第三章 泊松过程与更新过程泊松过程（Poisson process ）最早是由法国人Poisson 于1937年引入的.它是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程，在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用。
3.1 泊松过程的定义和数字特征在第二章中，我们已经定义了泊松过程，在实际应用中，考虑一个来到某“服务点”要求服务的“顾客流”，顾客到服务点的到达过程可以认为是Poisson 过程.当抽象的“服务点”和“顾客流”有不同的含义时，就可形成不同的Poisson 过程，下面我们先看几个实例.例 3.1 考虑某一电话交换台在某时间段接到的呼唤，令()N t 表示电话交换台在(0,]t 收到呼唤的次数，则{(),0}N t t ≥是一个Poisson 过程.例3.2 考虑机器在(,]t t h +内发生故障这一事件，若机器发生故障，立即进行修理，在(,]t t h +内发生故障而停工的机器数构成一个随机过程，可以用Poisson 过程来描述.定义3.1 称记数过程{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，如果满足条件：（1）(0)0N =；（2）()N t 是平稳增量与独立增量过程；（3） {()1}(),P N h h h λο==+ 0h >；（4）{()2}(),0.P N h h h ο≥=>上述定义中条件（3）表明在充分小的时间间隔h 内到达一个“顾客”的概率与时间间隔h 的长度成正比，条件（4）表明在很小的时间间隔h 内不可能到达两个或两个以上的“顾客”.在实际应用中，很多随机现象都近似地满足这两个条件，因此，可用Poisson 过程来描述.定理3.1 定义2.15和定义3.1是等价的.证明 一方面，定义3.1 ⇒定义2.15.在定义3.1的条件下，记(){()}n P t P N t n ==，令0h >，则0(){()0}{()0,()()0}P t h P N t h P N t N t h N t +=+===+-={()0}{()()0}P N t P N t h N t ==⋅+-=（独立增量性）{()0}{()0}P N t P N h ==⋅= （平稳增量性）0()[1()]P t h h λο=-+（由定义中（3）（4）） 因此，000()()()()P t h P t h P t h hολ+-=-+，令0,h →取极限得，00()()P t P t λ'=-，再由初始条件0(0){(0)0}1P P N ===，解得：0()t P t eλ-=.类似地，对1n ≥ (){()}n P t h P N t h n +=+={(),()()0}P N t n N t h N t ==+-=+{()1,()()1}P N t n N t h N t =-+-=+2{(),()()}nj P N t n j N t h N t j ==-+-=∑=011()()()()()n n P t P h P t P h h ο-⋅++1()(1)()()n n P t h hP t h λλο-=-++由此 1()()()()()n n n n P t h P t h P t P t h hολλ-+-=-++， 令0,h →取极限得微分方程1()()()n n n P t P t P t λλ-'=-+因此 1[()()]()t t n n n e P t P t e P t λλλλ-'+=也就是1[()]()t t n n d e P t e P t dtλλλ-= 当1n =时，由0()t P t e λ-=得到1[()]t d e P t dt λλ=， 再由1(0)0P =，可解得 1()t Pt te λλ-= 最后，由数学归纳法，并注意到(0)0n P =，得到()()!t nn e t P t n λλ-=. 另一方面，定义2.15 ⇒定义3.1.定义2.15的条件（3）可知()N t 是平稳增量过程，只需验证定义3.1中（3）和（4）.由定义2.15的条件（3），对于充分小的0h >，有{()()1}{()(0)1}{()1}P N t h N t P N h N P N h +-==-=== =0()1!!nh n h h e h n λλλλ∞-=-=∑ [1()]()h h h h h λλολο=-+=+又有 {()()2}{()(0)2}{()2}P N t h N t P N h N P N h +-≥=-≥=≥ =2()()!n h n h eh n λλο∞-==∑ 因此，定义3.1中（3）和（4）成立.下面的定理给出了Poisson 过程几个常见的数字特征定理3.2 设随机过程{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，则有（1）期望函数和方差函数：()()N N m t D t t λ==；（2）协方差函数：(,)min(,)N C s t s t λ=；（3）相关函数：2(,)min(,)N R s t st s t λλ=+.证明 设{(),0}N t t ≥是Poisson 过程，对于任意的,[0,)s t ∈∞，不妨设s t <，[()()][()()]()E N t N s D N t N s t s λ-=-=-,由于(0)0N =，故()[()][()(0)]N m t E N t E N t N t λ==-=()[()][()(0)]N D t D N t D N t N t λ==-=(,)[()()]{()[()()()]}N R s t E N s N t E N s N t N s N s ==-+2[()(0)][()()][()]E N s N N t N s E N s =--+2[()(0)][()()][()]{[()]}E N s N E N t N s D N s E N s =--++22()()s t s s s st s λλλλλλ=-++=+因此 (,)(,)()()N N N N C s t R s t m s m t s λ=-=.当s t >时，类似可以证明(,)N C s t t λ=故 (,)min(,)N C s t s t λ=，2(,)min(,)N R s t st s t λλ=+.3.2 与泊松过程相关的分布如果我们用Poisson 过程描述服务系统接受服务的顾客数，则顾客到来接受服务的时间间隔、顾客排队等待时间等相关的分布都需要进行研究，这节我们将对Poisson过程与时间特征相关的分布进行讨论.3.2.1 到达时间间隔和等待时间的分布设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令1T 表示第一个顾客到达的时刻，n T （1n >）表示第1n -个顾客与第n 个顾客到达的时间间隔（如图3-1所示），称{,1,2,}n T n =为到达时间间隔序列. 它们都是随机变量，有关时间间隔序列的分布，我们有下面的定理.定理 3.3 强度为λ的Poisson 过程到达时间间隔序列{,1,2,}n T n =是相互独立的随机变量序列，并且是具有相同均值1λ的指数分布.证明 首先注意到事件{}1T t >发生当且仅当Poisson 过程在[0,]t 内没有顾客到达，即 {}{}1()0t P T t P N t e λ->===因此 {}1(0)1,(0)0,t t e P T t t λ-≥⎧-≤=⎨<⎩ 即1T 服从均值为1的指数分布.对于2T ，求已知1T 的条件下2T 的条件分布，由于{}{21|(,]P T t T s P s s t >==+内无顾客到达}1|T s =（独立增量性）={(,]P s s t +内无顾客到达}（增量平稳性）= {()0}t P N t e λ-==因此，2T 与1T 独立，且2T 也服从均值为1λ的指数分布.用相同的方法，我们可以得到n T 服从均值为1λ的指数分布，且121,,,n T T T -相互独立，定理得到证明.下面我们不加证明给出定理3.3的逆定理. 定理3.4 设{(),0}N t t ≥表示时间间隔(0,]t 中到达的顾客数，{,1,2,}n T n =为顾客达到的时间间隔序列，且为独立服从均值为1指数分布的随机序列，则{(),0}N t t ≥为强度为λ的Poisson 过程.定理3.3和定理 3.4给出了Poisson 过程与指数分布之间的关系.直观上，由于Poisson 过程具有独立增量性，因此，各个顾客的到达是独立的，而Poisson 过程又具有平稳增量性，故此时间间隔与上一段时间间隔的分布应该相同，即有“无记忆性’.具有无记忆性的连续分布只有指数分布.图3-1 n W 与n T 的关系图另一个值得探讨的问题是等待时间n W 的分布.直观上，n W 可以理解为第n 个顾客出现的时刻，故有1,(1)n n ii W T n ==≥∑，由定理3.3知，n W 是n 个相互独立的指数分布随机变量的和，用特征函数的方法，我们可以得到定理3.5 等待时间n W (1)n ≥服从参数为,n λ的Γ分布.证明 首先注意到第n 个顾客在时刻t 或之前来到当且仅当到时间t 已到来的顾客数目至少是n ，即{}{}()n W t N t n ≤=≥,因此 {}{}()()!j t n j n t P W t P N t n ej λλ∞-=≤=≥=∑， 记n W 的概率密度为()f t ，上式两边对t 求导1()()()!!j j t t j n j nt t f t ej e j j λλλλλλ-∞∞--===-+∑∑ =1()()!(1)!j j t t j n j nt t ee j j λλλλλλ-∞∞--==-+-∑∑1()(0)(1)!n t t e t n λλλ--=>- 因此 1,0()()0,0nn t t e t f t n t λλ--⎧>⎪=Γ⎨⎪≤⎩(3.1)即等待时间n W (1)n ≥服从参数为,n λ的Γ分布，也称爱尔朗（Erlang ）分布.例3.3 一理发师在0t =时开门营业，设顾客按强度为λ的Poisson 过程到达，若每个顾客理发完需要α分钟，α为正常数.求第二个顾客到达后不需要等待就马上理发的概率及到达后等待时间S 的平均值.解 设第一个顾客的到达时间为1W ，第二个顾客的到达时间为2W ，令221T W W =-，则第二个顾客不需要等待等价于2T α>.由定理3.3知2{}P T e λαα->=n W 1-n W 3W 2W 1W 0等待时间 222,()0,()T T S T ααα-<⎧=⎨≥⎩ 因此，平均等待时间为01()(1)x ES x e dx e αλλααλαλ-=-=--⎰ 3.2.2 剩余寿命和年龄下面我们从另一角度来刻画Poisson 过程的若干重要特性.设{(),0}N t t ≥表示[0,]t 中到达的“顾客数”，n W 表示第n 个顾客出现的时刻，()N t W 表示在t 时刻前最后一个“顾客”到达的时刻，()1N t W +表示t 时刻后首个“顾客”到达的时刻.注意到这里()N t W 和()1N t W +的下标(),()1N t N t +都是随机变量.令()1()N t U t W t +=- （3.2）()()N t V t t W =- （3.3）则()U t 与()V t 如图3-2所示图3-2为了直观地解释()U t 与()V t 的具体意义，我们给出几个实际模型：设一零件在0t =时开始工作，若它失效，立即更换（假定更换所需时间为零），一个新零件重新开始工作，如此重复.记n W 为第n 次更换时刻，则1n n n T W W -=-表示第n 个零件的工作寿命，于是()U t 表示观察者在时刻t 所观察的正在工作零件的剩余寿命；()V t 表示正在工作的零件的工作时间，称为年龄。
