，如果AB>CD，那么OM____ON。

鲁教版2019-2020九年级数学第五章第一单元圆的有关性质单元综合练习题（基础含答案）1．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A.AD=BDB.OD=CDC.∠CAD=∠CBDD.∠OCA=∠OCB 2．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）A．3 B．4 C．5 D．63．不在同一条直线上的三个点可以确定（）个圆.A．1 B．2 C．3 D．44．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AC=12，sinB=，则⊙O的半径为（）A．6.5 B．7.5 C．8.5 D．105．5．下列说法中正确的有（）①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③一条直线平分弦，那么这条直线垂直这条弦；④平分弦的直线，必定过圆心；⑤平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，AB、AC是圆O的两条切线，切点为B、C且∠BAC=50°，D是圆上一动点(不与B、C重合)，则∠BDC的度数为：( )A．130°B．65°C．50°或130°D．65°或115°7．如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA ，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A.25°B.40°C.30°D.50°8．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，∠CDB =30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则sin ∠E 的值是A.12B.13 D.29．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ．已知cos ∠ACD=，BC=4，则AC 的长为（ ）A ．1B ．C ．3D ． 10．如图，⊙的直径垂直于弦，则的大小是（）A. B. C. D.11．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为________米. 12．如图，以AB 为直径的半圆O 上有两点D 、E ，ED 与BA 的延长线交于点C ，且有DC=OE ，若∠C=20°，则∠EOB 的度数是__________．13．________叫做弧.14．如图，AB 是O 的直径，C D 、为O 上的两点，若35CDB ∠=︒，则ABC ∠的度数为__________．15．如图，等腰△ABC 内接于⊙O ，已知AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，BD 是⊙O 的直径，如果CD ＝3，则AD ＝_______.16．如图，是半圆的直径，，则的大小是_______度17．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠OCB=____°．18．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．19．如图：AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于D ，若∠ABC = 400，则∠ABD = _________020．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AB 的延长线上，BF ∥AC ，AB ＝BC ，∠ADC=130°，则∠FBE=_______°.21．如图，已知点C是∠AOB的边OB上的一点，求作⊙P，使它经过O、C两点，且圆心P恰好在∠AOB的角平分线上（尺规作图，保留痕迹，不需要写出作法）.22．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个等腰三角形底角的2倍，我们把这条对角线叫做这个四边形的黄金线，这个四边形叫做黄金四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=DC，对角线AC，BD都是黄金线，且AB ＜AC，CD＜BD，求四边形ABCD各个内角的度数；（2）如图2，点B是弧AC的中点，请在⊙O上找出所有的点D，使四边形ABCD的对角线AC是黄金线（要求：保留作图痕迹）；（3）在黄金四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度数．23．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°.（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长.24．如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P, 求证:PA ▪PB = PC▪PD25．请完成以下问题：（1）如图1，，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．26．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．（1）求OA的长；（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为，直接写出∠BAF的度数．27．如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD= 12BF．28．如图所示,AB是☉O的弦,C,D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC,OD,分别交☉O 于点E,F.试证:AE=BF.参考答案1．B【解析】DO=CD.理由如下：∵在O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，∵DO=CD，∴AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，∴四边形OACB为菱形.故选B.2．D【解析】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r.解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.故选：D.“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系.3．A【解析】在同一平面内，不再同一条直线上的三个点可以确定一个圆.故选A.4．B【解析】试题解析：作直径AD，连结DC，如图，∵∠D=∠B，∴sin D=sin B=，∵AD为直径，∴∠ACD=90°，在Rt△ADC中，sin D=，∴AD==15，∴OA=AD=7.5，即⊙O的半径为7.5．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和锐角三角函数的定义．5．B【解析】垂直于弦的直径平分弦，符合垂径定理，故①正确；在命题②中，两条直径是相互平分的，所以②是错误的；平分弦的直线不是直径一定不垂直这条弦，故③错误；平分弦的直线不是直径一定不过圆心，故命题④错误；平分弦的直径不一定平分这条弦所对的弧，因为当弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不垂直，也不平分这条弦所对的弧，故⑤错误；正确的一个，故选A.6．D【解析】当点在劣弧BC上时为点D′，当点在优弧BC上时为点D，如图所示：∵AB、AC是圆O的两条切线，∴∠ABO＝∠ACO=90°,又∵在四边形ABOC中，∠A＝50°，∴∠BOC＝360°－90°－90°－50°＝130°，又∵∠BDC＝1652BOC∠=°；∵∠CBD′+∠BCD′＝12BOC ∠ ，∠BOC ＝130°， ∴∠CBD′+∠BCD′＝65°，∴在△BCD′中，∠B D′C ＝180°－65°＝115°；故选D 。

精选2019-2020年数学九年级下册第五章圆5 确定圆的条件鲁教版课后练习五十七第1题【单选题】下列说法正确的是( )A、垂直于半径的直线是圆的切线B、经过三点一定可以作圆C、弦是直径D、每个三角形都有一个内切圆【答案】：【解析】：第2题【单选题】下列说法中正确的是( )A、不在同一条直线上的三个点确定一个圆B、相等的圆心角所对的弧相等C、平分弦的直径垂直于弦D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等【答案】：【解析】：第3题【单选题】如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A、点PB、点QC、点RD、点M【答案】：【解析】：第4题【单选题】如图，AB=OA=OB=OC，则∠ACB的大小是( )A、40°B、30°C、20°D、35°【答案】：【解析】：第5题【单选题】以下四个命题中属于假命题的是( )A、直径是弦B、过三点一定可以作一个圆C、半径相等的两个半圆是等弧D、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形【答案】：【解析】：第6题【单选题】下列说法正确的是( )A、经过三点可以作一个圆B、三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C、等弧所对的圆心角相等D、相等的圆心角所对的弧相等【答案】：【解析】：第7题【单选题】可以作圆，且只可以作一个圆的条件是( )A、已知圆心B、已知半径C、过三个已知点D、过不在一直线上的三点【答案】：【解析】：第8题【单选题】下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数是( )A、0B、2C、3D、4【答案】：【解析】：第9题【单选题】下列说法中，正确的是( )A、经过三个点一定可以作一个圆B、经过四个点一定可以作一个圆C、经过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦D、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等【答案】：【解析】：第10题【填空题】经过一个点的圆有______个，圆心______；经过两点的圆有______个，圆心在______；若平面上三点能够确定一个圆，那么这三点所满足的条件是______．A、无数B、不确定C、无数D、两点连线的垂直平分线上E、三点不在一条直线上．【答案】：【解析】：第11题【填空题】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作______个．A、3【答案】：【解析】：第12题【解答题】如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．【答案】：【解析】：第13题【综合题】如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．求证：BD=CD；请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．【答案】：【解析】：第14题【综合题】定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段______．在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB=3，BD=有误，求BC的长．【答案】：无【解析】：第15题【综合题】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，连接AD，过B作BE⊥AD，垂足为E，交AC于点F，连接CE．求证：△BCF≌△ACD．猜想∠BEC的度数，并说明理由；探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由．【答案】：无【解析】：。

鲁教版2019-2020九年级数学第五章第二单元直线与圆的位置关系综合练习题1（培优 含答案）1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，连接AC ，若∠A=30°，PC=3，则⊙O 的半径为（ ）C.32 2．下列哪一个是假命题（ ）A.五边形外角和为360°B.切线垂直于经过切点的半径C.（3，﹣2）关于y 轴的对称点为（﹣3，2）D.抛物线y=x 2﹣4x+2017对称轴为直线x=23．点P 为半径为3的O 上一点，若PQ 3=，则点Q 与O 的位置关系为（ ） A.在⊙O 外 B.在⊙O 上 C.在⊙O 内 D.都有可能4．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠ACB 度数是（ ）A.50°B.60°C.70°D.80°5．在直径为8cm 的圆外有一点P ，点P 到圆上的点的最短距离为4cm ，则过点P 的圆的切线长为（ ）A. 4cmB.C.D. 6cm 6．已知O 的半径为5cm ，P 为圆外一点，A 为线段OP 的中点，当OP 12=时，点A 和O 的位置关系是（ ）A.点A 在⊙O 内B.点A 在⊙O 外C.点A 在⊙O 上D.无法确定 7．如图，P A 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中，错误的是（ ）A.∠1=∠2B.P A=PBC.AB⊥OPD.2PA=PC•PO 8．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是（）．A.点P在⊙O外B.点P在⊙O内C.点P在⊙O上D.无法确定9．如图，O的半径为3，P是CB延长线上一点，5PO=，PA切O于A点，则PA=________．10．如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P 周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．随着点M的转动，当m从13变化到23时，点N相应移动的路径长为_______．11．如图，一次函数y=﹣12x+a（a＞0）的图像与坐标轴交于A，B两点，以坐标原点O为圆心，半径为2的⊙O与直线AB相离，则a的取值范围是______．12．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，3为半径作圆，则点C与圆A的位置关系为：点C在圆A_____．13．如图，已知线段AB=6，C 为线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），将线段AC 绕点A 逆时针旋转120°得到AD ，将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到BE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 的半径最小值为_____．14．已知在三角形中C 90∠=，AC 3=，BC 4=，则ABC 的内切圆的面积是________．15．如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B.下列结论中：①OP 垂直平分AB ；②∠APB ＝∠BOP ；③△ACP ≌△BCP ；④PA ＝AB ；⑤若∠APB ＝80°，则∠OBA ＝40°. 一定正确的是___．16．如图等边ABC ，以AB 为直径的O 交AC 于E 点，交BC 于P ，PF AC ⊥于F ，下列结论正确的是：________．①P 是BC 中点；②BP PE =；③PF 是O 的切线；④AE EC =．17．(1)尺规作图：如图，AB 为⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线m;（2）在直线m 上任取一点P （A 点除外），连接PB 交圆O 与点C ，请补全图形，并证明： 2•PA PC PB =18．已知：如图，O 是ABC 的外接圆，且AB AC 13==，BC 24=，PA 是O 的切线，A 为切点，割线PBD 过圆心，交O 于另一点D ，连接CD ．()1求证：PA //BC ；()2求O 的半径及CD 的长．19．如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD ．（1）判断CD 与圆O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径为2，∠CBD=30°，求图中阴影部分的面积．20．如图，Rt △ABC 中，∠ABC=900，AC=2BC=O 在边AB 上，以点O 为圆心，，OB 的长为半径的圆恰好与AC 相切于D ，与边AB 相交于点E.(1)求证：点D 为AC 的中点；(2)若点F 为半圆BEF 上的动点，连接BD 、BF 、DF ，填空：①当∠BDF= 时，四边形BCDF 为菱形；②当△BDF 为直角三角形时，BF= .21．如图1O ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O 于点D ．()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；()2如图3，当DC AC =时，延长AB 至点E ，使12BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O 的切线；②求PC 的长．22．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，CA =CD ，∠CDA =30°．试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.23．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC=60°，BD 平分∠ADC ．(1)试说明△ABC 是等边三角形；(2)若AD=2，DC=4，求四边形ABCD 的面积．24．已知：如图，在△ABC 中，AC=BC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ．（1）求证：点D 是AB 的中点；（2）求证：DE 是⊙O 的切线；（3）若⊙O 的直径为18，cosB=13，求DE 的长．参考答案1．A【解析】连接OC ，∵OA=OC ，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC 是⊙O 切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴故选：A2．C【解析】分析：根据每个选项所涉及的数学知识进行分析判断即可.详解：A 选项中，“五边形的外角和为360°”是真命题，故不能选A ；B 选项中，“切线垂直于经过切点的半径”是真命题，故不能选B ；C 选项中，因为点（3，-2）关于y 轴的对称点的坐标是（-3，-2），所以该选项中的命题是假命题，所以可以选C ；D 选项中，“抛物线y=x 2﹣4x+2017对称轴为直线x=2”是真命题，所以不能选D.故选C.点睛：熟记：（1）凸多边形的外角和都是360°；（2）切线的性质；（3）点P （a ，b ）关于y轴的对称点为（-a ，b ）；（4）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线：2b x a=- 等数学知识，是正确解答本题的关键.3．D【解析】【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论．【详解】∵PQ=OP ，OQ 的大小不能确定，∴点Q 与⊙O 的位置关系不能确定．故选D ．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键4．C【解析】【分析】连接BC ，根据题意PA ，PB 是圆的切线以及P 40∠=︒可得AOB ∠的度数，然后根据OA OB =，可得CAB ∠的度数，因为AC 是圆的直径，所以ABC 90∠=︒，根据三角形内角和即可求出ACB ∠的度数。

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九年级圆知识点及习题(含答案)圆圆的有关概念与性质1.圆上各点到圆心的距离都等于 半径 。

2。

圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ;圆又是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心。

3.垂直于弦的直径平分 这条弦 ，并且平分 弦所对的弧 ；平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦,并且平分 弦所对的弧 。

4。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量 相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 。

5。

同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等于它所对的圆心角的 一半 。

6。

直径所对的圆周角是 90° ，90°所对的弦是 直径 。

7.三角形的三个顶点确定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 外 心，是三角形 三边垂直平分线 的交点。

8。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆 ，内切圆的圆心是三角形 三条角平分线的交点 的交点，叫做三角形的 内心 。

9。

圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．10。

圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种：① 点在圆外 ，② 点在圆上 ,③ 点在圆内 ；对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为： ①d > r,②d = r ，③d < r.2.直线与圆的位置关系共有三种：① 相交 ，② 相切 ，③ 相离 ; 对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为： ①d < r ，②d = r ，③d > r. 3。

鲁教版五四制初中数学九年级下册第五章圆复习习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=6，则CD的长为( )A．3B．C．6D．2．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm4．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．B．C．D．5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）A．120°B．100°C．80°D．60°6．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°7．如图，与相切于点，若，则的度数为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，⊙O的直径AD=6，则BD的长为( )A．2B．3C．2D．39．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°10．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2B．3C．D．411．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB 于点D，连结CD．若，则的度数是（）A．B．C．D．12．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．35°C．45°D．60°13．如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O 上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( )A．30°B．35°C．40°D．45°14．如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（）A．B．C．D．15．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=40°，点D是劣弧上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是（）A．50°B．45°C．140°D．130°16．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．2π17．如图，在矩形ABCD中AB=，BC=1，将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D，点A恰好落在矩形ABCD的边CD上，则AD扫过的部分（即阴影部分）面积为（）A．B．-C．-D．18．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是( )A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝∠BOD D．∠A＝∠ACD19．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=50°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°20．如图，△外接圆的半径长为3，若，则AC的长为A．4B．C．D．21．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B．C．1D．222．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（）A．5B．8C．10D．1223．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）A．B．2﹣2C．2﹣2D．424．如图，MN是⊙O的直径，MN=8，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为( )A．B．C．D．25．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm26．如图，△ABD内接于圆O，∠BAD=60°，AC为圆O的直径．AC交BD于P点且PB=2，PD=4，则AD的长为( )A．2B．2C．2D．427．如图，在半径为4的⊙O中，CD为直径，AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O 上一动点，CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( )A．πB．πC．πD．π28．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3B．4C．3D．429．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D、E；在点C的运动过程中，下列说法正确的是A．扇形AOB的面积为B．弧BC的长为C．∠DOE=45°D．线段DE的长是30．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P 与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（）A．B．C．D．31．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束．在整个运动过程中，点C运动的路程是（）A．4B．6C．4﹣2D．10﹣432．如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P为弧AB上的动点，PM⊥O A，PN⊥OB，垂足分别为M、N，D是△PMN的外心．当点P运动的过程中，点M、N分别在半径上作相应运动，从点N离开点O时起，到点M到达点O时止，点D运动的路径长（）A．B．C．2D．二、填空题33．如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则CD的长为__．34．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为_____．35．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ________．36．如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=_____．37．.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高OC 的长度是_______．38．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为____．39．如图，AB、AC是⊙O的切线，且∠A=54°，则∠BDC=__________．40．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2018时，顶点A的坐标为_____．41．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为_____．42．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为_____．43．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．44．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为_____．45．如图，△ABC内接于⊙O，DA、DC分别切⊙O于A、C两点，∠A BC=114°，则∠ADC 的度数为_____．46．如图，矩形ABCD的一边AD与相切于点E，点B在上、BC与相交于点F，，，，则的半径长为______．47．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为AC的中点，若∠B=50°，则∠A的度数为_____度．48．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=23°，则∠AOB=_____．49．已知扇形的弧长为2，圆心角为60°，则它的半径为________．50．用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为_____．51．如图所示，⊙O的半径OA=4，∠AOB=120°，则弦AB长为____________.52．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=45°，BC=4，以BC为直径的⊙O与AC相交于点O，则阴影部分的面积为__．53．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B 作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．54．如图所示，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，将半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦AC恰好落在直径AB上，则折痕AD的长为_______cm．55．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，若∠AOB+∠C=180°，∠COD=∠A，则∠AOB=________56．如图，⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC 的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：①∠A始终为60°；②当∠ABC=45°时，AE=EF；③当△ABC为锐角三角形时，ED=；④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）57．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为_____．58．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为_____．59．如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1 cm，则这个扇形的半径是________cm.60．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，∠DCB=60°，AB+BC=8，则AC的长是_____．61．如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC 的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为__．62．如图，点C，D为线段AB的三等分点，以CD为边向上作一个正△，以O为圆心，OA长为半径作弧交OC的延长线于点E，交OD的延长线于点F，若，则阴影部分的面积为______．63．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为_____．64．⊙O的半径为5，两条弦AB=8，CD=6，且AB∥CD，直径MN⊥AB于点P，则PC的值为_____．65．如图，△中，，，△的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O 滑动，直到与点O重合时运动结束在这个运动过程中．中点P经过的路径长______．点C运动的路径长是______．66．如图1，点P从扇形AOB的O点出发，沿 → → →0以1cm/s的速度匀速运动，图2是点P运动时，线段OP的长度y随时间x变化的关系图象，则扇形AOB中弦AB 的长度为______cm．67．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的圆心A的坐标为（1，0），半径为1，点P为直线y=x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，且点为B，则PB的最小值是．68．如图，在⊙O上依次取点A、B、C、D、E，测得∠A+∠C=220°，F为⊙O上异于E、D 的一动点,则∠EFD= ．69．如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________．70．如图，在半径为的中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当△是等腰三角形时，线段的长为____．71．用一张半径为9cm、圆心角为的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面（不计接缝），那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是____cm．72．如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是_____．73．如图，已知⊙O的半径为9cm，射线PM经过点O，OP＝15 cm，射线PN与⊙O相切于点Q．动点A自P的速度沿射线PM方向运动，同时动点B也自P 点以2cm/s的速度沿射线PN方向运动，则它们从点P出发 s后AB所在直线与⊙O相切.74．一块△ABC余料，已知AB=8cm，BC=15cm，AC=17cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是．三、解答题75．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB 交CB延长线于点E，垂足为点F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径R=5，tanC=，求EF的长．76．在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出将△ABC向右平移2个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）作出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；（3）求在（2）的旋转变换中，线段BC扫过区域的面积（结果保留π）77．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．78．如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，点A为切点，BP与⊙O交于点C，点D是AP的中点，连结CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=2，∠P=30°，求阴影部分的面积．79．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积．（结果保留π）80．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）若BC=4，求阴影部分的面积．81．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD82．如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD 交CE的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．83．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，OD∥BC，OD与AC交于点E.(1)若∠D＝70°，求∠CAD的度数；(2)若AC＝8，DE＝2，求AB的长．84．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．（1）求圆O的半径；（2）如果AE=6，求EF的长．85．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN 于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．86．如图，在Rt△ABC中，＝，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O.（1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由;（2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，＝，求的值;（3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长.87．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E，DE＝4，CE＝2.(1)求证：DE⊥AE；(2)求⊙O的半径．88．如图，⊙O中，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC=BC，连接BC．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)⊙O的半径为5，tan A=，求FD的长．89．已知：二次函数＞，当时，函数有最大值5.（1）求此二次函数图象与坐标轴的交点；（2）将函数＞图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为，当以为直径的圆与轴相切时，求的值.（3）若点是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于m的一元二次方程恒有实数根时，求实数k的最大值.90．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接EF，当∠D=°时，四边形FOBE是菱形．91．如图，四边形ABCD是矩形，，，点P是对角线AC上的动点不与点A，C重合，连接PD，作交射线BC于点E，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．线段PD的最小值为______；求证：，并求矩形PEFD面积的最小值；是否存在这样的点P，使得△是等腰三角形？若存在，请求出PE的长；若不存在，请说明理由．92．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，求△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD=2，试求出线段CP的最大值.93．如图，是⊙的直径，弦于点，过点的切线交的延长线于点，连接DF．（1）求证：DF是⊙的切线；（2）连接，若=30°，，求的长．94．如图1，抛物线27 4y ax bx=++，经过A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D 点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM△ABC？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长（不需要写过程）．95．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点.（1）求证：EB＝EI；（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长.96．如图乙，△和△是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线BD，CE的交点．如图甲，将△绕点A 旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是______．若 ， ，把△ 绕点A 旋转， 当 时，求PB 的长； 求旋转过程中线段PB 长的最大值．97．如图，在Rt ABC ∆中， 90ABC ∠=︒， AC 的垂直平分线分别与AC ， BC 及AB 的延长线相交于点D ， E ， F ，且B F B C =. ⊙O 是BEF ∆的外接圆， EBF∠的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接BD ， FH .（1）求证： ABC EBF ∆≅∆；（2）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）若1AB =， 求HG HB ⋅的值.98．在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y =x 上时停止旋转．旋转过程中，AB 边交直线y =x 于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图1）． （1）求边AB 在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN =m ，当m 为何值时△OMN 的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN 内切圆的半径．99．如图①，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，C 是⊙O 上的动点，AC 是弦，直线EF 和⊙O 相切于点C ，AD ⊥EF ，垂足为D ．(1)求证：∠DAC ＝∠BAC ； (2)若AD 和⊙O 相切于点A ，求AD 的长；(3)若把直线EF 向上平行移动，如图②，EF 交⊙O 于G ，C 两点，题中的其他条件不变，试问这时与∠DAC 相等的角是否存在，并说明理由．100．在直角坐标系中，A （0，4），B （0）．点C 从点B 出发沿BA 方向以每秒2个单位的速度向点A 匀速运动，同时点D 从点A 出发沿AO 方向以每秒1个单位的速度向点O 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C 、D 运动的时间是t 秒(t>0)．过点C 作CE ⊥BO 于点E ，连结CD 、DE ． ⑴ 当t 为何值时，线段CD 的长为4； ⑵ 当线段DE 与以点OO 有两个公共交点时，求t 的取值范围； ⑶ 当t 为何值时，以C 为圆心、CB 为半径的⊙C 与⑵中的⊙O 相切？101．如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB ）放在直线l 1上。

鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后作业题1（附答案）一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．面积相等的圆是等圆D．劣弧一定比优弧短2．下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦．（2）长度相等的两条弧一定是等弧．（3）面积相等的两个圆是等圆．（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（）A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜4．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（）A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y5．如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm6．如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）A．5米B．7米C．米D．米7．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO＝40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°8．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．不能确定9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点在⊙A外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D二．填空题（共10小题）11．平面上到点O的距离为3cm的点的轨迹是．12．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为cm．13．如图，AB是⊙O的直径，点CD在⊙O上并且在AB的同一侧，若∠C＝109°，则∠AOD的度数是．14．如图，在⊙O中，＝，∠1＝30°，则∠2＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．16．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD 长为寸．17．如图，在⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，BC＝9，∠BAC+∠EAD＝180°，则⊙A的直径等于．18．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为．19．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，已知∠BCD＝110°，格据推断出∠BAD的度数为70°，则她判断的依据是点．20．已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O 的半径为．三．解答题（共8小题）21．如图，从A村到E村有两条路（一条经过B、C、D村，另一条不经过），哪条路比较近呢？（两条路分别是由一个比较大的半圆和四个全等的小半圆组成的）22．如图所示，小丽家到学校有2条路线．分别以AB、BC和AC为直径的半圆弧，已知AB＝8千米，BC＝16千米．（1）比较①②两条路线，走哪条近；（2）如果AB＝a，BC＝b，那么①②两条路线的长度有什么变化呢？你得到什么样的结论？23．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．（1）求∠AOG的度数；（2）若AB＝2，求CD的长．24．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．25．如图，∠C＝90°，⊙C与AB相交于点D，AC＝6，CB＝8．求AD的长．26．如图，在△ABD中，AB＝AD，以AB为直径的圆交AD于点E，交BD于点F，过点D作DC∥AB交AF的延长线于点C，连接CB．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若AE＝7，BF＝2，求半圆的半径和菱形ABCD的面积．27．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．（1）求证：四边形OBDC是菱形；（2）若∠ABO＝15°，OB＝1，求弦AC长．28．（1）已知⊙O的直径为10cm，点A为⊙O外一定点，OA＝12cm，点P为⊙O上一动点，求P A的最大值和最小值．（2）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点．求证：CD＝CE．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．面积相等的圆是等圆D．劣弧一定比优弧短【解答】解：A、能完全重合的弧才是等弧，故本选项错误；B、必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；C、面积相等的圆是等圆；故本选项正确；D、在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短．故本选项错误．故选：C．2．下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦．（2）长度相等的两条弧一定是等弧．（3）面积相等的两个圆是等圆．（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；（3）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径；（5）圆上任意两点间的部分叫弧．错误；故选：B．3．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（）A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜【解答】解：连接AD，OB，OC，∵＝180°，且＝，＝，∴∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，∴∠E＝AOC＝67.5°，∴∠ABC＝112.5°＜130°，取的中点F，连接OF，则∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝90°+22.5°＝112.5°，∴∠ABF＝123.75°＜130°，∴Q点在上，且＜，故选：B．4．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（）A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y【解答】解：连接BC，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣x°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝x°，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA＝x°，∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，∴x+y＝90，故选：A．5．如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【解答】解：如图，连接OA，∵⊙O的直径CD＝12cm，∴OD＝OA＝OC＝6，∵OE：OC＝1：3，∴OE＝2，∵AB⊥CD，∴AB＝2AE，∠OEA＝90°，在Rt△OAE中，AE＝＝＝4，∴AB＝2AE＝8cm．故选：D．6．如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）A．5米B．7米C．米D．米【解答】解：∵CD⊥AB，AB＝10米，由垂径定理得AD＝5米，设圆的半径为r，由勾股定理得OD2+AD2＝OA2，即（7﹣r）2+52＝r2，解得r＝米．故选：D．7．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO＝40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°【解答】解：∵OA＝OB，∠ABO＝40°，∴∠AOB＝100°，∴∠C＝∠AOB＝50°，故选：C．8．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．不能确定【解答】解：∠D＝∠AOC，∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B＝∠AOC，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，3∠D＝180°，∴∠D＝60°，故选：B．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝65°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°，∴∠DBC＝∠CAD＝50°，故选：A．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点在⊙A外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：连接AC，∵在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，∴BC＝AD＝3，∠B＝90°，∴AC＝＝5，∵AB＝4＝4，AC＝5＞4，AD＝3＜4，∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A内．故选：C．二．填空题（共10小题）11．平面上到点O的距离为3cm的点的轨迹是以O为圆心，3cm为半径的圆．【解答】解：平面上到点O的距离为3cm的点的轨迹是以O为圆心，3cm为半径的圆．故答案为以O为圆心，3cm为半径的圆．12．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为10cm．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，∴⊙O的直径为10cm，即圆中最长的弦长为10cm．故答案为10．13．如图，AB是⊙O的直径，点CD在⊙O上并且在AB的同一侧，若∠C＝109°，则∠AOD的度数是38°．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣109°＝71°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A＝71°，∴∠AOD＝180°﹣71°×2＝38°，故答案为：38°．14．如图，在⊙O中，＝，∠1＝30°，则∠2＝30°．【解答】解：∵在⊙O中，＝，∴＝，∴∠1＝∠2＝30°．故答案是：30°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝，∴AE＝＝＝，∴AD＝2AE＝，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，故答案为：．16．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD 长为26寸．【解答】解：连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，∵AB⊥CD，AB＝1尺，∴AE＝AB＝5寸，在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13（寸）．∴CD＝2r＝26寸．故答案为：26．17．如图，在⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，BC ＝9，∠BAC+∠EAD＝180°，则⊙A的直径等于3．【解答】解：作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴，∴DE＝BF＝6，∵CF是直径，∴∠CBF＝90°，∴CF＝＝＝3，故答案为：3．18．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为2．【解答】解：∵C，D分别是AB，BP的中点∴CD＝AP，当AP为直径时，CD长最大，∵AP为直径，∴∠ABP＝90°，且∠APB＝45°，AB＝4，∴AP＝4∴CD长的最大值为2故答案为219．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，已知∠BCD＝110°，格据推断出∠BAD的度数为70°，则她判断的依据是点圆内接四边形的对角互补．【解答】解：∵点A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BCD＝110°，∴∠BAD＝70°，判断的依据是圆内接四边形的对角互补，故答案为：圆内接四边形的对角互补．20．已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O 的半径为2或3．【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝5+1＝6，因而半径是3；当点P在圆外时，直径＝5﹣1＝4，因而半径是2．所以⊙O的半径为2或3．故答案为：2或3．三．解答题（共8小题）21．如图，从A村到E村有两条路（一条经过B、C、D村，另一条不经过），哪条路比较近呢？（两条路分别是由一个比较大的半圆和四个全等的小半圆组成的）【解答】解：设四个小半圆的半径是r，则大圆的半径是4r，则走大半圆的路长是4πr，走小半圆的路长是：4×πr＝4πr．则两条道路的长度相同．22．如图所示，小丽家到学校有2条路线．分别以AB、BC和AC为直径的半圆弧，已知AB＝8千米，BC＝16千米．（1）比较①②两条路线，走哪条近；（2）如果AB＝a，BC＝b，那么①②两条路线的长度有什么变化呢？你得到什么样的结论？【解答】解：（1）∵①路线的长＝AC•π＝（8+16）•π＝12π，②路线的长＝AB•π+BC•π＝（AB+BC）π＝AC•π＝12π，∴两条路线相等；（2）∵①路线的长＝AC•π＝（a+b）•π＝π，②路线的长＝AB•π+BC•π＝（AB+BC）π＝（a+b）π，∴两条路线相等；结论：不论AB，BC的长度怎么变化那么①②两条路线长度仍然相等．23．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．（1）求∠AOG的度数；（2）若AB＝2，求CD的长．【解答】解：（1）连接OD，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠BOC＝∠BOD，由圆周角定理得，∠A＝∠BOD，∴∠A＝∠BOD，∵∠AOG＝∠BOD，∴∠A＝∠AOG，∵∠OF A＝90°，∴∠AOG＝60°；（2）∵∠AOG＝60°，∴∠COE＝60°，∴∠C＝30°，∴OE＝OC＝，∴CE＝＝，∵AB⊥CD，∴CD＝2CE＝．24．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：∠ACB＝2∠BAC．证明：∵∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC；又∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC．25．如图，∠C＝90°，⊙C与AB相交于点D，AC＝6，CB＝8．求AD的长．【解答】解：作CE⊥AD于E，如图，∵∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，∴AB＝＝10，∵CE•AB＝AC•BC，∴CE＝＝，在Rt△ACE中，AE＝＝＝，∵CE⊥AD，∴AE＝DE，∴AD＝2AE＝．26．如图，在△ABD中，AB＝AD，以AB为直径的圆交AD于点E，交BD于点F，过点D 作DC∥AB交AF的延长线于点C，连接CB．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若AE＝7，BF＝2，求半圆的半径和菱形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AC⊥BD，∵AB＝AD，∴BF＝DF，∵DC∥AB，∴∠CDF＝∠ABF，在△CFD和△AFB中，∴△CFD≌△AFB（ASA），∴CF＝AF，∴四边形ABCD为菱形；（2）解：∵BF＝2，∴BD＝4，连接BE，则∠AEB＝90°，设菱形的边长为2r，则DE＝AD﹣AE＝2r﹣7，∵BD2﹣DE2＝AB2﹣AE2，即42﹣（2r﹣7）2＝（2r）2﹣72解得r＝4或r＝﹣（舍去），∴BE＝＝＝，∴菱形ABCD的面积为：AD•BE＝8×＝8．27．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．（1）求证：四边形OBDC是菱形；（2）若∠ABO＝15°，OB＝1，求弦AC长．【解答】（1）证明：连接OD，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵AD平分∠BAC，∴＝，∴∠BOD＝∠COD＝60°，∵OB＝OD，OC＝OD，∴△BOD和△COD是等边三角形，∴OB＝BD＝DC＝OC，∴四边形OBDC是菱形；（2）解：连接OA，∵OB＝OA，∠ABO＝15°，∴∠AOB＝150°，∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，∴AC＝＝．28．（1）已知⊙O的直径为10cm，点A为⊙O外一定点，OA＝12cm，点P为⊙O上一动点，求P A的最大值和最小值．（2）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点．求证：CD＝CE．【解答】（1）解：∵⊙O的直径为10cm，∴⊙O的半径为10÷2＝5（cm），当点P在线段OA的延长线上时，P A取得最大值，当点P在线段OA上时，P A取得最小值∵OA＝12cm，∴P A的最大值为12+5＝17cm，P A的最小值为12﹣5＝7cm；（2）证明：连接CO，如图所示，∵OA＝OB，且D、E分别是半径OA和OB的中点，∴OD＝OE，又∵＝，∴∠COD＝∠COE，在△COD和△COE中，，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE。

鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题2（附答案）一．选择题（共10小题）1．到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆2．由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（）A．4πB．9πC．16πD．25π3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝100°，AD∥OC，则∠AOD＝（）A．20°B．60°C．50°D．40°4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．125．如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且DM：MC＝4：1，则AB的长是（）A．2B．8C．16D．6．乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m7．如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝60°，则圆周角∠ACB的度数是（）A．50°B．25°C．100°D．30°8．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（）A．2B．3C．D．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．70°10．已知⊙O的半径为6cm，点P在⊙O上，则OP的长是（）A．l2cm B．5cm C．6cm D．4cm二．填空题（共10小题）11．如果圆的半径为4厘米，那么它的面积为平方厘米．12．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为cm．13．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，要使AB＝CD，需要补充的条件是（补充一个即可）．14．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝度．15．半径为1的⊙O中，两条弦AB＝，AC＝1，∠BAC的度数为．16．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为米．17．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED＝．18．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝40°，∠CPB＝70°，则∠B的大小为（度）19．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对应的延长线分别交于点E、F，∠E＝α，∠F＝β，则∠A等于°．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆上，点B在半圆上，边AB、AO分别交于点C、D，点B、C、D对应的读数分别为160°、52°、40°，则∠A＝°．三．解答题（共8小题）21．如图是一个圆环，外圆半径R＝20 cm，内圆半径r＝10 cm，求这个圆环的面积．22．如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．作图说明：已知点AB＝4cm，到点A的距离小于2cm，到点B的距离小于3cm的所有点组成的图形．23．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点．（1）求证：DE＝EC；（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径24．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝DC，AC与BD相等吗？为什么？25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，若AC ＝6，BC＝8，求AD的长．26．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，BF∥OC，连接BC和CF，CF交AB于点G．（1）求证：∠OCF＝∠BCD；（2）若CD＝4，tan∠OCF＝，求⊙O半径的长．27．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD＝CE．28．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以r＝3为半径作圆，判断A、B两点和⊙O的位置关系．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆【解答】解：根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）．故选：D．2．由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（）A．4πB．9πC．16πD．25π【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积是以5为半径的圆与以3为半径的圆组成的圆环的面积，即π×52﹣π×32＝16π，故选：C．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝100°，AD∥OC，则∠AOD＝（）A．20°B．60°C．50°D．40°【解答】解：∵∠BOC＝100°，∠BOC+∠AOC＝180°，∴∠AOC＝80°，∵AD∥OC，OD＝OA，∴∠D＝∠A＝∠AOC＝80°，∴∠AOD＝180°﹣2∠A＝20°．故选：A．4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．12【解答】解：作直径CF，连结BF，如图，则∠FBC＝90°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∴BC＝＝8．故选：A．5．如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且DM：MC＝4：1，则AB的长是（）A．2B．8C．16D．【解答】解：连接OA，如图，∵DC⊥AB，且DC为圆O的直径，∴M为AB中点，即AM＝BM＝AB，又∵CD＝10，DM：MC＝4：1，∴DM＝DC＝8，MC＝DC＝2，且OA＝OD＝5，∴OM＝DM﹣OD＝8﹣5＝3，在Rt△AOM中，根据勾股定理得：OA2＝OM2+AM2，即AM＝＝4，则AB＝2AM＝8．故选：B．6．乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m【解答】解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝4m，设B半径OC＝xm，则DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．故选：B．7．如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝60°，则圆周角∠ACB的度数是（）A．50°B．25°C．100°D．30°【解答】解：∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°．故选：D．8．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（）A．2B．3C．D．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，∵∠P＝30°，∴∠D＝∠P＝30°．∵AD是⊙O的直径，AD＝4，∴∠ABD＝90°，∴AB＝AD＝2．故选：A．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝55°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝55°，∴∠DAC＝70°，由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC＝70°，故选：D．10．已知⊙O的半径为6cm，点P在⊙O上，则OP的长是（）A．l2cm B．5cm C．6cm D．4cm【解答】解：∵点P在⊙O上，∴OP＝r＝6cm，故选：C．二．填空题（共10小题）11．如果圆的半径为4厘米，那么它的面积为16π平方厘米．【解答】解：圆的面积＝π•42＝16π（cm2）．故答案为16π．12．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为8cm．【解答】解：∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm，∴⊙O的半径为8cm．故答案为：8．13．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，要使AB＝CD，需要补充的条件是＝（补充一个即可）．【解答】解：当＝时，AB＝CD，理由如下：∵＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD，故答案为：＝．14．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝60度．【解答】解：如图，连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝20°，∴∠OAB＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝60°，故答案为：60．15．半径为1的⊙O中，两条弦AB＝，AC＝1，∠BAC的度数为15°或105°．【解答】解：如图1，当AC与AB在点A的两旁．连OC，OA，OB，如图，在△OAC中，∵OA＝OC＝1，AC＝1，∴△OAC为等边三角形，∴∠OAC＝60°；在△OAB中，∵OA＝OB＝1，AB＝，即12+12＝（）2，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，∴∠BAC＝45°+60°＝105°；如图2，当AC与AB在点A的同旁．同（1）一样，可求得∠OAC＝60°，∠OAB＝45°，∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°．综上所述：∠BAC的度数为：105°或15°．故答案为：105°或15°．16．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为10米．【解答】解：设所在的圆的圆心是O．根据垂径定理，知C，O，D三点共线，设圆的半径是r，则根据垂径定理和勾股定理，得r2＝（r﹣4）2+64，∴r＝10．17．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED＝20°．【解答】解：连接BE，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠DEB+∠DCB＝180°，∴∠DEB＝180°﹣110°＝70°，∴∠AED＝∠AEB﹣∠DEB＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°18．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝40°，∠CPB＝70°，则∠B的大小为30（度）【解答】解：∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB＝∠C+∠A；∵∠A＝30°，∠CPB＝70°，∴∠C＝∠CPB﹣∠A＝40°；∴∠B＝∠C＝30°；故答案为：30．19．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对应的延长线分别交于点E、F，∠E＝α，∠F＝β，则∠A等于（180°﹣α﹣β）°．【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，∴2∠A+α+β＝180°，∴∠A＝（180°﹣α﹣β）．故答案为：（180°﹣α﹣β）．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆上，点B在半圆上，边AB、AO分别交于点C、D，点B、C、D对应的读数分别为160°、52°、40°，则∠A＝24°．【解答】解：连接OC．可得∠COB＝160°﹣52°＝108°，∠AOB＝160°﹣40°＝120°，∴∠B＝（180°﹣108°）÷2＝36°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝24°．故答案为：24．三．解答题（共8小题）21．如图是一个圆环，外圆半径R＝20 cm，内圆半径r＝10 cm，求这个圆环的面积．【解答】解：大圆面积为：202πcm2小圆面积为：102πcm2400π﹣100π＝300πcm2∴答案为300πcm2．22．如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．作图说明：已知点AB＝4cm，到点A的距离小于2cm，到点B的距离小于3cm的所有点组成的图形．【解答】解：在操场上用一根很长的绳子，固定一头，拉紧后另一头旋转一周即可得到一个很大的圆．阴影部分就是到点A的距离小于2cm，到点B的距离小于3cm的所有点组成的图形23．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点．（1）求证：DE＝EC；（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径【解答】解：（1）连结AE，BD，∵E为的中点，∴＝，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠AEB是直径所对的圆周角，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△AEC和△AEB中，∴△AEC≌△AEB（ASA），∴CE＝BE，∴DE＝CE＝BE＝BC；（2）在Rt△CBD中，BD2＝BC2﹣CD2＝32，设半径为r，则AB＝2r，由（1）得AC＝AB＝2r，AD＝AC﹣CD＝2r﹣2，在Rt△ABD中AD2+BD2＝AB2，∴（2r﹣2）2+32＝（2r）2，解得：r＝4.5，∴⊙O的半径为4.5．24．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝DC，AC与BD相等吗？为什么？【解答】解：AC与BD相等．理由如下：∵AB＝DC，∴弧AB＝弧CD，∴弧AB+弧BC＝弧BC+弧CD，即弧AC＝弧BD，∴AC＝BD．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，若AC ＝6，BC＝8，求AD的长．【解答】解：作CE⊥AB于E，△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CE，∴6×8＝10×CE，解得，CE＝4.8，由勾股定理得，AE＝＝3.6，∵CE⊥AB，∴AD＝2AE＝7.2．26．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，BF∥OC，连接BC和CF，CF交AB于点G．（1）求证：∠OCF＝∠BCD；（2）若CD＝4，tan∠OCF＝，求⊙O半径的长．【解答】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，∴，∴∠BCD＝∠BFC，∵BF∥OC∴∠OCF＝∠BFC，∴∠OCF＝∠BCD；（2）解：∵AB⊥CD，∴CE＝CD＝2，∵∠OCF＝∠BCD∴tan∠OCF＝tan∠BCD＝，∵CE＝2∴BE＝1，设OC＝OB＝x，则OE＝x﹣1，在Rt△OCE中，∵x2＝（x﹣1）2+22，解得x＝，即⊙O半径的长为．27．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD＝CE．【解答】证明：如图，∵AB∥CE，∴∠ACE ＝∠BAC ．又∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠C＝∠CAD，∴＝，∴+＝+，∴＝，∴AD＝CE．28．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以r＝3为半径作圆，判断A、B两点和⊙O的位置关系．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝3；∵AC＝4＞r，∴点A在圆外，∵BC＝r，∴点B在圆上。

鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后作业题2（附答案）一．选择题（共9小题）1．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°2．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于（）A．40°B．45°C．55°D．80°3．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC ＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°4．如图所示，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为（）A．2B．8C．2D．25．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m6．如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上．有如下四个结论：①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE＝∠DCE；②在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BAE＝∠AEC；③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；④在∠ABC所对的弧上任意取一点E（不与点A，C重合），∠DCE＝∠ABO+∠AEO均成立．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．②④D．①②③④7．如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为（）A．B．C．D．18．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°9．在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5B．4C．3D．2二．填空题（共10小题）10．如图：AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝16°，则∠AOC的大小是°．11．到点P的距离等于2cm的点的集合是．12．如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC ＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝度．13．如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝．14．如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，OC＝5cm，则DC的长为cm．15．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是．16．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．17．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D．若∠A＝60°，∠ADC＝88°，则∠C 的度数是．18．如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，∠BAD＝60°，点C为的中点，则AC的长是．19．如图，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接P A，PB，则△P AB面积的最大值为．三．解答题（共8小题）20．如何表示优弧、劣弧？什么叫等弧？21．设AB＝2cm，作图说明满足下列要求的图形：（1）到点A和点B的距离都等于1.5cm的所有点组成的图形．（2）到点A的距离小于1.5cm且到点B的距离大于1cm的所有点组成的图形．22．如图，在⊙O中，AB＝CD．求证：AD＝BC．23．如图，在⊙O中，AB，CD相交于点P，且AB＝CD，求证：AP＝CP．24．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB＝2，CF＝FD＝4，求AC的长．25．在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，．（1）求∠ABC的度数；（2）求⊙O的半径．26．已知四边形ABCD顶点都在4×4的正方形网格格点上，如图所示，（1）请画出四边形ABCD的外接圆，并标明圆心M的位置；（2）这个圆中弦BC所对的圆周角的度数是．27．如图，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r．（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外．（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【解答】解：∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝50°，∴∠MON＝180°﹣2×50°＝80°．故选：C．2．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于（）A．40°B．45°C．55°D．80°【解答】解：连接BF，∵的度数为30°，∴的度数为150°，∠AFB＝15°，∵G是的三等分点，∴的度数为50°，∴∠GBF＝25°，∴∠GHF＝∠GBF+∠AFB＝40°，故选：A．3．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC ＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°【解答】解：连接AC，∵BC为半圆的直径，∴∠BAC＝90°，又A为半圆弧的中点，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°．故选：C．4．如图所示，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为（）A．2B．8C．2D．2【解答】解：连接BE，∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝BC＝4，设OA＝x，∵CD＝2，∴OC＝x﹣2，在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，∴42+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝5，∴OA＝OE＝5，OC＝3，∴BE＝2OC＝6，∵AE是直径，∴∠B＝90°，∴CE＝＝2，故选：D．5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m故选：A．6．如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上．有如下四个结论：①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE＝∠DCE；②在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BAE＝∠AEC；③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；④在∠ABC所对的弧上任意取一点E（不与点A，C重合），∠DCE＝∠ABO+∠AEO均成立．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．②④D．①②③④【解答】解：①当BE是⊙O的直径时，∠BCE＝∠DCE＝90°，故①正确；②当AE∥BC时，＝，∴＝，∴∠BAE＝∠AEC；故②正确；③当点E是的中点时，EO平分∠AEC；故正确；④如图2，∵∠A＝∠ECD，∠A+∠BOE＝180°，∴∠ABO+∠AEO＝360°﹣∠A﹣∠BOE＝360°﹣∠DCE﹣2（180°﹣∠COE），∴∠DCE＝∠ABO+∠AEO，故正确；故选：D．7．如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为（）A．B．C．D．1【解答】解：连接AQ，BQ，∵∠P＝45°，∴∠QAB＝∠P＝45°，∠AQB＝90°，∴△ABQ是等腰直角三角形．∵AB＝2，∴2BQ2＝4，∴BQ＝．故选：A．8．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠D＝180°﹣∠B＝48°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°，故选：B．9．在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），∴OA＝＝，OB＝＝5，∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴＜r＜5，∴r＝4符合要求．故选：B．二．填空题（共10小题）10．如图：AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝16°，则∠AOC的大小是48°．【解答】解：连结OD，如图，∵AB＝2DE，∴DE＝DO，∴∠E＝∠DOE＝16°，∴∠CDO＝∠E+∠DOE＝32°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠CDO＝32°，∴∠AOC＝∠C+∠E＝32°+16°＝48°．故答案为48．11．到点P的距离等于2cm的点的集合是以P为圆心，以2cm为半径的圆．【解答】解：到点P的距离等于2cm的点的集合是以P为圆心，以2cm为半径的圆．故答案为：以P为圆心，以2cm为半径的圆．12．如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC ＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝60度．【解答】解：连接OB，∵OB＝OE＝BC，∠C＝40°，∴∠COB＝∠C＝40°，∴∠ABO＝∠C+∠COB＝80°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝80°，△AOC中，∠EOA＝180°﹣40°﹣80°＝60°，故答案为：60．13．如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝50°．【解答】解：∵AB＝CD，∴∠COD＝∠AOB，∵∠AOB＝50°，∴∠COD＝50°，故答案是：50°．14．如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，OC＝5cm，则DC的长为2cm．【解答】解：∵AB＝8cm，OC＝5cm，∴OA＝5cm，AD＝4cm，由勾股定理可得：OA2＝OD2+AD2，∴25＝（5﹣DC）2+16，∴DC＝2cm．故答案为：215．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是6．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，故答案为：6．16．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．17．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D．若∠A＝60°，∠ADC＝88°，则∠C 的度数是32°．【解答】解：∵∠ADC＝∠A+∠B，∠A＝60°，∠ADC＝88°，∴∠B＝28°，∴∠AOC＝2∠B＝56°，∵∠ADC＝∠AOC+∠C，∴∠C＝88°﹣56°＝32°．故答案为：32°．18．如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，∠BAD＝60°，点C为的中点，则AC的长是．【解答】解：∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，则∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝7，AC＝CE，∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝180°，∴A、B、E三点共线，过C作CM⊥AE于M，∵AC＝CE，∴AM＝EM＝×（7+5）＝6，在Rt△AMC中，AC＝＝4，故答案为：4．19．如图，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接P A，PB，则△P AB面积的最大值为32．【解答】解：∵直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，AB＝10，∵点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，过C作CM⊥AB于M，连接BC，∴S△ABC＝×10×CM＝6×8+×1×6，∴CM＝，当P，C，M在一条直线时，PM最大，即△P AB的面积最大，即PM＝1+＝，∴△P AB面积的最大值＝××10＝32，故答案为：32．三．解答题（共8小题）20．如何表示优弧、劣弧？什么叫等弧？【解答】解：大于半圆的弧叫做优弧；表示一个优弧时用三个字母来表示：如．与优弧相对的是“劣弧”，即小于半圆的弧，用两个字母表示，如：．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧21．设AB＝2cm，作图说明满足下列要求的图形：（1）到点A和点B的距离都等于1.5cm的所有点组成的图形．（2）到点A的距离小于1.5cm且到点B的距离大于1cm的所有点组成的图形．【解答】解：（1）如图1，分别以点A、B为圆心，1.5cm为半径画⊙A和⊙B，它们的交点为所求；（2）以A点为圆心，1.5cm为半径画⊙A；以B点为圆心，1cm为半径画⊙B，如图2，⊙A和⊙B相交于P和Q，则两条PQ弧所围成的图形为所求（不含弧）．22．如图，在⊙O中，AB＝CD．求证：AD＝BC．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AD＝BC．23．如图，在⊙O中，AB，CD相交于点P，且AB＝CD，求证：AP＝CP．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠A＝∠C，∴AP＝CP．24．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB＝2，CF＝FD＝4，求AC的长．【解答】解：连接BC，∵AB是直径，CF＝FD＝4，∴AB⊥CD，∵∠ACB＝90°∴∠A＝∠BCF，∴△BCF∽△CAF，∴＝，∴CF2＝AF•BF，设AF＝x，∴16＝2x，∴x＝8，∴由勾股定理可知：AC＝425．在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，．（1）求∠ABC的度数；（2）求⊙O的半径．【解答】解：（1）∵∠BDC＝60°，∴∠BAC＝60°﹒又∠ACB＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°．（2）由（1）知，△ABC是等边三角形．连接AO并延长交BC于点E（如图）．∴圆心O既是△ABC的外心又是重心，还是垂心．在Rt△AEC中，，∴．∴OA＝×3＝2，即O的半径为2cm．26．已知四边形ABCD顶点都在4×4的正方形网格格点上，如图所示，（1）请画出四边形ABCD的外接圆，并标明圆心M的位置；（2）这个圆中弦BC所对的圆周角的度数是45°或135°．【解答】解：（1）如图1，分别作AB、AC的垂直平分线，交于点M，由垂径定理可知点M即为四边形ABCD外接圆的圆心；（2）如图2，连接BM，MC，则可求得MB＝MC＝BM＝CM＝，BC＝，所以△BMC为等腰直角三角形，所以∠BMC＝90°，故可知弦BC所对的圆周角为45°或135°．故答案为：45°或135°．27．如图，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r．（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外．（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．【解答】解：（1）当0＜r＜3时，点A、B在⊙C外；（2）当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外。

鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后作业题4（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上．设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（）A．75°B．60°C．45°D．30°2．如图是公园的路线图，⊙O1，⊙O2，⊙O两两相切，点A，B，O分别是切点，甲乙二人骑自行车，同时从点A出发，以相同的速度，甲按照“圆”形线行驶，乙行驶“8字型”线路行驶．若不考虑其他因素，结果先回到出发点的人是（）A．甲B．乙C．甲乙同时D．无法判定3．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧、、，如果+＝，那么AB+CD与EF的大小关系是（）A．AB+CD＝EF B．AB+CD＞EF C．AB+CD＜EF D．不能确定4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE 的长为（）A．B．1C．D．a5．如图，AB为⊙O的弦，半径OC交AB于点D，AD＝DB，OC＝5，CD＝2，则AB长为（）A．3B．4C．6D．86．濮院女儿桥是典型的石拱桥，如图．某天小松测得水面AB宽为8m，桥顶C到水面AB 的距离也为8m，则这座女儿桥桥拱半径为（）A．4m B．5m C．6m D．8m7．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（）A．38°B．40°C．42°D．44°8．如图：A、B、C在⊙O上，∠C＝20°，∠B＝50°，则∠A＝（）A．20°B．25°C．30°D．40°9．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°10．⊙O的直径为10cm，点A到圆心O的距离OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆外C．点A在圆内D．无法确定二．填空题（共10小题）11．一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1cm，内径为4cm，外径为7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）12．⊙O1与⊙O2的半径之比为2：3，则⊙O2与⊙O1的周长之比为：；⊙O2与⊙O1的面积之比为：．13．如图所示，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，弧BC所对的圆心角为60°，点P、E、F 分别是弧BC、线段AB和线段AC上的动点，则PE+EF+FP的最小值为．14．已知⊙O的半径为6，弦AB的长为6，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝．15．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是．16．如图，某种鱼缸的主视图可视为弓形，该鱼缸装满水时的最大深度CD为18cm，半径OC为13cm，则鱼缸口的直径AB＝cm．17．如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC 的长为，CD的长．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是．19．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCE＝50°，连接BD，则∠ABD＝度．20．P是直线l上的任意一点，点A在圆O上，设OP的最小值为m，若直线l过点A，则m与OA的大小关系是．三．解答题（共8小题）21．已知点P、Q，且PQ＝4cm，（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．22．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．23．如图，⊙O中，AB＝CD．求证：AD＝CB．24．已知：△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长．25．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为P，且CD＝2，BP＝1，求⊙O的半径．26．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度数．28．点P到⊙O的最远距离为a，最近距离为b，求⊙O的半径．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上．设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB ＝90°，∠ABP＝75°，因而∠P AB＝90°﹣75°＝15°，在大量角器中弧PB所对的圆心角是30°，因而P在大量角器上对应的角的度数为30°．故选：D．2．如图是公园的路线图，⊙O1，⊙O2，⊙O两两相切，点A，B，O分别是切点，甲乙二人骑自行车，同时从点A出发，以相同的速度，甲按照“圆”形线行驶，乙行驶“8字型”线路行驶．若不考虑其他因素，结果先回到出发点的人是（）A．甲B．乙C．甲乙同时D．无法判定【解答】解：设⊙O1的半径是r，则⊙O2的半径是r，⊙O的半径是2r．则延“8字型”线路行驶时：路线长是4πr．同样按“圆”形线行驶的路线长4πr．因而两人同时到达．故选：C．3．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧、、，如果+＝，那么AB+CD与EF的大小关系是（）A．AB+CD＝EF B．AB+CD＞EF C．AB+CD＜EF D．不能确定【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，则弧FM＝弧AB，∴AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．故选：B．4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE 的长为（）A．B．1C．D．a【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝BD＝a，∠CAB＝∠ACB＝60°；∵AB＝BD，∴，∴∠AED＝∠AOB；∵BC＝AB＝BD，∴∠D＝∠BCD；∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC+60°+∠D＝180°；又∵∠ECA+60°+∠BCD＝180°，∴∠ECA＝∠EAC，即△EAC是等腰三角形；在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC＝∠AOB，∵AC＝AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE＝OA＝1．故选：B．5．如图，AB为⊙O的弦，半径OC交AB于点D，AD＝DB，OC＝5，CD＝2，则AB长为（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：连接OB，如图所示：∵⊙O的半径为5，CD＝2，∴OD＝5﹣2＝3．∵AD＝DB，∴OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴BD＝＝＝4，∴AB＝2BD＝8．故选：D．6．濮院女儿桥是典型的石拱桥，如图．某天小松测得水面AB宽为8m，桥顶C到水面AB 的距离也为8m，则这座女儿桥桥拱半径为（）A．4m B．5m C．6m D．8m【解答】解：连接OA，∵AB宽为8m，桥顶C到水面AB的距离也为8m，∴AD＝4m，OD＝8﹣OA，∴在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，即OA2＝（8﹣OA）2+42，解得：OA＝5故选：B．7．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（）A．38°B．40°C．42°D．44°【解答】解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝26°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，△ADC中，∵∠BAC＝26°，∴∠DCA＝180°﹣116°﹣26°＝38°，故选：A．8．如图：A、B、C在⊙O上，∠C＝20°，∠B＝50°，则∠A＝（）A．20°B．25°C．30°D．40°【解答】解：设∠A＝x°，则∠BOC＝2x°，∵∠C＝20°，∠B＝50°，∴20+2x＝50+x，解得：x＝30，∴∠A＝30°，故选：C．9．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°【解答】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选：B．10．⊙O的直径为10cm，点A到圆心O的距离OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆外C．点A在圆内D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，∴⊙O的半径为5cm∵点A到圆心O的距离为6cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选：B．二．填空题（共10小题）11．一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1cm，内径为4cm，外径为7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长51.81m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）【解答】解：胶带的体积是：π（72﹣42）•1＝33πcm3＝33π×10﹣6m3一米长的胶带的体积是：0.01×1×5×10﹣4＝5×10﹣6m3因而胶带长是：（33π×10﹣6）÷（5×10﹣6）≈51.81m．12．⊙O1与⊙O2的半径之比为2：3，则⊙O2与⊙O1的周长之比为：3：2；⊙O2与⊙O1的面积之比为：9：4．【解答】解：设⊙O1与⊙O2的半径分别为R1与R2，∵R1：R2＝2：3，∴⊙O2与⊙O1的周长之比＝2πR2：2πR1＝3：2，⊙O2与⊙O1的面积之比＝πR22：πR12＝9：4．故答案为3：2，9：4．13．如图所示，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，弧BC所对的圆心角为60°，点P、E、F 分别是弧BC、线段AB和线段AC上的动点，则PE+EF+FP的最小值为﹣3．【解答】解：连接BC，取AB的中点D，连接CD，则AD＝BD＝1，∴AD＝BD＝AC，∵∠BAC＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴CD＝AC＝1，∴CD＝AB，∴∠ACB＝90°，连接AP，O，OA．分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF．∴AM＝AP＝AN，∵∠MAB＝∠P AB，∠NAC＝∠P AC，∵∠BAC＝∠P AB+∠P AC＝∠MAB+∠NAC＝60°，∴∠MAN＝120°∴M、P、N在以A为圆心，AP为半径的圆上，设AP＝r，易求得：MN＝r，∵PE＝ME，PF＝FN，∴PE+EF+PF＝ME+EF+FN＝MN＝r，∴当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值∵AP+OP≥OA，∴AP≥OA﹣OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值，在Rt△ABC中，∵AC＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，∵∠BOC＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC＝，作OH⊥AC交AC的延长线于H．在Rt△OCH中，∵OC＝，∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝，CH＝OH＝，在Rt△AOH中，AO＝＝＝，此时AP＝r＝﹣，∴PE+EF+PF的最小值为﹣3，故答案为：﹣3．14．已知⊙O的半径为6，弦AB的长为6，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝60°．【解答】解：如图，∵AB＝3，而OA＝OB＝3，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，即弦AB所对的圆心角∠AOB的度数为60°．故答案为60°．15．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是4．【解答】解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝10，∴OD＝10﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB＝16，由勾股定理可知：102＝82+（10﹣x）2∴x＝4，∴CD＝4，故答案为：416．如图，某种鱼缸的主视图可视为弓形，该鱼缸装满水时的最大深度CD为18cm，半径OC为13cm，则鱼缸口的直径AB＝24cm．【解答】解：连接OB，∵CD＝18cm，OC＝13cm，∴OD＝5cm，OB＝OC＝13cm，在Rt△BDO中，BD＝cm，∴AB＝2BD＝24cm，故答案为：24．17．如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC 的长为8，CD的长7．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB＝5；作BH⊥CD于H，如图，∵∠BCH＝45°，∴△BCH为等腰直角三角形，∴BH＝CH＝BC＝4，在Rt△BDH中，DH＝＝3，∴CD＝CH+DH＝4+3＝7，故答案为：8，7．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是60°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，∵＝，∴＝＝，即、、的度数是＝120°，∴∠ACD＝°＝60°，故答案为：60°．19．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCE＝50°，连接BD，则∠ABD＝65度．【解答】解：∵∠BCE＝50°，∴∠BCD＝130°，∵∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣130°＝50°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝×（180°﹣50°）＝65°．故答案为65．20．P是直线l上的任意一点，点A在圆O上，设OP的最小值为m，若直线l过点A，则m与OA的大小关系是m≤OA．【解答】解：因为点A在圆O上，直线l过点A，可得：m≤OA．故答案为：m≤OA三．解答题（共8小题）21．已知点P、Q，且PQ＝4cm，（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．【解答】解：（1）到点P的距离等于2cm的点的集合图中⊙P；到点Q的距离等于3cm 的点的集合图中⊙Q．（2）到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有2个，图中C、D．22．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．【解答】解：（1）连OB，如图，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．23．如图，⊙O中，AB＝CD．求证：AD＝CB．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝，∴AD＝BC．24．已知：△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长．【解答】解：分两种情况：（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，∵AB＝AC∴点A是优弧的中点∵OD⊥BC且AB＝AC根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连接BO∵BO＝6，OD＝2∴BD＝＝＝在Rt△ADB中，AD＝DO+AO＝6+2＝8∴AB＝＝＝cm；（2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图添加辅助线及求出BD＝在Rt△ADB中，AD＝AO﹣DO＝6﹣2＝4∴AB＝＝＝cm．综上所述AB＝cm或cm．25．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为P，且CD＝2，BP＝1，求⊙O的半径．【解答】解：连接OC．∵CD⊥⊙O的直径AB，∴CP＝DP＝CD＝，设⊙O的半径为r．∵△OPC是直角三角形，∴OC2＝PC2+OP2，∴r2＝（）2+（r﹣1）2，∴r＝，∴⊙O的半径为．26．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．【解答】解：（1）连接AB，∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，∴∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴AB＝＝＝3，∴⊙O的半径为；（2）AB∥ON，证明：连接OA、OB、OQ，∵∠APQ＝∠BPQ，∴＝，∴∠AOQ＝∠BOQ，∵OA＝OB，∴OQ⊥AB，∵OP＝OQ，∴∠OPN＝∠OQP，∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ＝180°，∴2∠OPN+PON+∠NOQ＝180°，∵∠NOP+2∠OPN＝90°，∴∠NOQ＝90°，∴NO⊥OQ，∴AB∥ON．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，∴∠ABC＝40°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝80°，28．点P到⊙O的最远距离为a，最近距离为b，求⊙O的半径．【解答】解：（1）当P点在⊙O内时，⊙O的直径为a+b，半径为；（2）当P点在⊙O外时，⊙O的直径为a﹣b，半径为。

鲁教版2019-2020九年级数学第五章第一单元圆的有关性质单元综合练习题1（培优 含答案）1．如图，AB ，CD 是O 的直径，O 的半径为R ，AB CD ⊥，以B 为圆心，以BC 为半径作CED ，则CED 与CAD 围成的新月形ACED 的面积为（ ）平方单位．A.()21R π-B.2RC.()21R π+D.2R π2．如图⊙O 中，∠BAC=35°，则∠BCO=（ ）A.35°B.50°C.55°D.70°3．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝68°，则∠BOC 的大小是( )A.126°B.34°C.136°D.68°4．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．AB=8cm ，∠D=40°，那么AM 的值和∠C 的度数分别是（ ）A.3cm 和30°B.3cm 和40°C.4cm 和50°D.4cm 和60°5．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的长等于（ ）C.8D.66．下列说法中正确的是（）A.两个半圆是等弧B.过圆内一点仅可以作出1条圆的最长弦C.相等的圆心角所对的弧相等D.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧7．如图，在O中，37∠=，则劣弧AB的度数为（）BA.1?06B.1?26C.74?D.538．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽度变为8分米。

则该水槽截面半径为（）A.3分米B.4分米C.5分米D.10分米9．如图，AB、AC是⊙O的切线，且∠A=54°，则∠BDC=__________．10．若⊙O所在平面内一点P到⊙O的最大距离为6，最小距离为2，则⊙O的半径为_____．11．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上，30∠，B为弧AN的AMN=中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为______________.12．（1）经过三个点一定可以作圆（_________）（2）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等（_______）（3）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆（_____）（4）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（______）13．如图，小明同学捡到一张破损的网格纸片，里面有一段弧线，如图，他在纸片上建立平面直角坐标系，并标出了A，B，C三个网格点．若B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为____．14．如图，在⊙O中，AC是弦，AD是切线，CB⊥AD于B，CB与⊙O相交于点E，连接AE，若AE平分∠BAC，BE=1，则CE=________．15．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数_____.16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为_____．17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系，圆心为A（3，0）的⊙A被y轴截得的弦长BC=8．解答下列问题：（1）求⊙A 的半径；（2）请在图中将⊙A 先向上平移6 个单位，再向左平移8个单位得到⊙D，并写出圆心D的坐标；（3）观察你所画的图形，对⊙D 与⊙A 的位置关系作出合情的猜想，并直接写出你的结论．18．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E．（Ⅰ）如图①，若CD=8，BE=2，求⊙O 的半径；（Ⅱ）如图②，点G 是AC上一点，AG 的延长线与DC 的延长线交于点F，求证：∠AGD=∠FGC．19．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．20．如图，在⊙O中，弦AB=3cm，圆周角∠ACB=60°，求⊙O的直径．21．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题.如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=_______，C′B=_______.∴AC+CB=AC+CB′=_______．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′，即AC+CB最小.归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用①如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点，求EF+FB 的最小值.分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连接ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是_______．②如图⑤，已知⊙O 的直径CD 为4，∠AOD 的度数为60°，点B 是弧AD 的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值是_______；③如图⑥，一次函数y=-2x+4的图象与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，点O 为坐标原点，点C 与点D 分别为线段OA ，AB 的中点，点P 为OB 上一动点，求PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P 点坐标．22．如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度AB 长为40米，桥离水面最大距离CD 为10米，若有一条水面上宽度为30米，宽度为6米的船能否通过这座桥？请说明理由．23．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．()1根据“奇异三角形”的定义，小华提出命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？()2在Rt ABC 中，90C ∠=，AB c =，AC b =，BC a =且b a >，若Rt A B C 是奇异三角形，求::a b c ．()3如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点（不与点A 、B 重合），D 是半圆的中点，C 、D 在直径AB 的两侧，若在O 内存在点E ，使AE AD =，CB CE =． ①求证：ACE 是奇异三角形；②当ACE 是直角三角形时，求AOC ∠的度数．24．求证：直径是圆中最长的弦．参考答案1．B【解析】【分析】新月形ACED 的面积是圆O 半圆的面积-弓形CED 的面积，弓形CED 的面积又=扇形BCD 面积-三角形BCD 的面积，然后依面积公式计算即可．【详解】∵OC=OB=R ，AB CD ⊥，∴R ，∴新月形ACED 的面积=S 半圆-（S 扇形BCD -S △BCD ）=2R 2π--12) =R 2．故选B ．【点睛】本题的关键是看出：新月形ACED 的面积是圆O 半圆的面积-弓形CED 的面积，然后逐一求面积即可．2．C【解析】【分析】由圆周角定理求得∠BOC 的度数，再根据等边对等角及三角形内角和公式即可求得∠BCO 的度数．【详解】∵∠BAC =35°∴∠BOC =2∠A =70°∵OB =OC∴∠OBC =∠OCB ∴故选:C.【点睛】考查圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键.3．C【解析】∵∠BOC和∠A对着相同的弧BC，∠A＝68°，∴∠BOC=2∠A=2×68º=136º.故选C.4．C【解析】【分析】直接利用圆周角定理结合垂径定理分别得出AM的值和∠C的度数．【详解】解：∵作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．AB=8cm，∴AM=BM=4cm，∠CAD=90°，∵∠D=40°，∴∠C=90°﹣40°=50°．故选：C．【点睛】此题考查垂径定理以及圆周角定理，解题关键是正确应用垂径定理．5．C【解析】延长CA，交⊙A于点F，∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴8=.故选C.【点睛】运用了圆周角定理、圆心角与弦的关系以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6．D【解析】【分析】根据圆的基本概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧）解答即可. 【详解】选项A，在同圆或等圆中，两个半圆是等弧，选项A错误；选项B，过圆内一点（此点不是圆心）仅可以作出1条圆的最长弦，选项B错误；选项C，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，选项C错误；选项D，同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，选项D正确；故选D．【点睛】本题主要考查了圆的认识，关键是掌握弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧的概念．7．A【解析】【分析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．【详解】连接OA，∵OA=OB，∠B=37°∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°．故选：A【点睛】本题考核知识点：利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解 解题关键点：熟记圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．8．C【解析】【分析】如图,油面AB 上升1分米得到油面CD,依题意得AB=6,CD=8,过O 点作AB 的垂线,垂足为E,交CD 于F 点,连接OA,OC,由垂径定理,得132AE AB ==,142CF CD ==,设OE=x,则OF=x-1,在Rt OAE ∆中和Rt OCF ∆中,根据勾股定理求得OA 、OC 的长度,然后由OA OC =,列方程求x 即可求半径OA,得出直径MN.【详解】:如图,依题意得AB=6,CD=8,过O 点作AB 的垂线,垂足为E,交CD 于F 点,连接OA,OC, 由垂径定理,得132AE AB ==,142CF CD ==,设OE=x,则OF=x-1, 在Rt OAE ∆中, 222OA AE OE =+,在Rt OCF ∆中, 222OC CF OF =+,OA OC =,()2222341x x ∴+=+-,解得x=4,∴半径OA =5分米,故选C.本题考查了垂径定理的运用.关键是利用垂径定理得出两个直角三角形,根据勾股定理表示半径的平方,根据半径相等列方程求解.9．63°【解析】【分析】连接OB、OC，根据四边形的内角和求得∠BOC，再由圆周角定理得出∠D．【详解】连接OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切线，∴∠OBA＝∠OCA＝90°，∵∠A＝54°，∴∠BOC＝126°，∴∠BDC＝12∠BOC＝63°．故答案为：63°．【点睛】本题考查了切线长定理、圆周角定理和四边形的内角和，是基础知识要熟练掌握．10．2或4【解析】【分析】点P可能在圆内．也可能在圆外，因而分两种情况进行讨论.【详解】解：当这点在圆外时，则这个圆的半径是（6-2）÷2=2；当点在圆内时，则这个圆的半径是（6+2）÷2=4．故答案为2或4.此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是注意此题应分为两种情况来解决.11．【解析】如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B，∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是AN的中点，∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，∴∠A′OB=30°+60°=90°，又∵OA′=OB=OM=2，∴AP+BP的值最小=故答案为：12．⑴×⑵√⑶√⑷×【解析】【分析】根据“经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，当三点在同一条直线上时不能确定一个圆”判断（1）；根据三角形外接圆的唯一性以及三角形的外心是三角形的三条边的垂直平分线的交点即可判断（2）（3）；接下来根据圆内接三角形的个数判断（4）即可.【详解】（1）经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故原说法错误；（2）所以三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，正确.（3）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，正确；（4）任意一个圆都有无数个内接三角形，故原说法错误；故答案为：（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.【点睛】本题是关于圆的判断题，需掌握确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心、圆内接三角形的知识；13．(2，0)【解析】【分析】根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.【详解】根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.如图所示,则圆心是(2，0).故答案为: (2，0).【点睛】本题重点考查了垂径定理的应用，根据垂径定理作两条弦的垂直平分线是解题的突破口. 垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 .推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧；推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧；推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 .14．2【解析】∵AD是切线， ∠EAB=∠C,∵AE是角平分线，∠CAE=∠EAB,∴∠CAE =∠EAB=∠C ,∵CB ,AD ⊥∴∠C +∠CAB =90°，∴3∠C =90°，∴∠C =30°.故答案为30°. 15．70°【解析】【分析】连接OE ，由弧CE 的度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE=（180°-40°）÷2=70°，而弦CE ∥AB ，即可得到∠AOC=∠OCE=70°．【详解】连接OE ，如图，∵弧CE 的度数为40°，∴∠COE=40°，∵OC=OE ，∴∠OCE=∠OEC ，∴∠OCE=（180°-40°）÷2=70°，∵弦CE ∥AB ，∴∠AOC=∠OCE=70°．故答案为：70°．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记知识点是解题的关键．16﹣6【解析】【分析】取AC的中点O,连接0E、OB,由CE⊥AD于点E，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O、E、B三点在同一直线上时，BE最短，即可求出BE.【详解】如图，取AC的中点O,连接0E、OB,由CE⊥AD于点E，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O、E、B三点在同一直线上时，BE最短，可得此时OE=OC=OA=6,在RT△OCB中，OB==故BE的最短值为：-6,【点睛】本题考查了圆的直径所对的圆周角为直角，及最短路径问题，难度较大，灵活运用所学知识能顺利求出答案.17．（1）⊙A的半径是5；（2）图详见解析，圆心D的坐标是（﹣5，6）；（3）⊙D 与⊙A 的位置关系是外切．【解析】【分析】（1）连接AB，根据垂径定理求出BO，根据勾股定理求出AB即可；（2）根据已知画出图形即可，根据平移规律求出D的坐标即可；（3）根据图形即可得出结论．【详解】（1）解：∵x轴⊥y轴，A在x轴上，∴BO=CO=4，连接AB，由勾股定理得：AB==5，答：⊙A的半径是5．（2）解：如图：圆心D的坐标是（﹣5，6）．（3）解：⊙D 与⊙A 的位置关系是外切．【点睛】本题考查了对勾股定理，垂径定理，圆与圆的位置关系，坐标与图形变化-平移等知识点的应用，解此题的关键是根据题意画出图形，培养了学生分析问题的能力，同时也培养了学生观察图形的能力，题型较好，难度适中．18．（1）5（2）证明见解析【解析】【分析】（I）连接OD，设⊙O 的半径为r，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理列式计算；（Ⅱ）连接AD，根据垂径定理得到=，根据圆周角定理得到∠ADC=∠AGD，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC=∠FGC，等量代换即可证明．【详解】（I）解：如图①，连接OD，设⊙O 的半径为r，则OE=r﹣2，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∴DE= 12DC=4，在Rt△OED 中，OD2=OE2+ DE2，即r2=（r﹣2）2+42，解得，r=5，即⊙O 的半径为5；（Ⅱ）证明：如图②，连接AD，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∴AD AC=，∴∠ADC=∠AGD，∵四边形ADCG 是圆内接四边形，∴∠ADC=∠FGC，∴∠FGC=∠AGD．【点睛】本题考查的是垂径定理，圆内接四边形的性质定理，圆周角定理和勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．19．见解析【解析】【分析】利用CA=CB=CO可判断△OBC和△OAC都是等边三角形，则∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，根据圆周角定理得∠ADB=60°，即∠ACD=∠BCD=∠ADB，所以==，然后根据圆心角、弧、弦的关系易得AD=BD=BA．AD BD AB【详解】证明：∵CA=CB=CO，∴OB=BC=OC=OA=AC，∴△OBC和△OAC都是等边三角形，∴∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ADB=60°，∴∠ACD=∠BCD=∠ADB ，∴AD BD AB ==，∴AD=BD=BA ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．20．．【解析】试题分析：连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∠ABD =90°，∠ADB =∠ACB =60°，而AB =3cm ，所以sin 60°=AB AD =3AD =2，解出AD 即可. 试题解析：连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，如图，∠ABD =90°，又∵∠ADB =∠ACB =60°，而AB =3cm ，∴sin 60°=AB AD =3AD =2，∴AD cm ），即⊙O 的直径为 ．点睛：本题关键在于辅助线的构造，要求直径，先构造出直径，再结合已知条件求解.21．（1）CB'、C'B'、AB'；（2）②③，P （0，1）.【解析】分析：（1）根据轴对称的性质进行分析解答即可；（2）①由题中所给知识可知，EF+FB的最小值就是DE的长度，这样由已知条件在Rt△ADE 中求出DE的长度即可；②作点B关于CD的对称点B′，连接OB、OB′，AB′，则线段AB′的长度就是所求的AP+BP的最小值，结合已知条件证得∠AOB′=90°，在Rt△AOB′中求出AB′的长即可；③由已知条件先求出点A、B的坐标，进而求出点C、D的坐标，再求出点C关于y轴的对称点C′的坐标，连接C′D交y轴于点P，则点P为所求点，C′D的长度为所求的CP+DP的最小值，结合已知条件求出CD的长度和点P的坐标即可.详解：（1）理由：如图③，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′.∴AC+CB=AC+CB′=AB′．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′，即此时AC+CB最小，故答案为：CB'，C'B'，AB'；（2）①如图④由题意可知：AE=1，AD=2，∠DAE=90°，∴在Rt△ADE中，②如图7，作点B关于CD的对称点B′，连接OB、OB′，AB′，则线段AB′的长度就是所求的AP+BP的最小值，∵点D是AD的中点，∠AOD=60°，∴∠BOD=30°，∵点B′和点B关于CD对称，∴∠BOB′=∠BOD=30°，∴∠AOB=60°+30°=90°，∵AO=BO=12CD=2，∴=，即AP+BP的最小值为③如图8，作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线段C′D的长度.∵一次函数y=-2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，4），∵点C和点D分别是OA和AB的中点，∴C（1，0），D（1，2）.∵C与C′关于y轴对称，∴C′（-1，0），∴=∴PC+PD的最小值为∵C'（-1，0），D（1，2），∴直线C′D的解析式为y=x+1，∵在y=x+1中，当x=0时，y=1，∴点P的坐标为（0，1）．点睛：本题的解题要点有以下两点：（1）读懂题意，理解题干中所介绍的“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的数学方法；（2）能够结合“模型应用”中的三个小题中所涉及的图形的特征，把问题转化为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”，再结合各小题的具体情境和已知条件进行分析解答即可.22．不能【解析】【分析】计算当船从中间过时能否碰到桥顶即可解答.【详解】如图，假设船能通过，弧形桥所在的圆恢复如图，在Rt△AOD中，r2=202+（r﹣10）2，解得r=25，∴OD=r﹣10=15，在Rt△OEG中，r2=152+OG2，解得OG=20，∴可以通过的船的高度为GD=OG﹣OD=20﹣15=5，∵6＞5，∴船不能通过．【点睛】本题考查了实际问题与勾股定理结合与圆结合，假设法可以很好解答本题，熟悉运用勾股定理是解答本题的关键.23．(1)真命题;(2)1?:(3)①见解析;②60∠=或120．AOC【解析】试题分析：（1）设等边三角形的边长为a，代入检验即可；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=c2①，因为Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，所以a2+c2=2b2②，然后可得b=a，c=a，代入可求；（3）①要证明△ACE是奇异三角形，只需证AC2+CE2=2AE2即可；②由①可得ΔACE是奇异三角形，所以AC2+CE2=2AE2．当ΔACE是直角三角形时，由（2）可得AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：：1．然后分两种情况讨论. 试题解析：解：（1）真命题．（2分）（2）在RtΔABC中，a2+b2=c2，∵c>b>a>0，∴2c2>a2+b2，2a2<b2+c2，若△ABC是奇异三角形，一定有2b2=a2+c2，（3分）∴2b2=a2+（a2+b2），∴b2=2a2，得b=a．∵c2=b2+a2=3a2，∴c=a，∴a：b：c=1：：．（5分）（3）在RtΔABC中，a2+b2=c2，①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；在RtΔADB中，AD2+BD2=AB2．∵D是半圆的中点，∴，∴AD=BD，（6分），∴AB2=AD2+BD2=2AD2，（7分）又∵CB=CE．AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2．∴ΔACE是奇异三角形．（8分）②由①可得ΔACE是奇异三角形，∴AC2+CE2=2AE2．当ΔACE是直角三角形时，由（2）可得AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：：1．（Ⅰ）当AC：AE：CE=1：：时，AC：CE=1：，即AC：CB=1：．∵∠ACB=900，．∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°．（10分）（Ⅱ）当AC：AE：CE=：：1时，AC：CE=：1，即AC：CB=：1．∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°，∴∠AOC的度数为60°或120°．（12分）考点：1.命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.24．证明见解析【解析】试题分析：首先根据题意画出符合要求的图形，改写出“已知”和“求证”，然后利用三角形三边间的关系即可完成证明；试题解析：已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的任意一条弦，求证：AB≥CD.，证明：如图，连接OC、OD，∵ AB是⊙O的直径，OC、OD是⊙O的半径，∴OA=OB=OC=OD，∴AB=OA+OB=OC+OD，又∵在△OCD中，OC+OD＞CD，∴AB=OA+OB=OC+OD>CD，即AB＞CD．当CD经过圆心时，CD是⊙O的直径，此时AB=CD．综上可得AB≥CD．。