抽样定理

抽样定理是通信理论中的一个重要定理，它是模拟信号数字化的理论基础，包括时域抽样定理和频域抽样定理。

抽样定理，也称为香农采样定律和奈奎斯特采样定律，是信息论特别是通信和信号处理中的重要基础结论。

E.T.惠特克（统计理论发表于1915年），克劳德·香农和哈里·奈奎斯特对此做出了重要贡献。

此外，V。

A. Kotelnikov也对该定理做出了重要贡献。

采样是将信号（即空间中的连续函数）转换为数字序列（即空间中的离散函数）。

采样后的离散信号通过保持器后，获得具有零阶保持器特性的阶跃信号。

如果信号受频带限制，并且采样频率高于信号最高频率的两倍，则可以从采样样本中完全重建原始连续信号。

限带信号转换的速度受到其最高频率分量的限制，也就是说，其在离散时间采样和表达信号细节的能力非常有限。

抽样定理意味着，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的一半），那么这些离散采样点就可以完全代表原始信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量将导致混叠。

大多数应用都需要避免混叠，混叠的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样过程中应遵循的定律也称为抽样定理和抽样定理。

抽样定理解释了采样频率和信号频谱之间的关系，这是连续信号离散化的基本基础。

抽样定理最早是由美国电信工程师H. Nyquist于1928年提出的，因此被称为Nyquist抽样定理。

1933年，苏联工程师科特尔尼科夫首次严格地通过公式表达了这一原理，因此在苏联文学中被称为科特尔尼科夫抽样定理。

1948年，信息理论的创始人C.E. Shannon 清楚地解释了这一原理，并将其正式引用为一个定理，因此在许多文献中也称为Shannon抽样定理。

抽样定理有很多表达式，但是最基本的表达式是时域抽样定理和频域抽样定理。

抽样定理广泛应用于数字遥测系统，时分遥测系统，信息处理，数字通信和采样控制理论中。

抽样定理抽样的分类：（1） 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；（2） 用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等同间隔的，又分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理；（3） 抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又分为理想抽样和实际抽样。

低通型连续信号抽样定理抽样定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模拟信号数字化的理论基础。

低通型连续信号的抽样定理：一个频带限制在(0,)H f 赫内的时间连续信号()m t ，若以12H f 的间隔对他进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。

说明：抽样过程中满足抽样定理时，PCM 系统应无失真。

这一点与量化过程有本质区别。

量化是有失真的，只不过失真的大小可以控制。

低通型连续抽样定理证明设()m t 的频带为(0,)H f ，图中将时间连续信号()m t 和周期性冲激序列()T t δ相乘，用()s m t 表示此抽样函数，即()()()s T m t m t t δ=假设()m t 、()T t δ、()s m t 的频谱分别为()M ω、()T δω、()s M ω。

按照频域卷积定理，1()[()()]2s T M M ωωδωπ=因为 2()()T S n n T πδωδωω∞=-∞=-∑ 2S Tπω=所以， 1()[()*()]s s n M M n T ωωδωω∞=-∞=-∑由卷积关系，上式可写成1()()s s n M M n T ωωω∞=-∞=-∑ 上式表明，已抽样信号()s m t 的频谱()s M ω是无穷多个间隔为s ω的()M ω相迭加而成。

这表明()s M ω包含()M ω迭全部信息。

带通型抽样定理。

信号的抽样与恢复（抽样定理）信号的抽样和恢复是数字信号处理中的基本操作。

它是将连续时间信号（模拟信号）转化为离散时间信号（数字信号）的过程，也是将数字信号转化为连续时间信号的过程。

抽样定理是信号的抽样和恢复中一个十分重要的定理，它的证明也是数字信号处理中的一个重要课题。

一、信号的抽样在信号处理中，可以通过对连续时间信号进行离散化处理，使其转化为离散时间信号，便于数字处理。

抽样是指在每隔一定的时间间隔内对连续时间信号进行采样，得到一系列离散的采样值。

抽样操作可以用如下公式进行表示：x(nT) = x(t)|t=nT其中，x(t)是原始连续时间信号，x(nT)是在时刻nT处采样得到的值，T为采样周期。

具体来说，采样过程可以通过模拟信号经过一个采样和保持电路，将连续时间信号转换为离散信号的形式。

这里的采样周期越小，采样得到的离散信号的数量就越多，离散信号在时间轴的表示就越密集。

抽样后得到的信号形式如下：二、抽样定理抽样定理又称为奈奎斯特定理，是数字信号处理中的基础理论之一。

它指出，如果连续时间信号x(t)的带宽为B，则在抽样周期为T时，可以恰好通过抽样重建出原始信号x(t)，当且仅当：T ≤ 1/(2B)即抽样周期T应小于等于原始信号的最大频率的倒数的一半。

这个定理的物理意义是，需要对至少每个周期内的信号进行采样，才能够恢复出连续信号。

如果采样周期过大，将会丢失信号的高频成分，从而无法准确重建原始信号。

抽样定理说明了作为采样频率的一个下限值2B，因为将采样频率设置为低于此值会失去信号的唯一信息（高频成分）。

当采样频率等于2B时，可以从这些采样值恢复出信号的完整频率谱，即避免了信息损失。

三、信号的恢复当原始信号被采样后，需要对采样得到的离散信号进行恢复，以便生成一个趋近于原始信号的连续信号。

采样定理的证明告诉了我们如何确保在扫描连续信号的采样点时，可以正确地还原其原始形式。

例如，可以通过插值的方式将采样点之间的值计算出来，从而恢复出连续时间信号。

抽样定理词义就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值分类时域抽样定理、频域抽样定理基本定义所谓抽样，就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T 抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。

在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。

或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。

根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。

意义介绍抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是f S≥2 f h ，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0～f h之内（fh为模拟信号的最高频率）。

为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生噪声。

例如，话音信号的最高频率限制在3400HZ，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为fS=6800HZ，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ，这样就留出了8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。

应当指出，抽样频率fS不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着fS升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低。

）所以只要能满足fS≥2f h,并有一定频带的防卫带即可。

以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为f0～fh，带宽B=fh - f0.如果f0<B，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，弱f0>B，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108KHZ）就属于带通型信号。

实验四、抽样定理
抽样定理是模拟信号数字化的理论基础。

当采样频率 小于 时, 在接收端恢复的信号失真比较大, 这是因为存在信号的混频；当采样频率大于或等于奈奎斯特频率 时, 恢复信号与原信号基本一致。

理论上, 理想的抽样频率为2倍的奈奎斯特带宽, 但实际工程应用中, 限带信号绝不会严格限带, 且实际滤波器特性并不理想, 通常选取抽样频率的2.5～5倍的最高频率 进行采样以避免失真。

例如, 普通的话音信号带宽为3.4kHz 左右, 而抽样频率则通常选取8kHz 。

本实验被采样的模拟信号源是幅度1V 、频率为100Hz 的正弦波, 抽样脉冲为窄矩形脉冲, 脉宽为1微秒。

抽样器用乘法器代替。

用于恢复信号的低通滤波器采用三阶巴特沃斯低通滤波器（Butterworth ）。

为验证信号与恢复不失真条件和分析信号失真的原因, 我们分别选取了100Hz 、200Hz 、500Hz 等几种不同的抽样频率, 对原输入信号波形与抽样恢复后的波形进行观察和分析。

实验信号采样与恢复原理图:
信号采样与恢复的仿真模型如图:
1．实验要求: 信号源 信号预处理 LPF 抽样脉冲
恢复信号
2．根据要求搭建实验仿真的电路模型, 并进行参数设置, 系统采样速率为10kHz, 采样点为1024；
3．实验恢复过程, 为了便于观察, 将图中的两个增益置100；
4．观察原始信号、抽样脉冲、抽样信号、及恢复信号的波形与频谱；
5．将抽样脉冲频率分别置100、200、500Hz, 观察恢复后信号的波形的失真度, 验证抽样定理的要求；
6．观察图中使用的1.4两个LPF的作用；
将实验结果记录下来, 完成实验报告。

抽样定理什么是抽样定理？抽样定理是统计学中一个重要的概念，它指出了当样本数量足够大时，从一个总体中得到的样本均值的分布将趋向于正态分布。

抽样定理广泛应用于各个领域的统计研究中，为我们提供了一种有效的估计总体参数的方法。

抽样定理的背景抽样定理最早由俄国数学家切比雪夫在1874年提出。

他证明了当总体为无限大且服从一定规律时，从总体中随机抽取的样本均值的分布将逐渐趋近于正态分布。

这个定理被广泛应用于概率论、数理统计以及其他与随机变量有关的领域中。

抽样定理的假设抽样定理的有效性基于以下几个重要的假设：1.总体是无限大的；2.样本的抽取是随机的；3.样本之间是相互独立的；4.样本的大小足够大。

这些假设是抽样定理成立的前提条件，只有在满足这些条件的情况下，我们才能应用抽样定理进行推断统计。

抽样定理的应用抽样定理为统计学的推断统计提供了有力的工具。

通过从总体中随机抽取样本，我们可以利用抽样定理来估计总体的参数。

例如，我们可以根据样本均值来估计总体的均值，根据样本标准差来估计总体的标准差等。

除了参数估计，抽样定理还可以用于假设检验。

通过计算样本均值与总体均值之间的差异，在一定的统计显著性水平下，我们可以判断总体均值是否与某个假设值相差显著。

抽样定理的局限性尽管抽样定理在统计学中有着广泛的应用，但我们也需要注意它的局限性。

抽样定理仅适用于样本数量足够大的情况下，当样本数量较小时，抽样定理可能并不成立。

此外，抽样定理假设总体分布为正态分布，然而实际情况中总体的分布并不总是正态分布，这也是抽样定理的一大限制。

总结抽样定理是统计学中一个重要的概念，它指出了从一个总体中得到的样本均值的分布将趋向于正态分布。

抽样定理为我们提供了一种有效的估计总体参数的方法。

然而，我们需要注意抽样定理的前提条件和限制，在应用抽样定理时要考虑到这些因素。

抽样定理在统计学中有着广泛的应用，为我们理解和推断总体提供了有力的工具。

以上是关于抽样定理的文档，希望能对您有所帮助！。

6抽样定理
抽样定理是指在总体（population）中，抽出若干个样本（sample）时，所得到的样本的特征可以代表总体的特征。

在实际研究中，由于无法对整个总体进行完整地调查和分析，因此通常只能对样本进行研究。

而抽样定理提供了这种研究的理论基础。

抽样定理有多种，下面介绍其中比较常见的六种抽样定理。

1. 大数定律
大数定律是指在独立同分布（IID）的条件下，随着样本量的增加，样本平均值的差异越来越小，趋近于总体平均值。

这表明，当样本足够大时，样本的平均值可以近似地代表总体的平均值。

这一定理常常被用于评估某个总体的均值。

5. 方差稳定定理
方差稳定定理是指，当总体的方差是一个已知数量的情况下，样本的方差在独立同分布（IID）条件下成为总体方差量级的倒数。

这表明，当总体方差已知时，可以通过样本方差来估算总体方差。

这一定理常常被用于评估总体方差。

6. 核密度估计定理
核密度估计定理是指，在总体分布不确定时，可以利用样本数据推断总体分布的一个估计函数，称为核密度估计函数。

这个定理依赖于一些假设前提，例如 KDE 的核函数和带宽的选择。

这一定理通常被用于非参数统计。

抽样定理的原理及应用1. 抽样定理的原理抽样定理是概率论中的一个重要定理，它指出了在一定条件下，通过抽样可以准确地推断出总体的参数或分布情况。

抽样定理的原理基于大数定律和中心极限定理。

1.1 大数定律大数定律是概率论中的一个基本定律，它描述了在重复独立试验中，随着试验次数的增加，样本均值（或频率）将收敛于总体均值（或概率）。

换句话说，大数定律表明，通过增加样本数量，可以增加估计的准确性。

1.2 中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它描述了在一定条件下，大量相互独立的随机变量之和的分布将趋近于正态分布。

换句话说，中心极限定理表明，无论总体分布是什么样的，当样本容量足够大时，样本均值的分布都接近于正态分布。

2. 抽样定理的应用抽样定理在实际应用中具有广泛的用途。

下面将介绍抽样定理在统计学、市场调研和质量控制等领域的应用。

2.1 统计学中的应用在统计学中，抽样定理被广泛应用于构造信赖区间和进行参数估计。

信赖区间用于描述参数估计的不确定度，通过抽样获得的样本数据可以帮助我们估计总体参数的范围。

例如，通过抽样后的样本数据可以估计总体均值的信赖区间，从而推断总体均值的范围。

2.2 市场调研中的应用在市场调研中，抽样定理被用于确定样本容量的大小。

通过抽样的方式，可以从总体中选择一部分样本进行调研，以了解总体的特征。

抽样定理告诉我们，样本容量的大小与估计的准确性有关，通常情况下，样本容量越大，估计的准确性越高。

因此，在市场调研中，我们可以根据抽样定理计算出所需的样本容量，以确保研究结果的可靠性。

2.3 质量控制中的应用在质量控制中，抽样定理被用于进行抽样检验。

通过抽样的方式，可以从生产过程中选择一部分产品进行检验，以判断整体质量水平是否合格。

抽样定理告诉我们，当样本容量足够大时，可以通过抽样得到的样本数据准确地反映整体质量水平。

因此，在质量控制中，我们可以根据抽样定理确定合适的抽样容量，以保证检验结果的可靠性。

采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker （1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。

采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。

采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。

采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。

1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。

1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。

采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用[1]。

抽样定理以一定的时间间隔T提取时间连续信号的瞬时振幅值（采样值），并由采样门完成采样。

采样定理指出，从采样序列中恢复原始信号的条件是f S≥2 f h。

为了满足采样定理，有必要将模拟信号的频谱限制为0〜f h（fh是模拟信号的最高频率）。

因此，在采样之前，请设置一个低通滤波器以将模拟信号的带宽限制在fh以下。

如果预低通滤波器的特性很差或采样频率太低，则会产生折叠噪声。

例如，语音信号的最大频率被限制为3400HZ。

此时，满足采样定理的最小采样频率应为fS = 6800HZ。

为了离开某个防御区域，CCITT指定语音信号的采样率fS = 8000HZ，因此将8000-6800 = 1200HZ用作滤波器的防御区域。

应当注意，采样频率fS将不会尽可能高。

如果过高，则会降低信道利用率（由于fS的增加，数据传输速率也会提高，数字信号的带宽也会变宽，从而导致信道利用率下降。

）当fS≥2f h时，具有一定的防御频段。

上面讨论的采样定理实际上是针对低通信号的。

假设模拟信号的频率范围为f0〜fh，带宽B = fh-f0。

如果f0 <B，则称为低通信号。

例如，语音信号是低通信号，并且弱f0> B称为带通信号。

12组载波信号（频率范围60〜108KHZ）为带通信号。

对于低通信号，应满足fS≥2fh的条件；对于带通信号，如果仍然使用此采样，尽管可以满足采样频谱中不重叠的要求，但fS无疑太高（由于高频段，通过信号fh高），这会降低信道带宽利用率，这是不希望的。

采样定理：假设一个时间连续信号f（t），如果时间间隔T <= 1 / 2f m，则最高截止频率为f m当f（t）的开关信号被采样时，则f（t）可以由采样信号唯一地表示。