《流体力学》第三章 一元流体动力学基础3.11-3.12

第三章 一元流体动力学理论基础
第一章 绪论 第一节 描述液体运动的两种方法 第二节 流体运动的若干基本概念 第三节 连续性方程 第四节 恒定总流的能量方程 第五节 恒定总流的动量方程
明德至诚 博学远志
第一节 描述液体运动的两种方法
流场：充满运动流体的空间称为流场。
1. 拉格朗日(Lagrange)法（随体法） 拉格朗日法着眼于流场中每一个运动着的流体质
1.恒定流与非恒定流
1)恒定流
水面保持恒定
流体质点的流体参数（速度、加速度、压强和密
度恒2)非）定恒皆流定不的流随当时地间加变速化度为的零液。流水面。不断下uuu降rrr！xzy
= = =
uuurrrzxy(((xxx,,,
y, z)⎫
y, z)⎪⎬
y,
z)
⎪ ⎭
各点流速和各运动要素 随时间变化而变化的液流。
⎪ ⎪ ⎭
环境与资源学院环境科学与工程系 Environment Science & Engineering
1
2. 欧拉法（Euler）--当地法
研究流场中各个固定点上质点运动要素随 时间的变化情况，以获得整个液体运动场 的变化规律。
用Euler法描述液体运动时，运动要素是空 间坐标x,y,z与时间坐标t的连续可微函数， 变量x,y,z,t统称为Euler变量。
有压流：边界全部为固体（若为液体则没有自由表 面）的流体运动。如：给水管道、输油管道中的
无压流：边界部分为固体，部分为大气，具有自由 表面的液体运动。如：河渠、排水管道中的
射流：流体从空口、管嘴或缝隙中连续射出一股具 有一定尺寸的流速，射到足够大的空间去继续扩散 的流动称为射流。
zx,y,z—分别为X,Y,Z方向上的空间坐标函数值；

解：（1）根据连续性方程 d1 d2 d3
QV = vA Q v= V A
A=πdi2/4 (i=1,2,3) 分别将已知条件带入方程中即可求解得到。 （2）根据连续性方程可知，当过流断面（管段截面）不变的情况下， 流量增大或减小的倍数，等于平均流速增大或减小的倍数。
Q
3-2 断面为50cm×50cm的送风管，通过a，b，c，d四个40cm×40cm 的送风口向室内输送空气，如图所示。送风口的平均速度为5m/s，求 通过送风管1-1，2-2，3-3各断面的流速和流量。
对于有多点出入的总流，所有流量变化可表示为
Q Q
in
out
连续性方程是质量守恒定律的流体力学表达式
3-1 图中所示的管段，d1=2.5cm, d2=5cm, d3=10cm.（1）当流量为4L/s 时，求各管段的平均流速。（2）旋转阀门，使流量增大到8L/s或使流 量减小至2L/s时，平均流速如何变化。
总流中任取一元流，两端过流断面面积分别为 dA1 和dA2， 流速分别为 u1 和 u2 考虑 恒定流时，元流形状不变 连续介质，元流内部无间隙 流线性质，流管侧壁无液体流入流出 根据质量守恒定律： 单位时间内从dA1 流入流体的质量等于从dA2 流出流体的质量
可压缩流体：
u1
A1
dA1
A2 u2 dA2
速度： ux
（x，y，z）
（t0） O M （a，b，c） x
uz 2 z az 2 t t
同理：ρ= ρ （a，b，c，t），p=p (a，b，c，t)
◊ 欧拉法：以充满液体的空间，即流场
为对象，观察不同时刻流场中各空间 点上流体质点的运动参数(流速等)， 将其汇总起来，就形成了对整个流场 的描述. 又称局部法.

p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
以固定空 间、固定 断面或固 定点为对 象，应采 用欧拉法
x xt, y yt, z zt
3
a.流体质点的加速度
a

dv
dt
ax

dvx dt
vx t
vx x
dx dt
vx y
dy dt
m/ s2
ax 4m / s2
7
（2）
v

vx
i

v
y
j


(4y 6x)i (6y 9x) j 0
t t t
是非恒定流
（3）v v
vx
vx x
vy
vx y
i vx
vy x
vy
vy y
a bt
即
dx a
dt

0xd
x

t
0
adt

x

a
t
dy bt

dt

y
0
dy

t
0
btdt

y

b
t2 2
y

b 2a2
x2
——迹线方程（抛物线）
y
注意：流线与迹线不重合
o
x
13
例：已知速度vx=x+t，vy=－y+t 求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
解：（1）流线： dx dy
（2）迹线方程及t =0时过（0，0）点的迹线。
解：（1）流线： dx dy
a bt
积分： y bt x c a

hl12
总流：
( z1
p1
u12 )dQ
2g
(z2
p2
u22 2g
hl12 )dQ
A2
A1
缓变流截面
z p
g
常数
(z p )dQ (z p )Q
g
A
u2 dQ u3 dA v3 dA v2 Q
2g
2g
2g
2g
A
A
A
1
v3 A
u3dA 1
A
hl12dQ hl12Q
缓变流：流线近于平行的流动 急变流：流向变化显著的流动
缓变流
急变流
缓变流 缓变流
急变流
急变流
二、速度沿流线主法线方向的变化
分析流线主法线方向所受的力：
端面压力： pA ( p p)A
p+p
重力分量： W cos 法线方向的加速度： u2 / r
A M
z
r
牛顿第二定律
p W
rA u2 ( p p)A pA W cos
(z p ) 0
r g
z1
p1
g
z2
p2
g
z
r
p2
2 p1 1
流线
水平面内的直线流动： p 0 r
在均匀流动条件下，沿垂直于 流线方向（即过流断面）的压 强分布服从于静力学基本方程 式。
忽略重力影响的直线流动，沿垂 直于流线方向的压强梯度为零， 即没有压强差。
四、均匀流动时压强沿流线主法线方向（过流断面）的变化
v Q A Q vA v f (s) 简化为一元问题！
§3.5 连续性方程
问题：v(s)沿流向如何变化（规律）？