抽样信号与抽样定理

《信号与系统实验》信号的采样与恢复（抽样定理）实验一、实验目的1、了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。

2、验证抽样定理。

二、实验设备1、信号与系统实验箱2、双踪示波器三、原理说明1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。

抽样信号f s(t)可以看成连续f(t)和一组开关函数s (t)的乘积。

s (t)是一组周期性窄脉冲，见实验图5-1，T s(t)称为抽样周期，其倒数f s(t)= 1/T s称为抽样频率。

图5-1 矩形抽样脉冲对抽样信号进行傅立叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的信号频率。

平移的频率等于抽样频率f s(t)及其谐波频率2f s、3f s》》》》》》。

当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度(sinx)/x规律衰减。

抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。

2、正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。

只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。

3、但原信号得以恢复的条件是f s 2，其中f s为抽样频率，为原信号占有的频带宽度。

而f min=2 为最低抽样频率又称“柰奎斯特抽样率”。

当f s<2 时，抽样信号的频谱会发生混迭，从发生混迭后的频谱中我们无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。

在实际使用中，仅包含有限频率的信号是及少的，因此即使f s=2 ，恢复后的信号失真还是难免的。

图5-2画出了当抽样频率f s>2 （不混叠时）f s<2 （混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。

t f(t)0F()t 0m ωm ω-(a)连续信号的频谱Ts t 0f s (t)F()t0m ωm ω-s ω-s ω（）(b)高抽样频率时的抽样信号及频谱 不混叠图5-2 冲激抽样信号的频谱实验中f s >2 、f s =2 、f s <2 三种抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理——要使信号采样后能不失真地还原，抽样频率f s 必须大于信号频率中最高频率的两倍。

信号与系统中抽样的概念抽样是信号与系统中一个重要的概念。

在信号处理中，抽样是指对连续时间信号进行离散化处理，将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。

抽样的目的是为了将连续时间信号转换为数字信号，使得信号可以通过数字方式进行存储、传输和处理。

抽样过程可以看作是在连续时间域上对信号进行定时取样。

抽样过程中，我们使用采样定理（奈奎斯特定理）来保证抽样后的信号不失真。

采样定理指出，为了避免信号采样引起的混叠现象，抽样频率必须大于等于原始信号中最高频率的两倍，也就是满足奈奎斯特频率。

在实际应用中，我们通常采用理想脉冲序列作为采样信号。

理想脉冲序列是一个周期为T的序列，每个周期内有一个脉冲，其他时间点上为零。

理想脉冲序列的傅里叶变换是一个周期序列（频率为1/T）的线性组合。

对连续时间信号x(t)进行抽样，可以通过将x(t)与理想脉冲序列进行卷积来实现。

即将x(t)乘以理想脉冲序列，然后对乘积信号进行积分。

抽样后得到的信号为离散时间信号x[n]，其中n为整数，表示采样时刻。

离散时间信号x[n]可以看作是连续时间信号x(t)在采样时刻的取样值。

为了重构x(t)，可以通过将x[n]与插值函数进行卷积来实现。

插值函数可以看作是理想脉冲序列的反变换，即将理想脉冲序列的傅里叶变换除以周期序列的傅里叶变换。

抽样引入了两个重要的参数，即采样间隔和采样频率。

采样间隔为采样时刻之间的时间间隔，采样频率为采样时刻之间的倒数，即采样频率等于1/采样间隔。

采样频率越高，采样精度越高，重构信号的失真越小。

但是，采样频率过高也会导致计算和存储的需求增加。

抽样过程中，还存在一个概念叫做抽样定理。

抽样定理指出，在有限频带B内的连续时间信号，可以通过以准确率误差小于ε的方式进行采样和重构，只需要满足采样频率f_s大于等于2B。

这是由带限信号在频域中没有重叠而导致的。

如果信号的频域存在重叠，则需要进一步提高采样频率以避免混叠现象。

在实际应用中，我们使用的信号不一定是有限频带的信号，因此在抽样过程中，可能会引入混叠现象。

信号抽样原理
在信号处理中，抽样是指采集连续信号在一定时间间隔内的离散样本。

抽样原理基于奈奎斯特-香农采样定理，该定理表明
如果信号的最高频率为fmax，那么采样频率fs必须大于
2*fmax，才能保证采样后的离散信号能够完整还原原始信号。

抽样过程中，采样器将原始信号在不同时刻的幅度值进行测量，并将这些测量值进行离散化，得到离散信号序列。

这些样本点可以用来表示原始信号的近似形式，从而方便后续的处理和传输。

通常，采样过程可以用以下步骤描述：
1. 确定采样频率fs：根据信号的最高频率fmax，确定一个采
样频率fs，使得fs > 2*fmax。

这样做可以避免信号的频谱出
现混叠现象，即高频成分被错误地映射到低频区域。

2. 进行采样：在确定了采样频率后，采样器以固定时间间隔取样信号。

每个样本点对应于一个特定的时间，采集信号在该时刻的幅度值。

采样过程可以使用模拟-数字转换器(ADC)完成。

3. 离散化：将连续的采样信号转换为离散的信号序列。

这可以通过将每个采样点的幅度值用数字表示来实现。

离散化可以使用数字信号处理器(DSP)或其他离散化设备来完成。

4. 重构原始信号：通过插值或其他方法，使用离散信号序列重建原始信号。

重建后的信号能够以较高的精度近似原始信号，
使得后续的信号处理过程更加有效和准确。

通过抽样原理，连续信号可以被转换为离散信号进行处理和传输，从而在数字系统中实现各种信号处理算法和技术。

诸如音频、视频等多媒体数据的数字化处理都离不开抽样原理的应用。

（一）信号抽样信号抽样是利用抽样脉冲序列)(t p 从连续信号)(t f 中抽取一系列的离散值，通过抽样过程得到的离散值信号称为抽样信号，记为)(t f s 。

从数学上讲，抽样过程就是信号相乘的过程，即)()()(t p t f t f s ∙=因此，可以使用傅里叶变换的频域卷积性质来求抽样信号)(t f s 的频谱。

常用的抽样脉冲序列有周期矩形脉冲序列和周期冲激脉冲序列。

上式表明，信号在时域被抽样后，它的频谱是原连续信号频谱以抽样角频率为间隔周期的延拓，即信号在时域抽样或离散化，相当于频域周期化。

在频谱的周期重复过程中，其频谱幅度受抽样脉冲序列的傅里叶系数加权，即被n P 加权。

可以看出，)(ωs F 是以s ω为周期等幅地重复。

（二）抽样定理 如果)(t f 是带限信号，带宽为m ω，则信号)(t f 可以用等间隔的抽样值来唯一表示。

)(t f 经过抽样后的频谱()ωs F 就是将)(t f 的频谱()ωF 在频率轴上以抽样频率s ω为间隔进行周期延拓。

因此，当m s ωω2≥时，周期延拓后频谱()ωs F 不会产生频率混叠；当m s ωω2<时，周期延拓后频谱()ωs F 将产生频率混叠。

通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率)2,2(2πωπωm m s s m s f f f f ===称为奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔ms s f f T 211==称为奈奎斯特间隔。

（三）信号重建 抽样定理表明，当抽样定理小于奈奎斯特间隔时，可以使用抽样信号唯一表示原信号，即信号的重建。

为了从频谱中无失真的恢复原信号，可以采用截止频率为m c ωω≥的理想低通滤波器。

上式表明连续信号可展开为抽样函数()t Sa 的无穷级数，该级数的系数为抽样值。

利用MATLAB 中的函数tt t c ππ)sin()(sin =来表示()t Sa ，所以可获得由()s nT f 重建()t f 的表达式，即()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+∞=-∞=s c n n s c s nT t c nT f T t f πωπωsin。

实验一 信号的抽样与恢复（抽样定理）一、实验目的1．了解信号的抽样方法与过程以及信号恢复的方法。

2．验证抽样定理。

二、实验设备1．Dais －XTB 信号与系统实验箱 一台 2．双踪示波器 一台 3．任意函数发生器 一台三、实验原理1．离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。

抽样信号()s x t 可以看成连续信号()x t 和一组开关函数()s t 的乘积。

()s t 是一组周期性窄脉冲，如图1-1，s T 称为抽样周期，其倒数1/s s f T =称抽样频率。

图1-1 矩形抽样信号对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的原信号频率。

平移的频率等于抽样频率f s 及其谐波频率2f s 、3f s ……。

当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度按sin x /x 规律衰减。

抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。

2．在一定条件下，从抽样信号可以恢复原信号。

只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n 的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出端可以得到恢复后的原信号。

3．原信号得以恢复的条件是f s ≥2f max ，f s 为抽样频率，f max 为原信号的最高频率。

当f s ＜2 f max 时，抽样信号的频谱会发生混叠，从发生混叠后的频谱中无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。

在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的，因此恢复后的信号失真还是难免的。

实验中选用f s ＜2 f max 、f s ＝2 f max 、f s ＞2 f max 三种抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理。

4．连续信号的抽样和抽样信号的复原原理框图如图1-2所示。

除选用足够高的抽样频率外，常采用前置低通滤波器来防止原信号频谱过宽而造成抽样后信号频谱的混迭，但这也会造成失真。

学生实验报告）实际上，考虑到低通滤波器特性不可能理想，对最高频率为3400Hz的语言信号，通常采用8KHz 抽样频率，这样可以留出1200Hz的防卫带。

见图4。

如果fs＜fH，就会出现频谱混迭的现象，如图5所示。

在验证抽样定理的实验中，我们用单一频率fH的正弦波来代替实际的语音信号。

采用标准抽样频率fs＝8KHZ。

改变音频信号的频率fH，分别观察不同频率时，抽样序列和低通滤波器的输出信号，体会抽样定理的正确性。

验证抽样定理的实验方框图如图6所示。

在图8中，连接（8）和（14），就构成了抽样定理实验电路。

由图6可知。

用一低通滤波器即可实现对模拟信号的恢复。

为了便于观察，解调电路由射随、低通滤波器和放大器组成，低通滤波器的截止频率为3400HZ2、多路脉冲调幅系统中的路际串话~多路脉冲调幅的实验方框图如图7所示。

在图8中，连接（8）和（11）、（13）和（14）就构成了多路脉冲调幅实验电路。

分路抽样电路的作用是：将在时间上连续的语音信号经脉冲抽样形成时间上离散的脉冲调幅信号。

N路抽样脉冲在时间上是互不交叉、顺序排列的。

各路的抽样信号在多路汇接的公共负载上相加便形成合路的脉冲调幅信号。

本实验设置了两路分路抽样电路。

多路脉冲调幅信号进入接收端后，由分路选通脉冲分离成n路，亦即还原出单路PAM信号。

图7 多路脉冲调幅实验框图冲通过话路低通滤波器后，低通滤波器输出信号的幅度很小。

这样大的衰减带来的后果是严重的。

但是，在分路选通后加入保持电容，可使分路后的PAM信号展宽到100％的占空比，从而解决信号幅度衰减大的问题。

但我们知道平顶抽样将引起固有的频率失真。

PAM信号在时间上是离散的，但是幅度上趋势连续的。

而在PAM系统里，PAM信只有在被量化和编码后才有传输的可能。

本实验仅提供一个PAM系统的简单模式。

3、多路脉冲调幅系统中的路标串话路际串话是衡量多路系统的重要指标之一。

路际串话是指在同一时分多路系统中，某一路或某几路的通话信号串扰到其它话路上去，这样就产生了同一端机中各路通话之间的串话。