第五讲 抽样定理

抽样定理定义:在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以1/2 f h的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。

或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续的全部信息。

抽样定理在实际应用中应注意在抽样前后模拟信号进行滤波，把高于二分之一抽样频率的频率滤掉。

这是抽样中必不可少的步骤。

07年的抽样定理：设时间连续信号f（t），其最高截止频率为f m ，如果用时间间隔为T<=1/2f m的开关信号对f（t）进行抽样时，则f（t）就可被样值信号唯一地表示。

什么是A/D转换和D/A转换？什么是A/D转换和D/A转换？一。

什么是a/d.d/a转换：随着数字技术，特别是信息技术的飞速发展与普及，在现代控制。

通信及检测等领域，为了提高系统的性能指标，对信号的处理广泛采用了数字计算机技术。

由于系统的实际对象往往都是一些模拟量(如温度。

压力。

位移。

图像等),要使计算机或数字仪表能识别。

处理这些信号，必须首先将这些模拟信号转换成数字信号；而经计算机分析。

处理后输出的数字量也往往需要将其转换为相应模拟信号才能为执行机构所接受。

这样，就需要一种能在模拟信号与数字信号之间起桥梁作用的电路-模数和数模转换器。

将模拟信号转换成数字信号的电路，称为模数转换器(简称a/d转换器或adc,analog to digital converter)；将数字信号转换为模拟信号的电路称为数模转换器(简称d/a转换器或dac,digital to analog converter)；a/d转换器和d/a转换器已成为信息系统中不可缺俚慕涌诘缏贰？br>为确保系统处理结果的精确度，a/d转换器和d/a转换器必须具有足够的转换精度；如果要实现快速变化信号的实时控制与检测，a/d与d/a转换器还要求具有较高的转换速度。

转换精度与转换速度是衡量a/d与d/a转换器的重要技术指标。

抽样定理是通信理论中的一个重要定理，它是模拟信号数字化的理论基础，包括时域抽样定理和频域抽样定理。

抽样定理，也称为香农采样定律和奈奎斯特采样定律，是信息论特别是通信和信号处理中的重要基础结论。

E.T.惠特克（统计理论发表于1915年），克劳德·香农和哈里·奈奎斯特对此做出了重要贡献。

此外，V。

A. Kotelnikov也对该定理做出了重要贡献。

采样是将信号（即空间中的连续函数）转换为数字序列（即空间中的离散函数）。

采样后的离散信号通过保持器后，获得具有零阶保持器特性的阶跃信号。

如果信号受频带限制，并且采样频率高于信号最高频率的两倍，则可以从采样样本中完全重建原始连续信号。

限带信号转换的速度受到其最高频率分量的限制，也就是说，其在离散时间采样和表达信号细节的能力非常有限。

抽样定理意味着，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的一半），那么这些离散采样点就可以完全代表原始信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量将导致混叠。

大多数应用都需要避免混叠，混叠的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样过程中应遵循的定律也称为抽样定理和抽样定理。

抽样定理解释了采样频率和信号频谱之间的关系，这是连续信号离散化的基本基础。

抽样定理最早是由美国电信工程师H. Nyquist于1928年提出的，因此被称为Nyquist抽样定理。

1933年，苏联工程师科特尔尼科夫首次严格地通过公式表达了这一原理，因此在苏联文学中被称为科特尔尼科夫抽样定理。

1948年，信息理论的创始人C.E. Shannon 清楚地解释了这一原理，并将其正式引用为一个定理，因此在许多文献中也称为Shannon抽样定理。

抽样定理有很多表达式，但是最基本的表达式是时域抽样定理和频域抽样定理。

抽样定理广泛应用于数字遥测系统，时分遥测系统，信息处理，数字通信和采样控制理论中。

抽样定理
我们所熟知的抽样，是在数学数据处理中的从总体中抽样。

抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分。

抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0~之内（fh为模拟信号的最高频率）。

为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生折叠噪声。

例如，话音信号的最高频率限制在3400Hz，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为=6800Hz，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率=8000Hz，这样就留出了8000-6800=1200Hz 作为滤波器的防卫带。

应当指出，抽样频率不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低），所以只要能满足，并有一定频带的防卫带即可。

以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为～，带宽。

如果，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，若，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108kHz）就属于带通型信号。

对于低通型信号来讲，应满足的条件，而对于带通型信号，如果仍然按照这个抽样，虽然能满足样值频谱不产生重叠的要求，但是无
疑太高了（因为带通信号的高），将降低信道频宽的利用率，这是不可取的。

第五章抽样【本章内容要点】·抽样的意义与原则·概率抽样的基本原理·抽样的一般程序与设计原则·抽样的方法·样本规模与抽样误差【本章重点】·概率抽样方法·样本规模的确定【本章教学内容】第一节抽样的意义与作用一、抽样的基本概念（一）总体和样本1、总体总体是具有某种共同性质或特征的许多元素所组成的集合。

·属性总体·变量总体2、元素构成总体的每一个成员，它是收集信息的基本单位。

3、样本从总体中按一定方式抽取出来的一部元素所组成的集合。

·样本容量·样本可能数（二）抽样、抽样单位和抽样框1、抽样从调查总体中，按一定方式选择或抽取一部分元素组成样本的过程。

2、抽样单位一次直接的抽样所使用的基本单位。

3、抽样框（抽样结构）对可以选择作为样本的总体元素列出名册或排序编号，以确定总体的抽样范围和结构。

（三）参数值和统计值1、参数值（总体参数）参数值是关于总体中某一变量的综合描述。

【变量总体的参数值】【算术平均数】【简单算术平均数】【例】现有5 位老人的月退休金分别为：783 元、896 元、984 元、1 295元、1 137元，求这五位老人的平均月退休金。

【加权算术平均数】()X μ→或总体集中趋势2σσ→和总体离散趋势=总体标志总量算术平均数总体单位总量121...1n n i i xx x x x x n n n=+++===∑∑783896984129511375095101955x x n ++++====∑解：（元）11221121......ni in ni nnii x fxf x f x f x f x f f f ff==+++===+++∑∑∑∑【例】某地区100户居民按月水电费支出分组的资料如下表所示，求该地区100户居民的平均月水电费支出。

某地区100户居民月水电费支出情况统计表解： 某地区100户居民平均月水电费支出计算表【例】某班男、女生（各12人）上学期统计学考试成绩分别为： 女生：72、76、77、78、80、81、81、84、84、85、87、87； 男生：50、63、63、70、74、82、88、95、95、97、97、98。

抽样定理词义就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值分类时域抽样定理、频域抽样定理基本定义所谓抽样，就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T 抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。

在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。

或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。

根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。

意义介绍抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是f S≥2 f h ，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0～f h之内（fh为模拟信号的最高频率）。

为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生噪声。

例如，话音信号的最高频率限制在3400HZ，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为fS=6800HZ，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ，这样就留出了8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。

应当指出，抽样频率fS不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着fS升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低。

）所以只要能满足fS≥2f h,并有一定频带的防卫带即可。

以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为f0～fh，带宽B=fh - f0.如果f0<B，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，弱f0>B，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108KHZ）就属于带通型信号。

采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker （1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。

采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。

采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。

采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。

1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。

1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。

采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用[1]。