【领先课程】第六讲 整式的概念j

教学过程一、复习预习上节课我们已经把整个有理数的章节学习完了，现在让我们一起回忆下在有理数这章中我们都学习了哪些内容1、有理数的概念及其分类2、相反数、数轴与绝对值的意义及运用3、有理数加、减、乘、除及乘方运算4、有理数运算中常用到的运算律及计算技巧5、科学记数法与近似数二、知识讲解1、做一做（1）某种瓜子的单价为16元/千克，则n千克需要 _____元；（16n）（2）小刚上学步行速度为5千米/小时,若小刚到学校的路程为s千米，则他上学需走________小时。

（5s） （3）钢笔每支a 元，铅笔每支b 元，买2支钢笔和3支铅笔共需__________元。

(23a b +) 在前面的研究中，出现了16n 、5s、23a b +等式子，我们称它们为代数式. 代数式：由数和字母用运算符号连接所成的式子. 注意：单独一个数或一个字母也是代数式. 2、代数式的规范写法（1）b a ⨯通常写作ab b a 或⋅； （2）aa 11通常写作÷ （3）数字通常写在字母前面;如：3a ⨯通常写作3a （4）带分数一般写成假分数.如：a a 56511通常写作⨯ （5）所写代数式如果有单位，在写答案时，应带上单位，若是乘除关系，单位名称应写在式子后面，如12akg ，若是加减关系，式子必须用括号括起来，再写上单位名称，如()a b +h.3、列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母及运算符号表示出来，就是列代数式. 4、列代数式的步骤：（1）抓住关键词，理解其意义; （2）明确运算顺序;（3）概括原题，正确使用括号. 5、求代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给出的运算计算出的结果，叫做求代数式的值。

6、求代数式值的方法（1）直接求值法：先代入，即用数值代替代数式里的字母，后计算，即按代数式中的运算关系计算得出结果，运算时既要分清运算种类，又要注意运算顺序，代入时通常有两种情况，即单独代入和整体代入.（2）化简求值法：对于一些复杂的式子，不能直接代入求值时，要经过化简整理，才能求出代数式的值. 考点/易错点1代数式的特点：（1）代数式是用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子;一般来讲，这里的运算是指加，减，乘，除，乘方和开方 如，23a b +（2）单独的一个字母或一个数也是代数式;如，a ,-15,0（3）代数式中不含“=”、“>”、“<” 、“≠”等符号。

如，230x +>不是代数式，但23x +是代数式考点/易错点2（1）列代数式时，应将题目中的每一个未知量都用同一个字母或几个字母表示出来 （2）题目中给出的字母千万不要忽视，要将它看成已知条件，逐字逐句地分析题意，将每一个量都用字母或具体的数字表示出来，这样，要列的代数式也就不难列出了. 考点/易错点3求代数式的值时，特别要注意字母的取值为负数或分数时，要适当加上括号.三、例题精析【例题1】 【题干】填一填（1）一个三位数的百位上的数字为a ，十位上比百位上的数字多1，个位上的数字比十位上的数字多1，则这个三位数为___________.（2）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每用户用水不超 过12吨，按每吨a 元收费；若超过12吨，则超过部分按每吨2 元收费，没超过部分仍按每吨a 元收费，如果某用户9月份用水20吨，则应缴纳水费为___________元.（3）有甲种糖17kg ，每千克x 元；有乙种糖5kg ，每千克y 元.现将这两种糖混合在一起，则混合糖每千克的价格应为____________元.（4）托运行李p 千克（p 为整数）的费用为c （元）.已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）需加费用5角，则用含p 的代数式表示托运行李费用c 的表达式是__________.【答案】（1）110a+10（a+1）+（a+2）或者11112a +； （2）1216a +； （3）17522x y+； （4）c=2＋0.5(p －1)，p≥1且p 为整数【解析】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．书写代数式的时候，字母与字母相乘时，乘号要省略不写，除号用分数线代替． 【例题2】【题干】说出下列代数式的意义：（1）()23a +表示__________________；（2）22a b +表示___________________；（3）11n n +-表示_____________________； （4）c ab表示______________________；（5）xx y-表示___________________. 【答案】（1）2与3a +的积 （2）a 、b 的平方的和（3）1n +除以1n -的商 （4）c 除以a 与b 乘积的商（5）x x y -与（）的商【解析】说出下列代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点． 【例题3】【题干】设x 表示一个数，用代数式表示：（1）比这个数的12大5的数的20% （2）这个数的2倍与这个数的立方的差（3）这个数与这个数的30%的比 【答案】（1）120%52x ⎛⎫+⎪⎝⎭（2）32x x - （3）30%x x 【解析】本题考查的是代数式的书写，注意要严格按照规范去书写，特别要注意乘法和除法的书写要求. 【例题4】【题干】求代数式332x y x y x ++-的值，其中133x y =--，＝ 【答案】解：将133x y =--，＝代入到332x y x y x ++-中，得： ()()3311323333⎛⎫-⨯-+⨯-+-+ ⎪⎝⎭=3183633⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭=8163-+ =123- 【解析】本题主要考查代数式求值问题和有理数的计算.只需将已知代入代数式即可,但要注意步骤. 【例题5】【题干】已知3a b -=，4a c -=-，则2a b c --=_________. 【答案】解：2341a b c a a b c a b a c --=+--=-+-=-=-【解析】解决本题的技巧在于观察出2a b c a a b c --=+--，通过变形进而得出代数式2a b c --的值.通过此题可以培养孩子的观察和解决问题的能力.【例题6】【题干】代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为多少？ 【答案】解：∵2346x x -+=9 ∴234x x -=3∴2463x x -+=()213463x x -+=13673⨯+= 【解析】解决本题的关键在于先求出234x x -的值，然后观察发现所求的式子2463x x -+= ()213463x x -+，从而得出结果. 【例题7】【题干】如图，在正方形ABCD 中，画2个半径为a 的四分之一圆，用代数式表示阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】解：根据题意得：()=2ABCD ABC S S S -⨯正方形阴影部分扇形= 221()24a a π-⨯ = 22122a a π-【解析】本题主要考查了正方形与扇形的面积，解此题的关键是如何把阴影部分的面积转换成正方形和扇形的面积，题目较好．四、课堂运用【基础】 1. 填一填：（1）一支圆珠笔a 元，5 支圆珠笔共__________元。

（2）“a 的3倍与 b 的34的和”用代数式表示为____________。

（3）比a 的2倍小3的数是___________。

（4）某商品原价为a 元，打7折后的价格为____________元。

（5）一个圆的半径为r ，则这个圆的面积为____________。

【答案】5a ；334a b +；23a -；70%a ；2r π 【解析】本题考查的是代数式的表示方法，要注意书写规范. 2. 说出下列代数式的意义： （1）3a b - （2）212a b -【答案】（1）a 的3倍与b 的差 （2）a 的一半与b 的平方的差【解析】用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点． 3. 用代数式表示：（1）x y 和两数的和的平方（2）一张贺卡的价格为 2 元，元旦前，小明用自已的零花钱买了 m 张贺卡送给同学，则小明一共花了多少钱？（3）一个长方形的周长是 30cm ，若长方形的一边长为acm ，则该长方形的面积是多少？（4）某工厂第一个月的生产量是a ，以后平均每月增长 10％，问第三个月的产量是多少？【答案】（1）2()x y + （2）2m （3）()215a a cm - （4）2(110)a ＋％ 【解析】列代数式时，应将题目中的每一个未知量都用同一个字母或几个字母表示出来； 题目中给出的字母千万不要忽视，要将它看成已知条件，逐字逐句地分析题意，将每一个量都用字母或具体的数字表示出来，这样，要列的代数式也就不难列出了. 4. 求代数式的值：（1）已知：12,3a b ==，求2a ba b+-的值 （2）当12x =，25y =-时，求2342x y -的值【答案】（1）解：当12,3a b ==时， 原式=2123123⨯+-=3（2）解：当12x =，25y =-时，原式=132844255⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭ 【解析】求代数式的值时，特别要注意字母的取值为负数或分数时，要适当加上括号 5. 已知：4a b +=，1ab =，求232a ab b ++的值。

【答案】解：232a ab b ++=()23a b ab ++当4a b +=，1ab =时， 原式=243111⨯+⨯=【解析】解决本题的关键在于观察出232a ab b ++=()23a b ab ++，由此看出在求代数式的值中经常会用到把所求代数式变形的方法求出结果.6. 写一个只含有字母a 的代数式，使得这个代数式不论a 取什么值，代数式的值总是负数，你写的代数式是___________． 【答案】解：∵2a ≥0，∴-2a ≤0， ∴-2a -1＜0． 故答案为-2a -1．【解析】本题考查了列代数式及代数式求值的知识，解题的关键是熟悉路程、速度及时间之间的关系．7. （2012•翔安区模拟）已知代数式a b +的值等于4，则代数式22a b +的值为_______．【答案】解：222a b a b +=+（）∵4a b +=，∴22248a b +=⨯=． 故答案为：8．【解析】本题考查了代数式求值：先把代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体代入的方法进行计算．8. 根据下表中x 的值和它对应的代数式的值，可确定该代数式应是（ ）A ．x+2B ．2x-3C ．3x-10D ．-3x+2 【答案】解：依题意可知，该代数式应是-3x+2．故选：D ．【解析】考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间的关系． 【巩固】1. 随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某种品牌电脑原售价为n 元，现按原售价降低m 元后，又降低10%，那么该电脑的现售价为________元． 【答案】解：依题意得，该电脑的现售价为：（n-m ）（1-10%）=90%（n-m ）．【解析】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 2. 已知代数式2x y -的值为3．（1）求代数式423x y --的值为_________； （2）求代数式32yx -+的值． 【答案】解：（1）∵23x y -=，∴4232232333x y x y --=--=⨯-=（）； （2）∵23x y -=， ∴32y x -+=13(2)2x y --=133322-⨯=． 【解析】（1）先对所求代数式前两项，提取公因数2，再整体代入计算即可；（2）先对所求代数式的后两项，提取公因数12-，再整体代入计算即可． 3. 若代数式2x 的值和代数式21x y +-的值相等，则代数式29222y x x -++（）的值是（ ） A ．7B ．4C ．1D ．不能确定【答案】解：∵代数式2x 的值和代数式21x y +-的值相等，∴221x x y =+-； ∴221x x y -+=-（）； ∴22242y x x =-+∴29222y x x -++（）=29242y x x --+=22924242x x x x --+-+（）=22924224x x x x -+-+-=927-= 故选A ．【解析】根据代数式2x 的值和代数式21x y +-的值相等，可得：221x x y =+-，即可求得：221y x x =-+，然后将y 的值代入原代数式求值即可． 4. 请写出一个代数式，同时满足下列两个条件： ①无论x 取何值，代数式的值都为非负数； ②当x =4时，代数式的值为16， 你写的代数式是________．【答案】解：2x 为非负数，且2416=．故答案为：2x ．【解析】无论x 取何值，代数式的值都为非负数，所以选择关于x 的非负数的形式，不妨设为2x ，恰好当x =4时，代数式的值为16；由此写出即可．5. 甲、乙两人从学校出发沿同一条路去书店，甲走出500米后，乙才出发追甲，已知乙的速度比甲快a 米/秒．（1）试用代数式表示乙需要多少时间才能追上甲． （2）当a =0.8时，求乙赶上甲所用的时间． 【答案】解：（1）∵两人相差500米，每秒追a 米，∴乙需要500a秒才能追上甲； （2）当a=0.8时，500÷0.8=625秒． 故乙赶上甲所用的时间为625秒．【解析】本题考查了列代数式及代数式求值的知识，解题的关键是熟悉路程、速度及时间之间的关系．6. 某种商品原价m 元，第一次降价a %，第二次在第一次降价后的基础上再降价a %，用代数式表示两次降价后的价格．【答案】解：第一次降价后的价格是：m ()1%a -元，第二次降价后的价格是：m ()1%a -()1%a -= ()21%m a -元．【解析】此题主要考查了根据实际问题列代数式，关键是正确理解题意，表示出每次降价后的价格．7. 如图，边长为a 的正方形工件，四角各打一个半径为r 的圆孔． （1）用代数式表示阴影部分面积；（2）当a =25cm ，r=4cm 时，阴影部分面积是多少？（结果保留π）【答案】解：（1）∵边长为a 的正方形工件，四角各打一个半径为r 的圆孔，∴阴影部分面积= 224a r π-，（2）将a=25cm ，r=4cm 代入（1）中所求式子得，224a r π-=252-4π×42=625+64π（平方厘米）．【解析】此题主要考查了列代数式以及代数式求值，根据已知图形得出图形之间的面积关系是解题关键．8. 现代营养学家用身体质量指数来判断人体的健康状况，这个指数等于人体质量（千克）除以人体身高（米）平方的商，一个健康人的身体质量指数在20～25之间；身体质量指数低于18，属于不健康的瘦，身体质量指数高于30，属于不健康的胖． （1）设一个人的质量为w （千克），身高为h （米），求他的身体质量指数； （2）李老师的身高为1.75米，质量是60千克，求他的身体质量指数；（3）计算一下你本人的身体质量指数（四舍五入到整数），你的身体健康状况属于哪种？ 【答案】（1）根据身体质量指数的定义即可求得此人的身体质量指数为2wh （2）李老师的身高为1.75米，身体质量是60千克，他的“身体质量指数”为2601.75≈19.59，身体健康； （3）将自己的身高体重代入（1）中公式即可．【解析】此题是一道关于科普知识的题目，很有趣味性，但难度不大，是一道好题．【拔高】1. （2011•清流县质检）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中a=______的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则n（用含n的代数式表示）．【答案】解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个数3n+1．故答案为：3n+1．【解析】根据图跟表我们可以看出n代表所剪次数，a代表小正三角形的个数，也可以根n据图形找出规律加以求解．2. 某餐厅中，一张桌子可坐6人，如果把多张桌子摆在一起，可以有以下两种摆放方式：（1）当n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？（2）按上图的方式拼桌，要使拼成一张大餐桌刚好能坐160人，请问需几张餐桌拼成一张大餐桌？（3）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐（即桌子要摆在一起），但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？【答案】解：（1）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．即有n张桌子时是6+4（n-1）=4n+2．第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即6+2（n-1）=2n+4．（2）∵4n+2=160时，n不是整数；当2n+4=160时，n=78∴采用第二种摆放方式，共需78张桌子；（3）第一种，因为，当n=25时，4×25+2=102＞98， 当n=25时，2×25+4=54＜98． 所以，选用第一种摆放方式．【解析】本题考查了图形的变化类问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．课程小结1.理解代数式的概念2.掌握代数式的规范写法3.理解列代数式的意义4.掌握列代数式的步骤5.会求代数式值，并掌握求代数式值的方法课后作业【基础】1. 在下列各式0，1a，x -，1x ≤-，30a b +=，43x y -，c 中，不属于代数式的是________ 【答案】1x ≤-,30a b +=【解析】本题考查了代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式． 2. 若代数式23x y +的值是3，则代数式4106x y -+的值是（ ） A ．-4 B ．2C ．2或-12D ．-12【答案】解：由已知得233x y +=，∴410622310x y x y -+=+-（） =2×3-10=-4． 故选A ．【解析】本题考查了代数式的代值计算问题，由已知条件不能求出x 、y 的具体值，将所求代数式变形，整体代入是解题的关键．3. 用代数式表示： （1）x 的平方减去2的差 （2）用代数式表示a 与b 的和 （3）a 、b 两数的平方和 【答案】22x -；a b +；22a b +【解析】此题考查了列代数式，解此类题的关键是弄懂题意，列出正确的代数式，本题要注意两数的平方和与两数和的平方的区别． 4. 设甲数为a ，乙数为b ，用代数式表示：（1）甲数的13与乙数的12的差 （2）甲、乙两数的平方的差 （3）甲、乙两数的差的平方 【答案】1132a b -，22a b -，()2a b - 【解析】本题考查列代数式，要注意分析好两个量之间的关系，特别是平方差和差的平方的区别.5. 如图，为做一个试管架，在a （cm ）长的木板上钻4个圆孔，每个圆孔的直径为2cm ，则x 等于_________【答案】解：由题意可得，5x =a-2×4，则85a x -=【解析】读图可得：5x +四个圆的直径=a(cm)．由此列出方程，用含a 的代数式表示x 即可． 6. “x ，y 两数的平方和加上它们积的2倍”用代数式表示为：___________，当x =2，y =-3时，求这个代数式的值；【答案】解：根据题意知，该代数式是222x y xy ++，当x =2，y =-3时，222x y xy ++=22+（-3）2+2×2×（-3）=1，所以当x =2，y =-3时，该代数式的值是1；222x y xy ++【解析】本题主要考查的是用“代入法”求代数式的值7. 已知代数式的235x x ++的值等于7，则代数式2392x x ++的值__________． 【答案】解：∵235x x ++7=，∴232x x +=，∴223923323228x x x x ++=++=⨯+=（）． 故答案为8．【解析】本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算．8. m 平方的3倍与4的差，用代数式表示为234m -；当m =2时，此代数式的值是______． 【答案】解：m 平方的3倍就是23m ，m 平方的3倍与4的差就是：234m -，故答案为：234m -， 当m =2时， 原式=2324⨯- =12-4 =8．故答案为：8．【解析】本题考查了列代数式和求代数式的值．解答时理清题意列出代数式是关键，在求代数式的值时不要忘记运算符号的运用． 【巩固】1. 当x=6，y=-1时，代数式−13(x+2y)+23y 的值是（ ） A ．-5 B ．-2C ．−23D ．23【答案】解：当x=6，y=-1时，−13()x 2y ++23y=()()12621233--+⨯-=-【解析】本题考查了列代数式和求代数式的值．解答时理清题意列出代数式是关键，在求代数式的值时不要忘记运算符号的运用．2. 在如图所示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数n=_________．【答案】解：由程序图可知，把y=5代入，（1）n为偶数时n÷2=5，n=10；（2）n为奇数时（n+1）÷2=5，n=9．∴输入的数n=9或10．【解析】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，解答本题的关键就是弄清楚题目给出的计算程序．3. 下图是一个数值转换机的示意图，请你用x、y表示输出结果，并求输入x的值为3，y的值为-2时的输出结果．【答案】解：∵由题意可得计算过程如下：3(2)2x y+÷，∴当x=3，y=-2时，3(2)2x y+÷=（3×2-8）÷2=-1．即答案为-1．【解析】解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，按程序一步一步计算．4. 已知：1xx+=3,求代数式2115x xx x⎛⎫+---⎪⎝⎭的值【答案】解：2115x xx x⎛⎫+--- ⎪⎝⎭=2115 x xx x⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1xx+=3时，原式=23-3-5=1【解析】本题主要考查的是用“代入法”求代数式的值，特别是本题中还应用了加法的交换律和结合律.5. 将连续的自然数1至36按如图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为a ，用含有a 的代数式表示这9个数的和为________．【答案】解：规律是横排中相邻数据相差1，竖排中上下相 邻数据相差6，所以当中心的数为a ，用含有a 的代数式表示 这9个数的和为:116677559a a a a a a a a a a +++-+-+++-+++-++=【解析】此题学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．6. 用代数式表示阴影部分的面积．【答案】解：()=S S S S --正方形阴影部分半圆三角形= 22112422a aa a π-⨯⨯-⨯⨯ = 23()48a π-【解析】图中阴影部分面积等于正方形的面积减去半圆和三角形的面积．本题考查了列代数式的知识，解题的关键黑丝弄清阴影部分的面积计算方法． 7. 按要求列代数式：（1）写出一个含有字母a 的代数式，当a =-2时，代数式的值为8（2）写出一个含有字母a 的代数式，使字母a 不论取什么值，这个代数式的值总是非负数． 【答案】解：（1）∵当a =-2时，2-3a =2-3×（-2）=8． ∴代数式为2-3a ；（2）答案不唯一，如()21a +等．【解析】本题考查了列代数式：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算．8. （1）用代数式表示：“a 、b 两数的平方和减去它们乘积的2倍”； （2）当a ＝−12，b =3时，求（1）中代数式的值． 【答案】解：（1）∵a 、b 两数的平方和为22a b +，它们乘积的2倍为2ab ， ∴a 、b 两数的平方和减去它们乘积的2倍为：222a b ab +-；（2）当a =3=时，原式=2a b -（）=272⎛⎫-= ⎪⎝⎭【解析】考查列代数式及代数式的相关计算；根据关键词得到代数式的运算顺序是解决本题的易错点；利用完全平方公式可使计算简便． 【拔高】1. 已知：观察下列等式：222222394140148525025664604⨯=-⨯=-⨯=-，，…请你把发现的规律用字母表示出来m ×n=________ 【答案】22()()22m n m n +-- 【解析】通过观察等式可知：40=（39+41）÷2，50=（48+52）÷2，60=（56+64）÷2；1=（41-39）÷2，2=（52-48）÷2，4=（64-56）÷2．因此可知两个数相差是等于两个数和的一半的平方减去两个数差的一半的平方．2. 小李家住房结构如图所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，则他至少需要买多少平方米的木地板（用字母表示）？若x =3米，y =2米时，并且每平方米木地板的价格是185元，则他至少需要准备多少元钱？【答案】解：根据题意列得：卧室面积为2424y x x xy -=（），客 厅面积为248x y xy ⋅=，之和为4812xy xy xy +=， 则他至少需要买12xy 平方米的木地板，当x =3，y =2时，原式=12×3×2=72（平方米）， 则实际铺了72平方米的木地板， 总费用为：72×185=13320元．【解析】卧室与客厅都为长方形，分别找出长与宽，利用长方形的面积公式列出各自的面积，求出之和即可；将x与y的值代入表示出的面积之和中计算，即可求出值．错题总结。