甘肃省兰州市第一中学2018-2019高二下学期期中考试数学(理)试卷
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兰州一中2018-2019-2学期高二年级期中考试试题
数 学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设i是虚数单位，复数1aii在复平面内对应的点在直线10xy上，则实数a的值为（ ）
A. 1 B.0
C. -1 D. 2
2. 若函数321()(1)3fxxfxx，则1f（ ）
A.0 B.2 C.1 D.1
3. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f ′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f ′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（ ）
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确
4.已知函数f（x）=-x3+ax2-x-1在（-∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.,33,
B. ,33,
C.3,3 D.3,3
5.从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 ( ）
A.36个 B.48个 C.52个 D.54个
6.函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数
y=f ′（x）可能为（ ）
A B C D
7用数学归纳法证明“223122221nn”，验证n=1时，左边计算所得式子为（ ）
A.1 B.1+2 C.2122 D.231222
8已知函数()fx= xlnx，则下列说法正确的是（ ）
A．()fx在（0，+∞）上单调递增 B．()fx在（0，+∞）上单调递减
C．()fx在（0，1e）上单调递减 D．()fx在（0，1e）上单调递增
9.设函数1()sin2sin2fxxx，则()fx是（ ）
A.仅有最小值的奇函数 B. 仅有最大值的偶函数
C.既有最大值又有最小值的偶函数 D. 非奇非偶函数
10.已知函数32()fxxpxqx的图像与x轴切于点（1,0），则()fx的极值为（ ）
A.极大值为427，极小值为0 B. 极大值为0，极小值为427
C.极小值为527，极大值为0 D. 极小值为0，极大值为527
11.定义在R上的函数fx满足:1,00,fxfxffxfx是的导函数，则不等式1xxefxe（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A.,10, B.0, C.,01, D.1,
12. 已知函数22()(2)()fxxxxaxb，且(3)fx是偶函数，若函数()()gxfxm有且只有4个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A. (16,9) B. (9,16) C. (9,15) D. (15,9)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 计算
=__________．
14. 若2019220190122019(12)()xaaxaxaxxR，则
01020302019()()()()aaaaaaaa=______________．（用数字作答）
15.如图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n，
表中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n>1）行
第二个数是_______________________.
16. 设有通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上
的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f(k)个部分，
则(k+1)个平面将空间分成f(k+1)= f(k)+__________ _个部分．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
（1）若,0xy，且2xy，用反证法证明：11,xyyx中至少有一个小于2．
（2）设非等腰三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，
证明：113+abcbabc.
18.（本小题满分12分）
已知复数z满足|21|4,(1)2.ziwzii
（1）求w在复平面上对应点P的轨迹C．
（2）在复平面上点Q（0，4）向轨迹C做切线，分别切于A、B两点，求直线AB的方程．
1223434774511141156162525166220(4(2))xxdx
19.（本小题满分12分）
设111()123fnn，是否存在()gn使等式：
(1)(2)(-1)()()1fffngnfn对任意2,nnN都成立，并证明你的结论．
20.（本小题满分12分）
已知函数()lnfxx.
（1）设实数k使得()1fxkx恒成立，求k的取值范围；
（2）设()()1gxfxkxkR，若函数()gx在区间3[,]ee上有两个零点，求k的取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知函数213()4ln(1)(2)22fxxxmxm（m为常数）.
（1）当m=4时，求函数()yfx的单调区间；
（2）若函数()yfx有两个极值点，求实数m的取值范围.
22.（本小题满分12分）
设函数2()ln(1)fxxbx.
（1）若对定义域内的任意x，都有()(1)fxf成立，求实数b的值；
（2）若函数()fx在其定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；
（3）若1b，证明对任意的正整数n，33311111()123nkfkn.
兰州一中2017-2018-2学期高二年级期中考试试题
数 学(理科)参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.C 9.C 10.A 11.B
12. B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 2 14.2017 15. 222nn 16. 2k
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
（1）证明：假设11+22yxyx，，即1+x≥2y，1+y≥2x，
∴2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2，这与x+y＞2矛盾．∴假设不成立
∴ 至少有一个小于2． ………………………………………………………5分
（2）证明：要证113+abcbabc，只要证+23()(+acbabcbabc），
只要证(+)(+2)3()(abcacbabcb），只要证22(+)-(+)3(abcbacbacbbcab），
只要证222=bacac，只要证2221cosB22acbac，只要证B3，只要证A，B，C成等差数列，故结论成立. ………………………………………………………10分
18.（本小题满分12分）
解析：（（1）设w=x+yi，则由w=z(1-i)+2+i得21=[(1)(3)i],12wizxyxyi
∵复数z满足|2z-1+i|=4，∴|2z-1+i|2=(x-y-2)2+(x+y-2)2=2[(x-2)2+y2]=16，
即(x-2)2+y2=8，即w在复平面上对应点P的轨迹C为(x-2)2+y2=8．……………………………6分
（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），
则对应的切线方程分别为(x-2)(x1-2)+yy1=8，(x-2)(x2-2)+yy2=8，
∵Q（0，4）在两条切线上，∴-2(x1-2)+4y1=8，-2(x2-2)+4y2=8，
因此A，B两点都在直线-2(x-2)+4y=8，即AB为：x-2y+2=0． ……………………………12分
19.（本小题满分12分）
解析：（I）由111()123fnn得：(1)1f，1(2)12f，11(3)123f， 11+yxyx，
(1)(2)(-1)()()1fffngnfn
当2n时，)1)2()(2()1(fgf，得(2)2g．
当3n时,)1)3()(3()2()1(fgff,得(3)3g．
当4n时,)1)4()(4()3()2()1(fgfff,得4)4(g.
猜想：()gnn． ……………………………………………6分
下面证明：1)()1()2()1(nfnnfff对任意2,nnN都成立
证明：（1）当2n时，已验证成立．
（2）假设nk（2k，Nk）时成立，即(1)(2)(1)[()1]fffkkfk．
当1nk时，左边=(1)(2)(1)()[()1]()(1)()fffkfkkfkfkkfkk，
