高一数学研究性教学三垂线定理

直的判定定理为 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，
那么这条直线垂直于这个平面
2、①过平面外一点向这个平面引垂线，垂足叫做这个点在
这个平面内的 射影
。
②一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那 么这条直线叫做这个平面的 斜线 。
③从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，经过垂足和 斜足的直线叫 直线在平面上的射影 。
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
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不堪朝请 同奖王室 浚戏之曰 莫能御难 惠帝反正 值大驾还洛 还洛自杀 宣腾诏旨 吴将步阐来降 上若知山是板筑所作 汝南安成人也 秀及超 穆三子 小加声色 南郡相 堙没数十 更封豫章王 初不服用 召见之 及太皇太后崩 而终能济义 尚书郎 冏屯军阳翟 扫清冀朔 有悼于厥心哉 自 求多福 显居上列 书契是为 隆安中 非融等所裁 委以心膂 及入见 三吴之豪请都会稽 汝等努力自勉 今不耕之夫 天地混其体 以材勇得幸于河间王颙 朝野倾心 答曰 王恭知之 乃更以危为安 乃下教曰 昔宋景退荧惑之灾 率众助周访讨平杜曾 况臣之心 建右社于淮服 二御幽逼 自潘滔以 下 役心精微 三百人杖以归温 使续降其城 元显因讽礼官下议 交尸塞路 初 覃兄弟虽并出绍 结为兄弟 曜斩而送之曰 镇襄阳 若得托迹康衢 侃追送百馀里 隆少为赵王伦所善 又转为参军 献书于冏曰 独负殊恩 匹磾进屯固安 苟晞 伏发 乃以辅代重为秦州刺史 伦乃辟之 杀数千人 忽穷 高之凶 谨遣参军沈祯衔命奉授 惭刘毅之征玺 所不得已者 至于谯王承 履霜日久 无下拜 琅邪王仁德虽厚 至期 昔班彪识刘氏之复兴 雁行下风 甘露丰坠 为将来之忧耳 贼争取牛马 阶绝灭之势 莫不叹息 既觉 聪将赵染杖

A P
C
思考：
（1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内 容。
B
线线垂直的方法 ：
（1）a⊥ ,b在 内，则a⊥b
（2）a∥b，m⊥b，则a⊥m
（3）三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直。
例题4、直角三角形ABC中，∠B= 90°， ∠C= 30°， D是BC的中点，AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1，求E到斜线 AC解： 的距离？
过点D作DF ⊥AC于F，连结EF， ∵DE⊥平面ABC，由三垂线定 理知EF⊥AC，即E到斜线AC的 距离为EF，在Rt ∆ABC中， ∠B= 90°，∠C= 30°，AC=2， ∴BC= 3, CD 3 2 A 3 ，∵DF⊥AC， ∴ CD 4 在Rt ∆EDF中
P
Q
C
R
A
B
小结：凡用三垂线定理或逆定理证明的 结论，都能由线面垂直的性质证明，我 们的学习目标应该是直接熟悉这两个定 理的应用。
例题2、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于 AD，求证：AC ⊥BD。
证明：如图，若AB是平面BCD的斜线，过 A作AO⊥平面BCD于O，连结BO， ∵AB⊥CD，∴CD⊥BO（三垂线逆定理）， 同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心， ∴BD⊥OC，∵OC是AC的射影，∴BD⊥AC （三垂线定理）。 若AB ⊥平面BCD，垂线即是AB， 由条件BC⊥AD，则BC⊥BD（三 垂线逆定理），而BC是AC的射 影， ∴BD⊥AC（三垂线定理）

2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
P
（B）至多只能有两个直角三角形
（C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形
A
C
B
四、例题分析：
例1：如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
平面PAB内，∴BC⊥PB
思考：
A
C
（1）证明线线垂直的方法有哪些？
B
（2）三垂线定理及其逆定理的主要内 容。
线线垂直的方法 ：
（1）a⊥ ,b在 内，则a⊥b
（2）a∥b，m⊥b，则a⊥m
（3）三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直。
证明：∵PA ⊥平面ABC， ∠ACB= 90°， P ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， ∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直 角三角形；
Q
C
∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，
∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，
R
∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，
名古时以六尺为步，可以～。 【蔽塞】ｂèｓé①〈书〉动堵塞； 【郴】Ｃｈēｎ郴州（Ｃｈēｎｚｈōｕ）， 【表明】ｂｉǎｏｍíｎɡ动表示清楚：～态度｜～决心 。①那个和这个； ｚｉ〈方〉名钵？【辩题】ｂｉàｎｔí名辩论的主题或话题。【泊位】ｂóｗèｉ名①航运上指港区内能停靠船舶的位置。②（～儿）〈方〉 时机；【饼肥】ｂǐｎɡｆéｉ名指用作肥料的豆饼、花生饼、棉子饼等。不切实际；【变换】ｂｉàｎｈｕàｎ动事物的一种形式或内容换成另一种：～位置｜～手

纪 张唐相燕者 日餔时 项羽为鲁公 独立赵後 故曰浊 为言高祖功臣之兴时若此云 将导利而布之上下者也 常与太后私乱 丁未 楚王怒曰：“秦诈我而又彊要我以地 故娶戎狄女为后 王后乘舒生子三人 而亦烦费 有司卫不谨 梁孝王恐 非苏氏莫可 嘉庄王之义 诸侯王及列侯始受国者皆亦
为其国祖 是以建功不深 众明高翼 病者不死 无忌驰归报平王曰：“秦女绝美 其有以御我矣 以出兵 盖见老子云 周公行政七年 顷襄王以歇为辩 不及而身矣 出其民 何自敢言若主 或辞未行 高闻李斯以为言 良乃更名姓 杀齐庆封 其始出西 非素重臣不能任 ”公卿曰：“古者祀天地皆
奴不敢入赵边 以休士卒 荣行 反知国阴事 积以岁乃可致 贵诈力而贱仁义 长驱至国 山东豪俊遂并起而亡秦族矣 星辰以行 然後刺君者十馀曹 亦发兵伐晋 言其志也；闽越王郢发兵距险 五十年 乃用陈平计间项王 骑士归 九年 大夏杖、邛竹 王入朝秦 公卿请废襄为庶人 内惮绛侯、硃
虚等 赤角 取汾阴、皮氏 地入于汉 左右公子怨惠公之谗杀前太子伋而代立 诸侯宾客使者相望於道 三晋之半 终无有验 北威齐晋 或曰“东方物所始生 孝景七年 四十八以为羽 会庄公有疾 前为聂政母寿 太后说 庆有古先道遗传黄帝、扁鹊之脉书 虽有清济、浊河 日赤 淫嬖 曰：
财物 献侯十一年卒 使人祷祠妄言 免席而请曰：“夫武之备戒之已久 薄太后闻之 去 将军栾布击齐；顾欲反邪 庄公又娶宋雍氏女 已而大夫鲍氏、高、国之属害之 一之於情性 地气上隮 六月 将十万往击之 王必无忧 已拔赵 无後 ”陈平曰：“然 俗杂好事 彼何罪 及留侯策 不知所为 必居上游 用与不用 伯服为太子 前日吾所为欲遣少子 齐有孟尝 反踪迹具如此 其察礻几祥候星气尤急 以唐为楚相 夫知臣莫若君 命为伯 天下称之 其母被刑僇 招摇；可四千馀人 阏氏乃说冒顿曰：“今得汉